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高等数学定积分在几何上的应用[优质PPT]

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定积分在几何中的应用 课件

定积分在几何中的应用 课件
定积分在几何中的应用
题型一 不分割图形求面积
规律方法：求不分割图形面积的一般步骤： (1)在坐标系中画出由直线与曲线围成的图形；(2)求出直线 与曲线交点的横坐标并确定积分上、下限；(3)用定积分表 示图形的面积；(4)求定积分进而得到图形的面积．
题型二 分割图形求面积
规律方法：求两条曲线围成的平面图形的面积的步骤是： ①画图，确定图形范围④用微积分基本定理计算定积 分．
对图形分割不合理致误
【易错剖析】复杂图形的面积的求解，合理分割图形是 关键，方法一中的分割是解本题较好的一种方法．若不 能抓住图形的特征，进行合理分割，则会出现错解．

定积分在几何中的应用 课件

定积分在几何中的应用 课件

1.由抛物线y2=x与直线x=2所围成的图形的面积为_______.
2.求y=-x2与y=x-2围成图形的面积S.
【解析】1.由
y2
得x,其交点为(2,
)，(22,
)，所 以2 结合
x 2,
抛物线的对称性和定积分的概念，所围成的图形的面积
为 2 2 0
xdx
4 3
3
x.2
|02
8
2 3
答案：8 2
①当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图1，则
b
a
f
x dx
=S上.
②当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图2，则
b
a
f
x
dx
=-S下.
③当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图3，
则
b
a
f
x
dx
=S上-S下，若S上＝S下，则
b
a
f
x dx
=0.
(2)由两条曲线f(x)，g(x)和直线x=a，x=b(a<b)所围成的平面 图形的面积S.
0
1
2.求由曲线y＝
x
，y＝2－x，y＝－1
3
x所围成图形的面积.
【解析】1.选C.阴影部分的面积
S= ［1 x2 1 ］dx 2 x2 1 dx
0
1
= 2 x2 ，1 d故x 选C. 0
2.方法一：解题流程：
画图形
画出草图，如图所示.
求交点
用积分 表示
计算
解方程组
y
x,
x y 2,
3
2.如图，由
y y
Байду номын сангаас

精品课件-高等数学定积分在几何上的应用ppt

精品课件-高等数学定积分在几何上的应用ppt

第二节 定积分在几何上的应用
例3 求由 y=cosx, y=sinx 在区间 [0, ] 上所围成的图 形的面积.
两曲线的交点
y sin x

y

cos
x

( , 4
2) 2
A1
A2
A A1 A2



4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx
x(t) ye of Information and Technology
y2 2x
y x4
A42y4y22dy1.8
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
问题 若选x为积分变量呢？ 4
SS1 S2

2
[
2x (
2 x )]dx
第二节 定积分在几何上的应用
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区
间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
3) 求定积分 F
b
f (x)dx
a
Nanjing College of Information and Technology
ΔA≈ f(x)dx
面积元素
dA
yf(x)
记作dA
o a xxdbxx
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
Alim f(x)dx f ( x)dx d A

高等数学(第三版)课件：定积分的应用

高等数学(第三版)课件：定积分的应用

线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•

高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt

高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt

解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a

第六节-定积分的应用课件

第六节-定积分的应用课件

则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA1()2d
2
所求曲边扇形的面积为
r()
d
A1 22()d
x
例5. 计算阿基米德螺线 r a( a 0 )对应 从 0 变
到 2 所围图形面积 .
解: A 2 1(a )2 d 02
a2 2
1 3
3
2 0
o
d
2a
x
4 3 a2
3
例6. 计算心形线 r a ( 1 c) o ( a 0 ) 所s 围图形的
面积 .
解: A2 1a2(1cos)2d 02
a2 4cos4 d
0
2
令t 2
8a2 2co4tsdt 0
8a2 3 1 3 a 2
422 2
(利用对称性)
d
o
2a x
例7. 计算心形线 r a ( 1 c) o ( a 0 ) 与s 圆 ra
所围图形的面积 .
1 2 co cs 2 os
4
1a2co2s
d
02
y
4
a2 4c2 od ( s 2) 0
o
ax
a2si2n4 a2
0
4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a2 sin
所围公共部分的面积 .
答案: A206a2sin2d6412a2co2sd
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
应用定积分换元法得
A 4
0
bsint( a sti)d n t4ab 2sin2tdt
0
2
4ab
1 2
2
ab

