江苏高二文科复习学案+练习19_函数应用题

27.数形结合在导数中的应用一、课前准备：【自主梳理】数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路。

最常用的是以形助数的解题方法，其实质就是对图形性质的研究，使要解决的数的问题转化为形的讨论，实现“由一种代数形式转化为几何形式”的数学化归。

【自我检测】1．函数)(x f y =的图像在点p 的切线方程是8+-=x y ，则)5(f = ，)5('f = 。

2．下图中，有一个是函数1)1(31)(223+-++=x a ax x x f (a∈R，a≠0)的导函数)('x f 的图象，则)1(-f ＝____。

3．函数)(x f y =的图象过原点且它的导函数)('x f g =的图象是如图所示的一条直线，则)(x f y =图象的顶点在第 象限.4．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)('x f 在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f在开区间),(b a 内极小值点有 个.5．求函数32)(24++-=x x x f 的最值二、课堂活动：【例1】已知抛物线2x x y -=上两点A ，B 的 横坐标分别是-1,1在抛物线的弧⋂AB 上求一点C ，使ABC ∆得面积最大。

变式：曲线)12(ln -=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是 。

【例2】已知函数k x e k x x f 2)()(-=，求)(x f 的单调区间。

【例3】已知0≥a ，函数. x e ax x x f )2()(2-=，设)(x f 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围。

【例4】设R a ∈，试分别确定关于的x 的三次方程0323=--a x x 有一根、有两根、有三根时a 的取值范围。

课堂小结1、 数形结合，利用导数几何意义解题。

心尺引州丑巴孔市中潭学校单元测试三一、填空题1． 56是数列{n 2+3n +2}的第 项2．一套共7册的书方案每两年出一册，假设出完全部各册书，公元年代之和为14 035，那么出齐这套书的年份是3．等比数列{a n }中,a n >0，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，那么公比q = 4.等比数列}{n a 中a n >0,且243879236a a a a a a ++=,那么38a a +=５.等差数列{a n }中,前4项的和是1,前8项的和是4,那么17181920a a a a +++=６.等差数列{a n }的前11项的和S 11=66，那么a 6=７.数列x ,a 1,a 2,a 3,y 与x ,b 1,b 2,y 都是等差数列,且x ≠y ,那么=--1212b b a a８．假设数列{a n }(n ∈N *)的递推关系式为如下的伪代码所示，那么a 2 010＝９．数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n(n ≥2)，那么x n 等于______10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)12+n a－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，那么它的通项公式是a n ＝11.有两个等差数列{}n a ，{}n b ，3272121++=++++++n n b b b a a a n n ，那么88b a ＝____12.在数列{}n a 中，)(2,1,252121*++∈===N n a a a a a n nn ，那么5a =13.正数组成的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为14.{}n a 是递增数列,且对任意()*∈N n 都有nn a n λ+=2恒成立,那么λ的取值范围是二、解答题15．数列{2n -1a n }的前n 项和96n S n =-．⑴求数列{a n }的通项公式；⑵设2||3log 3n n a b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 16．假设某2021年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在 今后的假设干年内，该每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中， 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底．(1)该历年所建中低价房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于4 750万 平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.(1.085≈7)17．数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，假设函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，都有nn c c b c b c +++ 2111=a n +1成立，求 S n 18．数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3，…. (1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)设S n 、T n 分别为数列{a n }、{b n }的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λT n n 为等差数列？假设存在，求出λ的值；假设不存在，请说明理由．四、纠错分析学案40 单元测试三一、填空题1． 56是数列{n 2+3n +2}的第 6 项2．一套共7册的书方案每两年出一册，假设出完全部各册书，公元年代之和为14 035，那么出齐这套书的年份是__2 011______3．等比数列{a n }中,a n >0，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，那么公比q =251+ 4.等比数列}{n a 中a n >0,且243879236a a a a a a ++=,那么38a a += 6５.等差数列{a n }中,前4项的和是1,前8项的和是4,那么17181920a a a a +++=9６.等差数列{a n }的前11项的和S 11=66，那么a 6= 6７.数列x ,a 1,a 2,a 3,y 与x ,b 1,b 2,y 都是等差数列,且x ≠y ,那么=--1212b b a a 43８．假设数列{a n }(n ∈N *)的递推关系式为如下的伪代码所示，那么a 2 010＝___37_____９．数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n (n ≥2)，那么x n 等于__2n ＋1______10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)12+n a －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，那么它的通项公式是a n ＝___1n_____11.有两个等差数列{}n a ，{}n b ，3272121++=++++++n n b b b a a a n n ，那么88b a ＝____18107_____12.在数列{}n a 中，)(2,1,252121*++∈===N n a a a a a n nn ，那么5a = 2513.正数组成的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为___25_____．14.{}n a 是递增数列,且对任意()*∈N n 都有nn a n λ+=2恒成立,那么λ的取值范围是二、解答题15．数列{2n -1a n }的前n 项和96n S n =-．⑴求数列{a n }的通项公式；⑵设2||3log 3n n a b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 解： (1) 1n =时，13a =；2n ≥时，11113,1626,,62,22n n n n n n n n n a S S a a n ----=⎧-⎪=-=-∴=∴=⎨-≥⎪⎩ 〔2〕1n =时，13b =；2n ≥时，1111(32)(1)(1)1n n b n n n n n n n n b =-+=+∴==-+-， ∴11111115151323341616(1)n n S n n n n -=+-+-+-=-=+++。

