2021届吉林省长春市东北师大附中高三年级上学期第三次摸底数学(理)试题

吉林省试验中学2021届高三上学期第三次质量检测数学（理）试题（解析版）本试卷是高三理科试卷，以基础学问和基本技能为为主导，在留意考查运算力量和分析问题解决问题的力量，学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、立体几何，数列，参数方程，几何证明等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷.【题文】一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

【题文】1.已知集合U={1,2,3,4}，集合A={1，2},B={2,3},则()U C A B ⋃=( ) A.{1，3，4} B{3，4} C.{3} D{4} 【学问点】集合及其运算A1【答案解析】D 由A={1，2},B={2,3}则A B ⋃={1,2,3}所以()U C A B ⋃={4}故选D 。

【思路点拨】先求出A B ⋃再求出结果。

【题文】2.已知i 是虚数单位，则31ii+=-（ ）A.1-2iB.2-iC.2+iD. 1+2i 【学问点】复数的基本概念与运算L4 【答案解析】D 由31i i +=-242i+=1+2i 故选D 。

【思路点拨】先化简求出结果【题文】3．若条件:12p x +>，条件:q x a >，且p q ⌝⌝是的充分不必要条件，则a 的取值范围围是 A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ．3a ≤-【学问点】充分条件、必要条件A2【答案解析】A ∵p ：|x+1|＞2，∴p={x|x ＞1或x ＜-3}，若¬p 是¬q 的充分不必要条件则q 是p 的充分不必要条件，则q ⊊p ，∴a ≥1，故答案为：A ．【思路点拨】先求出，p={x|x ＞1或x ＜-3}，再依据¬p 是¬q 的充分不必要条件，得到q 是p 的充分不必要条件，即q ⊊p ，从而得出答案．明显面积的最大值为10故答案为：C【思路点拨】三视图复原的几何体是一个三棱锥，依据三视图的图形特征，推断三棱锥的外形，三视图的数据，求出四周体四个面的面积中，最大的值 【题文】5．若02πθ-<<，且sin 3P θ=，()3sin Q θ=，()13sin R θ=，则,,P Q R 大小关系为A. R Q P <<B. Q R P <<C. P Q R <<D. R P Q << 【学问点】指数与指数函数对数与幂函数B6 【答案解析】A 0<sin 3θ<13,由于1sin 0θ-<<，则Q>R,所以R Q P <<故选A. 【思路点拨】先依据指数函数幂函数性质确定大小【题文】6．已知函数()2sin ,(),(),()f x x g x x x m f x g x ===直线与的图象分别交,M N 两点，则MN 的最大值为A. 3B. 4C. D ．2 【学问点】三角函数的图象与性质C3【思路点拨】依题意可设M （x 0，2sinx 0），N （x 0 ，0），|MN|=|2sinx 0- 0|，利用帮助角公式即可．【题文】7．设m n ，是两条不同的直线, αβ，是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A ．若αβ⊥,,m n αβ⊂⊂,则m n ⊥ B ．若α∥β,,m n αβ⊂⊂,则n ∥m C ．若m n ⊥,,m n αβ⊂⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,n ∥m ,n ∥β,则αβ⊥【学问点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】D 选项A ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则可能m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面，故A 错误；选项B ，若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ，或m ，n 异面，故B 错误；选项C ，若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错误； 选项D ，若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β，故D 正确．故选D【思路点拨】由α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，可推得m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面；由α∥β，m ⊂α，n ⊂β，可得m ∥n ，或m ，n 异面；由m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β．【题文】8．已知函数()()log 1a f x x =+，1a >,对于定义域内的12,x x 有1201x x <<<，给出下列结论：①()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦; ②()()2112x f x x f x <;1xyO •③()()2112f x f x x x ->-;④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.其中正确结论的序号是 A. ①② B. ①③ C. ②④ D ③④ 【学问点】对数与对数函数B7【答案解析】D 由于1a >所以为增函数①错误，()()2112x f x x f x <没有必定联系所以②错误③()()2112f x f x x x ->-;④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭正确。

吉林省长春市普通高中2021届高三数学质量监测（三模）试题（三）理一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|4}A x x =∈≤Z ,B={x|-4<x<2},则A∩B= A.{x|-2≤x<2}B.{x|-4<x≤2}.{2,1,0,1,2}C --.{2,1,0,1}D --2.已知复数z=(a+i)(1-2i)(a ∈R )的实部为3,其中i 为虚数单位,则复数z 的虚部为 A.-1B.-iC.1D.i3.已知向量a =(1,-2),b =(3,-3),c =(1,t),若向量a 与向量b c +共线,则实数t=A.5B.-5C.1D.-14.已知函数()cos 3sin 22x xf x =-的图象为C,为了得到关于原点对称的图象,只要把C 上所有的点A.向左平移3π个单位 B.向左平移23π个单位 C.向右平移3π个单位 D.向右平移23π个单位 5.函数3()x xx f x e e -=-的图象大致为6.在521()x x +的展开式中,一定含有 A.常数项B.x 项1.C x - 项3.D x 项7.已知直线m,n 和平面,,,αβγ有如下四个命题: ①若m ⊥α,m//β,则α⊥β; ②若m ⊥α,m//n,n ⊂β,则α⊥β;③若n ⊥α,n⊥β,m⊥α,则m ⊥β; ④若m ⊥α,m⊥n,则n//α. 其中真命题的个数是 A.1B.2C.3D.48.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一,风雨桥由桥､塔､亭组成,其塔俯视图通常是正方形､正六边形和正八边形.右下图是风雨桥中塔的俯视图｡该塔共5层,若01122334000.5,8.B B B B B B B B m A B m =====这五层正六边形的周长总和为A.35mB.45mC.210mD.270m9.已知圆E 的圆心在y 轴上,且与圆C:2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为30,x y -=则圆E 的方程为22.(3)2A x y +-= 22.(3)2B x y ++= 22.(3)3C x y +-=22.(3)3D x y ++=10.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中,列出各个学段每个主题所包含的条目数(如下表),下右图是将统计表的条目数转化为百分比,按各学段绘制的等高条形图,由图表分析得出以下四个结论,其中错误的是A.除了“综合与实践”外,其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加,尤其“图形与几何”在第三学段增加较多,约是第二学段的3.5倍｡B.所有主题中,三个学段的总和“图形与几何”条目数最多,占50%,综合与实践最少,约占4%C.第一､二学段“数与代数”条目数最多,第三学段“图形与几何”条目数最多.D.“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长,而其百分比却一直在减少.“图形与几何”条目数,百分比都随学段的增长而增长.11.已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和n S 满足2*42,()n nn S a a n =+∈N ,设1(1),n n n n b a a +=-⋅T n 为数列{}n b 的前n 项和,则20T =A.110B.220C.440D.88012.设椭圆的左右焦点为12,,F F 焦距为2c,过点1F 的直线与椭圆C 交于点P,Q,若2||2,PF c =且114||||3PF QF =,则椭圆C 的离心率为 1.2A3.4B 5.7C 2.3D 二､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13.一名信息员维护甲､乙两公司的5G 网络,一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护的概率分别为0.4和0.3,则至少有一个公司不需要维护的概率为___.14.等差数列{}n a 中,11,a =公差d ∈[1,2],且391515,a a a λ++=则实数λ的最大值为___.15.若12,x x 是函数2()74f x x x lnx =-+的两个极值点,则12x x =__；12()()f x f x +=___.(本题第一空2分,第二空3分)16.现有一批大小不同的球体原材料,某工厂要加工出一个四棱锥零件,要求零件底面ABCD 为正方形,AB=2,侧面△PAD 为等边三角形,线段BC 的中点为E,若PE=1.则所需球体原材料的最小体积为____.三､解答题:共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答｡第22~23题为选考题,考生根据要求作答｡(一)必考题:共60分｡ 17.(12分)笔､墨､纸､砚是中国独有的文书工具,即“文房四宝”.笔､墨､纸､砚之名,起源于南北朝时期,其中的“纸”指的是宣纸,宣纸“始于唐代,产于泾县”,而唐代泾县隶属于宣州府管辖,故因地而得名“宣纸”,宣纸按质量等级,可分为正牌和副牌(优等品和合格品),某公司年产宣纸10000刀(每刀100张),公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级,如下表所示:x (48,52] (44,48]∪(52,56] (0,44]∪(56,100]质量等级正牌副牌废品,已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元.(1)估计该公司生产宣纸的年利润(单位:万元);(II)该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺,这种机器的使用寿命是一年,只能提高宣纸的质量,不影响产量,这种机器生产的宣纸的质量标准值x的频率,如下表所示:其中x为改进工艺前质量标准值x的平均值,改进工艺后,每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元,请判断该公司是否应该购买这种机器,并说明理由.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4ccosB.(1)求证:sinBcosC=3sinCcosB;(II)求B-C的最大值.19.(12分)四棱锥P-ABCD中,ABCD为直角梯形,BC//AD,AD⊥DC,BC=CD=1,AD=2,PA=PD,E为PC中点,平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点,PA//平面BEF.(1)求证:平面BEF⊥平面PAD;(II)若PC与底面ABCD所成的角为60°.求二面角E-BF-A的余弦值.20.(12分)已知点A(0,1),点B在y轴负半轴上,以AB为边做菱形ABCD,且菱形ABCD对角线的交点在x轴上,设点D的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(II)过点M(m,0),其中1<m<4,作曲线E的切线,设切点为N,求△AMN面积的取值范围.21.(12分)已知函数1()ln ,()(0)x f x m x g x x x-==>. (1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上的单调性;(II)是否存在正实数m,使y=f(x)与y=g(x)的图象有唯一一条公切线,若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由.(二)选考题:共10分,请考生在22-23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2212([0,])23sin πρθθ=∈+,直线1的参数方程为23x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). (1)求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程;(II)设点P 为曲线C 上的动点,点M 和点N 为直线l 上的点,且满足△PMN 为等边三角形,求△PMN 边长的取值范围.23.[选修4-5不等式选讲](10分)已知函数()()2, , 3f x m x m g x x =--∈=+R .(1)当x∈R时,有f(x)≤g(x),求实数m的取值范围;(II)若不等式f(x)≥0的解集为[1,3],正数a,b满足ab-2a-b=3m-1,求a+b的最小值.。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合{}|02A x x =≤≤，集合{}|lg 0B x x =>，则A B =A ．(](),12,-∞+∞ B ．()(),01,2-∞ C ．[)1,2 D ．(]1,22．已知复数iiz -=3，则||z = A ．4 B ．10 C ．5 D ．2 3．下列说法正确的是A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y ≠”C ．“0x <”是“20x x ->”的充要条件D ．若p ：x ∀∈R ，2320x x --<，则p ⌝：0x ∃∈R ，200320x x --.4．设12log 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，182c =，则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<5．某四棱锥的三视图如图所示，则 此四棱锥的体积为A ．2B ．3C ．4D ．66．等差数列}{n a 前n 项和为n S ，281112a a a ++=，则13S =A.32B.42C .52D. 627．为了得到函数2sin 3y x =的图象，可以将函数sin 3cos3y x x =+的图象A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位切磋砥砺足千日 紫电龙光助鹰扬东北师大附中2021届高三年级第三次摸底考试（数学文）学科试题C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位 8．设双曲线22221x y a b-=的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率ABC ．5D ．29．正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为A ．812π B ．814πC ．815πD ．817π10．已知()f x 是R 上的偶函数，对任意∈x R , 都有(6)()(3)f x f x f +=+，且(1)2f =，则(2021)f 的值为A ．0B ．2-C ．2D ．6 11．在钝角ABC ∆中，2AB =，sin 2B =，且ABC ∆面积是2，则=AC A ．B ．2 CD12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '是函数()f x 的导函数且在[)0,+∞上()1f x '<， 若(2020)()20202f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为 A ．[]1010,1010- B ．[)1010,+∞ C ．(],1010-∞-D ．(][),10101010,-∞-+∞第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分, 共20分.）13. 已知向量(1,1)a =，(2,)b x =，若a b +与b a -平行，则实数x 的值为 ．14. 设直线l 过点(0,),a 倾斜角为︒45，且与圆222220x y x y +---=相切，则a 的值为 ．15. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-0101022y x y x y x ，则y x z -=2的取值范围为 ．16. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]，a b 上的两个函数，若函数()()()=-h x f x g x 在[]，a b 上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[]，a b 上是“关联函数”．若()=f x 234-+x x 与()2=+g x x m 在[03]，上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且4228S S =+． （1）求公差d 的值； （2）若11,n a T =是数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求使不等式511nT ≥成立的n 的最小值．18. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是边长为１的 正方形，侧棱PA 与底面成的角是︒45，,M N 分别是,AB PC 的中点． （1）求证：MN ∥平面PAD ； （2）求三棱锥M PBC -的体积．19．（本小题满分12分）东北师大附中数学科技节知识竞赛活动圆满结束，现从参加知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩低于50分为困难生，已知甲乙两人是困难生，为了解困难生具体情况，从选取的困难生随机抽取两人，求甲乙两人中至少有一人被抽到的概率？20（本小题满分12分） 已知函数()ln 1f x ax x =++． (1)若1a =-，求函数()f x 的最大值；(2)对任意的0x >，不等式()xf x e ≤恒成立，求实数a 的取值范围．21. （本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上一点)2,0(A ,右焦点为)0,(c F ，直线AF交椭圆于B 点，且满足||2||FB AF =, 233||=AB ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线)0(>=k kx y 与椭圆相交于D C ,两点，求四边形ACBD 面积的最大值．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为01)4cos(2=+-πθρ，曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 3cos 2y x （α为参数）． （1）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）已知点)1,0(-P ，曲线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点，求PA PB +.23．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数|1||2|)(-++=x x x f （1）解不等式5)(≤x f ；（2）若关于x 的不等式2()2f x a a ≤-有解，求实数a 的取值范围．一、选择题 DBDAD CCCBC CB 二、填空题高三年级第三次摸底考试（数学文）学科试题（参考答案）13. 2 14 22± 15. ]5,1[- 16. 9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦三．解答题17. 解：（1）由4228S S =+，即()1146228a d a d +=++，化简得：48d =，解得2d =； （2）由11,2a d ==，得21n a n =-， 所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以12231111111111123352121n n n T a a a a a a n n +⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，由511n T ≥解得5n ≥，所以n 的最小值为5． 18. 证明：（1）取PD 的中点Q ,连结QN 、AQ ,N 是PC 的中点QN ∴//CD ,且QN =12CD ，底面四边形ABCD 是边长是１的正方形，又M 是AB 的中点，AM ∴//CD ,且AM ∴=12CD ,QN ∴//AM ,且QN =AM ，AMNQ ∴四边形是平行四边形，//MN AQ ∴,又AQ PAD ⊂平面,MN ∴∥平面PAD .（2）PD ⊥平面ABCD ，PAD ∴∠是侧棱PA 与底面成的角，即PAD ∴∠=045，PAD ∆∴是等腰直角三角形，则1PD AD ==, 11331111113412M PBC P MBC MBC V V S PD AB BC PD--∴==⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=19 .解：（1）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯= ，解得0.025a =． ，平均成绩为：450.05550.1650.2750.3850.25950.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯74= （2）困难生共5人，设另外三人a,b,c,甲乙为1,2，所有情况：ab,ac,a1,a2,bc,b1,b2,c1,c2,12710P =20解：(1)当1a =-时，()ln 1f x x x =-++，定义域为()0,∞+，()111xf x x x'-=-+=. 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >.因此，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞； 所以()()max 10==f x f(2)不等式ln 1xax x e ++≤恒成立，等价于ln 1x e x a x--≤在()0,∞+恒成立，令()ln 1x e x g x x --=，0x >，故只需()min a g x ≤即可，()()21ln x x e x g x x'-+=， 令()()1ln xh x x e x =-+，0x >，则()10xh x xe x=+>'， 所以()y h x =在()0,∞+单调递增，而()10h =，所以()0,1x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()y g x =在()0,1单调递减；()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()y g x =在()1,+∞单调递增，所以在1x =处()y g x =取得最小值()11g e =-， 所以1a e -≤，即实数a 的取值范围是{}1a a e ≤-.21.解：（1）由题意， ||2||FB AF =,由233||=AB 知3||=AF , 右焦点为)0,(cF ||2AF a b ∴===又.椭圆C 的标准方程是12322=+y x . （2）由（Ⅰ）知)0,1(F ,)2,0(A ,∴直线AF 的方程为022=-+y x ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+02212322y x y x 得0)3(26422=-=-x x x x ，得23,021==x x .∴)22,23(-B 设点)2,0(A ，)22,23(-B 到直线)0(>=k kx y 的距离为1d 和2d ， 1221+=k d ，122322++=k k d ， 直线)0(>=k kx y 与椭圆相交于D C ,两点,∴联立⎪⎩⎪⎨⎧==+kxy y x 12322,得6)23(22=+x k ，得236,2362423+=+-=k x k x . 23162||1||22432++=-+=∴k k x x k CD .∴设四边形ACBD 面积为S ，则12)2(32316)(||2122221++⋅++=+=k k k k d d CD S )0(2322632>++⋅=k k k .设),2(2+∞∈+=k t ，则2-=t k ，)2(2)2(32632>+-⋅=∴t t t S .2218126312638263263tt t t t S ⋅+⋅-⋅=+-⋅=2343)8231(812632≤+-⋅=t 8231=t ，即2324238+===k t ，即32=k 时，四边形ACBD 面积有最大值23.（以||AB 为底边，点C 点D 到线段AB 的距离为高计算四边形ACBD 面积也可以） 22解：（1）01sin cos ,sin ,cos =++∴==θρθρθρθρy x ,1C 的普通方程为01=++y x , 2C 的普通方程为13422=+y x . （2）1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=12222t y t x （t 为参数），将曲线1C 的参数方程代入2C 的普通方程， 整理得0162872=--t t ，令1PA t =，2PB t =，由韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+7167282121t t t t ， 则有7244)(||||||||||212212121=-+=-=+=+t t t t t t t t PB PA . 23．解：（1）|1||2|)(-++=x x x f①当2-≤x 时，512)1(2)(≤--=----=x x x x f ，3-≥∴x ，,2-≤x ∴23-≤≤-x ； ②当12<<-x 时，53)1(2)(≤=--+=x x x f 恒成立， 12<<-∴x 符合题意； ③当1≥x 时，512)1(2)(≤+=-++=x x x x f ，2≤∴x ，又21,1≤≤∴≥x x ； 综上知不等式5)(≤x f 的解集为]2,3[-.（2）由（Ⅰ）知，⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤--=1,1212,32,12)(x x x x x x f ，所以3)(min =x f ， 2232,2331a a a a a a ≤--≥≥≤-即，，所以或。

