材料力学纯剪切互等定理

材料力学（拉伸压缩，剪切，扭转，弯曲）对比复习一，拉伸与压缩概念，公式，应用：1，与轴力FN 对应的应力是正应力 ：-------与直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力：垂直于斜截面的正应力： 相切与斜截面的切应力：2，卸载定律：材料在卸载过程中应力和应变是线性关系。

冷作硬化：材料的比例极限增高，延伸率降低。

3，强度条件：强度校核-- ；设计截面- 许可载荷-- 4，轴向拉伸或压缩时的变形：纵向变形： ，（ EA 为抗拉刚度）， 其中为胡克定律的表达式，E 为弹性模量（因材料而不同）。

5，轴向拉伸或压缩时的应变能：固体在外力作用下，因变形而储存的能量。

，有胡克定律知：N F Aσ=2cos cos p αασασα==sin cos sin sin 22p ααστασααα===[]σN F A ≥[]σA F N ≤1l l l ∆=-l =εN A A σ==E Elσε==N F l Fll EA EA∆==12W F l =∆12V W F l ε==∆2122Fl F lF EA EA==6，静定问题：杆件的轴力都可由静力平衡方程解出； 超静定问题：杆件的轴力并不能全由静力平衡方程解出。

{超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高}7，温度应力：，杆件的温度变形（伸长）： ，杆端作用产生的缩短：变形条件：应用：为了避免过高的温度应力，可以增加伸缩节，留有伸缩缝。

二，剪切的相关问题；剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。

变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。

1，切应力强度条件：纯剪切：薄壁圆筒扭转时的切应力 ，2，切应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。

T l l T lα∆=∆⋅RB F l l EA∆=-0T l l l ∆=∆+∆=RB l F lT l EAα∆⋅=[]ττ≤=AF s2e M r rπδτ=⋅⋅22e M r τπδ=3, 纯剪切：只有切应力并无正应力。

《材料⼒学》学习指导《材料⼒学》学习指导⼀、《材料⼒学》课程的总体把握1.《材料⼒学》的任务材料⼒学是继理论⼒学之后开设的⼀门专业基础课。

理论⼒学研究物体（刚体）在⼒的作⽤下的平衡与运动规律，材料⼒学研究构件（变形体）的承载能⼒。

材料⼒学的研究对象为变形固体，且仅限于⼯程结构中的杆件。

所有⼯程结构与构件均为变形体，⽽⼯程结构中杆件受⼒后多为⼩变形体，讨论⼩变形体的平衡问题时，⽐如：求⽀反⼒时，可近似⽤刚体⼒学的理论。

⼤部分⼯程材料可近似为连续、均匀、各向同性（变形固体的理想模型）与完全弹性的理想材料。

构件的承载能⼒表现为三个⽅⾯：构件抵抗破坏的能⼒，称为强度；构件抵抗变形的能⼒，称为刚度；构件保持原有构件形状的能⼒，称为稳定性；所以材料⼒学的任务是在理想材料和⼩变形的条件下，研究杆件的强度、刚度与稳定性。

2.掌握《材料⼒学》的研究⽅法材料⼒学⾸先研究杆件在四种基本变形下的内⼒、应⼒与变形。

计算静定结构的内⼒的⽅法为截⾯法，要⽤到刚体⼒学的理论，所以要对理论⼒学中平衡条件的灵活应⽤相当熟练。

讨论应⼒与变形时，要从杆件的整体变形与局部变形之间的⼏何关系、应⼒与应变之间的物理关系、内⼒与应⼒之间的静⼒学关系三⽅⾯⼊⼿。

其中⼏何关系是在试验观察与假设条件下建⽴起来的；物理关系是通过⼤量试验总结得来的；静⼒学关系是由内⼒与应⼒的等效条件通过积分得到的。

对于组合变形下的内⼒、应⼒与变形计算，只需要在四种基本变形的基础上，利⽤叠加原理即可。

如何解决组合变形下的强度问题，需研究危险截⾯上危险点的应⼒状态，通过简单试验观察到的各种材料的破坏现象，提出复杂应⼒状态下的破坏假说(强度理论），进⽽建⽴强度条件。

