2.1 认识无理数
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第二章 2.1 认识无理数-2022-2023学年八年级初二上册数学(北师大版)
第二章 2.1 认识无理数-2022-2023学年八年级初二上册数学（北师大版）2.1.1 无理数的引入在我们之前的学习中，我们已经学习了有理数，即可以表示为两个整数比值的数。
然而，有一类数是无法表示为两个整数比值的，这类数被称为无理数。
无理数最早起源于古希腊数学家毕达哥拉斯的一次发现。
他发现无法用整数的比值来表示平方根2这个数。
这直接导致了数学上一个重要的突破，即发现了无理数的存在。
2.1.2 无理数的定义无理数是指在实数集中无法表示为有理数的数。
它们的十进制表示是无限不循环的小数。
常见的无理数有根号2、圆周率π等。
我们可以将它们近似到任意位数，但无论如何都无法精确表示出来。
2.1.3 无理数的性质1. 无理数的无限性无理数是无限不循环的小数，它们的小数部分是无穷无尽的，不会出现重复的情况。
2. 无理数的无限逼近性对于任意一个无理数x，我们可以找到越来越接近它的有理数。
也就是说，无理数可以被有理数无限逼近。
3. 无理数的无理指数无理数的幂次方在大部分情况下都是无理数。
例如，根号2的平方根是2，根号2的立方根是根号2的平方。
2.1.4 无理数的表示方法无理数的表示方法主要有以下几种：1. 小数表示我们可以将无理数表示为十进制的小数。
例如，根号2约等于1.414。
2. 分数表示虽然无理数无法精确表示为有理数的比值，但我们可以将其表示为连分数的形式。
例如，根号2可以表示为1 + 1/(2 + 1/(2 + …))。
3. 根式表示无理数也可以表示为根式的形式。
例如，根号2就是一个根式表示。
2.1.5 无理数的运算无理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
无理数之间的运算与有理数的运算类似，但要注意无理数的无限性和无理指数。
无理数的加法和减法可以通过将它们表示为小数或分数进行计算。
无理数的乘法和除法需要注意无理数的无限逼近性，结果往往是一个无限循环的小数。
2.1.6 无理数的应用无理数在数学和物理学中有许多重要的应用。
2.1 认识无理数
认识无理数
【知识点清单】
1、有理数的分类
2、无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。
【例如：π，2.141231……，等等】
注意：a，b既不是整数，也不是分数，则a，b 一定不是有理数.
【经典例题：】
例1：（1）图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么样条件？
（3）b是有理数吗？
例2：判断下列说法是否正确；（1）无限小数都是无理数. （）（2）无理数都是无限小数. （）（3）有限小数是有理数; （）（4）有理数是有限小数. （）例3：填空
0.351，
2
3
-，4.96
∙∙
，3.14159，－5.232332…，π，
3
π
，0.191919…，
有理数集合无理数集合例4：以下各正方形的边长是无理数的是（）
A.面积为25的正方形；
B.面积为4
25
的正方形；
C.面积为8的正方形；
D.面积为1.44的正方形.
例5：如图，正三角形的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
例6：如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段。
试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。
备用图。
2.1认识无理数(教案)2022秋八年级上册初二数学北师大版(安徽)
5.培养数学探究精神：鼓励学生在学习过程中积极探究无理数的性质和规律，激发学习兴趣，培养数学探究精神。
6.提高数学交流能力：在小组讨论和课堂展示中，培养学生准确、清晰地表达自己的观点和思路，提高数学交流能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-无理数的定义：理解无限不循环小数的概念，区分有理数与无理数。
其次，无理数的运算规律是一个难点。虽然我通过例题进行了解释，但观察到部分同学在具体操作时仍然感到困惑。这可能是因为无理数的运算与有理数存在一定差异，导致学生在心理上产生排斥感。在今后的教学中，我需要设计更多针对性的练习题，帮助学生逐步掌握无理数的运算规律。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使得同学们能够亲身感受无理数在实际问题中的应用。从成果展示来看，大部分同学能够运用所学知识解决问题，这让我感到很欣慰。但同时，我也发现有些小组在讨论过程中存在依赖性，个别同学并未积极参与。在以后的教学中，我要注意调动每个同学的积极性，鼓励他们主动参与讨论和思考。
5.估算无理数的大小：让学生学会用夹逼法、迭代法等方法估算无理数的大小，提高学生的数学思维能力。
6.无理数的应用：通过实际例子，让学生了解无理数在实际生活中的应用，如建筑、科学计算等领域。
二、核心素养目标
1.培养学生的数感：通过学习无理数的概念和性质，使学生增强对数的认识，提高数感，理解数的本质，为后续学习打下基础。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“无理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
