第九章期权定价的有限差分方法
在本章中，我们将给出几个简单的例子来说明基于偏微分方程（PDE）框架的期权定价方法。具体的方法的是利用第五章中讲述的有限差分方法来解决Black-scholes偏微分方程。在9.1节中，我们会回顾衍生品定价的数值解法以及指出如何利用适当的边界条件来模拟一个特定的期权。在9.2节中我们将会应用简单的显式（差分）方法来求解一个简单的欧式期权。正如你已熟知的那样，这种方法只能解出一些可以从金融角度来解释的不稳定的数值解。在9.3节中我们将可以看到使用完全的隐式方法可以解决这种不稳定问题。在9.4节中我们将介绍Crank-Nicolson方法在障碍期权定价中的应用，它可以看做是一种显式与完全隐式方法的混合。最后，在9.5节中，我们会看到迭代松弛方法可以用于解决使用全隐式方法来解决美式期权定价时由于存在提前执行的可能性而导致的自由边界问题。
9.1 使用有限差分法解BS方程
在2.6.2节中，我们给出了一个标的资产在时间t的价格为)(t
S的期权，该期权的价格是一个函数),
S
(t
f满足偏微分方程
(t
S
f，且),
（9.1）通过不同的边界条件可以让这个方程刻画不同的期权的特征。在某些地方可能因为假设的改变或者对路径依赖的改变而导致方程式的具体形式改变，但是此处仅仅作为一个起点，帮助读者了解如何应用基于有限差分方法来解决期权定价的问题。
正如我们在第五章中遇到的情况那样，要用有限差分方法来解偏微分方程，在此处我们必须建立资产价格和时间的离散网格。设T是
期权的到期日，而Smax是一个足够大的资产价格，在我们所考虑的时间范围内，)(t
S的数值不能超过Smax。设定Smax是因为偏微分方程的区域关于资产价格是无边界的。但是为了达到计算的目的，必须要求它是有界的。Smax相当于+∞。网格通过点(S,t)取得，其中(S,t)满足
δ,
M=
S
=
S
S，Sδ，Sδ2，……,max
δ。
t
N=
t, tδ，tδ22，……,T
=
本章中使用网格符号为,我们回顾一下（9.1）方程式的几种不同解法：
向前差分
向后差分
中心（或对称）差分
对于第二个差分式子，有
至于究竟采用哪种方法进行离散化，我们将在后面的实际操作过程中对显式和隐式的方法作出详细的阐述说明。
另一个值得我们注意的问题是如何设置边界条件。对于执行价格
为K 的欧式看涨期权，其终值条件为
对于执行价格为K 的欧式看跌期权，其终值条件为
但是当我们涉及到资产价格的边界问题时，这个问题就变得复杂了。因为在数学上要求必须在一个有界区域里来解这个方程，而资产价格的区域是无界的。我们可以通过一些例子来说明这个问题。
例9.1 我们首先考虑一支简单的欧式看跌期权。当资产的价格)(t S 非常大时，看跌期权几乎是一文不值，因为我们几乎可以肯定的是其执行价低于现价：
Smax 的值必须足够大才能使得假设的边界条件是合理的。当资产的价格0)(=t S 时，鉴于资产的价格符合几何布朗运动的动力学模型，我们可以认为资产的价格会保持为0；因此到期收益为K ，在时间t 贴现值为
其边界条件可以写为：
例9.2 我们可以从9.1推导出处理普通欧式看涨期权的方法。不妨设资产的价格0)(=t S ,那么在任何时刻t ，我们都可以知道该期权价值为0：
而对于一个足够大的资产价格)(t
S,我们可以肯定的是该期权一定为价内期权，即具有大于零的价值的期权，那么期满行权我们可以得到收益为K
(。将终值K贴现到t时刻，并且考虑标的资产的价
)
S
T
格是一个函数)(t
S，那么我们根据无套利定价原理可以得到其边界条件如下：
具体条件可以写为：
对于资产价格S较大时，需要一个替代的边界条件，但这时候必须要求期权的Δ为1；在这种情况下，我们所提出的边界条件一般针对未知函数的倒数，而非函数本身。这便是数学物理方程中所谓的Neumann边界条件。我们不会采取这种做法，因为这将使得数值解法复杂化了。
当我们面对障碍式期权时，事情可能就变得简单了。对敲出期权来说，例如一个向下触及失效看跌期权，在标的资产价格触碰到障碍时期权作废，价值为0。向上触及失效看涨期权的情况也是类似的，它们的优点都在于我们计算必须涉及到的边界即域是自然有界的（显然存在的）。美式期权的定价就显得更加复杂难以处理了，因为这涉及到了提前执行边界的问题。我们必须考虑什么水平的资产价格和在什么时间是期权的最佳实施点。因此，在我们解决问题的过程中必然产生一个自由边界。这就需要为不同的奇异期权设定不同的边界条件。如何计算出正确的边界条件以及使用数值方法逼近正确的结果，这依赖于对具体期权的选择。
利用显式法求解欧式期权
由于初次尝试解方程（9.1），我们不妨考虑一个简单的欧式看跌期权。我们分别用中心差分对S 进行求导，用向后差分对时间进行求导来逼近求解。这并不是唯一的方法，但是无论采取什么样的方法都必须保证边界条件是符合特定期权模型的。例9.1中的边界条件差分后的结果可以用以下的方程式来表示：
（9.2）
需要特别指出说明的是，由于存在终点条件的假设，因此方程必须适当地用回推法求解。不妨设（9.2）式中有j=N ，由于存在给定的终点条件，我们有一个未知量,1i N f ，可以认为它是关于三个已知量的函数。对其他的每个时间层（i ）作同样的考虑。整理方程，我们可以得到：
（9.3）
此时有
function price=EuPutExpl(S0,K,r,T,sigma,Smax,dS,dt)
%建立网格，并且在必要时调整增量
M=round(Smax/dS);
dS=Smax/M;
N=round(T/dt);
dt=T/N;
matval=zeros(M+1,N+1);
vetS=linspace(0,Smax,M+1);
veti=0:M;
vetj=0:N;
%建立边界条件
matval(:,N+1)=max(K-vetS,0);
matval(1,:)=K*exp(-r*dt*(N-vetj));
matval(M+1,:)=0;
%建立三对角矩阵
a=0.5*dt*(sigma^2*veti-r).*veti;
b=1-dt*(sigma^2*veti.^2+r);
c=0.5*dt*(sigma^2*veti+r).*veti;
%求解方程
for j=N:-1:1
for i=2:M
matval(i,j)=a(i)*matval(i-1,j+1)+b(i)*matval(i,j+1)+...
