东北师大附中2023~2024学年下学期第五次模拟考试高三数学满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.答题前考生需将姓名､班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸､本试卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄皱､弄破，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，2i 33i z z +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2. 已知直线m 平面α，直线n ⊥平面β，则“m n ”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知两个向量,a b满足1a b b ⋅==，a b -= ，则a =r （ ）A 1B.C.D. 24. ABC 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c a b A B ===､､，则c =（ ）A. 2B.C.D. 15. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，π13π,1624AB f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） .A. 0B.12C.D. 6. 过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线l 交拋物线于,A B 两点，已知8AB =，线段AB 的垂直平分线经过点()6,0M ，则p =（ ） A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为123S S S ､､，则它们的大小关系为（ ）A. 123S S S <<B. 321S S S <<C. 312S S S <<D. 231S S S <<8. 已知0.12e 1,,ln1.121a b c =-==，则（ ） A. b a c << B. <<c a b C. c b a <<D. <<b c a二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合A B B C = ，则一定有（ ） A. C B ⊆ B. B C ⊆ C. BA ⊆D. A B ⊆10. 已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 单调递增B. 函数()f x 值域为()0,2C. 函数()f x 的图象关于()0,1对称D. 函数()f x 的图象关于()1,1对称11. 已知12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，过1F 的直线交双曲线左､右两支于,A B 两点，若2ABF △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ） A1+B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知直线:21l y kx k =--与圆22:5C x y +=相切，则k =__________.13. 春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________.14. 记表[](){},max x a b f x ∈示()f x 在区间[],a b 上的最大值，则[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值时，c =__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.15. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AB M ==为1BB 中点，点N 在棱11A B 上，112A N NB =.（1）证明：MC 平面1NAC ； （2）求锐二面角1M AC N --余弦值..的16. 某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：表1：序号数学物理1 144 952 130 903 124 794 120 855 110 696 107 827 103 808 102 629 100 6710 98 7511 98 6812 95 7713 94 5914 92 6515 90 5716 88 5817 85 7018 85 5519 80 52 20 7554（1）数学120分及以上记优秀，物理80分及以上记为优秀. （i ）完成如下列联表；物理成绩数学成绩优秀不优秀 合计优秀 不优秀 合计（ii ）依据0.01α=的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？ （2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2： 表2： 数学成绩 130 110 100 85 75 物理成绩9069677054如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.（i ）求样本相关系数r ；（ii ）建立物理成绩y 关于数学成绩x 的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）参考公式：（1）样本相关系数r =.为（2）经验回归方程ˆˆˆy a bx=+；.()()()121ˆˆˆ,. niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ （3）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.1 0.05 0.01 00050.001 x α2.7063.8416.6357.87910.82817. 已知1a …，函数()ln 1af x ax x x =-+.（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若1x >时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1M 不过原点的直线:l y kx m =+交椭圆C 于,A B 两点，记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，且1214k k =. （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线l 的斜率k 为定值； （3）求MAB △面积的最大值.19. 对于数列{}n a ，称{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1Δn n n a a a n +=-∈N.