东北师范大学附属中学2019学年高三年级第三次摸底考试数 学 试 题（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分；考试时间120分钟. 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置. 4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合=A }{32<≤-x x ，)}1lg({-==x y x B ，那么集合B A ⋂等于 （ ） A ．{}31<<-x x B ．{}31>-≤x x x 或 C ．{}12-<≤-x xD ．}31{<<x x2．已知命题R x p ∈∀:，210x x -+≤，则（ ）A ．R x p ∈∃⌝:，210x x -+≥B ．R x p ∈∀⌝:，210x x -+≥C ．R x p ∈∃⌝:，210x x -+>D ．R x p ∈∀⌝:，210x x -+> 3．已知等差数列{}n a 的前5项和525S =，且137=a ，则=2a ( )A ．2B ．3C ．4D ．54．经过点)2,1(-P 且与直线0:=+y x l 垂直的直线方程为 （ ） A ．30x y -+=B ．30x y --=C ．10x y +-=D ．30x y ++=5．已知直线m 、n 、l ，平面α、β,下列命题正确的是 （ ）A ．若ββ⊂⊂n m ,，α//m ，α//n ，则βα//；B ．若ββ⊂⊂n m ,，n l m l ⊥⊥,，则β⊥l ；C ．若n m m //,α⊥，则α⊥n ；D ．若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥． 6．已知))4sin(),4(cos(ππ--=x x a ))4sin(),4(cos(ππ---=x x b ，则函数b a x f ⋅=)(是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数7．已知函数()[0,3]f x x =∈，则函数()f x 的最小值为 （ ）A ．4B ．3-C ．0D ．4- 8．在底面为正方形的四棱锥V ABCD -中，侧棱VA 垂直于底面，且VA AB =.点M 为VA 的中点，则直线VC 与平面MBC 所成角的正弦值是 ( )A.6B．5C ．23D．159)1<x的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知圆C 与直线340x y ++=及360x y +-=都相切，且圆心在直线290x y --=上，则圆C 的方程为（ ）A ．225(4)(1)2x y -++=B ．225(4)(1)2x y ++-=C ．10)4()1(22=++-y x D ．10)4()1(22=-++y x 11．一个几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 （ ） A．3 B ．12π C．3 D．6 12．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0<x 时，()1f x >，且对任意的,x y ∈R ，等式()()()f x f y f x y =+成立．若数列{}n a 满足1(0)a f =，且11()(2)n n f a f a +=--)(*∈N n ，则2009a 的值为（ ）A ．4016B ．4017C ．4018D ．4019第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，当1x >，2()log (1)f x x =+，则(1)f -= .14．若实数x 、y 满足约束条件10310110x y x y x y -+≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则22(1)(1)z x y =-++的最小值为 .15．已知方程()()22220x mx x nx -+-+=的四个根组成一个首项为12的等比数列，则||m n -= .16．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题,① 点H 是1A BD △的垂心; ② AH 垂直平面11CB D ;③ 二面角111C B D C --④ 点H 到平面1111A B C D 的距离为34.其中真命题的代号是 .（写出所有真命题的代号） 三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）111B17．（本题满分10分）AB 是底部B 不能到达的烟囱，A 是烟囱的最高点，选择一条水平基线HG ，使得H 、G 、B 三点在同一条直线上，在相距为d 的G 、H 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α、β，已知测角仪器高m h 5.1=，试完成如下《实验报告》（要求：1．计算两次测量值的平均值,填入表格；2．利用α、β、d 的平均值，求AB 的值，写出详细计算过程；3．把计算结果填入表格） 相关数据：.7.13,4.12≈≈18．（本题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，E 是C A 1的中点，ED A C ⊥1且交AC 于D ，A A AB BC 122==． （Ⅰ）证明：B C 11//平面A BC 1； （Ⅱ）证明：A C 1⊥平面EDB ．DEA 1CBAC 1B 119．（本题满分12分）已知圆C :222610x y x y ++-+=内一定点(1,2)A , P 、Q 为圆上的动点.（Ⅰ）若P 、Q 两点关于过定点A 的直线l 对称,求直线l 的方程； （Ⅱ）若0AP AQ ⋅=,求线段PQ 中点M 的轨迹方程.20．（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，︒=∠=∠90CAD ABC ，且PA AB BC ==，点E 是棱PB 上的动点. （Ⅰ）当PD ∥平面EAC 时，确定点E 在棱PB 上的位置； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A CE P --余弦值.21．（本题满分12分）已知函数)1(222)(),0(1)(x b x g x x b ax x f +=≥++=，且2)0(=g ,32)3(-=f .（Ⅰ）求)(x g 的值域；（Ⅱ）指出函数)(x f 的单调性（不需证明），并求解关于实数m 的不等式)43()(2-<-m f m m f ；（Ⅲ）定义在R 上的函数)(x h 满足)()(),()2(x h x h x h x h -=--=+，且当10≤≤x 时)],([log 21)()(2x f x h x g -=求方程21)(-=x h 在区间]2009,0[上的解的个数.22．（本题满分12分）已知),1(10)(,1)(2+=-=x x g x x f 各项均为正数的数列}{n a 满足21=a ，0)()()(1=+⋅-+n n n n a f a g a a ， )1)(2(109-+=n n a n b . （Ⅰ）求证：数列}1{-n a 是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，n b 取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若11++<m m m m b t b t 对任意*N m ∈恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分）1． D 2．C 3．B 4． A 5．C 6． B 7． B 8． D 9．D 10． A 11． D 12．B 二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分） 13． 2- 14．9 15．2316．①②③ 三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17mAB m AE 425.15.40.5.40)31(15,462)4530sin(75sin ≈+=∴≈+=∴+=+=︒︒︒而18．证明：（Ⅰ）证： 三棱柱ABC A B C -111中B C BC 11//，又BC ⊂平面A BC 1，且B C 11⊂/平面A BC 1，∴B C 11//平面A BC 1 （Ⅱ）证： 三棱柱ABC A B C -111中A A AB 1⊥，∴Rt A AB ∆1中，AB A B =221，∴=∴BC A B A BC 11，∆是等腰三角形． E 是等腰∆A BC 1底边A C 1的中点，BEC A ⊥∴1 ①又依条件知 EDC A ⊥1 ②且EBE ED = ③由①，②，③得A C 1⊥平面EDB ．19．解：（Ⅰ）圆C 方程可化为22(1)(3)9x y ++-=，∴圆心C （-1，3），半径为3R =.∵点P 、Q 在圆上且关于直线l 对称， ∴圆心C （-1，3）在直线l 上. 又直线l 过点(1,2)A ，由两点式得2132(1)1y x --=--- 即直线l 的方程为250x y +-=18题图DEA 1C BAC 1B 1（Ⅱ）设PQ 的中点为(,)M x y ,∵0AP AQ ⋅=，∴AP AQ ⊥∴在Rt PAQ ∆中,||||PM AM =, 连结CM ,则CM PQ ⊥, 所以222222||||||||||CM PM CM AM CP R +=+==， 所以2222(1)(3)(1)(2)9x y x y ++-+-+-= 故线段PQ 中点M 的轨迹方程为22530x y y +-+=.20．解：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，由A B B C ⊥，AB BC =，得4BAC π∠=，∴4DCA BACπ∠=∠=．又ACAD ⊥，故DAC ∆为等腰直角三角形．∴)2DC AB ===．连接BD ，交AC 于点M ，则2.DM DCMB AB== PD ∥平面EAC ,又平面 EACPDB =平面∴//PD EM 在BPD ∆中，2PE DM EB MB==，即2PE EB =时，PD ∥平面EAC（Ⅱ）方法一：在等腰直角PAB ∆中，取PB 中点N ，连结AN ，则AN PB ⊥．∵平面PAB ⊥平面PCB ，且平面PAB 平面PCB =PB ， ∴AN ⊥平面PBC ．在平面PBC 内，过N 作NH ⊥直线CE 于H ，连结AH ，由AN CE ⊥、NH CE ⊥，得CE ⊥平面ANH ，故AH CE ⊥．∴AHN ∠就是二面角A CE P --的平面角．在Rt PBC ∆中，设CB a =，则PB ==，13BE PB ==，16NE PB ==，CE==，由NH CE⊥，EB CB⊥可知：NEH∆∽CEB∆，∴NH CBNE CE=，代入解得：NH=．在Rt AHN∆中，AN=，∴tanANAHNNH∠==，cos6AHN∠==．∴二面角A CE P--的余弦值为6．方法二：以A为原点，,AB AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系．设PA AB BC a===，则()0,0,0A，()0,,0B a，(),,0C a a，()0,0,P a，20,,33a aE⎛⎫⎪⎝⎭．设)1,,(1yxn=，为平面EAC的一个法向量，则⊥1n AC，⊥1n AE，∴0,20.33ax ayay a+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11,22x y==-，∴)1,21,21(1-=n．设)1,,(''2yxn=为平面PBC的一个法向量，则⊥2n BC，⊥2n BP，又(),0,0BC a=，(0,,)BP a a=-，∴''0,0,axay a=⎧⎨-+=⎩，解得'0,'1x y==，∴)1,1,0(2=n．.63||||,cos212121=⋅>=<∴nnnn∴二面角A CE P --21．解：（Ⅰ）由2)0(,32)3(=-=g f 得22,3223=-=+b b a ， 解得，1,1=-=b a ．x x x f -+=∴21)(，212)(x x g +=22,11,112122≥∴≥+∴≥++x x x)(x g ∴的值域为),2[+∞； （Ⅱ）函数)(x f 在[)0,+∞是减函数，所以，0432≥->-m m m ， 解得，2,34≠≥m m ， 所以，不等式的解集为),2()2,34[+∞⋃；（Ⅲ）当10≤≤x 时，x x h 21)(=，∴当01≤≤-x 时， x x h x h 21)()(=--=， 11,21)(≤≤-=∴x x x h 当31<<x 时，121<-<-x ，)2(21)2()(--=--=∴x x h x h 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-=.31),2(21,11,21)(x x x x x h 由,21)(-=x h 得1-=x∵),()2(x h x h -=+)()]([)2()4(x h x h x h x h =--=+-=+∴,∴)(x h 是以4为周期的周期函数,故21)(-=x h 的所有解是41()x n n Z =-∈, 令0412009n ≤-≤,则1100542n ≤≤ 而,n Z ∈∴1502()n n Z ≤≤∈,∴21)(-=x h 在[]0,2009上共有502个解.22．解：（I ）∵1()()()0n n n n a a g a f a +-+=，2()1n n f a a =-，()10(1)n n g a a =+，∴21()10(1)(1)0n n n n a a a a +-++-=． 即1(1)(1091)0n n n a a a ++--=．又*,01N n a n ∈>+，所以1911010n n a a +=+． ∵19111910101110n n n n a a a a ++--==--， ∴{1}n a -是以111a -=为首项，公比为109的等比数列． （II ）由（I ）可知191()10n n a --= （*N n ∈）． ∴n n n 99(2)(1)(2)()1010b n a n =+-=+． n 1n 1n n 9(3)()9110(1)9102(2)()10n b b n n +++==+++． 当n =7时，871b b =，87b b =； 当n <7时，n 1n1b b +>，n 1n b b +>； 当n >7时，n 1n 1b b +<，n 1n b b +<． ∴ >>>=<<<1098721b b b b b b∴当n =7或n =8时，n b 取最大值，最大值为8787910b b ==． （III ）由m m 1m m 1t t b b ++<，得m 110[]029(3)t t m m -<++ （*） 依题意（*）式对任意*N m ∈恒成立，当t =0时，（*）式显然不成立，因此t =0不合题意．②当t <0时，由110029(3)t m m ->++，可知m 0t <（*N m ∈）． 而当m 是偶数时m 0t >，因此t <0不合题意．③当t >0时，由m 0t >（*N m ∈）, ∴110<029(3)t m m -++ ∴9(3)10(2)m t m +>+． （*N m ∈） 设9(3)()10(2)m h m m +=+ （*N m ∈） ∵9(4)9(3)(1)()10(3)10(2)m m h m h m m m +++-=-++ =91010(2)(3)m m -⋅<++, ∴(1)(2)(1)()h h h m h m >>>->>．∴()h m 的最大值为6(1)5h =． 所以实数t 的取值范围是65t >．。