c(i)*matval(i+1,j+1);
end
end
%返回价格，有可能在网格外线性插值生成
price=interp1(vetS,matval(:,1),S0);
图9.1 简易欧式期权显式差分方法定价的MATLAB代码
定价不是直接利用MATLAB来完成的。图9.1中是定价所使用的MATLAB的程序代码，另外计算还需要给出Smax的值以及上文提到的两个离散步骤。唯一一点需要注意的是，在数学符号中幂指数可以从0开始，但是在MATLAB的矩阵计算中，幂指数是从1开始的。另外，如果资产的初始价格不在网格上，那么我们只能够寻找两个相邻点进行插值。一般我们采取比较粗略的线性插值。但是如果有需要计算分析期权价格的敏感性（在实际案例中经常需要这样做）则需要进行更加复杂的插值计算。
>> [c,p] = blsprice(50,50,0.1,5/12,0.4);
>> P
P = 4.076
>> EuPutExpl(50,50,0.1,5/12,0 .4,100,2,5/1200)
ans = 4.0669
>> [c,p] = blsprice (50,50,0.1,5/12,0.3 ) ;
>> P
P =2.8446
>> EuPutExpl(50,50,0.1,5/12,0.3,100,2,5/1200)
ans =2.8288
我们可以看到，数值方法能够提供比较精确的结果，为了提高精度，我们也可以采用更加精细的网格进行计算。
>> EuPutExpl(50,50,0.1,5/12,0.3,100,1.5,5/1200)
ans =2.8597
>> EuPutExpl1(50,50,0.1,5/12,0.3,100,1,5/1200)
ans =-2.8271e+022
在此处我们看到在第五章中分析过的不稳定数值解的例子。有一种解决方案就是使用隐式方法进行求解。另外一种方法则是进行稳定性分析，然后在从离散化过程中导出边界。此处我们不会再使用第二种方案，这与第五章中对热传导方程进行的简易变换处理方法十分相似。接着，本章在下一节中将从金融的角度来阐释不稳定性，这暗示我们需要通过改变变量来改变方程式。
9.2 显式法不稳定性的金融学解释
图9.2 显式法（a ）与隐式法（b ）的求解BS 方程的直观图示
在显式法中，我们通过),(t t S S f δδ++,),(t t S f δ+和),(t t S S f δδ+-三个值得到),(t S f 。这看起来与我们在7.4这部分（见图9.2（a ））介绍过的三叉树方法有点类似。这样方便我们从显式法推导出新的方
（a ）
法。如下【参考文献1中第18章】，假设在点(i,j)和点(i,j+1)对S 求一阶导数和二阶导数是相等的：
另外一种方法可以取得同样的效果，用1,-j i f 代替9.2式右侧的
j i f ,。这种方法引入的误差是有界的，并且这种方法的网格细化至趋
于零。
改变过后的替换后的差分方程变成了：
也可写成（当i=1,2,…,M-1且j=1,2,…,N-1时）：
同时有：
这个方法仍然是显式的而且仍然受到不稳定性的影响。系数?i a ，
?i b 以及?i c 本身也对此作出了很好的解释。回顾之前我们使用过的二叉树和三叉树方法，我们是在风险中性的假设下将后继节点对期权的预期价值进行贴现得到期权的价格。事实上，上述系数，包括)1/(1t r δ+可以看做是长度为t δ的时间间隔的贴现系数。
此外我们还有：
这也说明了上述系数等于概率乘以一个折现系数。他们是否是风险中性的概率呢？我们应当首先测试资产价格在时间间隔tδ内增长的值：
这正是我们所期望的风险中性世界，对于其方差的增加，有：
此外，当tδ极小时有：
这也是服从风险中性假设的几何布朗运动的。因此我们可以认为排除一些小问题后，显式法是可以和三叉树方法取得同样的效果的。即“概率”dπ和0π可能是负数。细心的读者可能会发现一个循环，在第五章中我们学习了一个线性组合的系数的稳定性条件。在热传导方程中，我们必须确定这个组合是一个凸组合，即系数是正的并且相加等于1。就像一个概率函数。
有一种解决这个问题的方法，就是【参考文献1】中通过改变变量来实现的。通过Z=lnS来代换重写B-S方程，我们得到了实现稳定性的简单条件。然而，变量的改变对某些奇异期权来说却也未必是好事。在下一节中我们将使用隐式法来避免数值不稳定的问题。
9.3 使用全隐式法对欧式期权定价
为了克服显式法带来的不稳定性问题，我们采用全隐式法。首对时间t采用向前差分求其偏导数。我们得到一个网格方程：
也可写成（当i=1,2,…,M-1且j=1,2,…,N-1时）：
此时有：
此时我们有需要使用3个未知量去计算出一个未知量（见图9.2b）。首先要注意的是，在每一个时间层，我们有M-1个方程式和N-1个未知量。边界条件决定两个未知量，终点条件也给出了最后时间层的值。正如显式法的案例那样，我们必须用回推法，解决当
j=N-1,…,1情况下的所有线性方程组。在时间层j，得到的方程组如下：
值得我们注意的是，上述的矩阵是个三对角矩阵，并且相对于时间层i来说它是一个不变的常量。因此我们可以使用LU因式分解来解决问题1。所有工作的MATLAB代码在图9.3中给出。
1由于该矩阵具有稀疏结构，编写特定的代码来解决这类线性系统更加容易。此处我们只使用现成的
MA TLAB功能。
function price = EuPutImpl(S0,K,r,T,sigma,Smax,dS,dt)
%建立网格并在必要时调整增量
M = round(Smax/dS);
dS = Smax/M;
N = round(T/dt);
dt = T/N;
matval = zeros(M+1,N+1);
vetS = linspace(0,Smax,M+1)';
veti = 0:M;
vetj = 0:N;
% 建立边界条件
matval(:,N+1) = max(K-vetS,0);
matval(1,:) = K*exp(-r*dt*(N-vetj));
matval(M+1,:) = 0;
% 建立三对角矩阵系数
a = 0.5*(r*dt*veti-sigma^2*dt*(veti.^2));
b = 1+sigma^2*dt*(veti.^2)+r*dt;
c = -0.5*(r*dt*veti+sigma^2*dt*(veti.^2));
coeff = diag(a(3:M),-1) + diag(b(2:M)) + diag(c(2:M-1),1); [L,U] = lu(coeff);
% 求解线性方程组
aux = zeros(M-1,1);
for j=N:-1:1
aux(1) = - a(2) * matval(1,j); % other term from BC is zero matval(2:M,j) = U \ (L \ (matval(2:M,j+1) + aux));
end
% 返回价格，如果初始价格在网格外则可能进行性线性插值
price = interp1(vetS, matval(:,1), S0);
图9.3 全隐式方法求解简易欧式期权的MATLAB代码
>> [c,p] = blsprice(50,50,0.1,5/12,0.4);
>> P
P = 4.0760
>> EuPutlmpl(50,50,0.1,5/12,0.4,100,0.5,5/2400)
ans = 4.0718
这个计算结果是非常精确的，这是因为使用了排除不稳定因素存在的更加精细的网格的结果。另外一种方法就是通过Crank-Nicolson 方法来提高精度，这将在后面的章节中做进一步的介绍。
9.4 使用Crank-Nicolson方法对障碍式期权定价
Crank-Nicolson方法已经在5.3.3节中提到过，它通过结合使用显式法和隐式法来提高数值解的精确度。在B-S模型的求解中应用此方法可以得到：
上述方程可以改写为：
此时有：
我们首先考虑在2.7.1中介绍过的向下触及失效期权，假设该障碍期权是处于连续监测下的。在这种情况下我们需要考虑
S≤S≤
b Smax，边界条件是：
综合考虑上述边界条件，我们可以将方程（9.5）改写为如下矩阵形式：
同时，有：
相应的MATLAB代码在图9.4中列出。
这个结果可以同2.7.1中通过定价分析公式得到的结果进行比
较。
>> DOPut (50,50,0.1,5/12,0.4,40)
ans =
0.5424
>> DOPutCK(50,50,0.1,5/12,0.4,40,100,0.5,1/1200)
ans =
0.5414
障碍期权还有很多种，可以在【参考文献9】中找到更多的关于障碍式期权定价的偏微分方程应用。
function price = DOPutCK(S0,K,r,T,sigma,Sb,Smax,dS,dt)
% 建立网格并且在必要的时候调整增量