6.提高数学交流能力：在小组讨论和课堂展示中，培养学生准确、清晰地表达自己的观点和思路，提高数学交流能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-无理数的定义：理解无限不循环小数的概念，区分有理数与无理数。
其次，无理数的运算规律是一个难点。虽然我通过例题进行了解释，但观察到部分同学在具体操作时仍然感到困惑。这可能是因为无理数的运算与有理数存在一定差异，导致学生在心理上产生排斥感。在今后的教学中，我需要设计更多针对性的练习题，帮助学生逐步掌握无理数的运算规律。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使得同学们能够亲身感受无理数在实际问题中的应用。从成果展示来看，大部分同学能够运用所学知识解决问题，这让我感到很欣慰。但同时，我也发现有些小组在讨论过程中存在依赖性，个别同学并未积极参与。在以后的教学中，我要注意调动每个同学的积极性，鼓励他们主动参与讨论和思考。
5.估算无理数的大小：让学生学会用夹逼法、迭代法等方法估算无理数的大小，提高学生的数学思维能力。
6.无理数的应用：通过实际例子，让学生了解无理数在实际生活中的应用，如建筑、科学计算等领域。
二、核心素养目标
1.培养学生的数感：通过学习无理数的概念和性质，使学生增强对数的认识，提高数感，理解数的本质，为后续学习打下基础。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“无理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.1认识无理数-八年级上册初二数学(北师大版)
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和表示方法这两个重点。对于难点部分，如无限不循环小数和近似计算，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如√2在直角三角形中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用计算器计算π的近似值，并讨论如何选择合适的近似精度。
d.无理数在实际中的应用，如圆周率π在计算圆的周长和面积中的应用。
e.无理数与图形的关系，如勾股定理中涉及的根号2。
-举例：通过具体数值示例（如√2、π）来解释无理数的概念和表示方法，强调其在数学和科学中的重要性。
2.教学难点
-难点内容：无理数的理解和近似计算。
-难点解析：
a.理解无理数的无限不循环性质，学生可能难以接受无理数无法精确表示的概念。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是不能表示为两个整数比的数，如√2、π等。它们在数学、科学和工程等领域具有重要地位。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以圆周率π为例，讲解其在计算圆的周长和面积中的应用，以及无理数如何帮助我们精确描述自然界中的现象。
1.关注学生的认知水平，从生活实际出发，让学生更好地理解无理数；
2.优化教学方法，注重引导学生深入思考，提高学生的逻辑思维能力；
3.设计更多具有挑战性的练习题，提高学生的实际操作能力；
4.加强课堂互动，关注学生的个体差异，提高教学质量。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如√2在直角三角形中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用计算器计算π的近似值，并讨论如何选择合适的近似精度。
d.无理数在实际中的应用，如圆周率π在计算圆的周长和面积中的应用。
e.无理数与图形的关系，如勾股定理中涉及的根号2。
-举例：通过具体数值示例（如√2、π）来解释无理数的概念和表示方法，强调其在数学和科学中的重要性。
2.教学难点
-难点内容：无理数的理解和近似计算。
-难点解析：
a.理解无理数的无限不循环性质，学生可能难以接受无理数无法精确表示的概念。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是不能表示为两个整数比的数，如√2、π等。它们在数学、科学和工程等领域具有重要地位。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以圆周率π为例，讲解其在计算圆的周长和面积中的应用，以及无理数如何帮助我们精确描述自然界中的现象。
1.关注学生的认知水平，从生活实际出发，让学生更好地理解无理数；
2.优化教学方法，注重引导学生深入思考，提高学生的逻辑思维能力；
3.设计更多具有挑战性的练习题，提高学生的实际操作能力；
4.加强课堂互动，关注学生的个体差异，提高教学质量。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
2.1认识无理数+课件++++2023--2024学年北师大版数学八年级上册
【例2】(北师教材母题改编)把下列各数填入相应的集合内：
0.28，0.57·，－π2，－121，8，－0.021 021 0 21…，0.
