第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理1．归纳推理（1）由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由__________概括出__________的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由__________到__________、由__________到__________的推理．如金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为__________．（2）归纳推理是依据__________现象，归纳推出__________结论，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．由归纳推理所得的结论未必是正确的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的．通过观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一．2．类比推理由两类对象具有某些__________特征和其中一类对象的某些____________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由__________到__________的推理．（1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；（3）类比的结果不一定可靠，但它却具有发现的功能．（4）归纳推理是由部分到_________，由具体到__________，由特殊到__________，从个别事实中概括出________的思维模式．类比推理是在__________的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在___________之处的一种推理模式．3．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过__________、__________、__________、_________，再进行__________、__________，然后提出__________的推理，我们把它们统称为合情推理．4．演绎推理（1）从__________________出发，推出___________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由___________的推理．（2）演绎推理与合情推理的主要区别与联系（i）合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由________到________、________到________的推理，类比是由________到________的推理；而演绎推理是由________到________的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．（ii）人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色．（iii）就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想．（3）三段论（i）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的________；②小前提——所研究的________；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________．其一般推理形式为大前提：M是P．小前提：S是M．结论：________．（ii）利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么_________________．（iii）为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的________作为下一个三段论的前提．5．其他演绎推理形式（1）假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”．（2）关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”，R表示一种传递性关系，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等．注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以供学生扩展知识面．（3）完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推理规则．K 知识参考答案：1．（1）部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 部分 整体 个别 一般 归纳推理 （2）特殊 一般2．类似 已知特征 特殊 特殊（4）整体 抽象 一般 一般结论 两类不同 相同或相似 3．观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想 4．（1）一般性的原理 某个特殊 一般到特殊（2）部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 一般 特殊（3）一般原理 特殊情况 判断 S 是P S 中所有元素也都具有性质P 结论K —重点 合情推理及归纳推理的定义、演绎推理的含义 K —难点 归纳推理的基本方法、三段论模式及其应用 K —易错 误将类比所得结论作为推理依据归纳推理在数、式、数列中的应用观察下列式子：213122+<； 221151233++<；222111712344+++<；……则归纳猜想一般的不等式为A ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ B ．222111211(2)23n n n n+++++<≥C ．222211111(2)23n n n n -++++<≥ D ．222111211(2)23n n n n-++++<≥ 【答案】D【名师点睛】归纳推理的一般步骤：（1）观察分析，发现规律，通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）猜想结论并检验：从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（或猜想）．学科#网归纳推理在图形中的应用有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有灰色的正六边形的个数是 A ．26 B ．31 C ．32D ．36……【答案】B【解析】有灰色的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 … 个数61116…由表可以看出有灰色的正六边形的个数依次组成一个以6为首项， 5为公差的等差数列，所以第6个图案中有灰色的正六边形的个数是65(61)31+⨯-=．故选B ．【名师点睛】通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：归纳推理在不等式中的应用对任意正整数n ，猜想2n 与2n 的大小．【答案】见解析．【名师点睛】对于与正整数n 有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n 的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形（通分、因式分解等），变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．