对正整数()2k k ≥，称{}Δk n a 为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中()1111ΔΔΔΔΔk k k k n n n n a a a a ---+==-已知数列{}n a 的首项11a =，且{}1Δ2n n n a a +--为{}n a 的二阶差分数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(){}212,2n n b n n x =-+为数列{}n b 的一阶差分数列，对*n ∀∈N ，是否都有1C ni i n n i x a ==∑成立？并说明理由；（其中C in 为组合数）.（3）对于（2）中的数列{}n x ，令2n n x x n t t y -+=，其中122t <<.证明：2122nn ni i y -=<-∑.参考答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，2i 33i z z +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 的对应点位于（ ） A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简以及共轭复数的定义，结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则共轭复数为i(,R)z a b a b =-∈， 所以()()2i i i 3+3i a b a b -++=， 所以()()22i 3+3i a b a b -+-=，所以2323a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，所以1i z =-，故复数z 对应的点位于第四象限. 故选：D.2. 已知直线m 平面α，直线n ⊥平面β，则“m n ”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由空间中的线面关系，分别验证命题的充分性与必要性即可得到结果. 【详解】因为直线m 平面α，直线n ⊥平面β，当m n 时，可得αβ⊥，即充分性满足； 当αβ⊥时，,m n 不一定平行，有可能相交还有可能异面，故必要性不满足； 所以“m n ”是“αβ⊥”的充分不必要条件..故选：A3. 已知两个向量,a b满足1a b b ⋅== ，a b -= ，则a =r （ ）A. 1B.C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】将a b -=两边平方，结合数量积的运算律计算可得.【详解】因为1a b b ⋅==，a b -= ，所以2232a a b b ⋅=-+，即222113a -⨯+= ，解得2=a 或2a =-r（舍去）.故选：D4. ABC 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c a b A B ===､､，则c =（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】A 【解析】【分析】由已知可得sin sin 2A B =，结合三角恒等变换，正弦定理可得2cos a b B =，由此可求A B C ､､，再结合勾股定理求c 即可. 【详解】因为2A B =，所以sin sin 2A B =，故sin 2sin cos A B B =， 由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以2cos a b B =，又1a b ==，所以cos B =()0,πB ∈， 所以π6B =，π3A =， 故π2πC A B =--=由勾股定理可得2224c a b =+=， 所以2c =， 故选：A.5. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，π13π,1624AB f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 0B.12C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题可得，21π6x x -=，结合1sin 2x =的解可得()212π3x x ω-=，从而得到ω的值，再根据13π124f ⎛⎫=-⎪⎝⎭即可得2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而求得5π6f ⎛⎫⎪⎝⎭． 【详解】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=， 由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，Z k ∈，由图可知， 当0ω>时，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=；当0ω<时，()125π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()122π3x x ω-=，4ω∴=-；综上：4ω=±；因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设4ω=，则()()sin 4f x x ϕ=+， 因为13π13πsin 1246f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则13π3π2π,62k k ϕ+=+∈Z ，解得2π2π,Z 3k k ϕ=-+∈， 所以2π2()sin 42πsin 4π33f x x k x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5π10π22π2πsin πsin 2πsin 63333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：C.6. 过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线l 交拋物线于,A B 两点，已知8AB =，线段AB 的垂直平分线经过点()6,0M ，则p =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】【分析】设直线l 的方程为2px my =+，利用设而不求法求弦长AB 的表达式，再求线段AB 的垂直平分线，由条件列方程求,m p 可得结论.