2020年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学模拟试卷（4月份）一．选择题（共8小题）1. ﹣3的绝对值是（）A. ﹣3B. 3C. -13D.13【答案】B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.2. 为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（）A. 611610⨯ B. 711.610⨯ C. 71.1610⨯ D. 81.1610⨯【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将116000000用科学记数法表示应为1.16×108．故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3. 如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】左视图有1列，含有2个正方形．【详解】解：该几何体的左视图只有一列，含有两个正方形．故选B．【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．4. 不等式组251312xx x-<⎧⎨+≥⎩的解集在数轴上表示正确的是()A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【详解】解不等式2x－5＜1得：x＜3，解不等式3x＋1≥2x得：x≥－1，∴不等式组的解集为：－1≤x＜3，在数轴上的表示如选项C所示．故选：C．【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组解集的方法，熟知实心点与空心圆点的区别是解答此题的关键．5. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( )A.56156x yx y y x+=⎧⎨-=-⎩B.65156x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩C.56145x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩D.65145x yx y y x+=⎧⎨-=-⎩【答案】C【解析】【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1 (2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x, 故选C.【点睛】此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组6. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且∠D＝40°，则∠PCA等于（）A. 50°B. 60°C. 65°D. 75°【答案】C【解析】【分析】根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以1252A COD∠=∠=︒，然后根据三角形外角性质计算∠PCA的度数．【详解】解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝40°，∴∠DOC ＝90°﹣40°＝50°， ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∵∠COD ＝∠A +∠ACO ， ∴1252A COD ∠=∠=︒， ∴∠PCA ＝∠A +∠D ＝25°+40°＝65°． 故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．7. 如图，在矩形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交CD 于点E ，若3DE =，5CE =，则该矩形的周长（ ）．A. 12B. 24C. 32D. 22【答案】B【解析】【分析】 连接EA ，如图，利用基本作图得到MN 垂直平分AC ，根据线段垂直平分线的性质得到EA ＝EC ＝5，然后利用勾股定理计算出AD ，从而得到矩形的周长．【详解】解：连接EA ，如图，由作法得MN垂直平分AC，∴EA＝EC＝5，在Rt△ADE中，AD＝222253AE DE-=-＝4，所以该矩形的周长＝4×2＋(5＋3)×2＝24．故选：B．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线，也考查了矩形的性质、垂直平分线的性质及勾股定理的应用，熟练运用垂直平分线的性质及勾股定理是解决本题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），将△ABO绕点B逆时针旋转60°后得到△A'BO'，若函数y=kx（x＞0）的图象经过点O'，则k的值为（）A. 3B. 4C. 3D. 8 【答案】C【解析】【分析】根据题意可以求得点O'的坐标，从而可以求得k的值．