哈师大附中三模（理科）数学答案一、选择题：ＤＤＤＢＤ　ＤＡＡＢＡ　ＡＣ二、填空题：１３．－３；１４．２１６；１５．２０；１６．（－∞，－２），（－２，＋∞），［－１，２］１７．选择条件是：；△ＡＢＣ（１分）解：由已知：２ｓｉｎＡ＋π()６＝２　∴ｓｉｎＡ＋π()６＝１（４分）∵Ａ＋π６∈π６，７π()６　∴Ａ＋π６＝π２　∴Ａ＝π３（７分）选①：由Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝槡３４ｂｃ槡＝３　∴ｂｃ＝４（８分）由余弦定理：４＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ（１０分）解得：ｂ＝２，ｃ＝２（１２分）选②：由已知：ｂ＋ｃ槡＝２３由余弦定理得：４＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ（１０分）解得：ａ＝槡４３３，ｂ＝槡２３３或ａ＝槡２３３，ｂ＝槡４３３（１２分）选③：由→ ＡＢ·→ ＡＣ＝３得：ｂｃ＝６（８分）由余弦定理：４＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ≥２ｂｃ－ｂｃ　∴ｂｃ≤４矛盾∴△ＡＢＣ不存在（１２分）１８．解：（１）由已知得：小明中奖概率为２３，小红中奖的概率为２５．且两人中奖与否互不影响．（１分）设“这两人的累计得分Ｘ≤３”为事件Ａ，则Ａ的对立事件为“Ｘ＝５”∵Ｐ（Ｘ＝５）＝２３×２５＝４１５（４分）∴Ｐ（Ａ）＝１－Ｐ（Ｘ＝５）＝１１１５（６分）（２）设小明、小红都选择方案甲，抽奖中奖次数为Ｘ１，都选择乙方案抽奖，中奖次数为Ｘ２，则这两人选择甲方案抽奖，累计得分的期望为Ｅ（２Ｘ１），选择乙方案抽奖累计得分期望为Ｅ（３Ｘ２）（８分）由已知：Ｘ１～Ｂ２，()２３；Ｘ２～Ｂ２，()２５（１０分）∴Ｅ（Ｘ１）＝２×２３＝４３，Ｅ（Ｘ２）＝２×２５＝４５∴Ｅ（２Ｘ１）＝２Ｅ（Ｘ１）＝８３，Ｅ（３Ｘ２）＝３×４５＝１２５∵Ｅ（２Ｘ１）＞Ｅ（３Ｘ２）∴他们选择甲方案抽奖时，累计得分的期望较大（１２分）—１—∴ＰＤ⊥ＡＤ，ＰＤ⊥ＣＤ　在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ⊥ＣＤ∴ＤＡ、ＤＣ、ＤＰ三条线两两垂直（１分）如图，分别以ＤＡ、ＤＣ、ＤＰ所在直线为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴建立空间直角坐标系则：Ａ（２，０，０），Ｂ（２，４，０），Ｃ（０，４，０），Ｐ（０，０，４）（２分）∵→ ＰＥ＝３→ ＥＣ　∴Ｅ（０，３，１）；∵→ ＰＦ＝２→ ＦＢ　∴→ ＰＦ＝２３→ ＰＢ＝４３，８３，()８３∴→ ＡＦ＝→ ＡＰ＋→ ＰＦ＝（－２，０，４）＋４３，８３，－()８３＝－２３，８３，()４３设→ ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）为平面ＢＤＥ的一个法向量由→ ｎ·→ ＤＥ＝０→ ｎ·→ ＤＢ{＝０　得：２ｘ＋４ｙ＝０３ｙ＋ｚ{＝０　取→ ｎ＝（－２，１，－３）（４分）∵→ ＡＦ·→ ｎ＝４３＋８３－４＝０∴→ ＡＦ⊥→ ｎ又∵ＡＦ 平面ＢＤＥ　∴ＡＦ∥平面ＢＤＥ（７分）（２）假设存在Ｍ满足→ ＡＭ＝λ→ ＡＰ（０≤λ≤１），使ＣＭ⊥平面ＢＤＥ→ ＣＭ＝→ ＣＡ＋→ ＡＭ＝（２，－４，０）＋λ（－２，０，４）＝（２－２λ，－４，４λ）（８分）若ＣＭ⊥平面ＢＤＥ，则→ ＣＭ∥→ ｎ∴２－２λ－２＝－４１＝４λ－３（１０分）即：２－２λ＝８１２＝４{λ　∴λ∈故不存在满足条件的点Ｍ（１２分）２０．解：（１）由已知：Ｃ２（４，０）；Ｃ１的准线为：ｘ＝－１４．（２分）∴圆心Ｃ２到Ｃ１准线距离为４－－()１４＝１７４（３分）（２）设Ｐ（ｙ２０，ｙ０），Ａ（ｙ２１，ｙ１）·Ｂ（ｙ２２，ｙ２）切线ＰＡ：ｘ－ｙ２０＝ｍ１（ｙ－ｙ０）由ｘ＝ｍ１ｙ＋ｙ２０－ｍ１ｙ０ｙ２＝{ｘ　得：ｙ２－ｍ１ｙ－ｙ２０＋ｍ１ｙ０＝０由ｙ０＋ｙ１＝ｍ１　得：ｙ１＝ｍ１－ｙ０切线ＰＢ：ｘ－ｙ２０＝ｍ２（ｙ－ｙ０）同理可得：ｙ２＝ｍ２－ｙ０依题意：Ｃ２（４，０）到ＰＡ：ｘ－ｍ１ｙ－ｙ２０＋ｍ１ｙ０＝０距离　｜４－ｙ２０＋ｍ１ｙ０｜ｍ２１槡＋１＝１—２—同理：　（ｙ２０－１）ｍ２２＋（８ｙ０－２ｙ３０）ｍ２＋ｙ４０－８ｙ２０＋１５＝０∴　ｍ１＋ｍ２＝２ｙ３０－８ｙ０ｙ２０－１　（ｙ２０≠１）（９分）∵　ｋ１＝ｙ０ｙ２０－４，ｋ２＝ｙ１－ｙ２ｙ２１－ｙ２２＝１ｙ１＋ｙ２＝１ｍ１＋ｍ２－２ｙ０＝ｙ２０－１－６ｙ０∴　ｋ１ｋ２＝ｙ０ｙ２０－４·ｙ２０－１－６ｙ０＝－５２４．解得：ｙ＝±４故所求Ｐ点坐标为（１６，４）或（１６，－４）（１２分）２１．解：（１）由已知：ｆ′（ｘ）＝ａ＋１＋ｌｎｘ（１分）依题意：ｆ（ｅ）＝３ｅ－３ｅ＝０＝ａｅ＋ｅｌｎｘ＋ｂｆ′（ｅ）＝ａ＋１＋ｌｎｅ＝ａ{＋２＝３解得：ａ＝１，ｂ＝－２ｅ（４分）（２）由（１）知：ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｘｌｎｘ－２ｅｆ（ｘ）＋２ｅｘ－１＞ｎ　即：ｘ＋ｘｌｎｘｘ－１＞ｎ设：ｇ（ｘ）＝ｘ＋ｘｌｎｘｘ－１，（ｘ＞１）　原问题转化为ｇ（ｘ）ｍｉｎ＞ｎ（５分）ｇ′（ｘ）＝（１＋１＋ｌｎｘ）（ｘ－１）－（ｘ＋ｘｌｎｘ）（ｘ－１）２＝ｘ－ｌｎｘ－２（ｘ－１）２令ｈ（ｘ）＝ｘ－ｌｎｘ－２，（ｘ＞１）∵ｈ′（ｘ）＝１－１ｘ＝ｘ－１ｘ＞０∴ｈ（ｘ）在（１，＋∞）上递增．又∵ｈ（３）＝１ｌｎ３＜０　ｈ（４）＝２－２ｌｎ２＞０∴ｈ（ｘ）存在唯一零点，设为ｘ０，ｘ０∈（３，４）　ｈ（ｘ）＞０ ｘ＞ｘ０，　ｈ（ｘ）＜０ ｜＜ｘ＜ｘ０∴ｇ′（ｘ）＞０ ｘ＞ｘ０，　ｇ′（ｘ）＜０ ｜＜ｘ＜ｘ０∴ｇ（ｘ）在（１，ｘ０）递减，（ｘ０，＋∞）上递增∴ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｇ（ｘ０）＝ｘ０＋ｘ０ｌｎｘ０ｘ０－１（９分）∵ｇ′（ｘ０）＝０　∴ｘ０－ｌｎｘ０－２＝０　∴ｌｎｘ０＝ｘ０－２∴ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｘ０＋ｘ０（ｘ０－２）ｘ０－１＝ｘ０∈（３，４）　∴ｘ０＞ｎ（１１分）∴ｎ的最大值为３（１２分）—３—２２．解：（１）消参得ｌ的普通方程为：ｙ＝１－ｘ（２分）∵ρ２＝１２３ｃｏｓ２θ＋４ｓｉｎ２θ　∴３ρ２ｃｏｓ２θ＋４ρ２ｓｉｎ２θ＝１２∵ρｃｏｓθ＝ｘρｓｉｎθ＝{ｙ　∴３ｘ２＋４ｙ２＝１２　∴ｘ２４＋ｙ２３＝１∴Ｃ的直角坐标方程为：ｘ２４＋ｙ２３＝１．（５分）（２）设Ａ、Ｂ对应参数为ｔ１，ｔ２，则Ｍ对应参数为ｔ１＋ｔ２２由ｔ的几何意义知：｜ＰＭ｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜２将ｘ＝－槡２２ｔｙ＝１＋槡２２ ｔ　代入３ｘ２＋４ｙ２－１２＝０　得：３ｘ１２ｔ２＋４ｔ２２槡＋２ｔ()＋１－１２＝０　∴７ｔ２槡＋８２ｔ－１６＝０　Δ＞０∴ｔ１＋ｔ２＝－槡８２７　∴｜ＰＭ｜＝｜ｔ１＋ｔ２｜２＝槡４２７（１０分）２３．（１）解：当ｘ＜－１时，ｆ（ｘ）＝１－２ｘ－２ｘ－２＝－４ｘ－１≥４　∴ｘ≤－５４　∴ｘ≤－５４当－１≤ｘ≤１２时，ｆ（ｘ）＝１－２ｘ＋２ｘ＋２＝３≥４　∴ｘ∈当ｘ＞１２时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－１＋２ｘ＋２＝４ｘ＋１≥４　∴ｘ≥３４　∴ｘ≥３４∴不等式解集为：－∞，－(]５４∪３４，＋[)∞（５分）（２）ｆ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜＋｜２ｘ＋２｜＝｜１－２ｘ｜＋｜２ｘ＋２｜≥｜（１－２ｘ）＋（２ｘ＋２）｜＝３当且仅当（１－２ｘ）（２ｘ＋２）≥０，即：－１≤ｘ≤１２时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝３　∴ｍ＝３（７分）∴ａ＋２ｂ＋３ｃ＝３由柯西不等式可得：（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（１２＋２２＋３２）≥（ａ＋２ｂ＋３ｃ）２∴ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥３２１２＋２２＋３２＝９１４当且仅当ａ１＝ｂ２＝ｃ３即：ａ＝３１４，ｂ＝６１４，ｃ＝９１４时：ａ２＋ｂ２＋ｃ２最小值为９１４（１０分）—４—。

