定积分在几何学上的应用(比赛课教案)

1.7 定积分的简单应用（共两课时）一、感悟要点1．知识与技能能利用定积分求曲边梯形的面积，以及解决物理中的变速直线运动的路程，变力做功问题。

2．过程与方法通过利用定积分求曲边梯形的面积，体会定积分的基本思想，学会其方法，通过定积分在物理中应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值。

3．情感态度与价值观通过本节学习，进一步感受数学的应用价值，提高数学的应用意识，坚定学好数学的信心。

二、学习重难点1.重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。

2.难点：将实际问题化归为定积分的问题。

三、温习旧知1．定积分的几何意义和微积分基本定理分别是什么？2．曲边梯形的面积表达式是什么？3．匀变速直线运动中，s与v,t间的关系是什么？4．如果物体在变力F（x）的作用下做直线运动，那么如何计算变力F（x）所做的功W 呢？四、 例题精析例1 计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.解析：【教学札记】合作探究：由例1总结求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤是什么？(1) 画出图形；(2) 确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上下限；(3) 确定被积函数，特别是要分清被积函数的上下位置；(4) 写出平面图形的面积的定积分表达式；(5) 运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积。

例2 计算由曲线y =4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积.解析：【教学札记】探究：这道题还有其它解法吗？解法二：将所求平面图形的面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差：解法三：将所求平面图形的面积看成位于y 轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此可以取y 为积分变量，还需把函数y=x-4变形为x=y-4,,函数y =22y x =.变式训练:计算有曲线22y x =和直线y=x-4所围成的图形面积.作业：58P 练习，60P A 组第1题.例3 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示，求汽车在这1min 行驶的路程。

定积分在几何中的应用【教学目标】1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【教法指导】本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【教学过程】 ☆探索新知☆探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S .因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD ＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x ＝23x 32|10－13x 3|10＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3＝252－(－253)＝1256. 探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S .解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．解方程组⎩⎨⎧ y ＝2x ，y ＝x －4得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)．直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)．因此，所求图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝ʃ402x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84x －4d x＝22332x |40＋22332x |84－12(x －4)2|84 ＝403.方法二 把y 看成积分变量，则S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|40 ＝403. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解 画出图形，如图所示．得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13x )]d x ＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13x )d x ＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程．解 如图，设切点A (x 0，y 0)，其中x 0≠0，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)，＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112. ∴x 0＝1，从而切点为A (1,1)，切线方程为2x －y －1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3|10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －x 2，y ＝kx ，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.。

定积分在几何学上的应用(比赛课教案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN教学题目：选修2-2 1.7.1定积分在几何中的应用教学目标：一、知识与技能：1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法二、过程与方法：1. 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

三、情感态度与价值观：探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。

教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

课型、课时：新课，一课时教学工具：常用教具，多媒体，PPT课件教学方法：积分⎰ba f (x )dx 在几何上表示 引导法，探究法，启示法 教学过程x =a 、x =b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。

当f (x )≤0时由y =f (x )、x =a 、x =b与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x 轴所围成平面图形的面积SOxab y =f (x )xOaby =f (x )⎰ba f (x )dx =⎰ca f (x )dx +⎰bc f (x )dx 。

=-S xyoabc)(x f y =xyo)(x f y =ab 当f (x )≥0时，积分dx x f ba )(⎰在几何上表示由y =f (x )、由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解练习. 求抛物线y=x 2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。

1.7.1 定积分在几何中的应用一、教学目标：1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求曲边图形的面积二、教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算的应用 三教学过程： （一）练习1．若11(2)a x x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．22．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（ C ） A ．34B ．45C ．56D ．不存在 3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值 解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰223221200(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1．4．求定分3-⎰x ．5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？6． 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰ba dx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和， 在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负二、新课例1．教材P56面的例1例2．教材P57面的例2。

练习：例3．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。

练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ）A ．[()()]b a f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]c b a c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d xC ．[()()][()()]b b a c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]b a g x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0。