类比推理在下列类比推理中，正确的有_____________．①把()a b c +与(log )a x y +类比，则有log )l g og (o l a a a x y x y +=+； ②把()a b c +与sin()x y +类比，则有sin()sin sin x y x y +=+；③把实数,a b 满足：“若0,0ab b =≠，则0a =”．类比平面向量的数量积，“若·0=a b ，0≠b ，则0=a ”；④平面内，“在ABC △中，ACB ∠的平分线CE 将三角形分成两部分的面积比=AEC BEC S ACS BC△△”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥A BCD －中，平面DEC 平分二面角A CD B --，且与AB 交于点E ，则平面DEC 将三棱锥分成两部分的体积比A CDE ACDB CDE BDCV S V S --=△△． 【答案】④【名师点睛】类比推理的步骤与方法第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的（细微）差别．第二步：把两个系统之间的某一种一致性（相似性）确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．演绎推理的基本形式（三段论）用三段论的形式写出下列演绎推理．（1）菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直． （2）若两角是对顶角，则这两个角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角． 【答案】见解析．【解析】（1）每个菱形的对角线都相互垂直………………………………大前提 正方形是菱形…………………………………………………………………小前提 正方形的对角线相互垂直……………………………………………………结论 （2）若两个角是对顶角，则这两个角相等 ………………………………大前提 ∠1和∠2不相等……………………………………………………………小前提 ∠1和∠2不是对顶角 ………………………………………………………结论【名师点睛】分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来． 在三段论中，“大前提”提供了一般的原理，“小前提”指出了一个特殊场合的情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原则和特殊情况间的联系，平时大家早已能自发地使用三段论来进行推理，学习三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法．已知定义域为[0,1]的函数()f x 同时满足以下三个条件：①对任意的1[]0,x ∈，总有()0f x ≥； ②(1)1f =；③若“当120,0x x ≥≥且121x x +≤时，有1212()()()f x x f x f x ≥++成立”，则称()f x 为“友谊函数”．（1）若已知()f x 为“友谊函数”，求(0)f 的值．（2）函数()21xg x =-在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？并给出理由． （3）已知()f x 为“友谊函数”，且1201x x ≤<≤，求证：12()()f x f x ≤． 【答案】见解析．③若120,0x x ≥≥，且121x x +≤， 则有1212(())[]()g x x g x g x ++-12122121)21[(()]x x x x +-+=--- 12(21)(21)0x x --=≥．故()21xg x =-满足条件①②③，所以函数()21xg x =-在区间[0,1]上为“友谊函数”． （3）因为1201x x ≤<≤，则2101x x -<≤，所以22112111)())(()(f x f x x x f x x f x f x -++≥-=≥（）． 【名师点睛】（1）应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据（大前提），验证条件是否满足（小前提），然后得出结论．（2）在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要．因此实际应用中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范．学科#网不能从所给各数中发现规律而致错已知数列{}n a ：1213214321,,,,,,,,,,,1121231234根据它的前10项的规律，则99100a a +的值为A ．3724B ．76C ．1115D ．715【错解】各数分子的构成规律是1,(2,1)3,2,1),(4,3,2,1),,,(由于13(131)912⨯+=,99918-=,1486-=，∴996293a ==，10051102a ==， ∴99100217326a a +=+=，故选B ． 【错因分析】本题常见错误是不能从所给各数中发现规律，错解虽然注意到了{a n }各项的构成规律，但在计数项数时出现错误，a 99应是分子从14开始的第8项，其分子应为1477-=，而不是6．利用三段论推理时，大前提错误而致错如图所示，在ABC △中，AC BC >，CD 是AB 边上的高，求证：ACD BCD ∠∠＞．【错解】在ABC △中，因为,AC BC CD AB >⊥，所以AD BD >，所以ACD BCD ∠>∠．【错因分析】错误的原因在于虽然运用的大前提正确，即在同一个三角形中，大边对大角，但AD 与BD 并不是在同一个三角形内的两条边，即小前提不成立，所以推理过程错误．【名师点睛】利用三段论推理时，（一）大前提必须是真命题；（2）小前提是大前提的特殊情形．1．“三段论”推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是 A ．① B ．② C ．③D ．①②2．下列推理是类比推理的是A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |+|PB |＝2a ＞|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1=1，31n a n =-，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积2πr ，猜想出椭圆22221x ya b+=的面积为πS ab =D ．以上均不正确 3．下列推理是演绎推理的是A ．M ，N 是平面内两定点，动点P 满足|PM |＋|PN |＝2a ＞|MN |，得点P 的轨迹是椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝2n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜想出椭圆22221x y a b+=的面积为πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S =2⨯底高，可推知扇形面积公式S 扇等于A ．22rB ．22lC ．12lrD ．不可类比5．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是A ．白色B ．黑色C ．白色的可能性大D ．黑色的可能性大6．在平面几何中有如下结论：设正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V = A ．18 B ．19 C ．164D ．1277．