有理数集合：{ 无理数集合：{ －π2
0.28，0.57·，－121，8，－0.021 021 021…，0 …}．
…}；
【变式 2】(2023·深圳市期末)下列实数：－0.89，3.141，13，π，
(2)若面积为15的正方形的边长为x，则x的取值范围是( A )
A．3<x<4
B．4<x<5
C．5<x<6
D．5<x<8
1．下列各数是无理数的是( B )
A．0
B．－π
C．0.141
D．273
2．下列说法中，正确的是( D )
A．0.100 100 01是无理数 B．无理数可以写成分数的形式
C．无理数是无限循环小数 D．无限不循环小数是无理数
5．在272，3.141 59，－8，0.6，0，π3，2.202 002 000 2…(每相邻两个 2 之间 0 的个数逐渐增加 1)中是无理数的个数有__2___个．
6．已知体积为6的小正方体的棱长为a，则a__不__是____有理数． (“是”或“不是”)
7．如图是由一个正方形和一个直角三角形组成的图形． (1)求正方形的面积； (2)判断此正方形的边长是否是有理数，并说明理由．
3．(中考新考法·满足条件的结果开放)写出一个大于3且小于4的无
理数：___π__．
4．下列无理数中，大于2而小于3的是( D )
A．π3
B．3.141 234…
C．面积为3的正方形的边长 D．面积为5的正方形的边长
北师大版七年级数学上册教案：2.1认识无理数
-无理数的近似值求解：指导学生如何利用计算器等工具求无理数的近似值，并理解近似值与精确值之间的关系。
-无理数在实际问题中的应用：培养学生将无理数应用于解决实际问题的能力，如计算圆形面积、周长等。
举例：在讲解无理数与有理数的区别时，可以通过比较√2和1.414（√2的近似值）的关系，让学生明白无理数是无限不循环的，而有理数是有限或循环的。此外，通过实际例子，如计算圆的面积，让学生体会无理数在实际问题中的应用，并学会如何处理无理数的近似值。
直接输出以下内容：
四、教学流程
1.导入新课：以提问方式引导学生思考日常生活中遇到的与无理数相关的问题，激发学生的兴趣和好的定义、特点及其与有理数的区别。
-案例分析：通过具体实例，展示无理数在实际问题中的应用。
3.重点难点解析：
-强调无理数与有理数的本质区别，通过对比分析，帮助学生理解难点。
-掌握无理数的表示方法：介绍根号表示、无限不循环小数等，让学生熟练掌握无理数的表达方式。
-常见无理数的性质：分析π、e、√2等无理数的性质，强调它们的特点和应用。
举例：讲解√2是无理数时，可以通过实际计算说明它不能表示为两个整数之比，从而加深学生对无理数定义的理解。
2.教学难点
-无理数与有理数的区别：解释无理数与有理数的本质区别，如无限不循环小数与有限小数、循环小数的区别，这是学生容易混淆的地方。
2.学会无理数的表示方法，提高学生数学表达和符号意识。
3.通过探索无理数的性质和应用，发展学生的逻辑推理和数学建模能力。
4.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，提高数学素养和解决问题的能力。
5.激发学生对数学学科的兴趣，增强学生的数学情感，为后续学习奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-无理数在实际问题中的应用：培养学生将无理数应用于解决实际问题的能力，如计算圆形面积、周长等。
举例：在讲解无理数与有理数的区别时，可以通过比较√2和1.414（√2的近似值）的关系，让学生明白无理数是无限不循环的，而有理数是有限或循环的。此外，通过实际例子，如计算圆的面积，让学生体会无理数在实际问题中的应用，并学会如何处理无理数的近似值。
直接输出以下内容：
四、教学流程
1.导入新课：以提问方式引导学生思考日常生活中遇到的与无理数相关的问题，激发学生的兴趣和好的定义、特点及其与有理数的区别。
-案例分析：通过具体实例，展示无理数在实际问题中的应用。
3.重点难点解析：
-强调无理数与有理数的本质区别，通过对比分析，帮助学生理解难点。
-掌握无理数的表示方法：介绍根号表示、无限不循环小数等，让学生熟练掌握无理数的表达方式。
-常见无理数的性质：分析π、e、√2等无理数的性质，强调它们的特点和应用。
举例：讲解√2是无理数时，可以通过实际计算说明它不能表示为两个整数之比，从而加深学生对无理数定义的理解。
2.教学难点
-无理数与有理数的区别：解释无理数与有理数的本质区别，如无限不循环小数与有限小数、循环小数的区别，这是学生容易混淆的地方。
2.学会无理数的表示方法，提高学生数学表达和符号意识。
3.通过探索无理数的性质和应用，发展学生的逻辑推理和数学建模能力。
4.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，提高数学素养和解决问题的能力。
5.激发学生对数学学科的兴趣，增强学生的数学情感，为后续学习奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
2.1 第1课时 认识无理数(教学设计——精品教案)
2.1认识无理数教学目标【知识与能力】感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.【过程与方法】经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.【情感态度价值观】通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.教学重难点【教学重点】感受无理数产生的背景.【教学难点】会判断一个数是不是无理数.教学准备两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.教学过程第一环节：情境引入导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?第二环节：新知构建探究活动问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1:拼成后的正方形是什么样的呢?问题2:拼成后的大正方形面积是多少?问题3:若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a 不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? (2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣 ,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.