探求正四面体外接球、内切球半径求法

四、四面体是正四面体
外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点， 根据勾股定理知，假设正四面体的边长为 a 时，它的外接球半径为
6 a。 4
2
所以知 AC 2 PA 2 PC 2 所以可得图形为：
在 RtABC 中斜边为 AC 在 RtPAC 中斜边为 AC 取斜边的中点 O ， 在 RtABC 中 OA OB OC 在 RtPAC 中 OP OB OC 所以在几何体中 OP OB OC OA ，即 O 为该四面体的外接球的球心
z
解：由已知建立空间直角坐标系
A(0， 0， 0) B (2， 0， 0) D(0， 0， 2)
A
C
由平面知识得
C (1，3， 0)
y
B
x
设 球 心 坐 标 为 O( x, y, z ) 则 AO BO CO DO , 由 空 间 两 点 间 距 离 公 式 知
x 2 y 2 z 2 ( x 2) 2 y 2 z 2
一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】 ：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 a, b, c ，则体对角线长为
l a 2 b 2 c 2 ，几何体的外接球直径 2 R 为体对角线长 l 即 R
a2 b2 c2 2
二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】 ：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。
R 1 AC 5 2
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解
【例题】 ：已知在三棱锥 A BCD 中， AD 面ABC ， BAC 120ห้องสมุดไป่ตู้，

探求正四面体外接球、内切球半径求法探求正四面体外接球、内切球半径正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.已知正四面体ABCD 棱长为a ，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，球心为O ，则正四面体的高h a a 即34R h =；内切球a 即14r h =. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt BOH V 中，222BO BH OH =+，即222()()33R a a R =+-，,.R a r h R a a a ∴==-=-= 方法二：（三角正切倍角公式）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO = ,2.AO BO ABO BAO BOH θθ=∴∠=∠∠=Q在Rt ABHV中，tan,23aBHAHθ===在Rt OBHV中，3tan2,3aBHOH r rθ===23r⨯∴==,.r a R h r a a a∴==-=-=方法三：（分割等体积）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V高3h AH a==，设O为球心，则.O AH∈连结,,,BO CO DO得到四个以O为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径r，设正四面体每个面的面积为S，则4,O BCD A BCDV V--=即114,33S r S AH⨯=g g11,4412.3124r AH h aR h r a a a∴====-=-=方法四：（侧棱、高相似或三角）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V22tantan2,1tanθθθ=-Q高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设M 是AB 的中点，连结,,,OM OB BHAO BO OM AB =∴⊥QAMO AHB Rt ∴∠=∠=∠，又MAO HAB ∠=∠，AMO AHB ∴V :V ， AM AO AH AB∴=， 即,aR a =,.R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设BAH MAO θ∠=∠=，则在Rt ABH V中，3cos a AH AB aθ==， 在Rt AMO V 中，2cos .aAM AO Rθ==32a aa R∴= ， 以下同上. 方法五：（斜高、高相似或三角）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,AE EH ，作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC V 中心，N 是AE 的三等分点，平面，ON 是内切圆半径r,ON ABC ⊥且 ,Rt ANO Rt AEH V :VAN AO AH AE ∴=，32a R = ，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设EAH NAO θ∠=∠=，则在Rt AEH V中，cos 2a AH AEθ==， 在Rt ANO V中，3cos .a AN AO Rθ==3aa R∴=， 以下同上. 方法六：（斜高、侧棱相似或三角）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,,AE DE DO ，延长DO 交AE 于N ，则N 是AE 的三等分点，.H DE ∈ 且DN ⊥平面.ABC则,Rt ODH Rt DNE V :V OH OD NE DE∴= 即 OH OD = NE DE 13=， 13r R ∴=， 3.R r ∴=又,R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 或：在Rt DNE V 中，1sin ,3NE NDE DE ∠== 在Rt DOH V 中，sin sin ,OH NDE ODH OD∠=∠= 13OH OD ∴=， 即13r R =， 3.R r ∴=又,3R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 方法七：（构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为a的棱长为.2a 正方体的体对角线等于外接球直径，有22a R ⨯=，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 方法八：（相交弦定理）设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，交底面BCD V 于H ，则H 为BCD V 的外心，求得,,33AH a BH a == 由相交弦定理得2(2)).333a R a a -=g解得.4R a =.r h R a a a ∴=-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。

