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2018版高中数学苏教版选修1-1学案：第二章 2.3.2 双曲线的几何性质 Word版含答案

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2.3.2 双曲线的几何性质 [学习目标] 1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等. 2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.

知识点一 双曲线的几何性质 标准方程 x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1

(a>0，b>0)

图形

性质 范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点坐标 A1(－a,0)， A2(a,0) A1(0，－a)， A2(0，a) 实轴和虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴

渐近线 y＝±bax y＝±abx

离心率 e＝ca，e∈(1，＋∞)

知识点二 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x. [思考] (1)椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？

(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？ 答案 (1)不一样.椭圆的离心率01. (2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数

条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±bax的双曲线可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ>0时， 焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上. 题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质 例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.

解 将9y2－4x2＝－36化为标准方程x29－y24＝1，

即x232－y222＝1， ∴a＝3，b＝2，c＝13. 因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点为F1(－13，0)，F2(13，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，

离心率e＝ca＝133， 渐近线方程为y＝±bax＝±23x. 反思与感悟 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质. 跟踪训练1 求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.

解 将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程y24－x212＝1， ∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝23， ∴c＝a2＋b2＝16＝4. ∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝43.

焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±33x，离心率e＝2. 题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；

(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3). 解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13， 又ca＝135，∴a＝5，b＝c2－a2＝12， 故其标准方程为y225－x2144＝1. (2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x， 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则ba＝12.① ∵A(2，－3)在双曲线上，∴4a2－9b2＝1.② 联立①②，无解. 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，则ab＝12.③

∵A(2，－3)在双曲线上，∴9a2－4b2＝1.④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.

方法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.

∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1. 反思与感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为y

＝±bax时，可以将方程设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0). 跟踪训练2 根据条件，求双曲线的标准方程. (1)与双曲线x29－y216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)；

(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2). 解 (1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)， 由题意可知－329－23216＝λ，解得λ＝14. ∴所求双曲线的标准方程为x294－y24＝1. (2)设所求双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1(16－k>0，4＋k>0)， ∵双曲线过点(32，2)，∴32216－k－44＋k＝1， 解得k＝4或k＝－14(舍去). ∴所求双曲线的标准方程为x212－y28＝1. 题型三 直线与双曲线的位置关系 例3 直线l在双曲线x23－y22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l的方程. 解 设直线l的方程为y＝2x＋m，

由 y＝2x＋m，x23－y22＝1，得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*) 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由根与系数的关系，

得x1＋x2＝－65m，x1x2＝310(m2＋2). 又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m， ∴y1－y2＝2(x1－x2)， ∴AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2 ＝5[(x1＋x2)2－4x1x2

]

＝5[3625m2－4×310(m2＋2)]. ∵AB＝4，∴365m2－6(m2＋2)＝16. ∴3m2＝70，m＝±2103. 由(*)式得Δ＝24m2－240，把m＝±2103代入， 得Δ>0，∴m的值为±2103. ∴所求直线l的方程为y＝2x±2103. 反思与感悟 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程.要注意根与系数的关系，根的判别式的应用.若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解.

跟踪训练3 设双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B. (1)求实数a的取值范围； (2)设直线l与y轴的交点为P，若PA→＝512PB→，求a的值.

解 (1)将y＝－x＋1代入双曲线方程x2a2－y2＝1(a>0)， 得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.

依题意有 1－a2≠0，Δ＝4a4＋8a21－a2>0， 所以0(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 依题意得P(0,1)，

因为PA→＝512PB→，所以(x1，y1－1)＝512(x2，y2－1).

由此得x1＝512x2. 由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0， 所以1712x2＝－2a21－a2，512x22＝－2a21－a2.

消去x2得－2a21－a2＝28960.由a>0，解得a＝1713.

