【2013版新教材】八年级数学浙教版上册【能力培优】1.6 尺规作图(含答案)

浙教版八年级数学上册练习：1.6 尺规作图的三角形．理由是两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．(2)如解图，△A′B′C′就是所求作的三角形．B组(第6题)6．如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以点C为圆心，CA长为半径画弧①；步骤2：以点B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连结AD，交BC的延长线于点H．下列叙述正确的是(A)A．BH垂直平分线段ADB．AC平分∠BADC．S△ABC＝BC·AHD．AB＝AD【解】连结CD，BD．∵CA ＝CD ，BA ＝BD ，BC ＝BC ，∴△ABC ≌△DBC (SSS )，∴∠ABC ＝∠DBC ．在△ABH 与△DBH 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DB ，∠ABH ＝∠DBH ，BH ＝BH ，∴△ABH ≌△DBH (SAS )，∴AH ＝DH ，∠AHB ＝∠DHB ＝90°， ∴BH 垂直平分线段AD ，故A 正确． AC 不一定平分∠BAD ，故B 错误．S △ABC ＝12BC ·AH ，故C 错误． AB 不一定等于AD ，故D 错误．(第7题)7．如图，已知△ABC ，按如下步骤作图： ①以点A 为圆心，AB 长为半径画弧． ②以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，两弧交于点D ．③连结BD ，与AC 交于点E ，连结AD ，CD ．求证：△ABE ≌△ADE ．【解】 在△ABC 与△ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC ．在△ABE 和△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴ABE ≌ADE(SAS)．8．如图，已知△ABC ，AB ＝AC ．(1)作图：在AC 上任取一点D ，延长BD ，并在BD 的延长线上取点E ，使AE ＝AB ，连结AE ，作∠EAC 的平分线AF ，AF 交DE 于点F(要求：尺规作图，保留作图痕迹)．(2)在(1)的条件下，连结CF．求证：∠E＝∠ACF．,(第8题)),(第8题解))【解】(1)如解图所示．(2)在△ACF和△AEF中，∵AE＝AB＝AC，∠EAF＝∠CAF，AF＝AF，∴△ACF≌△AEF(SAS)，∴∠E＝∠ACF．9．如图，已知线段a，b及∠α．求作：△ABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另一边等于b(要求：尺规作图，保留作图痕迹)．,(第9题)),(第9题解))【解】作法如下：(1)作∠MBN＝∠α．(2)在BM上截取线段AB＝b．(3)以点A为圆心，a为半径画弧，交BN于点C1，C2，连结AC1，AC2，则△ABC1和△ABC2即为所求作的三角形(如解图)．数学乐园10．如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)．,(第10题)),(第10题解))【解】如解图所示，P1，P2，P3，P4即为加油站的位置，共有4个符合要求的位置．。

则∠A′O′B′为所求作的角
B D
B` D`
O
A C
O`
C`
A`
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于C点，交OB于D点。
（2）画射线O′A′
（3）以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′点 。
（4）以C′为圆心，DC长为半径画弧，交弧于D′点 。
（5）过D′做射线O′A′
则∠A′O′B′为所求作的角
请选择一种你喜欢的方法画一画. A
B
5厘米
C
本节课你学到了什么?
画一个角等于已知角，画一条线段垂直 平分线。
画一个三角形等于另一个三角形。
一定要记住！！！
还要注意： 1. 过点x、点x作直线；或作直线
xx，射线xx。 2. 连接两点x、x；或连接xx。 3. 在xx上截取xx=xx。 4. 以点x为圆心，xx为半径作圆
四、拓展园1
有 A, B ,C 三农户准备一起挖一口井， 使它到三农户家的距离相等.这口井应挖在 何处？请在图中标出井的位置，并说明理由.
A
C
B
四、拓展园2
在ABC中,BC＝5厘米,AC＝3厘米, AB＝3．5厘米,∠B ＝35°,∠C＝45°,请你选择适当数据,画与△ABC全等的 三角形，说一说你有几种办法呢？
数 学 八年级（上 册） 义务教育教科书 1.6学科网 尺规作图
一、知识园
据说，为了显示谁的逻辑能力更强，古 希腊人限制了几何作图的工具，结果一些普 通的画图题让数学家思索了2000多年。尺 规作图特有的魅力，使无数人沉湎其中。
尺规作图：在几何作图中，我们把用没 有刻度的直尺和圆规作图。
尺：只用来画线 规：只用来画弧
作△ABC，使∠A ＝ ，∠B = AB = a.

动脑筋1：
1:直线l表示一条公路，点A和点B表示两个村
庄。现要在公路上造一个加油站到两个村庄的 距离相等，问加油站应建在何处？请在图上标
. 明这个地点，并说明理由。 B
A.
动脑筋2：
有 A, B ,C 三农户准备一起挖一口井， 使它到三农户家的距离相等.这口井应挖在 何处？请在图中标出井的位置，并说明理由.
C 2、利用尺规不可作的直角三角形是 （
）
A、已知斜边及一条直角边 B、已知两条直角边
C、已知两锐角
D、已知一锐角及一直角边
D 3、以下列线段为边能作三角形的是 （
）
A、2厘米、3厘米、5厘米 B、4厘米、4厘米、9厘米
C、1厘米、2厘米、 3厘米 D、2厘米、3厘米、4厘米
你会画了吗:
一般情况下，
已知线段a，用直尺和圆规作 线段AB, 使AB=a,你能画出它
的中垂线吗?
a
如图， △ABC是等腰三角形，AB=AC，请你用尺规 作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两 个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）
尺规作图，把一个角三等分 只用圆规把一个圆四等分。
已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使 ∠A′O′B′＝∠AOB
A
选择一种你喜欢的方法画一画.
B
35° 45°
5厘米
C
已知：线段a， b， ∠α ，求作：△ABC，
使BC＝ a，AC＝ b， ∠ABC ＝∠α
a
b
E
A
B
AN
a D
C
M
△ABC为所求作的三角形
选一选
D 1、利用尺规不能唯一作出的三角形是（
）
A、已知三边