3.掌握《材料⼒学》的学习⽅法材料⼒学是⼀门典型的理论与实验相结合的课程，其基本概念很多，知识综合性较强，题⽬灵活多变。

该课程在基础课与专业课之间，充当着纽带与桥梁的作⽤。

要学好材料⼒学，不可能⼀蹴⽽就，要有吃苦耐劳的精神。

材料力学（一)轴向拉伸与压缩【内容提要】材料力学主要研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏、失效的规律。

为设计既安全可靠又经济合理的构件,提供有关强度、刚度与稳定性分析的基本理论与方法。

【重点、难点】重点考察基本概念，掌握截面法求轴力、作轴力图的方法，截面上应力的计算。

【内容讲解】一、基本概念强度—-构件在外力作用下，抵抗破坏的能力，以保证在规定的使用条件下,不会发生意外的断裂或显著塑性变形.刚度-—构件在外力作用下，抵抗变形的能力，以保证在规定的使用条件下不会产生过分的变形。

稳定性--构件在外力作用下，保持原有平衡形式的能力，以保证在规定的使用条件下,不会产生失稳现象。

杆件——一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件，称为杆件或简称杆。

根据轴线与横截面的特征，杆件可分为直杆与曲杆，等截面杆与变截面杆。

二、材料力学的基本假设工程实际中的构件所用的材料多种多样，为便于理论分析，根据它们的主要性质对其作如下假设。

(一）连续性假设-—假设在构件所占有的空间内均毫无空隙地充满了物质，即认为是密实的。

这样，构件内的一些几何量，力学量(如应力、位移）均可用坐标的连续函数表示,并可采用无限小的数学分析方法。

（二)均匀性假设——很设材料的力学性能与其在构件中的位置无关。

按此假设通过试样所测得的材料性能，可用于构件内的任何部位（包括单元体).(三)各向同性假设——沿各个方向均具有相同力学性能。

具有该性质的材料，称为各向同性材料。

综上所述，在材料力学中,一般将实际材料构件，看作是连续、均匀和各向同性的可变形固体。

三、外力内力与截面法（一）外力对于所研究的对象来说,其它构件和物体作用于其上的力均为外力，例如载荷与约束力.外力可分为:表面力与体积力;分布力与集中力；静载荷与动载荷等.当构件（杆件)承受一般载荷作用时，可将载荷向三个坐标平面（三个平面均通过杆的轴线，其中两个平面为形心主惯性平面）内分解，使之变为两个平面载荷和一个扭转力偶作用情况.在小变形的情况下，三个坐标平面内的力互相独立，即一个坐标平面的载荷只引起这一坐标平面内的内力分量,而不会引起另一坐标平面内的内力分量。

3-3 纯剪切
刚性圆环绕轴线发生相对转动
8-2 20:00
四、剪切胡克定律
回忆：拉压胡克定律：横截面上正应力和横截面上的点沿着轴线方向线应变之间的关系；切应力和角应变之间的关系；
横截面切应力比不超过比例极限；工作在线弹性范围内
角应变和切应力之间满足胡克定律；
1、A
2、成立剪切胡克定律不成立；
3、对
4、轴的转速越高，直径越大还是越小？
总结
1、受到什么样的外力，构件发生扭转变形；
受到一组力偶矩失与杆件的轴线平行的外力偶发生扭转变形；
2、这样的外力偶在杆件的横截面上产生何种内力？
产生扭矩，其力偶矩失与杆件的轴线平行；
3、在进行扭矩大小计算的时候，要求截面法截开以后要求内
力设正，不管外力偶方向如何，力偶矩失永远远离求内力的截
面。