[知识拓展] 正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA 的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P 表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.第三环节：课堂小结通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.第四环节：检测反馈1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长 ( )A .是有理数B .不是有理数C .不确定D .4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是 ( )A .16B .25C .2D .4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为 ,长度不是有理数的线段为 .答案:略第五环节：布置作业一、教材作业【必做题】教材随堂练习及教材习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC 中,边长不是有理数的线段有 ,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数. 假设a ,b 是两个有理数,且a <b ,在a ,b 两数之间插入一个数为 .【拓展探究】3.把下列小数化成分数.(1)0.6;(2)0.7·;(3)0.3·4·.4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB ,BC ,AC 略(解析:AB 2=42+12=17,BC 2=22+32=13,AC 2=22+42=20.)2.a+b 2(解析:答案不唯一,如插入a 和b 正中间的数.)3.解析:(1)0.6=35; (2)设0.7·=x ,则10x =7.7·,∴9x =7,从而x =79;(3)设0.3·4·=x ,则100x =34.3·4·,∴99x =34,从而x =3499.解:(1)0.6=35. (2) 0.7·=79. (3) 0.3·4·=3499.4.略板书设计2.1.1认识无理数1.拼接正方形.2.做一做.3.a ,b 存在,但不是有理数.教学设计反思成功之处大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.不足之处在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解. 再教设计设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.。
2.1 认识无理数
__无__理__数____．
练习 2：(2016·福州)下列实数中的无理数是( C )
A．0.7
1 B.2
C．π
D．－8
知识点一：无理数的发现 1．下列各数中，是有理数的是( B ) A．面积为3的正方形的边长 B．体积为8的正方体的棱长 C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长 D．长为3，宽为2的长方形的对角线长
15．将下列各数填入相应的集合内：－2，0，0.31·，5129，1－π，2.161
161 116 111 1…(每个 6 后增加 1 个 1)，(－2018)0.
(1)自然数集合：{ 0，(－2018)0…
}；
(2)无理数集合：{ 1－π，2.161 161 116 111 1…(每个6后增加1个1)…}；
12．在等式x2＝11中，下列说法正确的是( D ) A．x可能为整数 B．x可能为分数 C．x可能是有理数 D．x不是有理数 13．一个高为2 m，宽为1 m的长方形大门，对角线的长在两个相邻 的整数之间，这两个整数是__2__和__3__.
14．如图，在6×6的网格(小正方形的边长为1)中有一个三角形 ABC，则三角形ABC的周长是___8_.6_0_6___．(精确到0.001)
7．下列说法中，正确的是( B ) ①无限小数都是无理数；②不循环小数都是无理数；③无理数都是无限小 数；④无理数也有负数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数． A．①② B．③④ C．①②③④ D．③④⑤
8．腰长为1的四个等腰直角三角形可拼成一个正方形，则正方形的边 长是___无__理____数．(填“有理”或“无理”) 9．(2017·宁城期末)如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角 △ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件 的点C共有__4__个．
北师大数学八年级上2.1认识无理数课件(共18张PPT)
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边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？ 为什么？
a可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？ 事实上，a=1.414 213 56…, 它是一个无限不循环小数！
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【例题】
【例】把下列各数分别填入相应的有理数集合与无理数集合内：
1, ,
4
5 ,
2
0,
0.373 773 777 3
随堂练习
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1.下列各数：
，0，0.23，1，25，
2
27
0.303
003
(相邻两个3之间0
的个数逐次加1),1中，无理数的个数是（ ）
A.2个
B.3个 C.4个 D.5个
【解析】选A.无限不循环小数是无理数，其中 π，0.303 003 2
(相邻两个3之间0的个数逐次加1)两个是无理数，其他是有理数.
