长春市东北师大附中2020-2021学年度上学期数学文科试卷

2020-2021学年吉林省长春市南关区东北师大附中九年级（上）大练习数学试卷（十三）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.抛物线的解析式y=−2x2−1，则顶点坐标是()A. (−2,−1)B. (2,1)C. (0,−1)D. (0,1)2.如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=3，则PB=()A. 2B. 3C. 4D. 53.二次函数y=5(x−2)2−11的图象与y轴的交点是()A. (0,9)B. (9,0)C. (0,−11)D. (−11,0)4.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=56°，则∠BCD等于()A. 32°B. 34°C. 56°D. 66°5.如图，∠ACB=60°，半径为3的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为()A. 3B. 3√3C. 6πD. √36.在二次函数y=−x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是()A. x<1B. x>1C. x<−1D. x>−17.如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为()A. 2√3B. 3C. 4D. 4−√38.已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在−1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是()A. 有最大值−1，有最小值−2B. 有最大值0，有最小值−1C. 有最大值7，有最小值−1D. 有最大值7，有最小值−2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=76°，则∠ACB的度数是______．10.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AD是直径，∠ABC=120°，CD=3，则弦AC=______．11.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为______．12.如图，▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D，则BD⏜的度数为______ 度.13.已知抛物线y=ax2−3ax−4a(a≠0)，则该抛物线的对称轴为直线______ ．14.如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm.把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合.当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于______ ．三、解答题（本大题共8小题，共58.0分）15.已知抛物线y=−2x2−8x+6．(1)通过配方法求抛物线的顶点坐标；(2)求抛物线与x轴的交点坐标．16.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．(1)求证：DE是⊙O的切线．(2)若DE=√3，∠C=30°，求AD⏜的长．17.如图所示，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移2，得到△A′B′C′．(1)画出旋转后的△A′B′C′：(2)求出点A整个过程中所经过的路径长．18.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，α=26°，求坡屋顶上弦杆AB的长(sin26°=0.44,cos26°=0.90,tan26°=0.49)．19.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设隔墙的长度为x米，要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？20.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，已知抛物线y=−(x−m)2+m+2．(1)直接写出顶点P的坐标______ (用m表示)；(2)直接写出点P的坐标所满足的函数关系式______ ；(3)直接写出顶点P在正方形边及内部运动的路径长______ ．21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，点D是AB的中点，点P从点A出发，沿AB以每秒√5个单位的速度向终点B运动(点P不与A、B重合).在AB上方作正方形，且PQ//AC，PQ=1.设点P的运动时间为t秒，正方形PQMN 与△BCD重叠部分的面积为S个平方单位．(1)线段CD的长为______ ．(2)当点Q落在△BCD的边上时，求t的值．(3)当1<t<2时，直接写出S的范围．22.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′(A′,B′分别为点A，B的对应点)，线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．(1)如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是______；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点______的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；(2)若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；)，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的(3)若点A的坐标为(2,32取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：抛物线的解析式y=−2x2−1，则顶点坐标是(0,−1)，故选：C．根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．也可以利用顶点公式求解．本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标式，此题难度不大．2.【答案】B【解析】解：连接OA、OB、OP，∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，{OA=OBOP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)，∴PB=PA=3，故选：B．连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB=PA=3．本题考查了三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：当x=0时，y=5(x−2)2−11=9，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0,9)．故选：A．计算自变量为0时的函数值即可得到交点坐标．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．4.【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，利用互余计算出∠A=34°，然后根据圆周角定理得到∠BCD的度数．本题考查了圆周角定理的应用，比较基础．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠A=90°−∠ABD=90°−56°=34°，∴∠BCD=∠A=34°．故选：B．5.【答案】B【解析】【分析】设⊙O与CA相切于点P，此时和CB相切于点D，连接OC，OD、OP根据角平分线的判定得∠OCD=30°，则CD=√OC2−OD2，求出CD即可解决问题．本题考查切线的性质、30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：设⊙O与CA相切于点P，此时和CB相切于点D，连接OC，OD、OP．∵⊙O与CA相切，⊙O与CB相切，∴∠OPC=90°，∠ODC=90°，又∵PO=DO，∠ACB=30°，∴∠OCD=12∵OD=3，∴OC=6，∴CD=√OC2−OD2=3√3．故选：B．6.【答案】A【解析】解：∵a=−1<0，∴二次函数图象开口向下，又对称轴是直线x=1，∴当x<1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．故选：A．抛物线y=−x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x<1时，y随x的增大而增大．本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：当a<0，抛物线开口向下，对，在对称轴左边，y随x的增大而增大．称轴为直线x=−b2a7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，根据等边三角形的性质得到AC=8，∠C=∠BAC=60°，由切线的性质得到∠BAC=30°，求得∠AOC=90°，解直角∠BAO=∠CAO=12三角形即可得到结论．【解答】解：设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，∵等边三角形ABC的边长为8，∴AC=8，∠C=∠BAC=60°，∵圆分别与边AB，AC相切，∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30。

2020-2021学年长春实验中学高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x<0}，B={y|y=|x|+1,x∈R}，则A∩∁R B=()A. (0,2)B. [1,2)C. (0,1]D. (0,1)2.已知复数z=2+i，则z⋅z−=()A. √3B. √5C. 3D. 53.已知e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 是单位向量，m⃗⃗⃗ =e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=5e1⃗⃗⃗ −4e2⃗⃗⃗ ，若m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，则e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 的夹角为()A. π4B. π3C. 23π D. 34π4.已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n为()A. 5B. 6C. 7D. 85.已知集合A={(x,y)|x=−√1−y2}，集合B={(x,y)|kx−y+2−k=0}，且A∩B≠⌀，则实数k的取值范围是()A. [34,+∞) B. [34,1] C. [34,3] D. (34,1]6.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，主视图与左视图是边长为1的正三角形，则其表面积是()A. 2B. 3C.D.7.一次函数与二次函数在同一直角坐标系中大致的图象可能是A. B.C. D.8.下列函数在区间(0,+∞)上是减函数的是()A. f(x)=3x−2B. f(x)=9−x2C. f(x)=1x−1D. f(x)=log2x9.5、函数的一个单调减区间是()A.B.C.D.10.已知球O在母线长为5，高为4的圆锥内部，则球O的表面积最大值为()A. 12πB. 9πC. 8πD. 6π11.若抛物线y=ax2(a>0)的焦点与椭圆x22+y2=1的上顶点重合，则a=()A. 12B. 14C. 2D. 412.已知为上的可导函数，且，均有，则有()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件{2x−y≥23x+4y≤12y≥−2，则z=x−3y的最大值为______ ．14.函数f(x)=x3+(a−2)x2+2x，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______．15.设定义域为R的函数f(x)={1x,x>0−x2−2x,x≤0，若关于x的方程2f2(x)+2af(x)+1=0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是______ ．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c=√2,b=√6，B=120°，则a=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}中，a1=1，S10=100(1)求数列{a n}的通项，以及前n项和S n(2)设b n=1a n a n+1，求{b n}的前n项和T n．18.已知向量a⃗=(cos3x2,sin3x2)，b⃗ =(cos x2,−sin x2)，且x∈[0,π2].(1)已知a⃗//b⃗ ，求x；(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ −2λ|a⃗+b⃗ |+2λ的最小值等于−3，求λ的值．19.某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分).公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．(1)如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？(2)若从所有甲部门人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．20.如图所示，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=√2，AD=2√2，G是EF的中点．(1)求证：平面AGC⊥平面BGC；(2)求三棱锥A−GBC的体积．21.已知函数f(x)=2x2−1−alnx(a∈R)．x(Ⅰ)若a>0时，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=f(x)−2x，若g(x)有两个零点，求a的取值范围．22.已知直线垂直于直线2x−3y−4=0，并且与点A(1,1)的距离为2，求该直线的方程．23.求不等式|x2−5x|≥6的解集．【答案与解析】1.答案：D解析：解：由不等式x2−2x<0解得：0<x<2∴集合A={x|0<x<2}，由函数y=|x|+1，x∈R，可得值域为[1+∞),∴集合B=[1+∞),∴∁R B=(−∞,1)．那么：A∩∁R B=(0,1)故选D求解不等式可得集合A，求B的值域可得集合B，根据集合的基本运算即可求A∩∁R B. 本题考查了不等式的计算，值域的问题和集合的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题．直接由z⋅z−=|z|2求解．解：∵z=2+i，∴z·z−=|z|2=(√22+12)2=5．故选D．3.答案：B解析：解：因为e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 是单位向量，m⃗⃗⃗ =e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=5e1⃗⃗⃗ −4e2⃗⃗⃗ ，因为m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )⋅(5e1⃗⃗⃗ −4e2⃗⃗⃗ )=5+6e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ −8=0，所以e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =12，设e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cosθ=e1⃗⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗⃗|e1⃗⃗⃗⃗ ||e2⃗⃗⃗⃗ |=12，因为θ∈[0,π]，故θ=π3．。

2021-2022学年吉林省长春市东北师大附中高三（上）第一次摸底数学试卷（文科）一、单选题（共12小题，每小题5分）1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1，2}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1或x≥1}2．已知a，b均为实数，则下列命题是真命题的是（）A．若lga＝lgb，则a＝b B．若a2＝b2，则a＝bC．若a＝b，则＝D．若a＝b，则＝3．命题“∀x∈R，x2﹣x+5≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+x+5＜0B．∃x∈R，x2﹣x+5≥0C．∀x∈R，x2﹣x+5＞0D．∃x∈R，x2﹣x+5＜04．＝（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝的定义域为（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2]C．[﹣2，﹣1）∪（﹣1，2]D．（﹣2，2）6．如图，①②③④中不属于函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝﹣log3x的一个是（）A．①B．②C．③D．④7．已知a＝，b＝20.8，c＝40.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a8．已知，则sin2α+cos2α等于（）A．B．C．D．9．“a＝1”是“函数f（x）＝+为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象（部分）如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝2sin（πx+）B．f（x）＝2sin（2πx+）C．f（x）＝2sin（πx+）D．f（x）＝2sin（2πx+）11．定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x）且f（2﹣x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，函数g（x）＝log4|x|，则函数h（x）＝g（x）﹣f（x）零点的个数为（）A．3B．4C．5D．612．若a＝2021ln2019，b＝2020ln2020，c＝2019ln2021，则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c二、填空题（本大题共4小题。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合{}|02A x x =≤≤，集合{}|lg 0B x x =>，则A B =A ．(](),12,-∞+∞ B ．()(),01,2-∞ C ．[)1,2 D ．(]1,22．已知复数iiz -=3，则||z = A ．4 B ．10 C ．5 D ．2 3．下列说法正确的是A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y ≠”C ．“0x <”是“20x x ->”的充要条件D ．若p ：x ∀∈R ，2320x x --<，则p ⌝：0x ∃∈R ，200320x x --.4．设12log 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，182c =，则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<5．某四棱锥的三视图如图所示，则 此四棱锥的体积为A ．2B ．3C ．4D ．66．等差数列}{n a 前n 项和为n S ，281112a a a ++=，则13S =A.32B.42C .52D. 627．为了得到函数2sin 3y x =的图象，可以将函数sin 3cos3y x x =+的图象A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位切磋砥砺足千日 紫电龙光助鹰扬东北师大附中2021届高三年级第三次摸底考试（数学文）学科试题C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位 8．设双曲线22221x y a b-=的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率ABC ．5D ．29．正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为A ．812π B ．814πC ．815πD ．817π10．已知()f x 是R 上的偶函数，对任意∈x R , 都有(6)()(3)f x f x f +=+，且(1)2f =，则(2021)f 的值为A ．0B ．2-C ．2D ．6 11．在钝角ABC ∆中，2AB =，sin 2B =，且ABC ∆面积是2，则=AC A ．B ．2 CD12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '是函数()f x 的导函数且在[)0,+∞上()1f x '<， 若(2020)()20202f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为 A ．[]1010,1010- B ．[)1010,+∞ C ．(],1010-∞-D ．(][),10101010,-∞-+∞第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分, 共20分.）13. 已知向量(1,1)a =，(2,)b x =，若a b +与b a -平行，则实数x 的值为 ．14. 设直线l 过点(0,),a 倾斜角为︒45，且与圆222220x y x y +---=相切，则a 的值为 ．15. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-0101022y x y x y x ，则y x z -=2的取值范围为 ．16. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]，a b 上的两个函数，若函数()()()=-h x f x g x 在[]，a b 上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[]，a b 上是“关联函数”．若()=f x 234-+x x 与()2=+g x x m 在[03]，上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且4228S S =+． （1）求公差d 的值； （2）若11,n a T =是数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求使不等式511nT ≥成立的n 的最小值．18. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是边长为１的 正方形，侧棱PA 与底面成的角是︒45，,M N 分别是,AB PC 的中点． （1）求证：MN ∥平面PAD ； （2）求三棱锥M PBC -的体积．19．（本小题满分12分）东北师大附中数学科技节知识竞赛活动圆满结束，现从参加知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩低于50分为困难生，已知甲乙两人是困难生，为了解困难生具体情况，从选取的困难生随机抽取两人，求甲乙两人中至少有一人被抽到的概率？20（本小题满分12分） 已知函数()ln 1f x ax x =++． (1)若1a =-，求函数()f x 的最大值；(2)对任意的0x >，不等式()xf x e ≤恒成立，求实数a 的取值范围．21. （本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上一点)2,0(A ,右焦点为)0,(c F ，直线AF交椭圆于B 点，且满足||2||FB AF =, 233||=AB ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线)0(>=k kx y 与椭圆相交于D C ,两点，求四边形ACBD 面积的最大值．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为01)4cos(2=+-πθρ，曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 3cos 2y x （α为参数）． （1）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）已知点)1,0(-P ，曲线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点，求PA PB +.23．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数|1||2|)(-++=x x x f （1）解不等式5)(≤x f ；（2）若关于x 的不等式2()2f x a a ≤-有解，求实数a 的取值范围．一、选择题 DBDAD CCCBC CB 二、填空题高三年级第三次摸底考试（数学文）学科试题（参考答案）13. 2 14 22± 15. ]5,1[- 16. 9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦三．解答题17. 