1.7.1定积分在几何中的应用教学目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．教学知识梳理知识点一定积分在几何中的应用思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？【答案】求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．梳理(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃb a f(x)d x.(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－ʃb a f(x)d x.(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝ʃb a[f(x)－g(x)]d x.(如图)知识点二变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？【答案】不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．梳理(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21()t t t⎰v d t求解．(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用21()t t t⎰v d t求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21()t t t⎰v d t.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝ʃb a v(t)d t.知识点三变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？【答案】与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x ＝a到x＝b(a<b)，可以利用定积分得到W＝ʃb a F(x)d x.梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a 移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为ʃb a F(x)d x.题型探究类型一 利用定积分求面积命题角度1 求不分割型图形的面积例1 由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S ＝________. 【答案】13【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2，得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x＝⎪⎪⎪2332x 10－⎪⎪13x 310＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形．(2)找出范围，确定积分上、下限． (3)确定被积函数． (4)将面积用定积分表示．(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成的图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0， 所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得，S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 22－3－⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2－3 ＝252－⎝⎛⎭⎫－253＝1256.命题角度2 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ， 得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋ʃ31⎣⎡⎦⎤2－x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2332x ＋16x 210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －13x 231 ＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较烦琐，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 所围成的图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S ＝ʃ10(2x －x )d x ＋ʃ21(2x －x 2)d x＝ ⎪⎪x 2210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－x 3321＝12－0＋⎝⎛⎭⎫4－83－⎝⎛⎭⎫1－13＝76. 类型二 定积分在物理中的应用例3 一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(v 的单位：m/s)运动，求： (1)该点在t ＝4 s 时的位置； (2)该点前4 s 走过的路程．解 (1)在t ＝4 s 时，该点的位移为ʃ40(t 2－4t ＋3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43，即在t ＝4 s 时，该点与出发点的距离为43m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以走过的路程s ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋||ʃ31t 2－4t ＋3d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t －ʃ31(t2－4t ＋3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)，即前4 s 走过的路程为4 m.反思与感悟 (1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程为s ＝ʃb a v (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程为s ＝ʃb a |v (t )|d t ＝－ʃb a v (t )d t ；②注意路程与位移的区别． (2)求变力做功的方法步骤①首先要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移；②利用变力做功的公式W ＝ʃb a F (x )d x 计算；③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．跟踪训练3 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．若20 N 的力能使弹簧伸长3 cm ，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W 为( ) A.16930 J B ．5 J C.15930 J D ．6 J【答案】A【解析】设拉伸弹簧所用的力为F N ，弹簧伸长的长度为x m ，则F ＝kx . 由题意知20＝0.03k ，得k ＝2 0003，所以F ＝2 0003x .由变力做功公式，得W ＝ʃ0.1302 0003x d x ＝⎪⎪1 000x 230.130＝16930(J)， 故把弹簧从平衡位置拉长13 cm 时所做的功为16930 J.当堂检测1．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为( ) A.43 B.83 C.163 D.23【答案】A【解析】如图，画出曲线y ＝x 2和直线y ＝2x 的图象， 则所求面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. 所以A (2,4)，O (0,0)．所以S ＝ʃ202x d x －ʃ20x 2d x＝x 2⎪⎪⎪⎪20－13x 320＝4－⎝⎛⎭⎫83－0＝43. 2．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( ) A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J【答案】C【解析】依题意F (x )做的功是W ＝ʃ105F (x )d x ＝ʃ105(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )|105＝825(J)．3．由曲线y ＝1x 与直线x ＝1，x ＝2，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．【答案】1－ln 2【解析】因为函数y ＝1x 在[1,2]上的积分为S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2，所以围成的封闭图形的面积S 1等于四边形ABCD 的面积减去S 2的面积，即S 1＝1－ln 2. 4．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________ m.【答案】900【解析】由速度—时间曲线得 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，－35t ＋36，10<t ≤60，所以汽车在1分钟内行驶的路程为ʃ1003t d t ＋ʃ6010 ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－35t ＋36d t ＝32t 2100＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫－310t 2＋36t 6010 ＝150＋750＝900 m.5．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积． 解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积． 由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)， 因此所求图形的面积为S ＝ʃ1－1|x 2－1|d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 331－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13－⎝⎛⎭⎫－1＋13＋⎝⎛⎭⎫13×23－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝83.。

1.7.1 定积分在几何中的应用主讲：XXXX 卞志业教学目标:1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；教学重难点: 重点 曲边梯形面积的求法难点 定积分求体积以及在物理中应用 教学过程:一、复习回顾1.微积分基本定理是什么？学生回答：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，，这就是微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式。

2.定积分的几何意义是什么？学生回答： x=a 、x=b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。