给出下面一段演绎推理：有理数是真分数，………………大前提 整数是有理数，…………………小前提 整数是真分数．…………………结论 结论显然是错误的，是因为 A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．非以上错误8．“因为四边形是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”补充以上推理的大前提 A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形9．已知推理：“因为ABC △的三边长依次为3，4，5，所以ABC △是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________．10．已知：2223sin 30sin 90sin 1502︒+︒+︒=；2223sin 5sin 65sin 1252︒+︒+︒=． 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明．11．已知()f x =，分别求()0)(1f f +，()12()f f -+，()23()f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．12．已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，当|x |≤1时，|f (x )|≤1，证明：|c |≤1，并分析证明过程中的三段论．13．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ．结论显然是错误的，这是因为 A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．非以上错误14．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误15．设111()1(2,)23f n n n n=++++>∈N ，计算可得(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >．观察上面结果，可得出的一般结论是 A ．21(2)(2,)2n f n n n +>≥∈N B ．22()(2,)2n f n n n +≥≥∈NC ．2(2)(2,)2nn f n n +≥≥∈N D ．2(2)(2,)2nn f n n +>≥∈N 16．如图，第n 个图形是由正2+n 边形“扩展”而来（⋅⋅⋅=,3,2,1n ），则在第n 个图形中共有个顶点A ．)2)(1(++n nB ．)3)(2(++n nC ．2nD ．n17．在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC ．拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间的关系为________________． 18．已知a ＝512-，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系是 ________________．19．如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，DE ∥F A ，求证：ED ＝AF ．20．（1）证明：当1>a 时，不等式223311a a a a +>+成立；（2）要使上述不等式223311a a a a +>+成立，能否将条件“1>a ”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；（3）请根据（1），（2），试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．21．（2017新课标全国II ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩22．（2016北京）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛23．（2016新课标全国II ）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________．24．（2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________________； ②该小组人数的最小值为________________．25．（2016山东）观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；……照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++________________．1．【答案】B【解析】此推理的小前提是“三角形不是平行四边形”．故选B．2．【答案】C【解析】A是演绎推理，B是归纳推理，C是类比推理．故选C．学科#网3．【答案】A【解析】B是归纳推理，C、D是类比推理，只有A是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理．故选A．4．【答案】C【解析】将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r，所以S扇＝12lr．故选C．5．【答案】A6．【答案】D【解析】由平面图形的面积类比立体图形的体积，得出在空间内，若两个正四面体的外内切球、外接球的半径比为1∶3，则它们体积比为1∶27．故选D．7．【答案】A【解析】推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．故选A．8．【答案】B【解析】结合已知，可得所填的条件一定与矩形有关，并且应为矩形对角线的有关性质，结合选项可知选B．9．【答案】一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形【解析】大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：ABC△的三边长依次为3，4，5，满足32＋42＝52；结论：ABC△是直角三角形．10．【答案】2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=，证明见解析． 【解析】一般性的命题为2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=．证明如下：左边1cos(2120)1cos 21cos(2120)=222ααα--︒--+︒++ 313[cos(2120)cos 2cos(2120)]222ααα=--︒+++︒=， 所以等式成立．11．【答案】3()(1)3f f x x -++=，证明见解析．12．【答案】证明见解析．【解析】∵|x |≤1时，|f (x )|≤1．x ＝0满足|x |≤1，∴|f (0)|≤1，又f (0)＝c ，∴|c |≤1． 证明过程中的三段论分析如下：大前提是|x |≤1时，|f (x )|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f (0)|≤1． 13．【答案】A【解析】大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．故选A ． 14．【答案】C【解析】∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题， ∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误．故选C ． 15．【答案】D【解析】24(2)2f >，35(2)2f >，46(2)2f >，57(2)2f >， 所以推得一般结论是2(2)(2,)2nn f n n +>≥∈N ，故选D ．