6-5第五节 合情推理与演绎推理练习题(2015年高考总复习)

第五节 合情推理与演绎推理1．在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…，这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形，如下图，则第n 个三角形数为( )A ．n B.12n (n ＋1)C ．n 2－1 D.12n (n －1)答案：B2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫a n －1＋1a n －1，由此归纳出{a n }的通项公式解析：A 、D 是归纳推理，B 是类比推理；C 运用的“三段论”是演绎推理．答案：C 3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“t ≠0，mt ＝nt ⇒m ＝n ”类比得到“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”；④“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”． 以上类比得到的正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析：由向量的数量积的概念知“a ·b ＝b ·a ”正确；由向量的运算法则知“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”正确；当a ，b 都与c 垂直时，“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”不正确；当a ⊥b 时“|a ·b |＝|a |·|b |”不正确．故选C.答案：C 4．无限循环小数为有理数，如：0.1·，0.2·，0.3·，…，观察0.1·＝19，0.2·＝29，0.3·＝13，…，则可归纳出0.4· 5·＝( )A.12B.511C.120D.51104．解析：观察知0.1·＝19，0.2·＝29，0.3·＝39，…，所以可归纳出0.4· 5·＝4599＝511.答案：B5．(2013·衡水调研)已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1367B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1368C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13111D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13112解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为1,3,5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13112.故选D. 答案：D 6．(2012·深圳二模)无限循环小数可以化为有理数，如0.1·＝19，0.1· 3·＝1399，0.0·15·＝5333，…，请你归纳出0.01·7·＝__________________⎝⎛⎭⎪⎪⎫表示成最简分数m n ，m ，n ∈N *.解析：0.01·7·＝110×0.1· 7·，由已知三个数值可归纳得0.1· 7·＝1799，所以0.01·7·＝17990. 答案：179907．(2013·佛山一模)观察下列不等式： ①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜3；…，则第5个不等式为__________________________．解析：由①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜3；归纳可知第四个不等式应为12＋16＋112＋120<2；第五个不等式应为12＋16＋112＋120＋130＜ 5.故答案为12＋16＋112＋120＋130＜ 5.答案：12＋16＋112＋120＋130＜ 58．(2012·皖南八校联考)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据以上规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＝________________(结果用具体数字作答)．解析：观察前3个等式发现分别从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等于右边的分别是这几个数的和的平方，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＝(1＋2＋…＋8)2＝362＝1 296.答案：1 2969．(2013·宝鸡检测)考察下列一组不等式：23＋53＞22×5＋2×52，34＋64＞3×63＋33×6，55＋95＞52×93＋53×92，652＋752＞62×712＋612×72，…将上述不等式在左、右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________________．解析：依题意得，推广的不等式为a m＋n＋b m＋n＞a m b n＋a n b m(a ＞0，b＞0，a≠b，m＞0，n＞0)．答案：a m＋n＋b m＋n＞a m b n＋a n b m(a＞0，b＞0，a≠b，m＞0，n ＞0)10．(2013·重庆一中月考)已知圆：x2＋y2＝r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为：x0x＋y0y＝r2，类比以上结论有：双曲线：x2a2－y2b2＝1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为：_______________________.解析：设圆上任一点为(x0，y0)，把圆的方程中的x2、y2替换为x0x，y0y，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线x2 a2－y2b2＝1上任一点为(x0，y0)，则有切线方程为x0xa2－y0yb2＝1(这个结论是正确的，证明略)．答案：x0xa2－y0yb2＝111．(2012·中山四校联考)如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，则第11行的实心圆点的个数是________________．解析：观察前几行可知，实心圆点的个数变化满足斐波那契数列，该数列的前11项是0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，所以第11行的实心圆点有55个．答案：5512．观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？解析：设f(n)为n个点可连的弦的条数，则f(2)＝1，f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，…，f(n)＝n n－2.因此圆周上n个点之间所连的弦共有n()n－12条(n≥2)．13．(2013·广东中山模拟)设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解析：f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－1 2＋3－36＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝3 3.证明：设x1＋x2＝1，f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝x1＋3＋x2＋3 x1＋3x2＋3＝3x1＋3x2＋233x 1＋x2＋3x1＋3x2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋23＝33.14．已知点M (k ，l )，P (m ，n )(klmn ≠0)是曲线C 上的两点，点M ，N 关于x 轴对称，直线MP ，NP 分别交x 轴于点E (x E,0)和点F (x F,0)．(1)用k ，l ，m ，n 分别表示x E 和x F;(2)当曲线C 的方程分别为：x 2＋y 2＝R 2(R >0)，x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)时，探究x E ·x F 的值是否与点M ，N ，P 的位置相关；(3)类比(2)的探究过程，当曲线C 的方程为y 2＝2px (p >0)时，探究x E 与x F 经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论(只要求写出你的探究结论，无须证明)．