2. 1认识无理数
I pi础知识必橙?一
一：预习探究
1.做一做
（1）在下图屮，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？错误!未找到引用源。（2）设该正方形的边长为b,则b应满足什么条件？（3）b是有理数吗?
二：展示探究
1?为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为。米, 则由勾股定理得,= 12+22,即/=5, d的值大约是多少？这个值可能是分数吗？错误!未找到引用源。
2. X2=8,则x _________ 分数，_____ 整数，______ 有理数.（填“是”或“不是”）
三：当堂训练
L下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.
错误!未找到引用源。
四：屮考链接
如图，在厶ABC屮，CD丄AB,垂足为D, AC=6, AD=5，问：CD可能是整数吗？可
能是分数吗？可能是有理数吗？
错误!未找到引用源。
四、无理数的概念
事实上，这些数既不是整数又不是分数，它们是无限不循环小数。又叫无理数。
1.无理数
⑴无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数.
（2）有理数与无理数的区别
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无
限循环小数也都是有理数.如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为］这样的分数形7
式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3瓦.
有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循坏小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能.
【例1】下列各数屮，哪些是有理数？哪些是无理数？
4 22 3. 141 592 6, -y 2.58, 6.751 75
5 175 551 7…（相邻7,1 之间 5 的个数逐次加1）,0, y,
JI — 5.23, 2~.
解：有理数有：
无理数有：
2.无理数的常见类型
判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：
(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数.
看似循坏而实质不循坏的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加
1)是无理数.
(2)圆周率兀以及含兀的数，如兀，2兀，兀+5,都是无理数.
(3 )开方开不尽的数(下一节学到).
【例3】下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？
9 9 1 1
0, y, 一4,0.12, , 1.112 111 211-(相邻两个 2 之间 1 的个数逐次加1), 3.141 592 7.
解：
辨误区兀与3.141 592 7的区别
3. 141 592 7属于有限小数，不是兀，要注意区分.
2.2平方根
(1)平方根的概念：如果一个数X的平方等于d，即那么这个数兀就叫做d的平方根(也叫做二次方根).32=9,所以3是9的平方根.(一3尸=9,所以一3也是9的平方根，所以9的平方根是3和一3.
(2)平方根的表示方法：正数a的平方根可记作“ ±&”，读作“正、负根号a”?“厂” 读作“根号是被开方数?例如：2的平方根可表示为±迈.
(3)平方根的性质：正数a的平方根有两个，它们互为相反数；只有()2=0,故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都不会是负数，故负数没有平方根.综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身; 负数没有平方根.如：4的平方根有两个：2和一2, —4没有平方根.
【例1—1】求下列各数的平方根
(1) 100 (2) (3) 0.25 (4) -16 (5)81； (6)(-
错误!未找到引用源。
7* (7)1為
练习：1.求下列各数的平方根.
(1)121； (2)0.01； (3)2； (4) (-13)2；
2.算术平方根
(1)算术平方根的概念：如果一个正数兀的平方等于。，即x2=a,那么这个正数兀就叫做a 的算术平方根?
()
()
( )
( )
(4) ±7()25 = 4.求下列各数的平方根.
9 (1) 100；(2) 0； (3)—
25(4) 1；0. 09
(2)算术平方根的表示方法：正数a的算术平方根记作“辺”，读作“根号G”?
(3)算术平方根的性质：疋数有一个正的篦术平方根；0的算术平方根是0；“负数没有平方根，当然也没有算术平方根.
淡重点算术平方根的性质
(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；
(2)—个正数Q的正的平方根就是它的算术平方根.如果知道一个数的算术平方根，就可以写出它的负的平方根.
【例2】求下列各数的算术平方根：
(1)0.09； (2)悬
解：(l)V0.32 = 0.09,
A0.09的算术平方根是0.3,
即7^09 = 0.3;
(2)
练习:
1、判断题(正确的打“V”，错误的打“X”)；
(1)任意一个数都有两个平方根，它们互为相反数;
(2)数a的平方根是土乔；
(3)—4的算术平方根是2；
(4)负数不能开平方；
(5)±764=8.
2.4的平方的算术平方根是()
3.计算：
(1) -79= (2) V9 =
6. J—的平方根是:9的平方根是^
V81
【例1一2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由.
9 2
(1)4：⑵。；(3)-9； (4)|-0.811； (5)—20
解：
3.开平方
求一个数a（a^O）的平方根的运算，叫做开平方，其中Q叫做被开方数.开平方运算是已知指数和幕求底数.
⑴兀$ =
196【例3】求下列各式中的x 的值
（2）5X 2 -10 = 0 （3）36（兀-3）2 _25=o
【例5】小明家计划用80块正方形的地板砖铺设面枳是20 m 2的客厅，试问小明家需要购买 边长是多少的地板砖？
解：
4.7孑与（逅F 的关系
诵表示Q 的算术平方根，依据算术平方根的定义，（辺）2 =心三0）.百表示於的算术平 方根，依据算术平方根的定义，若总0,则/的算术平方根为°；若6/<0,则/的算术平 _ [a, aNO, 方根为一a,即百=|4 =] —ch a<0.
