浙教版八年级下册数学2019年浙教省杭州市几何培优、拔高卷(无答案)

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】第4章平行四边形单元测试（培优压轴卷，八下浙教）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知在▱ABCD中，∠B＋∠D=200°，则∠B的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．60°【答案】A【分析】首先根据平行四边形的性质可得∠B=∠D，再根据∠B+∠D=200°，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠B+∠D=200°，∴∠B=∠D=100°，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握和运用平行四边形的性质是解决本题的关键．2．（2023春·浙江·八年级专题练习）若一个正n边形的内角和为1080°，则它的每个外角度数是（）A．36°B．45°C．72°D．60°【答案】B【分析】根据多边形内角和公式列出方程，求出n的值，即可求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是360°，利用360°除以边数可得外角度数．【详解】解：根据题意，可得(n−2)×180°=1080°，解得n=8，所以，外角的度数为360°÷8=45°．故选：B．【点睛】此题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是根据多边形的内角和公式(n−2)×180°和多边形的外角和为360°进行解答．3．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列命题：∵成中心对称的两个图形不一定全等；∵成中心对称的两个图形一定是全等图形；∵两个全等的图形一定关于某点成中心对称；∵中心对称表示两个图形之间的对称关系，中心对称图形是指某一个图形所具有的对称性质．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】∵成中心对称的两个图形一定全等；∵成中心对称的两个图形一定是全等图形；∵两个全等的图形不一定关于某点成中心对称；∵中心对称表示两个图形之间的对称关系，中心对称图形是指某一个图形所具有的对称性质．【详解】解：∵成中心对称的两个图形一定全等；故∵为假命题；∵成中心对称的两个图形一定是全等图形；故∵为真命题；∵两个全等的图形不一定关于某点成中心对称；故∵为假命题；∵中心对称表示两个图形之间的对称关系，中心对称图形是指某一个图形所具有的对称性质．故∵为真命题；综上：真命题有2个；故选B．【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握成中心对称的两个图形全等，以及中心对称图形的定义，是解题的关键．4．（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不大于90°”时，应假设（）A．四边形中有一个内角小于90°B．四边形中每一个内角都小于90°C．四边形中有一个内角大于90°D．四边形中每一个内角都大于90°【答案】D【分析】在四边形中，至少有一个内角不大于90°的反面是每一个内角都大于90°，据此即可假设．【详解】解：用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不大于90°”时，等于应先假设：四边形中每一个内角都大于90°．故选：D．【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时,要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=70°，将△BMN沿MN翻折，得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为（）A．85°B．80°C．75°D．70°【答案】A【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∵∠BMF=∠A=120°，∠BNF=∠C=70°，∵△BMN沿MN翻折得△FMN，∵∠BMN=12∠BMF=12×120°=60°，∠BNM=12∠BNF=12×70°=35°，在△BMN中，∠B=180°−(∠BMN+∠BNM)=180°−(60°+35°)=180°−95°=85°．∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=120°,∠B=85°,∠C=70°，∵∠D=360°−∠A−∠B−∠C=360°−120°−85°−70°=85°，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC=6，则AF=（）A．3B．2C．43D．94【答案】B【分析】BF的中点H，连接DH，根据三角形中位线定理得到DH=12FC，DH∥AC，证明△AEF≌△DEH(ASA)，根据全等三角形的性质得到，计算即可．【详解】解：取BF的中点H，连接DH，∵BD=DC，BH=HF，∵DH=12FC，DH∥AC，∵∠HDE=∠FAE，在△AEF和△DEH中，{∠AEF=∠DEHAE=DE∠EAF=∠EDH，∵△AEF≌△DEH(ASA)，∵AF=DH，∵AF=12FC，∵AC=6，∵AF=13AC=2，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．7．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，以各边为边分别作三个等边三角形BCF，ABD，ACE，若AB=3，AC=4，BC=5，则下列结论：∵AB⊥AC；∵四边形ADFE是平行四边形；∵∠DFE=150°；∵S四边形ADFE=5，其中正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】由AB2+AC2=BC2，得出∠BAC=90°，则∵正确；由等边三角形的性质得∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAE=150°，由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC(SAS)，得AB= EF=AD=3，得出四边形AEFD是平行四边形，则∵正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则∵正确；∠FDA=180°−∠DFE=30°，过点A作AM⊥DF于点M，S▱AEFD=DF⋅AM=12DF⋅AD=12×4×3=6，则∵不正确；即可得出结果．【详解】解：∵32+42=52，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故∵正确；∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，又∴∠BAC=90°，∴∠DAE=150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC，在△ABC与△DBF中，{BD=BA∠DBF=∠ABCBF=BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC=DF=AE=4，同理可证：△ABC≌△EFC(SAS)，∴AB=EF=AD=3，∴四边形AEFD是平行四边形，故∵正确；∴∠DFE=∠DAE=150°，故∵正确；∴∠FDA=180°−∠DFE=180°−150°=30°，过点A作AM⊥DF于点M，∴S▱AEFD=DF⋅AM=12DF⋅AD=12×4×3=6，故∵不正确；∴正确的个数是3个，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．8．（2023春·浙江·八年级专题练习）平面直角坐标系内有点A(0,0)，B(2,2)，C(6,0)三点，请确定一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则的点D的坐标不可以是（）A．(−4,2)B．(4,−2)C．(8,2)D．(2,−2)【答案】D【分析】结合平行四边形性质，利用点的平移分三种情况即可得到答案即可得到答案．【详解】解：∵平面直角坐标系内有点A(0,0)，B(2,2)，C(6,0)三点，∴连接A(0,0)，B(2,2)，C(6,0)构成△ABC，过△ABC的顶点作其对边平行线，分别交于D1、D2、D3，如图所示：∵在▱ACBD1中，CB∥AD1，∵C(6,0)，B(2,2)，即C(6,0)向左平移4个单位长度、向上平移2个单位长度得到B(2,2)，又A(0,0)，∴由点的平移可得D1(−4,2)；∵在▱CABD2中，AB∥CD2，∵A(0,0)，B(2,2)，即A(0,0)向右平移2个单位长度、向上平移2个单位长度得到B(2,2)，∴由点的平移可得D2(8,2)；∵在▱CBAD3中，BA∥CD3，∵B(2,2)，A(0,0)，即B(2,2)向左平移2个单位长度、向下平移2个单位长度得到A(0,0)，又C(6,0)，∴由点的平移可得D3(4,−2)；综上所述，符合题意的点D1(−4,2)、D2(8,2)或D3(4,−2)三种情况，故选：D．【点睛】本题考查利用点的平移求平行四边形顶点坐标，涉及平行四边形性质及点的平移法则，熟练掌握点的平移法则是解决问题的关键．9．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图），DE与FG交于点P，连结AP，FE．欲求△GEC的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（）A．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG【答案】C【分析】先根据勾股定理得S△ABC=S△AFG+S△BDE，FG∥BC，CG∥PE，则四边形CEPG是平行四边形，再由S四边形ECGP =S△DFP，可以得到S△CEG=12S△DFP．【详解】解：由题意得S△ABC=S△AFG+S△BDE，FG∥BC，CG∥PE，∵四边形CEPG是平行四边形，∵S△CEG=12S四边形ECGP，∵S△ABC=S△AFG+S四边形BFPE +S四边形ECGP，∵S四边形ECGP=S△DFP，∵S△CEG=12S△DFP，【点睛】本题主要考查了以直角三角形三边组成的图形的面积，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够正确理解题意．10．（2023春·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（）A．6B．8C．2√2D．4√2【答案】D【分析】由四边形APCQ是平行四边形，PQ最短也就是PO最短，当OP⊥AB时，PO最短，通过计算即可得解；【详解】解：∵四边形APCQ是平行四边形，∴AO=CO，OP=OQ，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作OP′⊥AB与P′，∵∠BAC=45°，∴∵AP′O是等腰直角三角形，AC=4，∵AO=12AO=2√2，∴OP′=√22∴PQ的最小值=2OP′=4√2，故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题(共0分)11．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）在▱ABCD中，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD，交AD于点E，F，若AD=6，EF=2，则AB的长为______．【答案】4或2##2或4【分析】先证AE=AB，同理，DC=DF，则AE=AB=DC=DE，再分两种情况，分别求出AB的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AD∥BC，AB=DC，∵∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∵∠ABE=∠EBC，∵∠ABE=∠AEB，∵AE=AB，同理，DC=DF，∵AE=AB=DC=DF，分两种情况：∵如图1，则AE+DF=EF+AD，即AB+AB=2+6，解得：AB=4；∵如图2，则AE+EF+DF=AD，即AB+2+AB=6，解得：AB=2；综上所述，AB的长为4或2，故答案为：4或2．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．12．（2023春·八年级单元测试）如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED,∠1,∠2,∠3分别是∠ABC,∠BCD,∠CDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为___________．【答案】180°##180度【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点A、点E为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．【详解】反向延长AB，DC，∵AB∥ED，∵∠4+∠5=180°，根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∵∠1+∠2+∠3=360°−180°=180°．故答案为：180°．【点睛】本题考查了平行线的性质、多边形的外角和定理，理清求解思路是解题的关键．13．（2023春·八年级单元测试）如图，点P是平行四边形ABCD内一点，△PAB的面积为5，△PAD的面积为3，则△PAC的面积为_______．14．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE 向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为__．【答案】7【分析】由平行四边形可得对边相等，可得EF=AE，BF=AB，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得FC的长．【详解】解：由折叠可得，EF=AE，BF=AB．∵△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，∴DF+AD=8，FC+CB+AB=22．∴平行四边形ABCD的周长=8+22=30，∴AB+BC=BF+BC=15∵△FCB的周长为FC+CB+BF=22∴CF=22−15=7．故填：7．【点睛】本题考查轴对称和平行四边形的性质，熟练掌握轴对称图形沿某直线翻折后能够相互重合、及平行四边形对边平行且相等的性质是解此题的关键．15．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，若AB=14，AC=19，则MN的长为_____．【答案】2.5【分析】延长BN交AC于点D，易得△ABN≌△ADN，利用全等三角形的性质可得AD=AB=14，N是BD的中点，则可得MN是△BCD的中位线，从而可求出MN的长．【详解】如图，延长BN交AC于点D．∵BN⊥AN，AN平分∠BAC，∵∠ANB=∠AND=90°，∠NAB=∠NAD．又∵AN=AN，∵△ABN≌△ADN，∵AD=AB=14，BN=DN，∵N是BD的中点．∵M是BC的中点，∵MN是△BCD的中位线，∵MN=12CD=12(AC−CD)=12×(19−14)=2.5．故答案是：2.5．【点睛】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线．16．（2023春·浙江·八年级专题练习）图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛宽度．(1)当∠CAB=∠DBA=60°时，双门间隙CD与门槛宽度AB的比值为____________．(2)若双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离AB都为1尺(1尺=10寸)，则门槛宽度AB是____________寸．【答案】12101【分析】（1）如图所示，延长AC,BD交于点E，则△ABE是等边三角形，进而证明CD是△ABE的中位线，即可求解；（2）取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，建立方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）如图所示，延长AC,BD交于点E，∵∠CAB=∠DBA=60°，∵△ABE是等边三角形，∵AC=BD，AC+BD=AB，∵AC=12AE,BD=12BE，∵CD是△ABE的中位线，∵CD=12AB,故答案为：12；（2）取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图所示：由题意得：OA=OB=AD=BC，设OA=OB=AD=BC=r寸，则AB=2r(寸)，DE=10(寸)，OE=12CD=1(寸)，AE=(r−1)寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即(r−1)2+102=r2，解得：r=50.5，∴2r=101(寸)，∴AB=101寸，故答案为：101．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，中位线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．三、解答题17．（2023春·八年级单元测试）如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：(1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据轴对称图形的定义去添加；（2）根据中心对称图形的定义添加．【详解】（1）选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如下图：（2）选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，如下图：【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键．18．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠BAC=90°，D，E分别为AB，BC的中点，BC=10,AC= 6，点F在CA的延长线上，∠FDA=∠B．(1)求AE的长；(2)求四边形AEDF的周长．【答案】(1)5(2)16【分析】（1）直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；（2）根据中位线及直角三角形斜边上的中线的性质易证得四边形AFDE为平行四边形，对边相等，进而可得到DE，AF，AE，DF的长，即可得到结果．【详解】（1）解：∵∠BAC=90°，E为BC的中点，BC=10，BC=BE=5；∵AE=12（2）∵D，E分别为AB，BC的中点，AC=3，∵DE∥AC，DE=12由（1）知，AE=BE，∵∠B=∠EAD，∵∠FDA=∠B，∵∠FDA=∠EAD，∵AE∥DF∵四边形AFDE为平行四边形，∵DE=AF=3，AE=DF=5，所以四边形AEDF的周长=5+3+5+3=16．【点睛】本题考查了三角形中位线的定理，直角三角形斜边上的中线，平行四边形的判定及性质，解题的关键是找到角之间的关系和边长之间的关系．19．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（OA=3米），向右转24°，再前进3米后到达点B（AB=OA=3米），又向右转24°，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O 处．根据以上信息，解答下列问题：(1)n的值为____________．(2)小明走出的这n边形的周长为____________米．(3)若一个正m边形的内角和比外角和多720°，求这个正m边形的每一个内角的度数．【答案】(1)15(2)45(3)135°【分析】（1）根据多边形的外角和等于360°，即可求解；（2）用多边形的边数乘以OA的长，即可求解；（3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：n=360°÷24°=15．故答案为：15（2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形，∵这n边形的周长为15OA=15×3=45（米）；故答案为：45（3）解：根据题意，得(m−2)×180°=720°+360°，解得m=8，∵这个正m边形的每一个内角的度数为1080°8=135°．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键．20．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．(1)求证：AE⊥BF；(2)若EF=14AD=3．则AB=．【答案】(1)证明见解析(2)21【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得∠DAB+∠CBA=180°，由AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，可得∠MAB+∠MBA=12∠DAB+12∠ABC=90°，由三角形内角和定理，可得∠AMB=180°−(∠MAB+∠MBA)=90°，进而结论得证；（2）由平行四边形的性质可知，CD∥AB，AD=BC，AB=CD，则∠DEA=∠EAB，由AE分别平分∠DAB，可得∠DAE=∠EAB，即∠DEA=∠DAE，DE=AD，同理CF=BC，由EF=14AD=3，可得DE=BC=CF= AD=12，根据AB=CD=DE+CE=DE+CF−EF计算求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB+∠CBA=180°，∵AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，∵∠MAB+∠MBA=12∠DAB+12∠ABC=90°，∵∠AMB=180°−(∠MAB+∠MBA)=90°，∵AE⊥BF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∵CD∥AB，AD=BC，AB=CD，∵∠DEA=∠EAB，∵AE分别平分∠DAB，∵∠DAE=∠EAB，∵∠DEA=∠DAE，∵DE=AD，同理CF=BC，AD=3，∵EF=14∵DE=BC=CF=AD=12，∵AB=CD=DE+CE=DE+CF−EF=12+12−3=21，故答案为：21．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．21．（2021春·浙江·八年级期末）如图1，四边形ABCD由等边三角形ABC和等腰直角三角形ACD组成，∠D= Rt∠．（1）如图2，过D作DE//AC，交直线AB于点E，连结CE，请说明△BCE与四边形ABCD的面积相等，并求当AB=6时△BCE的面积；（2）如图3，连结BD，过C作CC′//BD，D作DC′//AB，交于点C′，连结BC′∵求∠CC′D的度数；∵求证：四边形ABC′D是平行四边形．∵∠CC′D=30°；∵见详解．【分析】（1）过点A作AF∵DE于点F，过点C作CH∵AB于点H，由题意易得∠DEA=∠CAB=60°,∠EDA=∵S△BCE=S四边形；ABCD∵AB=6，∵x=3，×6×3√3=9+9√3；∵S△BCE=32+12（2）∵∵AD=CD,AB=BC，∵根据折叠的性质可得BD垂直平分AC，∵∠ADB=∠CDB=∠DCA=45°，∵∠DAB=∠DAC+∠CAB=105°，且DC′//AB，∵∠DAB+∠ADC′=180°，即∠ADC′=75°，∵∠BDC′=∠ADC′−∠ADB=30°，∵CC′//BD，∵∠DC′C=∠BDC′=30°；∵设DC′与BC交于点M，如图所示：由∵可得∠ABD=∠DBC=∠BDC′=30°，∵DM=BM，∵DC′//AB，∵∠ABC=∠DMC=60°，∵∠BCC′=∠DMC−∠CC′D=30°=∠DC′C，∵MC′=MC，∵DC′=DM+MC′=BM+MC=BC，∵DC′=BC=AB，∵DC′//AB，∵四边形ABC′D是平行四边形．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、折叠的性质、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定、折叠的性质、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键．22．（2023春·浙江·八年级专题练习）类比和转化是数学中重要的思想方法，阅读下面的材料，并解答问题：（1）从数学课本中我们已经学习了利用平行四边形的定义和三个定理来判断一个四边形是平行四边形的方法，他们分别是：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定理3：____________________．请将定理3补充完整；（2）周老师所在的班级成立了数学兴趣小组，他们在周老师的指导下对平行四边形的判定进行进一步的研究．他们发现：平行四边形的判定都需要两个条件，除上述4个已经被证明过的判定方法外，还有很多由两个条件组成的关于平行四边形判定的命题，他们对这些命题展开了研究．数学爱好者小赵发现“一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形”是一个真命题．请你完成证明：已知：________________，求证：_________________．（3）小珊和小红研究后发现还有一些是假命题，并且能够通过举反例说明．请你写出一个假命题，并举反例说明．（用符号或者文字简要说明你构图的方法）假命题：__________________反例：（4）数学课代表小明想到了一个命题：一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．为此他和小晨同学讨论了起来．他们一致认为，首先要明确是哪一组对角和哪一条对角线平分了另外一条对角线，所以需要分情况考虑．聪明的同学们，你们能把这个问题研究一下吗？请在答题卡上写上你的研究成果（要求有必要的图形和文字说明）．【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可解答；（2）首先由已知条件及全等三角形判定，可得△ABO ≅△CDO ，AB =CD ，然后根据平行四边形的判定可证四边形ABCD 是平行四边形即可；（3）根据已知条件及平行四边形的判定即可得到答案；（4）根据已知条件分情况讨论证明即可．【详解】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）已知：在四边形ABCD 中，AB//CD ，对角线AC 和BD 交于点O ，AO =CO ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AB//CD ，∵∠ABO =∠CDO ，∠BAO =∠DCO ，在△ABO 和△CDO 中，{∠ABO =∠CDO∠BAO =∠DCO AO =CO，∵△ABO ∵△CDO （AAS ），∵AB =CD ．又∵AB//CD ，∵四边形ABCD 是平行四边形．（3）（答案不唯一）假命题：一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形．反例：反例如图所示．四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，BC=AD，四边形ABCD满足一组对边平行，一组对边相等，但它不是平行四边形．（4）分两种情况∵已知∠ABC=∠ADC，且BO=DO，四边形ABCD满足一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线，但它不是平行四边形．∵已知∠ABC=∠ADC，且AO=CO，反证法：假设四边形ABCD不是平行四边形，则BO≠DO，故可以在射线BD上取和D不重合的点D′，使得D′O=BO，∵AO=CO且D′O=BO，∵四边形ABCD′是平行四边形，∵∠ABC=∠AD′C，∵∠ABC=∠ADC，∵∠ADC=∠AD′C，但D和D′不重合，矛盾，假设不成立，∵四边形ABCD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、真假命题、反证法，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．23．（2023春·八年级校考单元测试）如图，在直角坐标系中，▱OABC的边OA=18,OC=8√2,∠AOC=45°，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒√2个单位的速度从点O向点C运动，设运动时间为t．(1)求点C，B的坐标；(2)当t为何值时，△APQ的面积时▱OABC的面积的3；8(3)当t为何值时，AP⊥CB，此时，在坐标平面上是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】(1)点C坐标为(8，8)，点B坐标为(26，8)(2)t=3或t=6时，△APQ的面积时▱OABC的面积的3；8(3)点M的坐标为(5，13)或(5，−3)或(31，3)【分析】（1）过点C作CD⊥OA，垂足为D，由勾股定理求出OD=CD=8，由平行四边形的性质可得出答案；（2）过点Q作QE⊥x轴于点E，交BC的延长线于点F，根据行程问题中速度、时间与距离之间的关系，用含−S△OAQ−S△CPQ−S△APB，将△APQ t的代数式表示线段EQ、FQ、PC、PB的长，再由S△APQ=S平行四边形OABC的面积用含t的代数式表示并进行整理，即得到y关于t的关系式；（3）当AP⊥CB时，则PA=PB=8，可求出此时t的值，再求出OE、QE的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以AP、AQ、PQ为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可．【详解】（1）解：如图1，过点C作CD⊥OA，垂足为D，∵∠AOC=45°，∴△OCD为等腰直角三角形，在△OCD中，OD2+CD2=OC2，∵OC=8√2，∴OD=CD=√(8√2)2÷2=8，∴点C坐标为(8，8)，∵OA=18，即点A坐标为(18，0)，∵四边形OABC为平行四边形，∴点B坐标为(26，8)；（2）如图2，过点Q作QE⊥x轴于点E，交BC的延长线于点F，则EF=4，∵∠OEQ=90°，∠AOC=45°，∴∠EOQ=∠EQO=45°，∴OE=QE，∵OE2+QE2=OQ2，OQ=√2t，∴2QE2=(√2t)2，∴OE=QE=t，∴QF=8−t，∵S△APQ=S平行四边形OABC−S△OAQ−S△CPQ−S△APB，CP=2t，BP=18−2t，△APQ的面积时▱OABC的面积的38；∵3 8×18×8=18×8−12×18t−12×2t(8−t)−12×8(18−2t)解得：t=3或t=6∵t=3或t=6时，△APQ的面积时▱OABC的面积的38；（3）如图3，当AP⊥CB时，则PA=8，∠OAP=∠APB=90°，∵∠ABC=∠AOC=45°，∴∠PBA=∠PAB=45°，∴PB=PA=8，∴2t=18−8，解得，t=5，当平行四边形APQM1以AQ为对角线，设QM1交x轴于点E，∵QM1∥PA，∴∠OEQ=∠OAP=90°，∴OE=QE=t=1×5=5，∵QM1=PA=8，∴EM1=8−5=3，∴M1(5，−3)；当平行四边形PAQM2以PQ为对角线，则QM2∥PA，QM2=PA=8，∴EM2=8+5=13，∴M2(5，13)；当平行四边形AQPM3以AP为对角线，作M3G⊥CB交CB的延长线于点G，∵PM3∥AQ，∴∠APM3=∠PAQ，∴∠APB−∠APM3=∠OAP−∠PAQ，∴∠GPM3=∠EAQ，∵∠G=∠AEQ=90°，PM3=AQ，∴△PGM3≌△AEQ(AAS)，∴PG=AE=18−5=13，GM3=QE=5，∴x G=18+13=31，∴M3(31，3)，综上所述，点M的坐标为(5，13)或(5，−3)或(31，3)．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．。