【详解】抛物线22y px =的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 若直线l 的斜率斜率为0，则直线l 与抛物线22y px =只有一个交点，不满足条件， 故可设直线l 的方程为2px my =+， 联立222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，化简可得2220y pmy p --=，方程2220y pmy p --=的判别式222440p m p ∆=+>， 设()()1122,,,A x y B x y ， 则212122,y y pm y y p +==-，所以()()21212221AB x x p m y y p p m =++=++=+，由已知()2218p m +=， 设AB 的中点为()00,P x y ，则0y pm =，202p x pm =+， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22p y pm m x pm ⎛⎫-=---⎪⎝⎭，因为()6,0M 在线段AB 的垂直平分线上， 所以262p p pm =--，故2362p pm +=， 所以0m =，4p =. 故选：B.7. 如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为123S S S ､､，则它们的大小关系为（ ）A. 123S S S <<B. 321S S S <<C. 312S S S <<D. 231S S S <<【答案】B 【解析】【分析】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，根据多面体的结构特征求出正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球半径与其表面积的关系，再进行比较.【详解】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，下面求正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球的半径与其表面积的关系.设球形物品的半径为R ，则正方体的棱长为2R ，表面积()2226224S R R ==；设正四面体的棱长为a ，则正四面体的表面积为2214S a ==， 如图正四面体A BCD -，由正四面体的对称性与球的对称性可知内切球的球心在正四面体的高上，如图OG R =，底面等边三角形BCD 的高CE =，外接圆半径23CG ==，正四面体的高AG ===，体积211313V S R ==，所以211313V S R ==，又21S =，所以a =，所以正四面体的表面积221S ==；设正八面体的棱长为b ，如图，在正八面体中连接AF ，DB ，CE ，可得AF ，DB ，CE 互相垂直平分，四边形BCDE 为正方形，12OD BD ==，在Rt AOD 中，AO ===，则该正八面体的体积23123V b '=⨯⨯=，该八面体的表面积2328S ==，因为313S R V '=，即2313R ⨯⋅=，解得b =，所以)2223S ===，所以321S S S <<. 故选：B. 8. 已知0.12e 1,,ln1.121a b c =-==，则（ ） A. b a c << B. <<c a b C. c b a << D. <<b c a【答案】D 【解析】【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小. 【详解】设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 为减函数，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以()(0)0f x f ≥=，(0.1)0f >，即0.1e 10.1->.设()ln 1g x x x =-+，11()1x g x x x-'=-=， ()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数，()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()(1)0g x g ≤=，(1.1)0g <，即ln1.10.1<，所以a c >.设()2()ln 12x h x x x =+-+，()()()22214()01212h x x x x x x '=-=>++++， ()h x 为增函数，所以(0.1)(0)0h h >=，所以2ln1.121>，即c b >. 故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合A B B C = ，则一定有（ ） A. C B ⊆B. B C ⊆C. B A ⊆D. A B ⊆【答案】AC 【解析】【分析】根据A B A ⊆ 以及A B B ⊆ ，可得B C A ⋃⊆、B C B ⋃⊆、可得C B A ⊆⊆，结合选项即可求解.【详解】因为A B A ⊆ ，A B B C = ， 所以B C A ⋃⊆，所以BA ⊆，C A ⊆，因为A B B ⊆ ，A B B C = ，所以B C B ⋃⊆，所以C B ⊆，所以C B A ⊆⊆， 故选项A 、C 正确，B 、D 错误. 故选：AC.10. 已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 单调递增B. 函数()f x 值域为()0,2C. 函数()f x 的图象关于()0,1对称D. 函数()f x 的图象关于()1,1对称 【答案】ABD 【解析】【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A ，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B ，根据对称性的定义，()2f x -与()f x 的关系，即可判断CD.【详解】()111222222212121x x x x x f x ---+-===-+++， 函数22y t=-，121x t -=+，则1t >， 又内层函数121x t -=+在R 上单调递增，外层函数22y t=-在()1,∞+上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数()f x 单调递增，故A 正确；因为1211x -+>，所以120221x -<<+，则1202221x -<-<+，所以函数()f x 的值域为()0,2，故B正确；()2112422212221x x x x f x ----===+++，()()22f x f x -+=，所以函数()f x 关于点()1,1对称，故C 错误，D 正确. 故选：ABD11. 已知12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，过1F 的直线交双曲线左､右两支于,A B 两点，若2ABF △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ）A.1+B.C. D.【答案】BC 【解析】【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立,a c 的等量关系式求解.