分类讨论思想的应用 例4 已知双曲线方程为2x2－y2＝2. (1)过定点P(2,1)作直线l交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程； (2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 分析 (1)点P是弦P1P2的中点，其端点是直线与双曲线的交点，所以设出直线方程后，将其与双曲线方程组成方程组，结合根与系数的关系和中点坐标公式可求解. (2)先假设直线存在，将交点的坐标代入原曲线方程得方程组，再将中点坐标公式代入求出k的值，得直线方程，最后与曲线方程联立，验证根的情况. 解 (1)若直线的斜率不存在，即P1P2⊥x轴，则由双曲线的对称性，知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2,1)，所以直线l的斜率存在. 故可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)， 即y＝kx－2k＋1. 由 2x2－y2＝2，y＝kx－2k＋1消去y并化简， 得(2－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－3＝0. 设直线l与双曲线的交点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2).

①当2－k2≠0，即k2≠2时，x1＋x2＝－2k2k－12－k2. 因为点P(2,1)是弦P1P2的中点， 所以－k2k－12－k2＝2，解得k＝4. 当k＝4时， Δ＝4k2(2k－1)2－4(2－k2)(－4k2＋4k－3)＝280＞0.

②当k2＝2，即k＝±2时，直线与双曲线渐近线的斜率相等，即斜率为k＝±2的直线l与双曲线不可能有两个交点. 综上所述，所求直线方程为y＝4x－7. (2)假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，

则x1＋x22＝1，y1＋y22＝1.

所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且 2x21－y21＝2，2x22－y22＝2. 两式相减，得(2x21－2x22)－(y21－y22)＝0， 所以2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0， 所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0. 若直线l⊥x轴，则直线l与双曲线只有一个交点，不符合题意.

所以直线l的斜率存在，故k＝y1－y2x1－x2＝2. 所以直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 由 y＝2x－1，2x2－y2＝2，得2x2－(2x－1)2＝2， 即2x2－4x＋3＝0，得Δ＝16－24＜0. 这就是说，直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在. 解后反思 在本题的解答过程中，共有3次用到了分类讨论思想：在(1)中，先对直线的斜率是否存在进行了讨论，再对一元二次方程的二次项系数是否为零进行了讨论；在(2)中，也对直线是否与x轴垂直进行了讨论.

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苏教版数学高二-【优化课堂】数学苏教版选修1-1精练 2.3.2 双曲线的几何性质

苏教版数学高二-【优化课堂】数学苏教版选修1-1精练 2.3.2 双曲线的几何性质

1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程3x ±2y ＝0，则a 的值为________．解析：渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝(±32)2，解得a ＝±2，由题意知a >0，∴a ＝2.答案：22．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于________．解析：由x 2a 2－y 23＝1可知b ＝3，而e ＝ca ＝a 2＋3a＝2，所以a 2＋3＝4a 2，故a ＝1.答案：13．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为________．解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点(4,0)到渐近线y ＝3x 的距离为d ＝|3×4－0|2＝2 3.答案：2 34．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为________．解析：由e ＝c a 及c 2＝a 2＋b 2得e ＝1＋b 2a2，故当双曲线焦点在x 轴上时，b a ＝34，∴e ＝1＋916＝54.当双曲线焦点在y 轴上时，a b ＝34，b a ＝43，∴e ＝1＋169＝53. 答案：54或53一、填空题 1．已知双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________. 解析：∵双曲线的焦点在x 轴上， ∴ba ＝2， ∴b 2a2＝4.∵a 2＝1，∴b 2＝4. 又∵b >0，∴b ＝2.答案：22．若双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于________．解析：双曲线的方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，b 2＝－1m .由已知得b ＝2a ，解得m＝－14.答案：－143．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________．解析：依题意设双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，将点(2,2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1.答案：x 23－y212＝14．如图所示，F 1和F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心、|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：|AF 2|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，|AF 1|＝|F 1F 2|·sin30°＝c .由双曲线的定义得|AF 2|－|AF 1|＝2a .即2a ＝(3－1)c ，∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：3＋15．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x ，当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤－33，33. 答案：⎣⎡⎦⎤－33，336．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．解析：已知双曲线方程为x 29－y 24＝1，故P (3,0)为双曲线的右顶点，所以过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．答案：37．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________．解析：由|PF 1|－|PF 2|＝2a 及|PF 1|＝4|PF 2|得：|PF 2|＝2a3，又|PF 2≥c －a ，所以2a 3≥c －a ，c ≤5a 3，∴e ＝c a ≤53，即e 的最大值为53.答案：538．设一个圆的圆心在双曲线y 29－x 216＝1的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O 到该圆圆心的距离是________．解析：由已知得双曲线的上顶点为A (0,3)，上焦点为F (0,5)，设圆心为P (x 0，y 0)，则y 0＝3＋52＝4.代入双曲线方程得169－x 2016＝1，所以x 20＝7×169，故|PO |＝x 20＋y 20＝7×169＋16＝163. 答案：163二、解答题9．如图所示，已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过F 2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程．解：∵在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2|PF 2|.由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a .∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝23a ，∴c 2＝3a 2.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴2a 2＝b 2.∴ba ＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .10．如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1与双曲线的交点P 满足MP →＝3PF 1→，试求双曲线的离心率．解：连结PF 2，设|F 1F 2|＝2c ，由MP →＝3PF 1→知|PF 1|＝14|MF 1|. 又△MF 1F 2为正三角形，∴|PF 1|＝14×2c ＝12c ，∠PF 1F 2＝60°， 由余弦定理可得： |PF 2|＝(2c )2＋(12c )2－2·2c ·12c cos60°＝4c 2＋14c 2－c 2＝132c .根据双曲线定义有 2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝13－12c ， ∴离心率e ＝c a ＝413－1＝13＋13.11．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴b 2＝1.∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)·x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线C 有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－6km )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)>0，解得m 2>3k 2－1.① 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2. 由题意知AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)，整理得3k 2＝4m ＋1，②将②代入①得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.∵3k2＝4m＋1>0(k≠0)，∴m>－14.综上所述，－14<m<0或m>4.。