【详解】∵点B的坐标为（0，4），∴OB=4，作O′C⊥OB于点C，∵△ABO绕点B逆时针旋转60°后得到△A'BO'，∴O′B=OB=4，∴BC=4×cos60°=2，∴OC=2，∴点O ′的坐标为：（，2），∵函数y=k x（x ＞0）的图象经过点O'，∴，得 故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化，解题的关键是利用数形结合的思想和反比例函数的性质解答．二．填空题（共6小题）9. =__________． 【答案】2【解析】【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算即可．【详解】解：原式==2=．故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．10. 把多项式因式分解22a b ab b-+结果是__________．【答案】2(1)b a -【解析】【分析】先提取公因式,再利用公式法因式分解即可．【详解】()()2222211a b ab b b a a b a -+=-+=-． 故答案为: ()21b a -．【点睛】本题考查因式分解的计算,关键在于熟练掌握基本的因式分解方法．11. 如果关于x 的一元二次方程230x x k -+=有两个相等的实数根，那么实数k 的值是________． 【答案】94 【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根得到△=b 2-4ac=0，求出k 的值即可．【详解】解：∵一元二次方程x 2-3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=b 2-4ac=32-4×1×k=0， ∴9-4k=0，∴k=94， 故答案为：94． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12. 把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上)．若123∠=︒，则2∠=_______︒．【答案】68【解析】【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠C=45°，由三角形的外角性质得出∠AGB=68°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．【详解】如图，∵ABC ∆是含有45︒角的直角三角板，∴45A C ∠=∠=︒，∵123∠=︒，∴168AGB C ∠=∠+∠=︒，∵EF BD ，∴268AGB ∠=∠=︒；故答案为68．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．13. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，且AB ＝10，则AD 的长为_____．【答案】2．【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用∠ACD=∠BCD 得到AD=BD ，于是可判断△ABD 为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AD 的长度．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，∴∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD ，∴AD ＝BD ，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD＝2AB ＝10×2＝． 故答案为【点睛】本题考查了勾股定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 14. 抛物线y=x 2+bx+3的对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二方程x 2+bx+3-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是___________【答案】2≤t<11【解析】【分析】由题意根据抛物线y=x 2+bx+3的对称轴为直线x=1，可以求得b 的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，即可得到当-1＜x ＜4时，y 的取值范围，然后令y=t ，即可转化为方程x 2+bx+3-t=0，从而可以得到t 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y=x 2+bx+3的对称轴为直线x=1， ∴21b -⨯=1，得b=-2， ∴y=x 2-2x+3=（x-1）2+2，∴当-1＜x ＜4时，y 的取值范围是2≤y ＜11，当y=t 时，t=x 2-2x+3，即x 2+bx+3-t=0，∵关于x 的一元二次方程x 2+bx+3-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有实数根，∴t 的取值范围是2≤t ＜11，故答案为：2≤t ＜11．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意并利用二次函数的性质进行解答．三．解答题 15. 先化简，再求值：2(32)(3)(3)x y x y x y +-+-，其中1x =，2y =．