第二章 剪切

第2章 拉伸 压缩与剪切

教学目的：了解材料的力学性质；掌握轴向拉伸、压缩、剪切和挤压的概念；掌

握轴向拉压时构件的内力、应力、变形的计算；熟练掌握剪切应力

及挤压应力的计算方法并进行强度校核；掌握拉压杆的超静定问题。

教学重点：建立弹性杆件横截面上内力、内力分量的概念；运用截面法画轴力图；

掌握低碳钢的力学性质；掌握轴向拉伸和压缩时横截面上正应力计

算公式及其适用条件；掌握拉压杆的强度计算；熟练掌握剪切和挤

压的实用计算。

教学难点：低碳钢类塑性材料在拉伸过程中反映出的性质；许用应力的确定和使

用安全系数的原因；强度计算问题；剪切面和挤压面的确定；剪切

和挤压的实用计算；拉压杆超的静定计算。 教 具：多媒体。

教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。举例

掌握轴向拉伸、压缩和剪切变形概念，通过例题、作业，加强辅导

熟练运用截面法，掌握轴力图的画法；建立变形、弹性变形、应变、

胡克定律和抗拉压刚度的概念；

教学内容：轴向拉伸和压缩的概念；强度计算；材料的力学性能及应力应变图；

许用应力与安全系数；超静定的计算；剪切概念；剪切实用计算；

挤压实用计算。

教学学时：8学时。

教学提纲：

2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例

1．实例

（1）液压传动中的活塞杆

（2）内燃机的连杆

（3）起吊重物用的钢索

（4）千斤顶的螺杆

（5）桁架的杆件

2．概念及简图

这些杆件虽然外形各异，受力方式不同，但是它们有共同的特点：

（1）受力特点：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件

变形是沿轴线方向的伸长或缩短。（如果两个F力是一对离开端截面的力，则将

使杆发生纵向伸长，这样的力称为轴向拉力； 如果是一对指向端截面的力，则

将使杆发生纵向缩短，称为轴向压力）。

（2）变形特点：主要变形是纵向伸长或缩短。

（3）拉（压）杆的受力简图：

（4）说明：本章所讲的变形是指受压杆没有被压弯的情况下，不涉及稳定

性问题。

材 料 力 学 公 式 汇 总

第二章：拉伸、压缩与剪切 序

号 名 称 公 式 备 注 页码

1 正应力 NF

Aσ= 应用条件：外力合力作用线沿杆

的轴线 P12

2 斜截面上的

正应力与切

应力 2coscos2

sin2α

ασ

σ=σα=(1+α)

2

σ

τ=α

2

P16

εσ=Ε 胡克定律 P19

- 1 -3 剪切胡克定

律 Gτ=γ 式中：--切应变；=γγr

lϕ

P53

NFL

l

EAΔ=±拉压杆轴向

变形 ()

pσσ≤时EA 4 --抗拉（压）刚度 式中：

P18

εε

ννενε

εε′′

σ′==−=−=−Ε ε′--横向正应变 泊松比（横向

变形系数） 式中：

ε--轴向正应变

P19

5

GEμ、、

关系 ()()0

045

1

031345...()