【详解】如果2BAF ∠为直角，设2AF AB m ==，则2BF =，又122BF BF a -=，212AF AF a -=，所以1AF =，由212AF AF a -=，则2m a -=，得(4m a =+，在12AF F △中，2221212AF AF F F +=，即2224m c ⎫+=⎪⎪⎭，即((222222444a a c +++=，化简得229c a=+e =如果2AF B ∠为直角，设2BF m =，则2AF m =，AB =，12AF m a =-，12BF m a =-+，因为122BF BF a -=，所以22a a -+=，故m =，在12AF F △中，由余弦定理可知()()22242822c a a a ⎛=-+--⋅⋅ ⎝，整理得22412c a =，即23e =，所以e =B 正确；如果2ABF ∠为直角，则2AB BF =，122BF BF a -=， 则12AF a =，又212AF AF a -=，所以24AF a =，22BF AF ==，()122BF a a =+=+， 在等腰直角12BF F △中，222212124BF BF F F c +==，即()()222224a c ++=，化简得225c a=+e =C 正确.故选：BC.【点睛】关键点睛：求解离心率的关键是结合题中的已知关系，找出,,a b c 之间的数量关系.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知直线:21l y kx k =--与圆22:5C x y +=相切，则k =__________. 【答案】2 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得k 的值. 【详解】直线l 的一般方程为210kx y k ---=，圆225x y +=的圆心C 的坐标为()0,0，半径r =，由于直线l 和圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离等于半径，=，解得2k =. 故答案为：2.13. 春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________. 【答案】23【解析】【分析】由古典概率结合条件概率的形式计算即可.【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去，其概率为21134422444C C C C 2C 33381+⨯+=， 至少有两人去南湖且有人去净月的概率为23444C 3C 22381⨯+=， 所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为222333=， 故答案为：23. 14. 记表[](){},max x a b f x ∈示()f x 在区间[],a b 上的最大值，则[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值时，c =__________.【答案】18##0.125 【解析】【分析】根据题意，[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在区间[]0,1上的最大值取得最小值，先用分段函数表示()f x 在区间[]0,1上的最大值，再根据图象求分段函数的最小值即可. 【详解】[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在区间[]0,1上最大值取得最小值，的因为()f x 的对称轴12x =，且()()01f f c ==， 所以()f x 的最大值为1124f c ⎛⎫=-⎪⎝⎭或()()01f f c ==， 当14c c -=时，即18c =， 所以 ()max1,81148c c f x c c ⎧⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩＞，，当18c =时，()max f x 取最小值，最小值为18. 故答案为：18.【点睛】关键点点睛：本题主要考查 函数的最值，关键在于理解题意，[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在[]0,1的最大值取得最小值，所以先要将()f x 的最大值表示出来，再用分段函数的性质即可.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.15. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AB M ==为1BB 中点，点N 在棱11A B 上，112A N NB =.（1）证明：MC 平面1NAC ；（2）求锐二面角1M AC N --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）解法1：作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；解法2：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由0n CM ⋅=证明出结论；（2）解法1：作出辅助线，得到MDE ∠即为二面角1M AC N --的平面角，求出各边长，求出锐二面角的余弦值；解法2：求出平面的法向量，得到平面的法向量，求出答案. 【小问1详解】解法1：设11AC AC D ⋂=，则D 为1AC中点， 1AM AN E ⋂=，连接DE ， 延长AN 交1BB 延长线于F ， 由112A NNB =得112AA B F =，11,,AA MF A E EM E ==为1A M 中点，MC DE ，DE ⊂平面1,NAC MC ⊄平面1NAC ，MC 平面1NAC ，解法2：取AC 中点O ，取11A C 中点1O ，连接1,OB OO ， 因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以1,,AC OB OO 两两垂直， 以O 为坐标原点，1,,OB OC OO 所在直线分别为,,x y z 轴，建系如图，则()()())10,1,0,0,1,2,0,1,0,A C C M-，())11,2,0,2,2,1,13N AC CM ⎫-==-⎪⎪⎭，)14,0,3C N AM ⎫=-=⎪⎪⎭，设平面1NAC 的一个法向量为(),,n x y z =，则11220403n AC y z n C N x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令y =，则(2,x z n ===，0n CM MC ⋅=⊄，平面1NAC ，故MC 平面1NAC . 【小问2详解】解法1：因为12AA AB ==，所以1AA AC =，故四边形11ACC A 为正方形， 故1AC ⊥1AC ，且D 为1AC 中点，又AM ===，1C M ==，故1AM C M =，故DM ⊥1AC ，因为1A C DM D ⋂=，1,A C DM ⊂平面1MAC ， 所以1AC ⊥平面1MAC ，因为DE ⊂平面1MAC ，所以1AC DE ⊥， 所以MDE ∠即为二面角1M AC N --的平面角，又MC ===11122AD AC ===且11122DE MC EM A M ====DM ==222cos 2DE DM EM MDE DE DM ∠+-===⋅，故锐二面角1M AC N --. 