4、方程：以内力的方向为正，同向相加反向相减。

5、怎么来做扭矩图？
N个外力偶把杆件分成N-1段，两个力偶之间一个截面，两
个外力偶之间内力不变
6、怎么确定危险截面
扭矩偏大，截面尺寸偏小的截面；
7、轴的合理受力问题，什么情况下轴的受力最合理；
最大扭矩绝对值要最小，轴的受力最合理；
8、切应力互等定理？
互相垂直的两个面上切应力成对出现；
切应力方向：同时指向或者同时远离
9、切应力互等定理适用于什么范围？
扭转变形过程中的任何阶段；
10、切应力和产生角应变，剪切胡克定律适用范围？
线弹性范围
做实验；18章4节圆轴的塑性扭转。

轴向拉压杆横截面上的应力：正应力：σ=N/A；应力单位N/m2，即Pa。

轴向拉压杆斜截面上的应力：总应力：pα=N/Aα=σcosα；正应力：σα=σcos2α；剪应力：τα= =(σsin2α)/2。

α：由横截面外法线转至斜截面外法线的转角，以逆时针转动为正；Aα：斜截面的面积；σα：拉应力为正，压应力为负；τα：以其对脱离体内一点产生顺时针转动为正，反之为负。

最大剪应力发生在α=±45°处的斜截面上。

轴向拉伸的变形：轴向变形△L=L’-L；ε=△L /L；横向变形：△a=a’-a；ε’=△a/a；虎克定律：应力不超过材料比例极限时，应力与应变成正比。

即：σ= Eε；△L= NL/ EA；EA为杆件的抗压（拉）刚度，表示杆件抵抗拉、压弹性变形的能力。

泊松比ν：应力不超过材料的比例极限时，ν=|ε’/ε|，ν是材料的弹性常数之一，无量纲。

变形能：杆件在外力作用下因变形而存储的能量。

轴向抗压杆的弹性变形能：U=N△L/2。

比能：单位体积存储的变形能。

u=σε/2。

单位：J/m3。

名义剪应力：假定剪应力沿剪切面均匀分布的。

则：τ=V/A V。

A V：剪切面面积。

纯剪切：单元体各个侧面上只有剪应力而无正应力称为纯剪切。

纯剪应力引起剪应变γ，即相互垂直的两线段间角度的改变。

单位为rad。

规定以单元体左下直角增大时，γ为正，反之为负。

剪应力互等定律：在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应力，总是大小相等，且共同指向或背离这一交线。

τ=τ’。

剪切虎克定律：剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力τ与剪应变γ成正比，即τ=Gγ；G：剪切模量。

对各向同性材料，G=E/2(1+ν)。

扭转：杆两端受到一对力偶矩相等，转向相反，作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。

变形特征：杆件表面纵向线变成螺旋线，即杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。

扭转角φ：杆件任意两横截面间相对转动的角度。

扭矩M T：受扭截面上的内力，是一个在截面平面内的的力偶，其力偶称为力偶矩。

第二章 剪切与挤压1．剪切力互等定理适用情况有下列四种答案：（A ） 纯剪切应力状态；（B ） 平面应力状态，而不论有无正应力作用；（C ） 弹性范围（即前应力不超过剪切比例极限）；（D ） 空间任意应力状态；正确答案是 。

2．图示A 和B 的直径都有为d ，则两者中最大剪应力为：（A ） 24d a bP π； （B ） ()24d a P b a π+； （C ）()24d b P b a π+； （D ） 24db aP π；正确答案是 。