解析：(1)依题意N (k ，－l )，且klmn ≠0及MP ，NP 与x 轴有交点知：M ，P ，N 为不同点，直线PM 的方程为y ＝n －lm －k(x －m )＋n ，直线PN 的方程为y ＝n ＋lm －k(x －m )＋n ，则x E ＝nk －ml n －l ，同理可得x F ＝nk ＋ml n ＋l.(2)∵M ，P 在圆C ：x 2＋y 2＝R 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝R 2－n 2，k 2＝R 2－l 2，x E ·x F ＝n 2k 2－m 2l 2n 2－l2＝n 2R 2－l 2－R 2－n 2l 2n 2－l2＝R 2(定值)． ∴x E ·x F 的值与点M ，N ，P 位置无关．同理，∵M ，P 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝a 2－a 2n 2b 2，k 2＝a 2－a 2l 2b 2，∴x E ·x F ＝n 2k 2－m 2l 2n 2－l 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2－a 2l 2b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2－a 2n 2b 2l2n 2－l 2＝a 2(定值)．∴x E ·x F 的值与点M ，N ，P 位置无关．(3)一个探究结论是：x E ＋x F ＝0.证明如下：依题意，x E ＝nk －ml n －l ，x F ＝nk ＋mln ＋l .∵M ，P 在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，∴n 2＝2pm ，l 2＝2pk .x E ＋x F ＝n 2k －ml 2n 2－l 2＝pmk －2pmkn 2－l 2＝0.∴x E ＋x F 为定值．。

高三数学合情推理与演绎推理试题1.（已知集合，且下列三个关系：•‚ƒ有且只有一个正确，则.【答案】【解析】由已知，若正确，则或，即或或或均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若正确，则正确，不符合题意；所以，正确，，故.【考点】推理与证明.2.观察分析下表中的数据：面数（）顶点数（)棱数（)5 6 9猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.【答案】【解析】①三棱锥：,得；②五棱锥：,得；③立方体：,得；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：，故答案为【考点】归纳推理.3.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”，类比推出，“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”，类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比正确的为()A．①②B．①④C．①②③D．②③④【答案】A【解析】对于③，“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”是错误的，如a＝2＋i，b＝1＋i，则a－b＝1>0，但2＋i>1＋i不正确；对于④，“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”是错误的，如y＝＋i，|y|＝<1，但－1<＋i<1是不成立的．故选A.4. 1955年，印度数学家卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了对四位自然数的一种交换：任给出四位数，用的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数n(即将的四个数字由小到大排列，规定反序后若左边数字有0，则将0去掉运算，比如0001，计算时按1计算)，得出数，然后继续对重复上述变换，得数，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行k次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t(这个数称为Kaprekar变换的核).通过研究10进制四位数2014可得Kaprekar变换的核为 .【答案】6174【解析】把5 298代入计算，用5 298的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9852．则9852-2589=7263，用7263的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7632．则7632-2367=5265，用5265的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6552．则6552-2556=3996，用3996的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9963．则9963-3699=6264，用6264的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6642．则6642-2466=4176，用4176的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174，用6174的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174…可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．同样地，把4 852代入计算，可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．故答案为：7，6174【考点】合情推理.5.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则．【答案】数列为等比数列，且通项为．【解析】根据等差数列与等比数列类似原理，等差数列和的算术均值对应等比数列积的几何均值，即数列为等比数列，且通项为.【考点】类比6.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则．【答案】数列为等比数列，且通项为【解析】根据等差数列与等比数列类似原理，等差数列和的算术均值对应等比数列积的几何均值，即数列为等比数列，且通项为.【考点】类比7.有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是().A．26B．31C．32D．36【答案】B【解析】有菱形纹的正六边形个数如下表:由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.故选B．8.观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（）A．01B．43C．07D．49【答案】B【解析】根据题意，72=49，73=343，74=2401，则75的末两位数字为07，进而可得76的末两位数字为49，77的末两位数字为43，78的末两位数字为01，79的末两位数字为07，…分析可得规律：n从2开始，4个一组，7n的末两位数字依次为49、43、01、07，则72011的与73对应，其末两位数字43；故选B．9.将正偶数、、、、按表的方式进行排列，记表示第行和第列的数，若，则的值为（）第列第列第列第列第列第行第行第行第行第行A. B. C. D.【答案】C【解析】由表所反映的信息来看，第行的最大偶数为，则，由于，解得；另一方面奇数行的最大数位于第列，偶数行最大数位于第列，第行最大数为，此数位于第行第列，因此位于第行第列，所以，，故，选C.【考点】推理10.观察下列等式：；；；……则当且时， .（最后结果用表示）【答案】【解析】等式规律为：项数为所以【考点】数列归纳11.将1，2，3，，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．