M = round((Smax-Sb)/dS);
dS = (Smax-Sb)/M;
N = round(T/dt);
dt = T/N;
matval = zeros(M+1,N+1);
vetS = linspace(Sb,Smax,M+1)';
veti = vetS / dS;
vetj = 0:N;
% 建立边界条件
matval(:,N+1) = max(K-vetS,0);
matval(1,:) = 0;
matval(M+1,:) = 0;
% 建立系数矩阵
alpha = 0.25*dt*( sigma^2*(veti.^2) - r*veti );
beta = -dt*0.5*( sigma^2*(veti.^2) + r );
gamma = 0.25*dt*( sigma^2*(veti.^2) + r*veti );
M1 = -diag(alpha(3:M),-1) + diag(1-beta(2:M)) - diag(gamma(2:M-1),1);
[L,U] = lu(M1);
M2 = diag(alpha(3:M),-1) + diag(1+beta(2:M)) + diag(gamma(2:M-1),1);
% 求解线性方程组
for j=N:-1:1
matval(2:M,j) = U \ (L \ (M2*matval(2:M,j+1)));
end
% 返回价格，这个结果可能因为初始资产价格在网格外而有线性插值产生。
price = interp1(vetS, matval(:,1), S0);
图9.4 Crank-Nicolson方法对向下触及失效期权定价的MATLAB代码。
9.5 美式期权定价
有限差分方法在对简单的欧式期权进行定价时的确是十分方便的，但是这在美式期权定价中却显得并不是很实用。我们将这个方法应用于美式期权定价的时候，精确的公式就不大适用了。这是因为美式期权定价时必须考虑存在提前行权的可能性。根据无套利原理，在
(S,t)空间中任一点的期权的价格不能低于其内在价值（即立刻行权的所得收益）。对于一个一般的美式期权，这意味着：
从一个实际操作来看，在显式法中要充分考虑这种情况是很困难的。但是我们可以做一些修改以便能够简单的应用9.2节中提到的方法。在计算得到,i j f后，我们可以检测提前行权的概率。并且可以像我们处理二叉树模型那样设：
由于存在着不稳定性问题，我们可能更加倾向于使用隐式法。但是这样处理后又导致了另一个复杂的问题，即根据上述关系要求,i j f
必须是已知的，而在隐式法中却并不能已知,i j f要解决这个问题，我们可以采取一个迭代的方法来求解这个线性方程组，而不是基于LU 分解直接求解。在3.2.5节中我们介绍了Gauss-Seidel松弛迭代算法。为了方便我们先回顾一下这个方法。给出一个线性方程组，如下：
我们将使用下面的迭代方法，初始点为(0)
X:
其中k是迭代计数器，而ω是松弛变量。该迭代将会一直进行到满足收敛条件，如：
其中ε是容限参数。
现在我们将尝试使用Crank-Nicolson方法对美式期权进行定价。我们要解决的是和（9.6）式大致相同的一个线性方程组，但是这里
的边界条件有一点不同，价值为0的期权不用再考虑是否有障碍。我们要用回推法求解的线性方程组如下：
其中右边有：
式子中额外增加的一项是为了将看跌期权独有的边界条件带入模型方程。在使用松弛方法的时候应当考虑矩阵
M的三对角性质，
1
并且这能够适应美式期权提前执行的特征。设i g为内在价值，i=1，2，…，M-1，同时S
=。对于每个时间层j，我们进行如下迭代：
i
Sδ
当计算从一个时间层进行到下一个时间层的时候，将上一个时间层的计算结果作为下一个时间层迭代计算的初始向量可能是更加合理的。完成上述步骤需要的代码在图9.5中将列出。使用该代码有点麻烦，原因在于MATLAB的向量幂运算是从1开始的，而现实却要求从0开始。这样我们便不能建立一个包含所有,i j f的向量矩阵，同时系数矩阵
M也无法储存。上述迭代最好是直接通过α、β和γ计算得1
出。
该代码的实际效果可能要比MATLAB金融工具箱中附带的使用二叉树方法对美式期权定价的binprice函数（见7.1节）要好。
>> tic, [pr, opt] =
binprice(50,50 ,0.1,5/12,1/1200,0.4 ,0) ; , toc
Elapsed time is 0.408484 seconds.
>> opt(1,l)
ans =
4.2830
>>
tic ,AmPutCK( 50,50,0.1,5/12,0.4,100,1,1/600,1.5,0.001),toc ans =
4.2815
Elapsed time is 0.031174 seconds.
>>
tic,AmPutCK(50,50,0.1,5/12,0.4,100,1,1/600,1.8,0.001),toc ans =
4.2794
Elapsed time is 0.061365 seconds.
>>
tic,AmPutCK(50,50,0.1,5/12,0.4,100,1,1/600,1.2,0.001),toc ans =
4.2800
Elapsed time is 0.023053 seconds.
>>
tic,AmPutCK(50,50,0.1,5/12,0.4,100,1,1/1200,1.2,0.001),toc
ans =
4.2828
Elapsed time is 0.036693 seconds.
>>
tic,AmPutCK(50,50,0.1,5/12,0.4,100,1,1/100,1.2,0.001),toc ans =
4.2778
Elapsed time is 0.009989 seconds.
function price = AmPutCK(S0,K,r,T,sigma,Smax,dS,dt,omega,tol)
M = round(Smax/dS); dS = Smax/M; % 建立网格
N = round(T/dt); dt = T/N;
oldval = zeros(M-1,1); %Gauss-Seidel更新向量
newval = zeros(M-1,1);
vetS = linspace(0,Smax,M+1)';
veti = 0:M; vetj = 0:N;
% 建立边界条件
payoff = max(K-vetS(2:M),0);
pastval = payoff; % values for the last layer
boundval = K*exp(-r*dt*(N-vetj)); % 边界值
% 建立系数矩阵和式子右边矩阵
alpha = 0.25*dt*( sigma^2*(veti.^2) - r*veti );
beta = -dt*0.5*( sigma^2*(veti.^2) + r );
上市公司期权定价方法 对于实施股票期权激励的上市公司而言，期股定价是一个非常敏感且棘手的问题，关乎期权方案的成败，那么，该如何合理的对期权进行定价呢？ 对上市公司来说，必须采用科学的股票期权价值计量方法。 员工股票期权的会计处理问题历来是会计理论与实务界的一个热点问题，其中股票期权是否应费用化以及如何对股票期权进行可靠计量是两个主要方面。安然事件后，会计界对股票期权费用化的呼声日益引起人们的重视。2004年3月发布第123号准则，“以股票为酬劳基础的会计处理方法”的修改征求意见稿，取消了原来可以采用APB25号意见书中的内在价值法计量加表外披露的选择，从2004年9月开始强制采用公允价值费用化的股票期权。 公允价值作为一种全新的计量属性的观念，发端于20世纪80年代美国证券交易委员会与金融界之间关于金融工具，尤其是衍生金融工具的确认、计量的争议。2000年2月发布的第7号财务会计概念公告《在会计计量中使用现金流量和现值》提出，公允价值主要适用于那些以未来现金流量为基础对资产或负债进行初始确认时的计量、新起点计量和后续摊配技术，将企业的商誉、衍生金融工具等软资产的确认和计量作为公允价值的主要应用对象。 对于股票期权，市场价格为公允价值的确定提供了最好的依据，企业应根据市场价格或按照相同条件下可买卖期权的市场价格计算股票期权的公允价值。但是，由于员工股票期权是一种不可转让且受制于受权条件的期权，在市场上寻觅与员工股票期权的期限和条件相同的买卖期权是极其困难的。在没有可资利用的可买卖期权的情况下，就有必要应用期权定价模型来确定期权的公允价值。 公允价值的计量工具——BS模型 创立：1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·墨顿（Robert Merton）和斯坦福大学教授麦伦·斯科尔斯（Myron Scholes）。他们创立和发展的布莱克——斯科尔斯期权定价模型，简称B-S模型。 评价：瑞士皇家科学协会赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济学科中的最杰出贡献。芝加哥期权交易商马上意识到它的重要性，很快将B-S模型应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。 应用：在过去的20年终，投资者通过运用B-S期权定价模型，将这一抽象的数字公式