解：（1）由4228S S =+，即()1146228a d a d +=++，化简得：48d =，解得2d =； （2）由11,2a d ==，得21n a n =-， 所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以12231111111111123352121n n n T a a a a a a n n +⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，由511n T ≥解得5n ≥，所以n 的最小值为5． 18. 证明：（1）取PD 的中点Q ,连结QN 、AQ ,N 是PC 的中点QN ∴//CD ,且QN =12CD ，底面四边形ABCD 是边长是１的正方形，又M 是AB 的中点，AM ∴//CD ,且AM ∴=12CD ,QN ∴//AM ,且QN =AM ，AMNQ ∴四边形是平行四边形，//MN AQ ∴,又AQ PAD ⊂平面,MN ∴∥平面PAD .（2）PD ⊥平面ABCD ，PAD ∴∠是侧棱PA 与底面成的角，即PAD ∴∠=045，PAD ∆∴是等腰直角三角形，则1PD AD ==, 11331111113412M PBC P MBC MBC V V S PD AB BC PD--∴==⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=19 .解：（1）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯= ，解得0.025a =． ，平均成绩为：450.05550.1650.2750.3850.25950.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯74= （2）困难生共5人，设另外三人a,b,c,甲乙为1,2，所有情况：ab,ac,a1,a2,bc,b1,b2,c1,c2,12710P =20解：(1)当1a =-时，()ln 1f x x x =-++，定义域为()0,∞+，()111xf x x x'-=-+=. 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >.因此，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞； 所以()()max 10==f x f(2)不等式ln 1xax x e ++≤恒成立，等价于ln 1x e x a x--≤在()0,∞+恒成立，令()ln 1x e x g x x --=，0x >，故只需()min a g x ≤即可，()()21ln x x e x g x x'-+=， 令()()1ln xh x x e x =-+，0x >，则()10xh x xe x=+>'， 所以()y h x =在()0,∞+单调递增，而()10h =，所以()0,1x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()y g x =在()0,1单调递减；()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()y g x =在()1,+∞单调递增，所以在1x =处()y g x =取得最小值()11g e =-， 所以1a e -≤，即实数a 的取值范围是{}1a a e ≤-.21.解：（1）由题意， ||2||FB AF =,由233||=AB 知3||=AF , 右焦点为)0,(cF ||2AF a b ∴===又.椭圆C 的标准方程是12322=+y x . （2）由（Ⅰ）知)0,1(F ,)2,0(A ,∴直线AF 的方程为022=-+y x ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+02212322y x y x 得0)3(26422=-=-x x x x ，得23,021==x x .∴)22,23(-B 设点)2,0(A ，)22,23(-B 到直线)0(>=k kx y 的距离为1d 和2d ， 1221+=k d ，122322++=k k d ， 直线)0(>=k kx y 与椭圆相交于D C ,两点,∴联立⎪⎩⎪⎨⎧==+kxy y x 12322,得6)23(22=+x k ，得236,2362423+=+-=k x k x . 23162||1||22432++=-+=∴k k x x k CD .∴设四边形ACBD 面积为S ，则12)2(32316)(||2122221++⋅++=+=k k k k d d CD S )0(2322632>++⋅=k k k .设),2(2+∞∈+=k t ，则2-=t k ，)2(2)2(32632>+-⋅=∴t t t S .2218126312638263263tt t t t S ⋅+⋅-⋅=+-⋅=2343)8231(812632≤+-⋅=t 8231=t ，即2324238+===k t ，即32=k 时，四边形ACBD 面积有最大值23.（以||AB 为底边，点C 点D 到线段AB 的距离为高计算四边形ACBD 面积也可以） 22解：（1）01sin cos ,sin ,cos =++∴==θρθρθρθρy x ,1C 的普通方程为01=++y x , 2C 的普通方程为13422=+y x . （2）1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=12222t y t x （t 为参数），将曲线1C 的参数方程代入2C 的普通方程， 整理得0162872=--t t ，令1PA t =，2PB t =，由韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+7167282121t t t t ， 则有7244)(||||||||||212212121=-+=-=+=+t t t t t t t t PB PA . 23．解：（1）|1||2|)(-++=x x x f①当2-≤x 时，512)1(2)(≤--=----=x x x x f ，3-≥∴x ，,2-≤x ∴23-≤≤-x ； ②当12<<-x 时，53)1(2)(≤=--+=x x x f 恒成立， 12<<-∴x 符合题意； ③当1≥x 时，512)1(2)(≤+=-++=x x x x f ，2≤∴x ，又21,1≤≤∴≥x x ； 综上知不等式5)(≤x f 的解集为]2,3[-.（2）由（Ⅰ）知，⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤--=1,1212,32,12)(x x x x x x f ，所以3)(min =x f ， 2232,2331a a a a a a ≤--≥≥≤-即，，所以或。

2020年吉林省长春市东北师范大学附属中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知幂函数的图像经过（9，3），则=A.3B.C.D.1参考答案：C设幂函数为，则，即，所以，即，所以，选C.2. 命题：若，则是的充分不必要条件；命题：函数的定义域是，则 ( )A．“或”为真 B．“且”为真 C．真假 D．假假参考答案：A3. 则的值为参考答案：C4. 若的图象必不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限参考答案：B5. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种参考答案：D考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选D点评：本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题．6. 右图是一个几何体的三视图，则该几体的侧面积是（）A．12 B．18 C．24 D．30参考答案：D略7. P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心参考答案：答案：D8. 若集合P=，，则集合Q不可能是（）＞参考答案：D9. 已知全集U={l，2，3，4，5，6}，集合A={l，2．4：6}，集合B={l，3，5}，则（）A．{l,2,3,4,5,6} B．{1，2,4,6} C．{2,4,6} D．{2,3,4,5,6}参考答案：10. 已知，则的值为 ( )A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 实数满足不等式组，则的取值范围是_______________.参考答案：略12. 已知的导函数为.若，且当时，，则不等式的解集是 .参考答案：令，则由，可得，故为偶函数，又当时，即，所以在上为增函数.不等式可化为，所以有，解得.13. 已知，，那么的值是_参考答案：14. 已知函数在区间内恰有9个零点，则实数的值为参考答案：由，得，即．设，令，则．考察的函数的零点个数，即如下图所示为，的图象，易知：（1）方程的一个根为1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得；（1）方程的一个根为－1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得．综上可知当时，在内有3个解．再由可知，．综上可知，．15. 若圆关于直线对称，由点向圆作切线，切点为，则线段的最小值为．参考答案：316. 在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点的概率为．参考答案：考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据f（x）有极值，得到f'（x）=0有两个不同的根，求出a、b的关系式，利用几何概型的概率公式即可的得到结论解答：解：在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点则f′（x）=x2+2mx﹣（n2﹣π）=0有两个不同的根，即判别式△=4m2+4（n2﹣π）＞0，即m2+n2＞π对应区域的面积为4π2﹣π2．如图∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=．故答案为：．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键17. 给定区域:,令点集是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______条不同的直线.参考答案：画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年吉林省长春市东北师大附中新城学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是()A. 1B. 12C. 13D. 142.若a2=b3，则a+ba的值为()A. 52B. 23C. 32D. 533.若关于x的一元二次方程x2−3x+a=0的一个根是1，则a的值为()A. −2B. 1C. 2D. 04.将抛物线y=(x−1)2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是()A. (1,2)B. (2,1)C. (1,−1)D. (1,5)5.下列计算正确的是()A. √6÷√3=2B. √72=49C. √3×√27=9D. √10−√5=√56.如图，已知直线l1//l2//l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE=3，DF=8，则BCAC的值为()A. 35B. 58C. 53D. 857.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC=2，则树高BC为()(用含α的代数式表示)A. 2sinαB. 2tanαC. 2cosαD. 2tanα8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①ac<0；②b<0；③b2−4ac>0；④当x>0时，y随x的增大而减小.()A. ②③④B. ①②④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：√(−11)2=______ ．10.一元二次方程x2−x−3=0根的判别式的值是______．11.如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，AOBO =DOCO=23，则容器的内径是______．12.如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点B的坐标为(3,−2)，则点B′的坐标是______ ．13.如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A=90°，AB=6cm，AC=8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S▱DEFG的面积为______ cm2．14.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y=a(x+3)2+c(a>0)的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.计算：√12sin60°−√8cos45°．16.如图三张不透明的卡片，正面图案分别是我国著名的古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽出一张，记录图象后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请你用画树状图(或列表)的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率．17.某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2018年投资1000万元，2020年投资1690万元，求这两年投资的年平均增长率．18.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，BC//AD，对角线AC⊥CD．(1)求证：△CBA∽△ACD．(2)若AB=2，CD=3，求△ABC与△DCA的面积比．19.图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．(1)在图①中边AB上找到格点D，并连接CD，使CD将△ABC面积两等分；(2)在图②中△ABC的内部找到格点E，并连接BE、CE，使△BCE是△ABC面积的1．4(3)在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的1．820.如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点0处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要维续上升的高度BC约为多少米？《结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，√2≈1.4)21.某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线对应的函数关系式；(2)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？22.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第79页的部分内容请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．【结论应用】(1)在图①中，若AB=2，∠AOD=120°，则四边形EFGH的面积为______ ．(2)如图②，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，O是其内部任意一点，连接O与菱形ABCD各顶点，四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，EO=2AE，EF//AB//GH，且EF=GH，若△EFO与△GHO的面积和为4√3，则菱形ABCD的周长为______ ．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，动点P从点A出发(动点P不与△ABC的顶点重合)，沿折线AC−CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t(秒)．(1)求AB的长；(2)当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；(3)当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长；(4)设Q为边DE的中点，作射线CQ，当CQ将△PDE分成面积比为1：3两部分时，直接写出t的值．24.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+3与抛物线y=−x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上.点P是抛物线上任意一点，过点P作PQ⊥y轴，交直线AB于点Q，连接BP，设点P的横坐标为m，△PQB的边PQ与PQ边上的高之差为d．(1)求此抛物线解析式．(2)求点Q的横坐标(用含m的代数式表示)；(3)∠BQP为锐角．①求d关于m的函数关系式；②当△AOB的顶点到PQ的最短距离等于d时，直接写出m的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵一枚硬币只有正反两面，∴随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是12．故选：B．因为一枚硬币只有正反两面，所以共有两种情况，再根据概率公式即可解答．本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2.【答案】A【解析】解：∵a2=b3，∴ba =32，∴a+ba =1+ba=1+32=52．故选：A．根据已知条件得出ba =32，再把要求的式子a+ba化成1+ba，然后代值计算即可得出答案．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：把x=1代入一元二次方程x2−3x+a=0得1−3+a=0，所以a=2．故选：C．把x=1代入一元二次方程x2−3x+a=0即可得到a的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4.【答案】C【解析】解：抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标为(1,2)，∵向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(1,−1)．故选：C．先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．5.【答案】C【解析】解：A、原式=√6÷3=√2，所以A选项错误；B、原式=√72=7，所以B选项错误；C、原式=√3×27=√81=9，所以C选项正确；D、√10与√5不能合并，所以D选项错误．故选：C．根据二次根式的除法法则对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．6.【答案】B【解析】解：∵l1//l2//l3，∴EFDF =BCAC，∵DE=3，DF=8，∴8−38=BCAC，即BCAC =58，故选：B．根据平行线分线段成比例定理解答即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．7.【答案】B【解析】解：∵BC⊥AC，AC=2，∠BAC=α，∴tanα=BC，AC∴BC=AC⋅tanα=2tanα，故选：B．根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用锐角三角函数的定义即可求出BC的高度．本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解．8.【答案】C【解析】解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，∴a>0；又∵二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，∴c<0；∴ac<0，即①正确；=1，则b=−2a<0.故②正确；②由图象知，对称轴x=−b2a③由图象知，抛物线与x轴有2个交点，则b2−4ac>0，故③正确；④由图象可知当x>1时，y随x的增大而增大；故④错误．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：C．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．解本题的关键是根据图象找出抛物线的对称轴．9.【答案】11【解析】解：√(−11)2=√121=11．故答案为：11．根据二次根式的性质进行化简即可．本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简．10.【答案】13【解析】解：∵a =1，b =−1，c =−3，∴△=b 2−4ac =1+12=13．所以一元二次方程x 2−x −3=0根的判别式的值为13．故答案为：13．根据一元二次方程根的判别式△=b 2−4ac 即可求出值．本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．11.【答案】15cm【解析】解：连接AD 、BC ， ∵AO BO =DO CO =23，∠AOD =∠BOC ， ∴△AOD∽△BOC ，∴ADCB =AO BO =23， ∵A ，D 两个端点之间的距离为10cm ，∴BC =15cm ，故答案为：15cm ．首先连接AD 、BC ，然后判定△AOD∽△BOC ，根据相似三角形的性质可得AD CB =AO BO =23，进而可得答案． 此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形的判定和性质． 12.【答案】(−2,43)【解析】解：∵△AOB 与△A′OB′是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，而点B 的坐标为(3,−2)，∴点B′的横坐标为3×(−23)，纵坐标为−2×(−23)，即B′点的坐标为(−2,43).故答案为(−2,43).利用以原点为位似中心的位似图形上对应点的坐标变换规律，把B 点的横纵坐标都乘以−23得到点B′的坐标．本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．13.【答案】12【解析】解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，∵∠A=90°，AB=6cm，AC=8cm，∴BC=√62+82=10(cm)，∵12AB⋅AC=12BC⋅AM，∴AM=AB⋅ACBC ，即AM=6×810=4.8(cm)，∵四边形DEFG是平行四边形，∴DE//BC．又∵点D是边AB的中点，∴DE=12BC=5cm．∴DE=FG=5cm，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =ANAM=12，∴AN=MN=2.4cm，∴▱DEFG的面积为：5×2.4=12(cm2).故答案是：12．直接利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定与性质得出平行四边形DGFE的高，进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出平行四边形的高是解题关键．14.【答案】13【解析】解：∵抛物线y=a(x+3)2+c(a>0)，∴该抛物线的对称轴为直线x=−3，∴AB=2×|−3|=6，∴点A的坐标为(0,−6)，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=6，∴点E到AB的距离为3，∴点E的坐标为(−3,−9)，∴抛物线为y=a(x+3)2−9，∵点A(0,−6)在该抛物线上，∴−6=a(0+3)2−9，解得a=13，故答案为：13．根据题意和二次函数的性质，可以得到抛物线的对称轴，从而可以得到AB的长，然后即可得到点A的坐标，再根据△ABE为等腰直角三角形，即可得到点E到AB的距离，从而可以得到点E的坐标，然后根据点A在抛物线上，即可求得a的值．本题考查二次函数的性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.【答案】解：√12sin60°−√8cos45°=2√3×√32−2√2×√22=3−2=1．【解析】首先计算开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法、减法，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．16.【答案】解：把古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9个等可能的结果，抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的结果有1个，∴抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率为19．【解析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的结果数，再根据概率公式计算可得．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：设平均每年投资增长的百分率是x．由题意得1000(1+x)2=1690，解得x1=0.3=30%，x2=−2.3(不合题意舍去)．答：这两年投资的年平均增长率为30%．【解析】设这两年投资的年平均增长率是x.根据2018年投资1000万元，得出2019年投资1000(1+x)万元，2020年投资1000(1+x)2万元，2020年投资1690万元．据此列方程求解．