【答案】二；【解析】由题意，不能写在第一张卡片上，因为，不能写在第二张卡片上，因为，故只能写在第三张卡片上；不能写在第一张卡片上，因为，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第二张卡片上；不能写在第二张卡片上，因为，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第一张卡片上；剩余只能放到第二，三张卡片上，不能写在第三张卡片上，因为，故只能写在第二张卡片上，剩余只能放到第三张卡片上，故6应该写在第二张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．【考点】逻辑推理．12.在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).【答案】(1)3,1,6(2)79【解析】(1)四边形DEFG可看作由3个边长为1的正方形构成,故S=3,内部有一个格点,N=1,边界上有6个格点,即L=6.(2)取题图中的三角形ABC,四边形DEFG,再取一个边长为2的格点正方形,可得解得当N=71,L=18时,S=71+×18-1=79.13.已知=2,=3,=4,…,若=7,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a、t的值,a+t=.【答案】55【解析】类比所给等式可知a=7,且7t+a=72·a,即7t+7=73,∴t=48.∴a+t=55.14.如图，三角形数阵满足：（1)第n行首尾两数均为n;（2）表中的递推关系类似杨辉三角4则第n行（n≥2)第2个数是＿＿＿＿．【答案】【解析】因为由三角形数阵知，第三行的第二个数可以表示为；第四行的第二个数可表示为；第五行的第二个数可表示为.….由此可合情推理，根据图形第n行的第二个数为.故填.【考点】1.合情推理的思想.2.关键是找到规律.15.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N*),猜想f(x)的表达式为()A．f(x)=B．f(x)=C．f(x)=D．f(x)=【答案】B【解析】∵f(1)=1,∴f(2)==,f(3)===,f(4)==,…,由此可猜想f(x)=.16.推理“①矩形是平行四边形;②正方形是矩形;③正方形是平行四边形”中的小前提是() A．①B．②C．③D．以上均错【答案】B【解析】①是大前提,③是结论,②是小前提.17.设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,故fn(x)=.【答案】【解析】根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…可知fn(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故fn(x)=.18.已知P(x0,y)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时求导,得:2yy'=2p,则y'=,所以过P的切线的斜率:k=.试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程为.【答案】2x-y-=0【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy'=2x,∴y'=,∴y'===2,∴切线方程为y-=2(x-),∴2x-y-=0.19.设等差数列{an }的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:设等比数列{bn }的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列.【答案】【解析】根据等比数列的性质知,b1·b2·b3·b4,b5·b6·b7·b8,b9·b10·b11·b12,b13·b14·b15·b16成等比数列,∴T4,,,成等比数列.20.已知下列等式：观察上式的规律,写出第个等式________________________________________.【答案】【解析】．【考点】归纳推理．21.已知，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有．（填上所有错误步骤的序号）【答案】③【解析】，在不等式的两边同时乘以，不等号方向发生变化，即，则有.【考点】不等式的性质、演绎推理22.（文科）给出下列等式：，，，……请从中归纳出第个等式：．【答案】；【解析】根据，，，易得第个等式：【考点】本题考查了归纳推理的运用点评：熟练运用归纳推理观察式子特点是解决此类问题的关键，属基础题23.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系o-xyz中，经过点A(1,2,3)且法向量为＝(－1，－2,1)的平面的方程为____________ ．（化简后用关于x，y，z的一般式方程表示）【答案】x＋2y－z－2＝0【解析】根据法向量的定义，若为平面α的法向量，则⊥α，任取平面α内一点P（x，y，z），则⊥，∵=（1-x，2-y，3-z），=(-1，-2，1)，∴（x-1）+2（y-2）+（3-z）=0，即x+2y-z-2=0，故答案为x+2y-z-2=0。

[B 组 因材施教·备选练习]1．(2014年大同模拟)已知一个数列{a n }的各项是1或2，首项为1，且在第k 个1和第(k ＋1)个1之间有(2k －1)个2，即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，则前2 012项中1的个数为( )A ．44B ．45C ．46D ．47解析：依题意得，第k 个1和它后面(2k －1)个2的个数之和为2k ，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列，该数列的前n 项和等于n (2＋2n )2＝n (n ＋1)．注意到2 012＝44×45＋32，因此在题中的数列中，前2 012项中共有45个1，选B.答案：B2．设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 15x ＋16， ……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.解析：依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n .所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x (2n －1)x ＋2n. 答案：x (2n －1)x ＋2n 3．(2014年南昌模拟)给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1,2,3，…，2 014，从第二行起每一个数都等于它“肩上”两个数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是________．解析：观察数表，可以发现规律：每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，……，第2 010行公差为22 009，第2 014行只有M ，令每行首项组成新数列{a n }，则a 1＝1＝1＋12×20，a 2＝2＋12×21，a 3＝3＋12×22，a 4＝4＋12×23，…，a n ＝n ＋12×2n －1， ∴a 2 014＝2 014＋12×22 013 ＝2 015×22 012，得出M 是2 015×22 012. 答案：2 015×22 012。

第五节 合情推理与演绎推理预习设计 基础备考知识梳理典题热身1．数列O ，1，3，7，15，31的一个通项公式是 （ ）12.-=n n a A 12.-=n n a B 12.1-=-n n a C 12.1+=-n n a D答案：C2．下列说法正确的是A ．合情推理就是归纳推理B ．合理推理的结论不一定正确，有待证明C ．演绎推理的结论一定正确，不需证明D ．类比推理是从特殊到一般的推理答案：B3．观察下式：+=++++=++=4,576543,3432,11222,,710987652=+++++则第n 个式子是 ( ) 2)12()2()1(.n n n n n A =-++++++2)12()12()2()1(.-=-++++++n n n n n B2)12()23()2()1(.-=-++++++n n n n n c2)12()13(.)2()1(.-=-+⋅+++++n n r n n n D答案：C4．两条直线相交，对顶角相等，A ∠和B ∠是对顶角，则.B A ∠=∠该证明过程中大前提是 ，小前提是 结论是5．观察下列不等式：+++>++>31211,131211,211+++>+31211,2371 ++++>+ 31211,2151.. ,,25311 >由此猜想第n 个不等式为 ).(⋅∈N n课堂设计 方法备考题型一 归纳推理的应用【例1】观察：;160tan 20tan 60tan 10tan 20tan 10tan =⋅+⋅+⋅ ①.175tan 10tan 75tan 5tan 10tan 5tan =⋅+⋅+⋅ ②由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广。