2015年注册会计师资格考试内部资料 财务成本管理 第九章 期权估价 知识点：二叉树期权定价模型 ● 详细描述： 一、单期二叉树模型 关于单期二叉树模型，其计算结果与前面介绍的复制组合原理和风险中性原理是一样的。 以风险中性原理为例： 根据前面推导的结果： 代入（1）式有: 二、两期二叉树模型 如果把单期二叉树模型的到期时间分割成两部分，就形成了两期二叉树模型。由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。 三、多期二叉树模型
原理从原理上看，与两期模型一样 ，从后向前逐级推进 乘数确定期数增加以后带来的主要问题 是股价上升与下降的百分比如 何确定问题。期数增加以后 ，要调整价格变化的升降幅度 ，以保证年收益率的标准差不 变。把年收益率标准差和升降 百分比联系起来的公式是： u＝1＋上升百分比＝ d＝1－下 降百分比＝ 其中：e＝自然常 数，约等于2.7183 σ＝标的资 产连续复利收益率的标准差 t＝以年表示的时间长度（每期 时间长度用年表示） 做题程序： （1）根据标准差和每期时间间隔确定每期股价变动乘数（应用上述的两个公式） （2）建立股票价格二叉树模型 （3）根据股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树。 构建顺序由后向前，逐级推进。——复制组合定价或者风险中性定价。 （4）确定期权的现值 例题： 1.如果股票目前市价为50元，半年后的股价为51元，假设没有股利分红，则 连续复利年股票投资收益率等于（）。 A.4% B.3.96% C.7.92% D.4.12% 正确答案：B 解析：r=ln(51/50)/0.5=3.96%
第十章 期权价格概述 【学习目标】 本章是期权部分的重点内容之一。本章首先从内在价值和时间价值两个方面对期权价格进行了深入解析，分析了影响期权价值的主要因素，确定期权价格的基本边界，探讨了美式期权是否需要提前执行的问题，从而画出了期权价格曲线的基本形状，最后，我们运用无套利分析的基本方法，推出了看涨期权和看跌期权之间的平价关系。学习完本章，读者应能够运用期权价格曲线，深入掌握期权价格中的内在价值和时间价值的有关内容，掌握期权价值的主要影响因素和期权价格的基本边界，掌握看涨期权和看跌期权之间的平价关系，同时理解美式期权的提前执行问题。 如第八章所述，期权交易实质上就是一种权利的交易。在这种交易中，期权购买者为了获得期权合约所赋予的权利，就必须向期权出售者支付一定的费用。这一费用就是期权费（期权价格），即期权合约本身的价格。在期权交易中，期权价格（价值1）的决定是一个重要而复杂的核心问题。自1973年以来，许多专家和学者纷纷提出各自的期权定价模型，以说明期权价格的决定和变动。在这些模型中，最著名的模型主要有如下两个：一个是布莱克－舒尔斯模型（The Black-Scholes Model ），另一个则是二项式模型（The Binominal Model ）。在第十一章，我们将对这两个模型作一简要的介绍和评价。在此之前，为了更好地说明这两个模型的内涵，我们有必要先对各种期权定价模型的理论基础——期权价格的构成、影响期权价格的主要因素以及期权价格的边界等问题进行深入的分析。 第一节 期权价格解析 尽管在现实的期权交易中，期权价格会受到多种因素的复杂影响，但从理论上说，期权价格都是由两个部分组成的：一是内在价值，二是时间价值。即 期权价格＝期权内在价值＋期权时间价值。 一、期权的内在价值 期权的内在价值（Intrinsic Value ）是指期权合约本身所具有的价值，也就是期权多方行使期权时可以获得的收益的现值。我们曾经在第八章中谈及这一概念2。例如，如果股票XYZ 的市场价格为每股60美元，而以该股票为标的资产的看涨期权协议价格为每股50美元，那么这一看涨期权的购买方只要执行此期权即可获得 1 000美元()60501001000??-?=??美元（股票期权通常为美式期权且一张期权合约的交易单位为100股股票）。这1 000美元的收益就是看涨期权的内在价值。 1 价格和价值本来是两个不同的概念，它们之间是市场价格和理论价值的区别。但是在对期权费的研究中，一般将这两者混用。所谓的期权价格（Options Price ）实际上就是期权价值（Options Value ），即期权的合理公平价值。 2 详见第八章第一节。
上市公司估值方法 08-08-05 16:12:52 作者：未知来源:价值中国网 绝对估值法（折现方法） 1.DDM模型（Dividend discount model /股利折现模型) 2.DCF /Discount Cash Flow /折现现金流模型） （1）FCFE （ Free cash flow for the equity equity /股权自由现金流模型)模型（2）FCFF模型（ Free cash flow for the firm firm /公司自由现金流模型） DDM模型 V代表普通股的内在价值， Dt为普通股第t期支付的股息或红利，r为贴现率 对股息增长率的不同假定，股息贴现模型可以分为 ：零增长模型、不变增长模型（高顿增长模型）、二阶段股利增长模型（H模型）、三阶段股利增长模型和多元增长模型等形式。 最为基础的模型；红利折现是内在价值最严格的定义； DCF法大量借鉴了DDM的一些逻辑和计算方法（基于同样的假设/相同的限制）。 1. DDM DDM模型模型法（Dividend discount model / Dividend discount model / 股利折现模型股利折现模型) DDM模型 2. DDM DDM模型的适用分红多且稳定的公司，非周期性行业； 3. DDM DDM模型的不适用分红很少或者不稳定公司，周期性行业； DDM模型在大陆基本不适用； 大陆股市的行业结构及上市公司资金饥渴决定，分红比例不高，分红的比例与数量不具有稳定性，难以对股利增长率做出预测。 DCF 模型 2.DCF /Discount Cash Flow /折现现金流模型） DCF估值法为最严谨的对企业和股票估值的方法，原则上该模型适用于任何类型的公司。 自由现金流替代股利，更科学、不易受人为影响。 当全部股权自由现金流用于股息支付时， FCFE模型与DDM模型并无区别；但总体而言，股息不等同于股权自由现金流，时高时低，原因有四： 稳定性要求（不确定未来是否有能力支付高股息）； 未来投资的需要（预计未来资本支出/融资的不便与昂贵）； 税收因素（累进制的个人所得税较高时）； 信号特征（股息上升/前景看好；股息下降/前景看淡） DCF模型的优缺点 优点：比其他常用的建议评价模型涵盖更完整的评价模型，框架最严谨但相对较复杂的评价模型。需要的信息量更多,角度更全面, 考虑公司发展的长期性。较为详细，预测时
基于Black-Scholes期权定价公式的增发新股定价模型 发表时间：2010-08-11T11:19:34.793Z 来源：《西部科教论坛》2010年第4期供稿作者：何莉1 ，涂海燕2 [导读] 通过实证研究，股票的内在价值可以由一年中股价的最小值近似代替，最终计算值接近于实际价格。何莉1 ，涂海燕2 （1.军事经济学院军队财务系湖北武汉 430035；2. 军事经济学院国防经济系湖北武汉 430035）摘要：借助于实物期权的思想和方法，建立基于BS期权定价公式的增发新股定价模型，对增发的新股进行定价，并用实例进行分析，利用此定价方法计算得出的价格与实际增发价格进行比较，探讨了增发新股价格的合理性。 关键词：增发新股 BS定价模型期权 增发新股(SEO)定价比同于首次发行(IPO)定价之处在于，它不仅要满足发行公司的集资要求，而且要保证增发公司的股本结构、财务结构稳健，并尽可能减少对二级市场股价的影响。下面用Black-Scholes方程构造的增发新股定价模型就是基于二级市场股价走势的一个定价模型。 1. 增发新股的BS定价模型 假设A公司在时刻增发新股，增发价为。若投资者预期上市后时刻股价会上涨，则购买增发的新股，这样投资者就拥有了未来股价上涨获利的机会。一旦股价上涨，投资者卖出股票获利。一旦股价下跌，投资者持股不动。因此，投资者购买新股可看作是购入了一个看涨期权。