3．铆接头的连接板厚度 t = d ，则铆钉剪应力 =τ ，挤压应力 bs σ= 。

P/2P/24．图示在拉力P 的作用下的螺栓，已知材料的剪切许用应力 []τ 是拉伸许用应力][σ的0.6倍。

螺栓直径 d 和螺栓头高度h 的合理比值是 。

5．拉杆头部尺寸如图所示，已知 []τ =100MPa ，许用挤压应力[]MPa bs 200=σ 。

校核拉杆头部的强度。

6．在铆接头中，已知钢板的 MPa 170][=σ ，铆钉的 MPa 140][=τ ，许用挤压应力 MPa bs 320][=σ 。

拭校核强度。

7．在金属板上冲圆孔时，把板放在有圆孔的砧上，用圆柱形的冲头向下冲，如图所示（砧孔和冲头的直径应与要冲的孔直径相配合）。

设有厚度t = 6 mm 的金属板，要冲出直径d = 20 mm 的圆孔。

已知板的剪切强度极限 MPa b 330=τ 。

试求冲头应加于板上的压力 b Pb=100 t=10 t=108．把三块尺寸相同的木块胶合起来，如图所示。

若P=10KN时，该胶合联接被剪开，试计算胶合处的平均抗剪强度。

9．图示木榫接头，F=50KN，试求接头的剪切与挤压应力。

1、材料力学得任务：强度、刚度与稳定性；应力单位面积上得内力。

平均应力（1、1）全应力（1、2）正应力垂直于截面得应力分量，用符号表示。

切应力相切于截面得应力分量，用符号表示。

应力得量纲：线应变单位长度上得变形量，无量纲，其物理意义就是构件上一点沿某一方向变形量得大小。

外力偶矩传动轴所受得外力偶矩通常不就是直接给出，而就是根据轴得转速n与传递得功率P来计算。

当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为拉（压）杆横截面上得正应力拉压杆件横截面上只有正应力，且为平均分布，其计算公式为 (3 -1)式中为该横截面得轴力，A为横截面面积。

正负号规定拉应力为正，压应力为负。

公式（3-1）得适用条件：（1）杆端外力得合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；（2）适用于离杆件受力区域稍远处得横截面；（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀；（4）截面连续变化得直杆，杆件两侧棱边得夹角时拉压杆件任意斜截面（a图）上得应力为平均分布，其计算公式为全应力 (3-2)正应力（3-3）切应力（3-4）式中为横截面上得应力。

正负号规定：由横截面外法线转至斜截面得外法线，逆时针转向为正，反之为负。

拉应力为正，压应力为负。

对脱离体内一点产生顺时针力矩得为正，反之为负。

两点结论：（1）当时，即横截面上，达到最大值，即。

当=时，即纵截面上，==0。

（2）当时，即与杆轴成得斜截面上，达到最大值，即1．2 拉（压）杆得应变与胡克定律（1）变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。

如图3-2。

图3-2轴向变形轴向线应变横向变形横向线应变正负号规定伸长为正，缩短为负。

（2）胡克定律当应力不超过材料得比例极限时，应力与应变成正比。

即（3-5）或用轴力及杆件得变形量表示为 (3-6)式中EA称为杆件得抗拉（压）刚度，就是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力得量。

第3章 扭转1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。

2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中，e M 为外力偶矩。

又由截面法：e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。

规定：若按右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T 为正；反之为负。

3、纯剪切（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。

（3）切应变 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。

γτG = G 为比例常数，称为材料的切变模量。

弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系：)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系：距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=（2）物理关系：ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。

dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= （3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式：dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力：pI T ρτρ=ρ最大时为R ，得最大切应力：pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。

则tW T =max τp I 和t W 的计算（1）实心轴：3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角，l 为两横截面间的距离。

1、（中）材料的三个弹性常数是什么它们有何关系?材料的三个弹性常数是弹性模量E，剪切弹性模量G和泊松比μ，它们的关系是G=E/2(1+μ)。

?2、何谓挠度、转角?挠度：横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移。

?转角：横截面绕其中性轴旋转的角位移。

?3、强度理论分哪两类最大应切力理论属于哪一类强度理论?Ⅰ.研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；Ⅱ.?研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。

