《合情推理与演绎推理》教案
合情推理
教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体
会并认识归纳推理在数学发现中的作用•
教学重点：能利用归纳进行简单的推理•
教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.
教学过程：
一、新课引入：
1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7,
20=13+7,……,50=13+37,……,100=3+97，猜测：任一偶数(除去2,它本身是一素数)
可以表示成两个素数之和.1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上
举世闻名的猜想.1973 年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2” .
2. 费马猜想：法国业余数学家之王一费马(1601-1665 )在1640年通过对F。22 1 3 ,
1 2 3 4
F! 22 1 5 , F2 22 1 17 , F3 22 1 257 , F4 22 1 65 537 的观察，发现其结果
n
都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n,任何形如F n 221的数都是素数.后来瑞士
5
数学家欧拉，发现F5 221 4 294 967 297 641 6 700 4 1 7不是素数，推翻费马猜想.
3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着
色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的
国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判
断，完成证明.
二、讲授新课：
1. 教学概念：
①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的
推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分
到整体、由个别到一般的推理.
②归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
(ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？
(iii )观察等式：1 3 4 22, 1 3 5 9 32, 1 3 5 7 9 16 42，能得出怎样的结
论？
③讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？
(ii )归纳推理有何作用？(发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段)
(iii )归纳推理的结果是否正确？(不一定)
2. 教学例题：
a
①出示例题：已知数列a n的第1项31 2，且a n 1 — (n 1,2,L )，试归纳出通项公式.
1 a n
(分析思路：试值n=1, 2, 3, 4 T猜想a n宀如何证明：将递推公式变形，再构造新数列)
②思考：证得某命题在n= n 0时成立；又假设在n= k时命题成立，再证明n= k + 1时命题
也成立.由这两步，可以归纳出什么结论？(目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关
系)
③练习：已知f(1) 0,af (n) bf (n 1) 1, n 2, a 0,b 0 ,推测f(n)的表达式.
3•小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳•
三、巩固练习：
1. 练习：教材P38 1、2题.
2. 作业：教材P44习题A组1、2、3题.
第二课时2.1.1 合情推理(二)
教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理
教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想.
教学过程：
一、复习准备：
1 11
1. 练习：已知a i 0 (i 1,2丄，n)，考察下列式子：(i) 1；(ii)⑻ a2)( ) 4 ；
a1 a1 a2
1 1 1
(iii) (a1 a2 a3)( ) 9 .我们可以归纳出，对,L ,a n也成立的类似不等式
a a2 a3
为_•_
1 11 1
2. 猜想数列丄，丄，丄，丄,L L的通项公式是 ____________________ .—
1 3 3 5 5 7 7 9
3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节
变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.以上都是类比思维，即类比
推理.
二、讲授新课：
1. 教学概念：
①概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理
②类比练习：
(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球
体？
(ii )平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？(iii )由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征.(教材P81探究填表)
小结：平面T空间，圆T球，线T面.
③讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维
2. 教学例题：
①出示例1 :类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.(得到如下表格)