题型二 类比推理的应用【例2】在△ABC,中，射影定理可以表示为,cos cos B c C b a +=其中a ，b ，c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想．题型三 演绎推理的应用【例3】(1)证明函数x x x f 2)(2+-=在]1,(-∞上是增函数．(2)当]2,5[--∈x 时，)(x f 是增函数还是减函数？技法巧点(1)合理推理主要包括归纳推理和类比推理，数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．(2)合情推理的过程概括为：(3)演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．(4)合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确，但合情理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法．而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）．失误防范1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据，随堂反馈1．下面给出了关于复数的四种类比推理；①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质22||a a =可类比得到复数z 的性质;||22z z =③方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++有两个不同实数根的条件是,042>-ac b 可以类比得到：方程 ,,(02b a c bz az =++)C c ∈有两个不同复数根的条件是;042>-ac b④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，其中类比得到的结论错误的是( )①③.A ②④.B ②③.c ①④.D答案；C2．观察下列式子：,232112<+,353121122<++ ,474131211222<+++ …由此可得出一般的结论为答案： *),2(12131211222N n n n n n∈≥-<++++ 3．（2010．江苏姜堰中学期中）如图①，数轴上),()(21x B x A 、点P 分AB 的比,λ=PB AP 则点P 的坐标 λλ++=121x x xp 成立;如图②，在梯形ABCD 中，,////BC AD EF 且λ=EB AE ，则⋅+⋅+=λλ1BC AD EF 根据以上类比，推理，如图③，在棱台ABC C B A -111中，平面DEF 与平面ABC 平行，且=DAD A 1、111,C B A ∆λ△DEF 、△ABC 的面积依次是21,,s s s 则有结论：答案： λλ++=121s s S 高效作业 技能备考一、选择题1．(2011．合肥模拟)下面使用类比推理恰当的是 ( )A ．“若a ．3=b·3，则,,b a =类比推出“若,00⋅=⋅b a 则,,b a =”“bc ac c b a B +=+)(.类比推出“cb c a c b a +=+” ”“bc ac c b a c +=+)(.类比推出”“)0(=/+=+c c b c a c b a ”“n n n b a ab D =)(类比推出”“（n n n b a b a +=+) 答案：C2．（2011．珠海联考）给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）； ①“若,,R b a ∈则,,0b a b a =⇒=-类比推出“若,,C b a ∈则”；b a b a =⇒=-0②“若,,,,R d c b a ∈则复数,,,d b c a di c bi a ==⇒+=+类比推出“若,,,,Q d c b a ∈则;,22”d b c a d c a ==⇒+=+③若,,R b a ∈“则”b a b a >⇒>-0类比推出“若,,c b a ∈则.0”b a b a >⇒>-其中类比结论正确的个数是 ( )0.A 1.B 2.c 3.D答案：C3．(2011．舟山模拟)定义A D D c C B B A *,*,*,*的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( )D A D B A *,*. C A D B B *,*. D A c B c *,*. D A D C D *,*.答案：B4．古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图(1)中的1，3,6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )289.A 1024.B 1225.c 1378.D答案：G5．（2010．清远模拟）,11)(xx x f -+=又记),()(1x f x f =)),(()(1x f f x f k k =+,,2,1 =k 则)(2009x f 等于 ( ) x A 1.- x B . 11.+-x x c xx D -+11. 答案：D6．如果)()()(y f x f y x f ⋅=+且,1)1(=f 则++)3()4()1()2(f f f f )2011()2012()2009()2010(f f f f ++ 等于( ) 1005.A 1006.B 2008.C 2010.D答案：B二、填空题7．（2010．陕西高考）观察下列等式：++=+3323321,32133323321,63++=,,10423 =+根据上述规律，第五个等式为答案：233333321654321=+++++8．（2011．南阳模拟）观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有 个小正方形.答案：289．（2011．福州模拟）根据三角恒等变换，可得如下等式：;cos cos θθ=;1cos 22cos 2-=θθ;cos 3cos 43cos 2θθθ-=;1cos 8cos 84cos 24+-=θθθ.cos 5cos 20cos 165cos 35θθθθ+-=依此规律，猜想,1cos cos cos 326cos 246-++=θθθθn m 其中=+n m答案：30-三、解答题10．已知数列}{n a 中，211=a 且),,2,1(121 =+=+n a a a n n n 写出5432,,,a a a a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式．11．（2011．青岛调研）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为PN PM k k ,时，那么FM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值，试对双曲线-22a x 122=by 写出具有类似特性的性质，并加以证明． 12.设}{n a 是集合,0|22{t s s t <≤+且}z t s ∈、中所有的数从小到大排列成的数列，即.,9,6,5,34321x a a a a ====,,12,106 =a 将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行；(2)求⋅100a。