浙教版2019八年级数学下册期末模拟测试卷（培优附答案详解）1．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是（ ）边形A ．8B ．7C ．6D ．52．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C 的方向平移到△DEF 的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）A ．42 B ．96 C ．84 D ．483．在菱形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD 的面积是（ ）A ．12 B ．16 C ．24 D ．324．如图，菱形ABCD 的周长为8, 120ABC ∠=︒,则AC 的长为（ ）．A ．B ．2CD ．15．已知正比例函数y ＝(1－m)x 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且当x 1＞x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是( )A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＜1D ．m ＞16．在端午节到来之前，学校食堂推荐了A 、B 、C 三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下面统计量中最值得关注的是( ) A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．方差7．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是A ．测量对角线是否平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量其中三个角是否是直角D ．测量对角线是否相等8．在一次小型会议上，参加会议的代表每人握手一次，共握手36次，则参加这次会议的人数是（ ）A ．12人B ．18人C ．9人D ．10人9．点（﹣2，3）在函数图象上，则下列点中，不在该函数图象上的是（ ）A ．（﹣6，1）B ．（，﹣4）C ．（3，2）D ．（1，﹣6）10．已知函数与函数满足，则在同一坐标系中，它们的图象（ ）A ．只有一个交点 B ．有两个交点 C ．没有交点 D ．无法确定11．如图，长方形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝10cm ，按如图所示方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则三角形DEF 的面积为_____cm 2．12．如果，那么x的取值范围是___________．13．把中根号外的（a﹣1）移入根号内得_____．14．关于的一元二次方程的两根中有一个等于，则________．15．在一次捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额单位：元如下表所示：这8名同学捐款的平均金额为______元16．如图，菱形ABCD的对角线AC＝24，BD＝10，则菱形的周长＝________．17．两边长分别为5，12的直角三角形，其斜边上的中线长为___________________. 18．18．如果一个直角三角形的面积为8，其中一条直角边为，求它的另一条直角边。

