第二章 第1节单自由度系统的自由振动

第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。

(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。

此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。

[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。

[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。

忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。

把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。

于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。

在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。

阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。

汽车轮悬置系统等等。

[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。

所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。

以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。

在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。

有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。

应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。

（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。

(1)无阻尼线性系统的自由振动为等幅简谐振动。
(2)无阻尼线性系统自由振动的固有角频率、固有频率、 振动周期仅由系统本身参数所确定，与激励、初始条件 无关。 (3)自由振动的振幅和初相角由初始条件所确定。
弹簧和阻尼器垂直放置 如图。 弹簧静变形量：δst=mg/k
F (t )
弹簧末变形时质块的位置与 静平衡时质块的位置不同
取静平衡位置为坐标原点，向下为坐标 δst=mg/k 正方向， 运动微分方程为：
(t ) F (t ) mg cx (t ) k[ x(t ) s t (t )] m x
单自由度线性系统运动微分方程：
(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
运动微分方程的特点及所解决的问题
燕山大学
Yanshan University
(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
运动微分方程的特点： (1)是二阶常系数、非齐次线性常微分方程； (2)方程左边完全由系统参数m、c与k所决定，反映了振动系统本 身的固有特性； (3)方程右边是振动系统的驱动力F(t)，即系统的激励。
A1 x0 v0 A 2 n
结论：
燕山大学
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x(t ) Asin nt
k n m
m T 2 k
1 fn 2 k m
2 v 2 A x0 0 n 1 n x0 tg v0 v0 1 tg n x0
燕山大学
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初始条件：
x (0) x0 x (0) v0

纯滚动圆盘
3 (R r) g 0
2
扭转振动系统
Jq ktq 0
pn
keq meq
kn I
pn
keq meq
mga JO
pn
keq meq
2g 3(R r)
pn
keq meq
kt J
梁的横向振动系统
dst
利用材料力学公式计算出静位移:
d st
mgl 3 48EI
pn
g
d st
48EI ml 3
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
例 已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2， 分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。
解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。
两根弹簧的静变形都是dst，弹性力分别是
F1 k1d st F2 k2d st 系统平衡方程 Fx 0 mg F1 F2 (k1 k2 )d st
2
1. 方程的解
x
x0 cos pnt
n
x&0 pn
sin
pnt
x Asin( pnt )
初
振幅
相
A
x02
(
x&0 )2 pn
位 角
arctg(
pn x0 x&0
)
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
系统振动的周期 T 2π 2π m x pn2 x 0
用一根弹簧k来代替k1 k2
f 1 k1 k2 2π m
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。
当物块在静平衡位置时，它的静位移dst等于每根弹簧的静变形 之和，即 dst = d1st + d2st 由于每根弹簧所受的拉力都等于重

二、单自由度系统的自由振动 1、无阻尼系统的自由振动 2、有阻尼系统的自由振动
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
正弦型激励 周期激励 任意激励
k
kx m x
m
F(t)
mx kx F0 sin t
p2 k m
x p2x F0 sin t
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x

iAei(t )
振幅
A
x02


x0 p
2
初相位
arctan px0
x0
固有圆频率 p k m
(rad/s)
固有频率 f p 1 k
2 2 m
(HZ)
固有周期 T 1 2 m (s)
f
k
例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质 量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量 m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随 后m1的振动。