第五节合情推理与演绎推理基础回顾一、推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提，另一部分是由已知推出的判断，叫做结论．二、合情推理根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理．合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类．1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，归纳推理简称归纳．2．类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理简称类比．三、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．三段论是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．基础自测Ｋ1．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算结果分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的(M)，(N)所对应的运算结果可能是(B)A．B*D，A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D解析：根据图(1)，(2)，(3)，(4)和定义的运算知，A对应竖线，B对应正方形，C对应横线，D对应圆，∴(M)对应B*D，(N)对应A*C.故选B.2．给出下列类比推理的命题：①把a(b ＋c)与log a (x ＋y)类比，则有log a (x ＋y)＝log a x ＋log a y. ②把a(b ＋c)与sin(x ＋y)类比，则有sin(x ＋y)＝sin x ＋sin y.③把a(b ＋c)与a x ＋y 类比，则有a x ＋y ＝a x ＋a y.④把a(b ＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 其中，类比结论正确的命题的个数是1．解析：任意判断前3个类比的结论都是错误的，只有第4个类比的结论是正确的． 3．观察下列等式： 1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49， …照此规律，第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.． 4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 条“金鱼”需要火柴棒的根数为6n ＋2．解析：由图形间的关系可以看出，第一个图中有8根火柴棒，第二个图中有8＋6根火柴棒，第三个图中有8＋2×6根火柴棒，以此类推第n 个“金鱼”需要火柴棒的根数是8＋6(n －1)，即6n ＋2.高考方向1.主要考查运用归纳推理和类比推理解决具体问题，其中归纳推理是考查的重点和热点，一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大，以中低档题目为主.2.对演绎推理的考查，多通过解答题，是以其他相关知识的考查融合一体，有时也以选择题的形式出现，若为解答题，难度一般中等偏上，若为选择题，则难度较低.品味高考1．(2013·某某卷)观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝（－1）n ＋12n(n ＋1)．解析：分n 为奇数、偶数两种情况，第n 个等式的左边为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2，当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n （n ＋1）2；当n 为奇数时，第n 个等式右边＝－n （n －1）2＋n 2＝n （n ＋1）2，综上，第n 个等式： 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝（－1）n ＋12n(n ＋1)．2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8．解析：两个正四面体的体积比应等于它们的棱长比的立方，故应为1∶8.高考测验1．21×1＝2，22×1×3＝3×4，23×1×3×5＝4×5×6，24×1×3×5×7＝5×6×7×8，…，依此类推，第n 个等式为2n×1×3×…(2n －1)＝(n ＋1)·…(2n－1)·2n ．解析：观察已知中的等式： 21×1＝2， 22×1×3＝3×4， 23×1×3×5＝4×5×6， 24×1×3×5×7＝5×6×7×8， ………由此推断，第n 个等式为： 2n×1×3×…(2n －1)＝(n ＋1)·…(2n－1)·2n.2．根据下列4个图形及黑方块的个数的变化规律，现用f(n)表示第n 个图形的黑方块总数，则f(5)＝25，试猜测f(n)＝n 2．课时作业1．(2013·某某某某模拟)“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误是(A ) A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：y ＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错，故选A. 2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm”类比得到“a·b ＝b·a”；②“(m ＋n)t ＝mt ＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“t≠0，mt ＝nt ⇒m ＝n”类比得到“c≠0，a·c＝b·c ⇒a ＝b”； ④“|m ·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”． 以上类比得到的正确结论的序号是(C ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 解析：由向量的数量积的概念知“a·b＝b·a”正确；由向量的运算法则知“(a＋b)·c ＝a·c＋b·c”正确；当a ，b 都与c 垂直时，“c≠0，a·c＝b·c ⇒a ＝b”不正确；当a⊥b 时“|a·b|＝|a|·|b|”不正确．故选C.3．无限循环小数为有理数，如：0.1·，0.2·，0.3·，…，观察0.1·＝19，0.2·＝29，0.3·＝13，…，则可归纳出0.4· 5·＝(B )A.12B.511C.120D.5110解析：观察知0.1·＝19，0.2·＝29，0.3·＝39，…，所以可归纳出0.4· 5·＝4599＝511.4．已知f(x ＋1)＝2f （x ）f （x ）＋2，f(1)＝1(x∈N *)，猜想f(x)的表达式为f(x)＝2x ＋1．解析：由归纳推理可知：f(2)＝23，f(3)＝24，f(4)＝25…，所以可归纳出f(x)＝2x ＋1.5．观察下列不等式： ①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜3；…则第5个不等式为12＋16＋112＋120＋130＜5．解析：由①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜3；归纳可知第四个不等式应为12＋16＋112＋120<2；第五个不等式应为12＋16＋112＋120＋130＜ 5.6．观察下列等式： 13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据以上规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＝1_296(结果用具体数字作答)．解析：观察前3个等式发现分别从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等于右边的分别是这几个数的和的平方，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＝(1＋2＋…＋8)2＝362＝1 296.7．函数f(x)由下表定义：x 2 5 3 1 4 f(x)12345若a 0＝5，a n ＋1＝f(a n )，n ＝0，1，2，…，则a 2 014＝1． 解析：a 0＝5，a 1＝2，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝5，…， ∴a n ＋4＝a n ，a 2014＝a 2＝1.8．如图，一个树形图依据下列规律不断生长： 1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，则第11行的实心圆点的个数是55．解析：观察前几行可知，实心圆点的个数变化满足裴波那契数列，该数列的前11项是0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，所以第11行的实心圆点有55个．9．