菱形复习课前测：1．如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF交边CD于点M，且直线EF恰好经过点A；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（）A．∠ABC＝60°B．BC＝2CMC．S△ABM＝2S△ADM D．如果AB＝2，那么BM＝4【分析】如图，连接AC，证明△ABC，△ACD都是等边三角形即可解决问题．【解答】解：如图，连接AC．由作图可知，EF存在平分线段CD，∴AC＝BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC＝AC，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠ABC＝60°，故A正确，∵BC＝CD＝2CM，故B正确，∵AB＝CD＝2DM，AB∥CD，∴AB＝2DM，∴S△ABM＝2S△ADM，故C正确，故选：D．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．（2020春•内江期末）下列性质中，菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．邻角相等D．邻边相等【分析】根据平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分；菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角进行解答即可．【解析】菱形具备但平行四边形不一定具有的是邻边相等，故选：D．3．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为．【分析】连接BE，BD，证明△BCD是等边三角形，证得∠ABE＝∠CEB＝90°，由折叠可得AF＝EF，由EF2＝BE2+BF2可求出答案．【解答】解：如图，连接BE，BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴AB＝3＝BC＝CD，∠A＝60°＝∠C，∴△BCD是等边三角形，∵E是CD中点，∴DE＝＝CE，BE⊥CD，∠EBC＝30°，∴BE＝CE＝，∵CD∥AB，∴∠ABE＝∠CEB＝90°，由折叠可得AF＝EF，∵EF2＝BE2+BF2，∴EF2＝+（3﹣EF）2，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．【菱形性质和判定】例1：．在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连接EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（）A．2B．2C．3D．【分析】连接FG，利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质得出AF＝1，进而利用直角三角形的判定和边长关系解答即可．【解】解：连接FG，∵菱形ABCD，∠ADC＝120°，∴∠A＝60°，∠ABC＝120°，∵点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，∴AE＝AF，BF＝BG，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，∵BF＝BG，∴△BFG是等腰三角形，∴∠GFB＝，∴∠EFG＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵BF＝4﹣1＝3，∴FG＝2×，∴EG＝，故选：B．【点评】此题考查菱形的性质，关键是利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质得出AF解答．2.．如图，菱形纸片ABCD的边长为2，∠BAC＝60°，翻折∠B，∠D，使点B、D两点重合在对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕．设AE＝x（0＜x＜2）．（1）证明：AG＝BE；（2）当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值是否会发生改变，请说明理由；（3）当0＜x＜2时，六边形AEFCHG的面积可能等于吗？如果能，求此时x的值；如果不能，请说明理由．【分析】（1）由折叠的性质得到BE＝EP，BF＝PF，得到BE＝BF，根据菱形的性质得到AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD，于是得到结论；（2）由菱形的性质得到BE＝BF，AE＝FC，推出△ABC是等边三角形，求得∠B＝∠D ＝60°，得到∠B＝∠D＝60°，于是得到结论；（3）记AC与BD交于点O，得到∠ABD＝30°，解直角三角形得到AO＝1，BO＝，求得S四边形ABCD＝2，当六边形AEFCHG的面积等于时，得到S△BEF+S△DGH＝2﹣＝，设GH与BD交于点M，求得GM＝x，根据三角形的面积列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵翻折∠B，∠D，使点BD两点重合在对角线BD上一点P，∴BE＝EP，BF＝PF，∵BD平分∠ABC，∴BE＝BF，∴四边形BFPE是菱形，同理，四边形DGPH是菱形，∴AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD，∴四边形AEPG为平行四边形，∴AG＝EP＝BE；（2）不变，∵AG＝BE，四边形BEPF是菱形，∴BE＝BF，AE＝FC，∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠D＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠D＝60°，∴EF＝BE，GH＝DG，∴六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+GH+AG＝3AB＝6，故六边形AEFCHG周长的值不变；（3）能，理由：记AC与BD交于点O，∵AB＝2，∠BAC＝60°，∴∠ABD＝30°，∴AO＝1，BO＝，∴S△ABC＝2×＝，∴S四边形ABCD＝2，当六边形AEFCHG的面积等于时，S△BEF+S△DGH＝2﹣＝，∵BE＝AG，∴AE＝DG，∵DG＝x，∴BE＝2﹣x，设GH与BD交于点M，∴GM＝x，∴S△DGH＝x2，同理S△EFB＝（2﹣x）2＝x+x2，即x2+x2﹣x+＝，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，即当x＝1﹣或x＝1+时，六边形AEFCHG的面积可能等于．【点评】此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解本题的关键是用x表示出相关的线段，是一道基础题目．练习：1．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8，最小值为8，则菱形ABCD的边长为（）A．4B．10C．12D．16【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH＝8，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC，∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC＝8，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8，∵S菱形ABCD＝AD×8＝AB×CH，∴CH＝8，∴AH＝＝＝16，∵BC2＝CH2+BH2，∴BC2＝（16﹣BC）2+64，∴BC＝10，故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．2．如图，菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝60°，点E，F分别是AB，BC边上的动点（不与点A，B，C重合），且BE＝BF，若EG∥BC，FG∥AB，EG与FG相交于点G，当△ADG为等腰三角形时，BE的长为4﹣或．【分析】连接AC交BD于O，由菱形的性质可得AB＝BC＝4，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，可证四边形BEGF是菱形，可得∠ABG＝30°，可得点B，点G，点D三点共线，由直角三角形性质可求BD＝4，AC＝4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【解答】解：如图，连接AC交BD于O，∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝4，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，∵EG∥BC，FG∥AB，∴四边形BEGF是平行四边形，又∵BE＝BF，∴四边形BEGF是菱形，∴∠ABG＝30°，∴点B，点G，点D三点共线，∵AC⊥BD，∠ABD＝30°，∴AO＝AB＝2，BO＝AO＝2，∴BD＝4，AC＝4，同理可求BG＝BE，若AD＝DG'＝4时，∴BG'＝BD﹣DG'＝4﹣4，∴BE'＝4﹣，若AG''＝G''D时，过点G''作G''H⊥AD于H，∴AH＝HD＝2，∵∠ADB＝30°，G''H⊥AD，∴HG''＝，DG''＝2HG''＝，∴BG''＝BD﹣DG''＝，∴BE''＝，综上所述：BE为4﹣或．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．3．已知，如图1，四边形ABCD是一张菱形纸片，其中∠A＝45°，把点A与点C分别折向点D，折痕分别为EG和FH，两条折痕的延长线交于点O．（1）请在图2中将图形补充完整．（2）求∠EOF的度数．（3）判断四边形DGOH也是菱形吗？请说明理由．【分析】（1）依照题意画出图形；（2）由菱形的性质可得AD＝CD，∠A＝∠C＝45°，∠ADC＝135°，由折叠的性质可得AE＝DE＝AD，GE⊥AD，∠A＝∠GDA＝45°，DF＝FC＝CD，HF⊥CD，∠C ＝∠CDH＝45°，由四边形的内角和定理可求解；（3）由题意可证GE∥DH，GD∥HF，可证四边形DGOH是平行四边形，由“ASA”可证△DEG≌△DFH，可得DG＝DH，即可证四边形DGOH是菱形．【解答】解：（1）如图所示：（2）延长EG，FH交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝45°，∴AD＝CD，∠A＝∠C＝45°，∠ADC＝135°，∵把△AEG翻折，使得点A与点D重合，折痕为EG；把△CFH翻折，使得点C与点D 重合，折痕为FH，∴AE＝DE＝AD，GE⊥AD，∠A＝∠GDA＝45°，DF＝FC＝CD，HF⊥CD，∠C＝∠CDH＝45°，∵∠EOF+∠OED+∠OFD+∠ADC＝360°，∴∠EOF＝360°﹣90°﹣90°﹣135°＝45°；（3）∵∠ADC＝135°，∠ADG＝∠CDH＝45°，∴∠GDC＝∠ADH＝90°，且GE⊥AD，HF⊥CD，∴GE∥DH，GD∥HF，∴四边形DGOH是平行四边形，∵AE＝DE＝AD，DF＝FC＝CD，AD＝CD，∴DE＝DF，且∠ADG＝∠CDH＝45°，∠DEG＝∠DFH＝90°，∴△DEG≌△DFH（ASA）∴DG＝DH，∴四边形DGOH是菱形．【点评】本题考查了翻折变换，菱形的判定和性质，全等三角形的性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长中线AD到点E，作∠AEF＝45°，点P从点E开始沿射线EF方向以cm/秒的速度运动，设运动时间为t秒（0＜t＜6）．过点P作PQ⊥AE，垂足是点Q，连接BQ，CQ．若BC＝4cm，DE＝6cm，且当t＝2时，四边形ABQC 是菱形．（1）求AB的长．（2）若四边形ABQC的一条对角线等于其中一边，求t的值．【分析】（1）根据题意，可以求得DQ和CD的长，从而可以得到CQ的长，再根据四边形ABQC是菱形，从而可以得到AB的长；（2）根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得t的值，注意t的取值范围．【解答】解：（1）当t＝2时，EQ＝×2×sin45°＝2，∵DE＝6，∴DQ＝4，∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD垂直平分BC，∴∠CDQ＝90°，∵BC＝4，∴CD＝2，∴CQ＝2，∵当t＝2时，四边形ABQC是菱形，∴AB＝CQ＝2，即AB的长是2cm；（2）当BC＝CQ时，∵BC＝4，∴CQ＝4，∵CD＝2，∠CDQ＝90°，∴DQ＝＝2，∴EQ＝DE﹣DQ＝6﹣2，∵EQ＝t×sin45°，解得，t＝（6﹣2）；当AB＝AQ时，则AQ＝2，∵AB＝2，BD＝2，∠ADB＝90°，∴AD＝4，∴DQ＝AQ﹣AD＝2﹣4，∴EQ＝DE﹣DQ═6﹣（2﹣4）＝10﹣2，∵EQ＝t×sin45°，解得，t＝10﹣2；当AB＝BC时，不成立；当CQ＝AQ时，∵CQ＝＝，AQ＝AD+DQ＝4+（6﹣t）＝10﹣t，∴＝10﹣t，解得，t＝7.5（舍去），综上所述，t的值是6﹣2或10﹣2．【点评】本题考查菱形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE⊥AB，连接CE．（1）求证：∠ECB＝90°；（2）若AE═ED＝1时，求菱形的边长．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，由“SAS”可证△ABE≌△CBE，可得结论；（2）连接AC交BD于H，由菱形的性质可得AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，利用直角三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵AE⊥BA，∴∠BAE＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BAE＝∠BCE＝90°；（2）如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∴∠ABD＝∠ADB，∵AE═ED＝1，∴∠DAE＝∠EDA，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，∴BE＝2AE＝2，∴BD＝BE+DE＝3，∴BH＝DH＝，∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，∴AB＝2AH，BH＝AH，∴AH＝，AB＝2AH＝，∴菱形的边长为．方法二，同理可求∠ABE＝30°，∴BE＝2AE＝2，∴AB＝＝．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．【正方形性质和判定】课前练习1．（2020•台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．【解析】对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B，C，D错误，故选：A．2．（2020春•阿城区期末）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断．【解析】正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．故选：B．例1：．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形的边长是（）A．B．+1C．+D．【分析】由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△ADF，可得∠BAE＝∠DAF＝15°，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，由直角三角形的性质可得HE＝2BE＝AH，BH＝BE，由勾股定理可求解．【解答】解：∵△AEF是边长为2的等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，∴∠BAE+∠DAF＝30°，∵AB＝AD，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠BAE＝∠DAF＝15°，如图，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，∴∠BHE＝30°，AH＝HE，∴HE＝2BE＝AH，BH＝BE，∴AB＝（2+）BE，∵AE2＝BE2+AB2，∴4＝BE2+（2+）2×BE2，∴BE＝（﹣1）＝，∴AB＝（2+）BE＝，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，练习：1．如图，正方形ABCD的边长为6，E是边AB的中点，F是边AD上的一个动点，EF＝GF，且∠EFG＝90°，则GB+GC的最小值为3．【分析】如图，取AD的中点M，连接GM，延长MG交BC的延长线于J，在AB上截取AN，使得AN＝AF，连接FN．作点C关于GJ的对称点K，连接GK，BK．利用勾股定理求出BK的值即可解决问题．【解答】解：如图，取AD的中点M，连接GM，延长MG交BC的延长线于J，在AB 上截取AN，使得AN＝AF，连接FN．作点C关于GJ的对称点K，连接GK，BK．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵AM＝MD．AE＝EB，∴AM＝AE，∵AF＝AN，∴FM＝NE，∵∠A＝∠GFE＝90°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∠AFE+∠GFM＝90°，∴∠GFM＝∠FEN，∵FG＝FE，∴△FGM≌△EFN（SAS），∴∠GMF＝∠ENF，∵∠ANF＝∠AFN＝45°，∴∠GMF＝∠FNE＝135°，∴∠DMG＝45°，设MJ交CD于R，∵∠D＝∠JCR＝90°，∴∠DMR＝∠DRM＝∠CRJ＝∠CJR＝45°，∴DM＝DR＝CR＝CJ＝3，∵C，K关于MJ对称，∴KJ＝CJ＝2，∠MJK＝∠MJC＝45°，GC＝GK，∴∠KJB＝90°，∴BK＝＝＝3，∵GC+GB＝GK+GB≥BK，∴GC+GB≥3，∴GC+GB的最小值为3．故答案为3．【点评】本题考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．2．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为17；（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为6．【分析】（1）利用勾股定理求出EC2即可解决问题．（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，根据S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF 根据函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，∵BE＝5，∴AE＝＝＝3，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17．故答案为17．（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，∵＞0，∴x＝2时，△DFG的面积的最小值为6．故答案为6．【点评】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．3．如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD 于点G，GF⊥AE交BC于点F．（1）求证：AG＝FG．（2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长．（3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．【分析】（1）由“SAS”可证△ABG≌△CBG，可得AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，由四边形内角和定理可证∠BCG＝∠GFC，可得GC＝GF＝AG；（2）过点G作GH⊥BC于H，利用勾股定理可求GH的长，即可求解；（3）在AB上截取BF＝BN，连接NF，由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△ADE，可得∠BAF ＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，可得FC＝BF，即可求解．【解答】证明：（1）连接GC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，又∵BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，∵∠ABC+∠BAG+∠AGF+∠BFG＝360°，且∠ABC＝∠AGF＝90°，∴∠BAG+∠BFG＝180°，∴∠BCG+∠BFG＝180°，∵∠BFG+∠GFC＝180°，∴∠BCG＝∠GFC，∴GC＝GF，∴AG＝FG；（2）如图2，过点G作GH⊥BC于H，∵AB＝10，BF＝4，∴AF2＝AB2+BF2＝AG2+GF2，∴GF2＝58，∵∠DBC＝45°，GH⊥BC，∴BH＝GH，BG＝GH，∵GF2＝GH2+FH2，∴58＝GH2+（GH﹣4）2，∴GH＝7，（负值舍去），∴BG＝7；（3）如图，在AB上截取BF＝BN，连接NF，∵AG＝GF，AG⊥GF，∴∠EAF＝45°，∵AE＝AF，AB＝AD，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），∴∠BAF＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，∴CF＝CE，∵BF＝BN，∠ABC＝90°，∴NF＝BF，∠BNF＝∠BFN＝45°，∴∠BAF＝∠AFN＝22.5°，∴AN＝NF＝BF，∵AB＝BC，∴BN+AN＝BF+FC，∴FC＝BF，∴BC＝（+1）BF，∴正方形ABCD与△CEF的面积之比＝BC2：FC2＝3+2：1．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．4．如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF．（1）求证：AE＝BF．（2）若AF＝10，求AE的长．【分析】（1）由正方形的性质可得∠ABC＝90°＝∠C，AB＝BC，由余角的性质可得∠BAE＝∠CBF，可证△ABE≌△BCF，可得AE＝BF；（2）由勾股定理可求DF＝6，可得FC＝2，由勾股定理可求AE＝BF＝2．【解答】证明；（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°＝∠C，AB＝BC，∴∠ABF+∠CBF＝90°，∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）∵AF＝10，AD＝8，∴DF＝＝＝6，∴CF＝8﹣6＝2，∴BF＝＝＝2，∴AE＝2．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明△ABE ≌△BCF是本题的关键．【课堂练习】1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，S△ABC＝8，点M，P，N分别是边AB，BC，AC上任意一点，则（1）AB的长为4．（2）PM+PN的最小值为2．【分析】（1）过点A作AG⊥BC，垂足为G，依据等腰三角形的性质可得到∠BAC＝30°，设AB＝x，则AG＝，BC＝x，然后依据三角形的面积公式列方程求解即可；（2）作点A关于BC的对称点A′，取CN＝CN′，则PN＝PN′，过点A′作A′D⊥AB，垂足为D，当N′、P、M在一条直线上且MN′⊥AB时，PN+PM有最小值，其最小值＝MN′＝DA′．【解答】解：（1）如图所示：过点A作AG⊥BC，垂足为G．∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝30°．设AB＝x，则AG＝，BG＝x，则BC＝x．∴BC•AG＝•x•x＝8，解得：x＝4．∴AB的长为4．故答案为：4．（2）如图所示：作点A关于BC的对称点A′，取CN＝CN′，则PN＝PN′，过点A′作A′D⊥AB，垂足为D．当N′、P、M在一条直线上且MN′⊥AB时，PN+PM有最小值．最小值＝MN′＝DA′＝AB＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、轴对称﹣最短路径、垂线段的性质，将PM+PN 的长度转化为A′D的长度是解题的关键．2．如图在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝6，M为AC边上一动点（不与A，C重合），以MA、MB为一组邻边作平行四边形MADB，则平行四边形MADB的对角线MD的最小值是3．【分析】如图，作BH⊥AC于H．因为四边形ADBM是平行四边形，所以BD∥AC，所以当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM＝BH．【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝6，∠BHA＝90°，∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝3，∵四边形ADBM是平行四边形，∴BD∥AC，∴当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM＝BH＝3，故答案为3．【点评】本题考查直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC 于点F，且AE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA＝OD，则AC＝BD，即可得出四边形ABCD是矩形．（2）由矩形的性质得出∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，则∠OAB＝∠OBA，求出∠BAE＝36°，则∠OBA＝∠OAB＝54°，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AEO＝∠DFO＝90°，在△AEO和△DFO中，，∴△AEO≌△DFO（AAS），∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠BAE：∠EAD＝2：3，∴∠BAE＝36°，∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°．4．如图，正方形ABCD的边长为2，Q为CD边上（异于C，D）的一个动点，AQ交BD 于点M．过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下面结论：①AM ＝MN；②MP＝；③△CNQ的周长为3；④BD+2BP＝2BM，其中一定成立的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．①④【分析】①正确．只要证明△AME≌△NMF即可；②正确．只要证明△AOM≌△MPN即可；③错误．只要证明∠ADQ≌△ABH，由此推出△ANQ≌△ANH即可；④正确．只要证明△AME≌△NMF，四边形EMFB是正方形即可解决问题；【解答】解：连接AC交BD于O，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，延长CB到H，使得BH＝DQ．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝AD＝2，OA＝OC＝，∠DBA＝∠DBC＝45°，∴ME＝MF，∵∠MEB＝∠MFB＝∠EBF＝90°，∴四边形EMFB是矩形，∵ME＝MF，∴四边形EMFB是正方形，∴∠EMF＝∠AMN＝90°，∴∠AME＝∠NMF，∵∠AEM＝∠MFN＝90°，∴△AME≌△NMF（ASA），∴AM＝MN，故①正确，∵∠OAM+∠AMO＝90°，∠AMO+∠NMP＝90°，∴∠AMO＝∠MNP，∵∠AOM＝∠NPM＝90°，∴△AOM≌△MPN（AAS），∴PM＝OA＝，故②正确，∵DQ＝BH，AD＝AB，∠ADQ＝∠ABH＝90°，∴∠ADQ≌△ABH（SAS），∴AQ＝AH，∠QAD＝∠BAH，∴∠BAH+∠BAQ＝∠DAQ+∠BAQ＝90°，∵AM＝MN，∠AMN＝90°，∴∠MAN＝45°，∴∠NAQ＝∠NAH＝45°，∴△ANQ≌△ANH（SAS），∴NQ＝NH＝BN+BH＝BN+DQ，∴△CNQ的周长＝CN+CQ+BN+DQ＝4，故③错误，∵BD+2BP＝2BO+2BP＝2AO+2BP＝2PM+2BP，∴BD+2BP＝2BM，故④正确．故选：C．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作线段EF，使点E 点F分别在边AD，BC上（不与四边形ABCD顶点重合），连接EB，EC．设ED＝kAE，下列结论：①若k＝1，则BE＝CE；②若k＝2，则△EFC与△OBE面积相等；③若△ABE≌△FEC，则EF⊥BD．其中正确的是（）A．①B．②C．③D．②③【分析】①若k＝1，则AE＝DE，进而证明△ODE≌△OBF，得F为BC的中点，再根据EF不一定垂直BC，便可判断正误；②若k＝2，则S△BEF＝2S△EFC，因为OE＝OF，△EFC与△OBE面积相等即可得证；③若△ABE≌△FEC，可证EC是∠BED的角平分线，若EF⊥BD，则EF是∠BED的角平分线，便可判断正误．【解答】解：①若k＝1，则AE＝DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OED＝∠OFB，∵OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，∴△ODE≌△OBF（AAS），∴DE＝BF，∵DE＝AE＝∴BF＝，∵EF不一定垂直BC，∴BE不一定等于CE，故①错误；②∵△ODE≌△OBF，∴DE＝BF，OE＝OF，∵AD＝BC，∴AE＝CF，∵k＝2，ED＝kAE，∴BF＝2CF，∴△BEF的面积＝2×△EFC的面积，∵OE＝OF，∴△BEF的面积＝2×△OBE的面积，∴△EFC与△OBE面积相等，故②正确；③∵△ABE≌△FEC，∴BE＝EC，∵BE不一定等于ED，∴EF不一定垂直BD，故③错误；综上所述，正确的是②，故选：B．6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．下列4个结论中说法正确的有（）①ED⊥CA；②EF＝EG；③FH＝FD；④S△EFD＝S△CED．A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】由等腰三角形“三线合一”得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF＝AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG＝CD，即可得EF＝EG；连接FG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得FH＝FD，由三角形中位线定理可证得S△OEF ＝S△AOB，进而可得S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝S▱ABCD+S▱ABCD＝S▱ABCD，证出得S△EFD＝S△CEG．得出S△EFD＝S△CED，即可得出结论．【解答】解：连接FG，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∵BD＝2AD，∴OD＝AD，∵点E为OA中点，∴ED⊥CA，故①正确；∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，∴EF∥AB，EF＝AB，∵∠CED＝90°，CG＝DG＝CD，∴EG＝CD，∴EF＝EG，故②正确；∵EF∥CD，EF＝DG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴FH＝DH，即FH＝FD，故③正确；∵△OEF∽△OAB，∴S△OEF＝S△AOB，∵S△AOB＝S△AOD＝S▱ABCD，S△ACD＝S▱ABCD，∴S△OEF＝S▱ABCD，∵AE＝OE，∴S△ODE＝S△AOD＝S▱ABCD，∴S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝S▱ABCD+S▱ABCD＝S▱ABCD，∵＝，∴CE＝AC，∴S△CDE＝S△ACD＝S▱ABCD，∵CG＝DG，∴S△CEG＝S△CDE＝S▱ABCD，∴S△EFD＝S△CEG，∴S△EFD＝S△CED，故④正确；故选：D．7．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）求证：AF∥CH．（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长．（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．【分析】（1）证明△ABE≌△DAF（SAS），得出∠ABE＝∠DAF，得出∠APB＝90°，可得出结论；（2）根据三角形ABE的面积可求出AP＝，证明△ABP≌△BCH（AAS），由全等三角形的性质得出BH＝AP＝，则PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP，可求出答案；（3）证得∠CBP＝∠CPB，∠QPE＝∠QEP，可得出QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，由b2+（b﹣a）2＝（a+b）2可得出a，b的关系式，则可求出答案．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠DAF+∠F AB＝∠EAB＝90°，∴∠ABE+∠F AB＝90°，∴∠APB＝90°，∴AF⊥BE，又∵CH⊥BE，∴AF∥CH；（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，∴BE＝＝＝4，∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，∴AP＝＝，在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，∵∠APB＝∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，∴∠ABP＝∠HCB，∵CH⊥BE，∴∠HCB＝90°，又∵AB＝BC，∴△ABP≌△BCH（AAS），∴BH＝AP＝，∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，∵CH⊥BP，PH＝BH，∴CP＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，∴∠QPE＝∠QEP，在Rt△APE中，∠QAP＝∠QP A，∴QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，∵DC2+DQ2＝CQ2，∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，∴b2＝4ab，即b＝4a，∴＝4．8．正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．（1）已知点F在线段BC上①若AB＝BE，求∠DAE度数；②求证：CE＝EF（2）已知正方形边长为2，且BC＝2BF，请直接写出线段DE的长．【分析】（1）①先求得∠ABE的度数，然后依据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BAE的度数，然后可求得∠DAE度数；②先利用正方形的对称性可得到∠BAE＝∠BCE，然后在证明又∠BAE＝∠EFC，通过等量代换可得到∠BCE＝∠EFC；（2）当点F在BC上时，过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．依据等腰三角形的性质可得到FN＝CN，从而可得到NC的长，然后可得到MD的长，在Rt△MDE中可求得ED的长；当点F在CB的延长线上时，先根据题意画出图形，然后再证明EF＝EC，然后再按照上述思路进行解答即可．【解答】解：（1）①∵ABCD为正方形，∴∠ABE＝45°．又∵AB＝BE，∴∠BAE＝×（180°﹣45°）＝67.5°．∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5°②证明：∵正方形ABCD关于BD对称，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE．又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠EFC，∴∠BCE＝∠EFC，∴CE＝EF．（2）如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．∵CE＝EF，∴N是CF的中点．∵BC＝2BF，∴＝．又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，∴CN＝DM＝ME，∴ED＝DM＝CN＝．如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．∵正方形ABCD关于BD对称，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE．又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠EFC，∴∠BCE＝∠EFC，∴CE＝EF．∴FN＝CN．又∵BC＝2BF，∴FC＝3，∴CN＝，∴EN＝BN＝，∴DE＝．综上所述，ED的长为或【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的法则是解题的关键．9．如图，在线段AB的同侧作射线AC和BD，当AC∥BD时，若∠CAB与∠DBA的角平分线分别交射线BD，AC于点E，F，两条角平分线相交于点P，连接EF．（1）试判断四边形ABEF的形状并给予证明；（2）若AB＝BF＝2，在线段AE上取一点G，点G关于点P的对称点为点H，问线段AG的长为多少时？以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形．【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证明AE⊥BF，AB＝BE，由AC∥BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得结论；（2）由菱形的性质得到AF＝AB，推出△ABF是等边三角形，得到∠BAF＝60°，求得AP＝，根据正方形的性质得到PG＝PH＝1，于是得到结论．【解答】解：（1）四边形ABEF是菱形，理由是：∵AE平分∠F AB，BF平分∠ABE，∴∠F AP＝∠P AB＝∠F AB，∠PBA＝∠ABE，∵AC∥BD，∴∠F AB+∠ABE＝180°，∠F AP＝∠BEP，∴∠P AB+∠PBA＝90°，∠BAP＝∠PEB，∴∠APB＝90°，AB＝BE，∴AE⊥BF，∵∠F AP＝∠BAP，∠APF＝∠APB＝90°，∴∠AFP＝∠ABP，∴AF＝AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AF＝AB，∵AB＝BF＝2，∴△ABF是等边三角形，∴∠BAF＝60°，∴∠F AP＝30°，∴AP＝，∵以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形，∴HG＝BF＝2，∴PG＝PH＝1，∵在线段AE上取一点G，点G关于点P的对称点为点H，∴点G在线段AP上或线段PE上，∴AG＝﹣1或+1．∴线段AG的长为﹣1或+1，以F，G，B，H为顶点的四边形是正方形．【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，角平分线的定义，对称的性质，正确的理解题意是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点E，连接BE，作EF⊥BE交AD于点F．过点E作直线CD的对称点G，连接CG，DG，EG．（1）求证：△BEC≌△DGC；（2）求证：四边形FEGD为平行四边形；（3）若AB＝4，▱FEGD有可能成为菱形吗？如果可能，此时CE长；如果不可能，请说明理由．【分析】（1）由正方形的性质得出BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°，AD∥DC，由轴对称的性质得出EC＝GC，∠DCG＝∠DCA＝45°，EG⊥CD，得出∠BCE＝∠DCG，即可得出△BEC≌△DGC；（2）证出EG∥DF∥BC，由平行线的性质得出∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°，得出∠DGE＝∠DGC﹣45°，由全等三角形的性质得出∠DGC＝∠BEC，得出∠DGE+∠FEG ＝∠DGC﹣45°＝180°，证出EF∥DG，即可得出结论；（3）过E作MN⊥AD于N，MN⊥BC于M，证明△BME≌△ENF得出BE＝EF，由正方形的性质得出BE＝DE，得出DE＝EF，当四边形GD为菱形时，DF＝EF，证出△DEF 是等边三角形，得出∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，设CM＝x，则EM＝x，由直角三角形的性质得出BM＝x，得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°，AD∥DC，∵点E与点G关于直线CD对称，∴EC＝GC，∠DCG＝∠DCA＝45°，EG⊥CD，∴∠BCE＝∠DCG，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS）；（2）证明：∵EG⊥CD，AD⊥DC，AD∥BC，∴EG∥DF∥BC，∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°，∴∠DGE＝∠DGC﹣45°，∵BE⊥EF，∴∠FEG＝360°﹣90°﹣45°﹣∠BEC＝225°﹣∠BEC，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGE+∠FEG＝∠DGC﹣45°＝180°，∴EF∥DG，∴四边形FEGD为平行四边形；（3）解：过E作MN⊥AD于N，MN⊥BC于M，如图所示：则∠EBM+∠BEM＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEM+∠FEN＝90°，∴∠EBM＝∠FEN，∵BM＝AN，AN＝EN，∴BM＝EN，在△BME和△ENF中，，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴BE＝DE，∴DE＝EF，当四边形GD为菱形时，DF＝EF，∴△DEF是等边三角形，∴∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，设CM＝x，则EM＝x，∵∠EBM＝30°，∴BM＝x，∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，∴BC＝BM+EM＝（+1）x＝4，解得：x＝2（﹣1），∴CE＝x＝2﹣2．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．。

八年级数学下册尖子生同步培优题典【浙教版】专题5.9中点四边形综合问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•兴宁市期末）若正方形ABCD各边的中点依次为E、F、G、H，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2021秋•成华区期末）顺次连接菱形四边中点形成的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判定3．（2021春•霍林郭勒市校级月考）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．平行四边形D．正方形4．（2021秋•和平区期末）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．三角形5．（2019秋•龙岗区期末）如图，四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接四边形各边中点得到的图形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．以上都不对6．（2021春•宣城期末）下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．17．（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形C．若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形D．若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形8．（2021春•武昌区校级期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（）A．当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形B．当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形C．当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形D．以上说法都不对9．（2018•临沂）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（2021春•遵化市期末）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上、11．（2021春•宜兴市月考）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形．12．（2021秋•南海区月考）顺次连接矩形ABCD各边中点得到四边形EFGH，它的形状是．13．（2021春•泰兴市月考）四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，则顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形为形．14．（2021秋•南海区月考）已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EHFG是．15．（2020春•孝义市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，依次连接AO，BO，CO，DO的中点E，F，G，H，得到四边形EFGH，点M是EF的中点，连接OM，若AB＝10，则OM的长为．16．（2021秋•榆阳区校级月考）点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足条件时，四边形EFGH是正方形．17．（2021•西城区校级开学）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④中点四边形MNPQ不可能是正方形；所有结论正确的序号是．18．（2021春•昆明期末）如图，某小区要在一块矩形ABCD的空地上建造一个如图所示的四边形花园EFGH，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，若AB＝10m，AD＝20m，则四边形EFGH的面积为m²．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•海陵区校级期中）如图，O为∠BAC内一点，E、F、G、H分别为AB，AC，OC，OB的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）当AB＝AC，AO平分∠BAC时，求证：四边形EFGH为矩形．20．（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）①当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是菱形；②当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是矩形．21．（2021春•滦州市期末）已知：如图，四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、BC、BD和AC的中点．（1）求证：四边形MPNQ是平行四边形．（2）若满足AB＝CD．试判断MN与PQ的位置关系（不用说明理由）．22．（2021春•集贤县期末）在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N．（1）如图1，试判断四边形PQMN怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2），判断此时四边形PQMN的形状，并证明你的结论．23．（2021春•盐城期末）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、EH．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）再加上条件后，能使得四边形EFGH是矩形．请从①四边形ABCD是菱形，②四边形ABCD 是矩形．这两个条件中选择1个条件填空（写序号），重新画图并写出证明过程．24．（2021春•泗阳县期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当AB＝CD，四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论．。