设 正方体 的棱 长 为 ，则 ２Ｒ ＝ 且 ｎ ＝ ，所 以 Ｒ ＝
７ －ａ，从而ｒ＝了１尺＝
ｎ ．
故所求 的外接球 的半 径 和内切
球 的半 径分 别 为 ｎ和 ｎ．
解 后 反思 ：由此解 法知 ，正方 体 的 内切球 也 是 与 正 四 面体 的 各棱都 相 切 的 球 ，易 得 正 方 体 的 内切 球 的 半 径 为
北京 建工 学院 １０００４４ 孙 瑜蔓 中央 民大 附 中 １０００８１ 孙 猛
我们 常用 到“ｙ ： ＋ ”型最 值 ，我 们
口 十
Ｄ 一
只 要 妙 添 “１”， 然 后 将 “１” 变 形 为 １ ＝
０｝十 Ｄ 即可求出这一类最值，程序如
下 ：
ｙ＝－·（ ＋ ）
解 法 ３ （体 积法 ）如 图 ４，记 正 四面体 ＡＢＣＤ 的 体 积 为 ，每 个 面的 面积 为 ．ｓ，高 为 ｈ，内切 球 球 心 为 ０，连 结 ＤＡ，０日，Ｄｃ，ＯＤ，贝０ ｒ．
Ｄ Ｖ ： 洲 ＋ ｃＤ ＋ ｃ￡Ｍ ＋
，
Ｃ
所以÷．ｓ ：４·了１．ｓｒ，从而ｒ＝ 图４
＝ 口＋ ｂ · （、 口＋ ＋ ｂ～ ） ，
＝ ［Ａ＋８＋ ＋ ］
分析 利用 １＝ＣＯＳ ＋ｓｉｎ 添 “１”
解 Ｙ：－。（、 ＣＯ８，＋ ＳＩｎ）， ＝ ｓ２ ＋ｓｉｎＺｘ （ ＋ ）
＝ １３ ＋ ４ｔａｎ ＋ ９ｃｏｔ ≥ １３ ＋ ２ ·２ｔａｎｘ ·３ｃｏｔｘ ＝ ２５
方 法 拓 展 ： １．若三 棱锥 的三条 侧棱 两两垂 直 ，则其 外接 球也 是 以 这三 条侧棱 为 同一顶点 出发 的三 条棱 的长方 体 的外接 球 ， 若设其 三条 侧棱 长分别 为 ａ，ｂ，Ｃ，则 易得 外 接球 的半 径 为

解析正四面体外接球内切球半径正四面体是一种非常特殊的多面体，其四个面都是等边三角形，相互之间都是等角的。

正四面体有个很有意思的性质，就是它的外接球和内切球的半径是相等的。

这个性质可以通过以下步骤进行证明：首先，我们需要知道正四面体外接球和内切球的半径分别为r和R。

我们可以画出如下的图形：正四面体的四个顶点分别为A、B、C、D。

正四面体外接球的圆心为O，内切球的圆心为I。

现在我们来证明r=R。

步骤1：连接OI，这条线段的长度为r+R。

步骤2：连接AB、AC、AD、BC、BD、CD，将正四面体分成四个小正三角形。

步骤3：我们知道正四面体每个小正三角形的面积都相等，设为S。

步骤4：我们可以通过三角形的面积公式求出AO、BO、CO、DO的长度。

AO=BO=CO=DO=√(3S)/3步骤5：再通过余弦定理求出角AOI的大小。

cos(AOI)=（OI²+AO²-AI²）/(2×OI×AO)=（r+R）/（2r）步骤6：由于AOI是一个等腰三角形，所以角OAI也等于角OIA。

因此，我们可以用余弦定理求出AI的长度。

cos(OAI)=（OI²+AI²-OA²）/(2×OI×AI)=cos(AOI)AI=√(OI²+OA²-2×OI×OA×cos(AOI))步骤7：我们可以用同样的方法求出BI、CI、DI的长度。

BI=√(OI²+OB²-2×OI×OB×cos(BOI))CI=√(OI²+OC²-2×OI×OC×cos(COI))DI=√(OI²+OD²-2×OI×OD×cos(DOI))步骤8：根据勾股定理，我们可以求出AB、AC、AD、BC、BD、CD 的长度。