本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程．18.【答案】(1)证明：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵BC//AD，∴∠ACB=∠CAD，∵∠B=∠ACD，∴△CBA∽△ACD；(2)解：∵△CBA∽△ACD，∴S△CABS△ACD =(ABCD)2=(23)2=49．【解析】(1)利用平行线的性质得∠ACB=∠CAD，加上∠B=∠ACD，则可判断△CBA∽△ACD；(2)根据相似三角形的性质求解．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．19.【答案】解：(1)如图①，点D即为所求；(2)如图②，点E即为所求；∵△ABC面积为12×5×4=10，△BCE的面积为12×5×1=52，∴△BCE是△ABC面积的14；(3)如图③，直线l即为所求．∵直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积为12×5×12=54，而10×18=54．∴直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的18．【解析】(1)根据网格即可在图①中边AB上找到格点D，使CD将△ABC面积两等分；(2)根据三角形的面积和网格即可在图②中△ABC的内部找到格点E，使△BCE是△ABC面积的14；(3)根据网格和三角形的面积即可在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的18．本题考查了作图−运用与设计作图、三角形的面积，解决本题的关键是根据网格准确作图．20.【答案】解：如图作AH⊥CN于H．在Rt△ABH中，∵∠BAH=45°，BH=10.5−2.5=8(m)，∴AH=BH=8(m)，在Rt△AHC中，tan65°=CHAH，∴CH=8×2.1≈17(m)，∴BC=CH−BH=17−8=9(m)．【解析】如图作AH⊥CN于H.想办法求出BH、CH即可解决问题；本题考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．21.【答案】解：(1)由题意知抛物线顶点坐标为(1,3)，设抛物线解析式为y=a(x−1)2+3，将点C(3,0)代入，得：4a+3=0，解得a=−34，∴抛物线解析式为y=−34(x−1)2+3；(2)当x=2时，y=−34(x−1)2+3=−34×(2−1)2+3=94>1.8，∴身高1.8m的王师傅不会被淋湿．【解析】(1)根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可；(2)求出x=2时y的值，与1.8比较大小即可得出答案．本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出当x=2时y的值．22.【答案】√324【解析】【教材呈现】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∵AO，BO，CO，DO的中点E，F，G，H，∴OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是平行四边形，EG=FH，∴四边形EFGH是矩形．【结论应用】解：(1)∵AB=2，AB=1，∴EF=12∵∠BAD=90°，∴∠FEH=90°，∵∠AOD=120°，∴∠EOF=60°，∴△OEF为等边三角形，∴∠EFO=60°，∴EH=√3，∴四边形EFGH的面积为1×√3=√3，故答案为：√3．(2)过点G作GN⊥EF于点N，∵EF//GH，且EF=GH，∴四边形EFGH为平行四边形，∴FG//BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠EFG=60°，设EF=x，则NG=√32，∵△EFO与△GHO的面积和为4√3，∴12⋅x⋅√32x=4√3，解得：x=4，∴EF=4，∵EF//AB，∴△OEF∽△OAB，∴OEOA =EFAB，∵EO=2AE，∵EO=2AE，∴EFAB =23，∴AB=6，∴菱形ABCD的周长为24．故答案为：24．【教材呈现】由矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，再证出OE=OF=OG=OH，即可得出结论．【结论应用】(1)证明△OEF为等边三角形，得出∠EFO=60°，可求出EF=1，EH=√3，则答案可求出；(2)过点G作GN⊥EF于点N，由条件可知四边形EFGH为平行四边形，可得∠EFG=60°，设EF=x，则NG=√32x，由△EFO与△GHO的面积和列出方程求出x=4，证明△OEF∽△OAB，可求出AB的长，即可解决问题．本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，运用基本图形的性质解决问题．23.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，∴AB=√AC2+BC2=√202+152=25；(2)如图1，P在AC上时，点E在BC上，DE//AC，∵DE//AC，∴∠CPE=∠DEP，∵PD⊥AB，∴∠ADP=90°，由题意得：AP=5t，sinA=BCAB =PDAP，即1525=PD5t，∴PD=3t，∴AD=4t，BD=25−4t，∵∠DPE=90°，∴∠APD+∠CPE=90°=∠APD+∠A，∴∠CPE=∠A=∠DEP，∴sin∠DEP=PDDE =35，∴DE=5t，∵DE//AC，∴DEAC =BDAB，即5t20=25−4t25，解得：t=10041；如图2，P在BC上时，点E在AC上，DE//BC，由题意得：CP =5t −20，PB =15−(5t −20)=35−5t ，∵∠EPD =∠PDB =90°，∴EP//AB ，∵DE//BC ，∴四边形EPBD 是平行四边形，∴DE =PB =35−5t ，∵∠CEP =∠A =∠PDE ，∴sin∠CEP =sin∠PDE ， ∴CP EP =1525=EP ED ，即5t−20EP =EP 35−5t =35， ∴EP =25(t−4)3，∴25(t−4)335−5t =35， 解得：t =16334；综上，t 的值是10041或16334；(3)如图3，P 在AC 上，△PDE 与△ABC 重叠部分图形是△PDE ，设直线PE 与BC 交于点F ，∵AP//DE，AD//PE，∴四边形APED是平行四边形，∴DE=AP=5t，AD=PE=4t，∵△ADP≌△PCF，∴PC=AD=4t，∵AC=AP+CP，即20=5t+4t，∴t=209，∴△PDE的周长=PD+PE+DE=3t+4t+5t=12t=12×209=803，即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是803；如图4，P在BC上，△PDE与△ABC重叠部分的图形是△PDE，设直线PE与AC交于点G，同理得：四边形DEPB是平行四边形，∴DE=PB，∵△GCP≌△PDB，∴PC=BD=5t−20，Rt△PDB中，cosB=BDPB =BCAB，∴5t−2035−5t =1525，解得：t=418，∴PB=35−5×418=758，∵∠C=∠PDB=90°，∠B=∠B，∴△PDB∽△ACB，∴△PDB 的周长△ACB 的周长=PB AB ，∴△PDB 的周长=75825×(15+20+25)=452， ∴△PDE 的周长=452，即△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长是452；综上，△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为803或452；(4)分两种情况：①如图5，P 在AC 上，设PE 与CQ 交于点O ，连接PQ ，∵Q 是DE 的中点，∴DQ =EQ =52t ， ∴S △PDQ =S △PQE ，Rt △PDE 中，PD =3t ，PE =4t ，DE =5t ，∵S △OQE S △PDE =S △OQE 2S △PQE =14， ∴S △OQES △PQE=12， ∴OE PE =12，∴OE OP =1，∵DE//CP ，∴EQ PC =OE OP ，即52t 20−5t =1， 解得：t =83；②如图6，P在BC上，S△EOQS△EPD =14，同理得：OEOP=1，∵CP=5t−20，PB=35−5t，由上题知：四边形DEPB是平行四边形，∴DE=PB=35−5t，∴EQ=35−5t2，∵ED//PC，∴EQCP =OEOP=1，∴EQ=CP，∴35−5t2=5t−20，解得：t=5；综上，t的值是83或5．【解析】(1)利用勾股定理计算AB的长即可；(2)分两种情况：P在AC和BC上，根据三角函数定义和平行线分线段成比例列方程可得t的值；(3)分两种情况：P在AC和BC上，当P在AC上时，证明四边形APED是平行四边形，得DE=AP=5t，AD=PE=4t，根据△ADP≌△PCF，得PC=AD=4t，根据AC=AP+CP列方程可得结论；P在BC上，同理得：四边形DEPB是平行四边形，证明△PDB∽△ACB，根据相似三角形周长的比等于相似比可得结论；(4)分两种情况：P在AC和BC上，分别根据面积比可得EQ与CP的比，列方程可得结论．本题属于三角形综合题，考查了动点问题，三角形的面积，相似三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)∵直线y =−x +3与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，∴A(3,0)，B(0,3)，把A(3,0)，B(0,3)代入y =−x 2+bx +c 得到，解得{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3．(2)由题意P(m,−m 2+2m +3)，∵PQ ⊥y 轴，∴P ，Q 纵坐标相同，即−m 2+2m +3=−x +3，∴x =m 2−2m ，∴Q(m 2−2m,−m 2+2m +3)．(3)①如图1中，设抛物线与x 小的另一个交点为C(−1,0)，顶点为D(1,4)．当m <0时，d =(m 2−2m −m)−[3−(−m 2+2m +3)]=−m ．当0<m <2时，d =[m −(m 2−2m)]−[(−m 2+2m +3)−3]=m ．②当m <0时，由题意，−m =3−(−m 2+2m +3)或−m =−m 2+2m +3，解得，m =0(舍弃)或1(舍弃)或3−√212或3+√212(舍弃)， ∴m =3−√212．当0<m<2时，由题意，m=−m2+2m+3−3，解得m=1或0(舍弃)，∴m=1，．综上所述，满足条件的m的值为1或3−√212【解析】(1)求出A，B两点坐标，利用待定系数法求解即可．(2)根据P，Q两点的纵坐标相同，求解即可．(3)①分两种情形：m<0或0<m<2，分别求解即可．②分2种情形，m<0时，也有两种情形，分别构建方程求解，0<m<2时，构建方程求解即可．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

2020届高三联合模拟考试文科数学试题一、选择题1.集合{}2|60A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则A B =I （ ）A. ()2,3-B. (),3-∞C. ()2,2-D. ()0,22.已知复数1iz i-=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A. 1B. -1C. iD. i -3.已知()4cos 5πα-=，且α为第三象限角，则sin 2α的值等于（ ） A. 725 B. 725- C. 2425D. 2425-4.已知向量()2,3a =r，(),5b x =r ，若()a ab ⊥-r r r ，则x =（ ）A.38B. 1-C.12D. 25.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，286a a +=-，则n S 的最小值等于（ ） A .-34B. -36C. -6D. 66.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确是（ ） A. 若//m α，n αβ=I ，则//m n B. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥ C. 若n β⊥，αβ⊥，则//n αD. 若m α⊂，n β⊂，l αβ=I ，且m l ⊥，n l ⊥，则αβ⊥7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”，该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入32n =，则输出的结果为（ ）A. 80B. 47C. 79D. 488.设变量x，y满足约束条件20240240x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y=+的最大值为（）A. 2B. -4C. 12D. 139.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，看起来象个转动的风车，很有美感(图1)；弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(图2).如果直角三角形的较短直角边长和较长直角边长分别为1和2，则向大正方形内任投一质点，质点落在小正方形内的概率为（）A. 15B.2C.2D.12510.已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则ω的取值范围是（ ）A. 77,126ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 77,126ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C. 27,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 27,36ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 11.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足22OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点），则E 的离心率为（ ）A.B. 2C.D.12.已知函数()12a f x x x =+与函数()2ln 3x g x x=-的图象在区间[]1,4上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 取值范围是（ ） A. 5[,42ln 2)2- B. 5[44ln 2,]2-C. [44ln 2,42ln 2)--D. (44ln 2,42ln 2)--二、填空题13.已知()()22,02,0x x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()5f -=__________． 14.正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 是棱11A B 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为__________．15.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且1n a +=n a =__________．16.已知抛物线216y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线和圆()2244x y -+=于A ，B ，C ，D四个点，设()11,A x y ，()22,D x y ，则12x x =__________；4||9||AB CD +的最小值为_______．三、解答题17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos cos ,m A B a b =+u r，()sin sin ,n A B a b =-r ，若1(,)2m n a -=u r r .（1）求角C弧度数；（2）若c =ABC ∆的面积.18.2019年10月1日我国隆重纪念了建国70周年，期间进行了一系列大型庆祝活动，极大地激发了全国人民的爱国热情.某校高三学生也投入到了这场爱国活动中，他(她)们利用周日休息时间到社区做义务宣讲员，学校为了调查高三男生和女生周日的活动时间情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他(她)们的周日活动时间进行了统计，分别得到了高三男生的活动时间(单位：小时)的频数分布表和女生的活动时间(单位：小时)的频率分布直方图.（活动时间均在[]0,6内） 活动时间 [0,1)[1,2)[23)，[3,4)[45)，[56]，频数 8107942（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；（2）在被抽取的80名高三学生中，从周日活动时间在[]5,6内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，M 在棱PD 上，且35PM PD =，在底面ABCD 中，10BA BC ==，5DA DC ==，2AC =，O 为对角线AC ，BD 的交点.（1）证明：OM P 平面PBC ；（2）若2PA =，求三棱锥M PBC -的体积.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP P ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.21.已知函数()222ln f x x kx x =-+（k R +∈）.（1）当k =()f x 单调性；（2）若()()11221()()4x H f x f x H x =-≥，（1x ，2x 为()'f x 的两个零点，且12x x <）求k 的取值范围. 22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求23πα=时直线l 的普通方程； （2）直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，点P 的直角坐标为()1,2，求||||PA PB +的最大值. 23.已知函数()|1|||f x x x a =-++，()|2|1g x x =-+. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的取值范围.。

东北师大附中 重庆一中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学2020届高三联合模拟考试文科数学试题一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2|60A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则A B =I （ ） A. ()2,3-B. (),3-∞C. ()2,2-D. ()0,2【答案】D【解析】【分析】 先解不等式求出集合A ，B ，再根据交集的定义求解即可．【详解】解：由260x x --<即()()320x x -+<解得23x -<<，则()2,3A =-，由2log 1x <解得02x <<，则()0,2B =，∴()0,2A B =I ，故选：D ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，考查指数不等式的解法，属于基础题．2.已知复数1i z i -=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A. 1B. -1C. iD. i - 【答案】B【解析】【分析】先根据复数代数形式的运算性质化简求出复数z ，再根据虚部的定义即可求出答案． 【详解】解：∵1i z i-=11i +=-1i =--， ∴复数z 的虚部是1-，故选：B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质以及虚部的定义，属于基础题．3.已知()4cos 5πα-=，且α为第三象限角，则sin 2α的值等于（ ） A. 725 B. 725- C. 2425 D. 2425- 【答案】C【解析】【分析】 先根据诱导公式得4cos 5α=-，再同角的平方关系得3sin 5α=-，再根据二倍角的正弦公式求解即可． 【详解】解：∵()4cos 5πα-=，∴4cos 5α=-，又α为第三象限角，∴3sin 5α=-， ∴24sin 22sin cos 25ααα==，故选：C ．【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、诱导公式以及同角的平方关系，属于基础题．4.已知向量()2,3a =v ，(),5b x =v ，若()a a b ⊥-v v v ，则x =（ ） A. 38 B. 1- C. 12 D. 2【答案】B【解析】【分析】先求出a b -r r 的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示计算即可．【详解】解：∵()2,3a =r ，(),5b x =r ，∴()2,2a b x -=--r r ，又()a a b ⊥-r r r ，∴()()22320x -+⨯-=，解得1x =-，故选：B ．【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题．5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，286a a +=-，则n S 的最小值等于（）A. -34B. -36C. -6D. 6【答案】B【解析】【分析】由题意先求出数列{}n a 的公差，再根据前n 项和公式求出n S ，再计算最小值即可．【详解】解：设数列{}n a 的公差为d ，∵286a a +=-，∴1286a d +=-，又111a =-，∴2d =，∴n S ()112n ndna -=+()111n n n =-+-212n n =-()2636n =--，∴当6n =时，n S 有最小值636S =-，故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值的求法，属于基础题．6.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确是（）A. 若//m α，n αβ=I ，则//m nB. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥C. 若n β⊥，αβ⊥，则//n αD. 若m α⊂，n β⊂，l αβ=I ，且m l ⊥，n l ⊥，则αβ⊥【答案】B【解析】【分析】以长方体为载体，结合平行与垂直判定与性质求解．【详解】解：作一个任意长方体，A 中，如图，取m AB =，α=面11CCD D ，β=面11BB C C ，1CC n αβ==I ，而1AB CC ⊥，即m n ⊥，故A 错；B 中，若//m β，则根据线面平行的性质，平面β内必存在直线//l m ，而m α⊥，则l α⊥，由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，B 对；C 中，如图，取n AB =，α=面11ABB A ，β=面11BB C C ，则n β⊥，αβ⊥，而n ⊂α，故C 错；D 中，取α=面11AB C D ，β=面11BB C C ，11B C l αβ==I ，1m AB α=⊂，1n BB β=⊂则m l ⊥，n l ⊥，但,αβ不垂直，故D 错；故选：B ．【点睛】本题主要考查平行于垂直的判定和性质，熟记八个定理并借助长方体为载体是解题关键，属于易错的基础题．7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”，该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入32n =，则输出的结果为（ ）A. 80B. 47C. 79D. 48【答案】C【解析】【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n ，S 的值，当0n =时，满足条件退出循环，即可得到输出的S 值．【详解】解：模拟程序的运行，可得32n =，32S =，执行循环体，24n =，56S =不满足条件0n =，执行循环体，16n =，72S =，不满足条件0n =，执行循环体，8n =，80S =，满足条件0n =，可得79S =，退出循环，输出S 的值为79；故选：C ．【点睛】本题主要考查循环结构的程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的方法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．8.设变量x ，y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 2B. -4C. 12D. 13【答案】C【解析】【分析】 作出可行域，结合目标函数的几何意义即可求出答案．【详解】解：变量x ，y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩的可行域如图，由240240x y x y -+=⎧⎨--=⎩得()4,4A ， 目标函数2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线经过点A 时，目标函数取得最大值，24412z =⨯+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查简单的线性规划，属于基础题．9.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，看起来象个转动的风车，很有美感(图1)；弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(图2).