吉林省东北师大附中2021届上学期高三年级第三次摸底考试物理试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，时间100分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共52分）一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共计52分。

其中1-8小题为单选题，9-13小题为多选题。

全部选对得4分，选对但不全的得2分，有错的得0分。

9小题为选修3-3、3-4，选其中任一个小题作答。

）1．物理教材中有很多经典的插图能够形象的表现出物理实验、物理现象及物理规律，下列四幅图涉及到不同的物理知识，其中说法正确的是A．甲图中，卢瑟福通过分析粒子散射实验结果，发现了质子和中子B．乙图中，在光的颜色保持不变的情况下，入射光越强，饱和光电流越大C．丙图中，射线甲由电子组成，射线乙为电磁波，射线丙由粒子组成D．丁图中，链式反应属于轻核聚变方式2．“竹蜻蜓”是民间的儿童玩具，如图所示，双手用力搓柄可使“竹蜻蜓”上升。

在某次实验中，“竹蜻蜓”离开手后沿直线上升到最高点。

在上升过程中，下列说法正确的是A．“竹蜻蜓”叶片上A、B两点的速度大小相等B．“竹蜻蜓”的重力势能一直增加C．“竹蜻蜓”的动能先增加后减小D．“竹蜻蜓”的机械能先减小后增大3．2020年11月17~20日长春遭遇了一轮冻雨暴雪天气，致使多条供电线路停运，电力部门持续进行抢修除冰作业。

针对高压输电线融冰有一种电流发热融冰法，就是增大高压电线内通入的电流使电线发热，利用电线自身的发热量使其外部冰层由内向外融化，达到融冰除冰的目的。

为了监测高压线路融冰进展情况，技术人员通过如图所示的装置检测融冰线路。

图中T1、T2是监测交流高压输电参数的互感器（均视为理想变压器），T1的原、副线圈匝数比为1:1000，a、b是交流电压表或交流电流表，其中交流电压表两端的电压为10V，高压线路输送的电功率是2200W、电压是22V，则A．a是交流电压表B．T2的原、副线圈匝数比为1000:1C．通过交流电流表的电流为D．绕制T1副线圈的导线应比原线圈的粗4．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程“嫦娥五号”探测器。

高三年级第三次摸底考试（地理）学科参考答案（1）整体海拔较高；地势南北高、中部低，起伏较小；北部是东西走向的阴山山脉，中部是河套平原，南部是鄂尔多斯高原。

（4分）（2）有利：库布齐沙漠降水少，晴天多，日照时间长，太阳辐射强；海拔较高，大气透明度高，太阳能资源丰富；地广人稀，土地资源丰富，地价低廉。

（4分）不利：与消费市场距离远；风沙大，遮蔽太阳能电池板，降低发电效率；基础设施不完善，建设成本高。

（4分）（3）植被覆盖率增加；气温日较差减小，空气湿度增大，沙尘天气减少；土壤含水量增大，土壤肥力提高；河流含沙量减少；生物多样性增多。

（气候、土壤、河流、生物等自然因素，任答三个角度，得6分）32.（16分）（1）特征：降水总量稀少，冬季稍多；成因：该地大多数时间受副热带高压控制；且该地受加那利寒流影响，降温减湿；冬季受西风带影响，有少量降水。

（6分）（2）纬度低，热量充足；降水量较少，光照充足；晴天多,昼夜温差大,有利于糖分积累；土壤（火山土）中有丰富的矿物质。

（6分）（3）石墙开口朝向上坡向,有利于收集坡面径流（或深坑利于收集雨水）；石墙散热快，夜晚利于形成和收集冷凝水（露水）；石墙起到削减风速、减少蒸发和避免植株倒伏的作用。