立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022
•3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022
•4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
, , 2 1 2
0.101 001 000 1…（两个1之间依次多1个0） -168.323 223 222 3…（两个3之间依次多1个2）
估一估
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1
a 面积为2
2
1
a
2
由上可得边长a的一个大致的范围，但a的整数部分
认识无理数
2.1认识无理数（一）一、教材解读《2.1认识无理数（一）》是北师大版八年级上第二章第一节第一课时，在此之前学生已经经历了数系从非负有理数到有理数的扩充，学习了勾股定理，本节课学生将经历数系的第二次扩充，既是对前面有理数的一个扩展，也是前一章勾股定理内容的一个重要应用，同时是后续深入学习实数的基础，是承前启后的一个重要知识节点。
二、学情分析学生已经有了数系扩充的经验，本次数学的扩充同样是有实际的背景和必要性，前面勾股定理的学习为本次无理数产生提供了很好的知识储备。
学生具备了操作经历产生无理数的知识基础和基本经验。
三、教学目标1、知识与技能：感受无理数的存在，初步把握无理数的特征。
能够说明一个数既不是整数，也不是分数，不是前面学习的有理数。
2、过程与方法：通过观察、计算、探索，经历无理数产生的实际背景和必要性。
通过方格纸画图进一步感受无理数的存在事实和可操作性。
学会用勾股定理这一工具构造长度为无理数的线段，进一步研究无理数。
经历由具体到抽象，由特殊到一般的概念形成过程。
3、情感态度价值观：让学生在构造无理数的过程中感受到数学学习的乐趣，让学生感受到数学来源于生活和实际，具有看得见，摸得着，可操作的特点，改变以往学生心目中数学枯燥，乏味的观念。
四、教学设计 【回顾迎新】1． 整数和___________统称为有理数.整数又可分为正整数，_________，________. 2． 下列不是分数的是（ ）A ．3.14 B.5% C.π D. ..11.0 3． 下列说法错误的是（ ）A ．两个整数的乘积一定是整数B ．最简分数的平方一定是分数C ．有限小数和无限循环小数不是分数D ．一个数既不是整数又不是分数，则这个数不是有理数4. 如图，斜边所在的正方形面积2b =___________．我们知道，如果22243<<m （m 为正数），则43<<m ，根据这个例子，我们可以判断 < b < （填两个整数），b 可能是整数吗？ （填“可能”或“不可能”）.【新课教学】一、感受新数如图，设每个小方格的边长为1个单位.问题1：图中有几种面积不同的正方形？它们的面积分别是多少？问题2：如果记正方形ABCD 的边长为a ，则2a =________. 问题3：a 整数吗？a 是分数吗？与同伴交流你的想法.训练：下列各数中，不是有理数的是（ ） A ．722 B. 2b =4中的b 值 C.0π D. 72=m 中的m 值 二、走进新数探究一：如图1，设每个小方格的边长为1个单位.线段AB ，CD ，EF 的长度是有理数吗？说明你的理由.请在图2的方格纸上仿照图1的方式，画出两条线段，使线段的长度不是有理数.探究二：创建新数（1）骰子创建：（2）人造创建：三、应用新数1. 如图是由个边长为的小正方形拼成的，任意连结 这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，在线段 AB 、AC 、AD 、AE 、BE 五条线段中，长度是有理数的线 段有__________________，长度不是有理数的线段 有______________________．2.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O ′，点O ′对应的数是多少？它是有理数吗？161ABCDAB CE DF 图1 图2 DCBEAO3.正△ABC 的边长为2，高为h ，h 可能是整数吗？可能是分数吗？4.如图：在长方形ABCD 中，，AD=， 则AE ，BE 的长是有理数吗？△ABE 的面积是有理数吗？五、教学反思1.数学来源于生活新数（无理数）不是人为构造，庸人自扰，它是来源于活生生的生活实践的。
2.1 认识无理数(第2课时) 八年级上册北师大版
1.若边长为a cm的正方形的面积与长、宽分别为8 cm、4 cm的长方形的面积相等，则a的取值在 ( )A．2与3之间 B．3与4之间C．4与5之间 D．5与6之间
D
2.一块面积为10的正方形草坪，其边长（ ） A．小于3 B. 等于3C．在3与4之间 D.大于4
边长a
面积S
1<a<2
1<S<4
1.4<a<1.5
1.96<S<2.25
1.41<a<1.42
1.9881<S<2.0164
1.414<a<1.415
1.999396<S<2.002225
1.4142<a<1.4143
1.99996164<S<2.00024449
【归纳总结】a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.