解法2：设平面1MAC 的一个法向量为(),,m a b c =，则1220m AC b c m AM b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1b =，则()1,0,0,1,1c a m =-==-，cos ,m nm n m n ⋅===，所以锐二面角1M AC N --16. 某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1： 表1： 序号 数学 物理 1 144 95 2 130 90 3 124 79 4 120 85 5 110 69 6 107 82 7 103 80 8 102 62 9 100 67 10 98 75 11 98 68 12 95 77 13 94 59 14926515 90 5716 88 5817 85 7018 85 5519 80 5220 75 54（1）数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀.（i）完成如下列联表；物理成绩合计数学成绩优秀不优秀优秀不优秀合计α=的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？（ii）依据0.01（2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：表2：数学成绩130 110 100 85 75物理成绩90 69 67 70 54如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.（i ）求样本相关系数r ；（ii ）建立物理成绩y 关于数学成绩x 的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）参考公式：（1）样本相关系数r =.（2）经验回归方程ˆˆˆy a bx=+；.()()()121ˆˆˆ,. niii ni i x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ （3）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x α2.70638416.6357.87910.828【答案】（1）（i ）答案见解析；（ii ）认为数学成绩与物理成绩有关联.（2）（i ）3337；（ii ）9961018537y x =+，81分【解析】【分析】（1）（i ）由表1可直接填写列联表；（ii ）根据列联表，计算2χ的值，结合临界值表可得出结论； （2）（i ）根据参考公式计算样本相关系数；（ii ）根据参考公式计算经验回归方程，并将120x =代入，预测该同学的物理成绩. 【小问1详解】 （i ）物理成绩数学成绩优秀不优秀合计.优秀 3 1 4 不优秀 2 14 16 合计51520（ii ）零假设0H ：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联.()()()()222()20(31412)416515n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯0.01206.667 6.6353α=≈>= 依据0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联. 【小问2详解】（i ）由题意100,70x y ==， 所以r=33.37==（ii ）由题意()()()()()2222230201010315025ˆ1630100(15)(25)b ⨯+⨯-+⨯-+-⨯+-⨯-=+++-+- 990991850185==， 所以99610ˆ7010018537a y bx=-=-⨯=， 所以经验回归方程为9961018537y x =+， 当120x =时，996102986ˆ12080.7811853737y=⨯+=≈≈， 所以物理成绩约为81分.17. 已知1a …，函数()ln 1af x ax x x =-+.（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若1x >时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）0； （2）2a ….【解析】【分析】（1）由已知可得()1ln 1ln f x x x =+-='，进而可求()f x 的单调区间； （2）求导得()()11ln a f x a x x -'=+-，令()11ln ,a g x x x-=+-进而求导()()211a g x a x x-'=--，分类讨论可求a 的取值范围. 【小问1详解】当1a =时，()()ln 1,1ln 1ln f x x x x f x x x =-+=='+-，()()()0,1,0,x f x f x '∈<单调递减；()()()1,,0,x f x f x '∈+∞>单调递增；()min ()10f x f ==【小问2详解】()()()111ln 1ln a a f x a x ax a x x --=+-=+-'，设()()()1211ln ,1a a g x x xg x a x x--=+-=--'， ①若1a =，由（1）知()()10f x f >=，不合题意； ②若()()()211112,111a a a g x a x a x x x--⎡⎤<<=--='--⎣⎦， 设()()()()12211,(1)0,a a h x a xh x a x h x --=--=--'<单调递减，()()11120h a a =--=->，令()()11100110,(1)a a h xa xx a ---=--==-，()()()()01,,0,0,x x h x g x g x ∈>'>单调递增，()()10g x g >=，()()0,f x f x '>单调递增，()()10f x f >=，不合题意；③()()()212,1,,10a a x g x a x x∞-≥∈+-'=-<， ()g x 单调递减，()()()()10,0,g x g f x f x <=<'单调递减，()()10f x f <=；综上，2a ≥.18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1M不过原点的直线:l y kx m =+交椭圆C 于,A B 两点，记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，且1214k k =. （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线l 的斜率k 为定值； （3）求MAB △面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=（2）证明见解析 （3）max S =【解析】【分析】（1）根据离心率和过点M ，用待定系数法可求出椭圆C 的方程； （2）设出直线并与椭圆进行联立，用韦达定理表示出1214k k =，并进行化简，即可求出斜率定值； （3）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形面积，将其转化为函数，再利用导数求出最大值. 