2020年初中数学浙教版八年级下册第六章培优检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（ ） A ．函数图像经过点（2，2）；B ．函数图像位于第一、三象限；C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大；D ．当1x >时，4y <-． 2．已知压强的计算公式是p ＝FS，我们知道，刀具在使用一段时间后，就会变钝．如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利．下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是( )A ．当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大B ．当受力面积一定时，压强随压力的增大而减小C ．当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小D ．当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大3．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB ：BC ＝3：2，点A （3，0），B （0，6）分别在x 轴，y 轴上，反比例函数y ＝kx的图象经过点D ，则k 值为（ ）A ．﹣14B ．14C ．7D ．﹣74．如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x =>交于A 、B 两点，点B 坐标为(-4,-2)，C 为双曲线(0)ky k x=>上一点，且在第一象限内，若△AOC 面积为6，则点C 坐标为（ ）A．（4,2）B．（2,3）C．（3,4）D．（2,4）5．在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=kx（k为常数，且k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．6．如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数kyx=在第一象限的图象经过点E，若两正方形的面积差为8，则k的值为（）A．6B．8C．12D．167．函数kyx=和1yx=在第一象限内的图像如图，P是kyx=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD ⊥y 轴于点D，交kyx=的图像于点B，当点P在kyx=的图像上运动时，下列结论错误的是（）A ．△ODB 与△OCA 的面积相等 B ．当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点 C ．CA DBPA PB=D ．当四边形 OCPD 为正方形时，四边形PAOB 的面积最大8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，B 在反比例函数ky x=()00k x >>,的图像上，纵坐标分别为1和3，则k 的值为（ ）A ．23B ．3C ．2D ．39．如图，反比例函数ky x=（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB 的顶点O 是坐标原点，OA 边在y 轴正半轴上，OB 边在x 轴正半轴上，且OA ∥BC ，双曲线y=k x（x ＞0）经过AC 边的中点，若S 梯形OACB =4，则双曲线y=kx的k 值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题11．如图，点A 在双曲线y ＝kx的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为_____．12．如图，含30°的直角三角板ABC(其中∠ABC=90 )的三个顶点均在反比例函数1y x=的图象上，且斜边AC 经过原点O ，则直角三角板ABC 的面积为_____________.13．已知反比例函数的图象经过点（m ，4）和点（8，－2），则m 的值为________． 14．如图，四边形ABCD 的项点都在坐标轴上，若//,AB CD AOB V 与COD △面积分别为8和18，若双曲线ky x=恰好经过BC 的中点E ，则k 的值为__________．15．如图，已知点A 1、A 2、A 3、…、A n 在x 轴上，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n ﹣1A n ＝1，分别过点A 1、A 2、A 3、……、A n 作x 轴的垂线，交反比例函数y ＝2x（x ＞0）的图象于点B 1、B 2、B 3、…、B n ，过点B 2作B 2P 1⊥A 1B 1于点P 1，过点B 3作B 3P 2⊥A 2B 2于点P 2，…，若记△B 1P 1B 2的面积为S 1，△B 2P 2B 3的面积为S 2，…，△B n P n B n +1的面积为S n ，则S 1+S 2+…+S 2019＝_____．三、解答题16．如图，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2k y x=的图像交于(4,)C m -，F 两点，与,x y 轴分别交于,(0,3)B A -两点，且32OA OB =．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点E 与点B 关于y 轴对称，连接,FE EC ，求EFC ∆的面积． 17．如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点E （3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线12y x b=-+过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例函数在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ为等腰直角三角形，请求出点P的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OA1B1是等边三角形，点B1的坐标是（2，0），反比例函数y＝kx的图象经过点A1．（1）求反比例函数的解析式．（2）如图，以B1为顶点作等边三角形B1A2B2，使点B2在x轴上，点A2在反比例函数y＝kx的图象上．若要使点B2在反比例函数y＝kx的图象上，需将△B1A2B2向上平移多少个单位长度？19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝mx的图象交于A、B两点，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（1，n）；（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出不等式kx+b≥mx的解集．20．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于()2,1A -，()1,B n 两点．()1求一次函数与反比例函数的表达式； ()2求AOB V 的面积；()3根据所给条件，请直接写出不等式m kx b x+<的解集．答案与解析1．C【解析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【详解】A 、关于反比例函数y=-4x ，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误； B 、关于反比例函数y=-4x ，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；C 、关于反比例函数y=-4x ，当x ＞0时，函数值y 随着x 的增大而增大，故此选项正确；D 、关于反比例函数y=-4x，当x ＞1时，y ＞-4，故此选项错误；故选C ． 【名师点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键． 2．D 【解析】如果刀刃磨薄，指的是受力面积减小；刀具就会变得锋利指的是压强增大．故选D. 3．B 【解析】过点D 作DF ⊥x 轴于点F ,则∠AOB =∠DF A =90°,∴∠OAB +∠ABO =90°, ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD =90°,AD =BC ,∴∠OAB +∠DAF =90°,∴∠ABO =∠DAF , ∴△AOB ∽△DF A ,∴OA ：DF =OB ：AF =AB ：AD , ∵AB ：BC =3：2,点A （3,0）,B （0,6）,∴AB ：AD =3：2,OA =3,OB=6,∴DF =2,AF =4,∴OF =OA +AF =7,∴点D 的坐标为:（7,2）,∴k 14=,故选B. 4．D【解析】解：因为B 点坐标为（-4，-2），所以A 点坐标为（4,2）， 那么双曲线的解析式为8y x= ， 设C 点坐标为()m n ， ，那么8114622mn n m =⎧⎪⎨⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩ ，解得24m n =⎧⎨=⎩， 所以C 点的坐标为（2,4）. 故选：D. 5．C【解析】分k >0，k <0时两种情况分别判断选项的正确与否即可解答. 【详解】∵函数y =﹣x +k 与y =kx（k 为常数，且k ≠0）， ∴当k >0时，y =﹣x +k 经过第一、二、四象限，y =kx经过第一、三象限，故选项D 错误； 当k <0时，y =﹣x +k 经过第二、三、四象限，y =kx经过第二、四象限，故选项C 正确，选项A 、B 错误，故选C ． 【名师点评】此题考查反比例函数的图象，熟记反比例函数图象的性质即可正确解答. 6．B【解析】设正方形OABC 、BDEF 的边长分别为a 和b ，则D （a ，a-b ），F （a+b ，a ），由反比例函数图像上点的坐标特征得到E （a+b ，a+bk），由于点E 与点D 的纵坐标相同，所以a+bk=a-b ，则a 2-b 2=k ，最后利用正方形的面积公式即可解答. 【详解】解: 设正方形OABC 、BDEF 的边长分别为a 和b ，则D （a ，a-b ），F （a+b ，a ）， 由反比例函数图像上点的坐标特征得到E （a+b ，a+bk）， ∵点E 与点D 的纵坐标相同 ∴a+bk=a-b,即a 2-b 2=k 又∵a 2-b 2=8 ∴k=8 故答案为B ． 【名师点评】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义以及正方形的性质,学会设未知数和正确的使用数形结合思想是解答本题的关键． 7．D【解析】根据反比例函数的图象和性质，特别是反比例函数k 的几何意义，对四个选项逐一进行分析，即可得出正确答案 【详解】解：A 、由于点A 和点D 均在同一个反比例函数1y x=的图象上， 所以12ODB S =V ，12OCA S =V ， 故ODB △和OCA V 的面积相等， 故本选项正确； B 、如图，连接OP ，则2ODP OCP kS S ==V V ，Q A 是PC 的中点，OAP S ∴=V 1224OAC kkS =⨯=V ， ODB S =V Q 4OCA kS =V ，4OBP ODP ODB kS S S ∴=-=V V V ，即4OBP ODB kS S ==V V ，∴B 一定是PD 的中点，故本选项正确； C 、设,k P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则1,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,m kB k m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 11,,,k m m CA PA DB PB m mm m k k∴==-==-， 故1111CA mk PA k m m ==--，11mDB km PBk m k ==--，∴=CA DB PA PB， 故本选项正确；D 、由于矩形OCPD 、三角形ODB 、三角形OCA 的面积为定值， 所以四边形PAOB 的面积不会发生变化， 故本选项错误； 故选：D ． 【名师点评】本题考查了反比例函数综合题，关键是设P 点坐标，利用点与点的坐标关系以及反比例函数的性质表现相关线段的长，要对每一个结论进行判断． 8．B【解析】过A 作AD ⊥x 轴于D ，过B 作BE ⊥AD 于E ，依据△ABE ∽△OAD ，即可得到，设A （k ，1），B （3k ，3），即可得到1223kk =，进而得出k 的值．【详解】如图，过A 作AD ⊥x 轴于D ，过B 作BE ⊥AD 于E ，则∠E=∠ADO=90°，又∵∠BAO=90°，∴∠OAD+∠AOD=∠OAD+∠BAE=90°， ∴∠AOD=∠BAE ， ∴△ABE ∽△OAD ， ∴AD ODBE AE=， 设A （k ，1），B （3k ，3），则OD=k ，AD=1，AE=2，BE=23k ， ∴1223kk =，解得k=±3 ∵k ＞0， ∴3 故选B ． 【名师点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标与k 之间的关系．解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形． 9．D【解析】可设出点D 、E 的坐标，易知点B 坐标，根据中点的性质表示出点M 坐标，代入ky x=可得n 、m 间关系，由=OABC OCE OAD OACE S S S S --X V V 四边形可求出k 值. 【详解】解：设点D 的坐标为(,)k m m ，点E 的坐标为(,)k n n ，则点B 的坐标为(,)k n m， M Q 为OB 的中点(,)22n k M m∴又Q 反比例函数ky x=（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M 22k k n m ∴=4n m ∴=(4,)k B m m ∴ 11,,442222OCE OAD OABC k k k k kS m S n S m k m n m∴=⋅==⋅==⋅=V V W=41222OABC OCE OAD OACE k kS S S S k ∴--=--=X V V 四边形4k ∴=故选：D. 【名师点评】本题考查了反比例函数的图象与坐标轴围成的图形的面积，灵活的应用反比例函数图象上的点坐标表示三角形的面积是解题的关键. 10．D【解析】过AC 的中点P 作//DE x 轴交y 轴于D ，交BC 于E ，作PF x ⊥轴于F ，如图，先根据“AAS ”证明PAD PCE ≅V V ，则PAD PCE S S =V V ，得到BODE AOBC S S =矩形梯形，再利用12DOFP BODE S S =矩形矩形得到114222DOFP AOBC S S ==⨯=矩形梯形，然后根据反比例函数()0ky k x=≠系数k 的几何意义得2k =，再去绝对值即可得到满足条件的k 的值. 【详解】过AC 的中点P 作//DE x 轴交y 轴于D ，交BC 于E ，作PF x ⊥轴于F ，如图，在PAD △和PCE V 中，APD CPE ADP PEC PA PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴PAD PCE ≅V V （AAS ）， ∴PAD PCE S S =V V ， ∴BODE AOBC S S =矩形梯形， Q 12DOFP BODE S S =矩形矩形， ∴114222DOFPAOBC S S ==⨯=矩形梯形， ∴2k =，而0k >，∴2k =.故选：D . 【名师点评】本题考查了反比例函数()0k y k x =≠系数k 的几何意义：从反比例函数()0ky k x=≠图象上任意一点向x 轴于y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k .11．163. 【解析】由AE ＝3EC ，△ADE 的面积为3，可知△ADC 的面积为4，再根据点D 为OB 的中点，得到△ADC 的面积为梯形BOCA 面积的一半，即梯形BOCA 的面积为8，设A (x,kx)，从而表示出梯形BOCA 的面积关于k 的等式，求解即可. 【详解】 如图，连接DC ，∵AE=3EC ，△ADE 的面积为3，∴△CDE 的面积为1. ∴△ADC 的面积为4.∵点A 在双曲线y ＝kx 的第一象限的那一支上， ∴设A 点坐标为 (x,kx).∵OC ＝2AB ，∴OC=2x.∵点D 为OB 的中点，∴△ADC 的面积为梯形BOCA 面积的一半，∴梯形BOCA 的面积为8.∴梯形BOCA 的面积=11(2)3822k k x x x x x +⋅=⋅⋅=，解得16k 3=. 【名师点评】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线的性质. 12．23【解析】设点A 坐标为（n ，1n ），则B 点坐标为（1n，n ）, 由△ABO 是等边三角形，可得OA=AB ，根据两点间距离公式可求出2221OA 4n n=+=，则OA=AB=2，BC=3然后即可求出面积. 【详解】解：设点A 坐标为（n ，1n ），则B 点坐标为（1n，n ）, ∵O 是AC 中点， ∴OA=OB ，∠A=60°，∴△ABO 是等边三角形，∴OA=AB ，∴2222111n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得：2222112()4n n n n+=+-， ∴2214n n +=， 即OA=AB=2， ∴BC=23，1223232ABC S =⨯⨯=V【名师点评】本题考查了反比例函数的图像和性质，求出OB 的值是解题关键. 13．-4. 【解析】试题解析：设反比例函数的解析式为：y=,把（8，-2）代入y=得，中k=-16∴y=-把（m ，4）代入y=-得，m=-4. 考点：反比例函数图象上点的坐标特征. 14．6【解析】根据AB//CD ，得出△AOB 与△OCD 相似，利用△AOB 与△OCD 的面积分别为8和18，得：AO ：OC=BO ：OD=2：3，然后再利用同高三角形求得S △COB =12，设B 、 C 的坐标分别为（a ，0）、（0，b ），E 点坐标为（12a ，12b ）进行解答即可. 【详解】 解：∵AB//CD ， ∴△AOB ∽△OCD ，又∵△ABD 与△ACD 的面积分别为8和18，∴△ABD与△ACD的面积比为4：9，∴AO：OC=BO：OD=2：3∵S△AOB=8∴S△COB=12设B、C的坐标分别为（a，0）、（0，b），E点坐标为（12a，12b）则OB=| a | 、OC=| b |∴12|a|×|b|=12即|a|×|b|=24∴|12a|×|12b|=6又∵kyx=，点E在第三象限∴k=xy=12a×12b=6故答案为6.【名师点评】本题考查了反比例函数综合题应用，根据已知求出S△COB=12是解答本题的关键.15．2019 2020．【解析】由反比例函数图像上点的坐标特征可得：B1、B2、B3、…、B n的坐标，从而可得出B1P1、B2P2、B3P3、…、B n P n的长度，根据三角形的面积公式即可得出S n＝12A n A n+1•B n P n＝1n(n1)+，将其代入S1+S₂+…+S2019中即可解答.【详解】解：根据题意可知：点B1（1，2）、B2（2，1）、B3（3，23）、…、B n（n，2n），∴B1P1＝2﹣1＝1，B2P2＝1﹣2133=，B3P3＝211326-=，…，B n P n＝2221(1)n n n n-=++，∴S n＝12A n A n+1•B n P n＝1n(n1)+，∴S1+S2+…+S2019＝1111 122334(1)n n++++⨯⨯⨯+K＝1﹣1111111 2233420192020 +-+-++-L＝1﹣12020 ＝20192020． 故答案为：20192020．【名师点评】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形的面积，根据反比例函数图象上点的坐标特征结合三角形的面积得到S n ＝12A n A n +1•B n P n ＝1n(n 1)+，是解题的关键.16．（1）12y x=-；（2）18. 【解析】（1）先求出B 点坐标，再用待定系数法求一次函数的解析式，再求出C 点坐标，用待定系数法求反比例函数解析式；（2）先由对称性质求E 点坐标，再联立方程组求得F 点坐标，最后根据三角形面积公式求面积． 【详解】解：（1）∵A （0，-3） ∴OA=3， ∵OA=32OB ， ∴OB=2， ∴B （-2，0）．将(0,3),(2,0)A B --代入一次函数1y k x b =+，得1320b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得13,23.k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴一次函数的解析式为332y x =--． Q 点(4,)C m -在一次函数332y x =--的图像上，3(4)33,(4,3)2m C ∴=-⨯--=∴-．Q 点(4,3)C -在反比例函数2ky x =的图像上，24312k ∴=-⨯=-， ∴反比例函数的解析式为12y x=-．（2）Q 点E 与点B 关于y 轴对称，(2,0)B -，(2,0)E ∴，2(2)4BE ∴=--=．联立33,212,y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得114,3x y =-⎧⎨=⎩或222,6.x y =⎧⎨=-⎩ (2,6)F ∴-，1146431822EFC EFB EBC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=．【名师点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，三角形的面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 17．（1）y ＝12x ；（2）点F 的坐标为（2，4）；（3）∠AOF ＝12∠EOC ，理由见解析；（4）P 的坐标是（197，0）或（-5，00）或（5，0） 【解析】（1）设反比例函数的解析式为y ＝kx，把点E （3，4）代入即可求出k 的值，进而得出结论；（2）由正方形AOCB 的边长为4，故可知点D 的横坐标为4，点F 的纵坐标为4，由于点D 在反比例函数的图象上，所以点D 的纵坐标为3，即D （4，3），由点D 在直线12y x b =-+上可得出b 的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F 的坐标；（3）在CD 上取CG=AF=2，连接OG ，连接EG 并延长交x 轴于点H ，由全等三角形的判定定理可知△OAF ≌△OCG ，△EGB ≌△HGC （ASA ），故可得出EG=HG ，设直线EG 的解析式为y=mx+n ，把E （3，4），G （4，2）代入即可求出直线EG 的解析式，故可得出H 点的坐标，在Rt △AOF 中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OC=OE ，即OG 是等腰三角形底边EF 上的中线，所以OG 是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论； （4）分△PDQ 的三个角分别是直角，三种情况进行讨论，作DK ⊥x 轴，作QR ⊥x 轴，作DL ⊥QR ，于点L ，即可构造全等的直角三角形，设出P 的坐标，根据点在图象上，则一定满足函数的解析式即可求解， 【详解】 解：（1）设反比例函数的解析式y ＝k x， ∵反比例函数的图象过点E （3，4）， ∴4＝3k，即k ＝12， ∴反比例函数的解析式y ＝12x； （2）∵正方形AOCB 的边长为4， ∴点D 的横坐标为4，点F 的纵坐标为4， ∵点D 在反比例函数的图象上， ∴点D 的纵坐标为3，即D （4，3）， ∵点D 在直线y ＝﹣12x +b 上， ∴3＝﹣12×4+b ， 解得：b ＝5，∴直线DF 为y ＝﹣12x +5， 将y ＝4代入y ＝﹣12x +5，得4＝﹣12x +5，解得：x ＝2，∴点F 的坐标为（2，4）， （3）∠AOF ＝12∠EOC ，理由为： 证明：在CD 上取CG ＝AF ＝2，连接OG ，连接EG 并延长交x 轴于点H ，OAF OCG V V 在和中，4902AO CO OAF OCG AF CG ==⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∴△OAF ≌△OCG （SAS ），∴∠AOF ＝∠COG ，EGB HGC V V 在和，290EGB HGC BG CG GBC GCH ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△EGB ≌△HGC （ASA ），∴EG ＝HG ，设直线EG ：y ＝mx +n ，∵E （3，4），G （4，2），∴3442m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得210m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线EG ：y ＝﹣2x +10，令y ＝﹣2x +10＝0，得x ＝5，∴H （5，0），OH ＝5，在Rt △AOE 中，AO ＝4，AE ＝3，根据勾股定理得OE ＝5，∴OH ＝OE ，∴OG 是等腰三角形底边EH 上的中线，∴OG 是等腰三角形顶角的平分线，∴∠EOG ＝∠GOH ，∴∠EOG ＝∠GOC ＝∠AOF ，即∠AOF ＝12∠EOC ； （4）当Q 在D 的右侧（如图1），且∠PDQ =90°时，作DK ⊥x 轴，作QL ⊥DK ，于点L ，则△DPK≌△QDK，设P的坐标是（a，0），则KP=DL=4-a，QL=DK=3，则Q的坐标是（4+3，4-3+a）即（7，-1+a），把（7，-1+a）代入y=12x得：7（-1+a）=12，解得：a=197，则P的坐标是（197，0）；当Q在D的左侧（如图2），且∠PDQ=90°时，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，则△QDL≌△PDK，则DK=DL=3，设P的坐标是b，则PK=QL=4-b，则QR=4-b+3=7-b，OR=OK-DL=4-3=1，则Q的坐标是（1，7-b），代入y=12x得：b=-5，则P的坐标是（-5，0）；当Q在D的右侧（如图3），且∠DQP=90°时，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，则△QDL≌△PQK，则DK=DL=3，设Q的横坐标是c，则纵坐标是12c，则QK=QL=12c，又∵QL=c-4，∴c-4=12c，解得：c=-2（舍去）或6，则PK=DL=DR-LR=DR-QK=3-126=1，∴OP=OK-PK=6-1=5，则P的坐标是（5，0）；当Q在D的左侧（如图3），且∠DQP=90°时，不成立；当∠DPQ=90°时，（如图4），作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，则△DPR≌△PQK，∴DR=PK=3，RP=QK，设P的坐标是（d，0），则RK=QK=d-4，则OK=OP+PK=d+3，则Q 的坐标是（d +3，d -4），代入y =12x 得： （d +3）（d -4）=12，解得：d =197+或197-（舍去）， 则P 的坐标是（197+，0）， 综上所述，P 的坐标是（197，0）或（-5，0）或（1972+，0）或（5，0）， 【名师点评】 本题是反比例函数综合题，掌握待定系数法求解析式，反比例函数的性质是解题的关键. 18．（1）y ＝3x；（2）需将△B 1A 2B 2向上平移6个单位长度． 【解析】（1）根据等边三角形的性质求点A 1的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析式；（2）如图2，过点A 2作A 2G ⊥x 轴于点G ，设B 1G ＝a ，则A 2G ＝3a ，表示点A 2的坐标，通过代入计算可得a 的值，根据等边三角形的性质确定点B 2的坐标，可得结论．【详解】解：（1）如图1，过点A 1作A 1H ⊥x 轴于点H ．∵△OA 1B 1是等边三角形，点B 1的坐标是（2，0），∴OA 1＝OB 1＝2，OH ＝1，∴A 1H 22100A H -2221-3，∴A 1（13）．∵点A1在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝3．∴反比例函数的解析式为y＝3x；（2）如图2，过点A2作A2G⊥x轴于点G，设B1G＝a，则A2G＝3a，∴A2（2+a3）．∵点A2在反比例函数y＝3x的图象上，33，解得a12﹣1，a22﹣1（不合题意，舍去），经检验a2﹣1是方程的根∴a2﹣1，∴△B1A2B2的边长是22﹣1），∴B2（2，0），∴把x＝2代入y 3，得y3226∴（2，64y3∴若要使点B2在反比例函数y＝kx的图象上，需将△B1A2B2向上平移64个单位长度．【名师点评】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、勾股定理、等边三角形的性质是解题的关键．19．（1）y＝﹣x﹣1；（2）32；（3）x≤﹣2或0＜x≤1．【解析】（1）运用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求得B点的坐标，然后把点A、B代入y=kx+b即可得到一次函数的表达式；（2）先确定点C的坐标，再根据S△AOB=S△AOC+S△COB进行计算即可；（3）根据A（-2.1），B（1，-2），结合图像可得不等式kx+b>mx的解集.【详解】解：（1）把点A的坐标（﹣2，1）代入一反比例函数y＝mx，可得：m＝﹣2×1＝﹣2，∴反比例函数为y＝﹣2x，∵反比例函数y＝mx的图象经过B点，∴n＝﹣21＝﹣2，∴B（1，﹣2），把A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入y＝kx+b得212k bk b-+=⎧⎨+=-⎩解得k＝﹣1，b＝﹣1∴一次函数为y＝﹣x﹣1；（2）在直线y＝﹣x﹣1中，令x＝0，则y＝﹣1，∴C（0，﹣1），即OC＝1，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝12OC×2+12OC×1＝12×1×（2+1）＝32；（3）不等式kx+b≥mx的解集是x≤﹣2或0＜x≤1．【名师点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题关键在于运用待定系数法求函数解解析式.20．()1 2y x =-，1y x =--；()2 32AOB S =V ；()320x -<<，1x >． 【解析】（1）把A （-2，1）代入反比例函数y=m x，求出m 的值即可；把B （1，n ）代入反比例函数的解析式可求出n ，从而确定B 点坐标为（1，-2），然后利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）设直线y=-x-1与x 轴的交点为C ，根据解析式求得C 的坐标，然后根据S △ABC=S △OAC+S △OBC 即可求得；（3）观察函数图象得到当-2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的下方，即一次函数的值小于反比例函数的值.【详解】()1把点()2,1A -代入反比例函数m y x=得： 12m =-， 解得：2m =-， 即反比例函数的解析式为：2y x=-， 把点()1,B n 代入反比例函数2y x =-得： 2n =-，即点A 的坐标为：()2,1-，点B 的坐标为：()1,2-，把点()2,1A -和点()1,2B -代入一次函数y kx b =+得：{212k b k b -+=+=-， 解得：{11k b =-=-，即一次函数的表达式为：1y x =--， ()2把0y =代入一次函数1y x =--得：10x --=，解得：1x =-，即点C 的坐标为：()1,0-，OC 的长为1，点A 到OC 的距离为1，点B 到OC 的距离为2，AOB OAC OBC S S S =+V V V ，11111222=⨯⨯+⨯⨯， 32=， ()3如图可知：m kx b x+<的解集为：20x -<<，1x >． 【名师点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式；利用待定系数法求函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力．。

