合情推理与演绎推理
目标要求：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发展中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
考查角度[合情推理]
1．(2014·课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解：由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙没去过C 城市，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.
【答案】 A
2．(2013·陕西高考)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
……
照此规律，第n个等式可为________．
解：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每
个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为(n ＋1)(n ＋
2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．
【答案】 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)
3．(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种
多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n
2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：
三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，
正方形数 N (n,4)＝n 2，
五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，
六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，
……
可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 解：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数
时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫k 2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n .故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.
【答案】 1 000
[命题规律预测]
考向一 归纳推理
【例1】 (2014·陕西高考)已知f (x )＝x 1＋x
，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 014(x )的表达式为________．
由f n ＋1(x )＝f (f n (x ))分别求出f 2(x )，f 3(x )，然后观察f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )中等式的分子与分母系数间的关系，猜想f 2 014(x )的表达式．
解：f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x
1＋2x 1＋x 1＋2x
＝x 1＋3x ，…，由数学归纳法得f 2 014(x )＝x 1＋2 014x
. 【答案】 f 2 014(x )＝x 1＋2 014x
常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．
[对点练习]
如图11-2-1所示，一个质点在第一象限和坐标轴上运动，在第一秒钟内它由原点运动到点(0,1)，然后按图中所示在与x轴、y轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么2 000秒后，这个质点所处位置的坐标是()
图11-2-1
A．(44,25)B．(45,25)
C．(25,45) D．(24,44)
【解析】质点到达点(1,1)处，走过的单位长度是2，接下来质点运动的方向与y轴方向相反；
质点到达点(2,2)处，走过的单位长度是6＝2＋4，接下来质点运动的方向与x轴方向相反；
质点到达点(3,3)处，走过的单位长度是12＝2＋4＋6，接下来质点运动的方向与y 轴方向相反；
质点到达点(4,4)处，走过的单位长度是20＝2＋4＋6＋8，接下来质点运动的方向与x 轴方向相反；
……
猜想：
质点到达点(n ，n )处，走过的单位长度是2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)，且n 为偶数时，接下来质点运动的方向与x 轴方向相反；n 为奇数时，接下来质点运动的方向与y 轴方向相反．所以2 000秒后是指该质点到达点(44,44)后，继续移动了20个单位，由图中规律可得该质点沿与x 轴相反的方向前进了20个单位，即该质点所处位置的坐标是(24,44)．
【答案】 D
考向二 类比推理
【例2】 (1)(2014·郑州模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a m
＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *
)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.
(2)(2014·南昌模拟)在平面上，若两个正三角形的边长为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