增发新股的价值也就包括两部分：一部分是股票的内在价值，另一部分是拥有的股票上涨获利的机会的价值。对获利机会的定价也就是对一个看涨期权的定 = + （1）增发新股获利机会的定价。投资者在增发日（时刻）购买新股，该项投资到时刻的期望价值为，其中：为无风险利率。 若时刻股票市价，则投资者获利为。若，则投资者持股不动，这一获利机会的价值为0。 这就是对股票上涨获利机会的定价。其中时间取决于投资者的预期，可能是1个月、2个月、3个月、半年或一年。本文涉及时间是以年为单位，且所有时间均是按交易天数计，即一年为252个交易日，半年为126个交易日。 （2）增发新股内在价值的定价。对股票内在价值的定价，理论值为 其中：为年红利；为每年红利增长率；为无风险利率。 由于我国多数投资者购买股票不是为了股息而是为了获取更多价差，且许多上市公司是采用送红股的方式代替现金红利，给股东回报，且每年支付红利无规律可循，所以不易计算该理论值。理论值对增长率非常敏感，对估计值的很小变化就会引起的很大变化，计算出来的误差较大。通过实证研究，股票的内在价值可以由一年中股价的最小值近似代替，最终计算值接近于实际价格。 （3）增发新股的定价模型 为均值为0，标准差为1的标准正态分布变量的累计概率分布函数；为增发前20日均价；为增发前1年中股价最小值；为以历史数据估计出的股价波动率。 2. 应用实例 下面我们以06年5只实施增发的股票为样本，利用BS定价模型计算增发价格，并与实际增发价格比较。 随着预期期权有效期的拉长,未来股价上涨的机会价值增大,上涨机会价值相应增加,一年期的增长价值大约是半年期增长价值的2倍左右.通过以上几种股票的研究证明半年期的B-S定价最接近于实际情况。B-S增发新股定价模型以二级市场股价为基础，定价更加体现了市场化原则。 参考文献 ［1］Black Fisher & Scholes Myron,The Pricing of Options and Corporate Liabilities［J］,Journal of Political Economy,1973(81). ［2］Merton Robert C,The Theory of Rational Option Pricing［J］,Bell Journal of Economics and Management Science ,1973(4) ［3］叶凌云.美国公司估价思想与方法最新发展评价［J］，外国经济与管理，1999（2）［4］廖理、汪毅慧.实物期权理论与企业价值评估［J］，数量经济技术经济研究2001（3）
第七章 美式期权定价 由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。但是，如果标的股票在期权到期日以前支付红利，则提前执行美式看涨期权可能是最优的。提前执行可以获得股票支付的红利，而红利的收入超过利息损失。事实上，我们将证明，投资者总是在股票分红前执行美式看涨期权。 对于美式看跌期权而言，问题变的更复杂。看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待的价值，所以对于美式看跌期权而言，即使标的股票不支付红利，也可能提前执行。提前执行可以获得执行价格的利息收入。 许多金融证券都暗含着美式期权的特性，例如可回购债券（called bond ），可转换债券（convertible bond ）， 假设： 1．市场无摩擦 2．无违约风险 3．竞争的市场 4．无套利机会 1．带息价格和除息价格 每股股票在时间t 支付红利t d 元。当股票支付红利后，我们假设股价将下降，下降的规模为红利的大小。可以证明，当市场无套利且在资本收益和红利收入之间没有税收差别时，这个假设是成立的。 ()()t e c d t S t S += 这里()t S c 表示股票在时间t 的带息价格，()t S e 表示股票在时间t 的除息价格。 这个假设的证明是非常直接的。如果上述关系不成立，即()()t e c d t S t S +1，则存在套利机会。 首先，如果()()t e c d t S t S +>，则以带息价格卖出股票，在股票分红后马上以除息价格买回股票。因为我们卖空股票，所以红利由卖空者支付，从而这个策略的利润为()()()t e c d t S t S +-。因为红利是确定知道的，所以只要()()()t S t S e c -var =0，则利润是没有风险的。 其次，如果()()t e c d t S t S +<，则以带息价格买入股票，获得红利后以除息价格卖出，获得利润为()()t S d t S c t e -+。
文献综述 金融衍生品定价：EPMS估计量的渐近分布综述
金融衍生品定价：EPMS估计量的渐近分布综述 摘要 金融衍生品的定价是以各种定价模型的为基础的。其中，金融衍生品的定价以期权定价的研究最为广泛，许多优秀的模型都是从期权定价作为出发点考虑的。期权定价是整个金融衍生品定价的核心。 本文在首先介绍了期权基本概念的基础上着重介绍了期权定价理论的产生和发展的历史进程；然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述，突出综述了在整个期权定价理论中有着重要贡献的Black-Scholes定价模型以及在此基础上出现的树图模型、蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法等在期权定价理论体系中比较重要的思想。最后分析比较了各种定价方法之间的差别以及适用范围和各自的缺陷等，并对期权定价理论的未来研究做出展望。 关键词：期权定价，Black-Scholes模型，二叉树模型，蒙特卡罗法
目录 摘要 (i) 1.期权的分类及意义 (1) 1.1 期权的定义 (1) 1.2 期权的分类 (1) 1.3 新型模式 (2) 1.4 期权的特点 (3) 2.期权定价理论 (3) 2.1 早期期权定价理论研究 (3) 2.2 Black-Scholes期权定价模型 (4) 2.3 树图方法 (5) 2.4 蒙特卡洛法 (6) 2.5 有限差分方法 (7) 3.期权定价理论的研究展望 (7) 3.1 各种期权定价理论比较分析 (7) 3.2 期权定价理论的研究展望 (8) 4.总结 (9) 5.参考文献 (9)
金融衍生品定价：EPMS估计量的渐近分布综述 1.期权的分类及意义 1.1 期权的定义 期权又称为选择权，是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具。指在未来一定时期可以买卖的权利，是买方向卖方支付一定数量的金额（指权利金）后拥有的在未来一段时间内（指美式期权）或未来某一特定日期（指欧式期权）以事先规定好的价格（指履约价格）向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权力，但不负有必须买进或卖出的义务。 从其本质上讲，期权实质上是在金融领域中将权利和义务分开进行定价，使得权利的受让人在规定时间内对于是否进行交易，行使其权利，而义务方必须履行。在期权的交易时，购买期权的一方称作买方，而出售期权的一方则叫做卖方；买方即是权利的受让人，而卖方则是必须履行买方行使权利的义务人。 1.2 期权的分类 期权交易的类型很多，大致有如下几种： （1）按期权的权利划分，有看涨期权和看跌期权两种类型。 看涨期权（CallOptions）是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方买入一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须买进的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格卖出期权合约规定的特定商品。 看跌期权：按事先约定的价格向期权卖方卖出一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须卖出的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格买入期权合约规定的特定商品。 （2）按期权的交割时间划分，有美式期权和欧式期权两种类型。 美式期权是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利。 欧式期权是指在期权合约规定的到期日方可行使权利，期权的买方在合约到期日之前不能行使权利，过了期限，合约则自动作废。 （3）按期权合约上的标的划分，有股票期权、股指期权、利率期权、商品