【答案】2125xy y +，44【解析】【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x 、y 的值代入计算即可．【详解】解：原式22229124(9)x xy y x y =++-- 222291249x xy y x y =++-+2125xy y =+当1x =，2y =时，原式2121252=⨯⨯+⨯2420=+44=．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握乘法公式是解本题的关键．16. 在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，2-，7的小球，它们的形状大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树状图（或列表）的方法求出两次取出小球上的数字之和为偶数的概率． 【答案】59【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次取出小球上的数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：由题意得：共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字之和为偶数的结果数为5，所以两次取出小球上的数字之和为偶数的概率为：59． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．17. 列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．【答案】小明的速度是50米/分钟，小刚骑自行车的速度是150米/分钟． 【解析】 【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案．【详解】设小明的速度是x 米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x 米/分钟，根据题意可得：1200300043x x-=， 解得：50x =，经检验得：50x =是原方程的根，故3150x =，答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．18. 如图，△ABC 中，AB ＝BC ，过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接AC 与BD 交于点O ，过点D 作DE ⊥BC 的延长线交于E 点，连接EO ，若BC ＝5，AC ＝2，直接写出OE 的长．【答案】（1）见解析；（2）OE ＝2． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定义及平行线的性质可得∠ABD ＝∠ADB ，即可证明AB=AD ，由AD//BC 可证明四边形ABCD 是平行四边形，进而可得四边形ABCD 是菱形；（2）根据菱形的性质可求出OC 的长，利用勾股定理可求出OB 的长，进而可得出BD 的长，由DE ⊥BE ，根据直角三角形斜边中线的性质即可得答案． 【详解】（1）∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠DBC ，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB∴AB＝AD，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CO＝12AC＝1，∵BC∴BO2，∴BD＝2OB＝4，∵DE⊥BC，∴OE＝12BD＝2．【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质及直角三角形斜边中线的性质，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直且互相平分；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．19. 由于世界人口增长、水污染以及水资源浪费等原因，全世界面临着淡水资源不足的问题，我国是世界上严重缺水的国家之一．节约用水是水资源合理利用的关键所在，是最快捷、最有效、最可行的维护水资源可持续利用的途径之一，为了调查居民的用水情况，有关部门对某小区的20户居民的月用水量进行了调查，数据如下（单位t）：6.7 8.77.3 11.4 7.0 6.9 11.7 9.7 10.0 9.77.3 8.4 10.6 8.7 7.2 8.7 10.5 9.3 8.4 8.7整理数据：按如下分段整理样本数据并补充表格（表1）：分析数据：补全下列表格中的统计量（表2）：得出结论：（1）表中的a = ，b = ，c = ；（2）若用表1中的数据制作一个扇形统计图，9.010.5x ≤<所占的扇形圆心角的度数为 度； （3）如果该小区有住户400户，根据样本估计用水量在6.09.0x ≤<的居民有多少户？ 【答案】（1）6，4，8.7；（2）72；（3）240 【解析】 【分析】（1）利用表格中的数据求出a ，b ，c 的值即可． （2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可解决问题． （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【详解】解：（1）将这20个数据按照由小到大的顺序排列为： 6.7 6.9 7.0 7.2 7.3 7.3 8.4 8.4 8.7 8.7 8.7 8.7 9.3 9.7 9.7 10.0 10.5 10.6 11.4 11.7 由题意：a ＝6，b ＝4，c ＝8.7， 故答案为6，4，8.7．