22

11

...()xy

xy

xyGa

G

b

EGE

Gεε

τγ

στ

στγτ

ε

μτ

εσμσ==

=

=

=−⎫

⎪

⎬

⎪⎭

⎫⎪

⎬

⎪⎭⇒=−=−

+

⇒=−=−⎧

⎪

⇐⎨

21+μ

⎪

⎩=

（）式中：G --切变模量

E—弹性模量

μ--泊松比

NFL

l

EA⎛⎞

Δ=⎜⎟

⎝⎠Q21

22NFl

VWFl

EAεΔ===杆件轴向拉

压应变能

P23

6

3J

m应变能密度

（单位体积

应变能） 2

211

222vE

Eσ单位：；总应变能

σεε===

VVv

εε=dv∫

P23

TllTlαΔ=⋅Δ⋅ 式中：

lα为材料线胀系数

P188杆件温度变

形量 7

RB

TFl

ll

EAΔ=Δ=RB

lFl

Tl

EAα⇒⋅Δ⋅=

RBlFETAα⇒=⋅⋅Δ⋅

()RB

TlF

ET

Aσα⇒==⋅⋅

热应力Δ

P188

附录I：截面的几何性质

1 静矩

ZASydA=∫ 2 形心 AZ

cydAS

y

AA==∫

P322

3 组合截

面形心

11nn

ciii

iiyAyA

===∑∑2

xAyxdA=∫

xyA 惯性矩 惯性积 yxydA=∫

P323

实心圆轴：4

22

02

32d

pd

Idπ

ρπρρ==∫

空心圆轴：4

444()(1

3232pD

IDdππ

)α=−=−

极惯

第二章拉伸、压缩与剪切小结一、轴向拉压杆的内力轴力轴向拉压时，杆件横截面上内力的合力，用FN表示。轴力正负号的规定杆件受拉而伸长的轴力为正，受压而缩短的轴力为负。或者表述为FN的方向与截面外法线方向一致的为正，反之为负。轴力的求法截面法，一般将所求截面的内力假设为正的数值，这一方法称为“设正法”。如结果为正，则说明假设正确，是拉力；如是负值，则说明假设错误，是压力。轴力图注意：1.轴力图与杆件应注意一一对应关系，习惯上在其值变化的角点标出数值；2.作图或校核时注意应用突变关系，即在外力作用面，轴力图突变，突变值（绝对值）的大小等于作用在该面的外力的大小；3.同一图应采用同一比例；二、应力1）横截面上的应力平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。由材料的假设可知，轴向拉压杆横截面上各点的应力相等，垂直于截面，用表示，即：使用条件:①外力的合力作用线必须与杆件轴线重合②当杆件的横截面沿轴线方向变化缓慢，而且外力作用线与杆件轴线重合时，也可近似地应用该公式。③不适用于集中力作用点附近的区域圣维南原理:作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与它静力等效的力系来代替。NFA2)斜截面上的应力轴向拉压时斜截面上的应力随其方位而变化总应力：正应力：切应力：三、材料的力学性能1）低碳钢拉伸4个阶段：弹性阶段、屈服（流动）阶段、强化阶段、局部变形（颈缩）阶段。4个极限应力：比例极限，弹性极限，屈服极限，强度极限两个塑性指标：延伸率和断面收缩率一个弹性模量coscosAFp2coscosp2sin2sinp%1001lll%1001AAAE2）其它材料的拉伸3）材料压缩时的力学性能塑性材料压缩时的力学性质与拉伸时的基本无异。脆性材料拉、压力学性能有较大差别，抗压能力明显高于抗拉能力。四、拉压杆的强度条件1）安全因数和许用应力塑性材料——屈服极限作为塑性材料的极限应力。脆性材料——强度极限作为脆性材料的极限应力。对于某些没有屈服阶段的塑性材料来讲，规定试样卸载后，有0.2％的塑性应变时的应力值作为规定残余伸长应力，称为名义屈服极限，记作0.2。上式中，令ssn则：][——许用应力其中，②脆性构件在荷载作用下正常工作条件是：bbn③材料的强度条件为：][AFN式中,nb——大于1的系数，称为安全系数, 2 ~ 3.50，甚至3 ~ 9.sssn式中：——大于1的系数，称为安全系数, 1.25 ~ 2.5。sn①塑性构件在荷载作用下正常工作条件是：2）强度条件及其应用对于轴向拉压构件，因，于是根据强度条件，我们可以解决：AFN/][maxmaxAFN②设计截面(构件安全工作时的合理截面形状和大小)①强度校核(判断构件是否破坏)][maxNFA③许可载荷的确定(构件最大承载能力的确定)][maxAFN注意:（1）当一个结构由几根拉、压杆组成时，各杆件都要满足强度条件，而且各杆件的实际轴力，必须满足所有的静力平衡条件。截面设计时，依据各杆件的实际轴力，根据强度条件，可设计出各杆的尺寸，如果诸多杆件要求同一尺寸，如面积，则应在设计的各杆尺寸中选取最大的。（2）在确定许可载荷时，由各杆可确定出数个许可载荷，则整个结构的许可载荷则应为诸个许可载荷中的最小者。（3）也可由某一杆进行截面设计和载荷估计，再对其余杆件进行强度校核，当不满足强度要求时，重新进行截面设计和许可载荷确定。五、轴向拉压时变形的计算1）轴向变形当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l与F和杆件的原长度成正比，与横截面面积A成反比。当轴力和横截面面积沿轴线方向变化时，应从研究dx微段考虑，dx段的变形为：对于阶梯形受拉（压）杆件且轴力沿轴线作连续变化，则总变形为各段变形的代数和，即2）横向应变EAlFlN()()()NFxdxdlEAxlNExAdxxFl1nNiiiiFllEAll''3）位移图解法欲求桁架结构某点的位移时一般假想将该节点解开，并求出（静定问题）或设出（静不定问题）某杆的变形量；其次从各杆伸长（缩短）的延线点作垂线，得该节点变形后的位置；再根据几何关系，确定各变形间的关系，称这种方法为位移图解法。当然也可设出变形后该节点的位置，再由变形后节点向各杆变形后轴线作垂线，最后由几何关系确定各变形关系，称这种方法为“以切代弧法”。六、拉压静不定问题1）简单拉压静不定2）装配应力3）温度应力七、应变能1）定义：在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变形能或应变能。2）变形能的计算在比例极限的范围之内，根据F-△L图可知：W根据功能原理可知：拉力F所作的功应等于杆件所储存的变形能。（缓慢加载，动能、热能忽略）杆件的变形能用表示，则：VEAlFLFWV2212单位体积的应变能：各种材料对应力集中的敏感程度不同，塑性材料在静载作用下的应力集中的影响可以不予考虑，而脆性材料（除特殊的，如铸铁），应力集中对构件有严重危害，应考虑它对承载能力的消弱。当构件承受动载时，无论什么材料，应力集中对构件的强度均有严重影响，它通常是构件破坏的根源，必须高度重视。应力集中程度与外形的突变程度直接相关，突变越剧烈，应力集中程度越剧烈。八、应力集中理论应力集中因数:nomKmax其中：——最大局部应力——名义应力（平均应力）nommax目录九、剪切和挤压的实用计算1）剪切实用计算剪切实用计算的强度条件：2）挤压实用计算挤压实用计算的强度条件：3）单剪切和双剪切AFSnu][bsbsbsAF4）连接处破坏三种形式:(1)剪切破坏(2)挤压破坏(3)拉伸破坏5）接头（连接与被连接件）的强度计算剪切、挤压、拉（压）