2.1 认识无理数(第2课时)
北师大版 数学 八年级 上册
思考导入
1.有理数如何分类？
有理数
整数(如-1，0，2，3，… ):都可看成有限小数
分数(如-，，… ):如何化成小数？可不可能都化成有限小数或无限循环小数?
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
想一想
讨论二 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3，， ，-，
解：3=3.0，
分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?
分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
D
2.一块面积为10的正方形草坪，其边长（ ） A．小于3 B. 等于3C．在3与4之间 D.大于4
边长a
面积S
1<a<2
1<S<4
1.4<a<1.5
1.96<S<2.25
1.41<a<1.42
1.9881<S<2.0164
1.414<a<1.415
1.999396<S<2.002225
1.4142<a<1.4143
1.99996164<S<2.00024449
【归纳总结】a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.
2.1 认识无理数(第2课时)
北师大版 数学 八年级 上册
思考导入
1.有理数如何分类？
有理数
整数(如-1，0，2，3，… ):都可看成有限小数
分数(如-，，… ):如何化成小数？可不可能都化成有限小数或无限循环小数?
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
想一想
讨论二 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3，， ，-，
解：3=3.0，
分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?
分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
北师大版八年级数学上册2.1《认识无理数》教案
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是无限不循环小数，它们不能表示为两个整数的比。无理数在数学中具有重要地位，如π、e等，它们在科学计算和现实生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以π为例，讲解其在计算圆周长、面积等实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“无理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如无限不循环小数的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如π的应用、无理数的估算等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用正方形模型估算√2的值。
学生小组讨论后，大家分享的成果让我看到了他们的思考过程。但我也发现，部分学生在解释无理数的应用时，还存在一些误区。这提醒我在今后的教学中，要更加关注学生对知识点的理解和掌握情况，及时纠正他们的错误。
总的来说，这次教学让我认识到，要在教学中关注每个学生的个体差异，充分调动他们的积极性。同时，针对难点和易错点，需要采用更多直观、生动的方法进行讲解，帮助学生真正理解无理数的概念。在今后的教学中，我会不断改进教学方法，努力提高教学效果。
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是无限不循环小数，它们不能表示为两个整数的比。无理数在数学中具有重要地位，如π、e等，它们在科学计算和现实生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以π为例，讲解其在计算圆周长、面积等实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“无理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如无限不循环小数的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如π的应用、无理数的估算等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用正方形模型估算√2的值。
学生小组讨论后，大家分享的成果让我看到了他们的思考过程。但我也发现，部分学生在解释无理数的应用时，还存在一些误区。这提醒我在今后的教学中，要更加关注学生对知识点的理解和掌握情况，及时纠正他们的错误。
总的来说，这次教学让我认识到，要在教学中关注每个学生的个体差异，充分调动他们的积极性。同时，针对难点和易错点，需要采用更多直观、生动的方法进行讲解，帮助学生真正理解无理数的概念。在今后的教学中，我会不断改进教学方法，努力提高教学效果。
2.1 认识无理数
2.1 认识无理数1、在实数3.14，25，3.3333，0.412⋅⋅，0.10110111011110…，π，中，有（ ）个无理数？A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2、下列说法中，正确的是（ ）A ．带根号的数是无理数B ．无理数都是开不尽方的数C ．无限小数都是无理数D ．无限不循环小数是无理数3．下列命题中，正确的个数是（ ）①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数； ③两个无理数的积是无理数；④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。