（答出两点得4分）33.(16分)（1）河流水位季节变化大；汛期流域内径流流速快，侵蚀和搬运能力强，携带大量泥沙汇入；河谷平坦开阔，流速慢，泥沙在河床中大量沉积，形成水下堆积体；枯水期，水位下降，沙洲裸露；河道多分叉，形成辫状水系。

（8分）（2）冬季河流封冻，河面光滑，摩擦力小，加上谷地的狭管效应，风力增大；冬春季河流水位低，沙洲裸露，易受风力侵蚀、搬运。

（4分）（3）4—10月份沱沱河地区气候温暖湿润；浅滩沙洲广布，水源和食物丰富；浅滩水系阻挡了大量的天敌。

（答出两点得4分）1。

东北师大附中 2019 级高三年级 （6）已知角α 的终边与单位圆交于点P⎛ 6 , - 3 ⎫ ，则sin⎛ π -α ⎫ + cos (π - 2α ) = 3 3 ⎪ 2 ⎪ 第三次摸底考试（数学）科（理）试卷注意：本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。

A ． - 33⎝ ⎭B ．6+1 3⎝ ⎭C.3 3D ．6 -1 3一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合 A = {x x 2 ≥ 1},集合 B = {x 1 < x < 2} ,则 A （7）在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，点M 是侧棱CC 1 中点，BC ⊥ BA ，BC = BA = AA 1 = 2 ，则异面直线 BM 与 A 1C 所成角的余弦值为A. {x x < 2}B. {x 1 < x < 2}C. {x 1 ≤ x < 2}D. {x x ≥ 1或x ≤ -1}A. -（2）命题“ ∀x ∈(0, +∞) ， x ≥ 1 ”的否定是x（8）关于圆周率π ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯 A ．∀x ∈(0, +∞) ， x ≤ 1xC ． ∃x ∈(0, +∞) ，x < 1xB ．∃x ∈(0, +∞) ， x ≥ 1xD ．∃x ∈(-∞, 0]， x < 1x 实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π 的值：先请 200 名同学，每人随机写下一个都小于 1 的正实数对( x ，y ) ，再统计 x 、y 两数能与 1 构成钝角三角形时的数对( x ，y ) 的个数m ，最后再根据m 来估计π 的值.假如统计结果是m = 60 ，那么π ≈（3）若 a = 2 ， b = 4 ， (a +b )⊥ a ，则a 与b 的夹角为A. πB. πC. 2πD. 4πA. 16B. 6C. 78D. 1425 5 25 456 3 3 3（9）函数 f ( x )( x ∈ R )满足 f ( x + 6) + f ( x ) = 2 f (3) ，函数 y = f ( x -1) 的图象关于点（4）已知函数 f (x ) = lg (a x -b x )（ a ， b 为常数，a > 1 > b > 0），当 x ∈[2，+∞ ) 时， f ( x ) > 0 恒成立，则(1, 0) 对称，则 f (2022) =A ． a 2 - b 2 > 1B ． a 2 - b 2 ≥ 1C ． a 2 - b 2 < 1D ． a 2 - b 2 ≤ 1A ． -16B.-8C.-4D ．0（5）函数 f ( x ) = x 2- cos x - x sin x +1的图象大致为AB C D（10） 我国古代数学家刘徽在其《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题及二次测望方法：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末三合.问岛高及去表各几何？这一方法领先印度 500 多年，领先欧洲 1300 多年.其大意为：测量望海岛 PQ 的高度及海岛离岸距离，在海岸边立两根等高标B= 10 B. 15 C. 30 D. 1010 15 12 12PBD QAE CF( ) n nn杆 AB , CD （ P Q , AB , C D 共面，均垂直于地面），使目测点 E 与P 、B 共线， 目测点 F 与 P 、D 共线，测出 AE 、CF 、AC ， 即可求出岛高 PQ 和 EQ 的距离（如图）.若 AB = CD = r , AE = a ,CF = b , EF = d ，则 PQ =二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）（13） 若 (ax -1)5的展开式中 x 3 的系数是 −80, 则实数a 的值是．（14） 某学校社会实践小组共有5 名成员，该小组计划前往该地区三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲、乙两名成员前往同一基地，则不同的分配方案共有种．（15）已知函数 f (x ) =1(sin ωx -1) + cos 2ω x(ω > 0) ，若 f (x ) 在(2π, 3π) 内无零点，则ω 的dr A ．b - adr B ． b +adr C ．a - bd - a r D ．b +a22取值范围是.（11） 已知数列{a } 满足： a = 1, a= 1, a = a + a (n ≥ 3, n ∈ N * ) ，若将数列{a } 的（16） 在四棱锥S - ABCD 中，已知SA ⊥ 底面 ABCD ， AB ∥ CD ， AB ⊥ AD ，AB = 2n12nn -1n -2n每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为 1，记前n 项所占的格子的面积之 CD = AD = 4 . M 是平面SAD 内的动点，且满足∠CMD = ∠BMA .则当四棱锥 和为S n ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c n . 现有如下命题：M - ABCD 的体积最大时，三棱锥M - ACD 外接球的表面积为.p 1 : S n +1 2 n +1 + a n +1 ⋅ a n ；三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）p 2 : a 1 + a 3 + + a 2n -1 = a 2n -1；p 3 : ∑a i= a n +2 -1；i =1（一）必考题：每题 12 分，共 60 分．（17）已知数列{a }前 n 项和为 S ，且2S= n (n +1) ，记b n = (-1)n 2a n +1 .p 4 : 4(c n - c n -1) = πa n +1 ⋅ a n -2 .nnna 2 + a则下列选项正确的是A ． p 1 ∧ p 2B ． p 1 ∧ p 3C ． ⌝p 2 ∧ ⌝p 3D ． p 2 ∨ ⌝p 4（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n } 的前n 项和为T n ，求T 2021 .（12）已知函数 f (x ) =x - 2m (m < 0)， g (x ) =2 ln(-x ) ，设方程 f (g (x )) + 1= 0 的 3 个实根3x 2xm分别为 x 1, x 2 , x 3 ，且 x 1 < x 2 < x 3 ，则 g (x 1) + 2g (x 2 ) + 3g (x 3 ) 的值可能为A ． -2 B ． 2ee C ． -3 D ． 3ee2= a5（18） 某物流公司专营从长春市到吉林市的货运业务，现统计了最近 100 天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量 T (单位：箱)分成了以下几组：[40, 50) ，[50,60) ，[60,70) ，[70,80) ，[80,90) ，[90,100]，并绘制了如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该区间的中点值为代表，视频率为概率 ).（Ⅰ）求该公司平均每天的配货量是多少箱？（Ⅱ）为了调动公司员工的积极性,特制定了以下奖励方案：利用抽奖的方式获得奖金，每次抽奖的结果相互独立.其中每 天的可配送货物量不低于80 箱时有两次抽奖机会；每天的可 配送货物量低于80 箱时只有一次抽奖机会.每次抽奖获得的 奖金及对应的概率分别为：（19） 如图， AE ⊥ 平面 ABCD ，CF ∥ AE ， AD ∥ BC ， AD ⊥ AB ， AB =AD =1， AE = BC = 2 .（Ⅰ）求证： DE // 平面 BCF ；（Ⅱ）若二面角 E - BD - F 的余弦值为 1，求直线 FB 与平面 ABCD 所成角的正切值．3x 2 y 2（20） 椭圆C : a 2 + b2= 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1 ，F 2 ，过点 F 2 的直线l 交椭圆于 A ，若小张是该公司一名员工，他每天所获奖金为 X 元，请写出 X 的分布列并求出数学期望E ( X ) .B 两点. 当直线l ⊥ x 轴时， AF 1 （Ⅰ）求椭圆的离心率；= 3AF 2 .（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得四边形 AF 1BM 是平行四边形，求此时直线l 的斜率.EFDCAB奖金(元) 50 100概率231 3PN+（21） 已知函数 f (x ) =x ln a + a sin x (a > 0) e x， f '(x ) 为 f (x ) 的导数.（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（22） 【选修 4—4：坐标系与参数方程】（Ⅰ）若 x = 0 为 f '(x ) 的零点，试讨论 f (x ) 在区间[0, π]的零点的个数；f (x )⎧⎪x = 曲线C 的参数方程为⎨ y = 3 cos α （α 为参数，α ∈ R ）. 以坐标原点为极点， x 轴正半2 sin α（Ⅱ）当a = 1时，2 + cos x< mx (x > 0)，求实数m 的取值范围.⎪⎩轴为极轴建立极坐标系，点 A 的极坐标为⎛2 2,π ⎫，直线l 的极坐标方程为 ρ cos⎛θ - π ⎫ = m ，4 ⎪ 4 ⎪ ⎝⎭⎝ ⎭且直线l 经过点 A .（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）过点 P (1,0) 的直线l ' 交曲线C 于M 、 N 两点，且l ' ⊥ l ，求+ 1 的值.（23） 【选修 4—5：不等式选讲】已知函数 f (x ) = x +1 + 2x -1 . （Ⅰ）求不等式 f ( x ) > 2 的解集；（Ⅱ）已知函数 f ( x ) 的最小值为t ，正实数a , b , c 满足a + c = 4t - 2b .1 12证明：≥ . a + b b + c 3PM 1高三年级第三次摸底 数学（理）试卷参考答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）（13） 2- （14） 36 （15）137711(0,][,][,]4812812（16） 160π 三、解答题（共70分）（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()112n S n n =+，当1n =时，111212S =⨯⨯=； 当2n ≥，n N *∈时，()1112n S n n -=-，()()1111122n n n a S S n n n n n -=-=+--=.当1n =时也符合, ()n a n n N *∴=∈.（Ⅱ）()()()()()()221212*********nn n n n n n n n n a n b a a n n n n n n ++++⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪++++⎝⎭202111111111...12233420212022T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111112023=1 (1223342021202220222022)--++--+--=--=-.（18）（本小题满分12分）解: （Ⅰ）根据频率分布直方图，该公司平均每天的配货量为：450.05550.2650.3750.3850.1950.0568.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（箱）（Ⅱ）每天的可配送货物量不低于80箱的概率为30.10.050.1520+==，每天的可配送货物量低于80箱的概率为31712020-=. X 的所有可能取值为50，100，150，200.则()172175020330P X ==⨯=， ()1713227100203203320P X ==⨯+⨯⨯=， ()31211502203315P X ==⨯⨯⨯=， ()3111200203360P X ==⨯⨯=. 所以X 的分布列为:所以()1771123050100150200302015603E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.（19）（本小题满分12分）解：依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>，则()1,2,F h ．CF AE ∥，CF ∴⊥平面ABCD ，CF AB ∴⊥，又AB BC ∴⊥，BC CF C =，AB ∴⊥平面（Ⅰ）法一：证明：依题意，AE ⊥平面ABCD ，BCF ，(1,0,0)AB ∴=是平面BCF 的法向量，又(0,1,2)DE =-，可得0AB DE ⋅=，又因为直线DE ⊄平面BCF ，所以DE ∥平面BCF ．ADE ，//CF ∴平面ADE .同理//BC 平面ADE ，CF BC C =，∴平面BCF //平面ADE ，又法二：CF AE ∥，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面DE ⊂平面ADE ， 所以DE ∥平面BCF ．00BD m BF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩ （Ⅱ）解：设(),,x y m z =为平面BDF 的法向量，则不妨令1y =，可得21,1,m h ⎛⎫=-⎪⎝⎭．同理可得平面BDE 的一个法向量为(2,2,1)n =由题意，有4||1cos ,3||||32m n m n m n ⋅〈〉===，解得87h =． 87CF ∴=． CF ⊥平面ABCD ，FBC ∴∠为直线FB 与平面ABCD 所成角，4tan .7CF FBC BC ∴∠==（20）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）法一：l 过()2,0F c ，且l x ⊥，设(),A c y ，不妨设A 为第一象限点，则0y >.则222221,,c y b A c a b a ⎛⎫+=∴ ⎪⎝⎭，22b AF a ∴=，2153b AF a ∴=⋅，2221258233b b b AF AF a a a a∴+=+⋅==.()2222223444a b a c a c ∴==-∴=，12e =.法二： 1211225245334AF AF a AF a AF AF AF a⎧⎧+==⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩，2222253144442a a c a c e ⎛⎫⎛⎫∴-=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设椭圆2222:143x y C c c +=， ()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点()00,N x y ，由题意可以判断直线l 的斜率存在，设():l y k x c =-()2222143x y c c y k x c ⎧+=⎪∴⎨⎪=-⎩，()2222223484120k x ck x c k c ∴+-+-=，2122834ck x x k∴+=+， 212024234x x ck x k +∴==+ ()002334cky k x c k-∴=-=+ ① 四边形1AF BM 是平行四边形，N ∴是1F M 的中点，()002,2M x c y ∴+，M 在椭圆上，()()22200324212x c y c ∴++= ②①代入②得，222222123634123434ck c ck c k k ⎛⎫+-⎛⎫∴+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理得428024270k k +-=，解得2920k =或234k =-（舍去），k ∴=所以直线l的斜率为.（21）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）ln (1)()cos exa x f x a x -'=+，因为0x =为()f x '的零点，所以(0)0f '=， 即ln 0a a +=，从而(1)()cos [cos (1)e ]ex xa x f x a x a x x ---'=+=--. ①因为(0)0f =，所以0是()f x 的零点. ②当(0,π]x ∈时，设()cos (1)exg x x x -=--，则()(2)esin xg x x x -'=--.（ⅰ）若π(0,]2x ∈，令()()(2)esin xh x g x x x -'==--，则()(3)e cos 0x h x x x -'=--<，所以()h x 在π(0,]2单调递减，因为π2ππ(0)20,()(2)e 1022h h -=>=--<，所以存在唯一的0π(0,)2x ∈，使得0()0h x =.当0(0,)x x ∈时，()()0h x g x '=>，()g x 在0(0,)x 上单调递增；当0π(,)2x x ∈时，()()0h x g x '=<，()g x 在0π(,)2x 上单调递减；（ⅱ）若π(,2]2x ∈，令()(2)e xx x ϕ-=-，则()(3)e 0x x x ϕ-'=-<，故()x ϕ在π(,2]2上单调递减，所以π2ππ1()()(2)22e x e ϕϕ-<=-<.又π1sin sin 2sin(π2)sin 62x ≥=->=，所以()(2)e sin 0,()xg x x x g x -'=--<在π(,2]2上单调递减；（ⅲ）若(2,π]x ∈，则()(2)e sin 0,()xg x x x g x -'=--<在(2,π]上单调递减.由（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）可得，()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,π]x 上单调递减，因为π0()(0)0,(π)(π1)e 10g x g g ->==--<，所以存在唯一10(,π)x x ∈使得1()0g x =.当1(0,)x x ∈时，()()0f x ag x '=>，()f x 在1(0,)x 上单调递增，()(0)0f x f >=， 当1(,π]x x ∈时，()()0f x ag x '=<，()f x 在1(,π]x 上单调递减， 因为1()(0)0,(π)0f x f f >=<，所以()f x 在1(,π]x 上有且只有一个零点. 综上，()f x 在[]0,π上有两个零点.（Ⅱ）当1a =时，()sin f x x =，则不等式化为sin 2cos x mx x <+，即为sin 02cos xmx x->+.法一： 令sin ()2cos xG x mx x =-+则()()2222cos +123111()=+=32cos 2cos 332cos 2cos x G x m m m x x x x ⎛⎫'=---+- ⎪++⎝⎭++ 当13m ≥时，()0G x '>，()G x 在()0+∞，单调递增，且(0)=0G ，故13m ≥时满足题意； 当103m <<时，令()sin 3H x x mx =-，则()cos 3H x x m '=-在()0+∞，有无数零点 ∴存在最小的一个()00,x x ∈，使()0H x '>，则()H x 在()0+∞，单调递增，()(0)0H x H >=∴sin 3x mx >()00,x x ∴∃∈，使sin sin 2cos 3x xmx x >>+∴sin 02cos x mx x -<+，故103m <<不满足题意，舍去.当0m ≤时，0,0x mx >∴≤，令()sin 2cos x n x x =+，πsinπ12=0π222cos 2n ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+，不满足题意，舍去.综上，13m ≥. 法二： 令sin ()2cos x F x mx x =-+，则(0)0F =，22cos 1()(2cos )x F x m x +'=-+，1(0)3F m '=-.当13m ≥时，sin 1()2cos 3x F x x x ≤-+，令sin 1()2cos 3x G x x x =-+，则 22(1cos )()03(2cos )x G x x -'=-≤+，于是()G x 在(0,)+∞上单调递减，所以()(0)0G x G <=，故()0F x <.当13m <时，考虑π(0,)2x ∈，此时311()sin ()336x F x x mx x mx >->--2(618)18m x x --=⋅.记}2t π=，于是当0x t <<时，()0F x >，不符合题意.综上所述，实数m 的取值范围是1[,)3+∞.（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）22cos 3cos :1322sin x x y C y αααα=⎧=⎪∴∴+=⎨=⎪⎩=. π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在πcos 4m ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上，ππ22cos 44m m ⎛⎫-=∴= ⎪⎝⎭πcos sin 422ρθρθθ⎛⎫⎛⎫∴-=∴+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:40l x y ∴+-=.（Ⅱ）1l l l k ''⊥∴=，∴l '的倾斜角为π4，12x l y ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩的参数方程为（t 为参数） 代入22:132x y C +=得2580t +-=，121285t t t t ∴+==-.12121211115t t PM PN t t t t -+=+====.（23）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由题设，()311=2,1213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪--<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，；； ∴要使()2f x >，由132x x ≤-⎧⎨->⎩得1x ≤-；由11222x x ⎧-<≤⎪⎨⎪->⎩得10x -<<；由1232x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩得23x >； 综上，()2f x >的解集为203x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()f x 的最小值为32，即32t =.数学（理）试题 第 11 页 ，共 4 页 ∵42a c t b +=- ∴+26a c b += ∴()()()()1126a b c a b b c a b b c a b b c +++==++++++， ∵,,a b c 为正实数，()()2662=322a b b c a b c ∴≥++++⎛⎫ ⎪⎝⎭当且仅当=3a b b c +=+时等号成立， ∴1123a b b c +≥++得证.。