第2讲函数的概念、图象与性质[2019考向导航]1．必记的概念与定理(1)若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．(2)单调性：利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．由几个函数构成的函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(3)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(4)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．2．记住几个常用的公式与结论图象变换规则(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到．(3)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．(4)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．(5)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(6)要得到y ＝|f (x )|的图象，可将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．(7)要得到y ＝f (|x |)的图象，可将y ＝f (x )，x ≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出x ＜0时的图象．(8)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0．(9)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然；利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．3．需要关注的易错易混点(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合的并集．(2)从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．(3)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．(4)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件．函数及其表示 [典型例题](1)(2019·高考江苏卷)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，－x 2＋1，x >0的值域为________． 【解析】 (1)要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1，7]．(2)当x ≤0时，函数f (x )＝2x单调递增，此时函数f (x )的值域为(0，1]；当x >0时，函数f (x )＝－x 2＋1单调递减，此时函数f (x )的值域为(－∞，1)．故函数f (x )的值域为(－∞，1]．【答案】 (1)[－1，7] (2)(－∞，1]函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．[对点训练]1．(2018·高考江苏卷)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．[解析] 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，即x ≥2，则函数f (x )的定义域是[2，＋∞)．[答案] [2，＋∞)2．(2019·南京四校第一学期联考)函数f (x )＝x 2－5x ＋6lg （2x －3）的定义域为________．[解析] 要使f (x )有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0lg （2x －3）≠0x 2－5x ＋6≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x ≠2x ≥3或x ≤2，所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪[3，＋∞)．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪[3，＋∞)函数的图象及应用 [典型例题](1)函数f (x )＝exx的图象大致为________．(2)(2019·镇江市高三调研考试)已知函数y ＝2x ＋12x ＋1与函数y ＝x ＋1x的图象共有k (k ∈N *)个公共点：A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，…，A k (x k ，y k )，则∑i ＝1k (x i ＋y i )＝________．【解析】 (1)由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝（x －1）exx2， 则当x ∈(－∞，0)和x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，故②正确． (2)函数y ＝f (x )＝2x ＋12x ＋1满足f (x )＋f (－x )＝2，则函数f (x )的图象关于点(0，1)对称，且f (x )在R 上单调递增，所以f (x )∈(0，2)．又函数y ＝x ＋1x的图象也关于点(0，1)对称，且在(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递减，画出两函数的大致图象如图所示，所以两个函数的图象共有2个公共点，A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，且这两个交点关于点(0，1)对称，则∑i ＝12(x i ＋y i )＝x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝2．【答案】 (1)② (2)2(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性．(2)有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数问题；利用此法也可由解的个数求参数值．[对点训练]3．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f （3）的值等于________．[解析] 因为由图象知f (3)＝1，所以1f （3）＝1．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f (1)＝2．[答案] 2函数的性质 [典型例题](1)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于________． (2)(2019·泰州模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤k ，k ，f （x ）＞k ，取函数f (x )＝2－|x |．当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为______．【解析】 (1)f (x )＝2·（2|x |＋1）＋x 32|x |＋1＝2＋x32|x |＋1， 设g (x )＝x 32|x |＋1，因为g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0．因为M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ， 所以M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4．(2)由f (x )>12，得－1<x <1．由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1．所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1．故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．【答案】 (1)4 (2)(－∞，－1)(1)求函数的单调区间的常用方法①利用已知初等函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． ②定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．③图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．(2)函数奇偶性与单调性分别是函数整体与局部的性质，它们往往在研究函数中“并驾”而行，解题时往往先通过函数奇偶性进行变形，再利用单调性求解．[对点训练]4．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0．若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3．[答案] (－1，3)分段函数 [典型例题](2018·高考江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．【解析】 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4．因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2．⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cosπ4＝22． 【答案】 22求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[对点训练]5． (2019·江苏省高考名校联考(三))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x ，x ≥0，－ax 2＋x ，x ＜0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14时，恒有f (x ＋a )＜f (x )，则实数a 的取值范围是________．[解析] 显然a ≠0，故考虑a ＞0和a ＜0两种情形．①当a ＞0时，画图知，函数f (x )在R 上单调递增，故f (x ＋a )＞f (x )，不符合题意；②当a ＜0时，此时f (x )的图象如图所示，由于不等式f (x ＋a )＜f (x )中两个函数值对应的自变量相差为－a ，因此用弦长为－a 的线段“削峰填谷”，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋－a 2，－12a ＋－a 2，即12a －a 2＜－14，即2a 2－a －2＜0，解得1－174＜a ＜0．