A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个4．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）①带根号的数是无理数；（ ） 一定没有意义；（ ） ③绝对值最小的实数是0；（ ）④平方等于3；（ ） ⑤有理数、无理数统称为实数；（ ） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ）⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ） ⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。
（ ）5．a ）A ．有理数B ．正无理数C ．正实数D ．正有理数6．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．倒数等于本身的数只有1B ．绝对值等于本身的数只有0C ．相反数等于本身的数只有0D ．算术平方根等于本身的数只有17．下列说法不正确的是（ ）A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数B ．整数可以看成是分母为1的分数C ．有理数都可以化为分数D ．无理数是开方开不尽的数8．代数式21a +y ，()21a -中一定是正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9 ）A ．m 是完全平方数B ．m 是负有理数C ．m 是一个完全平方数的相反数D ．m 是一个负整数10．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ）A ．整数B ．分数C ．有理数D ．无理数11215的大小关系是（ ）A ．215< B ．215<< C ．215<<D 215<<12的相反数之和的倒数的平方为 。
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》说课稿
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》说课稿一. 教材分析《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第2.1节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的概念和实数的概念的基础上进行的，是学生对实数系统的一次重要扩展。
无理数是实数的一个子集，它不能表示为两个整数的比例，其小数部分是无限不循环的。
这个概念的引入，不仅丰富了学生的数的概念，也为后续的三角函数、微积分等数学分支的学习打下了基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数和有理数有一定的了解。
但是，对于无理数的概念和性质，他们可能是初次接触，理解起来可能会有一定的困难。
因此，在教学过程中，我将会注意通过生活中的实例和具体的数学问题，引导学生理解和接受无理数的概念。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解无理数的概念，掌握无理数的性质，能够识别和估算无理数。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等方法，让学生体验发现和探究的过程，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生体验到数学的乐趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：无理数的概念和性质。
2.教学难点：无理数的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和数学软件辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个生活中的实例，如测量物体长度时遇到无法精确测量的情况，引出无理数的概念。
2.新课讲解：讲解无理数的概念，通过具体的例子和数学性质，使学生理解和掌握无理数。
3.案例分析：分析一些实际问题，让学生运用无理数的概念和性质解决问题。
4.小组讨论：让学生分组讨论，探索无理数的性质，分享自己的发现。
5.总结提升：对无理数的概念和性质进行总结，引导学生思考无理数在实际生活中的应用。
6.课后作业：布置一些有关无理数的练习题，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计包括无理数的概念、无理数的性质和无理数的应用等方面的内容。
2.1 认识无理数(课件)北师大版数学八年级上册
(1)x是整数吗？为什么？ (2)x可能是分数吗？若是，能找出来吗？若不是，能说出理由吗？ 亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？ 解：(1)不是，因为1<2<4，而x2＝2，所以1<x2<4，因为x>0，所
旧识回顾 什么叫有理数？
整数(正整数、0、负整数)和分数统称为有理数
新知导入
故事导入
公元前5—6世纪，古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯发现了毕达哥拉斯定理（也 就是勾股定理），并因此受到众人拥护，创立了毕达哥拉斯学派.这个学派的信条是：“万物 皆数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比(也就是我们现在说的有理数)”. 希伯索斯（Hippsaus）作为毕达哥拉斯的得意门生，自然也是对其敬仰万分.直到有一天，希 伯索斯在演算中发现一个惊天的事实：一个边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整 数之比表示.这个奇怪数字的发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌. 希腊数学界的人害怕希伯索斯的发现动摇他们的统治地位，严令希伯索斯不得外传，但希伯 索斯坚持将这一事实公布于众，为此他不停地遭受到迫害，最后竟被沉入 了大海.一代传奇 的数学家，从此陨落.
问题导入
已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边 长x的平方 ，x是整数(或分数)吗？
x2=?