1．6 尺规作图【知识提要】1．会用直尺和圆规作角平分线和线段的垂直平分线．2．会用直尺和圆规作一个角等于已知角．3．会用直尺和圆规作三角形：已知三边作三角形，•已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其一边作三角形．【学法指导】用圆规和直尺画三角形是尺规作图的重要基础，在日常生活和生产实际中也有较多应用，已知两边及其夹角；已知两角及其一边；已知三边能且只能作一个三角形，这里的“一个三角形”的含义是：当三角形的大小、形状完全相同时无论位置如何，都视作同一个三角形．范例积累【例1】如图，已知线段a，锐角α，画Rt△ABC，使斜边AB=a，∠A=∠α．【分析】已知两个角及一角的对边画三角形．一般要利用三角形的内角和等于180°，先画出第三个角，然后转化为已知两角夹边画三角形．•对于直角三角形，因为其中的一个已知角为直角．通过画垂线就能使画法简化，解决特殊的问题要注意能否用特殊方法来解决．【解】画法：（1）画∠MAN=α；（2）在射线AM上截取AB=a；（3）过B作BC⊥AN，C为垂足，则△ABC就是所求的直角三角形（如图）．【例2】如图，A、B、C 三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所学校，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置P．【分析】分两步：先作到A、B两点等距离的点的图形，再作到B、C两点等距离的点的图形，两图形的交点，就是所求作的点．【解】作法：（1）连结AB，作线段AB的垂直平分线DE．（2）连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点P．则点P即为所求作的学校的位置（如图）．【例3】已知：线段a．求作：△ABC，使∠A=90°，AB=AC，BC=a．【分析】由于等腰直角三角形比较特殊，内角依次为45°，45°，90°，故有多种作法．【解】作法一：（1）作线段BC=a；（2）分别过点B、C作BD、CE垂直于BC；（3）分别作∠DBC、∠ECB的平分线，交于点A，△ABC即为所求（如图1）．(1) (2) (3) (4)作法二：（1）作线段BC=a；（2）作∠MBC=45°；（3）作∠NCB=∠MBC，CN与BM交于A点，△ABC即为所求（如图2）．作法三：（1）作线段BC=a；（2）作∠MBC=45°；（3）过C作CE⊥BM于A，△ABC即为所求（如图3）．作法四：（1）作线段BC=a；（2）作BC的中垂线MN，交BC于O点；（3）在OM上截取OA=OB，连结AB、AC，△ABC即为所求（如图4）．基础训练1．按下列条件不能作出惟一三角形的是（）A．已知两角夹边 B．已知两边夹角C．已知两边及一边的对角 D．已知两角及其一角对边2．已知线段a、b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC上的中线AD=m，•作法的合理顺序为（）①延长CD到B，使BD=CD；②连结AB；③作△ADC，使DC=12a，AC=b，AD=mA．③①② B．①②③ C．②③① D．③②①3．已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A．作一个角等于已知角 B．平分一个已知角C．在射线上截取一线段等于已知线段 D．作一条直线的垂线4．已知线段a、b（a>2b），以a、b为边作等腰三角形，则（）A．只能作以a为底边的等腰三角形 B．只能作以b为底边的等腰三角形C．可以作分别以a、b为底边的等腰三角形 D．不能作符合条件的等腰三角形 5．看图填空：（1）过点________和点_______作直线；（2）延长线段________到_________，且使________=_________．（3）过点_________作直线_______的垂线；（4）作射线_______，使_____平分∠________．6．根据下列要求，判断是否一定能作出图形：①过已知三点作一条直线；②作直线OP的垂直平分线MN；③过点A作线段MN的垂线AB；④过点A作线段MN的垂直平分线；⑤过已知线段外一点作其平行线；⑥作△ABC的边BC的高AD且平分BC；⑦以O为圆心作弧；⑧以O为圆心任意长为半径作弧．能作出图形的是_________，不能作出图形的是__________．7．如图，已知△ABC，求作△A1B1C1，使△ABC≌△A1B1C1．8．已知：线段a、m、h（m>h），求作：一个三角形△ABC，使BC=a，BC边上的高线AH=h，中线AM=m．提高训练9．已知两角α与β和其中一角的对边a．求作：三角形ABC，使∠B=∠α，∠A=β，BC=a．10．如图，在△ABC中找一点P，使P到AB和AC的距离相等，并且到B、C•两点的距离也相等．应用拓展11．已知线段a和c（a<c），画出Rt△ABC，使∠C=Rt∠，BC=a，AB=c．答案:1．C 2．A 3．C 4．B5．（1）A B （2）AC B BC AC （3）M b （4）OC •OC AOB 6．③⑤⑧①②④⑥⑦ 7～11．略。