需要注意的是：当f(x)≤0时，由y=f (x)、x=a 、x=b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方。

，那么并且)()(x f x F ='⎰-=baa Fb F dx x f )()()( 当f (x )≥0时，积分dx x f ba)(⎰在几何上表示由y =f (x )、 a b y f (x) ()b a S f x dx=⎰即：O x y xy O a b y f (x)()baS f x dx=-⎰即：二、例题讲解例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】从图像中可以看出：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：201y x x x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积Ｓ＝Ｓ曲边梯形ＯＡＢＣ－Ｓ曲边梯形ＯＡＢＤ112xdx x dx =-⎰⎰【点评】求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤： （1）画草图，求出曲线的交点坐标； （2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积； （3）确定被积函数及积分区间； （4）计算定积分，求出面积。

例2计算由直线y 2x =曲线y x 4,=-以及x 轴所围图形的面积S.【分析】12332x ＝ 10331x -＝ ＝ 3231-31 4xyO84 22Bxy 2=4-=x y S 2S 1 S 2S 14 y O84 22 A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯-+=+=⎰⎰44212284421dx x dx x s s s Ａ： 44212821⨯⨯-=-=⎰dx x s s s Ｂ：解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为下图阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0).因此，所求图形的面积为S=S 1+S 24880442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|3323x x x =++-=.三、巩固练习求下列曲线所围成的图形的面积。

1.7.1 定积分在几何中的应用一、教学目标1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求曲边图形的面积二、预习导学三：教学重难点重点：曲边梯形面积的求法难点：定积分求体积以及在物理中应用1．若11(2)a x x +⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ）A ．6B ．4C ．3D ．22．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（ C ）A ．34 B ．45 C ．56 D ．不存在3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值 解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰223221200(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1．4．求定分3-⎰x ．5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S6． 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰ba dx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和， 在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负四、问题引领，知识探究例1．求椭圆12222=+b y a x 的面积。

解：先画出椭圆的图形，见图6-16，因为椭圆是关于坐标轴对称的，所以整个椭圆的面积S 是第一象限内那部分面积的4倍，即有⎰=b a ydx S 4其中 22x a a b y -=所以 ⎰⎰-=-=a a dx x a a b dx x a a b S 022022441.利用§6.5例2已算出的结果⎰=-a a dx x a 02224π，可得244b a S ab a ππ=⨯=(平方单位)当a b =时，我们得到圆的面积2a S π=例2．求由曲线3324,16y y x y y x -=-=所围成的面积。