x 1
2
自主探究
1. 请同学们阅读课本P21—23. 2．请大家拿出自己准备好的两个边长为1的正方形，
认真观察思考之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得 到一个大的正方形．
3．请同学们在完成上面任务后思考以下问题： (1)拼成的大正方形的面积是多少？
b不是有理数
5．已知，有一个半径为1的圆． (1)它的周长l是有理数还是无理数？说说你的理由；
(课件)2.1认识无理数
学习务
通过拼图活动，感受有理数又不够 用了
能判断一个数是否为有理数，是否 为无理数 能比较无理数的大小
把两个边长为1的小正方形通过 剪、拼，设法得到一个大正方形
1 1
1
1
1 1
是整数吗？
是分数吗？
数怎么又不够用了！
1
1
正方形的边长是多少？
=1.41421356…
它是一个无限不循环小数
1、把下列各数表示成小数，你发 现什么？
4 5 8 2 3, , , , . 5 9 45 11
无限不循环小数叫做
无理数
新知归纳
无限不循环小数 特征 不能化成分数 具有特殊意义的数：如π (1)无理数 具有特殊结构的数：如0.1010 类型010001„ （相邻两个1之间0的个数逐
概念：无限不循环小数称为无理数 次加1）
新知归纳
(2)有理数和无理数的区别：
有限小数 有理数 无限循环小数 小数 无限不循环小数——无理数
例1、下列各数中，哪些是有理数？
哪些是无理数？
. . 4 3.14, ,0. 5 7, 3
0.1010001000001
（相邻两个1之间的0的个数逐次加2个）
2.1 认识无理数
复习引入
整数 分数 统称为有理数． 1．有理数的概念：________和________ 无限循环小数表示，反 有限小数 或_______________ 2．有理数总可以用___________ 有限小数 过来，任何_______ _或_______________ 无限循环小数 也都是有理数．
他这一死，使得这类数的计算推迟 了500多年，给数学的发展造成了不可 弥补的损失。
2.1认识无理数(教案)
（3）了解常见无理数的性质：如π、e、√2等。教师应引导学生了解这些无理数的性质，为后续学习实数及其运算打下基础。
举例：π是一个无限不循环小数，且在数学中具有重要地位，如圆的周长与直径的比值就是π。
2.教学难点
（1）无理数与有理数的区别：这是学生容易混淆的地方。教师应通过数轴上的表示、运算性质等方面，帮助学生明确无理数与有理数的区别。
举例：讲解有理数可以表示为分数，而无理数不能表示为分数；有理数在数轴上表示为整数和分数，无理数表示为非整数和非分数。
（2）理解无理数的证明过程：对于初学者来说，理解无理数的证明过程较为困难。教师应采用逐步引导、简化证明方法等方式，帮助学生理解。
举例：对于√2是无理数的证明，可以通过反证法，假设√2是有理数，然后推导出矛盾，从而证明√2是无理数。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是不能表示为两个整数比的数，它在数学中具有重要地位，如π、e等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如π在圆的周长和面积计算中的应用，理解无理数如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和表示方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解无理数与有理数的区别。
此外，教学难点部分的处理，我认为还有待提高。无理数与有理数的区别是学生容易混淆的地方，我尝试通过举例和比较来帮助学生理解，但效果似乎并不理想。我需要反思如何在讲解这部分内容时，能够用更简洁明了的语言和更直观的方式，让学生真正掌握这个难点。
总体来说，今天的课堂氛围较好，学生们对无理数的认识有了初步的了解。但在教学过程中，我也发现了不少需要改进的地方。在今后的教学中，我会努力针对学生的实际需求，调整教学策略和方法，以便让他们更好地理解和掌握无理数的知识。同时，我也将关注学生的学习反馈，及时调整教学进度和难度，使他们在数学学习的道路上走得更远。
举例：π是一个无限不循环小数，且在数学中具有重要地位，如圆的周长与直径的比值就是π。
2.教学难点
（1）无理数与有理数的区别：这是学生容易混淆的地方。教师应通过数轴上的表示、运算性质等方面，帮助学生明确无理数与有理数的区别。
举例：讲解有理数可以表示为分数，而无理数不能表示为分数；有理数在数轴上表示为整数和分数，无理数表示为非整数和非分数。
（2）理解无理数的证明过程：对于初学者来说，理解无理数的证明过程较为困难。教师应采用逐步引导、简化证明方法等方式，帮助学生理解。
举例：对于√2是无理数的证明，可以通过反证法，假设√2是有理数，然后推导出矛盾，从而证明√2是无理数。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是不能表示为两个整数比的数，它在数学中具有重要地位，如π、e等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如π在圆的周长和面积计算中的应用，理解无理数如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调无理数的定义和表示方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解无理数与有理数的区别。
此外，教学难点部分的处理，我认为还有待提高。无理数与有理数的区别是学生容易混淆的地方，我尝试通过举例和比较来帮助学生理解，但效果似乎并不理想。我需要反思如何在讲解这部分内容时，能够用更简洁明了的语言和更直观的方式，让学生真正掌握这个难点。
总体来说，今天的课堂氛围较好，学生们对无理数的认识有了初步的了解。但在教学过程中，我也发现了不少需要改进的地方。在今后的教学中，我会努力针对学生的实际需求，调整教学策略和方法，以便让他们更好地理解和掌握无理数的知识。同时，我也将关注学生的学习反馈，及时调整教学进度和难度，使他们在数学学习的道路上走得更远。