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S= b (f (x) g(x))dx. a
思考:如何利用定积分表示上图2平面图形ABCD的面积?
提示:选取y为积分变量,积分区间为[a,b],则图中平面
图形ABCD的面积为S
b
a (f2 (y) f1(y))dy.
【知识点拨】
1.定积分与各个小曲边梯形面积的关系
如果f(x)在[a,b]上有时取正值,
有时取负值时,且直线x=a,x=b,y=0
与曲线y=f(x)围成的各个小曲边梯形
的面积S1,S2,S3,那么f(x)在积分区间[a,b]上的定积分等
于这些小曲边梯形面积的代数和,即有
b
a f
(x)dx
S1
S2
S3.
2.对于不规则平面图形面积的求法 定积分只能用于求曲边梯形的面积,对于非规则的曲边梯形, 一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形,再利用定积分的 和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积,可直接利 用相关面积公式求解.
y y
及x ,
1x 3
x y 2,
y
1 3
x
得交点(1,1),(0,0),(3,-1),
所围图形如图中阴影部分所示,
所以
S=
1
[
x ( 1 x)]dx
3
[(2
x
)
(
1
x)]dx
0
3
1
3
=
1
(
x 1 x)dx
3(2 x 1 x)dx
0
3
1
3
=( 2 3
3
x2
1 6
x2)
10
4
【误区警示】
【防范措施】 1.求被积函数f(x)与函数F(x)是计算定积分的关键 当图象为折线时,对应的函数为分段函数,要分别来求.本例 主要考查由分段函数的图象求函数式,考查定积分在计算平 面图形面积中的运用.突出体现数形结合思想以及计算能力, 求出被积函数f(x)以及函数F(x)的解析式是关键.
且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )
A. 4
B.2
C. 8
D.16 2
3
3
3
【解析】选C.l的方程是y=1,所求面积相当于一个矩形面积
减去一个积分值:S
42
2 0
x2 dx
4
4 2( x3 12
02 )
8. 3
定积分在几何中的应用
定积分与平面图形面积的关系 1.已知函数f(x)在[a,b]上是连续函数,由直线y=0, x=a,x=b与曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积为S,填表:
f(x)的符号 f(x)≥0 f(x)<0
平面图形的面积与定积分的关系
b
S= a f (x)dx
b
S= a f (x)dx
2.一般地,如图1,如果在公共的积分区间[a,b]上有 f(x)>g(x),那么直线x=a,x=b与曲线y=f(x),y=g(x)围成的 平面图形的面积为
1
4
S 20 xdx 1 ( x x 2)dx
2
2 3
3
x2
10
( 2 3
3
x2
1 2
x2
2x)
14
2
2
[( 2
3
42
1
42
2 4)
(2
1
2)]
33
2
32
9. 2
【拓展提升】求平面图形面积的步骤以及注意事项 (1)步骤:①画函数的图象,联立方程组求出曲线的交点坐标. ②将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积. ③确定被积函数和积分区间,计算定积分,求出面积. (2)注意事项:根据图形特点选择适当的积分变量:若公共积 分区间在x轴上,选取x为积分变量;若公共积分区间在y轴上, 选取y为积分变量,要把函数变形成用y表示x的函数.
积,即 S a[b f1(x) (f其2 (中x)]fd1x(x)>f2(x)).
类型 二 计算复杂平面图形的面积 【典型例题】 1.由两条曲线y=x2, y 1 x2与直线y=1围成平面区域的面积
4
是_______.
2.求曲线 y x 与直线y=2-x,y 1 x 围成图形的面积.
3
【解题探究】1.题1中怎样确定积分变量的区间? 2.如何将图形的面积转化为定积分计算? 探究提示: 1.由直线y=1分别与曲线y=x2y, 1 x联2 立,求出交点坐标,
(2x
1 2
x2
1 6
x2)
13
=2 3
1 6
(2x
1 3
x2
)
13
=5 6 1 9 21 1 1=2 1 .
63
36
【互动探究】若将题2中条件变为如图由直线y=x-2,曲线 y2=x所围成图形,试求其面积S.
【解析】由
y2
x得, x=1或x=4,
y x 2,
故A(1,-1),B(4,2),如图所示:
【解析】1.直线y=0,x=1,x=4,曲线y x围成平面图形的面
积为 4 1
xdx
2 3
3
x2
|14
2 3
3
42
2 3
2 3
8
2 3
14 . 3
答案:14
3
2.由
y y
2x消x2 ,去3 y,得x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,这是
直线与抛物线交点的横坐标,如图,直线y=2x与抛物线
y=x2-3围成平面图形的面积是
S [3 2x (x2 3)]dx 3 (3 2x x2 )dx
1
1
(3x
x2
1 3
x3
31
(3 3 32 1 33) [1 3 (1)2 1 (1)3]
3
3
9 2 1 32 . 33
【拓展提升】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象,先将两个函数方程联立方程组求 解,得到函数图象的交点的横坐标a,b(a<b),确定积分区间 [a,b]. (2)在公共的积分区间上,由上界函数减去下界函数作为被积 函数,定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面
4
得出积分变量的区间. 2.灵活确定积分变量与积分区间,转化为定积分计算.
【解析】1.如图,y=1与y=x2交点A(1,1),y=1与y x2交点
4
B(2,1),由对称性可知面积
S=2( 1x2dx
2
dx
2 1x2dx) 4 .
0
1
04
3
答案:4
3
2.解方程组:y 及x ,
x y 2
类型 一 计算简单平面图形的面积 【典型例题】 1.直线y=0,x=1,x=4,曲线 y x 围成平面图形的面积为_____. 2.求直线y=2x与抛物线y=x2-3围成平面图形的面积是多少?
【解题探究】1.定积分的几何意义是什么? 2.用积分求两曲线围成平面图形的面积时,如何确定积分上 限与下限? 探究提示: 1.在积分区间上当被积函数值非负时,定积分等于曲边梯形 的面积. 2.将直线方程与抛物线方程联立方程组求出交点的横坐标即 为积分上下限,将平面图形的面积转化为定积分计算.
2.利用定积分性质与微积分基本定理是重点 当被积函数为分段函数,要充分利用定积分的性质及微积分 定理.本例考查了定积分的性质以及微积分基本定理等知识, 综合性强,计算量大,稍有不慎就会导致计算出错,解题时 要写出详细步骤,计算要耐心细致,一气呵成,考场上力争 避免“会而不对”等错误的发生.
【类题试解】(2013·北京高考)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点
从而得
y
xf (x)
10x2,0Fra bibliotekx1 2
,
10x
10x
2
,
1 2
<x
1,
①
所以所求的面积为 S
1
210x2dx
0
1 1
(10x
10x
2
)dx
2
10 x3 3
1 2
(5x 2
10
x3)
0
3
1 1 2
②
=10 1 (5 10) (5 10 1) 5 .
38
3 4 38 4
答案:5
【易错误区】因忽视被积函数以及原函数导致计算错误
【典例】(2012·上海高考)已知函数y=f(x)的图象是折线段
ABC,其中A(0,0),B( 1 ,5),C(1,0),函数y=xf(x)(0≤x≤1)
2
的图象与x轴围成的图形的面积为______.
【解析】根据题意,得 f (x) 1100x,100x,x12<12x, 1, ①