【小问1详解】依题意22222411c aa b b a c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得228,2a b ==，所以椭圆的标准方程为22182x y +=.【小问2详解】设直线l 方程为()()1122,0,,,,y kx m m A x y B x y =+≠，由22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222418480k x kmx m +++-=，()222121222848Δ16820,,4141km m k mx x x x k k --=+->+==++，()()()()121212121211112222kx m kx m y y k k x x x x +-+---=⋅=---- ()()()()2222222121221212224881(1)1(1)414148162444141m km k k m m k x x k m x x m k k m km x x x x k k --⋅+-⋅+-+-++-++==--++++++ ()()22224(1)12141244144k m m k m k m mk k -+---===++-++，解得12k =-【小问3详解】 由（2）得221,0,22402y x m m x mx m =-+≠-+-=， 22Δ1640,4,22,0m m m m =-><-<<≠，)22AB x h m =-=- MAB △的面积(122S AB h m ==-=， ()()3(2)2f m m m =-+，()()()2323(2)2(2)(2)44f m m m m m m =--++-=---'，令()0f m '＞，解得21m --＜＜，即()f m 在()2,1--上单调递增，令()0f m '＜，解得10m -＜＜或02m ＜＜，即()f m 在()10-，和()02，上单调递减， 所以当1m =-时，取到最大值()127f -=，MAB △的面积max S =【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，解决直线与椭圆的综合问题，关键在于（1）注意题设中每一个条件，明确确定直线和椭圆的条件；（2）直线和椭圆联立得韦达定理，与弦长公式和点到直线距离公式的结合运用；（3）求最值时，要善于转化为函数关系，利用导数来求解. 19. 对于数列{}n a ，称{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1Δn n n a a a n +=-∈N.对正整数()2k k ≥，称{}Δk n a 为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中()1111ΔΔΔΔΔk k k k n n n n a a a a ---+==-已知数列.{}n a 的首项11a =，且{}1Δ2n n n a a +--为{}n a 的二阶差分数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(){}212,2n n b n n x =-+为数列{}n b 的一阶差分数列，对*n ∀∈N ，是否都有1C ni i n n i x a ==∑成立？并说明理由；（其中C in 为组合数）（3）对于（2）中数列{}n x ，令2n nx x n t t y -+=，其中122t <<.证明：2122nn ni i y -=<-∑.【答案】（1）12n n a n -=⋅；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由二阶差分数列的定义可得21Δ2Δn n n n a a a +--=，将21ΔΔΔn n n a a a +=-，可得122n n n a a +-=，构造等差数列即可求解；（2）由一阶差分数列的定义可得1n n n x b b n +=-=，要证1Cnii n n i x a ==∑成立，即证121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅ ，根据二项式定理即可证明； （3）作差可得22n nnnt t --<++，故()()111112222nn n i i i ii i i i y t t --====+<+∑∑∑，根据等比数列的求和公式即可证明. 【小问1详解】 因为{}1Δ2nn n a a +--为{}na 的二阶差分数列，所以21Δ2Δn n n n aa a +--=，将21ΔΔΔn n n a a a +=-，代入得11Δ2ΔΔnn n n n a a a a ++--=-，整理得Δ2nn n a a -=，即122n n n a a +-=，所以111222n n n n a a ++-=.故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为12的等差数列， 因此，()111222n na n =+-⋅，即12n n a n -=⋅. 的【小问2详解】因为{}n x 为数列{}n b 的一阶差分数列，所以1n n n x b b n +=-=，故1Cni i n n i x a ==∑成立，即为121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅ .① 当1n =时，①式成立； 当2n ≥时，因为()110111112(11)C C C n n n n n n n n n ------⋅=⋅+=⋅+++ ，且11C C k kn n n k --=，所以①成立，故对*n ∀∈N 都有1Cnii n n i x a ==∑成立.【小问3详解】2n n n t t y -+=，因为122t <<，所以(2)1,2n n nt t ><， 故()()()1222(2)10(2)n nnn n n n n tt t t t --⎡⎤+-+=-->⎣⎦，即22n n n n t t --<++， 所以()()()111111221111222212222112nnn n n i i ii i i i i y t t--===⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎢⎥=+<+=+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()2111121121222222222n nn n n n n--⎛⎫=-+-=-+<-⋅=- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。