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.请你归纳出一个一般性的结论，并证明．解析：一般形式：sin 2a ＋sin 2(a ＋60°)＋sin 2(a ＋120°)＝32.证明：左边＝1－cos 2a 2＋1－cos （2a ＋120°）2＋1－cos （2a ＋240°）2 ＝32－12[cos2a ＋cos (2a ＋120°)＋cos (2a ＋240°)] ＝32－12[cos 2a ＋cos 2acos 120°－sin 2asin 120°＋cos 2acos 240°－sin 2asin 240°)]＝32－12[cos 2a －12cos 2a －32sin2a －12cos 2a ＋32sin 2a]＝32＝右边． ∴原式得证．10．已知点M(k ，l)，P(m ，n )(klmn≠0)是曲线C 上的两点，点M ，N 关于x 轴对称，直线MP ，NP 分别交x 轴于点E(x E ，0)和点F(x F ，0)．(1)用k ，l ，m ，n 分别表示x E 和x F;(2)当曲线C 的方程分别为：x 2＋y 2＝R 2(R>0)，x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)时，探究x E ·x F 的值是否与点M ，N ，P 的位置相关；(3)类比(2)的探究过程，当曲线C 的方程为y 2＝2px(p>0)时，探究x E 与x F 经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论．解析：(1)依题意N(k ，－l)，且klmn≠0及MP ，NP 与x 轴有交点知：M ，P ，N 为不同点，直线PM 的方程为y ＝n －lm －k(x －m)＋n ，则x E ＝nk －ml n －l ，同理可得x F ＝nk ＋mln ＋l .(2)∵M，P 在圆C ：x 2＋y 2＝R 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝R 2－n 2，k 2＝R 2－l 2， x E ·x F ＝n 2k 2－m 2l 2n 2－l 2＝n 2（R 2－l 2）－（R 2－n 2）l 2n 2－l 2＝R 2(定值)． ∴x E ·x F 的值与点M ，N ，P 位置无关． 同理，∵M ，P 在椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝a 2－a 2n 2b2，k 2＝a 2－a 2l2b 2，∴x E ·x F ＝n 2k 2－m 2l2n 2－l2＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2l 2b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2n 2b 2l2n 2－l2＝a 2(定值)．∴x E ·x F 的值与点M ，N ，P 位置无关．(3)一个探究结论是：x E ＋x F ＝0.证明如下：依题意，x E ＝nk －ml n －l ，x F ＝nk ＋mln ＋l .∵M ，P 在抛物线C ：y 2＝2px(p>0)上，∴n 2＝2pm ，l 2＝2pk.x E ＋x F ＝2（n 2k －ml 2）n 2－l 2＝2（2pmk －2pmk ）n 2－l 2＝0. ∴x E ＋x F 为定值．。

第五节 含绝对值的不等式1．若关于x 的不等式||x －a <1的解集为()1，3，则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2答案：A2．已知p ：||x ≤2，q ：0≤x ≤2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：B3．(2013·株洲模拟)不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集是( )A ．{x |0≤x <1}B ．{x |x <0且x ≠1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：当x ≥0时，(x ＋1)(x －1)<0，∴0≤x <1.当x <0时，(x ＋1)2>0，∴x ≠－1，综上可知，选D.答案：D4．(2013·佛山一模)已知集合M ＝{x ||x －4|＋|x －1|＜5}，N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，则a ＋b ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由集合M 中的不等式，解得：0＜x ＜5，所以M ＝{x |0＜x ＜5}，因为N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，所以a ＝2，b ＝5，于是a ＋b ＝2＋5＝7.故选B.答案：B5．已知a ∈R ，则“a <2”是“|x －2|＋|x |>a 恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵|x －2|＋|x |≥|(x －2)－x |＝2，∴当a <2时，不等式成立，反之也成立．故选C.答案：C6．(2013·广州一模)不等式|x －1|≤x 的解集是________________．解析：当x ≥1时，x －1≤x ，即－1≤0；当x ＜1时，1－x ≤x ，x ≥12；所以原不等式解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞7．(2013·汕尾二模)不等式2|x |＋|x －1|＜4的解集为________________．解析：当x ＜0时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：－2x ＋1－x ＜4，解得－1＜x ＜0， 当0≤x ≤1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋1－x ＜4，解得0≤x ≤1，当x ＞1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋x －1＜4，解得1＜x ＜53， 综上不等式的解集为：⎝⎛⎭⎪⎫－1，53. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，538．已知a 和b 是任意非零实数，则|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为________．解析：∵|2a ＋b |＋|2a －b |≥|2a ＋b ＋2a －b |＝4|a |对于任意的a ，b 恒成立，∴最小值为4.答案：49．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|.∴|a －2|≥1解之得a ≤1或a ≥3.答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)10．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________________．解析：因为|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－(x －2)|＝3依题意有|a |≥3，解得a ≤－3或a ≥3. 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)11．不等式1x 2－x ≤1|x |的解集是________．解析：当x 2－x <0，即0<x <1时，不等式成立；当x 2－x >0，即x <0或x >1时，x 2－x ≥|x |，∴x －x 2≤x ≤x 2－x .解得x ≥2或x ≤0，∴x ≥2或x ＜0.综上可知，不等式的解集为(－∞，0)∪(0,1)∪[2，＋∞)．12．(2013·天津模拟)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________.解析：|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．答案：{x |－2≤x ≤5}13．设函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)不等式f (x )≤a 的解集为{x |0≤x ≤1}，求a 的值；(2)若g (x )＝1f （x ）＋f （x ＋1）＋m的定义域为R ，求实数m 的取值范围．．解析：(1)由f (x )≤a ，得1－a 2≤x ≤1＋a 2. ∵不等式f (x )≤a 的解集为{x |0≤x ≤1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2＝0，1＋a 2＝1.解得a ＝1. (2)由g (x )＝1f （x ）＋f （x ＋1）＋m ＝1|2x －1|＋|2x ＋1|＋m的定义域为R 知， 对任意实数x ，有|2x －1|＋|2x ＋1|＋m ≠0恒成立．∵|2x －1|＋|2x ＋1|≥|(2x －1)－(2x ＋1)|＝2，∴m >－2，即实数m 的取值范围为(－2，＋∞)．14．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.(1)解析：f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4恒成立；当x >1时，由2x <4，得1<x <2，∴M ＝{x |－2＜x ＜2}．(2)证明：当a ，b ∈M 时，－2<a <2，－2<b <2，∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2.∴2|a ＋b |<|4＋ab |.。