如果直角三角形的较短直角边长和较长直角边长分别为1和2，则向大正方形内任投一质点，质点落在小正方形内的概率为（ ）A. 15B. 25C. 5D. 125【答案】A【解析】【分析】先求出大小正方形的面积，再根据几何概型的概率计算公式求出概率．=5，小正方形的边长为1，其面积为1， 则质点落在小正方形内的概率15P =， 故选：A ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据题意选择合适的测度是解题关键，属于基础题． 10.已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则ω的取值范围是（ ） A. 77,126ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 77,126ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 27,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 27,36ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】 根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围与三角函数图象与性质，列出不等式求出ω的取值范围．【详解】解：∵02x <≤， ∴2666x πππωω<+≤+，又函数()f x 在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值1-， ∴352262πππω≤+<， 解得2736ππω≤<， 故选：C ．【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．11.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足22OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点），则E 的离心率为（ ）B. 2【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点P 的坐标，结合∠OPF 2＝∠POF 2可知2PF c =，利用两点间距离公式可求得离心率. 【详解】设00(,)P x y 是1F 关于渐近线b y x a =-的对称点，则有000022y a x c b y x cb a ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⋅⎪⎩； 解得222(,)b a ab Pc c-； 因为∠OPF 2＝∠POF 2，所以2PF c =，222222()()b a ab c c c c--+=； 化简可得2e =，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求,,a b c 之间的关系式.12.已知函数()12a f x x x =+与函数()2ln 3x g x x=-的图象在区间[]1,4上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 取值范围是（ ） A. 5[,42ln 2)2- B. 5[44ln 2,]2- C. [44ln 2,42ln 2)--D. (44ln 2,42ln 2)-- 【答案】A【解析】【分析】由题意可得()()f x g x =-在[]1,4上恰有两个解，分离变量得2132ln 2a x x x =--，令()2132ln 2h x x x x =--，利用导数求出函数()h x 在[]1,4上的函数值变化，由此可得答案． 【详解】解：由题意可得()()f x g x =-在[]1,4上恰有两个解， 即12ln 32a x x x x+=-在[]1,4上恰有两个解，即2132ln 2a x x x =--在[]1,4上恰有两个解， 令()2132ln 2h x x x x =--，则()23h'x x x =--()()12x x x --=-， ∴函数()h x 在[]1,2上单调递增，在[]2,4上单调递减，又()512h =，()242ln 2h =-，()5444ln 22h =-<， ∴542ln 22a ≤<-， 故选：A ．【点睛】本题主要考查利用导数讨论函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()22,02,0x x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()5f -=__________． 【答案】3【解析】【分析】利用分段函数的解析式，转化求解即可．【详解】解：∵()()22,02,0x x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩， ∴()()53f f -=-()()11f f =-=213=+=，故答案为：3．【点睛】本题主要考查已知分段函数解析式求函数值，属于基础题．14.正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 是棱11A B 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为__________．【答案】10【解析】【分析】将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，则MAD ∠为异面直线AM 与BC 所成角，解三角形即可．【详解】解：将正三棱柱补成如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其中//AB CD ，//AD BC ，连接MD ，1MD ，因为//AD BC ，所以MAD ∠为异面直线AM 与BC 所成角（或其补角）， 设12AB BC AA x ===，则1A M x =，5AM x =，∵111A B C ∆为正三角形，∴111=120B A D ∠︒，由余弦定理得2221111D M A D A M =+1112cos120A D A M -⋅︒2214222x x x x =++⋅⋅⋅， ∴17D M x =，则11DM x =， ∴222cos 2AM AD DM MAD AM AD +-∠=⋅2225252x x==⋅⋅ ∴异面直线AM 与BC 5 5 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，考查计算能力，属于基础题． 15.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且12n n a S +=n a =__________．【答案】21n -【解析】【分析】由题意得()214n n a S +=，当1n =时，解得11a =；当2n ≥时，()21114n n a S --+=，从而推出()()1120n n n n a a a a --+--=，则12n n a a --=，再根据等差数列的通项公式求解即可．【详解】解：∵1n a +=0n a >， ∴()214n n a S +=，当1n =时，()2111144a S a +==，解得11a =； 当2n ≥时，()21114n n a S --+=，则()()221111444n n n n n a a S S a --+-+=-=， ∴()()1120n n n n a a a a --+--=，∴12n n a a --=，或10n n a a -+=（舍去）， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴()12121n a n n =+-=-， 故答案为：21n -．【点睛】本题主要考查数列的递推公式，考查定义法判断等差数列，考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属于中档题．16.已知抛物线216y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线和圆()2244x y -+=于A ，B ，C ，D 四个点，设()11,A x y ，()22,D x y ，则12x x =__________；4||9||AB CD +的最小值为_______． 【答案】 (1). 16 (2). 74 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，由题意设直线l 的方程为4x my =+，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义、结合基本不等式即可求得答案． 【详解】解：由题意得()4,0F ，准线方程为4x =-， 圆()2244x y -+=的圆心为()4,0F ，半径2r =，由题意设直线l 的方程为4x my =+，联立2164y x x my ⎧=⎨=+⎩消元得216640y my --=，∴1216y y m +=，1264y y =-，∴()()121244x x my my =++()21212416m y y m y y =+++16=，121244x x my my +=+++()128m y y =++2168m =+，由抛物线定义可得4||9||AB CD +()()4292AF DF =-+-4926AF DF =+-()()12449426x x =+++-124926x x =++1224926x x ≥⋅12122674x x ==，当且仅当1249x x =且1216x x =即16x =，283x =时等号成立， 故答案为：16，74．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos cos ,m A B a b =+v，()sin sin ,n A B a b =-v ，若1(,)2m n a -=v v .（1）求角C 的弧度数；（2）若47c =ABC ∆的面积. 【答案】（1）23π；（2）83【解析】【分析】（1）由题意可得1cos cos sin sin 2A B A B -=，2a b =，根据两角和的余弦公式及三角形内角和即可求出答案；（2）由余弦定理及2a b =可得8a =，4b =，再根据面积公式即可求解．【详解】解：（1）由题意，()1cos cos sin sin ,2(,)2m n A B A B b a -=-=u r r ，∴2a b =，1cos cos sin sin 2A B A B -=，∴1cos()cos 2A B C +=-=，∵0C π<<，∴23C π=；（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，且2a b =， ∴222111244()2b b b =+-⨯-， ∴8a =，4b =，∴11sin 84222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，考查向量相等，考查两角和的余弦公式，属于基础题．18.2019年10月1日我国隆重纪念了建国70周年，期间进行了一系列大型庆祝活动，极大地激发了全国人民的爱国热情.某校高三学生也投入到了这场爱国活动中，他(她)们利用周日休息时间到社区做义务宣讲员，学校为了调查高三男生和女生周日的活动时间情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他(她)们的周日活动时间进行了统计，分别得到了高三男生的活动时间(单位：小时)的频数分布表和女生的活动时间(单位：小时)的频率分布直方图.（活动时间均在[]0,6内）（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；（2）在被抽取的80名高三学生中，从周日活动时间在[]5,6内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.【答案】（1）女生，理由见解析；（2）815【解析】 【分析】（1）列出女生周日活动时间频数表，对比男生和女生活动时间频数表即可得出结论； （2）运用古典概型的概率计算公式求解即可．【详解】解：（1）该校高三年级周日活动时间较长的是女生， 理由如下：列出女生周日活动时间频数表 活动时间 [1,2)[23)，[3,4)[45)，[56]，频数 6712104对比男生和女生活动时间频数表，可以发现：活动时间在2小时及其以上的男生有22人，女生有34人； 活动时间在3小时及其以上的男生有15，女生有26人；都是女生人数多于男生人数，所以该校高三年级周日活动时间较长的是女生；（2）被抽到的80学生中周日活动时间在[56]，内的男生有2人，分别记为A ，B ，女生有4，分别记为a ，b ，c ，d ，从这6人中抽取2.共有以下15个基本事件，分别为：AB ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ；其中恰为1男1女的共有8种情形， 所以所求概率815P =． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，M 在棱PD 上，且35PM PD =，在底面ABCD 中，10BA BC ==，5DA DC ==，2AC =，O 为对角线AC ，BD 的交点.（1）证明：OM P 平面PBC ；（2）若2PA =，求三棱锥M PBC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）由题意BAC ∆，DAC ∆都为等腰三角形，故对角线AC BD ⊥，从而可证出23DM DO MP OB ==，借助线面平行的判定定理即可得出结论；（2）由（1）可知：点M 到平面PBC 的距离等于点O 到平面PBC 的距离，所以三棱锥M PBC -的体积等于三棱锥O PBC -的体积，由此即可求出答案．【详解】（1）证：在底面ABCD 中，BAC ∆，DAC ∆都为等腰三角形，故对角线AC BD ⊥， 所以223BO AB AO =-=，222OD AD AO -=，由M 在棱PD 上，且35PM PD =知：23DM MP =， 所以在PBD ∆中有23DM DO MP OB ==，所以//OM PB ， 又OM ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以OM P 平面PBC ；（2）解：由（1）可知：点M 到平面PBC 的距离等于点O 到平面PBC 的距离， 所以三棱锥M PBC -的体积等于三棱锥O PBC -的体积， 而PA ⊥平面ABCD ，所以三棱锥O PBC -的高2h PA ==，所以11321132M PBC P BOC V V --==⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥M PBC -的体积为1．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，考查等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．20.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP P ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=；（2）169【解析】 【分析】（1）依题意可设2(,)b P c a -，则有22221122OPAB POB b bk k ac a S bc b c a ∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解出即可；（2）分类讨论，当1l x ⊥，2//l x 时，22122222MSNTb S a b a===g g g ； 当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x ky =-，2l ：11x y k=-，分别联立椭圆方程，利用韦达定理求出MN ，ST ，再根据面积公式12S MN ST =g 以及基本不等式即可求出答案． 【详解】解：（1）依题意画出下图可设2(,)b P c a-，(,0)A a ，(0,)B b ，则有：22221122OPAB POB b b k k ac a S bc b c a∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）①当1l x ⊥，2//l x 时，22122222MSNTb S a b a===g g g ； ②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x ky =-，2l ：11x y k=-，分别联立椭圆方程2212x y +=，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=， ∴12222k y y k +=+，12212y y k -=+，∴MN ==)2212k k +=+，同理)22221111122k k ST k k ⎫+⎪+⎝⎭==++， ∴12S MN ST =g ()()()22228112221k k k +=++g ()()()222241221k k k +=++()2222241221()2k k k +≥+++()22224(1)169914k k +==+，当且仅当22221k k +=+即21k =即1k =±时等号成立， 故四边形MSNT 的面积S 的最小值min 169S =． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 21.已知函数()222ln f x x kx x =-+（k R +∈）.（1）当k =()f x 单调性；（2）若()()11221()()4x H f x f x H x =-≥，（1x ，2x 为()'f x 的两个零点，且12x x <）求k 的取值范围.【答案】（1）()f x在1(0,)2<和1(,)2+∞上单调递增，在11)22，上单调递减；（2）5[,)2+∞ 【解析】 【分析】 （1）当k =（2）求导得()22222'22x kx f x x k x x-+=-+=，由题意知方程22220x kx -+=在(0,)+∞上有两个不等的实根1x ，2x （12x x <），由此可得2k >，根据韦达定理化简变形得12112122()2ln x x x xH x x x x =-+，令12(0,1)x t x =∈，则()12ln H t t t t=-+，求导后根据导数研究函数的单调性，从而得出104t <≤，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】解：（1）当k =()2'2f x x x =-=令()'0f x >，解得0x <<或x >， 令()'0f x <，解得1122x <<， 所以()f x在1(0,)2<和)+∞上单调递增，在11)22，上单调递减； （2）()22222'22x kx f x x k x x-+=-+=，由题意知方程22220x kx -+=在(0,)+∞上有两个不等的实根1x ，2x （12x x <），所以2121240010k x x k x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得2k >，()()1122()x H f x f x x =-()()()2212121222ln ln x x k x x x x =---+- ()()()()221212121222ln ln x x x x x x x x =--+-+-()2221122ln ln x x x x =-+- 222111222ln x x x x x x -=+2111222ln x x x x x x =-+， 令12(0,1)x t x =∈，则()12ln H t t t t=-+， ()212'1H t t t =--+2221t t t -+=-()2210t t-=-<， 所以()H t 在(0,1)上单调递减，又()1()4H t H ≥，所以104t <≤，而221212()x x k x x +=12212x x x x =++12524t t =++≥，当且仅当14t =等号成立 即52k ≥， 综上：实数k 的取值范围为5[,)2+∞．【点睛】本题主要考查根据导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，属于难题． 22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求23πα=时直线l 的普通方程； （2）直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，点P 的直角坐标为()1,2，求||||PA PB +的最大值. 【答案】（1）C ：2220x y y +-=， l20y +=；（2） 【解析】 【分析】（1）把2sin ρθ=两边同时乘以ρ，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，由直线l 的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时t 的几何意义求解．【详解】解：（1）∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，当23πα=时，直线l 20y +=； （2）把直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入2220x y y +-=，得()22sin 2cos 10t t αα+++=，()122sin 2cos t t αα+=-+，121t t =，则1t 与2t 同号且小于0，由()22sin 2cos 40αα∆=+->得：2sin 2cos 2αα+<-或2sin 2cos 2αα+>，∴()12||||PA PB t t +=-+2sin 2cos αα=+)4πα=+，∴||||PA PB +的最大值为【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，属于中档题． 23.已知函数()|1|||f x x x a =-++，()|2|1g x x =-+. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(][),32,-∞-+∞U ；（2）(][),20,-∞-+∞U ． 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的几何意义解出即可；（2）由题意()1f x 的值域为[|1|,)a ++∞，()2g x 的值域为[1,)+∞，根据[|1|,)a ++∞[1,)⊆+∞解出即可．【详解】解：（1）当2a =时，|1||2|5x x -++≥， 由绝对值的几何意义得3x ≤-，或2x ≥， ∴()5f x ≥的解集为(][),32,-∞-+∞U ；（2）由题意可知：()1f x 的值域是()2g x 值域的子集，()1f x 的值域是：[|1|,)a ++∞，()2g x 的值域为：[1,)+∞，∴|1|1a +≥，解得：0a ≥或2a ≤-，∴实数a 的取值范围是(][),20,-∞-+∞U ．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查集合的包含关系，属于中档题．。