2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程 苏教版选修1-1

2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程 苏教版选修1-1

由PF1＋F1F2＝2PF2，PF2－PF1＝4， 得PF1＝6，PF2＝10. 又F1F2＝14， 由余弦定理，可得 cos∠F1PF2＝－12， ∴∠F1PF2＝120°.
当堂训练
1.已知双曲线中的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为 _2x_52_－__2y_42_＝__1__或__2y_52_－__2x_42_＝__1___. 答案
程可
设为
a2x－2 k－b2y＋2 k＝1(－b2＜k＜a2).
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值. (4)结论：写出双曲线的标准方程.
跟踪训练1 根据条件求双曲线的标准方程： (1)c＝ 6，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上； 解答 设双曲线标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， ∵c＝ 6，∴b2＝c2－a2＝6－a2. 由题意知2a52 －b42＝1，∴2a52 －6－4 a2＝1，
又由F1F2＝10，可得△PF1F2是直角三角形， 则 S PF1F2 ＝12PF1×PF2＝24.
12345
5.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上； 解答
由题设知，a＝3，c＝4. 由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x92－y72＝1.
本课结束
跟踪训练 2 已知曲线16x－2 m－ym2＝1. (1)当曲线为椭圆时，求 m 的取值范围，并写出焦点坐标； 解答
16－m>0， 当曲线为椭圆时，依题意得－m>0，
16－m≠－m，
解得m<0，即m的取值范围为(－∞，0). 此时，椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为(±4,0).
(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标. 解答
高中数学苏教版选修1-1学案：第二章 §2.1 圆锥曲线 Word版含答案