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫1－174，06．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．[解析] 由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．[答案] －251．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________．[解析] 由题意知，f (0)＝20＋1＝2，则f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ，即4＋2a ＝4a ，所以a ＝2．[答案] 22．(2019·江苏省六市高三调研)函数f (x )＝lg （5－x 2）的定义域是________．[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg （5－x 2）≥0，5－x 2＞0，解得－2≤x ≤2，所以所求函数的定义域为[－2，2]．[答案] [－2，2]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． [解析] 因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数， 所以a －1＋2a ＝0，所以a ＝13．又f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，所以a ＋b ＝13．[答案] 134．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝________． [解析] 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1．① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1．② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，即f (x )＝x ＋1． [答案] x ＋15．(2019·江苏省高考名校联考信息(八))已知a ∈R ，函数f (x )＝a －24x ＋1的图象经过点A ⎝⎛⎭⎪⎫12，13，则关于x 的不等式f (x 2＋x )＋f (x －8)<0的解集为______． [解析] 因为函数f (x )＝a －24x＋1的图象经过点A (12，13)，所以f (12)＝a －23＝13，解得a ＝1，所以f (x )＝1－24x ＋1＝4x－14x ＋1，易知函数f (x )是R 上的增函数．又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数，所以关于x 的不等式f (x 2＋x )＋f (x －8)<0可转化为f (x 2＋x )<f (8－x )，所以x 2＋x <8－x ，即x 2＋2x －8<0，解得－4<x <2．[答案] －4<x <26．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知定义在[0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )＝12f (x ＋2)，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝x 2＋1，则log 2 f (8)＝______． [解析] 由题意得f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (8)＝2f (6)＝4f (4)＝8f (2)＝16f (0)＝16，所以log 2f (8)＝log 216＝4．[答案] 47．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________．[解析] 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2．因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6． [答案] 68．(2019·江苏省高考名校联考(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x 2－x ＋2，x ＞0，2，x ≤0，则不等式f (－x 2－1)≤f (－x 2＋5x )的解集为________．[解析] 因为－x 2－1≤－1＜0，所以f (－x 2－1)＝2，当－x 2＋5x ≤0时，f (－x 2－1)＝f (－x 2＋5x )＝2，原不等式成立，此时，x ≥5或x ≤0；当－x 2＋5x ＞0时，则需f (－x 2＋5x )≥2，即14(－x 2＋5x )2－(－x 2＋5x )＋2≥2，－x 2＋5x ≥4，得1≤x ≤4．故原不等式的解集为(－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)．[答案] (－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)9．(2019·江苏省高考名校联考(五))已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－mx (m ∈R )．若函数y ＝f (x )在区间(－2，1)上单调递减，则实数m 的最小值为________．[解析] 当x ＞0时，f (x )＝x 2－mx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22－m 24，所以当m ≤0时，函数y ＝f (x )在区间(－2，1)上不可能单调递减，所以不满足条件；当m ＞0时，根据函数的图象可知，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，m 2上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m2≤－2，m2≥1，即m ≥4，所以实数m 的最小值为4．[答案] 410．如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为________(填序号)．[解析] 当x ∈[0，π4]时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除①，③．当x ∈[π4，3π4]时，f (π4)＝f (3π4)＝1＋5，f (π2)＝22．因为22＜1＋5，所以f (π2)＜f (π4)＝f (3π4)，从而排除④．[答案] ② 11．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式． [解] 由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2； 由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba， 又因方程有唯一解，故1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2． 12．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)． (1)若f (x )的图象如图(1)所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图(2)所示，求a 、b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围．[解] (1)f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)， 所以a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2， 解得a ＝3，b ＝－3．(2)由题图(2)知，f (x )单调递减，所以0<a <1， 又f (0)<0，即a 0＋b <0，所以b <－1．(3)画出y ＝|f (x )|的草图，如图所示，知当m ＝0或m ≥3时，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解．13．已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为f (x )＝e x－e －x，且y ＝e x是增函数，y ＝－e －x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数且是奇函数，所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立，f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立，x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立，t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立，t 2＋t ≤(x 2＋x )min 对一切x ∈R 恒成立，即t 2＋t ≤－14，(2t ＋1)2≤0，所以t ＝－12．即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立．14．(2019·扬州模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )． (1)求f (2 016)的值；(2)求证：函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(3)若f (x )在区间[0，2]上是增函数，试比较f (－25)，f (11)，f (80)的大小． [解] (1)因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x )＝－f (x －4)＝－{－f [(x －4)－4]} ＝f (x －8)，知函数f (x )的周期为T ＝8． 所以f (2 016)＝f (252×8)＝f (0)． 又f (x )为定义在R 上的奇函数． 所以f (0)＝0，故f (2 016)＝0． (2)证明：因为f (x )＝－f (x －4)，所以f (x ＋2)＝－f [(x ＋2)－4]＝－f (x －2)＝f (2－x )，即f (2＋x )＝f (2－x )成立． 故函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称． (3)由(1)知f (x )是以8为周期的周期函数， 所以f (－25)＝f [(－3)×8－1]＝f (－1)，f (11)＝f (8＋3)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)， f (80)＝f (10×8＋0)＝f (0)．又f (x )在[0，2]上是增函数，且f (x )在R 上为奇函数，所以f (x )在[－2，2]上为增函数， 则有f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)．。