浙教版 八年级下册数学 周末培优拔高专题复习（一）一、选择题，本大题有10个小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

1.下列根式是最简二次根式的是（ ） A.21B.3.0C.S 2D.b 122.下列方程属于一元二次方程的是（ ） A.xx 132=B.()21y x x =－C.2223=x x － D.()()943=＋－x x3.下列各几何图形是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ） A.线段 B.等腰三角形 C.平行四边形 D.矩形4.某班5位同学进行投篮比赛，每人投10次，平均每人投中8次，已知第一、三、四、五位同学分别投中7次，9次，8次，10次，那么第二位同学投中（ ）A.6次B.7次C.8次D.9次5.已知一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（ ） A.9 B.10 C.11 D.126.下列等式一定成立的是（ ） A.()a a=2﹣ B.b a b a +=+22 C.b a =ab D.aba =b 7.关于x 的一元二次方程是0122=+－kx x ，则下列结论一定成立的是（ ） A.一定有两个不相等的实数根 B.可能有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.以上都有可能8.若一个菱形的周长是40，则此菱形的两条对角线的长度可以是（ ）A.6，8B.10，24C.5，35D.10，310 9.下列命题正确的是（ ）A.顺次连结一个菱形各边中点所得的四边形是菱形。

B.四边形中至少有一个角是纯角或直角C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.在直角坐标系中，点A （x ，y ）与点B （y ，x)关于原点成中心对称10.如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC 于点E ，DF 。

平分∠ADC ，交EB 的延长线于点F ，BC=6，CD=3，则BFBE为（ ） A.32 B.43 C.52 D.53（第10题图）（第14题图）二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.11.二次根式x 3中字母x 的取值范围是__________.12.数据：-2，3，0，1，3的方差是___________.13.已知关于x 的一元二次方程()012=++a x a x －有一个根是﹣2，则a 的值为________.14.如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上的一点，EF ⊥AC ，分别交BC ，CD 于点F ，H ，若AF=10cm ，则AH=____________cm.15.已知反比例函数xy 6=，若x>2，则y 的取值范围是__________. 16.在平面直角坐标系内，直线l ⊥y 轴于点C （C 在y 轴的正半轴上），与直线x y 41=相交于点A ，和双曲线xy 2=交于点B ，且AB=6，则点B 的坐标是_________.三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分10分） 计算：（1）82118+－（2）61232+－ （3）()()()223322322－－++18.（本小题满分10分）解方程（1）052=x x － （2）132=x x － （3）()()x x x 233=+－ 0152)4(2=--x x19.（本小题满分8分）在某校组织的初中数学应用能力竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A. B. C. D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：请你根据以上提供的信息解答下列问题：(3)你认为哪个班成绩较好，请写出两条支持你观点的理由。

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题6.5反比例函数的k的几何意义大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．（2019秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，反比例函数的图象过点A（2，3）．（1）求反比例函数的解析式；（2）过A点作AC⊥x轴，垂足为C．若P是反比例函数图象上的一点，求当⊥P AC的面积等于6时，点P 的坐标．2．（2021春·浙江湖州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，过点M(0,2)的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=6x (x>0)和y=kx(x<0)的图象交于点P，点Q．（1）求点P的坐标；（2）若△POQ的面积为7，求k的值．3．（2020春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知图中的曲线是反比例函数y＝m−5x（m为常数）图象的一支．（1）根据图象位置，求m的取值范围；（2）若该函数的图象任取一点A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当⊥OAB的面积为4时，求m的值．(x>0)和一次函数y2=kx+b的图象都经过点4．（2022·浙江嘉兴·校考一模）如图，反比例函数y1=mxA(1,4)和点B(n,2)．（1）m=_________，n=_________；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1<y2时x的取值范围；(x>0)的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积（3）若点P是反比例函数y1=mx为_________．5．（2020春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，已知点A（2，m）是反比例函数y＝k的图象上一点，过点Ax作x轴的垂线，垂足为B，连结OA，⊥ABO的面积为6．（1）求k和m的值；（2）直线y＝2x+a（a≤0）与直线AB交于点C与反比例函数图象交于点E，F；⊥若a＝0，已知E（p，q），则F的坐标为（用含p，q的坐标表示）；⊥若a＝﹣2．求AC的长．6．（2019春·浙江金华·八年级校考期末）如图，平行四边形ABOC的顶点A,C分别在y轴和x轴上，顶点B在反比例函数y=3x的图象上，求平行四边形ABOC的面积．7．（2018·浙江宁波·校联考一模）已知反比例函数y=kx的图象过点A（3，2）．（1）试求该反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB⊥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC⊥y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．8．（2018秋·浙江·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=6x （x＞0）和y=kx（x＜0）的图象交于点P、点Q．（1）求点P的坐标；（2）若△POQ的面积为8，求k的值．9．（2019·浙江绍兴·统考一模）如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：⊥四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；⊥矩形的面积等于k的值．10．（2015·浙江台州·九年级学业考试）如图，反比例函数y=k在第一象限的图象经过矩形OABC对角线的x交点E，与BC交于点D，若点B的坐标为（6，4）．（1）求E点的坐标及k的值；（2）求△OCD的面积．11．（2019秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，已知双曲线y=k（x＞0）经过长方形OABC的边xAB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，求k的值．12．（2020春·浙江杭州·八年级统考期末）已知点M，P是反比例函数y＝k（k＞0）图象上两点，过点M作xMNMN⊥x轴，过点P作PQ⊥x轴，垂足分别为点N，Q．若PQ＝12（1）若点P在第一象限内，点M坐标为(1，2)，求P的坐标；（2）若S△MNP＝2，求k的值；（3）设点M(1－2n，y1)、P(2n＋1，y2)，且y1＜y2，求n的范围．(k>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y 13．（2022·浙江·九年级专题练习）背景：点A在反比例函数y=kx轴于点C，分别在射线AC,BO上取点D,E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得CD=3．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点A,D的横坐标分别为x,z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x>0时“Z函数”的图象．⊥求这个“Z函数”的表达式．⊥补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．⊥过点(3,2)作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．14．（2019·浙江杭州·九年级）已知函数y={−4x,x<0−x2+4x,x≥0，方程y−a=0有三个根，且x1<x2<x3；（1）在右图坐标系中画出函数y的图像，并写出a的取值范围；（2）求x1+x2+x3的取值范围．15．（2022秋·河南周口·九年级校考期末）如图，双曲线y=kx上的一点M(a,b)，其中b>a>0，过点M作MN⊥x轴于点N，连接OM．(1)已知△MON的面积是4，求k的值；(2)将△MON绕点M逆时针旋转90°得到△MQP，且点O的对应点Q恰好落在该双曲线上，求ab的值．16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线y=kx与反比例函数y=2x(k≠0,x>0)的图像交于点A(1,a)，点B是此反比例函数图形上任意一点（不与点A重合），BC⊥x轴于点C．(1)求k的值；(2)求△OBC的面积；17．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，AB⊥x轴，垂足为B，ABOB =12,AB=2．(1)求k的值：(2)点C在这个反比例函数图像上，且∠BAC=135°，求OC的长．18．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD的面积为8，它的边CD位于x轴上．双曲线y=4x 经过点A，与矩形的边BC交于点E，点B在双曲线y=4+kx上，连接AE并延长交x轴于点F，点G与点О关于点C对称，连接BF，BG．(1)求k的值；(2)求△BEF的面积；(3)求证：四边形AFGB为平行四边形．19．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，A为反比例函数y=kx(k<0)的图象上一点，AP⊥y轴，垂足为P．(1)联结AO，当S△APO=2时，求反比例函数的解析式；(2)联结AO，若A(−1,2)，y轴上是否存在点M，使得S△APM=S△APO，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由，(3)点B在直线AP上，且PB=3PA，过点B作直线BC∥y轴，交反比例函数的图象于点C，若△PAC的面积为4，求k的值．20．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=⋯=A n−1A n=2，过点A1、A2、A3…、A n分别作x轴的垂线与反比例函数y=10x的图像相交于点P1、P2、P3…、P n得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、…、A n−1P n A n，并设其面积分别为S1、S2、S3…、S n．(1)求P2、P3、Pn、的坐标(2)求S n的值；21．（2022秋·广东肇庆·九年级校考期末）如图，点C是反比例函数y=k图象的一点，点C的坐标为(4,−1)．x(1)求反比例函数解析式；(2)若一次函数y=ax+3与反比例函数y=k相交于A，C点，求点A的坐标；x(3)在x轴上是否存在一个点P，使得△PAC的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．22．（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）如图，点D双曲线上，AD垂直x轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于x轴交曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：AD=1：3，点C的坐标为(2,2)．(1)求该双曲线的解析式；(2)求△OFA的面积．23．（2022秋·上海·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M为x正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x (x>0)和y=kx(x>0)的图像交于P,Q两点，SΔPOQ=14(1)求k的值；(2)当∠QOM=45°时，求直线OQ的解析式；(3)在（2）的条件下，若x轴上有一点N，使得△NOQ为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐标．24．（2022·山东菏泽·山东省郓城第一中学校考模拟预测）如图，动点P在函数y=3x（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y=−1x的图象于点A、B，连接AB、OA、OB．设点P横坐标为a．(1)直接写出点P、A、B的坐标（用a的代数式表示）；(2)点P在运动的过程中，⊥AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；(3)在平面内有一点Q（13，1），且点Q始终在△P AB的内部（不包含边），求a的取值范围．25．（2022秋·九年级课时练习）如图，菱形ABCD的边长为5，AD⊥y轴，垂足为点E，点A在第二象限，点B在y轴的正半轴上，点C、D均在反比例函数y=kx (k≠0,x>0)的图像上，连接BD，点B(0,34)．(1)求反比例函数的表达式；(2)点D的横坐标为1，反比例函数的图像上是否存在一点P，使得△BPC的面积是菱形ABCD面积的1，若存4在，求出点P的坐标；若不存在，请说出理由．(x>0)图象上一点，26．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考一模）如图，点B(4,a)是反比例函数y=12x(x>0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC 过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y=kx分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，连接BF．(1)求k的值；(2)求△BDF的面积；(3)设直线DE的解析式为y=k1x+b，请结合图像直接写出不等式k1x+b<k的解集______．x27．（2022·山东聊城·统考二模）已知点A为函数y=4（x>0）图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使xAB=OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC．(1)如图1，若点A的坐标为(4,n)，求n及点C的坐标；(2)如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分28．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，反比例函数y=kx别与AB、BC相交于点D、E．(1)若点B(8,4)，求k的值；(x>0)的解析式．(2)若四边形ODBE的面积为6，求反比例函数y=kx29．（2022·全国·九年级专题练习）已知点A(a,ma+2)、B(b,mb+2)是反比例函数y=k图象上的两个点，x且a>0，b<0，m>0．(1)求证：a+b=−2；m(2)若OA2+OB2=2a2+2b2，求m的值；(3)若S△OAB=3S△OCD，求km的值．30．（2021秋·四川成都·九年级统考期末）如图，已知A(2,4)是正比例函数函数y=kx的图象与反比例函数y=m的图象的交点．x(1)求反比例函数和正比例函数的解析式；(2)B为双曲线上点A右侧一点，连接OB,AB．若△OAB的面积为15，求点B的坐标．。