第八章 期权定价的数值方法 在前面几章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分方程，并且解出了一些精确的期权解析定价公式。但是在很多情形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数值方法（Numerical Procedures ）为期权定价，其中包括二叉树方法（Binomial Trees ）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation ）和有限差分方法（Finite Difference Methods ）。当期权收益依赖于标的变量所遵循的历史路径时（如我们将在第九章看到的路径依赖期权），或是期权价值取决于多个标的变量的时候，可以用蒙特卡罗模拟为期权定价。而二叉树图和有限差分方法则比较适用于有提前执行可能性的期权。在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价。为了便于表达，本章中统一假设当前时刻为零时刻，表示为0。 第一节 二叉树期权定价模型 二叉树期权定价模型是由J. C. Cox 、S. A. Ross 和M. Rubinstein 于1979年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。 一、二叉树模型的基本方法 我们从简单的无收益资产期权的定价开始讲解二叉树模型，之后再逐步加以扩展。 二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t ?，并假设在每一个时间间隔t ?内证券价格只有两种运动的可能：从开始的S 上升到原先的u 倍，即到达Su ；下降到原先的d 倍，即Sd 。其中，1u >，1d <，如图8.1所示。价格上升的概率假设为p ，下降的概率假设为1p -。 S 图8.1 t ?时间内资产价格的变动 相应地，期权价值也会有所不同，分别为u f 和d f 。 注意，在较大的时间间隔内，这种二值运动的假设当然不符合实际，但是当时间间隔非常小的时候，比如在每个瞬间，资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接受的。因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动。 （一）单步二叉树模型
期权定价理论文献综述 [摘要]本文在首先介绍了期权基本概念的基础上着重介绍了期权定价理论的产生和发展的历史进程；然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述，突出综述了在整个期权定价理论中有着重要贡献的Black-Scholes定价模型以及在此基础上出现的树图模型、蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法等在期权定价理论体系中比较重要的思想。最后分析比较了各种定价方法之间的差别以及适用范围和各自的缺陷等，并对期权定价理论的未来研究做出展望。 [关键字]综述；期权定价；Black-Scholes模型；二叉树模型；蒙特卡罗法 1 期权的分类及意义 1.1 期权的定义 期权（option）是一份合约，持有合约的一方（seller）有权（但没有义务）向另一方在合约中事先指定的时刻（或此时刻前）以合约中指定的价格购买或者出售某种指定数量的特殊物品。为了获得这种权利，期权的购买者（holder or buyer）必须支付一定数量的权利金（也称保证金或保险金），因此权利金就成为期权这个金融衍生品的价格。 1.2 期权的分类 期权交易的类型很多，大致有如下几种： （1）按交易方式可分为看涨期权、看跌期权和双重期权； （2）按期权的执行时间不同可分为美式期权和欧式期权； （3）按期权交割的内容标准可分为股票期权、货币期权、利率期权与指数期权； 此外近年来还发展了许多特殊的期权交易形式，如回溯期权、循环期权、价差期权、最大/最小期权、平均价期权、“权中权”期权等。
1.3 期权的功能 作为套期保值的工具。当投资者持有某种金融资产，为了防范资产价格波动可能带来的风险，可以预先买卖该资产的期权来对冲风险。当投资者预期基础资产的市场价格将下跌时，为防止持有这种资产可能发生的损失，可以买入看跌期权予以对冲，其所付成本仅为购买期权的权利金。通过购买看涨期权和看跌期权，一方面可以达到基础资产保值的目的；另一方面也可以获得基础资产价格升降而带来的盈利机会。 作为投机的工具。在投资者并不需要为持有资产作对冲风险的交易时，也可根据对基础资产价格必定性大小的预期，买卖期权本身来获得盈利，投资者买卖期权的目的已从对冲风险，变成赚取期权的价差利益，即投机，通过购买期权和转卖期权的权利金差价中获利，或通过履约从中获利。 2 期权定价理论的历史发展 2.1 早期期权定价理论研究 期权的思想萌芽可追溯到公元前1800年的《汉漠拉比法典》，而早在公元前1200年的古希腊和古胖尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形，只不过在当时条件下不可能对其有深刻认识。公认的期权定价理论创始人是法国数学家Louis Bachelicr。1900年，他在博士论文“投机理论”中第一次对股票价格的走势给予了严格的数学描述。他假设股票价格变化过程是一个无漂移和每单位时间具有方差2 的纯标准布朗运动，并得出到期日看涨期权的预期价格是：其中 参数π是市场“价格杠杆”调节量，α是股票预期收益率。这一模型同样也没有考虑资金的时间价值。 Boness在1964年也提出了类似的模型，他对股票收益假定了一个固定的对数分布，并且认识到风险保险的重要性。为简明，他假定“投资者不在乎风险”。他利用这一假设证明了用股票的预期收益率α来贴现最终期权的预期值。他的最终模型是：
上市公司如何设置期权激励 2008年10月27日来源：上海证券报作者：上海序伦律师事务陈少兰 上海证券报法律服务版： 本公司为国有A股上市公司，因近期公司业绩下滑，且二级市场股价低迷，拟就高级管理人员设置期权激励，令相关人员主观上更有动力提高公司经营业绩及二级市场股价。请问：1、相关法律、法规依据有哪些？2、股票来源有什么特别规定？3、可以作为被激励对象的人员有哪些？4、相关个人所得税方面的规定如何？ 某国有A股上市公司 某国有A股上市公司： 现就公司咨询问题，回答如下： 一、相关法律法规 国有上市公司期权激励相关依据包括但不限于《公司法》、《证券法》、《上市公司股权激励管理办法》（试行）、《国有控股上市公司（境内）实施股权激励试行办法》以及中国证监会发布的《股权激励有关事项备忘录》1、2、3号等相关法律法规及规章。 二、关于股票来源 根据相关规定，股票来源为存量股权及向激励对象定向增发： （一）关于存量股份，《公司法》规定公司可以回购不超过本公司已发行股份总额的百分之五用于期权激励，且用于收购的资金应当从公司的税后利润中支出，收购的股份应当在一年内转让给职工。 同时，《股权激励有关事项备忘录》第2号明确了股东不得直接向激励对象赠予（或转让）股份。股东拟提供股份的，应当先将股份赠予（或转让）给上市公司，并视为上市公司
以零价格（或特定价格）向这部分股东定向回购股份。然后，按照经中国证监会备案无异议的股权激励计划，由上市公司将股份授予激励对象。 （二）如以定向增发的形式解决股票来源，则其实质属于定向发行，应参照现行《上市公司证券发行管理办法》中有关定向增发的定价原则和锁定期的要求确定价格和锁定期，包括： 1、发行价格不低于定价基准日前20个交易日公司股票均价的50%； 2、自股票授予日起十二个月内不得转让。被激励对象为控股股东、实际控制人的，自股票授予日起三十六个月内不得转让。 三、被激励对象的规定 （一）可以作为被激励对象的通常为董事、高级管理人员、核心技术（业务）人员。该等人员以外的人员成为被激励对象的，上市公司应在股权激励计划备案材料中逐一分析其与上市公司业务或业绩的关联程度，说明其作为被激励对象的合理性。 （二）独立董事与监事，不能作为被激励对象。 （三）持股5%以上的主要股东或实际控制人原则上不得成为被激励对象。除非经股东大会表决通过，且股东大会对该事项进行投票表决时，关联股东须回避表决。 （四）持股5%以上的主要股东或实际控制人的配偶及直系近亲属若符合成为被激励对象的条件，可以成为被激励对象，但其所获授权益应关注是否与其所任职务相匹配。 （五）上市公司母公司（控股公司）的负责人在上市公司担任职务的，可参加股权激励计划，但只能参与一家上市公司的股权激励计划。 四、股权激励个人所得税规定