学案15 一次分式型函数y = ax+bcx+d(x ∈D)一、课前准备： 【自主梳理】1． 一次分函数的定义我们把形如(0,)cx dy a ad bc ax b+=≠≠+的函数称为一次分函数。

2． 一次分函数的图象和性质(0,)cx dy a ad bc ax b+=≠≠+ 2.1 图象：其图象如图所示.2.2定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x ；2.3 值域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a c y y ； 2.4 对称中心：⎪⎭⎫⎝⎛-a c ab ,； 2.5 渐近线方程：b x a =-和c y a=； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)ba-∞-和(,)ba-+∞分别单调递减；当ad<bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)ba-+∞分别单调递增； 【自我检测】 1．函数111--=x y 的图象是 ．2．函数31()1x f x x -=+的定义域是 ． 3．()10xy x x-=≠的值域是 ． 4．函数21()3x f x x +=+的单调增区间是 ．5．函数21()3x f x x -=+的对称中心是 ．6．函数()xf x x=是 函数．（填“奇”“偶”“非奇非偶”）二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）函数21()3x f x x -=+（()5,2-∈x ），则()x f 的值域是________． （2）函数21()3x f x x -=+（())5,2(4,5⋃--∈x ），则()x f 的值域是________．（3）已知函数()a x x x f -+=12，若*∈∀N x ，()()5f x f ≥恒成立，则a 的取值范围是 ．（4）若函数21()x f x x a+=+的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝ .【例2】（2018年江苏）设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有几个？【例3】已知函数2()1ax af x x +-=+，其中a R ∈。