八年级数学下册尖子生同步培优题典【浙教版】专题5.8正方形综合问题大题专练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一．解答题（共24小题）1．（2020春•皇姑区期末）如图，在▱BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若CA＝CB，则▱ADCF为（填矩形、菱形、正方形中的一个）．2．（2021春•台江区校级期中）如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE⊥BC，PF ⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：四边形PECF为矩形；（2）试探究AP与EF的数量关系，并说明理由．3．（2020秋•沈阳期末）如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD 边于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N．（1）求证：PM＝PN；（2）求证：EM＝BN．4．（2021秋•南海区月考）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC＝4，DE＝1，求△ABF的面积．5．（2020春•潼南区期末）如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB 边上一点，满足CF⊥CP，过点B作BM⊥CF，分别交AC、CF于点M、N．（1）若AC＝AP，AC＝3，求△ACP的面积；（2）若BC＝MC，证明：CP＝BM+2FN．6．（2021春•黄石港区期末）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别为E，F．（1）求证：AP＝PC；（2）若∠DAP＝30°，PD＝，求EF的长．7．如图，在△AFE中，∠F AE＝90°，AB是EF边上的高，以AB为一边在AB的右侧作正方形ABCD，CD交AE于点M．（1）求证：△ABF≌△ADM；（2）若AF＝13，DM＝5，求CM的长；（3）连接DF交AB于点G，连接GM，若∠DFB＝∠F AB，求证：四边形AGMD是矩形．8．（2019春•沙河市期末）如图，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分别为AD、BC中点，连接AF、HG、AH．（1）求证：AF＝HG；（2）求证：∠F AE＝∠GHC；9．（2021春•沙坪坝区期末）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．10．（2017春•凌源市期末）如图，正方形ABCD中，G为DC上一点，E为BC上一点．AG平分∠DAE，AG的延长线交BC的延长线于点F．（1）若BF＝8，CD＝4，求BE的长．（2）求证：EF﹣DG＝BE．11．（2019春•西城区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO 并延长，交BC于点F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝4．①直接写出▱ABCD的边BC上的高h的值；②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形12．（2021春•中山市期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E在对角线AC上，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：ED＝EF；（2）若四边形DECG的面积为9，求CE+CG的值．13．（2020•昭阳区模拟）如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：四边形PECF为矩形；（2）若正方形ABCD的边长为2，EC：FC＝1：3，求AP的值．14．（2019春•安陆市期中）在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你探究AE与EF存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．经过探究，小明得出的结论是AE＝EF．而要证明结论AE＝EF，就需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC 的中点，小明想到的方法是如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AEM≌△EFC．从而得到AE＝EF．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，证明结论AE＝EF仍然成立．（2）如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为：“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．15．（2021春•浦东新区期末）如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长．16．（2019春•浦东新区期末）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A和B，以AB为边作正方形ABCD．（1）求点A、B、D的坐标．（2）设点M在x轴上，如果△ABM为等腰三角形，求点M的坐标．17．（2021春•杨浦区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．（1）求证：CG＝CE；（2）联结CF，求证：∠BFC＝45°；（3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．18．（2019•金山区二模）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．19．（2019•宽城区一模）问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线．（1）求证：△ABE≌△DAF．（2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为．20．（2020春•兴化市期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DF A的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．21．（2019秋•邳州市期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．22．（2021秋•宿豫区期中）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF ＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．23．（2020秋•海珠区校级期中）（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．24．（2019春•滨海县期中）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF ＝45°．（1）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N，求证：EF2＝ME2+NF2；（2）如图2，将正方形改为矩形，若其余条件不变，请写出线段EF、BE、DF之间的数量关系，并说明理由．。

浙教版八年级下学期《电和磁》培优训练一、选择题1、小强在北京将一根质量分布均匀的条形磁铁用一条线悬挂起来，使它平衡并呈水平状态，悬线系住磁体位置应在（）A．磁体重心处 B．磁体的某磁极处C．磁体重心的北侧 D．磁体重心的南侧2、在电视节目中我们经常会看到“特斯拉线圈”的表演，表演者通过变压器与电磁振荡制造出人工闪电。

在表演时，表演者与“特斯拉线圈”之间会放出美妙的电火花，对此，你认为对人体不会造成危害的原因是 ( )A. “特斯拉线圈”产生的电火花电压很低，电流很小B. 表演者穿的防护服是绝缘的，电流并没有流经防护服C. 人体的电阻很小，“特斯拉线圈”产生的电流经人体导入地面D. 表演者穿的防护服里有很多金属丝，电流都沿防护服流过3、如图所示，一束带电粒子沿着水平方向平行地飞过小磁针的上方，小磁针的S极向纸内偏转。

对带电粒子束的判断：①向右飞行的正离子束；②向左飞行的正离子束；③向右飞行的负离子束；④向左飞行的负离子束；⑤向右飞行的电子束；⑥向左飞行的电子束，则可能正确的是（）A．②③⑤ B．①④⑥C．②④⑥ D．①③⑤4、如图9所示，条形磁铁放在水平桌面上，在其正中央的上方固定一根长直导线与磁铁垂直，给导线通以垂直纸面向里的电流，则（）A、磁铁对桌面压力增加且不受桌面的摩擦力作用B、磁铁对桌面压力增加且受到桌面的摩擦力作用C、磁铁对桌面压力减小且不受桌面的摩接力作用D、磁铁对桌面压力减小且受到桌面的摩擦力作用5、如图所示，当一个马蹄形线圈中的电流增加到一定大小时，软铁片受到线圈的吸引会向右运动，并造成电路断路，电线AB断开，此种装置可用于下列电器中的（）A．电饭锅保温开关 B．空调启动开关C．断路器开关 D．电铃开关6、如图所示，A为电磁铁，B为铁芯，C为套在铁芯B上的绝缘磁环。

现将A、B、C放置在天平的左盘上，当A中通有电流I时，C悬停在空中，天平保持平衡。

当增大A中电流时，绝缘磁环C将向上运动。

八年级数学下册尖子生同步培优题典【浙教版】专题5.11第5章特殊的平行四边形单元测试（培优提升卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•罗湖区期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行且相等B．邻角互补C．对角线相等D．对角线互相垂直【分析】利用矩形与菱形的性质即可解答本题．【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选：C．2．（2021•鹿城区校级开学）如图，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝60°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（）A．1B．C．D．【分析】由于变化过程中边长不变，所以菱形面积与正方形面积的比即为对应边上高的比，过点D'作D'H ⊥AB交H，所以求出D'H：AD即为所求．【解答】解：由题意可知，正方形与菱形边长相等，∴菱形面积与正方形面积的比即为对应边上高的比，过点D'作D'H⊥AB交H，设AB＝a，∵∠D′AB＝60°，∴D'H＝AD'×sin60°＝a，∴D'H：AD＝a：a＝，故选：D．3．（2020春•太仓市期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB，且AB＝2，点G、H分别在AD、BC上，连接BG、DH，若四边形BHDG是菱形，则AG的长为（）A．B．3C．D．4【分析】首先根据菱形的性质可得BG＝GD，然后设AG＝y，则GD＝BG＝6﹣y，再根据勾股定理可得y2+22＝（6﹣y）2解答即可．【解答】解：∵四边形BGDH是菱形，∴BG＝GD，∵AD＝3AB，且AB＝2，∴AD＝6，设AG＝y，则GD＝BG＝6﹣y，∵在Rt△AGB中，AG2+AB2＝GB2，∴y2+22＝（6﹣y）2，解得：y＝，故选：A．4．（2021•越城区模拟）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长我们称为该图形的宽，矩形铅垂方向的边长我们称为该图形的高．如图2，已知菱形ABCD的边长为1，菱形的边AB水平放置，如果该菱形的高是宽的，那么菱形的宽是（）A．B．C．D．2【分析】先根据要求画图，设AF＝x，则CF＝x，根据勾股定理列方程可得结论．【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设AF＝x，则CF＝x，在Rt△CBF中，CB＝1，BF＝x﹣1，由勾股定理得：BC2＝BF2+CF2，12＝（x﹣1）2+（x）2，解得：x＝或0（舍去），则该菱形的宽是，故选：A．5．（2022•碑林区校级二模）如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则CH＝（）A．24B．10C．D．【分析】由菱形的性质和勾股定理求出BC＝5，再由菱形的面积求出AH＝，然后由勾股定理求出CH 即可．【解答】解：如图，设对角线AC、BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝5，∵AH⊥BC，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC•AH，即×6×8＝5AH，∴AH＝，在Rt△ACH中，由勾股定理得：CH＝＝＝，故选：D．6．（2021春•乐清市期末）如图，菱形ABCD中，AB＝13，AC＝10，则BD的长度为（）A．24B．16C．12D．8【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD，AC⊥BD，再由勾股定理求出OB＝12，得出BD＝2OB＝24即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝12，∴BD＝2OB＝24，故选：A．7．（2021春•江干区期末）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝DF，AB ＝AE，若∠EAF＝75°，则∠C的度数为（）A．85°B．90°C．95°D．105°【分析】由菱形的性质可得AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得∠DAF＝∠BAE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BAE＝10°，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠DAF＝∠BAE，设∠BAE＝∠DAF＝x，∴∠DAE＝75°+x，∵AD∥BC，∴∠AEB＝75°+x，∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝75°+x，∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，∴x+75°+x+75°+x＝180°，∴x＝10°，∴∠BAD＝95°，∴∠C＝95°，故选：C．8．（2021春•镇海区期末）如图1，图形A、图形B是含60°内角的全等的平行四边形纸片（非菱形），先后按图2（2B）、图3（1A1B）的方式放置在同一个含60°内角的菱形中．若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（）A．图形①与图形③的周长和B．图形④与图形⑥的周长和C．图形②与图形⑤的周长和D．图形④与图形⑥的周长差【分析】根据题意设平行四边形较长的一边为x，较短的一边为y，菱形的边长为a，先用字母表示出图形②、⑤的面积，根据题意得到（x﹣y）为已知，再用字母分别表示出图形①、②、③、④、⑤、⑥的周长，进行计算即可得出正确的选项．【解答】解：设平行四边形较长的一边为x，较短的一边为y，菱形的边长为a，图形②的面积S2＝sin60°（2x﹣a）（2y﹣a）＝（4xy﹣2ax﹣2ay+a2），图形⑤的面积S5＝sin60°（x+y﹣a）（x+y﹣a）＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay），∴S5﹣S2＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay）﹣（4xy﹣2ax﹣2ay+a2）＝（x2+y2﹣2xy）＝（x ﹣y）2，图形②的C2＝2（2x﹣a）+2（2y﹣a）＝4x+4y﹣4a，图形⑤的C5＝2（x+y﹣a）+2（x+y﹣a）＝4x+4y﹣4a，∴C2+C5＝（4x+4y﹣4a）+（4x+4y﹣4a）＝8x+8y﹣8a，故C选项不符合题意；图形①的周长C1＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，图形③的周长C3＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，∴C1+C3＝4a﹣2y﹣2x+4a﹣2y﹣2x＝8a﹣4y﹣4x，故A选项不符合题意；图形④的周长C4＝4（a﹣x），图形⑥的周长C6＝4（a﹣y），∴C4+C6＝4（a﹣x）+4（a﹣y）＝8a﹣4y﹣4x，故B选项不符合题意；∴C4﹣C6＝4（a﹣x）﹣4（a﹣y）＝4（y﹣x），根据题意S5﹣S2＝（x﹣y）2，为已知，即（x﹣y）为已知，故D选项符合题意，故选：D．9．（2021秋•鄞州区校级期末）如图所示，将边长为12cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC 沿着AD方向平移得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为32cm2，则它移动的距离AA'等于（）A．4cm B．6cm C．8cm D．4cm或8cm【分析】根据平移的性质和正方形的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．【解答】解：设AC交A′B′于H，∵∠A＝45°，∠D＝90°，∴△A′HA是等腰直角三角形，设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝12﹣x，∴x•（12﹣x）＝32，解得x1＝4，x2＝8，即AA′＝4cm或AA′＝8cm，故选：D．10．（2021春•椒江区校级月考）正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F，B，C在同一直线上，已知BG＝，BC＝3，连接DF并取中点M，则AM的长为（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出BH，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：延长AM交BC于H点，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，BG＝，BC＝3，∴BF＝BG＝2，AB＝AD＝CD＝BC＝3，∵点F，B，C在同一直线上，∴AD∥CF，∴∠DAM＝∠FHM，∠ADM＝∠HFM，∵M是DF中点，∴DM＝FM，∴△ADM≌△HFM（AAS），∴AD＝FH＝3，AM＝HM＝AH，∴BH＝FH﹣BF＝1，在Rt△ABH中，AH＝，∴AM＝，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•南湖区校级期中）如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是AC ＝BD或∠ABC＝90°（写出一种情况即可）．【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角相等且都等于90°，可针对这些特点来添加条件．【解答】解：若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）∠ABC＝90°．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．12．（2021春•上城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，EF ⊥EC，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为35．【分析】证△AEF≌△DCE（AAS）．得AE＝CD，AF＝DE＝2，则AD＝AE+DE＝AE+2，再求出CD＝AE＝5，即可求解．【解答】解：∵四边形ABD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝90°，∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠DEC＝90°，∵∠DCE+∠DEC＝90°．∴∠AEF＝∠DCE，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（AAS）．∴AE＝CD，AF＝DE＝2，∴AD＝AE+DE＝AE+2，∵矩形ABCD的周长为24，∴2（AE+ED+CD）＝24，∴2（2AE+2）＝24，解得：CD＝AE＝5，∴AD＝7，∴矩形ABCD的面积＝AD×CD＝7×5＝35，故答案为：35．13．（2021春•西湖区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，且AE＝AD＝5，若AB＝3，则CE的长是1．【分析】根据矩形的性质可得∠B＝90°，BC＝AD＝5，根据勾股定理求出BE的长，进而可得CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BC＝AD＝5，∵AE＝AD＝5，AB＝3，∴BE＝＝＝4，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．故答案为：1．14．（2022•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F．若∠ADE+∠CDF＝80°，则∠EDF等于50度．【分析】根据垂直的定义得到∠AED＝∠DFC＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠A+∠C＝180°﹣80°＝100°，根据菱形的性质得到∠A＝∠C＝50°，于是得到结论．【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠DFC＝90°，∵∠ADE+∠CDF＝80°，∴∠A+∠C＝180°﹣80°＝100°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C＝50°，∴∠ADC＝130°，∴∠EDF＝∠ADC﹣（∠ADE+∠CDF）＝50°，故答案为：50．15．（2022•永嘉县模拟）如图，四边形ABCD为菱形，DE⊥BC，DF⊥AB，分别交BC，BA延长线于点E，F．若AB＝4，CE＝1，则DF的长为．【分析】根据菱形的性质证明△ADF≌△CDE（AAS），可得AF＝CE＝1，然后根据勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝4，∠DAB＝∠DCB，∴∠DAF＝∠DCE，∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠F＝∠E＝90°，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝1，∴DF＝＝＝．故答案为：．16．（2021春•乐清市期末）如图，已知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且AP＝3，PF⊥CD于点F，PE⊥BC于点E，连结EF，则EF的长为3．【分析】连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF＝PC，证△ABP≌△CBP，推出AP＝PC即可【解答】解：连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵PE⊥CD，PF⊥BC，∴∠PFC＝90°，∠PEC＝90°．又∵∠BCD＝90°，∴四边形PFCE是矩形，∴EF＝PC，∴P A＝EF＝3，故答案为：3．17．（2021春•椒江区校级月考）如图，点E在正方形ABCD内，且∠AED＝90°，AE＝2，连接BE，则△ABE的面积为2．【分析】过点B作BF⊥AE的延长线于点F，证明△ABF≌△ADE（AAS），可得BF＝AE＝2，AF＝DE，设正方形ABCD的边长为a，根据勾股定理可得AF＝DE＝，所以EF＝AF﹣AE＝﹣2，由S△ABE＝S△ABF﹣S△BEF，进而可以解决问题．【解答】解：如图，过点B作BF⊥AE的延长线于点F，∴∠AFB＝∠AED＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠BAE+∠DAE＝∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，在△ABF和△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（AAS），∴BF＝AE＝2，AF＝DE，设正方形ABCD的边长为a，∴AF＝DE＝，∴EF＝AF﹣AE＝﹣2，∵S△ABE＝S△ABF﹣S△BEF，∴S△ABE＝BF•AF﹣BF•EF＝2×﹣2×（﹣2）＝﹣+2＝2．故答案为：2．18．（2021秋•柯桥区期中）如图，已知：P A＝2，PB＝4，以AB为边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为2．【分析】由于AD＝AB，∠DAB＝90°，则把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，P A旋转到AF的位置，根据旋转的性质得到AP＝AF，∠P AF＝90°，PD＝FB，则△APF为等腰直角三角形，得到∠APF＝45°，PF＝AP＝2，即有∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，然后在Rt△FBP中，根据勾股定理可计算出FB的长，即可得到PD的长．【解答】解：∵AD＝AB，∠DAB＝90°，∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，P A旋转到AF的位置，如图，∴AP＝AF，∠P AF＝90°，PD＝FB，∴△APF为等腰直角三角形，∴∠APF＝45°，PF＝AP＝2，∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，在Rt△FBP中，PB＝4，PF＝2，∴由勾股定理得FB＝＝＝2，∴PD＝2，故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•江干区校级月考）已知：如图，在▱ABCD中，延长DC至点E，使得DC＝CE，连结AE交BC于点F．连结AC，BE．（1）求证：四边形ABEC是平行四边形．（2）若∠AFC＝2∠D，求证：四边形ABEC是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠D，再证AB＝CE，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得BC＝2BF，AE＝2AF，再证AE＝BC，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠D，∵CE＝CD，∴AB＝CE，∴四边形ABEC是平行四边形；（2）由（1）得：四边形ABEC是平行四边形，∴BC＝2BF，AE＝2AF，∵∠AFC＝∠ABC+∠BAE＝2∠D，∴∠ABC＝∠BAE，∴AF＝BF，∴AE＝BC，∴平行四边形ABEC是矩形．20．（2021春•温岭市期末）如图，在平行四边形ABCD中，EF是直线DB上的两点，DE＝BF．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是矩形，且BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，求DE的长．【分析】（1）连接AC交EF于点O，由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，可证OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形；（2）利用勾股定理可求BD，AO的长，由矩形的性质可得AO＝EO＝，即可求解．【解答】证明：（1）连接AC交EF于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵DE＝BF，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）∵BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，∴BD＝＝＝4，∴BO＝DO＝2，∴AO＝＝＝，∵四边形AFCE是矩形，∴AO＝CO，EO＝FO，AC＝EF，∴AO＝EO＝，∴DE＝﹣2．21．（2021春•萧山区月考）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EB＝ED，FC＝FD．（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；（2）如图2，连接AD，当点D为BC中点时，求证：四边形AEDF是菱形．【分析】（1）由等腰三角形的性质证出∠FDC＝∠B，∠EDB＝∠C，得出FD∥AB，ED∥AC，则可得出结论；（2）由等腰三角形的性质证出∠BAD＝∠CAD，证出F A＝FD，根据菱形的判定可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵FC＝FD，∴∠FDC＝∠C，∴∠FDC＝∠B，∠EDB＝∠C，∴FD∥AB，ED∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形；（2）证明：∵AB＝AC，D为BC中点，∴∠BAD＝∠CAD，∵AE∥DF，∴∠BAD＝∠ADF，∴∠CAD＝∠ADF，∴F A＝FD，∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形．22．（2021•西湖区校级三模）如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝AE；（2）连接CM，DF＝2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．【分析】（1）连接BD，由菱形的性质得到AC⊥BD、AB＝AD，结合ME⊥AC得到ME∥BD，然后结合点E是AB的中点得到点M时AD的中点，最后得到AM＝AE；（2）①先证明△MAE≌△MDF，然后得到AE＝DF＝2，进而得到AB的长，最后求得菱形的周长；②连接CM，记EF与AC交点为点G，先由AM＝AE，△MAE≌△MDF得到DF＝DM，MF＝ME，从而得到∠DMF＝∠DFM，进而得到∠ADC＝2∠DFM，然后结合∠ADC＝2∠MCD得到∠MCD＝∠DFM，从而得到MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，再由ME⊥AC，AM＝ME得到∠MGC＝90°，ME＝2MG，进而得到MC＝2MG，即可得到∠MGC＝60°，故∠ADC＝60°，从而得到△ADC为等边三角形，△DMC为直角三角形，最后求得CM的长即为ME的长．【解答】（1）证明：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB，AD＝AB，∵EM⊥AC，∴ME∥BD，∵点E是AB的中点，∴点M是AD的中点，AE＝AB，∴AM＝AD，∴AM＝AE．（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，∴AM＝MD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，∴△MDF≌△MAE（AAS），∴AE＝DF，∵AB＝2AE，DF＝2，∴AB＝4，∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，∴DF＝DM，MF＝ME，∴∠DMF＝∠DFM，∴∠ADC＝2∠DFM，∵∠ADC＝2∠MCD，∴∠MCD＝∠DFM，∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，∵ME⊥AC，AM＝AE，∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，∴MC＝2MG，∴∠GMC＝60°，∴∠ADC＝60°，∴∠MCD＝30°，∴∠DMC＝90°，∴△DMC为直角三角形，∵DF＝2，∴DM＝2，CD＝4，∴CM＝＝2，∴ME＝2．23．（2022春•上城区月考）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．（1）求证：△ABE≌△CBE；（2）设∠AEC＝α，∠AFD＝β，试求β关于α的表达式．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBE；（2）由全等三角形的性质可求∠CEB，由三角形的外角的性质可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，又∵∠AEC＝α，∴∠CEB＝α，∵∠DEC+∠CEB＝180°，∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝180°﹣α，∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝180°﹣α﹣45°＝135°﹣α，∴∠AFD＝180°﹣∠DFE＝45°+α＝β．24．（2021•滨江区校级开学）已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF 并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．（1）若点F在边CD上，如图1．①证明：∠DAH＝∠DCH；②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．【分析】（1）①只要证明△DAH≌△DCH，即可解决问题；②只要证明∠CFG＝∠FCG，∠GCF＝∠E即可解决问题；（2）分两种情形解决问题：①当点F在线段CD上时，连接DE；②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．分别求出EC即可解决问题．【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，在△ADH和△CDH中，，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH；②结论：EF＝2CG，理由如下：∵△DAH≌△DCH，∴∠DAF＝∠DCH，∵CG⊥HC，∴∠FCG+∠DCH＝90°，∴∠FCG+∠DAF＝90°，∵∠DF A+∠DAF＝90°，∠DF A＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，∴∠GCE＝∠GCF，∴CG＝GE，∴EF＝2CG；（2）①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝8，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝6+2；②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝8，在Rt△DCE中，CE＝2，∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2综上所述，BE的长为6+2或6﹣2．。

