最新沪科版八年级数学下册教案精选教学文档
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第1课时 二次根式的概念 1．了解二次根式的概念；(重点) 2．理解二次根式有意义的条件；(重点) 3．理解a(a≥0)是一个非负数，并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点)
一、情境导入 1．小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？ 2．已知圆的面积是6π，你能求出该圆的半径吗？
大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！ 二、合作探究 探究点一：二次根式的概念 【类型一】 二次根式的识别
(2015·安顺期末)下列各式：①12；②2x；③x2＋y2；④－5；⑤ 35，其中二次根式的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故选B.
方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“ ”；②被开方数为非负数．两者缺一不可． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 二次根式有意义的条件
代数式x＋1x－1有意义，则x的取值范围是( ) A．x≥－1且x≠1 B．x≠1 C．x≥1且x≠－1 D．x≥－1
解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－1且x≠1.故选A.
方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非 负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点二：利用二次根式的非负性求值 【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值 (1)已知a，b满足2a＋8＋|b－1|＝0，求2a－b的值； (2)已知实数a，b满足a＝b－2＋2－b＋3，求a，b的值．
解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可．
解：(1)由题意知2a＋8＝0，b－1＝0，得2a＝－8，b＝1，则2a－b＝－9； (2)由题意知b－2≥0，2－b≥0，解得b＝2.所以a＝0＋0＋3＝3. 方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；②当题目中，同时出现a和－a时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a＝0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型二】 与二次根式有关的最值问题 当x＝________时，3x＋2＋3的值最小，最小值为________．
解析：由二次根式的非负性知3x＋2≥0，∴当3x＋2＝0即x＝－23时，3x＋2＋3
的值最小，此时最小值为3.故答案为－23，3. 方法总结：对于二次根式a≥0(a≥0)，可知其有最小值0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计 本节课的内容是在我们已学过的平方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件
第2课时 二次根式的性质
1．理解和掌握(a)2＝a(a≥0)和a2＝|a|；(重点) 2．能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算．(难点)
一、情境导入 如果正方形的面积是3，那么它的边长是多少？若边长是3，则面积是多少？ 如果正方形的面积是a，那么它的边长是多少？若边长是a，则面积是多少？你会计算吗？ 二、合作探究 探究点一：利用二次根式的性质进行计算 【类型一】 利用(a)2＝a(a≥0)计算 计算： (1)(0.3)2; (2)(－13)2； (3)(23)2; (4)(2x－y)2.
解析：(1)可直接运用(a)2＝a(a≥0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab)2
＝a2b2，再利用(a)2＝a(a≥0)进行计算． 解：(1)(0.3)2＝0.3； (2)(－13)2＝(－1)2×(13)2＝13； (3)(23)2＝22×(3)2＝12； (4)(2x－y)2＝22×(x－y)2＝4(x－y)＝4x－4y.
方法总结：形如(nm)2(m≥0)的二次根式的化简，可先利用(ab)2＝a2b2，化为
n2·(m)2(m≥0)后再化简． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用a2＝|a|计算 计算：
(1)22； (2)（－23）2； (3)－（－π）2.
解析：利用a2＝|a|进行计算． 解：(1)22＝2； (2)（－23）2＝|－23|＝23； (3)－（－π）2＝－|－π|＝－π. 方法总结：a2＝|a|的实质是求a2的算术平方根，其结果一定是非负数．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 【类型三】 利用二次根式的性质化简求值 先化简，再求值：a＋1＋2a＋a2，其中a＝－2或3.
解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答． 解：a＋1＋2a＋a2＝a＋（a＋1）2＝a＋|a＋1|，当a＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；当a＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.
方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化简，再求值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题 探究点二：利用二次根式的性质进行化简 【类型一】 与数轴的综合 如图所示为a，b在数轴上的位置，化简2a2－（a－b）2＋（a＋b）2.
解析：由a，b在数轴上的位置确定a＜0，a－b＜0，a＋b＜0.再根据a2＝|a|进行化简． 解：由数轴可知－2＜a＜－1，0＜b＜1，则a－b＜0，a＋b＜0.原式＝2|a|－|a－b|＋|a＋b|＝－2a＋a－b－(a＋b)＝－2a－2b.
方法总结：利用a2＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包
括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】 与三角形三边关系的综合 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.
解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c，根据二次根式的性质得出含有
绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可． 解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.
方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三
边)，得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题 三、板书设计 二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基础．本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯．性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用
第1课时 二次根式的乘法
1．掌握二次根式的乘法运算法则；(重点) 2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)
一、情境导入 小颖家有一块长方形菜地，长6m，宽3m，那么这个长方形菜地的面积是多少？
二、合作探究 探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件 式子x＋1·2－x＝（x＋1）（2－x）成立的条件是( ) A．x≤2 B．x≥－1 C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2
解析：根据题意得
x＋1≥0，
2－x≥0.解得－1≤x≤2.故选C.
方法总结：运用二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 探究点二：二次根式的乘法 【类型一】 二次根式的乘法运算 计算： (1)53×27125；
(2)918×(－1654)； (3)135·23·(－3416)； (4)2a8ab·(－236a2b)·3a(a≥0，b≥0)． 解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘． 解：(1)原式＝53×27125＝35； (2)原式＝－(9×16)18×54＝－32182×3＝－273； (3)原式＝－(2×34)85×3×16＝－3245＝－355； (4)原式＝－2a×238ab·6a2b·3a＝－16a3b. 方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】 逆用性质3(即ab＝a·b，a≥0，b≥0)进行化简 化简：
(1)196×0.25； (2)（－19）×（－6481）； (3)225a6b2(a≥0，b≥0)． 解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定
符号． 解：(1)196×0.25＝196×0.25＝14×0.5＝7； (2)（－19）×（－6481）＝19×6481＝19×6481＝13×89＝827； (3)225a6b2＝225·a6·b2＝15a3b. 方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完
全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．