定积分在几何上的应用教案(3)目的要求1．掌握定积分解决实际问题的基本思想方法：分割、近似代替、作和、求极限．2．继续了解定积分表达式的几何意义，巩固运用定积分知识综合求解平面图形的面积和旋转体的体积．内容分析1．在数学中，应用可以分为不同的层次：①数学知识的直接应用，如由基本积分公式，利用直接积分法求不定积分，这是最低层次的一种应用；②运用数学知识解决由具体问题抽象出来的数学模型，如利用定积分解决平面图形的面积和旋转体的体积问题，这是高一级层次的应用；③运用数学知识直接解决现实问题，这时，需要对具体的问题进行抽象概括，抽象出具体的数学模型，而后进行解决，这是最高层次的一种应用．本章涉及的应用问题主要是第②种应用，即运用数学知识解决数学模型．为了使学生对定积分的应用有充分的认识，本课时安排为一节习题课，并从中挑选了一些从实际问题抽象出来的数学模型．学生通过解决这些问题的训练，认识到所学知识在实际问题中用处非常大，这对于培养他们应用数学的意识是非常有帮助的．2．本节课的重点是训练学生运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积，难点是如何将具体问题转化为求定积分的问题．教学中要充分注意数形结合，即在运算过程中适当加强几何直观，不但能由定积分表达式知道其几何意义，也能由图形知道它所表达的定积分．另外，在本节教学时，一定要控制教学内容的深度，决不能按高等学校的内容任意延伸．教学过程(一)内容提要多媒体显示图形，学生口答下列公式(略)及注意事项．1．各种情形下的平面图形的面积公式．2．各种情形下的旋转体的体积公式．(二)例题示范例1 过曲线y＝x2(x≥0)上某一点A作一切线l，使之与曲线(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线l的方程；(3)上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．解：设点A的坐标为(a，a2)，过点A的切线与曲线y＝x2(x≥0)及x轴围成的图形如图1中的阴影部分．(1)由已知可得直线l的斜率为k＝y′|x＝a＝2a，故过切点A的切线l的方程为y－a2＝2a(x－a)，即y＝2ax－a2．∴切点A的坐标为(1，1)．(2)∵l的斜率k＝2，∴l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．变式题：过定点A(1，0)引抛物线y＝x2＋3的两条切线AP、AQ，试求：(1)抛物线与所引两条切线围成的平面图形的面积；(2)由两切点的连线与抛物线围成的图形绕x轴旋转一周产生的旋转体的体积．略解：(1)先求得切点为P(－1，4)、Q(3，12)，故切线AP的方程为：2x＋y－2＝0；切线AQ的方程为：6x－y－6＝0．过A点作AB⊥x轴，交抛物线于B(1，4)，则所求图形面积为(3)直线PQ的方程为：y＝2x＋6，说明：例1 及变式题主要训练定积分在几何上的应用，综合考查了运用数学知识分析问题和解决问题的能力．例2 (1999年上海高考题)平地有一条水沟，沟沿是两条长100米的平行线段，沟宽AB为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5米，沟中水深1米．(1)求水面宽；(2)如图2所示形状的几何体称为柱体．已知柱体的体积为底面积乘以高，问沟中的水有多少立方米？(3)若要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，则改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？解：(1)如图2，建立直角坐标系，设抛物线的方程为y＝ax2．(2)水的体积(3)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切．物线的切线得如图所示的直角梯形OCDE，则切线CD的方程为说明：例2 是1999年上海市高考题，本题主要考查了解析几何、不等式、定积分等基本知识，考查了运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力．变式题：半径为a的半球形容器装满水，现轻轻倾斜θ角后，求从容器中流出的水量．，则略解：如图3，OQ＝asinθ，设剩余水量为V1(三)归纳总结应用定积分解决实际问题的基本思路：布置作业1．复习参考题B组第2、5题．2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2．(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围图形的面积；(3)若直线x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形的面积两等分，求t的值．(1)把C1与C2所围成的图形(阴影部分)绕x轴旋转一周，求所得几何体的体积V；。