浙教版八年级下册数学2019年浙江省杭州市几何培优卷1、在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（ B ）（第1题图）A．3 B．5 C．2.4 D．2.52、在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=m（m≠0）交于点A（2，-3）和点B（n，2）；x（1）求直线与双曲线的表达式；（2）点P是双曲线y=m（m≠0）上的点，其横、纵坐标都是整数，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，当点xP位于点Q下方时，请直接写出点P的坐标．解：（1）双曲线y=m（m≠0）经过点A（2，-3），x∴m=-6，∴反比例函数的解析式为y=-6，x∵B（n，2）在y=-6上，x∴n=-3，∴B（-3，2），2k+b=−3，则有：{−3k+b=2k=−1，解得：{b=−1∴一次函数的解析式为y=-x-1．（2）由题意点P在点B的左侧或在y轴的右侧点A的左侧，∵点P的横坐标与纵坐标为整数，∴满足条件点点P坐标为（-6，1）或（1，-6）．l321S 4S 3S 2S 13、四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 3 ．4、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 中，A （10，0），C （0，4），D 为OA 的中点，P 为BC边上一点．若△POD 为等腰三角形，则所有满足条件的点P 的坐标为（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．5、正方形ABCD 的边长为4，线段GH=AB ，将GH 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果G 点从A 点出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点H 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个过程中，线段GH 的中点P 所经过的路线围成的图形的面积为 16﹣4π .6、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝ 4 ．第6题图7、正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别从点A 、点D 以相同速度同时出发，点E 从点A 向点D 运动，点F 从点D 向点C 运动，点E 运动到D 点时，E 、F 停止运动．连接BE 、AF 相交于点G ，连接CG ．有下列结论：①AF ⊥BE ；②点G 随着点E 、F 的运动而运动，且点G 的运动路径的长度为π；③线段DG 的最小值为252-；④当线段DG 最小时，△BCG 的面积8855S =+.其中正确的命题有 ① ② ③ ．（填序号）第3题图第4题图第5题图（第7题图）8、菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°，翻折∠B，∠D，使点B，D两点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0<x<2），给出下列判断：①当x=1时，点P是菱形ABCD的中心；②当x=12时，EF+GH>AC；③当0<x<2时，六边形AEFCHG面积的最大；④当0<x<2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确结论是①④．（填序号）9、学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2）（1）A3的坐标为（8，2），A n的坐标（用n的代数式表示）为（3n﹣1，2）．（2）2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？解：（1）∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），∴A1，A2，A3，…，A n各点的纵坐标均为2，∵小正方形的边长为1，∴A1，A2，A3，…，A n各点的横坐标依次大3，∴A3（5+3，2），A n（，2），即A3（8，2），A n（3n﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．10、（如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E在BD上，△BEG是等腰直角三角形，且∠BEG=90°，点F是DG的中点，连结EF与CF．（1）求证：EF=CF；（2）求证：EF⊥CF；（3）如图2，若等腰直角三角形△BEG绕点B按顺时针旋转45°，其他条件不变，请判断△CEF的形状，并证明你的结论．P F EDCBAP DCB APF E D CBA 解析：（1）证明：∵∠BEG=90°，点F 是DG 的中点，∴EF=DF=DG ，∵正方形ABCD 中，∠BCD=90°，点F 是DG 的中点，∴CF=DF=DG ， ∴EF=CF ；（2）证明：∵EF=DF ，CF=DF ，∴∠FDE=∠FED ，∠FCD=∠FDC ，∴∠EFC=∠EFG+∠CFG=∠FDE+∠FED+∠FCD+∠FDC=2∠FDE+2∠FDC=2∠BDC ， 在正方形ABCD 中，∠BDC=45°，∴∠EFC=2×45°=90°，∴EF ⊥CF ； （3）解：△CEF 是等腰直角三角形． 理由如下：如图，延长EF 交CD 于H ， ∵∠BEG=90°，∠BCD=90°，∴∠BEG=∠BCD ，∴EG ∥CD ，∴∠EGF=∠HDF ， ∵点F 是DG 的中点，∴DF=GF ， 在△EFG 和△HFD 中，，∴△EFG ≌△HFD （ASA ），∴EG=DH ，EF=FH ，∵BE=EG ，BC=CD ，∴BC ﹣EB=CD ﹣DH ，即CE=CH ，∴EF ⊥CF （等腰三角形三线合一），CF=EF=EH ，∴△CEF 是等腰直角三角形．11、四边形ABCD 是长方形．（1） Ｐ为矩形内一点（如图a ），求证: 2222PD PB PC PA +=+;（2）探索若点P 在AD 边上(如图b ）、矩形ABCD 外(如图c ）时，结论是否仍然成立．解析：（1）过P 作AB EF ⊥于E 点交CD 于F 点，如图a ：222222222222)()()()(PD PB AE PF BE PE CF PF PE AE PC PA +=+++=+++=+(2) 如图b ：2222PD PB PC PA +=+仍然成立．（证明略） 过P 作BA EF ⊥的延长线于E 点交CD 的延长线于F 点，如图c ： 2222PD PB PC PA +=+仍然成立．（证明略）12、在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，分别延长AC 至E ，BC 至F ，且CE ＝EF ，延长FE 交AD 的延长线于G ． （1）求证：AE ＝EG ；（2）如图2，分别连接BG ，BE ，若BG ＝BF ，求证：BE ＝EG ； （3）如图3，取GF 的中点M ，若AB ＝5，求EM 的长．【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：∠CAD ＝∠G ，可得AE ＝EG ； （2）作辅助线，证明△BEF ≌△GEC （SAS ），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN 是平行四边形，得EM ＝DN ＝AC ，计算可得结论． 【解答】证明：（1）如图1，过E 作EH ⊥CF 于H ，∵AD⊥BC，∴EH∥AD，∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G，∵CE＝EF，∴∠CEH＝∠HEF，∴∠CAD＝∠G，∴AE＝EG；（2）如图2，连接GC，∵AC＝BC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AG是BC的垂直平分线，∴GC＝GB，∴∠GBF＝∠BCG，∵BG＝BF，∴GC＝BE，∵CE＝EF，∴∠CEF＝180°﹣2∠F，∵BG＝BF，∴∠GBF＝180°﹣2∠F，∴∠GBF＝∠CEF，∴∠CEF＝∠BCG，∵∠BCE＝∠CEF+∠F，∠BCE＝∠BCG+∠GCE，∴∠GCE＝∠F，在△BEF和△GCE中，∵，∴△BEF≌△GEC（SAS），∴BE＝EG；（3）如图3，连接DM，取AC的中点N，连接DN，由（1）得AE＝EG，∴∠GAE＝∠AGE，在Rt△ACD中，N为AC的中点，∴DN＝AC＝AN，∠DAN＝∠ADN，∴∠ADN＝∠AGE，∴DN∥GF，在Rt△GDF中，M是FG的中点，∴DM＝FG＝GM，∠GDM＝∠AGE，∴∠GDM＝∠DAN，∴DM∥AE，∴四边形DMEN是平行四边形，∴EM＝DN＝AC，∵AC＝AB＝5，∴EM＝．【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．13、已知正方形ABCD。

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题2.5一元二次方程的解法：因式分解法（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•滨海县校级月考）一元二次方程x2＝x的根为（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x1＝1，x2＝0D．x1＝﹣1，x2＝02．（2022秋•贵州月考）一元二次方程2x2＝x的根为（）A．x＝0B．x=12C．x＝﹣2D．x＝0或x=123．（2022秋•普陀区校级期中）已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程x2﹣16x+48＝0的根，则这个三角形的周为（）A．17B．19C．21D．254．（2022秋•锡山区校级月考）若等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则等腰三角形的周长为（）A．9B．10C．12D．9或125．（2021秋•白水县期末）方程x（x﹣1）＝0的根为（）A．x1＝0，x2＝1B．x＝0C．x＝1D．x＝﹣16．（2022秋•滨海县期中）解方程x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，最适当的解法是（）A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法7．（2022秋•华容区期中）我们知道方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，现给出另一个一元二次方程（2x+1）2﹣2（2x+1）﹣3＝0，它的解是（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣38．（2022秋•六盘水期中）下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是（）A．（x﹣2）（x+5）＝2B．（x﹣2）2＝x﹣2C．x2+5x﹣2＝0D．12（2﹣x）2＝39．（2021秋•洪湖市校级月考）设m 是方程x 2+5x ＝0的一个较大的根，n 是方程x 2﹣x ﹣6＝0的一个较小的根，则m +n 的值是（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．210．（2021•南沙区一模）对于实数m ，n ，先定义一种新运算“⊗”如下：m ⊗n ={m 2+m +n ，当m ≥n 时，n 2+m +n ，当m ＜n 时，若x ⊗（﹣2）＝10，则实数x 等于（ ）A ．3B ．﹣4C ．8D ．3或8二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021秋•金平区校级期末）若（x +1）x ＝2x ，则方程的解为 ．12．（2022秋•昭阳区期中）一个直角三角形的两边长分别是方程x 2﹣8x +15＝0的两个根，则这个直角三角形的周长为 ．13．（2022秋•凉州区校级月考）如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝EB ＝EC ＝a ，且a 是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的根，则▱ABCD 的周长是 ．14．（2021秋•昌江区校级期末）若实数x 满足2x 2+5x +5x +2x 2+1＝0，则x 2+1x 2= ． 15．（2022秋•长沙县期中）定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b ＝a 2﹣2ab ，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如1⊕1＝12﹣2×1×1＝﹣1．嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：x ⊕（﹣3）＝﹣5，其中x 的值为 ．16．（2022春•拱墅区期中）对于实数m ，n ，先定义一种运算“⊗”如下：m ⊗n ={m 2+m +n ，当m ≥n 时n 2+m +n ，当m ＜n 时，若x ⊗（﹣2）＝10，则实数x 的值为 ．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解方程：（1）（x ﹣2）（x ﹣5）＝2；（2）2（x ﹣3）2＝x 2﹣9．18．用因式分解法解一元二次方程：（1）x 2﹣2x ＝0；（2）4x 2﹣4x +1＝0；（3）4（x﹣2）2﹣9＝0；（4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0．19．解方程：（1）2（2x﹣1）2＝4；（2）x2﹣6x+5＝0；（3）2x2﹣2√2x﹣1＝0；（4）2（2x﹣3）2＝3（2x﹣3）．20．（2022秋•东莞市校级月考）三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，求此三角形的面积．21．（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．22．（2021春•上城区校级期末）阅读下面的例题，范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．23．（2016秋•金安区校级月考）已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2﹣1＝0 （1）x2+x﹣2＝0 （2）x2+2x﹣3＝0 （3）…x2+（n﹣1）x﹣n＝0 （n）（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n）；（2）请你指出这n个方程的根具有什么不同特点，写出一条即可．。

2.1模型、符号的建立与作用1．下列是公交车上常见的警示图，属于提醒乘客防止因惯性造成后果的是( ) A．B．C．D．2．下列模型将微观的事物变为宏观的是( )A．“长征二号F"运载火箭模型B．人体结构模型C．牛顿第二定律：F=ma D．水分子模型3．仔细观察下列四幅图片，属于符号的是( )A．杭州地铁标志 B．眼球结构C．直方图 D．“玉兔号”月球车模型4．下列叙述存在科学性错误的是（）A．用不同的符号表示事物，可避免由于事物外形不同和表达的文字语言不同而引起的混乱B．一个模型可以是一幅图、一张表或者计算机图像C．水的三态变化属于物理变化D．地球仪是表示地球的符号5．模型常常可以帮助人们认识和理解一些不能直接观察或复杂的事物，仔细观察下列四幅图片，不属于模型的是( )A． B． C．I=UD．R6．模型常常可以帮助人们认识和理解一些不能直接观察到的或复杂的事物。

仔细观察下列四幅图片，不属于模型的是（）A．奔驰标志B．新冠病毒C．地球仪D．电路图7．仔细观察下列四幅图片，不属于模型的是（）A． B． C． D．8．下列关于模型的说法正确的是（）①模型都是通过抽象的形式来表达认识对象特征的②模型可以是某种物质放大的或缩小的复制品，也可以是一幅图、一张表或计算机图像③模型可以表示一个过程，如描述水的三态变化的示意图④有的模型是抽象的，如一些数学公式A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④9．下列关于模型的说法正确的是（）①某种物体的放大或缩小的复制品②可以是一幅图、一张表或计算机图像③可以表示一个过程，如描述水的三态变化的示意图④有的模型是抽象的，如一些数学公式A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④10．在生活与科研中，我们用符号或模型来表达一定的信息。

下列图示属于符号的是( )A．B．C．D．11．以下属于符号的是( )A．甲烷分子B．地磁场C．电压表D．欧姆定律12．下列各项中，不属于模型的是（）B．水分子A．欧姆定律I=URC．金属元素钠Na D．漏斗13．模型方法：通过一定的科学方法，建立一个适当的模型来代替和反映客观对象，并通过研究这个模型来揭示客观对象的、和，这是一个建模的过程，这样的方法就是模型方法。