（2）9.0≤x ＜10.5所占的扇形圆心角的度数＝360°×420＝72°， 故答案为72． （3）400×6620+＝240（户）， 答：如果该小区有住户400户，估计用水量在6.0≤x ＜9.0的居民有240户．【点睛】本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20. 图①、图②、图③都是66⨯的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC 顶点A 、B 、C 均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出ABC 中BC 边上的中线AD ；（2）在图②中确定一点E ，使得点E 在AC 边上，且满足BE AC ⊥； （3）在图③中画出BMN △，使得BMN △与BCA是位似图形，且点B 为位似中心，点M 、N 分别在BC 、AB 边上，位似比为13．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中线的定义，取BC 中点D ，连接AD 即可；（2）将AC 所在的2×4的长方形逆时针旋转90°即可确定点E ；（3）将AC 向左平移4个单位后，分别与BC 、AB 交于点M 、N 即可得出答案． 【详解】解：（1）如图①所示，AD 即为所求； （2）如图②所示，点E 即为所求； （3）如图③所示，△BMN 即为所求．【点睛】本题主要考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质及平行线分线段成比例定理．21. 如图所示，图1，图2分别是某款高压电塔的实物图和示意图电塔的底座AB 与地面平齐，DF 表示电塔顶端D 到地面的距离，已知AF 的长是2米，支架AC 与地面夹角∠BAC ＝86°，顶端支架DC 长10米，DC 与水平线CE 之间夹角∠DCE ＝45°，求电塔的高度DF ．（sin86°＝0.998，cos86°＝0.070，tan86°＝14.300，2≈1.4，结果保留整数）【答案】电塔的高度DF 约为79米． 【解析】 【分析】过点C 作CG ⊥AB 于G ，解Rt △DCE ，求出CE ＝DE ＝FG≈7，那么AG ＝GF ﹣AF≈5．再解Rt △ACG ，求出EF ＝CG ＝71.5，代入DF ＝DE+EF 即可．【详解】如图，过点C 作CG ⊥AB 于G ，则四边形CEFG 是矩形， ∴CE ＝FG ，CG ＝EF ．在Rt △DCE 中，∵∠DCE ＝45°，CD ＝10， ∴DE ＝CD•sin ∠DCE ＝10×22＝2≈7， ∴CE ＝DE ＝FG≈7，∴AG ＝GF ﹣AF≈7﹣2＝5．在Rt △ACG 中，∵∠CAG ＝86°，AG ＝5， ∴CG ＝AG•tan ∠CAG ＝5×14.3＝71.5， ∴EF ＝CG ＝71.5，∴DF ＝DE+EF ＝7+71.5≈79（米）． 答：电塔的高度DF 约为79米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.22. 端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m 千米的速度匀速行驶，途中体息了一段时间后，仍按照每小时m 千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程()y km 甲，()y km 乙与时间()x h 之间的函数关系的图象.请根据图象提供的信息，解决下列问题：()1图中E 点的坐标是______，题中m =______km/h ，甲在途中休息______h ； ()2求线段CD 的解析式，并写出自变量x 的取值范围； ()3两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km ？【答案】()()12,160，100，1；()2直线CD 的解析式为：()y 100x 1405x 7=-≤≤；()3两人第二次相遇后，又经过0.25时或1.5时两人相距20km. 【解析】 【分析】(1)根据速度和时间列方程：60×1+m=160，可得m=100，根据D 的坐标可计算直线OD 的解析式，从图中知E 的横坐标为2，可得E 的坐标，根据点E 到D 的时间差及速度可得休息的时间；(2)利用待定系数法求直线CD 的解析式；(3)先计算第二次相遇的时间：y=360时代入y=80x 可得x 的值，再计算x=5时直线OD 的路程，可得路程差为40km ，所以存在两种情况：两人相距20km ，列方程可得结论． 