?4、何谓变形固体在材料力学中对变形固体有哪些基本假设?在外力作用下，会产生变形的固体材料称为变形固体。

?变形固体有多种多样，其组成和性质是复杂的。

对于用变形固体材料做成的构件进行强度、刚度和稳定性计算时，为了使问题得到简化，常略去一些次要的性质，而保留其主要性质。

根据其主要的性质对变形固体材料作出下列假设。

1.均匀连续假设。

2.各向同性假设。

3.小变形假设。

?5、为了保证机器或结构物正常地工作，每个构件都有哪些性能要求?强度要求、刚度要求和稳定性要求。

?6、用叠加法求梁的位移，应具备什么条件?用叠加法计算梁的位移，其限制条件是，梁在荷载作用下产生的变形是微小的，且材料在线弹性范围内工作。

具备了这两个条件后，梁的位移与荷载成线性关系，因此梁上每个荷载引起的位移将不受其他荷载的影响。

?7、列举静定梁的基本形式?简支梁、外伸梁、悬臂梁。

?8、列举减小压杆柔度的措施?（1）加强杆端约束（2）减小压杆长度，如在中间增设支座（3）选择合理的截面形状，在截面面积一定时，尽可能使用那些惯性矩大的截面。

?9、欧拉公式的适用范围?只适用于压杆处于弹性变形范围，且压杆的柔度应满足：λ≥λ1=?10、列举图示情况下挤压破坏的结果?一种是钢板的圆孔局部发生塑性变形，圆孔被拉长；另一种是铆钉产生局部变形，铆钉的侧面被压扁。

?11、简述疲劳破坏的特征?（1）构件的最大应力在远小于静应力的强度极限时，就可能发生破坏；（2）即使是塑性材料，在没有显着的塑性变形下就可能发生突变的断裂破坏；（3）断口明显地呈现两具区域：光滑区和粗糙区。

剪应力互等定理的应用条件在力学领域中，剪应力互等定理是一个至关重要的原理，它为我们分析和理解材料在受力时的行为提供了有力的工具。

本文将深入探讨剪应力互等定理的应用条件，以期为读者在该领域的研究和实践提供有益的参考。

一、剪应力互等定理概述剪应力互等定理，又称为剪应力互等定律或剪切应力互等定律，是材料力学中的一个基本定理。

该定理指出，在受力物体内部任意一点处，如果存在剪应力，则该点处任意两个相互垂直方向上的剪应力必定相等。

这一原理为我们分析复杂应力状态下的材料行为提供了便利。

二、剪应力互等定理的应用条件虽然剪应力互等定理在力学分析中具有重要意义，但其应用并非无条件。

以下是剪应力互等定理的主要应用条件：1. 连续性假设：剪应力互等定理的应用基于材料的连续性假设。

这意味着我们假设材料在微观尺度上仍是连续的，不存在明显的空隙或裂缝。

只有在这样的前提下，我们才能确保应力在材料内部的传递是连续的，进而应用剪应力互等定理进行分析。

2. 线性弹性材料：剪应力互等定理主要适用于线性弹性材料。

这类材料在受力时，应力和应变之间呈线性关系，且当外力撤销后，材料能够完全恢复原状。

对于非线性弹性材料或塑性材料，剪应力互等定理的应用可能需要更复杂的分析方法。

3. 小变形假设：在应用剪应力互等定理时，我们通常假设材料发生的变形是微小的。

这是为了确保应力分析过程中的几何关系和物理关系保持近似线性，从而简化问题的复杂性。

对于大变形情况，可能需要考虑更复杂的非线性分析方法。

4. 静态平衡条件：剪应力互等定理主要适用于静态平衡条件下的应力分析。

这意味着我们假设材料在受力过程中处于平衡状态，不考虑动态效应（如惯性力）对剪应力的影响。

对于动态问题，可能需要采用其他分析方法。

三、剪应力互等定理的应用实例为了更好地理解剪应力互等定理的应用条件，我们可以通过以下实例加以说明：考虑一个承受纯剪切力的矩形梁，其上下表面受到大小相等、方向相反的剪切力作用。