16．【答案】B【解析】第一个图形是正三角形的每边变成4条线段，第二个图形是正方形的每边变成5条线段，第三个图形是正五边形的每边变成6条线段，第四个图形是正六边形的每边变成7条线段，…，因此，第n 个图形是正2n +边形的每边变成3n +条线段，从而它是(2)(3)n n ++边形，共有(2)(3)n n ++个顶点．故选B ．17．【答案】2·OBC ABC DBC S S S =△△△ 【解析】将直角三角形的一条直角边长类比为与棱AD 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比为△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积，可得2·OBC ABC DBC S S S =△△△． 18．【答案】m ＜n【解析】当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x 为减函数，∵a ＝512-∈(0，1)，∴函数f (x )＝51()2x-为减函数．故由f (m )＞f (n )，得m ＜n ． 19．【答案】证明见解析．20．【答案】（1）证明见解析；（2）能，可放宽为0>a 且1≠a ，理由见解析；（3）若0>a 且1≠a ，,m n *∈N ，n m >，则有n nm m aa a a 11+>+【解析】（1）352233)1)(1()1(1aa a a a a a --=+-+， 因为1a >，所以510,10a a ->->，所以0)1)(1(35>--aa a ，所以不等式223311a a a a +>+成立．（2）因为()()1112345++++⋅-=-a a a a a a ，则对任意0>a 且1≠a ，式子1-a 与15-a 同号，所以条件可放宽为0>a 且1≠a ．（3）根据（1）（2）可推知：若0>a 且1≠a ，,m n *∈N ，n m >，则有n nm m aa a a 11+>+． 证明如下：1111()()mn m n m n m n a a a a a a a a +-+=-+-mn m n m nm m n m n aa a a a a a )1)(1()1(1)1(--=---=-+--， 若1>a ，则由1,,1,1m nm n m n m n aa *+->≥∈⇒>>⇒N 不等式成立；若10<<a ，则由1,,01,01m n m n m n m n a a *+->≥∈⇒<<<<⇒N 不等式成立．综上得：若0>a 且1≠a ，,m n *∈N ，n m >，则有nnm m a a a a 11+>+成立． 21．【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ． 22．【答案】B23．【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2． 24．【答案】6 12【解析】设男生人数、女生人数、教师人数分别为a b c 、、，则*2,,,c a b c a b c >>>∈N . ①max 846a b b >>>⇒=，②min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++= 25．【答案】4(1)3n n + 【解析】通过类比，可以发现，最前面的数字是43，接下来是和项数有关的两项的乘积，即(1)n n +，故答案为4(1)3n n +．学科#网。
第四节合情推理与演绎推理高考概览：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．[知识梳理]1．合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊到特殊(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．[辨识巧记]1．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．3．演绎推理的特征演绎推理是由一般到特殊的推理．它常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28 B．32 C．33 D．27[解析]从第2项起每一项与前一项的差构成公差为3的等差数列，所以x＝20＋12＝32.故选B.[答案] B3．(选修2－2P77练习T1改编)已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－2 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1[解析]由a1＝1，a n＝a n－1＋2n－1，得a2＝4，a3＝9，a4＝16.猜得a n＝n2.故选C.[答案] C4．演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误[解析] 因为当a >1时，y ＝log a x 在定义域内单调递增，当0<a <1时，y ＝log a x 在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A.[答案] A5．(选修2－2P 84A 组T 5改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，且n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则存在的等式为_______________________________．[解析] 由等比数列的性质b n ＋1·b 17－n ＝b n ＋2·b 16－n ＝…＝b 29＝1，得b 1b 2…b n ＝b 1b 2b 3b 4…b 17－n (n <17，n ∈N *)．[答案] b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)考点一 归纳推理归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择、填空题，难度稍大，属中高档题．常见的命题角度有：(1)数字的归纳；(2)式子的归纳；(3)图形的归纳．角度1：数字的归纳【例1－1】 观察下列各式：71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，…，则72018的末两位数字为( )A ．49B ．43C ．07D ．01[思路引导] 观察幂的末2位数字的规律→得出结果 [解析] 71,72,73,74,75，…的末两位数字分别为07,49,43,01,07，…，周期性出现(周期为4)，而2018＝4×504＋2，所以72018的末两位数字必定和72的末两位数字相同．故选A.[答案] A角度2：式子的归纳【例1－2】 已知f (x )＝x e x ，f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，经计算：f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xe x ，…，照此规律，则f n (x )＝________.[思路引导] 观察分式中分子的规律→得出结果[解析] 因为f 1(x )＝(－1)(x －1)e x ，f 2(x )＝(－1)2(x －2)e x，f 3(x )＝(－1)3(x －3)e x ，…，所以f n (x )＝(－1)n (x －n )e x. [答案] (－1)n (x －n )e x角度3：图形的归纳【例1－3】 如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体，例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位．