吉林省长春市东北师范大学附属中学2021届高三数学上学期一摸试题 理（含解析）一、选择题1.若i 是虚数单位,在复平面内复数21ii-+表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】运用复数除法的运算法则,化简复数21ii-+,最后选出正确答案. 【详解】因为2(2)(1)131(1)(1)22i i i i i i i --⋅-==-++⋅-,所以复平面内复数21ii-+表示的点的坐标为13(,)22-,该点在第四象限. 故选：D【点睛】本题考查了复数除法的运算法则.考查了复数在复平面表示点的位置问题. 2.若全集{}*2560U x N x x =∈--≤,集合{}2,3A =,{}0,1,5B =,则()UB A ⋂（ ）A. {}0,1,5B. {}1,5C. ∅D.{}0,1,4,5,6【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式,并求出正整数解集,化简全集的表示,根据补集、交集的定义,求出()U B A ⋂.【详解】{}{}{}*2*560161,2,3,4,5,6U x N x x x N x =∈--≤=∈-≤≤=.因为{}2,3A =,所以{}1,4,5,6UA =,因此(){}1,5UB A ⋂=.故选：B【点睛】本题考查了集合的补集运算、并集运算,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.3.下列函数中,既是偶函数,又在()0,∞+上单调递增的函数是（ ） A. 32y x =B. xy e-=C. 21lg y x =-D.6y x =+【答案】D 【解析】 【分析】对选项中的四个函数,先求定义域,再判断是不是偶函数,当()0,x ∈+∞时,化简函数的解析式,再判断单调性即可选出正确答案.【详解】选项A ：函数32y x =的定义域为全体非负实数集,故该函数不具有奇偶性,不符合题意； 选项B ：函数()xy f x e-==的定义域为全体实数集. ()()xxf x eef x ----===,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, 1()()xx x f x e e e --===,因为101e<<,所以该函数此时是减函数,不符合题意；选项C ：函数2()1lg y f x x ==-的定义域为非零的全体实体集,22()1lg()1lg ()y f x x x f x =-=--=-=,所以该函数是偶函数,当()0,x ∈+∞时, 2()1lg 12lg f x x x =-=-,根据单调性的性质可知：该函数此时单调递减,不符合题意；选项D ：函数()6y f x x ==+的定义域为全体实数集, ()66()f x x x f x -=-+=+=,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, ()6y f x x ==+,符合题意. 故选：D【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性,属于基础题.4.设50.3a =,0.35b =,0.3log 5c =,则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D.b ac >>【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法,可以比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为函数0.3xy =是全体实数集上的减函数,所以有5000.30.31<<=； 因为函数5xy =是全体实数集上的增函数,所以有0.30551>=；因为函数0.3log y x =是正实数集上的减函数,所以有0.30.3log 5log 10<=,因此有b a c >>. 故选：D【点睛】本题考查了对数式、指数式的比较,运用对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法是解题的关键.5.素数也叫质数,部分素数可写成“21n -”的形式（n 是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“21n -”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数.2021年底发现的第51个梅森素数是8258993321P =-,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数为3121P =-,第9个梅森素数为6121Q =-,则QP约等于（参考数据：lg 20.3≈）（ ）A. 710B. 810C. 910D. 1010【答案】C 【解析】 【分析】根据,P Q 两数远远大于1, Q P 的值约等于613122,设613122k =,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出k 的值.【详解】因为,P Q 两数远远大于1,所以Q P 的值约等于613122,设6130303122lg 2lg 2k k k =⇒=⇒=, 因此有930lg 2lg lg 910k k k =⇒=⇒=.【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题. 6.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选D7.“22a -≤≤”是“关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先判断不等式210ax ax a-+≥的解集为R 成立的条件,然后根据充分性、 必要性的定义选 出正确答案.【详解】因为关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R ,所以有：0a >且21()40a a a--⋅≤, 所以有02a <≤,显然由22a -≤≤不一定能推出02a <≤,但由02a <≤一定能推出22a -≤≤,故“22a -≤≤”是“关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R ”的必要不故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,解决不等式恒成立问题是解题的关键.8.已知函数()3211,0log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩,若()1f a ≤,则实数a 的取值范围是（ ）A. [)3,3,2⎛⎤-∞-+∞⎥⎝⎦B. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (]3,00,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. []4,2-【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式,分类讨论解不等式,最后求出实数a 的取值范围. 【详解】当0a ≤时, ()311211122f a a a ≤⇒+-≤⇒-≤≤,而0a ≤,所以 302a -≤≤； 当0a >时, ()31log 13f a a a ≤⇒≤⇒≤,而0a >,所以03a <≤,综上所述：实数a 的取值范围是3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：B【点睛】本题考查了分段函数不等式的解法,正确求解对数不等式、绝对值不等式是解题的关键.9.二次函数2y ax bx c =++和2y cx bx a =++(0ac ≠,a c ≠)的值域分别为M 和N ,命题:p MN ,命题:q M N ≠∅,则下列命题中真命题的是（ ）A. p q ∧B. ()p q ∨⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D.()p q ⌝∧【答案】D 【解析】根据两个二次函数最高次项系数的正负性可以通过举例说明命题p 的真假,根据两个二次函数最高次项系数的正负性进行分类讨论,可以判断出命题q 的真假,最后根据且命题、或命题的真假判断方法选出正确答案.【详解】(1)当0a >,0c <时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时显然:p MN是假命题,而244ac b a -是负的, 244ac b c -是正的,故命题:p MN 是假命题,命题:q MN ≠∅是真命题；(2)当0a >,0c >时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -、 244ac b c-是同号,故命题:q M N ≠∅是真命题；(3)当0a <,0c <时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -、 244ac b c-是同号,故命题:q M N ≠∅是真命题；(4)当0a <,0c >时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a-是正数、 244ac b c-是负数,故命题:q MN ≠∅是真命题；综上所述：p 是假命题, q 是真命题.选项A: 因为p 是假命题, q 是真命题,p q ∧是假命题；选项B: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以q ⌝是假命题,因此()p q ∨⌝是假命题； 选项C: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题,q ⌝是假命题,因此()()p q ⌝∧⌝是假命题；选项D: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题, ()p q ⌝∧是真命题. 故选：D【点睛】本题考查了命题的真假判断,考查了二次函数的值域,考查了集合之间的关系、运算问题,分类讨论是解题的关键.10.若函数(),0231,0x e x a x f x ax a x ⎧-+>=⎨+-≤⎩在(),-∞+∞上是单调函数，且()f x 存在负的零点，则a 的取值范围是（ ）A. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (]0,1C. 1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用导数,判断出函数在0x >时的单调性,进而可以判断整个函数的单调性,这样利用分段函数的单调性的性质和()f x 存在负的零点,这样可以选出正确答案. 【详解】当0x >时, ()()'10xx f x e x a fx e =-+-⇒>=,所以函数在0x >时单调递增,由题意可知整个函数在全体实数集上也是单调递增,因此有：2001311a a a a >⎧⇒<≤⎨-≤+⎩,又因为()f x 存在负的零点,因此有13103a a ->⇒>,综上所述：a 的取值范围是1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：C【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性和零点求参数问题,考查了数学运算能力. 11.已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,且()26f =,若对任意两个不相等的正数12,x x ,都有()()2112120x f x x f x x x -<-,则()30f x x->的解集为（ ）A. ()(),20,2-∞-B. ()()2,02,-+∞C. ()()2,00,2-D. ()(),22,-∞-+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据所求不等式的形式构造新函数,根据()()2112120x f x x f x x x -<-,可以判断出函数()f x 的单调性,最后利用函数的单调性和偶函数数的性质,求出()30f x x->的解集. 【详解】由题意可知：120,0x x >>,因此有()()()()21121221121212121212()()000x f x x f x f x f x x f x x f x x x x x x x x x x x ---⋅<⇒<⇒<---, 设()()f x g x x=,因此函数()g x 在0x >时是单调递减函数, 因为()26f =, 所以(2)3g =,而()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,所以有()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--,因此函数()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数. 由偶函数的性质可知：当0x <时, 函数()g x 是单调递增的.所以当0x >时,()30()(2)02f x g x g x x->⇒>⇒<<； 当0x <时,()30()(2)0220f x g x g x x x->⇒>-⇒>>-⇒-<<,综上所述：()30f x x->的解集是()()2,00,2-.故选：C【点睛】本题考查了通过构造函数求解不等式解集问题,对已知的不等式进行数学变形,利用函数的单调性和偶函数的性质是解题的关键.12.若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈, 2.71828e =为自然对数的底数,则3122312x x x x x x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A. eB. 2eC. ()42m m +D.()41m m +【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的方程的特征,令x x t e=进行换元,方程转化为2(1)0t m t m e ++++=,画出函数 ()xxg x e =的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值. 【详解】令x x t e =,所以由10x x xx e m e x e+++=+可得2(1)0t m t m e ++++=, 设()x x g x e =,1()xx g x e'-=,当1x >时, '()0g x <,所以函数()x x g x e =单调递减, 当1x <时, '()0g x >,所以函数()x x g x e =单调递增,而1(0)0,(1)g e==,显然当0x >时,()0>g x ，当0x <时, ()0<g x 因此函数()x xg x e=的图象如下图所示：要想关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<, 结合函数图象可知,只需关于t 的方程2(1)0t m t m e ++++=有两个不相等的实数根12,t t ,且12312123,x x x x x x t t e e e ===, ()()3122231212x x x x x x m m m t m t m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴+++=++ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()()()22121212()(1)t m t m t t m t t m e m m m m e ++=+++=+-++=,31222312111x x x x x x e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B【点睛】本题考查了函数与方程思想,考查了数形结合思想,属于中档题. 二、填空题13.已知函数()()1,0,0f x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩,那么74f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________． 【答案】12- 【解析】 【分析】 求74f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据分段函数的解析式,就要求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值, 要求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据分段函数的解析式,就要求14f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值,而14f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值直接代入即可求出.【详解】7733111(1)()(1)()()4444442f f f f f ⎛⎫=-==-=-=---=- ⎪⎝⎭. 故答案为：12-【点睛】本题考查了已知分段函数的解析式求函数值问题,考查了数学运算能力.14.函数()()212log 6f x x x =-+的单调递增区间为__________． 【答案】()3,6 【解析】 【分析】先求出函数()f x 的定义域,再根据复合函数的单调性的性质,可以求出函数()f x 的单调递增区间. 【详解】函数()f x 的定义域为：{}06x x <<,()()221122log 6log [(3)9]f x x x x =-+=--+,所以函数()f x 的单调递增区间为()3,6. 故答案为：()3,6【点睛】本题考查了复合函数的单调区间,本题易忘记求函数的定义域.15.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动,先以A 为中心顺时针旋转,当B 落在x 轴时,又以B 为中心顺时针旋转,如此下去,设顶点C 滚动时的曲线为()y f x =,则()5f =__________；当23x <≤时,()f x =__________．