2020-2021学年长春市东北师大附中新城学校九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.分别写有数字0，−1，−2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 452.若yx =23，则x+yx的值为()A. 53B. 52C. 35D. 233.已知x=−1是关于x的一元二次方程x2−2x+a=0的一个解，则此方程的另一个解是()A. x=3B. x=−2C. x=2D. x=−34.对于二次函数y=x2+bx+c(b,c是常数)中自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…−101234…y…1052125…下列结论正确的是()A. 函数图象开口向下B. 当x=5时，y=10C. 当x>0时，y随x的增大而增大D. 方程x2+bx+c=0有两个不相等的实数根5. 估计√32×√38−1的计算结果应在()A. 2和2.5之间B. 2.5和3之间C. 3和3.5之间D. 3.5和4之间6. 如图，a//b//c，BC=1，DE=4.5，EF=1.5，则AB=()A. 1.5B. 2C. 3D. 4.57. 修筑一坡度为3：4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为α，那么∠α的正切值是()A. 35B. 45C. 34D. 438. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1．下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③9a+3b+c<0；④若(−32,y1)，(−103,y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9. 已知x=−b+√b2−4c2(b2−4c>0)，则x2+bx+c+3的值为______．10. 如果方程x2−2x+k2=0没有实数根，那么k的最小整数是______．11. 如图，有一路灯杆AB，在灯光下，小明在D点处测得自己的影长DE=3米，且距离B点的水平距离为6米，如果小明的身高CD为1.8米，则路灯杆AB的高度是．12. 在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．设坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，作向上或向右运动，速度为1cm/s.当整点P从原点出发1秒时，可到达整点(1,0)或(0,1)；当整点P从原点出发2秒时，可到达整点(2,0)、(0,2)或______；当整点P从原点出发4秒时，可以得到的整点的个数为______个．当整点P从原点出发n秒时，可到达整点(x,y)，则x、y和n的关系为______．13. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AB=4，BD=15，sin∠BDC=35，则▱ABCD的面积是______．14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，在线段AC上有一动点P(P不与C重合)，以PC为直径作⊙O交PB于Q点，连AQ，则AQ的最小值为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15. 计算：2sin60°+|√3−2|+√12．16. 在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．(1)从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字2的概率；(2)将三张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成个两位数，求这个两位数大于30的概率．17. 美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加(如图所示)．(1)根据图中所提供的信息回答下列问题：2015年底的绿地面积为______ 公顷，比2014年底增加了______ 公顷；在2013年，2014年，2015年这三年中，绿地面积增加最多的是______ 年；(2)为满足城市发展的需要，计划到2017年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率．18. 阅读下列材料：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边的值是多少．构造▱APBQ，求对角线PQ的最小值及此时APAC在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3.参考小明的做法，解决以下问题：=______；(1)继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，APAC(2)如图3，延长PA到点E，使AE=nPA(n为大于0的常数).以PE，PB为边作▱PBQE，那么对角线PQ=______；的最小值为______，此时APAC(3)如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA(n为大于0的常数)，以PE，PC为=______．边作▱PCQE，那么对角线PQ的最小值为______，此时APAC19. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠ABC 和点D 、E ，求作：在∠ABC 内部确定一点P ，使点P 到∠ABC 的两边距离相等，并且PD =PE ．20. 大鸿寨风景区位于禹州市鹏山镇境内，集自然山、水、洞、林为一体，是河南省少有的自然生态旅游区之一，某校数学兴趣小组在研学旅行活动中对大鸿寨主峰卧佛山的高度进行了测量．如图，他们先在山脚A 处测得山顶B 的仰角∠BAD 为45°，然后沿着倾斜角为25°的斜坡向上走了350米达到点C ，在点C 处测得山顶B 的仰角∠BCE 为50°，求大鸿寨主峰卧佛山的高度BD ． (结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)21. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为160m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2．(1)设AE 为a ，则BE = ______ a ；(2)是否存在x 的值，使得矩形ABCD 的面积是1500m 2； (3)x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？22. 在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“邻点”.在平面直角坐标系中，已知点M(0,12)，A(a,1)，B(b,2a)，C(a −1,−12)，过点M 作直线l 平行于x 轴，并将△ABC 进行平移，平移后点A 、B 、C 分别对应点D 、E 、F ．(1)点A______(填写是或不是)直线l的“邻点”，请说明理由；(2)若点F刚好落在直线l上，点F的横坐标为a−b，点E落在x轴上，且△MFD的面积为3，求点B的坐标，判断点B是否是直线l的“邻点”，并说明理由．23. 如图①、图②所示，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，O为斜边AC的中点，P为线段BC上的一个动点(不与点B重合)，作∠BPE=22.5°，PE交BO于点E，过点B作PE的垂线，垂足为F，延长BF交AC于点G．(1)当点P与C重合时(如图①)，求证：△BOG≌△POE；=______，并结合图②证明你的猜想；(2)通过观察分析，猜想BFPE(3)把等腰直角△ABC改为等腰△ABC，AB=BC，∠ACB=2∠BPE，其他条件不变(如图③)，若记=______(可用含α的式子表示)∠ACB=α，则BFPE与x轴交于点A、B(点A在点B 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2−2ax+32的左侧)，抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为线段AC的中点．(1)如图1，求抛物线的顶点坐标和解析式；(2)如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；(3)在(2)的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．参考答案及解析1.答案：B解析：解：∵五张卡片分别标有0，−1，−2，1，3五个数，数字为负数的卡片有2张，∴从中随机抽取一张卡片数字为负数的概率为25．故选：B．让是负数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率，即可选出．本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．2.答案：A解析：解：∵yx =23，∴设x=3k，y=2k(k≠0)，∴x+yx =3k+2k3k=53．故选：A．根据比例设x=3k，y=2k(k≠0)，然后代入比例式进行计算即可得解．本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．3.答案：A解析：解：∵x=−1是关于x的一元二次方程x2−2x+a=0的一个解，∴−1+x1=2，∴x1=3，∴该方程的另一个解是x=3．故选：A．根据根与系数的关系：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca，此题选择两根和即可求得．此题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程的根与系数的关系．4.答案：B解析：解：由表格可得，当x<2时，y随x的值增大而减小；当x>2时，y随x的值增大而增大，该函数开口向上，故选项A、C不符合题意；由表格可得，当x=1和点x=3时，y=2，故该抛物线的对称轴是直线x=2．∴点(−1,10)的对称点是(5,10)，∴点(5,10)在该函数的图象上，故选项B符合题意；由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x轴没有交点，∴方程x2+bx+c=0无实数根，故选项D不符合题意．故选：B．根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5.答案：A解析：解：√32×√38−1=√12−1，∵3<√12<3.5，∴2<√12−1<2.5，故选：A．直接利用二次根式的混合运算法则计算进而估算√12的取值范围，进而得出答案．此题主要考查了估算无理数的大小，能够正确得出√12的取值范围是解题的关键．6.答案：C解析：解：∵a//b//c，∴ABBC =DEEF，∴AB1=4.51.5，∴AB=3，故选：C．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7.答案：C解析：解：由题意得：tanα=34．故选C．根据坡度为坡角的正切值，即可判断出正确的选项．此题考查的是坡度、坡角的关系，坡度=坡角的正切值．8.答案：C解析：解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴为直线x=1，即−b2a=1，∴b=−2a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，所以①正确；∵b=−2a，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线对称轴是x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，即当x=3时，y=0，∴9a+3b+c=0，所以③错误；∵点(−32,y1)到直线x=1的距离比点(−103,y2)到直线x=1的距离小，∴y1>y2，所以④正确．故选：C．抛物线开口向下得到a<0，利用对称轴方程得到b=−2a得到b>0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c>0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，则可对②进行判断；利用(−32,y1)，(−103,y2)两点都直线x=1的距离和二次函数的性质对④进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．9.答案：3解析：解：∵x=−b+√b2−4c(b2−4c>0)是方程x2+bx+c=0的解，2∴x2+bx+c+3=3，故答案为：3．由x=−b+√b2−4c(b2−4c>0)是方程x2+bx+c=0的解可得答案．2本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程．10.答案：3=4−2k<0，解析：解：根据题意，得：△=(−2)2−4×1×k2解得：k>2，则k的最小整数是3，故答案为：3．=4−2k<0，解之可得答案．根据方程无实数根得出△=(−2)2−4×1×k2本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．11.答案：5.4米解析：利用三角形的相似，可直接得出。

吉林省长春市2020-2021学年高三质量检测（一）文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数2z i +=-，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合{2A x x =≥或}2x ≤-，{}230B x x x =->，则A B =（ ） A ．∅B ．{3x x >或}2x ≤-C ．{3x x >或}0x <D ．{3x x >或}1x < 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 515S =，45a = ，则9S =( ) A ．45 B ．63 C ．54 D ．81 4．已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．2021年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2021年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个A ．0B ．1C ．2D ．36．已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b =( )A ．3-B ．1C ．3-或1D ．527．已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<8．已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是( )①,a b αα⊥⊥，则//a b ②,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥③//,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβA ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①④9．函数2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象（部分图象如图所示） ，则其解析式为( )A ．()2sin(2)6f x x π=+B ．()2sin()6f x x π=+C ．()2sin(4)6f x x π=+ D ．()2sin()6f x x π=- 10．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）A．(3π- B．1)π C．1)π D．2)π 11．已知F 是抛物线24y x =的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为( ) AB ．2C ．3D ．412．已知函数1(0)()(0)x e x f x x -⎧-≤⎪=>，若存在0x R ∈ 使得00()(1)1f x m x --≤成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(0,)+∞B ．[1,0)(0,)-+∞C ．(,1][1,)-∞-+∞D ．(,-∞-∞1](0,+)二、填空题13．已知1sin cos 225αα-=，则sin α=_____. 14．设变量x ，y 满足约束条件03420x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥,PA =2,AB AC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为_____.三、双空题16．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(,)m b c a b =--,(sin ,sin sin )n C A B =+，且m n ⊥，则A =____;若△ABC则△ABC 的周长的最小值为_____.四、解答题17．已知数列{}n a 中，12a =，1122n n n a a ++=+，设2n n na b =. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列11{}n n b b +的前n 项和n S . 18．环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，下表是对100辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果．（1）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；（2）用分层抽样的方法从行车里程在区间[)38,40与[)40,42的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[)40,42内的概率． 19．在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC 、平面1ACC A 、平面11BCC B 两两垂直.（Ⅰ）求证：1,,CA CB CC 两两垂直；（Ⅱ）若1CA CB CC a ===，求三棱锥11B A BC -的体积.20．已知点(1,0),(1,0)M N -，若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点， 求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.21．设函数1()ln x f x x x+=+. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若(0,1)x ∈时，不等式1ln 2(1)x x a x +<--恒成立，求实数a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值.23．已知函数()|3||1|f x x x =+-- .（Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅱ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求+a b 的最小值.参考答案1．C【解析】试题分析：复数2z i =-+的共轭复数为2z i =--，在复平面内对应点的坐标为，所以位于第三象限．选C考点：复数的概念及运算2．B【解析】【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：{}230B x x x =-> {|0B x x ∴=<或3}x >，{2A x x =≥或}2x ≤-，{|2A B x x ∴=-或3}x >．故选：B ．【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算,属于基础题． 3．B【分析】根据给出条件求出3a ，利用3a ，4a ，5a 成等差数列计算5a ，再根据前n 项和性质计算9S 的值.【详解】由515S =得33a =，45a =,∴57a =∴95963S a ==故选B.【点睛】等差数列性质：2(2)m n p q c a a a a a m n p q c +=+=+=+=；等差数列前n 项和性质：12121()(21)(21)2n n n a a n S n a --+-==-. 4．B【分析】利用集合间的关系推出p q 、之间的关系.【详解】{|1}x x >{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件,故选：B .【点睛】 p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ：p 是q 的充分不必要条件则有：A B ； p 是q 的必要不充分条件则有：B A .5．D【分析】 根据ˆb 和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.故选D .【点睛】回归直线方程中的ˆb的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.6．C【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.=∴|1|2b +=∴13b b ==-或故选C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的距离等于半径.7．C【分析】分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.【详解】 因为3011()()133a <<=，103331>=，1133log 3log 10<=， 所以01,1,0a b c <<><，∴c a b <<，故选C.【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和1作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用.8．D【解析】【分析】①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为αβ、以及一个侧面为γ，则//αβ，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为a b 、，下底面为α，则//a b 不成立，故错误；④选取上下底面为αβ、，任意作一个平面平行上底面为γ，则有 //αβ成立，故正确.所以说法正确的有：①④.故选：D.对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观.9．A【分析】（1）通过(0,1)以及ϕ的范围先确定ϕ的取值，再根据()f x 过点11(,0)12π计算ω的取值. 【详解】 由2sin(0)1,||2πωϕϕϕ⋅+=<π,∴=6， 由111111242sin()0,,,002121261211k k Z T πωπϕωππωπωω⋅+=⋅+=∈>>∴<<=∴即2sin(2)6y x π=+，即为()f x 解析式.【点睛】根据三角函数的图象求解函数解析式时需要注意：（1）根据周期求解ω的值；（2）根据图象所过的特殊点求解ϕ的值；（3）根据图象的最值，确定A 的值.10．A【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则12αβ= ，又2αβπ+=，解得(3απ=- 故选:A【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长． 11．C 【分析】根据抛物线的焦半径的倾斜角和焦准距的表示形式将||||AF BF 表示出来，然后代入相应值计算即可. 【详解】||1cos60p AF =-︒，||1cos60pBF =+︒∴||10.53||10.5AF BF +==-. 【点睛】焦点在x 轴上的抛物线，过抛物线的焦点倾斜角为θ的直线与抛物线交于,A B 两点，且||||AF BF >，则有||1cos p AF θ=-，||1cos p BF θ=+，22||sin pAB θ=. 12．D 【分析】数形结合去分析，先画出()f x 的图象，然后根据直线过(1,1)-将直线旋转，然后求解满足条件的m 取值范围. 【详解】如图, 直线0(1)1y m x =--过定点(1,1)P -,m 为其斜率，0m >满足题意，当0m <时，考虑直线与函数1xy e -=-相切，此时000(1)11x x m x e m e--⎧--=-⎨=-⎩ ，解得010m x =-⎧⎨=⎩，此时直线与1x y e -=-的切点为(0,0)，∴1m ≤-也满足题意.选D【点睛】分段函数中的存在和恒成立问题，利用数形结合的思想去看问题会更加简便，尤其是直线与曲线的位置关系，这里需要注意：（1）直线过定点；（2）临界位置的切线问题. 13．2425【分析】将所给式子平方，找到sin α与sin cos22αα-的关系.【详解】1sincos225αα-=平方得242sin cos 2225αα= ∴24sin 25α=.【点睛】sin cos αα±与sin cos αα的关系：2(sin cos )12sin cos αααα±=±；14．8- 【分析】作出不等式组对应的平面区域，3z x y =-得1133y x z =-，利用数形结合即可的得到结论． 【详解】解：画出可行域如图，3z x y =-变形为1133y x z =-， 过点(2,2)A --，z 取得最大值4， 过点(2,2)C -取得最小值8-． 故答案为：8-．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 15．16π 【分析】根据题设位置关系，可知以,,AB AC PA 为长、宽、高的长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，根据这一特点进行计算.【详解】设外接球的半径为R ，则2222(2)16R PA AB AC =++= ∴16S π= 【点睛】对于求解多条侧棱互相垂直的几何体的外接球，可考虑将该几何体放入正方体或者长方体内，这样更加方便计算出几何体外接球的半径. 16．3π6 【分析】先根据向量垂直得出边角关系，然后利用正、余弦定理求解A 的值；根据面积以及在余弦定理，利用基本不等式，从而得到周长的最小值（注意取等号条件）. 【详解】由m n ⊥得(,)(sin ,sin sin )()sin ()(sin sin )0m n b c a b C A B b c C a b A B ⋅=--⋅+=-+-+=()()()0b c c a b a b -+-+=得222a b c bc =+-,∴2221cos 22b c a A bc +-==∴3A π=；1sin 2S bc A ==4bc =又222224a b c bc b c =+-=+-所以6a b c b c ++=+=（当且仅当2b c ==时等号成立） 【点睛】（1）1122(,),(,)a x y bx y ==，若a b ⊥垂直，则有：12120x x y y +=；（2）222(0,0)a b ab a b +≥>>取等号的条件是：a b =.17．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）111n S n =-+ 【分析】（1）证明1n n b b c --=（c 为常数）即可； （2）将11n n b b +采用裂项的方式先拆开，然后利用裂项相消的求和方法求解n S . 【详解】（Ⅰ）证明：当2n ≥时，111121222n n n n n n n n na a a ab b ------=-== 11b =，所以{}n b 是以为1首项，为1公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，n b n =，所以+11111n n b b n n =-+， 所以1111111122311n S n n n =-+-++-=-++. 【点睛】常见的裂项相消形式： （1）111(1)1nn n n =-++；（2=；（3）1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+；（4）112311(31)(31)3131n nn n n ++=-----. 18．（1）图见解析；中位数在区间[)36,38 （2）35【分析】(1)由频率分布表可画出频率分布直方图，由图可求出中位数所在区间．(2)由题意，设从[38，40)中选取的车辆为A ，B ，C ，从[40，42)中选取的车辆为a ，b ，利用列举法从这5辆车中抽取2辆，其中恰有一个新车模型行车里程在[40，42)内的概率．【详解】（1）由题意可画出频率分布直方图如图所示：由图可知，中位数在区间[)36,38．（2）由题意，设从[)38,40中选取的车辆为A ，B ，C ，从[)40,42中选取的车辆为a ，b ，则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，其中符合条件的有6种，Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，所以所求事件的概率为35. 【点睛】本题考查概率与统计的相关知识，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 19．