以此规律，则第n 个几何体的表面积是________个平方单位．[思路引导]用式子表达几何体的表面积→分析式子的规律→归纳第n个几何体的表面积[解析]从前面看这些正方体叠成的几何体，看到边长为1的正方形的面的个数依次为1,1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4，….而每一个这样叠成的几何体，从其前面、后面、左面、右面、上面、下面看到的边长为1的正方形的面数是一样多的，所以由这些正方体叠成的几何体的表面积依次为6×1,6×(1＋2)，6×(1＋2＋3)，…，所以第n个几何体的表面积为6×(1＋2＋3＋…＋n)＝3n(n ＋1)．[答案]3n(n＋1)归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字的变化特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的归纳推理：①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，采用赋值检验法验证其真伪性．[对点训练]1．(2019·山东日照模拟)对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3；[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10；[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21；…按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为________．[解析] 因为[x ]表示不超过x 的最大整数，所以[1]＝[ 2 ]＝[ 3 ]＝1，[4]＝[ 5 ]＝…＝[8 ]＝2，…，因为等式：[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3， [ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10， [9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21，…，所以第1个式子的左边有3项、右边1＋1＋1＝1×3＝3，第2个式子的左边有5项、右边2＋2＋2＋2＋2＝2×5＝10，第3个式子的左边有7项、右边3×7＝21，…，则第n 个式子的左边有(2n ＋1)项、右边＝n (2n ＋1)＝2n 2＋n ，故答案为2n 2＋n .[答案] 2n 2＋n2．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[解析] ∵f (21)＝32，f (22)>2＝42，f (23)>52，f (24)>62，∴归纳得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)． [答案] f (2n)≥n ＋22(n ∈N *) 3．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2018＝________.[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1,9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n＝3n －1－12(n ∈N *)．所以a 2018＝32017－12.[答案] 32017－12考点二 类比推理【例2】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设a ，b ，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．[解] 如题图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2. 类似地，在四面体PDEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相应于直角三角形的2条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．[拓展探究] 若本例条件“由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2”换成“cos 2A ＋cos 2B ＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．[解] 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b 2c 2＝1. 于是把结论类比到四面体P －A ′B ′C ′中，我们猜想，四面体P A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.类比推理的分类类比定义→在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质→从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法→有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移[对点训练](2019·杭州模拟)已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，b n ＝n a 1a 2…a n (n ∈N *)，则数列{b n }也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．[解] 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)， 则数列{b n }也是等差数列．证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋n (n －1)d 2n＝a 1＋d 2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列．考点三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，所以(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， 所以S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(大前提) 又因为a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．[对点训练]已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．[证明]设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，因为x1<x2，所以f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．所以y＝f(x)为R上的单调增函数．创新交汇系列⑤——合情推理在高考中的创新应用素养解读：合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展的依据．【典例】(1)(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可知知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；(ⅱ)女学生人数多于教师人数；(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．