定积分在几何上的应用教案（2）定积分在几何上的应用教案(2)目的要求1．了解旋转体的概念，理解旋转体体积公式的推导过程，继续了解“分割——近似代替——求和——取极限”的思想方法．2．掌握用旋转体的体积公式求旋转体的体积，学会用定积分解决一些在几何中用初等数学方法无法解决的体积问题．3．对几何图形的基本度量——体积的概念有较完整的认识，知道在求旋转体的体积时，定积分是一种普遍适用的方法，进一步体会学习定积分的必要性．4．培养学生应用数学的意识和能力，进一步培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力以及应用定积分的基本思想解决问题的能力．内容分析1．本节课是在学习了定积分的概念与计算的基础上，介绍定积分在几何中的又一种应用，它是微积分解决初等数学的一个生动实例，这充分体现了新教科书对培养学生应用数学的意识的重视．大家知道，微积分是十七世纪数学发展史上的里程碑，是人类思想史上的重大飞跃，微积分可以解决初等数学难以解决或无法解决的许多问题．通过这部分内容的学习，可使旋转体的体积在理论上解决得更彻底，并使学生对体积的概念有较完整的认识．2．“旋转体的体积”这部分内容包括旋转体的定义、旋转体的体积公式的推导、旋转体体积的计算．教学中以旋转体体积的计算为重点；由于旋转体体积公式的推导比较抽象，空间想象能力要求较高，故为本节课的教学难点；突破难点的关键是数形结合，充分采用现代化的多媒体教学手段显示旋转体的形成过程，在计算机中虚拟几何体的分割过程的“真实”情景，“放大”微观世界，使抽象问题形象化、直观化．3．考虑到本课内容比较抽象，故宜采用启发引导、讲练结合的教学方法，同时采用计算机辅助教学．在具体教学中要注意到以下几点：关于旋转体的定义，要与以前学习过的柱、锥、球等旋转体的定义结合起来教学，使学生明确旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴．柱、锥、球等旋转体的平面图形都是直线或圆弧，而在这里是一般的曲线．关于旋转体体积公式的推导，其实在第二册(下)关于体积公式的推导过程中已经渗透了定积分的思想方法．教学中，可通过对球的体积公式的推导及曲边梯形面积公式的推导作一简单的回顾，采用类比的方法，遵循“有限→无限→有限、连续→离散→连续、精确→近似→精确”的原则，化曲为直，化整为零，变未知为已知．关于旋转体体积公式的计算，课本例3显然可直接应用圆锥的体积公式求出圆锥的体积．之所以安排这道例题，是为了让学生明白用定积分求旋转体的体积是一种普遍适用的方法，教学中切勿一带而过．在讲完例3后，要注意总结求旋转体体积的解题步骤．本课的练习要紧紧围绕旋转体的体积公式展开，让学生通过一定的练习，加深对定积分概念的了解，并达到熟练掌握公式的教学效果．4．本节课是定积分应用的一个高潮，有必要在知识和能力方面有所突破，即安排一些综合性较强的例题或课外练习题，让学有余力的学生继续探讨，以提高他们分析问题与解决实际问题的能力．教学过程(一)铺垫引入，创设情景1．铺垫引入①数轴可表示什么样的图形？②什么样的图形叫做圆？③什么样的图形叫做球？(多媒体演示球的形成过程)2．创设情景(1)问题一下列几何体是如何形成的？(多媒体演示形成过程)①圆柱②圆锥③花瓶归纳：①什么叫旋转体？(平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周所成的几何体)②旋转体形成的两个要素是什么？(一是被旋转的平面图形，二是旋转轴)③举一些日常生活中的旋转体的例子，并说明被旋转的平面图形及旋转轴分别是什么．(多媒体演示一些旋转体)(2)问题二如何求旋转体的体积？学生展开讨论并提出解决的几种方案，估计会出现下列情况：①对于特殊的旋转体(如球、圆柱、圆锥)，可直接运用公式求解；②对于一般的旋转体，可用物理中测量不规则物体的体积的方法求解；③像求曲边梯形的面积一样，推导出一个计算一般的旋转体的体积公式．(二)类比启迪，推导公式1．复旧：先回忆曲边梯形面积公式的推导思路，再回顾球的体积公式的推导过程(多媒体演示)．2．类比：将球的体积公式的推导过程与曲边梯形面积公式的推导过程进行对比：有限→无限→有限，精确→近似→精确．3．探求：在计算机中虚拟旋转体的分割过程的“真实”情景，“放大”微观世界，然后由师生共同归纳旋转体体积的推导过程．(如图55－1)①分割：将闭区间[a ，b]用n －1个分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜②近似代替：过各分点x i 作垂直于x 轴的平面，将旋转体割成厚度个小圆柱体，它的底面半径可以用区间上任一点ξi 的纵坐标f(ξi )来近就可用与这个区间对应的小圆柱的体积来近似代替③作和：当n 很大时，每个薄片可以近似地看作圆柱，圆柱的底面半径近似地等于区间左端点的函数值．这样旋转体的体积近似地等于n 个圆柱的体积之和．④求极限：4．深化：[C]A ．由y ＝x 2、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的曲边梯形的面积B ．由y ＝x 、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的曲边梯形的面积C ．由y ＝x 、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积D ．由y ＝x 2、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积②思考2：猜想下列图中阴影部分的图形绕对称轴旋转所得的旋转体的体积公式(三)范例讲解，运用公式三角形绕x轴旋转而成的旋转体的体积．解：依题意知直线与两坐标轴围成的图形为△OSA，其中S(h，0)，A(0，r)．△OSA绕x轴旋转而成的旋转体为圆锥．由旋转体的体积公式得：归纳：求旋转体体积的解题步骤：①根据题意画出草图；②找出曲线范围，确定积分上、下限和被积函数；③写出求体积的定积分表达式；④计算定积分，求出体积．变式：利用旋转体的体积公式，求出底半径为r、高为h的圆锥的体积公式．学生讨论后，归纳出两种解法：解法一：(以高所在直线为x轴，以底面半径所在直线为y轴，建立直角坐标系求解．)解法二：(以高所在直线为y轴，以底面半径所在直线为x轴，建立直角坐标系求解．)绕x轴旋转一周所成旋转体体积的2倍，y轴旋转一周所成旋转体体积的2倍．转而成的旋转体的体积．(四)练习反馈，巩固公式[C]A．单位圆面积的一半B．以1为半径的球的表面积的一半C．以1为半径的球的体积的一半D．以1为半径的球的体积练习2：由曲线y＝sinx，x∈[0，π]与x轴所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积是________练习3：椭圆x2＋3y2＝12绕y轴旋转所得的旋转体的体积是[D]B．9πD．32π练习4：抛物线y2＝4x被其通径所截得部分绕x轴旋转得旋转体的体积是[A]A．2πB．3πC．6πD．8π转体的体积是________(五)归纳小结，内化公式布置作业1．必做题：教科书习题4．4第2、4题．2．选做题：(1)复习参考题四(B组)第5题．(2)(2001年全国新课程高考数学试题)某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A是双曲1线的顶点，C、C1是冷却塔上口直径的两个端点，B、B1是冷却塔下口直径的两个端点，已知AA1＝14m，CC1＝18m，BB1＝22m．(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程；(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m3，塔壁厚度不计，π取3.14)．说明：本题是一道综合性较强的试题，主要考查了选择适当坐标系建立曲线方程和解方程组等基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力．。