课时提升作业(三十九)一、选择题1.(2013·上饶模拟)观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,可以得出的一般结论是( )(A)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2(B)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(C)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2(D)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)22.(2013·宝鸡模拟)观察下列数1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是( )(A)13,39,123 (B)42,41,123(C)24,23,123 (D)28,27,1233.如图是2012年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )4.(2013·海口模拟)记S n是等差数列{a n}前n项的和,T n是等比数列{b n}前n项的积,设等差数列{a n}公差d ≠0,若对小于2011的正整数n,都有S n=S2011-n成立,则推导出a1006=0.设等比数列{b n}的公比q≠1,若对于小于23的正整数n,都有T n=T23-n成立,则( )(A)b11=1 (B)b12=1(C)b13=1 (D)b14=15.将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,…为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a2 012－5=( )(A)1 009×2 011(B)1 009×2 010 (C)1 009×2 009 (D)1 010×2 0116.已知f 1(x)=sinx+cosx,记f 2(x)=f '1(x),f 3(x)=f '2(x),…,f n (x)=f 'n-1(x)(n ∈N +且n ≥2),则f 1(错误！未找到引用源。

2015高考数学合情推理与演绎推理一轮复习测试2015高考数学合情推理与演绎推理一轮复习测试【选题明细表】知识点、方法题号归纳推理3、5、9、11、13、15类比推理2、4、8、10、12演绎推理1、6、7、14一、选择题1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是(B)(A)①(B)②(C)③(D)①和②解析:由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选B.2.(2013河南焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;③若“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选C.3.(2013上海闸北二模)平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为(C)(A)n+1(B)2n(C)(D)n2+n+1解析:1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;……;n 条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域,选C.4.定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4),那么如图中(a)(b)所对应的运算结果可能是(B)(A)B*D,A*D(B)B*D,A*C(C)B*C,A*D(D)C*D,A*D解析:观察图形及对应运算分析可知,基本元素为A→|,B→□,C→—,D→⚫,从而可知图(a)对应B*D,图(b)对应A*C.故选B.5.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是(B)(A)(7,5)(B)(5,7)(C)(2,10)(D)(10,1)解析:依题意,由和相同的整数对分为一组不难得知,第n组整数对的和为n+1,且有n个整数对.这样前n组一共有个整数对.注意到因此第60个整数对处于第11组的第5个位置,可得为(5,7).故选B.6.对于a、b∈(0,+∞),a+b≥2(大前提),x+≥2(小前提),所以x+≥2(结论).以上推理过程中的错误为(A)(A)小前提(B)大前提(C)结论(D)无错误解析:大前提是a,b∈(0,+∞),a+b≥2,要求a、b都是正数;x+≥2是小前提,没写出x的取值范围,因此本题中的小前提有错误.故选A.7.在实数集R中定义一种运算“*”,对任意给定的a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;(2)对任意a∈R,a*0=a;(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.关于函数f(x)=(3x)*的性质,有如下说法①函数f(x)的最小值为3;②函数f(x)为奇函数;③函数f(x)的单调递增区间为,.其中所有正确说法的个数为(B)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:f(x)=f(x)*0=*0=0*+(3x)*0]+-2×0=3x×+3x+=3x++1.当x=-1时,f(x)因为f(-x)=-3x-+1≠-f(x),所以②错误;令f'(x)=3->0,得x>或x因此函数f(x)的单调递增区间为,,③正确.故选B.二、填空题8.(2013山东实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足+=1,则a1+a2≤”的证明过程:证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤.根据上述证明方法,若n个正实数满足++…+=1时,你能得到的结论为.(不必证明)解析:由题意可构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1,因对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ=4(a1+a2+…+an)2-4n≤0,即a1+a2+…+an≤.答案:a1+a2+…+an≤9.(2013山东莱芜模拟)容易计算2×5=10,22×55=1210,222×555=123210,2222×5555=12343210.根据此规律猜想×所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为.解析:由2×5,22×55,222×555的结果可知×的结果共18位,个位为0,其他数位从左向右为连续的自然数且左右对称,即×=123456789876543210,所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为898.答案:89810.(2013江西师大附中模拟)若数轴上不同的两点A,B分别与实数x1,x2对应,则线段AB的中点M与实数对应,由此结论类比到平面得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)对应,则△ABC的重心G与对应.