章节练习_第七章期权价值评估 一、单项选择题（） 1、 下列对于期权概念的理解，表述不正确的是（）。 A、期权是基于未来的一种合约 B、期权的执行日期是固定的 C、期权的执行价格是固定的 D、期权可以是“买权”也可以是“卖权” 2、 关于期权，下列表述正确的是（）。 A、期权的到期日是交易双方约定的 B、美式期权只能在到期日执行 C、欧式期权可以在到期日或到期日之前的任何时间执行 D、过了到期日，交易双方的合约关系依然存在 3、在到期日或到期日之前，以固定价格购进一种资产的权利合约是（）。 A、远期合约 B、期货合约 C、看跌期权 D、看涨期权 4、若某种期权赋予持有人在到期日或到期日之前，以固定价格购买标的资产的权利，则该期权为（）。 A、看跌期权 B、看涨期权 C、择售期权 D、卖权 5、 下列关于“买权”和“卖权”理解正确的是（）。 A、看涨期权的多头具有“买权” B、看跌期权的多头具有“买权” C、看涨期权的空头具有“卖权” D、看跌期权的空头具有“卖权” 6、某投资者买进执行价格为280元的7月小麦看涨期权，权利金为15元，卖出执行价格为290元的小麦看跌期权，权利金为11美元。则其损益平衡点为（）元。 A、290 B、287 C、280 D、276 7、 某投资者在2月份以300元的权利金买入一张5月到期、执行价格为10500元的看涨期权，同时，他又以200元的权利金买入一张5月到期、执行价格为10000元看跌期权。若要获利100元，则标的物价格应为（）元。 A、9600 B、9500 C、11100 D、11200 8、甲投资者准备采用抛补看涨期权投资策略，已知股票的购入价格是45元，以该股票为标的资产的看涨期权价格为6元，执行价格为50元，一年后到期，到期股价为60元，则甲投资者获得的净损益为（）元。
期权定价的数值方法 小结 1.当不存在解析解时，可以用不同的数值方法为期权定价，其中主要包括二叉树图方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。 2.二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。 3.蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。 4.有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解，具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法、“跳格子方法”和 Crank-Nicolson方法等。 5.树图方法和有限差分方法在概念上是相当类似的，它们都可以看成用离散化过程解出偏微分方程的数值方法，都适用于具有提前执行特征的期权，不太适合路径依赖型的期权。其中二叉树模型由于其简单直观和容易实现，是金融界中应用得最广泛的数值定价方法之一；有限差分方法则日益受到人们的重视。 6.蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接，能处理许多盈亏状态很复杂的情况，尤其是路径依赖期权和标的变量超过三个的期权，但是不擅长于处理美式期权，而且往往所需计算时间较长。 二叉树定价方法的基本思想：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格连续运行可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率p，从而为期权定价。 蒙特卡洛模拟的基本思想：由于大部分期权的价值都可以归结为期权到期回报的期望值的贴现，因此尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种结果路径下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。 蒙特卡洛模拟的优点：在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡洛模拟，而无需对期权定价模型有深刻的认识；蒙特卡洛模拟的适用情形相当广泛。 蒙特卡洛模拟的缺点：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行期权的的定价情形；为了达到一定的精准度，需要大量的模拟运算。 有限差分方法的基本思想：将衍生证券所满足的偏微分方程转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近偏微分方程中的各项，之后用迭代法求解以得到期权价值。
公司股票估值方法 P/E估值、P/B估值及DCF的估值 公司估值方法是上市公司基本面分析的重要利器，在“基本面决定价值，价值决定价格” 基本逻辑下，通过比较公司估值方法得出的公司理论股票价格与市场价格的差异，从而指导投资者具体投资行为。 公司估值方法主要分两大类，一类为相对估值法，特点是主要采用乘数方法，较为简便，如PE(price/eps)估值法、PB(PB)估值法、PEG(PEG指标(市盈率/盈利增长率) )估值法、EV/EBITDA（EV/EBITDA：企业价值与利息、税项、折旧及摊销前盈利的比率）估值法。另一类为绝对估值法，特点是主要采用折现方法，较为复杂，如DCF(Discounted Cash Flow)现金流量折现方法、期权定价方法等。 相对估值法与“五朵金花” 相对估值法因其简单易懂，便于计算而被广泛使用。但事实上每一种相对估值法都有其一定的应用范围，并不是适用于所有类型的上市公司。目前，多种相对估值存在着被乱用和被滥用以及被浅薄化的情况，以下就以最为常用的PE法为例说明一二。 一般的理解，P/E值越低，公司越有投资价值。因此在P/E值较低时介入，较高时抛出是比较符合投资逻辑的。但事实上，由于认为2004年底“五朵金花”P/E值较低，公司具有投资价值而介入的投资者，目前“亏损累累”在所难免。相反，“反P/E”法操作的投资者平均收益却颇丰，即在2001年底P/E值较高时介入“五朵金花”的投资者，在2004年底P/E值较低前抛出。那么，原因何在？其实很简单，原因就在于PE法并不适用于“五朵金花”一类的具有强烈行业周期性的上市公司。 另一方面，大多数投资者只是关心PE值本身变化以及与历史值的比较，PE估值法的逻辑被严重浅薄化。逻辑上，PE估值法下，绝对合理股价P=EPS乘P/E；股价决定于EPS 与合理P/E值的积。在其它条件不变下，EPS预估成长率越高，合理P/E值就会越高，绝对合理股价就会出现上涨；高EPS成长股享有高的合理P/E? 低成长股享有低的合理P/E。因此，当EPS实际成长率低于预期时(被乘数变小)，合理P/E值下降(乘数变小)，乘数效应下的双重打击小，股价出现重挫，反之同理。当公司实际成长率高于或低于预期时，股价出现暴涨或暴跌时，投资者往往会大喊“涨(跌)得让人看不懂”或“不至于涨(跌)那么多吧”。其实不奇怪，PE估值法的乘数效应在起作用而已。
2011 级 学院：金融学院 专业：金融学班级：金融1111班 学生姓名：陶彦宇学号： 1103110243 完成日期： 2014年8月 2011 年 8 月
期权定价的研究综述 摘要： 随着美国次贷危机和欧债危机的相继发生，人们对于资金风险管理的要求越来越高。期权作为一种风险规避工具越来越受到人们的重视，而随着计算机技术的大规模使用，一些新型期权被开发出来。而对于期权的定价，则成为了期权应用的重点。 关键词：期权定价 综述 金融期权 数值方法 正文： 自从期权产生之后，学者们一直在努力研究期权的定价理论。近代期权研究公认以法国数学家 Louis Bachelier 对Brown 运动的研究为开端。1900年，他的博士论文《The Theory of Speculation 》首次给出欧式期权的定价公式[1]，被认为是奠定了期权定价理论研究的基础。Bachelier 假设股票价格变化服从漂移率为0，波动率为σ的绝对布朗运动，推导出看涨期权的价格为： ??? ??-+??? ??--??? ??-=T K S T K S KN T K S N S C T T T T σ?σσ 其中T S 为期权到期时T 时刻股票的价格，K 为期权的执行价格，()??为标准正态分布的密度函数，()?N 为标准正态分布的累计概率密度函数。 但在后来的研究中，学者们发现其局限性也是显著的： 1.Bachelier 在论文中采用的绝对布朗运动允许股票的价格为负，不符合实际情况。 2.Bachelier 认为当时间趋向于正无穷时，期权价格可以高于股票价格，也不符合实际情况。 3.Bachelier 没有考虑货币的时间价值，这也是很大的局限性。 在这之后五十多年的时间内，期权定价的发展一直处于停滞阶段，Sprenkle （1961）假设股票价格服从对数正态分布，同时加入正向漂移项[2],解决了Bachelier 论文中股票价格可能为负的问题。但该模型仍然忽略了货币的时间价值。