【答案】2243x x -+-【解析】 【分析】根据题意分别求出0,1,2,3,4,x =时对应的函数值,结合正方形运动的轨迹图象求出当23x <≤时,函数的解析式即可.【详解】边长为1的正方形ABCD 的对角线长为2,当0x =时, C 点的坐标为：(0,1),即(0)1f =； 当1x =时, C 点的坐标为：2),即(1)2f =当2x =时, C 点的坐标为：(2,1),即(2)1f =； 当3x =时, C 点的坐标为：(3,0),即(3)0f =； 当4x =时, C 点的坐标为：(4,1),即(4)1f =； 当5x =时, C 点的坐标为：2),即(5)2f =当23x <≤时, 顶点C 的轨迹是以(2,0)为圆心,半径为1的14圆,其方程为： 222(2)143x y y x x -+=⇒=-+-所以2()43f x x x =-+-.2243x x -+-【点睛】本题考查了函数值的计算,考查了函数的解析式和性质,考查了数学阅读能力. 16.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立,则t 的取值范围是__________．【答案】[)5,-+∞ 【解析】 【分析】根据函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,通过求导,可以求出a 的取值范围,求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式,最后利用导数,通过构造函数,求出新构造函数的单调性,最后求出t 的取值范围.【详解】2221()(0)ax x f x x x'-+=>,因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根,于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩,解得102a <<. ()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---,设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭, 22()0a h a a '-=>,故()h a 在102a <<上单调递增,故1()52h a h ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭,所以5t ≥-.因此 t 的取值范围是[)5,-+∞故答案为：[)5,-+∞【点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题,考查了不等式恒成立问题,构造新函数,利用导数是解题的关键. 三、解答题17.在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-．(1)求角B 的值；(2)若ABC △的面积为b =,求ac +的值．【答案】(1)3π；(2)9 【解析】(1)利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,把等式中的余弦变形为正弦形式,由正弦定理,变形为边之间的关系,再由余弦定理可以求出角B 的值；(2)根据面积公式、余弦定理可以得到,a c 之间的关系式,最后求出a c +的值． 【详解】(1)由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-, 得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-.由正弦定理,得222b c a ac -=-,即222a c b ac +-=,所以222cos 2a c b B ac+-==122ac ac =. 因为0B π<<，所以3B π=.(2)由(1)知3B π=,又b =,2222cos b a c ac B ∴=+-2221a c ac =+-=,①又1sin 2S ac B ==20ac ∴=,②由①②得，2241a c +=,所以()222a c a c +=++281ac =, 所以9a c.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系,考查了正弦定理、余弦定理、面积公式,考查了数学运算能力.18.已知函数()22ln f x x a x =-,()222ln 2g x x x =-+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时,判断()()g x f x -的零点个数． 【答案】(1)见解析；(2)2 【解析】(1)对函数()f x 进行求导,利用分类讨论法求出函数()f x 的单调性；(2)设()()()F x g x f x =-,求导,让导函数等于零,然后判断出函数的单调性,最后确定函数零点个数.【详解】(1)()22a f x x x '=-()22x ax-=, 故当0a ≤时,()0f x '≥,所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增,当0a >时,令()0f x '>,得x所以函数()f x 在)+∞上单调递增,令()0f x '<,得x <所以函数()f x 在(上单调递减,综上,当0a ≤时,函数()f x 在()0,∞+上单调递增,当0a >时,函数()f x 在)+∞上单调递增,在(上单调递减.(2)设()()()F x g x f x =-=2ln 22ln 2x x -+-, 则()21F x x'=-,令()0F x '=, 解得2x =,当()0,2x ∈时,()0F x '>； 当()2,x ∈+∞时,()0F x '<； 故()F x 最大值为()20F=，所以()()g x f x -有且只有一个零点2.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.19.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面CBD ,AE ⊥平面ABD ,F 是BD 的中点,且2AE =．(1)求证：DE AC ⊥；(2)求二面角B EC F --的大小． 【答案】(1)见解析；(2)45︒ 【解析】 【分析】(1) 以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 求出点,,E B D 三点的坐标,通过F 是BD 的中点,可得CF BD ⊥,利用面面垂直的性质定理可得CF ⊥平面BDA ,进而可以求出点C 的坐标,最后利用向量法可以证明出DE AC ⊥； (2)分别求出平面BCE 、平面FCE 的法向量,最后利用空间向量夹角公式求出二面角B EC F --的大小．【详解】(1)证明：以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则()0,0,2E ,()2,0,0B ,()0,2,0D取BD 的中点F 并连接,CF AF . 由题意得,CF BD ⊥ 又平面BDA ⊥平面BDC ,CF ∴⊥平面BDA ,(C ∴,(0,DE ∴=-,(AC =, (0,DE AC ⋅=-⋅(0=,DE AC ∴⊥.(2)解：设平面BCE 的法向量为()111,,n x y z =,则(2,0,EB =,(BC =-,DE n CB n ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩1111120x x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ 令()1,1,n =-.平面FCE 的法向量为()222,,m x y z =,()1,1,0F 所以()1,1,0EC =，(FC =,由2220000x y EC m z FC m +=⎧⎧⋅=⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩得()1,1,0m =-.设二面角B EC F --为θ, 则2cos cos ,n m θ==所以二面角B EC F --的大小为45︒.【点睛】本题考查了用空间向量的知识解决线线垂直、二面角的问题,正确求出相关点的坐标是解题的关键.20.已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点,O 为坐标原点,,点()在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2),,D E F 为椭圆上三个动点,D 在第二象限,,E F 关于原点对称,且DE DF =,判断tan DE DF EDF ⋅∠是否存在最小值,若存在,求出该最小值,并求出此时点D 的坐标,若不存在,说明理由．【答案】(1)22162x y +=；(2)存在,最小值为6,,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)把点的坐标代入椭圆方程中,再求出离心率的表达式,最后根据,,a b c 三者之间的关系,可以求出,a b 的值,最后写出椭圆的标准方程；(2)利用平面向量数量积的定义,化简tan DE DF EDF ⋅∠的表达式,可以发现只需判断EDF 面积是否有最小值,设出直线EF 的方程,与椭圆的方程联立,利用一元二次方程的根与系数的关系,求出EF 的表达式,同理求出OD 的表达式,最后确定EDF 面积的表达式,利用基本不等式可以求出EDF 面积的最小值,最后求出点D 的坐标.【详解】(1)点()在椭圆上,则22311a b+=, 又c a =222a b c =+, 解得26a =,22b =,∴椭圆的方程为22162x y +=；（2）tan DE DF EDF DE⋅∠=sin 2DEF DFEDF S ∠=△, 只需判断EDF 面积是否有最小值. 设直线EF 的方程为()0y kx k =>, 设()11,E x y ,()22,F x y ,联立22162y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,得22631x k =+, 所以1EF x ==因为1ODk k=-，同理可知OD ==,1122EDF S EF OD ==⋅△261k +=()()()2226133132k k k +≥=++,此时22313k k +=+,因为0k >即1k =时,tan DE DF EDF ⋅∠最小值为6, 易知直线OD 的方程为y x =-,联立22162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即D ⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了求三角形面积最小值问题,考查了基本不等式的应用,考查了数学运算能力. 21.已知函数()()ln 1f x x =+,()()202xg x a x a=>+,设()()()F x f x g x =-． (1)如果曲线()y f x =与曲线()y g x =在1x =处的切线平行,求实数a 的值； (2)若对()0,x ∀∈+∞,都有()0F x >成立,求实数a 的取值范围；(3)已知()F x 存在极大值与极小值,请比较()F x 的极大值与极小值的大小,并说明理由．【答案】(1)12；(2)1a ≥；(3) 当112a <<时,()F x 极大值大于极小值；当102a <<时,()F x 极大值小于极小值. 【解析】 【分析】(1)分别求出两个函数的导数,把1x =代入两个导函数中,根据线线平行斜率的关系,可以求出实数a 的值；(2)对函数()F x 求导,分类讨论函数的单调性,最后求出实数a 的取值范围；(3)令()F x 的导函数等于零,求题意确定实数a 的取值范围,分类讨论,根据函数的单调性确定极大值与极小值之间的大小关系即可.【详解】(1)因为()11f x x '=+,()()242a g x x a '=+, 所以()112f '=,()()24112ag a '=+,由()()11f g ''=,得12a =(2)()()()F x f x g x =-=()()2ln 102xx x x a+->+, 易知()00F =,()()21412a F x x x a '=-++()()()224112x a a x x a +-=++ ①当()4100a a a ⎧-≥⎨>⎩,即1a ≥时,有()0F x '>,所以()F x 在()0,∞+上是增函数, 所以()()00F x F >=,满足题意.②当()4100a a a ⎧-<⎨>⎩，即01a <<时,()0F x '=,得1x =-,2x =因为()20,x x ∈,()0F x '<, 所以()F x 在()20,x 上是减函数,()()00F x F <=,不符合题意.综上,1a ≥. (3)()()()()2241012x a a F x x x a +-'==++,即()2410x a a +-=有两个不相等实数根1x =-2x =因为()101a a ⎧->⎪⎨-≠-⎪⎩,所以01a <<且12a ≠,①当21a -<-时,即112a <<时, ()F x 在()11,x -上是增函数,在()12,x x 上是减函数,在()2,x +∞上是增函数,故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x ，且()()12F x F x >.②当120a -<-<时,即102a <<时, ()F x 在()11,x -上是增函数,在()1,2x a -上是减函数,在()22,a x -上是减函数,在()2,x +∞上是增函数,故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x .()()()121ln 1F x F x x -=+-()1221222ln 122x x x x a x a-++++ ()()()21121241ln 122a x x x x x a x a -⎛⎫+=+ ⎪+++⎝⎭, 因为210x x ->,220x a +>,120x a +<,所以()()12F x F x <. 综上，当112a <<时,()F x 极大值大于极小值； 当102a <<时,()F x 极大值小于极小值. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数证明不等式恒成立问题,考查了函数的极大值与极小值之间的大小关系问题,考查了数学运算能力.22.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为32x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴建立极坐标系,点P的极坐标54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 中点M 到直线l 的距离最小值．【答案】(1)10x y ++=,()()22112x y -++=；【解析】【分析】 (1)利用加减消元法消参可以求出直线l 的普通方程.利用极坐标与直角坐标之间的转化公式可以求出曲线C 的直角坐标方程；(2)求出P 的直角坐标,利用曲线C 的参数方程设出点Q 的坐标,利用中点坐标公式,求出M 的坐标,利用点到直线距离公式求出M 到直线l 的距离,利用辅助角公式,根据正弦型函数的单调性可以求出PQ 中点M 到直线l 的距离最小值．【详解】(1)直线l 的普通方程10x y ++=,由4πρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos sin 22θθ⎫⋅-⋅⎪⎪⎭2cos 2sin θθ=-, 22cos 2sin ρρθρθ∴=-,即2222x y x y +=-, ∴曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -++=；(2)易知P 的直角坐标()3,3--，设()1,1Q αα-+, 则PQ的中点24,22M αα⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭, 设M 到直线l 的距离为d ,则d==当sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,min 2d =. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了中点坐标公式,考查了点到直线距离公式,考查了圆的参数方程的应用,考查了数学运算能力.23.已知函数()12f x x x =+-．(1)求不等式()2f x ≥-的解集；(2)若关于x 的不等式()235f x a a -≥-在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解,求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}13x x -≤≤；a ≤≤【解析】【分析】 (1)利用零点法分类讨论求出不等式()2f x ≥-的解集；(2)根据题意本问题题可以转化为()2max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立,求出()f x 的最大值,最后求出实数a 的取值范围．【详解】(1)不等式化为0122x x x ≥⎧⎨+-≥-⎩或10122x x x -≤<⎧⎨++≥-⎩或1122x x x <-⎧⎨--+≥-⎩, 解得03x ≤≤或10x -≤<或∅故不等式()2f x ≥-的解集为{}13x x -≤≤；(2)由题意知，只需()2max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立, 因为()1,03231,03x x f x x x -+≤≤⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩, 在2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在[]0,3上单调递减, 所以()()max 01f x f ==,所以2520a a -+≤,解得5522a +≤≤. 【点睛】本题考查了利用零点法分类讨论求解绝对值问题,考查了不等式在闭区间上有解问题,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.。