【详解】()1由图形得()D 7,560， 设OD 的解析式为：y kx =，把()D 7,560代入得：7k 560=，k 80=，OD ∴：y 80x =，当x 2=时，y 280160=⨯=，()E 2,160∴，由题意得：601m 160⨯+=，m 100=，()725601601001---÷=，故答案为()2,160，100，1；()()2A 1,60，()E 2,160，∴直线AE ：y 100x 40=-，当x 4=时，y 40040360=-=，()B 4,360∴， ()C 5,360∴， ()D 7,560，∴设CD 的解析式为：y kx b =+，把()C 5,360，()D 7,560代入得：{5k b 3607k b 560+=+=，解得：{k 100b 140==-，∴直线CD 的解析式为：()y 100x 1405x 7=-≤≤；()3OD 的解析式为：()y 80x 0x 7=≤≤，当x 5=时，y 580400=⨯=，40036040-=，∴出发5h 时两个相距40km ，把y 360=代入y 80x =得：x 4.5=，∴出发4.5h 时两人第二次相遇，①当4.5x 5<<时，80x 36020-=，x 4.75=，()4.75 4.50.25h -=，②当x 5>时，()80x 100x 14020--=，x 6=，()6 4.5 1.5h -=，答：两人第二次相遇后，又经过0.25时或1.5时两人相距20km.【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，理解横、纵坐标表示的含义，熟练掌握一次函数的相关知识、利用数形结合思想是解题的关键．23. 如图1，在正方形ABCD 中，AD ＝9，点P 是对角线BD 上任意一点（不与B 、D 重合），点O 是BD 的中点，连接PC ，过点P 作PE ⊥PC 交直线AB 于点E ．初步感知：当点P 与点O 重合时，比较：PC PE （选填“＞”、“＜”或“＝”）． 再次感知：如图1，当点P 在线段OD 上时，如何判断PC 和PE 数量关系呢？ 甲同学通过过点P 分别向AB 和BC 作垂线，构造全等三角形，证明出PC ＝PE ； 乙同学通过连接P A ，证明出P A ＝PC ，∠P AE ＝∠PEA ，从而证明出PC ＝PE ．理想感悟：如图2，当点P 落在线段OB 上时，判断PC 和PE 的数量关系，并说明理由． 拓展应用：连接AP ，并延长AP 交直线CD 于点F ． （1）当12=DF CF ＝时，如图3，直接写出APE 的面积为 ； （2）直接写出APE 面积S 的取值范围．【答案】初步感知：＝；理想感悟：PC ＝PE ，理由见解析；拓展应用：（1）24316；（2）0＜S ＜814．【解析】 【分析】初步感知：当点P 与点O 重合时，则点E 与B 重合，直接利用正方形的性质解题即可；理想感悟：PC=PE ，过点P 作GH ⊥AB 于G ，交CD 于H ，证明EGP PHC ≌（AAS ），可得结论； 拓展应用：（1）过点P 作GH ⊥AB 于G ，交CD 于H ，由理想感悟可知EGP PHC ≌，证明DFP BAP ∽，根据相似三角形的相似比等于对应边上的高之比，列式计算，得出PH 和PG 的长，然后求出AE 的长，根据三角形的面积公式可得答案； （2）设PH=x ，则PG=9-x ，由题意可知：AG=EG=DH=PH=x ，根据（1）中的结论列出S 的表达式，利用二次函数的性质求得答案即可．【详解】解：初步感知：如图，当点P 与点O 重合时，则点E 与B 重合， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD ＝90°， ∵点O 是BD 的中点， ∴OC ＝OB ＝12BD ， ∴PC ＝PE ， 故答案为：＝；理想感悟：PC ＝PE ，理由如下：如图2，过点P 作GH ⊥AB 于G ，交CD 于H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，∠ABD ＝45°，∠A ＝∠ABC ＝90°， ∵GH ⊥AB ， ∴GH ⊥CD ，∴∠EGP ＝∠PHC ＝90°， ∴∠GEP +∠GPE ＝90°，∵PE ⊥PC ， ∴∠EPC ＝90°， ∴∠GPE +∠CPH ＝90°， ∴∠GEP ＝∠CPH ，∵∠ABD ＝45°，∠EGP ＝90°， ∴BGP 是等腰直角三角形， ∴BG ＝GP ．∵∠EGP ＝∠PHC ＝∠ABC ＝90°， ∴四边形BGHC 为矩形， ∴BG ＝CH ， ∴CH ＝GP ，在△EGP 和△PHC 中，GEP CPH EGP PHC GP CH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴EGP PHC ≌（AAS ）． ∴PE PC =；拓展应用：（1）如图3，过点P 作GH ⊥AB 于G ，交CD 于H ，由理想感悟知：EGP PHC ≌， ∴EG ＝PH ，∵∠AGP ＝∠PHD ＝∠ADC ＝90°， ∴四边形AGHD 为矩形， ∴AG ＝DH ，∵∠BDC ＝45°，∠PHD ＝90°， ∴PHD △是等腰直角三角形， ∴DH ＝PH ．∵12=DFCF，∴1,3 DFDC=∵DC＝AB，∴1,3 DFAB=∵AB∥CD，∴DFP BAP∽，∴1,3 PH DFPG AB==又∵GH＝AD＝9，∴PH＝94，PG＝274，∴EG＝DH＝PH＝94，∴AG＝DH＝94，∴AE＝AG+GE＝92，∴APE的面积为：12AE•PG＝12×92×274＝24316．故答案为：243 16．（2）设PH＝x，则PG＝9﹣x，由题意可知：AG＝EG＝DH＝PH＝x，则S＝12 AE•PG＝12×2x×（9﹣x）＝2981,24x⎛⎫--+⎪⎝⎭∵0＜x＜9，∴0＜S＜81 4．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质及三角形的面积计算等知识点，作辅助线构建全等三角形或相似三角形是解题的关键．