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1．7定积分的简单应用1．7.1 定积分在几何中的应用双基达标限时20分钟1．由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为( )．A．ln 2 B．ln 2－1 C．1＋ln 2 D．2ln 2解析画出曲线y＝1x(x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积．＝ln 2－ln 1＝ln 2.故选A.答案A2．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )．A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④答案 D3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为( )．A.163B.83C.43D.23解析 画出曲线y ＝x 2和直线y ＝2x ，则所求面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4.∴A (2,4)，O (0,0)．＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－0＝43.故选C.答案 C4．由曲线y ＝2x 2，及x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积为________． 解析 由题意画草图：答案 18 5．直线x ＝π2，x ＝3π2，y ＝0及曲线y ＝cos x 所围成图形的面积________． 解析 由题意画草图：由图形面积为答案 26．求由曲线y ＝x 3及直线y ＝2x 所围成的图形面积． 解 由⎩⎨⎧y ＝x 3，y ＝2x ，解得x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－ 2.交点为(－2，－22)，(0,0)，(2，22)． 所求面积S 为：综合提高 限时25分钟7．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( )．解析 当f (x )＞g (x )时，所求面积为；当f (x )≤g (x )时，所求面积为.综上，所求面积为.答案 C8．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围图形的面积为( )．A ．2 B.83 C.43D.23＝23＋43＝2.答案 A9．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．解析 由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6， 由⎩⎨⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC － (－x 2＋4x －3)d x＝12×2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x ⎪⎪⎪31＝2－43＝23.答案2310．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若f (x )d x ＝2f (a )成立，则a 的值为________．所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4， 即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1或a ＝13.答案 －1或1311．直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 值及直线方程． 解 由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝x －x 2，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝1－k ，y ＝k －k 2.(0<k <1)即⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪1－k0＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10.∴1－k 36＝112， ∴(1－k )3＝12，k ＝1－342.∴直线方程为y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－342x . 12．(创新拓展)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈[1，2]，求曲线y ＝f (x )与x 轴、直线x ＝0、x ＝2所围成的图形的面积．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
2013年高中数学 1.7 1定积分的应用教案新人教A版选修2-2一、主要内容：1．面积：了解定积分的元素法，掌握用两条、三条、四条简单曲线所围平面图形的面积，并能根据图形选用以y作积分变量以简化计算过程；会用参数方程求解常用图形（圆、星形线）的面积，能用极坐标求用极坐标表示的圆、阿基米德螺线的图形的面积2．体积：掌握简单图形分别绕x轴、y轴旋转所得旋转体体积，能在平行截面面积为已知时求立体的体积3．弧长：掌握用参数方程所表示的常用曲线（圆、星形线等）的弧长4．功：会求在变力沿直线所作的功5．习题课2学时二、具体的内容分配如下：习题6－1：定积分的元素法，平面图形的面积, 旋转体体积(1)习题6－2：旋转体体积(2)，平面曲线的弧长，变力沿直线所作的功总习题六：三、习题内容：习题6—1一、填空题1、曲线x e y =，x 轴及直线()ln ,ln 0.x a x b b a ==，围成图形面积 是_____2、由曲线θcos 2a r =所围成图形的面积是 二、选择题1、曲线3x y =与直线1,0==y x 围成的面积是（ ） A ．43 B ．1 C ．34 D ．32 2、由x 轴、曲线2x y =和直线32=x 围成的图形面积被直线k x =分成两个相等的面积，则 k 应为（ ）A ．322- B ．612 C ．1 D ．312-三、求解题1、用定积分计算下列图形的面积 （1）由曲线222,1x y x y =+=围成（2）由曲线21y x=与直线4,==y x y 围成（3）由曲线x y 42=与圆()4122=+-y x 围成2、求星形线｛33cos sin x a ty a t==所围成0.的面积 3、求以下极坐标所表示的图形的面积 （1）心形线()θcos 1-=a r 围成（2）对数螺线a r e θ=对应θ从0到2π的一段与极轴所围成 （3）伯努利双纽线θ2cos 22a r =右边一支（即对应θ从4π-到4π的一段）习题 6—2 一、填空题1、连续曲线()x f y = ()()0≥x f ，直线b x a x ==,()b a 及x 轴所围成图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积是______2、曲线2x y =及直线1=y 所围成图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是_______ 二、选择题1、由曲线2x y =与直线x y =围成平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积是（ ）A ．()dx x x ⎰-102π Ｂ．)21d y y π-⎰Ｃ．()⎰-1042dx x x π Ｄ．()dy y y ⎰-102π2、底面为圆422=+y x ，垂直于x 轴的所有截面都是正方形的立体体积为（ ）A. 3121 B. 3210 C. 3242 D. 3185 三、解答题1、求下列旋转体的体积（1）曲线x y sin = ()π≤≤x 0与x 轴所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转（2）曲线x y =与直线2-=x y ，0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y轴旋转（3）星形线｛ta y t a x 33sin cos == ()π≤≤t 0绕x 轴旋转2、求底面为园222R y x =+，而垂直于x 轴的所有截面都是等边三角形的立体的体积习题6—3一、求下列弧线段的长度1、星形线｛ta y ta x 33sin cos ==的全长 2、抛物线x y 2= 从()2,1到()4,4的一段二、根据虎克定律，弹簧的倔强系数为k ，把弹簧拉长x 的拉力为kx f =，求将一根弹簧从原长拉伸x 的长度，外力做的功三、在一个半径为R 的半球形容器里盛放着密度为ρ的液体，求为将液体吸出容器至少应做多少功四、水渠的截面为一等腰梯形，上、下底分别为2m 和1m ，深为2m ，水渠上有一闸门，求渠水满时对闸门的压力（水的密度31000m kg=ρ）。
§1.7.1 定积分在几何中的应用【学情分析】：在上一阶段的学习中，已经学习了利用微积分基本定理计算单个被积函数的定积分，并且已经理解定积分可以计算曲线与x轴所围面积。
本节中将继续研究多条曲线围成的封闭图形的面积问题。
学生将进一步经历到由解决简单问题到解决复杂问题的过程，这是一个研究问题的普遍方法。
学生能正确的理解定积分的几何意义，是求面积问题的基础。
但是对各种图形分割的技巧以及选择x－型区域或y－型区域计算是比较陌生的。
突破点是一定要借助图形直观，让学生清楚根据曲线的交点划分图形（分块）以及根据曲线的特点（解出变量x还是y简单）选择x－型区域或y－型区域。
【教学目标】：（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．【教学重点】：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。
（2）数形结合的思想方法【教学难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．教学环节教学活动设计意图一、例题1（1）师：我们已经看到，定积分可以用来计算曲边梯形的面积，事实上，利用定积分还可以求比较复杂的平面图形的面积。
（2）例题1 计算由曲线22,y x y x==所围图形的面积S。
1DC BA1y2=xy=x2O xy生：思考，讨论师（引导，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，画图并确定图形大致形状、引入课题的面积．师：我们把这个题目提升为一般类型：即求两条曲线所夹面积：若函数()f x 和()g x 在区间[],a b 上连续且在[],a b 上有()()f x g x ≥,那么由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所围成的有界区域面积为b[()()]d aA f x g x x =-⎰＝b()d af x x ⎰－b()d ag x x ⎰－＝A y=g(x)baOxyy=f(x)我们看到，尽管我们的证明的示意图中曲线()y f x =与()y g x =的均在x 轴上方，但是，由1.6的学习我们可以知道，曲线()y f x =或()y g x =在x 轴下方也不影响我们的证明，结论仍然是正确的。