高中数学苏教版选修1-1学案：第二章 §2.1 圆锥曲线 Word版含答案

[学习目标]1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．[思考](1)若动点M到两个定点F、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆1吗？(2)若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？答案(1)不是，是线段F1F2.(2)是双曲线一支．题型一椭圆定义的应用例1在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AC＋AB＝2BC. 又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以点A 的轨迹是椭圆(除去直线BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B 、C ，焦距为10.反思与感悟本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A 满足的条件．注意A 、B 、C 三点要构成三角形，轨迹要除去两点．跟踪训练1在△ABC 中，BC ＝24，AC 、AB 边上的中线长之和等于39，求△ABC 的重心的轨迹方程．解有一定长线段BC ，两边上的中线长也均与定点B 、C 和△ABC 的重心有关系，因此考虑以BC 的中点为原点建立坐标系．如图所示，以线段BC 所在直线为x轴、线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设M 是△ABC 的重心，BD 是AC 边上的中线，CE 是AB 边上的中线，由重心的性质知BM ＝23BD ，CM ＝ 23CE .于是MB ＋MC ＝23BD ＋23CE ＝23(BD ＋CE )＝23×39＝26>BC ＝24.根据椭圆的定义知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆(除去直线BC 与椭圆的交点)．题型二双曲线定义的应用例2已知圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －2)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹．解由已知得，圆C 1的圆心C 1(－2,0)，半径r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,0)，半径r 2＝3.设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与圆C 1相外切，所以MC 1＝r ＋1.①又因为动圆M 与圆C 2相外切，所以MC 2＝r ＋3.②②－①得MC 2－MC 1＝2，且2<C 1C 2＝4.所以动圆圆心M 的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．反思与感悟设动圆半径为r ，利用动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得两个等式，相减后消去r ，得到点M 的关系式．注意到MC 2－MC 1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C 1与圆C 2相切于点(－1,0)，所以M 的轨迹不过(－1,0)．跟踪训练2在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动．设BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝12sin A ，则顶点A 的轨迹是什么？解因为|sin C －sin B |＝12sin A ， 由正弦定理可得|AB －AC |＝12BC ＝12m ，且12m <BC ， 所以点A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC 的两交点)．题型三抛物线定义的应用例3若动圆与定圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹．解如图所示，设动圆O′的半径为r，则动圆的圆心O′到点(2,0)的距离为r＋1，点O′到x＝－1的距离为r，从而可知点O′到点(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义可知，动圆的圆心O′的轨迹是抛物线．反思与感悟本题借助于平面几何知识，将动点满足的条件合理转化，使之符合抛物线定义，问题从而获解．跟踪训练3点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析将直线l：x＝－6向右平移2个单位，得直线l′：x＝－4.依题意知，点P到F(4,0)的距离等于点P到l′：x＝－4的距离，可见点P的轨迹是抛物线．1．平面内到两个定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之和为6的点的轨迹是__________．答案线段F1F2解析设动点为P，由题意知，PF1＋PF2＝F1F2，故点P必在线段F1F2上．2．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是______．答案双曲线解析点(x，y)到点(1,1)及到点(－3，－3)的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)的距离为42，由定义知动点M的轨迹是双曲线．3．到定直线x＝－2的距离比到定点(1,0)的距离大1的点的轨迹是____________________．答案抛物线解析到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等，所以点的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线．1.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面不经过顶点与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆．改变平面的位置，观察截得的图形变化情况，可得到三种重要的曲线，即椭圆、双曲线和抛物线，统称为圆锥曲线．2．椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.3．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线．4．抛物线定义中F∉l；若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线．。

2018年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质课件2 苏教版选修2-1

2018年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质课件2 苏教版选修2-1


（2） 等轴双曲线x2 y2 m
(m 0)的渐近线为
y x.
（3）利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图．
y
b B2
A1
A2
o a
x
B1
y b x ybx
a
a
5．离心率．
（1）定义： 双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做
a
双曲线的离心率．
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
已经学习了焦点在x轴上双曲线的 哪些几何性质 ？
①范围; ③顶点;
②对称性; ④渐近线方程.
一、双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1．范围．
2．对称性．
3．顶点（等轴双曲线）
4．渐近线．
（1）
双曲线 x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0)
的渐近线为y b x. a
(-2,0)，(2,0)
e c 7 a2
y 3x 2
(0, 7 ), (0, 7 )
(0, 3), (0, 3)
e c 21 a3
y 3x 2
例题讲解
例2.已知双曲线的中心在原点,焦点
在y轴上,焦距为16,离心率为
4 3
,
求双曲线的方程.
问：若将题目中“焦点在y轴上” 改为“焦点在坐标轴上”呢?
b c2 a2 (c )2 1 e2 1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
a
a
e增大时，渐近线与实轴的夹角增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大．