第二章 剪切

2-1 一螺栓连接如图所示，已知P=200 kN， =2 cm，螺栓材料的许用切应力[τ]=80Mpa，试求螺栓的直径。

解：4dcm

2-2 销钉式安全离合器如图所示，允许传递的外力偶距 m=10kN·cm，销钉材料的剪切强度极限b=360 Mpa，轴的直径D=30 mm，为保证m＞30000 N·cm 时销钉被剪切断，求销钉的直径 d。

解：

00200100003.1445.95MTQDQNQddmm

2-3 冲床的最大冲力为400 kN，冲头材料的许用应力[σ]=440 Mpa，被冲剪钢板的剪切强度极限b=360 Mpa。求在最大冲力作用

下所能冲剪圆孔的最小直径D和钢板的最大厚度。

解：34,10.4dmmmm

2-4 已知图示铆接钢板的厚度=10 mm，铆钉的直径为[τ]=140 Mpa，许用挤压应力[bs]=320 Mpa，P=24 kN，试做强度校核。

解：

105.7141.2jjMPaMPaL

2-5 图示为测定剪切强度极限的试验装置。若已经低碳钢试件的直径D=1 cm，剪断试件的外力P=50.2Kn，问材料的剪切强度极

限为多少？

解： 320bMPa

2-6一减速机上齿轮与轴通过平键连接。已知键受外力P=12 kN，所用平键的尺寸为b=28

mm，h=16 mm，l=60 mm，键的许用应

力[τ]=87 Mpa，[bs]=100 Mpa。试校核键的强度。

解：

221216807.14127.7*604621200026462iijQPkNAlbmmQMPaAPkNAKlmmPMPaA

所以都满足

2-7图示连轴器，用四个螺栓连接，螺栓对称的安排在直径D=480 mm的圆周上。这个连轴结传递的力偶矩m=24 kN·m，求螺

栓的直径d需要多大？材料的许用切应力[τ]=80 Mpa。