定积分的应用教学设计比赛一等奖3.1定积分的应用：平面图形的面积教材分析:《定积分的简单应用》是人教版选修2-2第1章第7节的内容，从题目中可以看出这节教学的要求，就是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。

在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。

教学构思：应用型的课题是培养学生观察分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材，本节课通过创设情景、问题探究、抽象归纳、巩固练习、应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生们掌握定积分解题的规律，体会数学学科研究的基本过程与方法。

学情分析：知识层面，学生已经学习了定积分的定义，由来及微积分基本定理。

在定积分与曲边梯形面积关系中，许多学生默认相等，这就与定积分本质相违背。

能力层面，学生有一定的推理和探索能力，面对知识点，学生还需有归纳概括的能力。

还需体会数学学科研究的基本过程与方法。

情感层面，学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，有待加强。

教学理念：以学生发展为主线。

新型的教学方式，新型的呈现方式。

教学目标：知识与技能：1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.过程与方法：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。

情感态度与价值观：通过教学过程中的观察思考总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识应用于生活的意识。

教学重点：利用定积分求平面图形的面积教学难点：将实际问题化归为定积分的问题。

如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

教学方法：问题诱导启发讨论探索结果，直观观察、抽象归纳、总结归纳等方式，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围。

1.7.1定积分在几何中的应用学习目标：1．体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形面积的思想方法； 2．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 3．理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理。

学习方法：情境一：展示精美的赵州桥图片，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积问题1：桥拱与水面之间的切面的面积如何求解呢？问题2：需要用到哪些知识？（定积分） 问题3：求曲边梯形的思想方法是什么？ 问题4：定积分的几何意义是什么？ 问题5：微积分基本定理是什么？情境二：利用定积分求平面图形的面积例1． 计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积. 问题1：你能在平面直角坐标系内画出两条抛物线吗？ 问题2：能在图中找出所要求的图形吗？（用阴影部分表示出来） （如右图）问题3：这个图形以前见过吗？有没有直接的公式求它的面积吗？问题4：既然没有直接的公式求其面积，那能不能转化成我们学过的曲边梯形的面积来间接求解呢？（可看做两个曲边梯形的面积之差，进而可以用定积分来解决）解：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得到交点横坐标为0=x 或1=x xyO A B CD 2x y =xy =211 -1-14xyO 8422∴ OABD OABC S S S 曲边梯形曲边梯形-=dx x ⎰=1dx x ⎰-1210310233132x x -=313132=-= 情境三 学生探究：例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析：模仿例1，先画出草图（左图），并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．问题1：阴影部分图形是曲边梯形吗？问题2：不是曲边梯形怎么办？能否构造出曲边梯形来呢？问题3：如果转化成两部分的面积和，应该怎样作辅助线？（过点（4,0）作x 轴的垂线将阴影部分分为两部分）问题4：两部分面积用定积分分别应该怎样表示？（注意积分上下限的确定） 问题5：做辅助线时应该注意什么？（尽量将曲边图形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合成的图形.） 规范的解题过程此处略去思考：1.本题还有没有其它的解决方案？（可以将此阴影部分看做一个曲边梯形和一个三角形的面积之差）2.上面的解法是将x 看作积分变量，能不能将y 看作积分变量？尝试解决之。