联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算.②两式运算的结果都是非负数，即（込）2 20, 百20.③仅当a20时，有（佈=辰
点技巧巧用（逅F=a
将@）2=。反过来就是a=（佈,利用此式可使某些运算更为简便.
【例 4】 化简：（&）2= _________ ； ｛（_7）— __________ .
【例5—1】⑴求（一3尸的平方根;
⑵计算
⑶求3—3.142）2的算术平方根；
（4）求你 的平方根.
【例5 — 2】求下列各式的值:
⑴土何 (2)-V16； (3)^2?； (4)寸(—4)2.
解:(1)
(2)
⑶
⑷
弄清与平方根有关的三种符号土诵，辺，一辺的意义是解决这类问题的关键.土辺表 示非
负数G的平方根，&表示非负数d的算术平方根，一逅表示非负数G的负平方根.注意诵$±込.在具体解题时，“厂”的前面是什么符号，其计算结果就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添.
5.巧用算术平方根的两个“非负性”
众所周知，算术平方根诵具有双重非负性：
(1)被开方数具有非负性，即0三0.
(2)迈本身具有非负性，即辰0.由于初中阶段学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根.关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式.此类问题可以分成以下几种形式：
(1)算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题(|| + ( )2 = 0, | | +厂 = 0,( $+丁 = 0),甚至同一道题目中同时出现这三个内容(|| + ( )2+V~ = 0).
［仮！］ 6—1】若p—;^+歹=6,贝＞J x= _______ , y= __________ .
【例6—2】若|加一1|+寸/?一5 = 0,则加= ________ , n= __________ .
课题2.1 认识无理数 课型新授授课日期 主备人温亚玲审核人杨海东授课人使用班级学生姓名学号 学习目标 ①通过探究活动，让学生感受客观世界中无理数的存在； ②能判断三角形的某边长是否为无理数； ③学生亲自探究，培养学生的自主学习能力和探索精神； ④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解； 学习重点能判断三角形的某边长是否为无理数； 学习难点能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解 教具及实验设 计 教学活动知识与方法第一环节：课题引入 【想一想】 一个边长为1的正方形，对角线长为多少？ 第二环节：自主探究 1．【算一算】 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平 方，请问：x是整数（或分数）吗？ 2．【做一做】 （1）图1—1中，以直角三角形的斜边为边的正 方形的面积是多少？22 1
（2）设该正方形的边长为b，b满足个什么条件？ （3）b是有理数吗？ 第三环节：获取新知 【议一议】：已知22 a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？【释一释】：1．满足22 a=的a为什么不是整数？ 2．满足22 a=的a为什么不是分数？ 【忆一忆】：回顾“有理数”概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础 【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长Array度不是有理数的线段 第四环节：应用与巩固 1．如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？ A 2 h D B C
2. 下图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积。此正方形的边长是有理数吗？为什么？ 8 15 第五环节：课堂小结 1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？ 2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？ 3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？ 第六环节：课后反思
2.1认识无理数 （第一课时） 一、教学目标叙写 １．学生通过预习教材21页,并思考情景引入中的问题1． ２．学生通过合作探究部分，初步感知数不够用了,让学生充分感受“新数”（无理数）的存在. ３．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．４．学生能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解． 二、教学重难点 １．重点：让学生经历无理数的发现过程. ２．难点：会判断一个数是否为无理数． 三、教学过程 （一）、情景引入 ［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? ［生］在小学我们学过自然数、小数、分数. ［生］在初一我们还学过负数. ［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 1、思考：⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？ 2、已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？ （二）、自主探究 1.问题的提出 ［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？ ［生］好.(学生非常高兴地投入活动中). ［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. ［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：
2. 1认识无理数 I pi础知识必橙?一 一：预习探究 1.做一做 （1）在下图屮，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？错误!未找到引用源。（2）设该正方形的边长为b,则b应满足什么条件？（3）b是有理数吗? 二：展示探究 1?为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为。米, 则由勾股定理得,= 12+22,即/=5, d的值大约是多少？这个值可能是分数吗？错误!未找到引用源。 2. X2=8,则x _________ 分数，_____ 整数，______ 有理数.（填“是”或“不是”） 三：当堂训练 L下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段. 错误!未找到引用源。 四：屮考链接 如图，在厶ABC屮，CD丄AB,垂足为D, AC=6, AD=5，问：CD可能是整数吗？可 能是分数吗？可能是有理数吗？ 错误!未找到引用源。 四、无理数的概念 事实上，这些数既不是整数又不是分数，它们是无限不循环小数。又叫无理数。 1.无理数 ⑴无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数. （2）有理数与无理数的区别 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无 限循环小数也都是有理数.如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为］这样的分数形7 式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3瓦. 有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循坏小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能. 【例1】下列各数屮，哪些是有理数？哪些是无理数？ 4 22 3. 141 592 6, -y 2.58, 6.751 75 5 175 551 7…（相邻7,1 之间 5 的个数逐次加1）,0, y, JI — 5.23, 2~. 解：有理数有： 无理数有： 2.无理数的常见类型 判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：