人教版高一数学课件-定积分在几何中的简单应用


求由曲線圍成的平面圖形面積的解題步驟
證明：如圖建立平面直角坐標系，可設拋物線方程為
定
y -ax2 (a 0) 代拋物線上一點入方程
積 分
則有 - h -a(b)2
2
得
a
4h b2
y 0
的 簡
所以拋物線方程為
y
-
4h b2
x2
x
hS
單 於是，拋物線拱的面積為 2S 應
用
2s 2b2 h
b 2 0
單 應 用
S S1 S2
O
x
42
S1
4 cosx dx -
0
4 sin x dx
0
S2
2
s
in
x
dx
-
2
c
os
x
dx
S1有=S其2他
方法嗎？
4
4
六、小結
1．本節課我們做了什麼探究活動呢？ 2．如何用定積分解決曲邊形面積問題呢？ 3．解題時應注意些什麼呢？ 4．體會到什麼樣的數學研究思路及方法呢？
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
yf (x) bx
當f(x)0時，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成 的曲邊梯形位於 x 軸的下方，
一、復習回顧
2、牛頓—萊布尼茨公式
定理 （微積分基本定理）
如果f(x)是區間[a,b]上的連續函數,
並且F’(x)=f(x),則ab f (x)dx F(b) - F(a)
七、作業 1、書本P60 習題A組1 B組3 2、全優設計P48－49 3、思考B組1，2

高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt

一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?

高中数学PPT课件-定积分在几何中的应用


S1
S2
新知探究
选x为积分变量x∈[-2,3]
(1) x [-2, 0], dA1 = (x3 - 6x - x2 )dx
(2) x [0, 3], dA2 = (x2 - x3 + 6x)dx
于是所求面积 A A A
1
2
A = 0 (x3 - 6x - x2 )dx + 3 (x2 - x3 + 6x)dx
S = S1 + S2
4
= 0
2xdx
+
8 4
2xdx -
8 4
x
-
4
dx
= 2
2
3
x2
3
4 0
+
2
2 3
3
x2
8 4
-
1 2
x-4 2
8 4
= 40 3
新知探究
例3
计算由曲线 y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次，确定被积函数 和积分的上、下限.
面积元素为[j右(y)-j左(y)]dy, 面积为
S
d
c
[右
(
y)
左(
y)]dy
新知探究
例1 计算两条抛物线
在第一象限所围图形的面积 .
首先根据题意画出曲线
的草图，在图中找出所求面积的区域，图形结合，直观
解题；其次，为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.
新知探究
x3
1 0
= 2-1=1 33 3
x x + dx
新知探究