2019级高三年级第三次摸底考试（地理）科答案一、单项选择题（40小题，每小题1.5分，共60分）41.（1）地形以平原为主；地势低平，多洼地。

（4分）（2）黄河改道后流经南四湖南部，携带大量泥沙，因泥沙淤积导致南部地区海拔较高；黄河及运河（流域内河流）河水不断汇入，使南四湖地区水位提高，进而使湖泊连片并不断扩大。

（4分）（3）该地区为温带季风气候，冬季湖泊航道浅，水柜可补水；夏季多暴雨，水柜可储水，削减河流洪峰；东侧河流多流经山区，水流急，含沙量大，水柜可减少入湖泥沙量，缓解湖泊淤积。

（6分）42.（1）位于武陵山区，地形多山，耕地少，种植规模小；以喀斯特地貌为主，水土流失严重，土壤肥力低，农产品产量低；季风气候，旱涝灾害频发，农产品产量不稳；葛仙米对环境质量要求高，适合生长的土地面积有限。

（答3点，共6分）（2）加强中药材种植和中草药生产的科研投入，确保中药材的品牌优势；扩大中药材种植规模以达到规模效益和影响；对中药材深加工，延长产业链，增加附加值；拓展中药材种植、加工体验式旅游和文化市场，实现经营多元化。

（答4点，共4分）43.（1）位于俄罗斯国土的欧洲部分，人口稠密，经济发达，劳动力较丰富，产业基础较好，市场广阔；图拉州位于交通枢纽位置，交通便利；纬度较低，气候较温暖。

(答3点，共6分) （2）响应国家汽车工业“一带一路”政策，政策扶持力度大；自身扩大生产规模，提高经济效益；提升品牌知名度和认可度；避开贸易壁垒，开辟国际市场。

（答2点，共4分）（3）可以利用当地的人才和技术；降低外派人员费用、物流、管理等成本，提高效益；利用当地劳动力，享受政策优惠，避开贸易壁垒等。

（6分）2019级高三年级第三次摸底考试（地理）科答案一、单项选择题（40小题，每小题1.5分，共60分）41.（1）地形以平原为主；地势低平，多洼地。

（4分）（2）黄河改道后流经南四湖南部，携带大量泥沙，因泥沙淤积导致南部地区海拔较高；黄河及运河（流域内河流）河水不断汇入，使南四湖地区水位提高，进而使湖泊连片并不断扩大。

绝密★启用前东北师范大学附属中学2021届高三毕业班上学期第三次摸底考试数学(理)试题2020年12月注意：本试卷共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1.已知集合{R |1|2}A x x =∈-<，{2R 230}B x x x =∈+-≥，则=A BA.[)3,1-- B.[)1,3 C.(]1,1- D.(][),33,-∞-+∞ 2.复数21z i=-,则||z = A.1 B.2D.3.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus )在公元前二世纪 首先提出了星等这个概念．星等的数值越小,星星就越亮；星等的数值越大,它的光就越暗．到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-．其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =．已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四” 的星等是1.25,“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍,则与r 最接近的是(当x 较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.22B.1.24C.1.26D.1.284.若,x y 满足约束条件212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩,则z y x =-的取值范围是ABC DE F1C 1B 1D 1A A.[]1,0- B.[]1,2- C.[]0,1 D.[]0,25.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且918S =,71a =,则1a =A.4B.2C.12- D.1- 6.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点．若4FP FQ =,则||QF = A.72 B.3 C.52D.2 7.函数2()2ln f x x x =-的单调递减区间是A.11(,)22-B.1(,)2+∞C.1(0,)2D.11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.若函数()sin()(0)6f x x πωω=->在区间(0,1)上有最大值,则ω的取值范围为 A.2,3π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B.20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.5,3π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.25,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭9. 关于直线,m n 与平面,αβ,有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ,则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥,则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ,则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥,则//m n ； 其中真命题的序号是A.①②B.③④C.①④D.②③10. 若01x y <<<,则A. 231x y <<B. 11()()133x y << C. log 3log 40<<x y D. log 4log 30y x <<11.如图所示,正方体1111ABCD A B C D -中,点,E F 分别在1,A D AC 上,且1123A E A D =,13AF AC =,则EF 与11C D 所成角的余弦值。