反比例函数期末复习课前测：1．如图，在直角坐标系中，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y＝（x＞0）的图象交于点D，连接AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（）A．2B．2C．4D．4【分析】设A（a，），可求出D（2a，），由于对角线垂直，计算对角线乘积的一半即可．【解答】解：设A（a，），可求出D（2a，），∵AB⊥CD，∴S四边形ACBD＝AB•CD＝×2a×＝4，故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点A和点B的坐标．2．下列命题：①在函数：y＝﹣2x﹣1；y＝3x；y＝；y＝﹣；y＝（x＜0）中，y随x增大而减小的有3个函数；②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它只是中心对称图形；④已知数据x1、x2、x3的方差为s2，则数据x1+2，x3+2，x3+2的方差为s3+2．其中是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据一次函数与反比例函数的性质对①进行判断；根据正方形的判定方法对②进行判断；根据反比例函数图象的对称性对③进行判断；根据方差的意义对④进行判断．【解答】解：在函数：y＝﹣2x﹣1；y＝3x；y＝；y＝﹣；y＝（x＜0）中，y随x增大而减小的有2个函数，所以①错误；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以②正确；反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它是中心对称图形，也是轴对称图形，所以③错误；已知数据x1、x2、x3的方差为s2，则数据x1+2，x3+2，x3+2的方差也为s2，所以④错误．故选：A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3．定义新运算x@y＝，如2@3＝，那么下列结论正确的是（）①若当x＞0时，（x3+x）@x＝5，则x＝2；②记N＝x@2，则N＞1或N＜0；③记M＝x@y+y@x，则M有最小值为2；④若@（﹣）＝6@+m．则m＝3．A．①②③B．①②④C．①④D．②③④【分析】根据定义新运算进行计算后判断即可．【解答】解：①∵x＞0，∴x3＞0，∴x3+x＞x，∴（x3+x）@x＝＝5，解得x＝2或x＝﹣2（舍去），故①正确；②记N＝x@2，当x＞2时，N＝＞1，当x＜2时，N＝＜1，故②错误；③记M＝x@y+y@x，当x＞y时，M＝x@y+y@x＝+＝，当x＜y时，M＝x@y+y@x＝+＝，而x≠y，∴M≠2，而当x，y异号时，M＜0，故③错误；④∵@（﹣）＝6@+m．∴＝+m，整理得（+）＝+m，解得m＝3，故④正确；故选：C．【点评】此题考查了解分式方程，利用了新定义进行转化是解题的关键．4．已知（m﹣3）≤0．若整数k满足m+k＝3，则k＝2．【分析】先根据（m﹣3）≤0，由≥0，可知m﹣3≤0，被开方数是非负数列不等式组可得m的取值，又根据m+k＝3，表示m的值代入不等式的解集中可得结论．【解答】解：由题意得：，∴2≤m≤3，∵整数k满足m+k＝3，∴m＝3﹣k，∴2≤3﹣k≤3，∴3﹣3≤k≤3﹣2，∴k是整数，∴k＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的性质和估算、不等式组的解法，有难度，能正确表示m 的值是本题的关键．例：．若反比例函数y＝（a＞1，x＜0）图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），设m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则y＝mx﹣m不经过第（）象限．A．一B．二C．三D．四【分析】利用反比例函数的性质判断出m的正负，再根据一次函数的性质即可判断．【解答】解：∵y＝（a＞1，x＜0），∴a﹣1＞0，∴y＝（a＞1，x＜0）图象在三象限，且y随x的增大而减小，∵图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），x1与y1同负，x2与y2同负，∴m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴y＝mx﹣m的图象经过一，二、四象限，不经过三象限，故选：C．【点评】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．例：．直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于D、A两点，过点A、D分别作x轴的垂线段，垂足为点B，C．若四边形ABCD是正方形，则a的值为±1或±．【分析】先根据直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于D、A两点用a表示出AD两点的坐标，再根据四边形ABCD是正方形可得出AB＝AD，由此即可求出a的值．【解答】解：∵直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于点D、A，∴A（，a），D（2a，a），当直线在x轴的正半轴时，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，即2a﹣＝a，解得a＝﹣1或a＝1．当直线在x轴的负半轴时，同理可得，2a﹣＝﹣a，解得a＝±．故答案为：±1或±．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意求出A、D两点的坐标是解答此题的关键．练习：1．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是或．【分析】联立y＝kx、y＝并解得：点A（，2），同理点B（，3），点C （，），分AB＝BC、AC＝BC两种情况分别求解即可．【解答】解：联立y＝kx、y＝并解得：点A（，2），同理点B（，3），点C（，），∴AB≠AC，①当AB＝BC时，（）2+（3﹣2）2＝（3﹣）2，解得：k＝±（舍去负值）；②当AC＝BC时，同理可得：（﹣）2+（3﹣2）2＝（3﹣）2，解得：k＝（舍去负值）；故答案为：或．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．2．如图，已知函数y＝2x和函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则k＝8，满足条件的P点坐标是（0，﹣4）或（﹣4，﹣4）或（4，4）．【分析】先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标．【解答】解：如图∵△AOE的面积为4，函数y＝的图象过一、三象限，∴S△AOE＝•OE•AE＝4，∴OE•AE＝8，∴xy＝8，∴k＝8，∵函数y＝2x和函数y＝的图象交于A、B两点，∴2x＝，∴x＝±2，当x＝2时，y＝4，当x＝﹣2时，y＝﹣4，∴A、B两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，∴满足条件的P点有3个，分别为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）．故答案为：（0，﹣4）或（﹣4，﹣4）或（4，4）．【点评】此题考查了反比例函数综合，用到的知识点是反比例函数的性质、平行四边形的性质，关键是画图形把P点的所有情况都画出来．3．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，点B，C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．若OC是△OAB的中线，则△OAB的面积为6．【分析】过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD∥CE，得出＝＝，设CE＝m，则BD＝2m，根据反比例函数的解析式表示出OD＝，OE＝，OA＝，然后根据三角形面积公式求解即可．【解答】解：如图，过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD∥CE，∴＝＝，∵OC是△OAB的中线，∴＝＝＝，设CE＝m，则BD＝2m，∴C的横坐标为，B的横坐标为，∴OD＝，OE＝，∴DE＝OE﹣OD＝，∴AE＝DE＝，∴OA＝OE+AE＝，∴S△OAB＝OA•BD＝••2m＝6．故答案为6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，求得BD，OA的长是解题关键．例：．在面积都相等的所有三角形中，当其中一个三角形的一边长x为1时，这条边上的高y为6．（1）①求y关于x的函数表达式；②当x≥3时，求y的取值范围；（2）小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4，小赵说有一个三角形的一边与这边上的高之和为6．你认为小李和小赵的说法对吗？为什么？【分析】（1）①直接利用三角形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用x≥3得出y的取值范围；（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．【解答】解：（1）①S△＝×1×6＝3，∵x为底，y为高，∴xy＝3，∴y＝；②当x＝3时，y＝2，∴当x≥3时，y的取值范围为：0＜y≤2；（2）小赵的说法正确，理由：小李：∵小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4，∴x+＝4，整理得，x2﹣4x+6＝0，∵△＝42﹣4×6＜0，∴一个三角形的一边与这边上的高之和不可能是4；小赵：∵小赵说有一个三角形的一边与这边上的高之和为6．∴x+＝6，整理得，x2﹣6x+6＝0，∵△＝62﹣4×6＝12＞0，∴x＝＝3，∴小赵的说法正确．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x 之间的关系是解题关键．例：．反比例函数y1＝（x＞0，k≠0）的图象经过点（1，3），P点是直线y2＝﹣x+6上一个动点，如图所示，设P点的横坐标为m，且满足﹣m+6＞，过P点分别作PB⊥x轴，P A⊥y轴，垂足分别为B，A，与双曲线分别交于D，C两点，连接OC，OD，CD．（1）求k的值并结合图象求出m的取值范围；（2）在P点运动过程中，求线段OC最短时，P点的坐标；（3）将三角形OCD沿若CD翻折，点O的对应点O′，得到四边形O′COD能否为菱形？若能，求出P点坐标；若不能，说明理由；（4）在P点运动过程中使得PD＝DB，求出此时△COD的面积．【分析】（1）先把（1，3）代入y1＝求出k的值，再由两函数有交点求出m的值，根据函数图象即可得出结论；（2）根据线段OC最短可知OC为∠AOB的平分线，对于y1＝，令x＝y1，即可得出C点坐标，把y＝代入y＝﹣x+6中求出x的值即可得出P点坐标；（3）当OC＝OD时，四边形O′COD为菱形，由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA ＝OB，由此时P横纵坐标相等且在直线y＝﹣x+6上即可得出结论．（4）设B（m，0），则D（m，），P（m，﹣m+6），根据PD＝DB，构建方程求出m，即可解决问题．【解答】解：（1）∴反比例函数y1＝（x＞0，k≠0）的图象进过点（1，3），∴把（1，3）代入y1＝，解得k＝3，∵＝﹣m+6，∴m＝3±，∴由图象得：3﹣＜m＜3+；（2）∵线段OC最短时，∴OC为∠AOB的平分线，∵对于y1＝，令x＝y1，∴x＝，即C（，），∴把y＝代入y＝﹣x+6中，得：x＝6﹣，即P（6﹣，）；（3）四边形O′COD能为菱形，∵当OC＝OD时，四边形O′COD为菱形，∴由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA＝OB，∴此时P横纵坐标相等且在直线y＝﹣x+6上，即x＝﹣x+6，解得：x＝3，即P（3，3）．（4）设B（m，0），则D（m，），P（m，﹣m+6），∵PD＝DB，∴＝﹣m+6﹣，解得：m＝3+或3﹣（舍弃），∴B（3+，0），D（3+，），p（3+，3﹣），c（，3﹣），∴s△COD＝（3+）（3﹣）﹣×（）（3﹣）﹣×（3+）×﹣××＝．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，在解答此题时要注意利用数形结合求解．练习：1．已知直线l：y1＝﹣x+2与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（﹣1，a），B（b，﹣1）与y轴交于点D．（1）求反比例函数y2的表达式及A，B两点的坐标；（2）过点P（0，m）作直线c，使直线c与y轴垂直，直线c与直线AB交于点E，与反比例函数y2的图象交于点F，若点E在点P与点F之间，直接写出m的取值范围；（3）将直线l进行平移，使它与反比例函数y2的图象分别交于P，Q两点，求PQ长度的最小值．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）直线AB与x轴负半轴的夹角为45°，则PQ＝|x P﹣x Q|，进而求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入直线l表达式得：a＝1+2＝3，故点A（﹣1，3），同理可得，点B（﹣3，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3＝，解得k＝﹣3，故反比例函数表达式为y2＝﹣①；（2）画出函数图象如下图，当c位于图示实线和虚线位置时，点E在点P与点F之间，故m的取值范围为2＜m＜3或﹣3＜m＜0；（3）直线AB与x轴负半轴的夹角为45°，则PQ＝|x P﹣x Q|，设直线l平移后的表达式为y＝﹣x+t②，联立①②并整理得：x2﹣tx﹣3＝0，则x P+x Q＝t，x P•x Q＝﹣3，则PQ＝|x P﹣x Q|＝＝×≥×＝2，故PQ的最小值为2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．2．在平面直角坐标系中：设函数y1＝﹣x+m，y2＝（m，n是常数，n≠0）．若函数y1＝﹣x+m的图象过点（n，﹣2），且n+m＝6．（1）求m，n的值．（2）将函数y1＝﹣x+m的图象向上平移h（h＞0）个单位，平移后的函数图象与函数y2＝的图象交于直线y＝4上的同一点，求h的值．（3）已知点M（a，b）（a，b为常数）在函数y1＝﹣x+m的图象上，点M（a，b）关于y轴的对称点为N，函数y3＝kx+m（k≠0）的图象经过点N，当y2＜时，求x的取值范围．【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；（2）根据平移的性质得到平移后的函数的解析式为y＝﹣x+2+h，得到交点的坐标为（1，4），把（1，4）代入y＝﹣x+2+h即可得到结论；（3）由点M（a，b）（a，b为常数）在函数y1＝﹣x+m的图象上，得到M（a，2﹣a），求得点M（a，b）关于y轴的对称点N（﹣a，2﹣a），于是得到y3＝x+2，解不等式即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数y1＝﹣x+m的图象过点（n，﹣2），∴﹣2＝m﹣n，∵n+m＝6，∴m＝2，n＝4；（2）由（1）知，m＝2，n＝4，∴y1＝﹣x+2，y2＝，∵将函数y1＝﹣x+m的图象向上平移h（h＞0）个单位，∴平移后的函数的解析式为y＝﹣x+2+h，∵平移后的函数图象与函数y2＝的图象交于直线y＝4上的同一点，∴交点的坐标为（1，4），把（1，4）代入y＝﹣x+2+h得，h＝3；（3）∵点M（a，b）（a，b为常数）在函数y1＝﹣x+m的图象上，∴M（a，2﹣a），∴点M（a，b）关于y轴的对称点N（﹣a，2﹣a），∵函数y3＝kx+m（k≠0）的图象经过点N，∴y3＝x+2，∵y2＜，∴＜＝2，当x＞0时，解得x＞2，当x＜0时，解得：x＜0，综上所述，x的取值范围为：x＞2或x＜0．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确的理解如图是解题的关键．3．已知一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2与反比例函数y＝（k≠0）．（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣1），求m与k的值．（2）已知点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，设k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数y＝的图象所在的象限，说明理由．【分析】（1）把A（m，﹣1）代入y＝（m﹣1）x+m﹣2，即可求得m的值，然后根据待定系数法求得k的值；（2）根据题意可以判断m﹣1的正负，从而可以解答本题．【解答】解：（1）一次函数的图象都经过点A（m，﹣1），∴﹣1＝m（m﹣1）+m﹣2且m﹣1≠0，∴m＝﹣1，∴A（﹣1，﹣1），∵反比例函数的图象都经过点A（﹣1，﹣1），∴k＝1；（2）∵点B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，∴①﹣②得y1﹣y2＝（m﹣1）（x1﹣x2），∵k＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），∴k＝（m﹣1）（x1﹣x2）2，∴当m＞1时，k＞0，反比例函数的图象在一三象限；当m＜1时，k＜0，反比例函数的图象在二四象限．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．4．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（kPa）与气体的体积V（m3）成反比例．当气体的体积V＝0.8m3时，气球内气体的压强p＝112.5kPa．当气球内气体的压强大于150kPa时，气球就会爆炸．（1）求p关于V的函数表达式；（2）当气球内气体的体积从1.2m3增加至1.8m3（含1.2m3和1.8m3）时，求气体压强的范围；（3）若气球内气体的体积为0.55m3，气球会不会爆炸？请说明理由．【分析】（1）根据题意利用待定系数法确定函数关系式即可；（2）根据气球的体积求得其压强的取值范围即可；（3）代入V＝0.55求得压强后与最大承受压强比较即可确定是否爆炸．【解答】解：∵温度不变时，气球内气体的压强p（kPa）与气体的体积V（m3）成反比例，∴设解析式为：p＝，∵当气体的体积V＝0.8m3时，气球内气体的压强p＝112.5kPa，∴k＝0.8×112.5＝90，∴p关于V的函数表达式为p＝；（2）当V＝1.2时，p＝75kPa，当V＝1.8时，p＝50kPa，∴当气球内气体的体积从1.2m3增加至1.8m3（含1.2m3和1.8m3）时，气体压强的范围为50～75kPa；（3）当V＝0.55m3时，p＝≈163.6＞150kPa，所以会爆炸．【课堂练习】1．如图，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点D在反例函数y＝的图象上，若点B的坐标为（﹣3，﹣1），则k的值为3．【分析】先利用矩形的性质得到矩形AEOF的面积等于矩形OMCN的面积，则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝（﹣3）×（﹣1）＝3．【解答】解：设D（x，y），如图，∵矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，∴矩形AEOF的面积等于矩形OMCN的面积，∴xy＝k＝（﹣3）×（﹣1）＝3，故答案为3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了矩形的性质．2．如图，一次函数y1＝﹣x﹣1的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数y2＝（k≠0）图象的一个交点为M（﹣2，m）．（1）求该反比例函数的表达式；（2）求△OBM的面积．【分析】（1）求出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式，求出即可；（2）根据M、B的坐标，结合三角形面积公式求出即可．【解答】解：（1）∵M（﹣2，m）在一次函数y1＝﹣x﹣1的图象上，∴代入得：m＝﹣（﹣2）﹣1＝1，∴M的坐标是（﹣2，1），把M的坐标代入y2＝得：k＝﹣2，即反比例函数的解析式是：；（2）y1＝﹣x﹣1，当x＝0时，y1＝﹣1，即B的坐标是（0，﹣1），所以OB＝1，∵M（﹣2，1），∴点M到OB的距离是2，∴△MOB的面积是×1×2＝1．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，三角形的面积，用待定系数法求出函数的解析式的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目比较好，难度适中．3．在平面直角坐标系中，正比例函数y1＝ax（a≠0）与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于A，B两点．（1）若点A（﹣2，﹣3），求a，k的值；（2）在（1）的条件下，x轴上有一点C，满足△ABC的面积为6，求点C坐标；（3）若a＝1，当x＞3时，对于满足条件0＜k＜m的一切m总有y1＞y2，求m的取值范围．【分析】（1））把A（﹣2，﹣3）分别代入y1＝ax（a≠0）和y2＝（k≠0）即可求得；（2）联立方程求得交点坐标，然后根据S△ABC＝2S△BOC即可求得；（3）根据题意得到x＞，即x2＞k且x＞3，求得k＜9，由0＜k＜m即可求得0＜m≤9．【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣3）分别代入y1＝ax（a≠0）和y2＝（k≠0）得：﹣3＝﹣2a，﹣3＝，∴a＝，k＝6；（2）解得或，∴A（﹣2，﹣3），B（2，3），∴原点O是AB的中点，如图所示，∴S△ABC＝2S△BOC＝2××3×|x C|＝6，∴|x C|＝2，∴C（2，0）或（﹣2，0）；（3）∵a＝1，∴y1＝x，∵当x＞3时，对于满足条件0＜k＜m的一切m总有y1＞y2，∴x＞，∴x2＞k且x＞3，∴k＜9，∵k＜m，∴0＜m≤9．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，数形结合的数学思想，解此类题通常与不等式结合，利用图象或解不等式的方法来解题是关键．。

2019-2020学年度浙教版初中数学八年级下册拔高训练第九十七篇第1题【单选题】在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是( )A、（3，7）B、（5，3）C、（7，3）D、（8，2）【答案】：【解析】：第2题【单选题】下列图形中，是中心对称图形的有( )A、1个B、2个C、3 个D、4个【答案】：【解析】：第3题【单选题】下列所述图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )A、长方形B、平行四边形C、正五边形D、等边三角形【答案】：【解析】：第4题【单选题】如图，在?ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为( )A、4cmB、5cmC、6cmD、8cm【答案】：【解析】：第5题【单选题】平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为( )A、4＜x＜6B、2＜x＜8C、0＜x＜10D、0＜x＜6【答案】：【解析】：第6题【单选题】圆柱形纸筒沿母线AB剪开铺平，得到一个矩形（如图）．如果将这个纸筒沿线路B?M?A剪开铺平，得到的图形是( )A、矩形B、半圆C、三角形D、平行四边形【答案】：【解析】：第7题【单选题】下列图形中，可以看作是中心对称图形的有( )A、0个B、1个C、2个D、3个【答案】：【解析】：第8题【单选题】顺次连接下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是( )A、等腰梯形B、矩形C、平行四边形D、菱形或对角线互相垂直的四边形【答案】：【解析】：第9题【单选题】下列图形中，是中心对称图形的是( )A、B、C、D、【答案】：【解析】：第10题【单选题】下列说法正确的是( )A、平行四边形是轴对称图形B、平行四边形的对角线互相垂直平分C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D、两组对角分别相等的四边形是平行四边形【答案】：【解析】：第11题【单选题】若三角形的边长为3、4、5，那么连结各边中点所成的三角形的周长为( )A、6B、6.5C、7D、8【答案】：【解析】：第12题【填空题】在□ABCD中，∠A＝120°，则∠D＝______度．【答案】：【解析】：第13题【填空题】如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为______?【答案】：【解析】：第14题【填空题】如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是______.【答案】：【解析】：第15题【填空题】一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是______．【答案】：【解析】：第16题【填空题】如图，?ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE 与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若?ABCD的周长为42cm，FM=3cm，EF=4cm，则EM=______cm，AB=______cm．【答案】：【解析】：第17题【填空题】如图，有误中，点E、F为对角线BD上两点，请添加一个条件，使四边形AECF成为平行四边形：______.【答案】：【解析】：第18题【填空题】如图，在?ABCD中，AB=5，AC=6，当BD=______时，四边形ABCD是菱形．【答案】：【解析】：第19题【解答题】（1）已知：如图1，P为△ADC内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，如果∠A=60°，那么∠P的度数；如果∠A=90°，那么∠P的度数；如果∠A=x°，则∠P的度数；（答案直接填在题中横线上）（2）如图2，P为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出你的探索过程；（3）如图3，P为五边形ABCDE内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系（4）如图4，P为六边形ABCDEF内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系（5）若P为n边形A1A2A3…An内一点，PA1平分∠AnA1A2 ，PA2平分∠A1A2A3 ，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…∠An的数量关系：【答案】：【解析】：第20题【解答题】如图,长方形ABCD是篮球场的简图,请通过画图找出它的对称中心.【答案】：【解析】：第21题【解答题】已知：如图．在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、DC的中点．求证：四边形BDEF是平行四边形．【答案】：【解析】：第22题【综合题】在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移后得△DEF，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点E．画出△DEF；连接AD、BE，则线段AD与BE的关系是______求△DEF的面积．【答案】：【解析】：第23题【综合题】如图，BD是?ABCD的对角线，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F．?补全图形，并标上相应的字母；求证：AE=CF．【答案】：【解析】：第24题【综合题】如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．求证：AC∥DE；连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．【答案】：【解析】：第25题【综合题】如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B.用“8字型”如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______；造“8字型”如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=______;发现“8字型”如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线.①图中共有______个“8字型”；②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值.______【答案】：【解析】：。