人教版数学高二《定积分在几何中的应用》精品课件

-1-
解 方 程 组 y＝12x2，
得
x＝－23，
或
y＝3－(x－1)2，
y＝29
x＝2， y＝2.
-1-
∴两曲线交点为 A(－23，29)，B(2,2)．
-1-
-1-
• 1.正确建立平面图形的面积与定积分之 间的联系
• 由于平面图形的面积为正数，定积分可 以为正数、零或负数，因此，正确建立 平面图形的面积与定积分之间的联系是 解决面积问题的关键．
-1-
• 3．在下面所给图形的面积S及相应表达 式中，正确的有 •( )
-1-
• A．①③ B．②③ • C．①④ D．③④
-1-
解析：①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx， a
②应是 S＝82 2xdx－8(2x－8)dx，
0
4
③和④正确．故选 D.
• 答案：D
-1-
• 4．下图中阴影部分的面积S＝________.
-1-
[解] 如图，设 l 的方程为 y＝kx. y＝kx，
解方程组y＝－xa2＋2x， 得交点 O，P 的坐标分别为(0,0)，(2a－ak,2ak－ak2)． 由题意得 ∫20a－ak(－xa2＋2x－kx)dx ＝12∫20a(－xa2＋2x)dx，
-1-
解得 k＝2－3 4， 故所求 l 的方程为 y＝(2－3 4)x.
a
-1-
自我校对：①>
②
b
f(x)dx
③<
④
－
b
f(x)dx
⑤<
a
a
⑥> ⑦－cf(x)dx ⑧bf(x)dx
a
c
⑨bf1(x)dx－bf2(x)dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例4 求摆线 x y a a((1 t scionstt))(a0,0t2)
的一拱与 x 轴围成的图形的面积 .
2a
A 0 ydx
2
0 a(1cost)a(1cost)dt a2 2(12costcos2t)dt
a
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
二.定积分求平面图形的面积
(一)直角坐标系下平面图形面积的计算
1.由曲线y=f(x) 和直线x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形
y yf(x)
面积微元: dAf(x)dx 曲边梯形的面积
相应地小区间上面积的近似值为: y
ΔA≈ f(x)dx
面积元素
dA
yf(x)
记作dA
o a xxdbxx
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
Alim f(x)dx f ( x)dx d A
a
a
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
问题 若选x为积分变量呢？ 4
SS1 S2
2
[
2x (
2 x )]dx
0
8
[
2x (x 4)]dx
2
S2 S1
24 –2
–4
2
2
2x d x8(2xx4 )d x
0
2
222 3x3 20 222 3x3 28 21 2x28 22 4
Nanjing College of Information and Technology
o a xxdxb x
b
A a f (x)dx
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
2.求由两条曲线 y=f(x) , y=g(x) ( f(x) g(x) ) 及直线
x=a, x=b 所围成平面
第二节 定积分在几何上的应用
例2 求由 y2=2x, y=x-4 所围成的图形的面积
两曲线的交点
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
选 y为积分变量 y[2,4]
y2 2x
y x4
A42y4y22dy1.8
Nanjing College of Information and Technology
两曲线的交点 (0,0), (1,1)
选 x 为积分变量 x[0, 1]
面积微元:
dA( xx2)dx
x y2
A
1
(
xx2)dx
0
23 x2
1 x3
1
1.
3 0 30 3
y x2
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
章定积分及其应用
节定积分及其计算 节定积分在几何上的应用 节定积分在物理上的应用
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用
本节主要内容:
一.定积分的微元法 二.定积分求平面图形的面积 三.定积分求体积 四.平面曲线的弧长
i
xn1
x
1) 分割 2) 取近似 3) 求和 4) 取极限
曲边梯形的面积
b
Aa f(x)dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
设函数 y = f(x) 在[a,b]上连续,
(1) 在区间[a,b]上任取小区间[x, x+dx],
公式经过定积分的换元法得到:
A
b
ydx
a
x1 (b)
y(t)dx(t)
x1(b)
y(t) x(t)d;t
x1 (a)
x1(a)
d
A xdy c
y1 (d )
x(t)dy(t)
y1 (c)
y1(d)
x(t) y(t)dt.
y1(c)
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X-型
面积微元: d A [f(x )g (x )]d x
曲边梯形的面积
b
Aa[f(x)g(x)]dx
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积Байду номын сангаас在几何上的应用
3. 求由两条曲线x=(y),x=(y),( (y) (y)) 及直线
4
(sin x cos x)
4 (cos x sin x)
0
4
2 2
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
参数方程情形:
设曲边梯形的曲边参数方程为
x
y
x(t) y(t)
,
其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区
间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
3) 求定积分 F
b
f (x)dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
一.定积分的微元法
设曲边梯形由连续曲线 y
yf(x)(f(x)0)
及 x轴，以及两直线 xa,xb所围成 ,
解决步骤:
o a b 1 x 1
2
x i 1
x
i
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例3 求由 y=cosx, y=sinx 在区间 [0, ] 上所围成的图 形的面积.
两曲线的交点
y sin x
y
cos
x
( , 4
2) 2
A1
A2
A A1 A2
4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx
y=c,y=d所围成平面 Y-型
面积微元:
d A [(y) (y)]d y
曲边梯形的面积:
Acd[(y)(y)]dy
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例1 求由 y2=x, y=x2 所围成的图形的面积