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）316a 【分析】（1）通过辅助线以及根据面面垂直的性质定理可证1,,CA CB CC 中任意一条直线垂直于另外两条直线构成的平面，即垂直于另外两条直线；（2）采用替换顶点的方式计算体积，计算出高和底面积即可计算体积. 【详解】（Ⅰ）证明：在ABC ∆内取一点P ，作,PD AC PE BC ⊥⊥，因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，其交线为AC ，所以PD ⊥平面11ACC A ，1PD CC ⊥， 同理1PE CC ⊥，所以1CC ⊥平面ABC ，11,CC AC CC BC ⊥⊥， 同理AC BC ⊥，故1,,CC AC BC 两两垂直.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三棱锥11A BCB -的高为11A C a =，1211122BCB S BC BB a ∆=⋅=，所以三棱锥11B A BC -的体积为316a . 【点睛】（1）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；（2）计算棱锥的体积时，有时候可考虑采用替换顶点的方式去简化计算.a20．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）AOB ∆l 的方程为x y =.【分析】（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；（2）设出直线方程后，采用1||2AB d ⨯⨯（d 表示原点到直线AB 的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值. 【详解】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=.（Ⅱ）设直线l的方程为x ty =与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x可得22(34)30t y +--=，即12234y y t +=+，122334y y t -=+. AOB ∆面积可表示为1211||||22AOB S OQ y y =⋅-=△216234t ===+u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++当且仅当u=t = 因此AOB ∆l的方程为x y =-【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：（1）已知点(,0),(,0)M c N c -，若点(,)P x y 满足||||2PM PN a +=且22a c >，则P 的轨迹是椭圆；（2）已知点(,0),(,0)M c N c -，若点(,)P x y 满足||||||2PM PN a -=且22a c <，则P 的轨迹是双曲线.21．（Ⅰ）()2f x =极小值，无极大值；（Ⅱ）01a <≤ 【分析】（1）求导后，求解导函数零点，并用列表法分析极值；（2）对所给不等式进行变形，将ln x 分离出来便于求导，同时构造新函数2(1)()ln (01)1a x g x x x x -=-<<+，分析(0,1)x ∈时，()0>g x 恒成立时a 的范围.【详解】 解：（Ⅰ）令21()0x f x x-'==，1x =()= (1)2f x f ∴=极小值，无极大值；（II ）由题意可知，0a >，则原不等式等价于2(1)ln 01a x x x -->+，令2(1)()ln (01)1a x g x x x x -=-<<+，22((24)1)()(1)x a x g x x x -+-+'=+，①当01a <≤时，2(24)10x a x +-+≥，()0g x '≤，()g x 在(0,1)上单调递减，()(1)0g x g >=，成立；②当1a >时，2000(0,1),(24)10x x a x ∃∈+-+=，使得当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0(,1)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，故当0(,1)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不成立；综上所述，01a <≤.【点睛】根据不等式恒成立求解参数范围的问题常用的方法：（1）分类讨论法（所给不等式进行适当变形，利用参数的临界值进行分析）； （2）参变分离法（构造新的函数，将函数的取值与参数结合在一起）.22．（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（Ⅱ）2 【解析】 【分析】（1）求直线l 的普通方程，消去参数t 即可；求圆的直角坐标方程利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩互化即可.（2）根据直线所过定点，利用直线参数方程中t 的几何意义求解||||PA PB ⋅的值. 【详解】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=. （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222t -++---=，化简可得220t +-=. 则12||||||2PA PB t t ⋅==. 【点睛】（1）直角坐标和极坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩；（2）直线过定点P ，与圆锥曲线的交点为A B 、，利用直线参数方程中t 的几何意义求解：||||||AB PA PB 、，则有12||||AB t t =-，12||||||PA PB t t =.23．（Ⅰ）(,5][1,3]-∞--；（Ⅱ）最小值为2 【分析】（1）采用零点分段的方法解不等式；（2）计算出()f x 的最大值，再利用基本不等式求解+a b 的最小值. 【详解】（Ⅰ）由题意(3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ----<--<-⎧⎧⎪⎪=+---≤≤=+-≤≤⎨⎨⎪⎪+-->>⎩⎩当3x <-时，41x -+≥，可得5x ≤-，即5x ≤-.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x ≥-，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤. 综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数()f x 的最大值4M =，且14ab a b +++=， 即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立， 可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此+a b 的最小值为2. 【点睛】（1）解绝对值不等式，最常用的方法就是零点分段：考虑每个绝对值等于零时x 的值，再逐段分析；（2）注意利用||||||x a x b a b -+-≥-，||||||x a x b a b ---≤-求解最值.。

东北师大附中 2020 届高三年级第一次摸底考试数学（文科）试题一、选择题1．已知集合 = {1，2，3，4，5，6}， = { ��| = 2 ， ∈ ��}，则 ��⋂ =（ ）A ．�2，4�B ．�1，4�C ．�1，2，4�D ．�2，4，16�2．已知i 是虚数单位，则 21−i=（ ）A ．1 − iB ．2 iC ．1 + iD ．−i3．若 = 1.50.2， = 1.50.4， = 0.95，则（ ）A ． > >B ． > >C ． > >D ． > >4．给出下列三个命题：①“若 > > 0，则 ��2 > ��2 ”的逆命题为假命题；②“ ��2≥ 1”是“函数 ��( ��) = 2 + 2 + 1至少有一个零点”的充要条件；③命题“∃ ��0 ∈R ，3��0 ≤ 0”的否定是“∀ ∈R ，3 > 0”.其中真命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．函数 ��( ��) = + |��|的图象是（）A ．B ．C ．D ．= 265+ 1 =2456．已知函数 ��( ��) = | − 1| + | + 1|（ ∈R ），则 ��( ��)的图象（ ）A ．关于原点对称，但不关于 y 轴对称B ．关于 y 轴对称，但不关于原点对称C ．关于原点对称，也关于 y 轴对称D ．既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称7．设 ， ，则约等于（）（参考数据：lg2 ≈ 0.3）A ．1020B ．103C ．106D ．109)2 8．若函数 ��( ��)的零点与函数 ��( ��) = 4 + 2 − 2的零点之差的绝对值不超过 0.25，则 ��( ��)可以是（ ）A ． ��( ��) = 4 − 1B ． ��( ��) = log 3 (2 − ��)C ． ��( ��) = 3 − 1D ． ��( ��) = 2 − 39．若函数 ��( ��) = ���， > 0，在(−∞， + ∞)上为增函数，则 ��的取值范围是（ ）(3 − ��) +，≤ 0.2A ．�1，2�B ．�1，2�C ．�1， 3�D ．�2， 3�10．已知函数 ��( ��) = √2 − 2 − �� (0 < ≤ 2)的零点在区间(1， 3 内，则实数 ��的取值范围是（ ）A ．(0， √3)B ．(1， √3 )C ．(√3 ，1)D ．(1，1)33211．已知定义在 R 上的函数 ��( ��)满足( − 4) ��′( ��) ≤ 0，且 = ��( + 4)为偶函数，当| ��1 − 4| < | ��2 − 4|时，有（ ）A ． ��(8 − ��1 ) ≤ ��(8 − ��2 )B ． ��(8 − ��1 ) < ��(8 − ��2 )C ． ��(8 − ��1 ) > ��(8 − ��2 )D ． ��(8 − ��1 ) ≥ ��(8 − ��2 )12．将边长为1m 正三角形纸片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 = (梯形的周长)2，梯形的面积则 ��的最小值为（）A ．16√33二、填空题B ．32√33C ．100√39D ．196√31513．曲线 ��( ��) = cos ��在 =6处的切线方程为 .14．已知函数 ��( ��) = 2 − 4 ��，则 ��(log 2 1 ) = _.] √215．已知函数 ��( ��)的定义域为 R ，对于任意实数 ��，都有 ��(1 + ��) = − ��(− ��)，且 ��( ��)共有五个零点，则 ��( ��)的所有零点之和为 .16．已知定义域为 R 的奇函数 ��( ��)，满足 ��( ��) = �2 2 ��−3， > 2，下面四个关于函数��( ��)2 − 2 + 2， 0 < ≤ 2.的说法：①存在实数 ��，使关于 ��的方程 ��( ��) = �� ��有 7 个不相等的实数根；②当−1 < ��1 < ��2 < 1时，恒有 ��( ��1 ) > ��( ��2 )；③若当 ∈ �0， ���时， ��( ��)的最小值为1，则 ∈ [1， 5； 2④若关于 ��的方程 ��( ��) = 3和 ��( ��) = ��的所有实数根之和为零，则 = − 3．22其中说法正确的有 ．（将所有正确说法的标号填在横线上）三、解答题4．17．在△ABC 中，角 ��， ��， ��的对边长分别为 ， ��， ��， = 3，cos = 5（Ⅰ）求sin ��的值；（Ⅱ）若 = 6，求��的值.18．设函数��(��) = 2 − 2 + ln��．（Ⅰ）当 = −4时，求��(��)的极值；（Ⅱ）当 > 1时，判断��(��)的单调性.219．已知四棱锥−������，底面������是菱形，∠ ���� = 60 ∘，����为正三角形，平面����⊥底面������，�� = 2．（Ⅰ）求证：��⊥����；（Ⅱ）求点��到平面����的距离．20．在直角坐标系����中，动点��(��，��)（其中≥2）到点��(3，0)的距离的4 倍与点��到直线 = 2的距离的3 倍之和记为��，且 = + 18.（Ⅰ）求点��的轨迹��的方程；（Ⅱ）设过点��的直线��与轨迹��交于��，��两点，求|��|的取值范围.21．己知函数��(��) = �� 2 + ��− ln��．（Ⅰ）当 = −2时，函数��(��)在(0，+ ∞)上是减函数，求b 的取值范围；��1+��2（Ⅱ）若方程��(��) = 0的两个根分别为��1，��2(��1 < ��2)，求证：��′�� > 0. 2= 3 + ��cos��，22．已知在直角坐标系����内，直线��的参数方程为�2（��为参数，��为倾斜角）．以= −1+ ��sin��.2��为极点，��轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线��的极坐标方程为 = 2√2cos( +（Ⅰ）写出曲线��的直角坐标方程及直线��经过的定点��的坐标；��)．4（Ⅱ）设直线��与曲线��相交于两点A、B，求点P 到A、B 两点的距离之和的最大值．23．已知函数��(��) = |− 2| − |2−��|，∈ R．（Ⅰ）当 = 1时，解不等式��(��) > 0；（Ⅱ）设不等式��(��) < 0的解集为��，集合 = {��| < 0}，⊆��，求��的取值范围.东北师大附中 2020 届高三年级第一次摸底考试（文科）(数学)1. B2. C3. D4. D5. C6. B7. C8. A9. A10. C11. D12. B13.14.9 4 15. 5216. ①③17. 解：(Ⅰ) ∵ ��，B ，C 为△ �� ��的内角，且 =，��，，3(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，在△ �� ��中，由正弦定理得．18. 解：(Ⅰ)由已知， ��( ��)的定义域为�0， + ∞�，， 当 = −4时，令，得2 2 − 2 − 4= 0．又 > 0，所以 = 2，当0 < < 2时，；当 > 2时，0'/>．因此，当 = 2时， ��( ��)有极小值，极小值为 ��( ��)无极大值;(Ⅱ)由已知， ��( ��)的定义域为�0， + ∞�， ，� �令 ��( ��) = 2 2− 2 + ��( > 0)，则 ��( ��)在(0， 1上递减，在�， + ∞�上递增，]122因此， ��( ��)有最小值 1 = −21．2当 > 1时， − 1> 0，则0'/>，22此时，函数 ��( ��)在�0， + ∞�上单调递增．19. 解 ： 证 明 ： ( Ⅰ ) 取 AD 的 中 点 O ， 连 结 PO 、 BO ， 则 �� ⊥ �� ，1× �� × =1 × �� × � �� 21 √1022 222因为底面 ABCD 是菱形， ， 所以△�� �� ��是正三角形，所以 �� ⊥ ��，又因为 �� ∩ �� = ��，所以 �� ⊥平面POB ， 而 �� ⊂平面 POB ，所以 �� ⊥ �� ��．(Ⅱ)因为平面 �� �� ⊥底面 ABCD ，且 �� ⊥ ��，11所以 �� ⊥平面 ABCD ， �� = �� = √3， ��△ �� = ��△ �� �� = 2 × �� × �� = 2 × 2 × √3 = √3，11所以 ��− �� = 3 × ��△ �� �� × �� = 3 × √3 × √3 = 1，在△ �� ��中， �� = �� = 2， �� =√ �� ��2 + �� ��2 = √3 + 3 = √6，取 PB 的中点 E ，连结 DE ，则 ⊥ �� ��， ��△ �� �� =√15， 因为 ��− �� = ��− �� �� ，2设点 C 到平面 PBD 的距离为 h ，= × √6 ×=则��− ���� =1 3×��△ �� �� × ℎ =22 221 ×√153 2× ℎ = 1，所以ℎ = 2√15．520. 解：(Ⅰ)依题意，4�( − 3)2 + ��2 + 3( − 2) = + 18，1∴ �( − 3)2 + ��2 = 6 −化简得��2 +��2 = 1，236 27∴点 P 的轨迹 C 的方程为 + = 1(2 ≤ ≤ 6)．3627(Ⅱ)设点 ���2，2√6�， ���2， − 2√6�． 由(Ⅰ)知，轨迹C 是椭圆+= 1在直线 = 2的右侧的部分(包括点 A 、 ��)．36 27可求出直线 AF 的斜率为−2√6，直线 BF 的斜率为2√6.(1)当直线 l 的斜率不存在时，设 ��(3， 9)， ��(3， − 9)，此时，| ��| = 9.22(2)当直线 l 的斜率 k 存在时，直线 l 的方程为 = ��( − 3).由已知，直线 l 与轨迹 C 交于 M ，N 两点，则 ≥ 2√6或 ≤ −2√6.11设 ��� ��1 ， ��1 �， ��� ��2 ， ��2 �，由(Ⅰ)知，| ��| 6 − 2 ��1 ，| �� ��| = 6 − 2 ��2，22.所以| ��| = | ��| + | �� ��| = 12 − 1 (+ ).212= ��( − 3)24 ��2由� ��236+ ��2 = 127，得(3 + 4 ��2 ) ��2 − 24 ��2 + 36 ��2 − 108 = 0.则 ��1 + ��2 =，3+4 ��2所以| ��| = 12 − 1(+ ) = 12 − 12= 12 −12.2123+4 ��23+4因为 ≥ 2√6或 ≤ −2√6，所以 2 ≥ 24，所以0 < 1 ��2 ≤ 1，2412所以9 < 12 − 32+4≤100 11，即9 < | ��| ≤ 10011综上可知，9 < | ��| ≤ 100．1121. 解：(Ⅰ)依题意，∵ ��( ��)在(0， + ∞)上递减，对 ∈ (0，+ ∞)恒成立. 即 ⩽ 4 + 1对 ∈ (0， + ∞)恒成立，所以只需 ≤(4 + 1). ∵ > 0， ∴ 4 + 1 ≥ 4，当且仅当 = 1时取2m in( Ⅱ ) 由 已 知 ， 得 ， 两 式 相 减 ， 得由知，设 = ��1 ∈ (0，1) ，则��20. \thereforeg \left( t \right)'/>在�0，1�上递增，∴��(��) < ��(1) = 0. ∵��1 −��2 < 0 ，即0.'/>22. 解：(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为(− 1)2 + ( + 1)2 = 2，直线l 过定点��(3，−1)．2 212121 2(Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入( − 1)2 + ( + 1)2 = 2，得 2 + (cos + sin ��) − 3= 0．2设点A 、B 对应的参数分别为 、 ，则 + = −(cos + sin ��)， = − 3.2因 为 ��1 ��2 < 0 ， 所 以，| �� ��| + | �� ��| = | ��1 | + | ��2 | = | ��1 −��2 | = �( ��1 + ��2 )2 − 4 ��1 ��2 =�(cos + sin ��)2 + 6 = √7 + sin2 ��.因此，当 = 4时，| �� ��| + | �� ��|有最大值2√2．23. 解：(Ⅰ)当 = 1时，不等式为| − 2| − |2 − 1| > 0，化为| − 2| > |2 − 1|，两边平方得 2 − 4 + 4 > 4 2 − 4 + 1，解得−1 < < 1，因此不等式 ��( ��) > 0的解集为{ ��| − 1 < < 1}； (Ⅱ)因为 ⊆ ��，所以当 < 0时，恒有 ��( ��) < 0，即2 − − |2 − ��| < 0，2 − < |2 − ��|，因此2 − > 2 − ��或2 − < − 2，得 >��+2或 < − 2，3又因为 ⊆ ��，所以 ≥ 2；(另法)由 ��( ��) < 0，得|2 − ��| − |2 − ��| < 0，即|2 − ��| < |2 − ��|，两边平方，得(2 − ��)2 < (2 − ��)2，所以3 2 + (4 − 4 ��) + ��2 − 4 > 0，得[3 − ( + 2)][ − ( − 2)] > 0，(1)当 − 2 ≥��+2时，即 ≥ 4时， = � ��| <��+2或 > − 2�，33又 ⊆ ��，所以��+2≥ 0，所以 ≥ −2，此时 ≥ 4；3(2)当 − 2 <��+2时，即 < 4时， = � ��| < − 2 或 > ��+2 ，33又 ⊆ ��，所以 − 2 ≥ 0，所以 ≥ 2，此时2 ≤ < 4，综上可知， ≥ 2．。

东北师大附中2020-2021学年高一年级数学学科试卷上学期期中试卷一､单项选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，再每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1. 已知集合{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥，则A B =（ ）A. {5}x x <B. {05}x x <<C. {05}x x ≤<D. {1}x x >-【答案】C 【解析】 【分析】直接由交集的定义求解即可【详解】解：因为{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥， 所以{05}A B x x ⋂=≤<， 故选：C2. 已知集合{1,2,3,4}P =，则满足{1,2}Q P ⊆⊆的集合Q 的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】列举出满足题意的集合Q 后可得结论．【详解】解：由题题意可知，满足条件的集合Q 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个. 故选：D ．3. 设x ∈R ，则“03x <<”是|1|1x -<的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由绝对值不等式的求解结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为|1|1x -<，所以111x -<-<即02x <<， 所以“03x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条仵. 故选：B.4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）A. ()f x x =，()2g x =B. ()21f x x =+，()21g t t =+C. ()1f x =，()x g x x= D. ()f x x =，()g x =【答案】B 【解析】 【分析】求出各选项中两个函数的定义域，并化简函数解析式，利用函数相等的概念可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数()f x x =的定义域为R ，函数()2g x =的定义域为[)0,+∞，两个函数的定义域不相同，A 选项中的两个函数不相等；对于B 选项，函数()21f x x =+与()21g t t =+的定义域均为R ，两个函数的对应法则也相同，B 选项中的两个函数相等；对于C 选项，函数()1f x =的定义域为R ，函数()xg x x=的定义域为{}0x x ≠，两个函数的定义域不相同，C 选项中的两个函数不相等；对于D 选项，函数()f x x =与()g x =R ，且()g x x ==，两个函数的对应法则不相同，D 选项中的两个函数不相等. 故选：B.5. 命题“10,13xx ⎛⎫∀≥≤ ⎪⎝⎭”的否定是（ ） A. 10,13xx ⎛⎫∃≥> ⎪⎝⎭ B. 10,13xx ⎛⎫∃<> ⎪⎝⎭ C. 10,13x x ⎛⎫∀<≤ ⎪⎝⎭D. 10,13xx ⎛⎫∀≥> ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由全称命题否定为特称命题求解即可【详解】解：因为命题“10,13xx ⎛⎫∀≥≤ ⎪⎝⎭”， 所以此命题的否定为10,13xx ⎛⎫∃≥> ⎪⎝⎭， 故选：A6. 设0.70.7a =， 1.60.7b =，0.71.6c =，则的大小关系是（ ） A. a b c << B. a c b << C. b c a << D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性比较a 、b 的大小，利用幂函数的单调性比较a 、c 的大小，进而可得出这三个实数的大小.【详解】指数函数0.7xy =为R 上的减函数，则0.7 1.60.70.7>，即a b >； 幂函数0.7y x=为()0,∞+上的增函数，则0.70.70.7 1.6<，即a c <.因此，b a c <<. 故选：D.7. 若0x ∃>，使得40x m x+-≤，则实数m 取值范围是（ ） A. 4m > B. 4m ≥C. 4m <D. 4m ≤【答案】B 【解析】 【分析】 不等式变形为4x m x+≤，然后求出4x x +在0x >时的最小值，即可得．【详解】解：∵40x m x+-≤，∴4x m x +≤，其中44x x +≥=，当且仅当4x x=，即2x =时等号成立， ∴4m ≥． 故选：B8. 若函数2()2f x x ax =-+与()(1)x g x a -=+在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ） A. (1,0)- B. (0,1) C. (0,1] D. (1,0)(0,1)-【答案】C 【解析】 【分析】先求出2()2f x x ax =-+的对称轴x a =，则由题意可得1a ≤，而()(1)xg x a -=+=11xa ⎛⎫ ⎪+⎝⎭在[1,2]上为减函数，则有1011a <<+，从而可求出a 的取值范围 【详解】解：因为2()2f x x ax =-+的对称轴为x a =，抛物线开口向下，且在[1,2]上为减函数，所以1a ≤， 因为()(1)xg x a -=+=11xa ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，且在[1,2]上为减函数， 所以1011a <<+，可得0a > 综上(0,1]a ∈， 故选：C二､多项选择题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，再每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 若a b >，则1a b> B. 