解析:由类比推理得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)对应,则△ABC的重心G与,对应.答案:,11.观察下列几个三角恒等式①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;②tan5°tan100°+tan100°tan(-15°)+tan(-15°)tan5°=1;③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1.一般地,若tanα,tanβ,tanγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为.解析:所给三角恒等式都为tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1的结构形式,且α、β、γ之间满足α+β+γ=90°,所以可猜想当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.答案:当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=112.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列. 解析:对于等比数列,通过类比等差数列的差与等比数列的商,可得T4,,,成等比数列.答案:13.用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形,则按此规律,第100个图形中有白色地砖块;现将一粒豆子随机撒在第100个图中,则豆子落在白色地砖上的概率是.解析:按拼图的规律,第1个图有白色地砖3×3-1(块),第2个图有白色地砖3×5-2(块),第3个图有白色地砖3×7-3(块),…,则第100个图中有白色地砖3×201-100=503(块).第100个图中黑白地砖共有603块,则将一粒豆子随机撒在第100个图中,豆子落在白色地砖上的概率是.答案:503三、解答题14.在锐角三角形ABC中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.证明:∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>,∴A>-B,∵y=sinx在上是增函数,∴sinA>sin=cosB,同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC. 15.已知函数f(x)=,(1)分别求f(2)+f,f(3)+f,f(4)+f的值;(2)归纳猜想一般性结论,并给出证明;(3)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f+f+…+f.解:(1)∵f(x)=,∴f(2)+f=+=+=1,同理可得f(3)+f=1,f(4)+f=1.(2)由(1)猜想f(x)+f=1,证明:f(x)+f=+=+=1.(3)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f+f+…+f=f(1)+f(2)+f+f(3)+f+…+f(2013)+f=+=+2012 =.。

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考点30 合情推理与演绎推理一、选择题1. （2013·广东高考理科·Ｔ8）设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n =.令集合S =｛(,,)x y z |,,x y z X ∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立｝，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（ ）A.(,,),(,,)y z w S x y w S ∈∉B.(,,),(,,)y z w S x y w S ∈∈C.(,,),(,,)y z w S x y w S ∉∈D.(,,),(,,)y z w S x y w S ∉∉【解题指南】本题在集合背景下利用新定义考查推力论证能力，应理解好元素在集合S 中的含义.【解析】选B. (,,)x y z S ∈即,,x y z X ∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立，则,,x y z 是X 中两两互不相同的三个数（不妨设x y z <<），同理，(,,)z w x S ∈意味着,,z w x 也两两互不相同（由于x z <，w x z <<或x z w <<有且只有一个成立），对于(,,)y z w 由于y z <，且w x z w y z <<⇒<<或x z w y z w <<⇒<<，所以(,,)y z w S ∈.同理，对于(,,)x y w 由于x y <，x z w x y w <<⇒<<或w x z w x y <<⇒<<，所以(,,)x y w S ∈.二、填空题2.（2013·山东高考文科·Ｔ16）与（2013·山东高考理科·Ｔ16）相同定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题： ①若0,0a b >>，则ln ()ln b a b a ++=②若0,0a b >>，则ln ()ln ln ab a b +++=+③若0,0a b >>，则ln ()ln ln aa b b+++≥- ④若0,0a b >>，则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++ 其中的真命题有： （写出所有真命题的编号）【解题指南】 本题为新定义问题，要注意新定义的函数的特点，根据新定义解决问题.【解析】①当1,0a b >>时，1b a >，ln ()ln ln ,ln ln b b a a b a b a b a ++===，所以ln ()ln b a b a ++=成立.当01,0a b <<>时，01b a <<，此时ln ()0,ln 0b a b a ++==，即ln ()ln b a b a ++=成立.综上ln ()ln b a b a ++=恒成立. ②当1,a e b e==时，ln ()ln10,ln ln 1,ln 0ab a e b +++=====，所以ln ()ln ln ab a b +++=+不成立.对于③,当a ≥b>0时,a b≥1,此时ln ()ln()0,a ab b+=≥, 当a ≥b ≥1时,ln +a-ln +b=lna-lnb=ln()a b , 此时命题成立;当a>1>b>0时, ln +a-ln +b=lna,此时ab>a>1,故命题成立;同理可验证当1>a ≥b>0时, ln ()a b +≥ln +a-ln +b 成立;当a b <1时,同理可验证是正确的,故③正确;对于④,可分a ≤1,b ≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论,依据定义判断出④是正确的.【答案】①③④3. （2013·陕西高考理科·Ｔ14）观察下列等式:211= ，22123-=-，2221263+-=，2222124310-+-=-，…照此规律, 第n 个等式可为 .【解题指南】通过观察发现:“=”号右侧数的绝对值为首项为1,公差为1的等差数列的前n 项和,从而根据等差数列求和公式求解.【解析】12=1,12-22=-(1+2),12-22+32=1+2+3,12-22+32-42=-(1+2+3+4),…,12-22+32-42+…+(-1)n+1n 2 =(-1)n+1(1+2+…+n) =n 1n(n 1)1)2（-++ 【答案】222n 1n(n 1)1231)2n-12--（-1）n （-++++= 4. （2013·陕西高考文科·Ｔ13）观察下列等式:23(11)21(21)(22)213(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯…照此规律, 第n 个等式可为 .【解题指南】根据已经给出的部分规律推知整体的规律，然后根据这些规律和相关的数学知识进行推理或计算，从而找到问题的答案.【解析】考察规律的观察、概况能力，注意项数，开始值和结束值. 第n 个等式可为: n (n 1)(n 2)(n 3)(n n)2135(2n 1)++++=⋅⋅⋅⋅⋅- 【答案】n (n 1)(n 2)(n 3)(n n)2135(2n 1)++++=⨯⨯⨯⨯⨯-关闭Word文档返回原板块。