[切入点](1)对每个人是否知道自己的成绩逐一进行推理；(2)设出男生、女生及教师人数，列关系式进行推理．[关键点](1)对甲不知道自己成绩进行推理；(2)设量列出不等关系．[规范解答](1)根据已知信息，推断如下表：因此，由以上推理可知，乙、丁可以知道自己的成绩．故选D.(2)令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则2z>x>y>z，①若教师人数为4，则4<y<x<8，当x＝7时，y取得最大值6.②当z ＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.[答案](1)D(2)①6②12合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推理，充分挖掘已给的事实，寻求规律，类比则要比较类比源和类比对象的共有属性，不能盲目进行类比．[感悟体验]1．(2019·南宁市联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人[解析] 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．故选C.[答案] C2．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．[解析] 由丙说的话可知，丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”．若丙的卡片上的数字是“1和2”，则由乙说的话可知，乙的卡片上的数字是“2和3”，甲的卡片上的数字是“1和3”，此时与甲说的话一致；若丙的卡片上的数字是“1和3”，则由乙说的话可知，乙的卡片上的数字是“2和3”，甲的卡片上的数字是“1和2”，此时与甲说的话矛盾．综上可知，甲的卡片上的数字是“1和3”．[答案] 1和3课后跟踪训练(四十二)基础巩固练一、选择题1．观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13，0.1· 8·＝1899＝211，0.3· 5· 2·＝352999，0.0005· 9·＝11000×5999＝5999000，据此推测循环小数0.23·可化成分数()A.2390 B.9923 C.815 D.730[解析]0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730.故选D.[答案] D2．(2019·兰州模拟)如图所示，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是()A．27 B．28 C．29 D．30[解析]a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，∴a n－a n－1＝n，∴a n＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝n(n＋1)2，∴a7＝7×82＝28，故选B.[答案] B3．(2019·惠州市高三二调)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮001 1坎010 2巽011 3依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35 [解析] 由题意可知，六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.[答案] B 4．(2019·安徽省知名示范高中高三联考)某参观团根据下列约束条件从A ，B ，C ，D ，E 五个镇选择参观地点：①若去A 镇，也必须去B 镇；②D ，E 两镇至少去一镇；③B ，C 两镇只去一镇；④C ，D 两镇都去或者都不去；⑤若去E 镇，则A ，D 两镇也必须去．则该参观团至多去了( )A ．B ，D 两镇 B ．A ，B 两镇C ．C ，D 两镇 D ．A ，C 两镇[解析] 若去A 镇，根据①可知一定去B 镇，根据③可知不去C 镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E 镇，与⑤矛盾，故不能去A 镇；若不去A 镇，根据⑤可知也不去E 镇，根据②知去D 镇，根据④知去C 镇，根据③可知不去B 镇，然后检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C ，D 两镇．故选C.[答案] C5.如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则1×h 1＋2×h 2＋3×h 3＋4×h 4＝2S k .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4值为( )A.4V kB.3V kC.2V kD.V k[解析] ∵V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4)∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k .故选B.[答案] B二、填空题6．(2019·长春市高三质量监测)将1,2,3,4…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．[解析] 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1个数，且最后一个数为n 2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91.[答案] 917．(2019·兰州市高考实战模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *,1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.[解析] 因为1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，所以归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.[答案] n 28．(2019·河北卓越联盟月考)在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径r ＝2S C .在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R ＝________.[解析] 若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径R ＝3V S .理由如下：设三棱锥的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，所以V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13SR ，所以内切球的半径R ＝3V S .[答案] 3V S三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．[解] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，∴S n ＋1S n ＋2＝S n －S n －1，∴1S n＋S n －1＋2＝0. 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43， ∴S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，∴S 3＝－45； 当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，∴S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N *. 