若22a b c c>，则a b > C. 若0c a b >>>，则a bc a c b>-- D. 若a b >，则33a b >【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断．D 可用函数单调性判断． 【详解】解析：A 项，若0b <时，1ab>显然不成立 B 项，22a b c c>，则a b >正确 C 项，若0c a b >>>，a bc a c b>--可变形为ac ab bc ab ->-，a b >正确D 项，3()f x x =为单调增函数，若a b >，则33a b >正确． 故答案为：BCD ．10. 下列函数中，在各自定义域内既为增函数又为奇函数的是（ ） A. y x = B. 1y x=-C. ||y x x =D. x xxxa a y a a---=+ 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质直接判断AB ，去掉绝对值号变为分段函数判断C ，化简D 可得2211xxa y a -=+，利用奇函数定义判断，利用单调性定义判断为增函数.【详解】A 项，y x =是奇函数，满足()()f x f x =--，且为增函数 B 项，1y x=-图像关于原点对称，是奇函数，单子啊定义域内不是单调增函数 C 项，22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，在定义域内为增函数，且关于原点对称D 项，221()1x x x x xx a a a f x a a a ----==++，221()1x x xx x x a a a f x a a a -----==++ ()()f x f x =--成立，为奇函数.设12x x >()()()()()()()1212121212222222122222111111()1111x x x x x x x x x x a a a a a a f x f x a a a a -+-+----=-=++++ 分子()()()1212212122222211x x x x x x x x aa a a a a ++=-+--+--()12222x x a a =-，当1a >时，分子大于0分母明显大于0，故()()120f x f x ->得证，()f x 为增函数. 故选：ACD【点睛】基本初等函数的奇偶性，单调性根据函数解析式可直接得出结论，复杂的函数一般先化简解析式，然后利用奇偶性、单调性定义判断即可.11. 设函数()21,,,xf x a b c R =-∈，且a b c <<，下列说法正确的是（ ） A. 函数()y f x =有最小值0，无最大值B. 函数()y f x =与直线1y =的图像有两个不同的公共点C. 若()()()f a f c f b >>，则222a c +<D. 若()()f a f b =，则222a b +的取值范围是7,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意画出()f x 图像，由图像可知()f x 的最小值为0，无最大值，且图像与1y =只有一个公共点，从而可对选项A,B 进行判断，a b c <<，且()()()f a f c f b >>可知,,a b c 在图像中如图，()1f a <，且0a <，()1f c <，且0c >，由此可对C 选项进行判断，由图可知()1f a <，()1f b <，且0a <，0b >，从而由()()f a f b =得222a b +=，则2221722222(2)24a b a a a =-+=-++，再由021a <<，可求得其范围【详解】解：由题意画出()f x 图像.A 项，当0x =时，()0f x =，无最大值，所以A 正确B 项，与1y =只有一个公共点，所以B 错误C 项， a b c <<，且()()()f a f c f b >>可知，,,a b c 在图像中如图，()1f a <，且0a <，()1f c <，且0c >，则01c <<，则0()()1f c f a <<<，所以2112c a -<-，所以222a c +<，所以C 正确对于D ，由图可知()1f a <，()1f b <，且0a <，0b >， 则()()f a f b =可写为2121ab-=-，1221a b -=-， 222a b +=，所以222b a =-， 所以2221722222(2)24ab a a a =-+=-++，因为0a <，所以021a <<， 所以22217722(2),2244222a a ab a ⎡⎫=-+=-+∈⎢⎣+⎪⎭所以D 正确， 故选：ACD【点睛】关键点点睛：此题考查指数函数的图像和性质的应用，解题的关键是准确的画出函数的图像，利用数形结合的思想解题，属于中档题12. 已知函数2,1 ()2,1xxfxx xx⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，下列说法正确的是（）A.((0))3f f=B. 函数()y f x=的值域为[2,)+∞C. 函数()y f x=的单调递增区间为[0,)+∞D. 设a R∈，若关于x的不等式()2x f x a≥+在R上恒成立，则a的取值范围是[2,2]-【答案】ABD 【解析】【分析】作出函数()f x的图象，先计算(0)f，然后计算((0))f f，判断A，根据图象判断BC，再作出2x y a=+的图象，它应在()y f x=图象的下方，对()f x的两段分别观察得出a的范围，综合后可得a的范围，从而判断D．【详解】解析：画出函数()f x图像.如图，A项，(0)2f=，((0))(2)3f f f==B项，由图像易知，值域为[2,)+∞C项，有图像易知，[0,)+∞区间内函数不单调D项，2x a +的斜率为12k =则增长速度小于||2x +，即||2a ≤时与左支无交点成立，右支最低点为x =，a +≤2a ≤≤ 综上||2a ≤，即[2,2]a ∈-． 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，用图象解不等式，使得结论的得出形象直观，易于理解．三､填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)13. 不等式121x <-的解集是__________. 【答案】3(,1),2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据分母的正负分类解不等式． 【详解】解：当10x ->即1x >时，121x <-⇒122x <-⇒32x > 当10x -<即1x <时，121x <-⇒122x >-⇒32x < 综上3(,1),2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭． 故答案为：3(,1),2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭． 14. 如图，一个长为5，宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为x 的正方形，则阴影部分面积的最小值为______________.【答案】7 【解析】 【分析】由题可得()2227S x =-+，利用二次函数性质即可求解. 【详解】解析：设阴影部分的面积为S ，其中03x << 则()222(5)(3)2815227S x x x x x x =+--=-+=-+当2x =时，S 有最小值为7. 故答案为：7.15. 已知关于x 的不等式为()()()110ax x a R -+≤∈，若1a =，则该不等式的解集是___________，若该不等式对任意的[]1,1x ∈-均成立，则a 的取值范围是___________. 【答案】 (1). {}11x x -≤≤ (2). []1,1- 【解析】 【分析】当1a =时，结合一元二次不等式的解法即可求解；若不等式对任意的[]1,1x ∈-均成立，则需分类讨论参数a 的大小，进一步确定图像两零点与定区间[]1,1-的关系，进而求解. 【详解】当1a =时，()()110x x -+≤，解得：11x -≤≤. 故解集为{}11x x -≤≤. 令()()11y ax x =-+，[]1,1x ∈-. 当0a =时，1y x =--，为减函数，所以当1x =-时，y 取得最大值0，即0y ≤恒成立.当0a >时，()()11y ax x =-+，如图所示：要满足[]1,1x ∈-，()()110ax x -+≤恒成立，只需满足：00111a a a>⎧⎪⇒<≤⎨≥⎪⎩. 当0a <时，()()11y ax x =-+，如图所示：要满足[]1,1x ∈-，()()110ax x -+≤恒成立，只需满足：1011a a a<⎧⎪⇒-≤<⎨≤-⎪⎩. 综上：11a -≤≤.故答案为：{}11xx -≤≤∣，[]1,1- 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，含参二次不等式在定区间恒成立问题，属于中档题.16. 古希腊数学家希波克拉底曾研究过下面的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .若以AB ，AC 为直径的两个半圆的弧长总长度为2π，则以斜边BC 为直径的半圆面积的最小值为___________.【答案】π 【解析】【分析】先设2,2AB x AC y ==，则BC =再根据题意得2x y +=，故结合不等式22222x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得以斜边BC 为直径的半圆面积()222S x y ππ=+≥.【详解】解：设2,2AB x AC y ==，则BC =故根据以AB ，AC 为直径的两个半圆的弧长总长度为2π得()2x y ππ+=， 故2x y +=，以斜边BC 为直径的半圆面积()222S xy π=+，由于222122x y x y ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以()22222S x y πππ=+≥⨯=，当且仅当1x y ==时等号成立，故答案为：π【点睛】本题考查利用重要不等式22222x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭求最值，考查运算能力，是中档题.四､解答题(本大题共6个小题，共56分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤)17. 设集合{}2230A x x x =+-<，集合{}1B x x a =+<. （1）若3a =，求AB ；（2）设命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}41x x -<<；（2）02a ≤≤. 【解析】 分析】（1）化简集合,A B ，即得解；（2）化简集合,A B ，得到集合B 是集合A 的真子集，解不等式组1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩即得解.【详解】（1）{}{}223031A x x x x x =+-<=-<<. 因为3a =，所以{}{}3142B x x x x =+<=-<<-， 因此{}41A B x x ⋃=-<<；（2）{}31A x x =-<<，{}{}111B x x a x a x a =+<=--<<-， 因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集， 因此有1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩，解得02a ≤≤.【点睛】本题主要考查集合的关系和运算，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，考查必要不充分条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18. （1）已知2x <，求()92f x x x =+-的最大值； （2）已知x 、y 是正实数，且9x y +=，求13x y+的最小值. 【答案】（1）4-；（2【解析】 【分析】（1）根据x 的范围，可得20x ->，原式转化为()()()99222222f x x x x x ⎡⎤=+-+=-+-⎢⎥--⎣⎦，结合基本不等式，即可得结果；（2）根据基本不等式，“1”的妙用，即可求解. 【详解】（1）因为2x <，20x ∴->，()()()9922222422f x x x x x ⎡⎤∴=+-+=-+-≤-=-⎢⎥--⎣⎦， 当且仅当922x x-=-时，即当1x =-时，等号成立， 因此，函数()92f x x x =+-（2x <）的最大值为4-； （2）x 、y 是正实数，且9x y +=，19x y+∴=， 则()131131314449999y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++≥⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当3y x x y =且9x y +=时取等号，此时13x y +取得最小值49+. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查“1”的妙用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 19. 已知函数2()4ax bf x x -=-是定义在(2,2)-上的单调函数，且是奇函数，满足1(1)3f =. （1）求()f x 的解析式并判断()f x 在(2,2)-上的单调性(不需证明)； （2）解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<. 【答案】（1）2()4x f x x =-，()f x 为增函数；（2）112t -<< 【解析】 【分析】（1）由()f x 是(2,2)-上的奇函数，可得(0)0f =，即可求出b ，再结合1(1)3f =，可求出a ，即可得到()f x 的解析式，由(1)(0)f f >，可判断出()f x 为增函数.（2）由()f x 是(2,2)-上的奇函数，可将原不等式转化为(1)()f t f t -<-，结合()f x 在(2,2)-上为增函数，可得到12122222t t t t t -<--<-<-<<-<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解不等式即可.【详解】（1）由()f x 是(2,2)-上的奇函数，则有(0)0f =，即04b-=，得0b =， 将1x =代入，得()114133a b a f -===-，即1a =， 所以2()4xf x x =-， 由(1)(0)f f >，且()f x 是(2,2)-上的单调函数，可判断出()f x 为增函数. （2）由()f x 是(2,2)-上的奇函数，可将原不等式转化为(1)()f t f t -<-，因为()f x 在(2,2)-上为增函数，所以12122222t t t t t -<--<-<-<<-<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得112t -<<.20. 心理学研究表明，学生在课堂上个时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设课上开始x 分钟时，学生的接受能力为()f x (()f x 值越大，表示接受能力越强)，()f x与x 的函数关系为：20.1 2.644,(010)60,(1015)()3105,(1525)30.(2540)x x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪<≤⎩ （1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ （2）试比较开讲后5分钟､20分钟､35分钟，学生的接受能力的大小；（3）若一个数学难题，需要至少56的接受能力(即()56f x ≥)以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直打达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由.【答案】（1）开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟；（2）接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟；（3）不能，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可； （2）比较5分钟、20分钟、35分钟学生的接受能力大小，方法是把5x =代入第一段函数，把20x 代入第二段函数中，把35x =代入第四段函数，比较大小即可；（3）在每段上解不等式()56f x ≥，求出满足条件的x ，从而得到接受能力56及以上的时间，然后与12进行比较即可【详解】解：（1）由题意可知，当010x <≤时，2()0.1(13)60.9f x x =--+ 所以当10x =时，()f x 的最大值为60， 因为当1015x <≤时，()60f x =所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟. （2）(5)54.5f =，(20)45f =，(35)30f = 则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟 （3）当010x <≤，()56f x ≥ 解得610x ≤≤，当1015x <≤时，()6056f x =>，满足要求 当1525x <≤时，310556x -+≥ 解得115163x <≤故111661033-=分钟<12分钟 老师不能再所需接受能力和状态下讲完这个难题.21. 已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()(2)(R)g x f x a a =-∈，[1,1]x ∈-，求()g x 的最大值()h a ，并求()h a 的最小值.【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）221372()133,2a a a h a a a a ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪-+<-⎪⎩，最小值为194. 【解析】 【分析】（1）设二次函数为2()f x mx bx c =++，由(0)1f =，得1c =，再由(1)()2f x f x x +-=得，2()2mx m b x ++=，从而可求出,m b 的值，进而可求得二次函数的解析式；（2）由（1）可得22()4(42)1g x x a x a a =-++++，求得对称轴为214a x +=，由于抛物线开口向上，所以分2104a +≥和2104a +<求函数的最大值即可 ，【详解】解：（1）设二次函数为2()f x mx bx c =++， 因为(0)1f =，所以1c =，所以2()1f x mx bx =++ 由题意：22(1)(1)112m x b x mx bx x ⎡⎤++++---=⎣⎦2()2mx m b x ++=所以022m b m +=⎧⎨=⎩，解得1,1m b ==-，所以2()1f x x x =-+（2）()2()(2)21g x x a x a =---+22()4(42)1g x x a x a a =-++++对称轴为214a x +=，抛物线开口向上 当2104a +≥时，1x =-时，()g x 有最大值2()57h a a a =++ 即12a ≥-时，()h a 最小值为min 119()()24h a h =-= 当2104a +<时，1x =时，()g x 有最大值，2()33h a a a =-+ 即12a <-时，()119()24h a h >-= 综上2max2157,2()()1332a a a g x h a a a a ⎧++≥-⎪⎪==⎨⎪-+<-⎪⎩，min 19()4h a =【点睛】关键点点睛：此题考查待定系数法求函数解析式，考查二次函数的图像与性质的应用，求二次函数最值时，最关键的是讨论抛物线的对称轴与区间中点的位置关系，由于抛物线的开口向上，所以距离对称轴越远函数值越大22. 若定义在R 上的函数()f x 满足：1x ∀，2x ∈R ，都有()()()12121f x x f x f x +=++成立，且当0x >时，()1f x >-.（1）求证：()1f x +为奇函数； （2）求证：()f x 为R 上的增函数；（3）若(1)1f =，且0x ∀≥，0y ∀≥，()22222447f x m xy y m y ⎡⎤-+++≥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）13m ≥或0m ≤. 【解析】 【分析】（1）首先令121,0x x ==求得(0)1f =-，然后令12,x x x x ==-可得奇函数的结论；（2）设12x x >，由121212()(())()()1f x x f x x f x f x -=+-=+-+，再根据奇函数得，然后根据已知不等关系可得证；（3）由函数定义求得(4)7f =，由单调性化简不等式为关于x 的一元二次不等式，由一元二次不等式恒成立，判别式0∆≤可求得m 的范围． 【详解】解：（1）(10)(1)(0)1f f f +=++(0)1f =-(()]()()1f x x f x f x +-=+-+ 1()()1f x f x -=+-+()1(()1)f x f x +=--+可得()1f x +为奇函数（2）设12x x >()()()()12121f x x f x f x +-=+-+ ()()()()12121f x x f x f x -=-+ ()()()12121f x x f x f x -=--()()()12121f x x f x f x -+=+∵12x x > ∴120x x ->当0x >时，()1f x >-，则等式左边大于0 故()()120f x f x ->，增函数得证. （3）(2)(11)(1)(1)13f f f f =+=++=(4)(2)(2)17f f f =++=.故()2222244(4)f x m xy ym yf ⎡⎤-+++≥⎣⎦()f x 为增函数，可得()22222444x m xy y m y -+++≥2222240x ymx my m y --+≥∵0x ≥恒成立 ∴0∆≤()222224440m y my m y --+≤整理得22230m y my -+≤230m m -≤13m ≥或0m ≤．【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的奇偶性与单调性的证明，考查不等式恒成立问题，奇偶性与单调性定义的掌握是解题关键，利用赋值法与奇偶性、单调性结合完成证明，有了单调性，不等式可通过单调性进行化简转化为通常的二次不等式问题完成求解．。