参考文献 1、期权、期货和其它衍生产品，John Hull，华夏出版社。 2、期权定价的数学模型和方法，姜礼尚著，高等教育出版社。 3、金融衍生产品定价的数学模型与案例分析，姜礼尚等著，高等教育 出版社。 4、金融衍生产品定价—数理金融引论，孙建著，中国经济出版社。 5、金融衍生工具中的数学，朱波译，西南财经大学出版社。 6、N umerical methods in finance and economics—a MATLAB-based introduction， Paolo Brandimarte，A JOHN WILEY & SONS,INC.,PUBLICATION 7.金融计算教程—MATLAB金融工具箱的应用，张树德编著，清华大学出 版社。 8、数值分析及其MATLAB实现,任玉杰著，高等教育出版社。 9、数学物理方程讲义，姜礼尚著，高等教育出版社。 10、英汉双向金融词典，田文举主编，上海交通大学出版社。 11、偏微分方程数值解法，孙志忠编著，科学出版社。 第三部分期权定价模型与数值方法 期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具。理论和实践均表明，只要投资者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例，就可以获得无风险收益。这种组合的确定有赖于对衍生证券的定价。上个世纪七十年代初期，Black 和 Scholes 通过研究股票价格的变化规律，运用套期保值的思想，成功的推出了在无分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。从而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳定、完善与繁荣。
一、期权定价基础 1.1 期权及其有关概念 1．期权的定义 期权分为买入期权（Call Option）和卖出期权（Put Option） 买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。 卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。 针对有效期规定不同期权又分为欧式期权（European Option）与美式期权（American Option） 欧式期权只有在到期日当天或在到期日之前的某一规定的时间可以行使的权利 美式期权在到期日之前的任意时刻都可以行使的权利。 2．期权的要素 期权的四个要素：施权价（exercise price或striking price）；施权日（maturing data）；标的资产（underlying asset）；期权费（option premium）对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只有权利而没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，只有义务而没有权利。 3．期权的内在价值 买入期权在执行日的价值 C为 T 其中， E为施权价， S为标的资产的市场价。 T
综述研究 期权定价方法综述① 刘海龙,吴冲锋 (上海交通大学安泰管理学院,上海200052) 摘要:介绍了期权定价理论的产生和发展;然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述,突出综述了既适用于完全金融市场,又适用于非完全的金融市场的确定性套利定价方法、区间定价方法和Ε2套利定价方法;最后,对各种方法的条件和特点进行了讨论和评价. 关键词:综述;期权定价;蒙特卡罗模拟;有限差分方法;Ε2套利;区间定价 中图分类号:F830.9 文献标识码:A 文章编号:100729807(2002)022******* 0 引 言 期权是一种极为特殊的衍生产品,它能使买方有能力避免坏的结果,而从好的结果中获益,同时,它也能使卖方产生巨大的损失.当然,期权不是免费的,这就产生了期权定价问题.期权定价理论是现代金融理论最为重要的成果之一,它集中体现了金融理论的许多核心问题,其理论之深,方法之多,应用之广,令人惊叹.期权的标的资产也由股票、指数、期货合约、商品(金属、黄金、石油等),外汇增加到了利率,可转换债券、认股权证、掉期和期权本身等许多可交易证券和不可交易证券.期权是一种企业、银行和投资者等进行风险管理的有力工具. 期权的理论与实践并非始于1973年B lack2 Scho les关于期权定价理论论文的发表.早在公元前1200年的古希腊和古腓尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形,只不过当时条件下不可能对其有深刻认识.期权的思想萌芽也可以追溯到公元前1800年的《汉穆拉比法典》.公认的期权定价理论的始祖是法国数学家巴舍利耶(L ou is B achelier,1900年),令人难以理解的是,长达半个世纪之久巴舍利耶的工作没有引起金融界的重视,直到1956年被克鲁辛格(K ru izenga)再次发现. 1973年芝加哥委员会期权交易所创建了第一个用上市股票进行看涨期权交易的集中市场,首次在有组织的交易所内进行股票期权交易,在短短的几年时间里,期权市场发展十分迅猛,美国股票交易所、太平洋股票交易所以及费城股票交易所纷纷模仿,1977年看跌期权的交易也开始出现在这些交易所内.有趣的是,布来克和斯科尔斯(B lack and Scho les)发表的一篇关于期权定价的开创性论文也是在1973年[1],同年,莫顿教授又对其加以推广和完善,不久,B lack2Scho les期权定价方程很快被编成了计算机程序,交易者只需键入包括标的资产价格、标的资产价格的波动率、货币利率和期权到期日等几个变量就很容易解出该方程,后来有人用这个方程对历史期权价格进行了验证,发现实际价格与理论价格基本接近,这一理论研究成果直接被应用到金融市场交易的实践中,推动了各类期权交易的迅猛发展. 关于期权定价的理论研究[2-30]和综述文献[31-33]已相当丰富.本文与以往综述类文献根本不同的特点是将金融市场分为完全的金融市场和非完全的金融市场.突出了适用于非完全市场期 第5卷第2期2002年4月 管 理 科 学 学 报 JOU RNAL O F M ANA GE M EN T SC IEN CES I N CH I NA V o l.5N o.2 A p r.,2002 ①收稿日期:2001201208;修订日期:2002201216. 基金项目:国家自然科学基金(70173031)资助项目;国家杰出青年科学基金(70025303)资助项目;教育部跨世纪优秀人才基金资助项目. 作者简介:刘海龙(19592),男,吉林省吉林市人,博士,教授.
标准模板 Standard contract template 拟上市公司股权分配方法 签名: fy… 年月日
拟上市公司股权分配方法 企业即将上市，总想着给高管骨干分点儿股权，一来赶时髦，二来可以留住人才。但是面对当前层出不穷的股权激励方案，哪个能达到我们想要的效果？本文教你从三方面来判断，对股权激励方案作出一个合理评估。 第一个问题，给谁股权？ 首先，对企业核心竞争力以及构成核心竞争力环节的人力资源的判断，是我们思考股权激励方案的基础。 但企业对这一点的认识，往往是不准确的。有的企业“评选”出企业创业元老给予股权，有的仅根据管理团队的级别、员工就职年限来给予股权。 还有的企业，实际上是对一些薪酬已超过行业标准的高管追加了胡萝卜，没有和构成企业核心竞争力的骨干匹配。例如，某软件企业原计划给予负责软件销售的副总裁大量股权。但经过我们的调查发现，得益于企业开发的软件在相关市场上的强势地位，负责销售的副总裁其实已经获得超过同行的薪酬和奖金收入。而真正软件研发核心人员的薪酬水平却落后于同行，如果不进行股权激励，就存在着人才流失的严重隐患。 其次，企业应该预留一定的股权激励空间。 在对企业现有管理团队进行评价时，有可能发现企业存在人才短板。这涉及到引入新团队成员，以及现有团队是否需要替换的问题。 例如，一家电气设备企业完成股权激励后，市场发生转变，才发现自身销售能力不足，需要引入更加优秀的销售人才，但此时企业股权激励空间已经接近用尽（涉及大股东的控股地位问题），困难重重。 企业在进入上市轨道后，对规范企业治理需要引入的运营总监、财务总监、董事会秘书等人才，也要预留股权激励空间。例如鼎晖入股俏江南后，引入了前麦肯锡全球董事合伙人魏蔚加盟俏江南担任CEO，张兰随后将俏江南%的股份，以1508万元的价格转让给了魏蔚在香港注册的公司。 企业战略边界划分也是一个重要考虑因素。企业未来发展要重点进入的领域，往往是需要进行人才激励的领域，需要在股权激励设计时预留开放性的空间。