10．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．[解] (1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.能力提升练11．(2019·贵州省高三适应性考试)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1，下底长为2的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为( )A ．4 B.92 C ．5 D.112[解析] 由题意可知，S 图1＝S 图2＝12×(1＋2)×3＝92.故选B.[答案] B12．(2019·上海师大附中检测)若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m 的个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2,3，…，n ，…，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则((a n )*)*＝( )A ．2nB ．2n 2C ．nD ．n 2[解析] 对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 1)*＝0，(a n )*＝(a 3)*＝(a 4)*＝1，(a 5)*＝(a 6)*＝…＝(a 9)*＝2，(a 10)*＝(a 11)*＝…＝(a 16)*＝3，……，所以((a 1)*)*＝1，((a 2)*)*＝4，((a 3)*)*＝9，……，由此猜想((a n )*)*＝n 2.故选D.[答案] D13．(2019·沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．[解析] 若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．[答案] 甲14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n ＋1n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．[解] 因为a n ＝2S n ＋1n ＋2，所以S n ＝(n ＋2)a n －12，所以a 1＝S 1＝3a 1－12，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n ＋2)a n －12－(n ＋1)a n －1－12， 所以na n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，即a n ＝n ＋1n a n －1(n ≥2)．所以a 2＝32a 1，a 3＝43a 2，a 4＝54a 3，…a n ＝n ＋1n a n －1，将以上(n －1)个式子相乘，得a n ＝n ＋12a 1＝n ＋12(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝1也适合，故a n ＝n ＋12.拓展延伸练15．(2018·黑龙江大庆模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2097B ．2112C ．2012D ．2090[解析] 当三角形在移动时，观察其规律，如果设三角形内部第一行的数为a ∈N *，则第二行的数为a ＋7，a ＋8，a ＋9，其和为3(a ＋8)，第三行的数为a ＋14，a ＋15，a ＋16，a ＋17，a ＋18，其和为5(a ＋16)，所以这九个数的和为S ＝a ＋3(a ＋8)＋5(a ＋16)＝9a ＋104，代入到各个选项中看能否算出a 即可．通过计算可得9a ＋104＝2012时，a＝212.由图示规律知212位于第27行第4列，符合题意．故选C.[答案] C16．(2018·济南市高考模拟)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a0；点(1,0)处标数字1，记为a1；点(1，－1)处标数字0，记为a2；点(0，－1)处标数字－1，记为a3；点(－1，－1)处标数字－2，记为a4；点(－1,0)处标数字－1，记为a5；点(－1,1)处标数字0，记为a6；点(0,1)处标数字1，记为a7；……；以此类推，格点坐标为(i，j)的点处所标的数字为i＋j(i，j均为整数)，记S n＝a1＋a2＋…＋a n，则S2018＝________.[解析]设a n的坐标为(x，y)，则a n＝x＋y.第一圈从点(1,0)到点(1,1)共8个点，由对称性可知a1＋a2＋…＋a8＝0；第二圈从点(2,1)到点(2,2)共16个点，由对称性可知a9＋a10＋…＋a24＝0；……；以此类推，可得第n圈的8n个点对应的这8n项的和也为0.设a2018在第k圈，则8＋16＋…＋8k＝4k(k＋1)，由此可知前22圈共有2024个数，故S2024＝0，则S2018＝S2024－(a2024＋a2023＋…＋a2019)，a2024所在点的坐标为(22,22)，a2024＝22＋22，a2023所在点的坐标为(21,22)，a2023＝21＋22，以此类推，可得a2022＝20＋22，a2021＝19＋22，a2020＝18＋22，a2019＝17＋22，所以a2024＋a2023＋…＋a2019＝249，故S2018＝－249.[答案]－249。
合情推理与演绎推理的意义（1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
（2)在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。
例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。
由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测圆的一些特征，球也可能有。
圆的切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类似地，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径。
平面内不共线的3个点确定一个圆，类似地，我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。
演绎推理是数学中严格证明的工具，在解决数学问题时起着重要的作用。
“三段论”是演绎推理的一般模式，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。
例如，三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，因此推导证明出该函数是周期函数。
又如，这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在（－0,1)上是增函数”。
大前提是增函数的定义，小前提是推导函数f(x)在（－c,1)上满足增函数的定义，进而得出结论。
合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。
从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。
但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。
因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。