2020-2021学年吉林省长春市某校高三（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题1. 设全集U =R ，集合A ={x|0<x ≤2}，B ={y|1≤y ≤3}，则(∁U A)∪B =( ) A.(2, 3] B.(−∞, 0]∪[1, +∞)C.⌀D.(−∞, 0)∪[1, +∞)2. “(x −1)(x +2)=0”是“x =1”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3. 若复数z =(x 2−1)+(x +1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A.−1 B.0C.1D.−1或14. 意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作——《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A ，C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：AB =6.9cm ，BC =7.1cm ，AC =12.6cm ，根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间( )A.(π6,π4) B.(π4,π3)C.(π3,5π12)D.(5π12,π2)5. 函数y =log 12(−x 2+x)的单调递增区间为( )A.(0,12)B.(12,1)C.(12,+∞)D.(−∞,12)6. 函数f(x)=1+x−cos x在(0,π)上是( )A.减函数B.增函数C.在(0,π2)上单调递增，在(π2,π)上单调递减D.在(0,π2)上单调递减，在(π2,π)上单调递增7. 若函数f(x)=x4，设a=log1514，b=log1513，c=213，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是( )A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(a)>f(b)8. 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设f(2)−f(1)2−1=a，则下列不等式正确的是( )A.f′(1)<f′(2)<aB.a<f′(1)<f′(2)C.f′(2)<f′(1)<aD.f′(1)<a<f′(2)9. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1AB=2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.45B.35C.25D.1510. 若函数y =f (x )的定义域为[−2,2]，则函数g (x )=f (2x )x 2−1的定义域是( ) A.[−1,1) B.(−1,1) C.[−1,1]D.(−1,1]11. 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (−x )=−f (x )，f (3−x )=f (x )，则f (2019)+2020等于( ) A.2018 B.2019 C.2020 D.202112. 已知f ′(x )是定义域为(0,+∞)的函数f (x )的导函数，若xf (x )+ln x =x 2f ′(x )，且f (1)=−2，则( ) A.3f (13)<2f (12)B.4f (3)<3f (4)C.当x =1时，f (x )取得极小值−2D.当x >0时，f (2)+2x ≥0二、填空题幂函数y =f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y =f (x )的定义域是________.函数y =log a (x −2)+2(a >0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________.若曲线y =|2x −1|与直线y =b 有一个公共点，则实数b 的取值范围为________.设P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点，F 是抛物线y 2=4x 的焦点，若B (3,5)，则|PB|+|PF|的最小值为________. 三、解答题已知f (x )=x 3−2x 2+x +6.(1)求曲线y =f (x )在点P (−1,2)处的切线；(2)求(1)的切线与坐标轴围成的三角形的面积．在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为2√77，点Q 的纵坐标为3√314.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(2α−β)的值．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=−f(x)，当x∈[0, 2]时，f(x)=2x−x2．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2, 4]时，求f(x)的解析式.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且F1P⊥F1Q，求直线l的方程．ax2(a∈R)，g(x)=ln x.已知f(x)=12(1)讨论函数F(x)=f(x)−g(x)的单调性；(2)若方程f(x)=g(x)在区间[√2,e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．已知函数f(x)=|1−x|．(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8；(2)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|⋅f(b)．a在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标)=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．方程为ρcos(θ+π3(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．参考答案与试题解析2020-2021学年吉林省长春市某校高三（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题 1.【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】根据已知中全集U =R ，集合A ={x|0<x ≤2}，B ={y|1≤y ≤3}，我们利用补集的运算法则求出C U A 后，再利用并集的运算法则，即可得到答案． 【解答】解：∵ A ={x|0<x ≤2}=(0, 2]， ∴ ∁U A =(−∞, 0]∪(2, +∞). 又B ={y|1≤y ≤3}=[1, 3]，∴ (∁U A)∪B =(−∞, 0]∪(2, +∞)∪[1, 3]=(−∞, 0]∪[1, +∞). 故选B . 2.【答案】 C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由(x −1)(x +2)=0得x =1或x =−2，则“(x −1)(x +2)=0”是“x =1”的必要不充分条件. 故选C . 3. 【答案】 C【考点】复数的基本概念 【解析】由于z 为纯虚数，可得{x 2−1=0x +1≠0，解出即可． 【解答】解：∵ 复数z =(x 2−1)+(x +1)i 是纯虚数， ∴ {x 2−1=0,x +1≠0,解得x =1． 故选C ． 4.B【考点】在实际问题中建立三角函数模型【解析】取AB＝BC≈7，设∠ABC＝2θ．可得sinθ≈6.37=0.9∈(√32,√6+√24)．于是θ∈(π3,3π8)，进而得出结论．【解答】解：取AB=BC≈7，设∠ABC=2θ，则sinθ≈6.37=0.9∈(√32,√6+√24)．∴θ∈(π3,3π8)，2θ∈(2π3,3π4)．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α，则α+2θ=π，∴α∈(π4,π3 )．故选B.5.【答案】B【考点】对数函数的单调区间复合函数的单调性【解析】由于函数y=log12(−x2+x)是由y=log12t，t=−x2+x复合而成故利用复合函数的单调性求解即可．【解答】解：因为函数y=log12(−x2+x)可看成由y=log12t，t=−x2+x复合而成，并且y=log12t在(0,+∞)上单调递减，所以函数y=log12(−x2+x)的单调增区间为t=−x2+x的单调递减区间且t>0，而t=−x2+x的单调递减区间为(12, +∞)，满足t>0的区间为(0, 1)，所以函数y=log12(−x2+x)的单调递增区间为(12, 1).故选B.6.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性求出函数的导数，根据导数恒大于0，可知函数为增函数.【解答】解：∵f(x)=1+x−cos x，∴f′(x)=1+sin x≥0，∴f(x)在(0,π)上单调递增.故选B．7.【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较函数单调性的性质【解析】根据指数函数和对数函数的性质可得b<a<c，结合f(x)=x4是增函数，即可得解f(b)<f(a)<f(c).【解答】解：∵log55=1>a=log1514=log54>b=log1513=log53>0，c=213>20=1，即b<a<c.∵f(x)=x4在(0,+∞)上是增函数，∴f(b)<f(a)<f(c).故选D.8.【答案】D【考点】导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：由图象可知，当x>0时，随着x的增大，y的增长越来越快，故函数图象上点的斜率越来越大.∵f(2)−f(1)2−1=a，∴f′(1)<a<f′(2).故选D.9.【答案】A【考点】余弦定理异面直线及其所成的角【解析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A 1BC 1用余弦定理求解即可． 【解答】解．如图，连接BC 1，A 1C 1，则∠A 1BC 1是异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 设AB =a ，则AA 1=2a ，∴ A 1B =C 1B =√5a ，A 1C 1=√2a ， ∴ cos ∠A 1BC 1=(√5a)2+(√5a)2−(√2a)22⋅(√5a)⋅(√5a)=45.故选A . 10.【答案】 B【考点】函数的定义域及其求法 【解析】直接构造不等式组，解出即可. 【解答】解：由题意得：{−2≤2x ≤2，x 2−1≠0，解得−1<x <1. 故选B . 11.【答案】 C【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质【解析】首先利用抽象函数的关系式，得到周期，再由特殊值求出即可. 【解答】解：∵ f (−x )=−f (x )， ∴ f(x)为奇函数，f(0)=0，又f(3−x)=f(x)，可得f(3+x)=f(−x)=−f(x)， ∴ f(x +6)=−f(x +3)=f(x)， ∴ f (x )是周期为6的函数. 又f (2019)=f (6×336+3)， ∴ f (2019)=f (3)=f (0)=0，∴ f(2019)+2020=2020. 故选C . 12.【答案】 B【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 函数在某点取得极值的条件 利用导数研究函数的单调性 【解析】 构造函数f (x )x，结合已知条件，利用f (x )x的导函数(f (x )x)′求得f (x )x的单调区间，以及极小值，由此判断出正确选项． 【解答】解：因为x >0，xf(x)+ln x =x 2f ′(x)，即xf ′(x)−f(x)=ln x x.令g (x )=f (x )x(x >0) ，则g ′(x)=xf ′(x)−f(x)x 2=ln x x 3.当0<x <1时，g ′(x)<0，g(x)单调递减； 当x >1时，g ′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g (13)>g (12)，g(3)<g(4)， 即f(13)13>f(12)12，f(3)3<f(4)4，即3f (13)>2f (12) ，4f (3)<3f (4)，故A 错误，B 正确；当x =1时，g(x)取得极小值f(1)1=−2，则g ′(1)=f ′(1)−f(1)=0，解得f ′(1)=−2≠0，故x =1不是函数f (x )的极小值点，故C 错误； 当x >0时，f(x)x≥f(1)1=−2，即f(x)+2x ≥0，所以f(2)≥−4，原不等式化为2x −4≥0，在x >0时不一定成立，故D 错误. 故选B .二、填空题【答案】 [0,+∞) 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】首先求出幂函数解析式，即可求出定义域. 【解答】解：设幂函数f (x )=x a ，将点(4,2)代入f (x )=x a ，得2=4a ， 解得a =12，所以f(x)=x 12=√x，所以x≥0，所以幂函数f(x)的定义域为[0,+∞).故答案为：[0,+∞).【答案】(3,2)【考点】对数函数的图象与性质【解析】利用loga1=0求解.【解答】解：由题意，得当x−2=1时，图象恒过定点，解得x=3，代入函数y=loga(x−2)+2，解得y=2，则函数y=loga(x−2)+2的图象恒过定点(3,2).故答案为：(3,2).【答案】{0}∪[1,+∞)【考点】指数函数的图象【解析】作出函数y=|2x−1|与函数y=b的图象，观察图象得出当直线y=b与函数y=|2x−1|的图象有两个交点时，实数b的取值范围．【解答】解：作出函数y=|2x−1|与y=b的图象，如下图所示.由图象可知，若曲线y=|2x−1|与直线y=b有一个公共点，则b的取值范围是{0}∪[1,+∞) .故答案为：{0}∪[1,+∞).【答案】√29【考点】直线与抛物线结合的最值问题【解析】直接作出草图，由图分析，可知当B，P，F共线时，取最小值.【解答】解：如图，由题意，得点B在抛物线外部，F(1,0).∵|PB|+|PF|≥|BF|=√52+22=√29，∴|PB|+|PF|的最小值为√29，此时点B，P，F三点共线. 故答案为：√29.三、解答题【答案】解：(1)∵f(x)=x3−2x2+x+6，∴f′(x)=3x2−4x+1，∴f′(−1)=8，故所求切线方程为y−2=8(x+1)，即8x−y+10=0.(2)令x=0，得y=10；令y=0，得x=−54，∴所求面积S=12×54×10=254.【考点】三角形的面积公式利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）∵f(x)=x3−2x2+x+6，∴f(x)=3x2−4x+1，∴f(−1)=8，故切线方程为y−2=8(x+1)，即8x−y+10=0 .【解答】解：(1)∵f(x)=x3−2x2+x+6，∴f′(x)=3x2−4x+1，∴f′(−1)=8，故所求切线方程为y−2=8(x+1)，即8x−y+10=0.(2)令x=0，得y=10；令y=0，得x=−54，∴所求面积S=12×54×10=254.【答案】解：(1)由题意，可知点P的横坐标为2√77，且点P在单位圆上，又α为锐角，∴cosα=2√77，∴cos2α=2cos2α−1=17.(2)由题意可知，点Q的纵坐标为3√314，且点Q在单位圆上，又β为锐角，∴sinβ=3√314，∴cosβ=√1−sin2β=1314，∴tanβ=sinβcosβ=3√313.由(1)得cosα=2√77，∴sinα=√1−cos2α=√217，∴tanα=sinαcosα=√32，∴tan2α=2tanα1−tan2α=4√3，∴tan(2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2α⋅tanβ=√3.【考点】二倍角的余弦公式二倍角的正切公式两角和与差的正切公式任意角的三角函数同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：(1)由题意，可知点P的横坐标为2√77，且点P在单位圆上，又α为锐角，∴cosα=2√77，∴cos2α=2cos2α−1=17.(2)由题意可知，点Q的纵坐标为3√314，且点Q在单位圆上，又β为锐角，∴sinβ=3√314，∴cosβ=√1−sin2β=1314，∴tanβ=sinβcosβ=3√313.由(1)得cosα=2√77，∴sinα=√1−cos2α=√217，∴tanα=sinαcosα=√32，∴tan2α=2tanα1−tan2α=4√3，∴tan(2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2α⋅tanβ=√3.【答案】(1)证明：∵f(x+2)=−f(x)，∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=−f(x+2)=f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数.(2)解：∵ x∈[2, 4]，∴ −x∈[−4, −2]，∴ 4−x∈[0, 2]，∴ f(4−x)=2(4−x)−(4−x)2=−x2+6x−8.∵ f(4−x)=f(−x)=−f(x)，∴−f(x)=−x2+6x−8，即当x∈[2, 4]时，f(x)=x2−6x+8．【考点】函数的周期性函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）利用函数周期性的定义证明f(x+4)=f(x)．（2）令x∈[−2, 0]，则−x∈[0, 2]，求出f(x)，再根据函数的周期性，求出答案．【解答】(1)证明：∵f(x+2)=−f(x)，∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=−f(x+2)=f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数.(2)解：∵ x∈[2, 4]，∴ −x∈[−4, −2]，∴ 4−x∈[0, 2]，∴ f(4−x)=2(4−x)−(4−x)2=−x2+6x−8.∵ f(4−x)=f(−x)=−f(x)，∴−f(x)=−x2+6x−8，即当x∈[2, 4]时，f(x)=x2−6x+8．【答案】解：(1)如图所示.由题意可知，c=1，即OF1=1，又△F1B1B2是等边三角形，∴∠B1F1B2=60∘，∴∠OF1B1=∠OF1B2=30∘，∴tan30∘=√33=OB1OF1，即√33=b1，解得b=√33.由a2=b2+c2，解得a2=43.故椭圆C的方程为3x 24+3y2=1.(2)由题意可知，b=1，a2=2，∴椭圆方程为x22+y2=1.又直线l过F2(1, 0)，设直线l的方程为y=k(x−1)，则{x22+y2=1，y=k(x−1)，整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，且Δ=8k2+8>0恒成立.设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，∴x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，y1y2=k2(x1−1)(x2−1)=−k21+2k2.∵F1P→⊥F1Q→，∴F1P→⋅F1Q→=0，即(x1+1, y1)⋅(x2+1, y2)=x1x2+x1+x2+1+y1y2=7k2−11+2k2=0，解得k=±√77.∴直线l的方程为y=√77(x−1)或y=−√77(x−1)．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆的标准方程【解析】【解答】解：(1)如图所示.由题意可知，c=1，即OF1=1，又△F1B1B2是等边三角形，∴∠B1F1B2=60∘，∴∠OF1B1=∠OF1B2=30∘，∴tan30∘=√33=OB1OF1，即√33=b1，解得b=√33.由a2=b2+c2，解得a2=43.故椭圆C的方程为3x 24+3y2=1.(2)由题意可知，b=1，a2=2，∴椭圆方程为x22+y2=1.又直线l过F2(1, 0)，设直线l的方程为y=k(x−1)，则{x22+y2=1，y=k(x−1)，整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，且Δ=8k2+8>0恒成立.设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，∴x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，y1y2=k2(x1−1)(x2−1)=−k21+2k2. ∵F1P→⊥F1Q→，∴F1P→⋅F1Q→=0，即(x1+1, y1)⋅(x2+1, y2)=x1x2+x1+x2+1+y1y2=7k2−11+2k2=0，解得k=±√77.∴直线l的方程为y=√77(x−1)或y=−√77(x−1)．【答案】解：(1)F(x)=12ax2−ln x，其定义域为(0,+∞)，所以F′(x)=ax−1x(x>0).①当a>0时，由ax2−1>0，得x>√a ；由ax2−1<0，得0<x<√a，故当a>0时，F(x)在区间(√a +∞)上单调递增；在区间√a)上单调递减；②当a≤0时，F′(x)<0在(0,+∞)上恒成立. 故当a≤0时，F(x)在(0,+∞)上单调递减.综上，若a≤0，F(x)在(0,+∞)上单调递减；若a>0，F(x)在区间√a )上单调递减，在(√a+∞)上单调递增.(2)原条件等价于方程a=2ln xx2在区间[√2,e]上有两个不相等的实数解.令φ(x)=2ln xx2，√2≤x≤e，φ′(x)=2−4ln xx3，由φ′(x)易知，φ(x)在(√2,√e)上为增函数，在(√e,e)上为减函数，则φ(x)max=φ(√e)=1e，而φ(e)=2e2，φ(√2)=ln22.又φ(e)−φ(√2)=2e2−ln22=4−e2ln22e2<ln81−ln272e2<0，所以φ(e)<φ(√2)，所以φ(x)min=φ(e).由图可知，当φ(x)=a有两个不相等的解时，需ln22≤a<1e，即f(x)=g(x)在区间[√2,e]上有两个不相等的解时，a的取值范围为[ln22,1 e ).【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点与方程根的关系【解析】求解函数中某个参数的取值范围.【解答】解：(1)F(x)=12ax2−ln x，其定义域为(0,+∞)，所以F′(x)=ax−1x(x>0).①当a>0时，由ax2−1>0，得x>√a ；由ax2−1<0，得0<x<√a，故当a>0时，F(x)在区间(√a +∞)上单调递增；在区间√a)上单调递减；②当a≤0时，F′(x)<0在(0,+∞)上恒成立. 故当a≤0时，F(x)在(0,+∞)上单调递减.综上，若a≤0，F(x)在(0,+∞)上单调递减；若a>0，F(x)在区间√a )上单调递减，在(√a+∞)上单调递增.(2)原条件等价于方程a=2ln xx2在区间[√2,e]上有两个不相等的实数解.令φ(x)=2ln xx2，√2≤x≤e，φ′(x)=2−4ln xx3，由φ′(x)易知，φ(x)在(√2,√e)上为增函数，在(√e,e)上为减函数，则φ(x)max=φ(√e)=1e，而φ(e)=2e2，φ(√2)=ln22.又φ(e)−φ(√2)=2e2−ln22=4−e2ln22e2<ln81−ln272e2<0，所以φ(e)<φ(√2)，所以φ(x)min=φ(e).由图可知，当φ(x)=a有两个不相等的解时，需ln22≤a<1e，即f(x)=g(x)在区间[√2,e]上有两个不相等的解时，a的取值范围为[ln22,1 e ).【答案】(1)解：由题意，f(x)+f(x+4)≥8，即|1−x|+|x+3|≥8，当x<−3时，则|1−x|+|x+3|=−2x−2≥8，解得x≤−5，则不等式的解集为x≤−5；当−3≤x≤1时，4≥8不成立，则不等式解集为⌀；当x>1时，则|1−x|+|x+3|=2x+2≥8，解得x≥3，则不等式的解集为x≥3.综上所述，不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为(−∞,−5]∪[3,+∞)．(2)证明：由题意，得f(ab)=|1−ab|，f(ba )=|1−ba|.∵a≠0，则要证f(ab)>|a|⋅f(ba)，只需证|1−ab|>|a−b|，只需证(1−ab)2>(a−b)2．∵|a|<1，|b|<1，∴a2<1，b2<1，∴(1−ab)2−(a−b)2=1+a2b2−a2−b2=(a2−1)(b2−1)>0，∴(1−ab)2>(a−b)2成立．故f(ab)>|a|⋅f(ba).【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】【解答】(1)解：由题意，f(x)+f(x+4)≥8，即|1−x|+|x+3|≥8，当x<−3时，则|1−x|+|x+3|=−2x−2≥8，解得x≤−5，则不等式的解集为x≤−5；当−3≤x≤1时，4≥8不成立，则不等式解集为⌀；当x>1时，则|1−x|+|x+3|=2x+2≥8，解得x≥3，则不等式的解集为x≥3.综上所述，不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为(−∞,−5]∪[3,+∞)．(2)证明：由题意，得f(ab)=|1−ab|，f(ba )=|1−ba|.∵a≠0，则要证f(ab)>|a|⋅f(ba)，只需证|1−ab|>|a−b|，只需证(1−ab)2>(a−b)2．∵|a|<1，|b|<1，∴a2<1，b2<1，∴(1−ab)2−(a−b)2=1+a2b2−a2−b2 =(a2−1)(b2−1)>0，∴(1−ab)2>(a−b)2成立．故f (ab )>|a|⋅f (ba ). 【答案】解：(1)由ρcos (θ+π3)=1得ρ(12cos θ−√32sin θ)=1，从而C 的直角坐标方程为12x −√32y =1，即x −√3y =2.又∵ M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点， ∴ M ，N 的直角坐标分别为(2,0)，(0,−2√33)转化为极坐标M (2,0)，N (2√33,3π2). (2)由(1)得M ，N 的直角坐标分别为(2,0)，(0,−2√33)， 所以P 点的直角坐标为(1,−√33)，则P 点的极坐标为(2√33,11π6)， 所以直线OP 的极坐标方程为θ=5π6(ρ∈R ).【考点】点的极坐标和直角坐标的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 中点坐标公式【解析】直接利用互化公式求解即可.利用中点坐标公式求得P 点坐标，并化为极坐标，即可求解. 【解答】解：(1)由ρcos (θ+π3)=1得ρ(12cos θ−√32sin θ)=1，从而C 的直角坐标方程为12x −√32y =1，即x −√3y =2.又∵ M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点， ∴ M ，N 的直角坐标分别为(2,0)，(0,−2√33)转化为极坐标M (2,0)，N (2√33,3π2). (2)由(1)得M ，N 的直角坐标分别为(2,0)，(0,−2√33)， 所以P 点的直角坐标为(1,−√33)，则P 点的极坐标为(2√33,11π6)， 所以直线OP 的极坐标方程为θ=5π6(ρ∈R ).。

2020-2021学年吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校九年级（上）期
中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若关于x的方程mx2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则（）
A．m＞0B．m≥0C．m＝1D．m≠0
2．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知AB＝3，BC＝4，则tan A的值为（）
A．B．C．D．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，配方后的方程是（）
A．（x+4）2＝2B．（x﹣4）2＝2C．（x+4）2＝14D．（x﹣4）2＝14
4．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是（）
A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2
5．（3分）抛物线y＝3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣4）2+2B．y＝3（x﹣4）2﹣2
C．y＝3（x+4）2﹣2D．y＝3（x+4）2+2
6．（3分）甲、乙、丙、丁四支仪仗队队员身高的平均数及方差如表所示：
甲乙丙丁
平均数（cm）177178178179
方差0.7 1.6 1.10.9
则身高较为整齐的仪仗队是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）
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