24. 定义：在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x ，y ），当x ＞m 时，Q 点坐标为（﹣x ，﹣y ）；当x ≤m 时，Q 点坐标为（﹣x ，﹣y +2），则称点Q 为点P 的m 分变换点（其中m 为常数）．例如：（﹣2，3）的0分变换点坐标为（2，﹣1）．（1）点（5，7）的1分变换点坐标为 ；点（1，6）的1分变换点在反比例函数y ＝k x图象上，则k ＝ ；若点（a ﹣1，5）的1分变换点在直线y ＝x +2上，则a ＝ ．（2）若点P 在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的图象上，点Q 为点P 的3分变换点．①直接写出点Q 所在函数的解析式；②求点Q 所在函数的图象与直线y ＝﹣5交点坐标；③当﹣4≤x ≤t 时，点Q 所在函数的函数值﹣5≤y ≤6，直接写出t 的取值范围． （3）点A （﹣3，﹣1），B （2，﹣1），若点P 在二次函数y ＝x 2﹣mx +22m ﹣2（x ＞m ）的图象上，点Q 为点P 的m 分变换点．当点Q 所在的函数图象与线段AB 有两个公共点时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）(5,7)--；4；8或6；（2）①2y x 2x 3=-++（x >3）或225x x y +-+=（x ≤3）②(15)--或(15)---；③1-≤t ≤-（3）-<m ≤22或-≤m <【解析】【分析】（1）本题根据分变换点定义即可直接求解(5,7)的1分变换点坐标；根据定义求解出(1,6)的1分变换点后，待定系数法求解k 值；分别讨论1a -与1的关系，继而求解出对应1分变换点坐标，代入直线解析式求解a 值．（2）①本题首先假设点P 坐标，继而根据3分变换点定义比较P 点横坐标与3的大小，分别求解不同范围下点Q 坐标，即可解答；②分别令不同范围下的点Q 所在解析式函数值等于5-，求解一元二次方程即可解答；③本题首先分别求得2y x 2x 3=-++（x >3）以及225x x y +-+=（x ≤3）的最大值，继而分别令其函数值大于等于5-求解对应x 范围，最后根据题干要求确定t 的范围．（3）本题首先假设点P 坐标，继而根据m 分变换点求解点Q 所在函数解析式，最后分别令该函数最大值大于1-，当x 取2或3-时，其函数值小于等于1-，列不等式组求解公共解集即可．【详解】（1）由已知得：∵5>1，∴点(5,7)的1分变换点坐标为(5,7)--；∵1＝1，∴点(1,6)的1分变换点为(1,4)--，∵点(1,4)--在反比例函数k y x=图象上， ∴(4)(1)4k =-⨯-=； 当a ﹣1>1，即a >2时，点(1,5)a -的1分变换点为(1,5)a --，∵点(1,5)a --在直线2y x =+上，∴512a -=-+，∴8a =，当a ﹣1≤1，即a ≤2时，点(1,5)a -的1分变换点为(1,3)a --，∵点(1,3)a --在直线2y x =+上，∴312a -=-+，∴6a =，故答案为：(5,7)--；4；8或6；（2）①设2(,23)P x x x ，∵点Q 为点P 的3分变换点，∴当x >3时，2(,23)Q x x x --++， ∴点Q 所在函数的解析式为2y x 2x 3=-++（x >3）；当x ≤3时，2(,25)Q x x x --++，∴点Q 所在函数的解析式为225x x y +-+=（x ≤3）；故点Q 所在函数的解析式为2y x 2x 3=-++（x >3）或225x x y +-+=（x ≤3）； ②把5y =-代入223y x x =--+（x >3），得2235x x --+=-， 解得，4x =-（舍去），或2x =（舍去）；把5y =-代入225y x x =--+（x ≤3），得2255x x --+=-，解得，1x =-1x =-+综上，点Q 所在函数的图象与直线5y =-交点坐标为(15)-+-或(15)--；③∵2223(1)4y x x x （x >3）， ∴y 的最大值为4<6，且当x >3时，y 随x 的增大而减小，令y=-5，223=5y x x =--+-（x>3），解得：x=2（舍去），x=-4（舍去）∵2225(1)6y x x x =--+=-++（x ≤3），∴y 的最大值为6，当1<x ≤3时，y 随x 的增大而减小，当x <-1时，y 随x 的增大而增大，令22+5=5y x x =---，解得：x=1-x=-∴当-1≤t≤-Q 所在函数的函数值﹣5≤y ≤6；综上，当﹣4≤x ≤t 时，点Q 所在函数的函数值﹣5≤y ≤6，其t 的取值范围是1-≤t≤- （3）设22(,2)2m P x x mx -+-， 当x >m 时，则22(,2)2m Q x x mx --+-+， ∴点Q 所在的函数的解析式为：22222()2224m m m y x mx x =---+=-+-+， ∴顶点坐标为2(,2)24m m --+， ∵点(3,1)A --，(2,1)B -，点Q 所在的函数图象与线段AB 有两个公共点， ∴2222149321242212m m m m m ⎧-+>-⎪⎪⎪-+-+≤-⎨⎪⎪---+≤-⎪⎩，解上述不等式组得，-<m≤22或-≤m<【点睛】本题考查二次函数综合及其知识延伸，解题关键在于理解“新定义”，题干含参数时求解需注意分类讨论，待定系数法常作为参数求解工具．。
