八年级数学下册浙教版课件：第二部分 培优训练篇 第四章平行四边形培优训练A卷(共33张PPT)

浙教版八年级下册数学第四章平行四边形测试卷（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B. C. D.2.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是( )A. 十三边形B. 十二边形C. 十一边形D. 十边形3.下列图形中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4.如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角的数量关系为（）A. 相等B. 互补C. 相等或互补D. 无法确定5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=8，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE 于G，BG=4 ，则四边形AECD的周长为（）A. 20B. 21C. 22D. 236.已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（）A. 正五边形B. 正六边形C. 正七边形D. 正八边形7.能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）．A. AB∥CD，AD=BCB. ∠A=∠B，∠C=∠DC. AB=CD，AD=BCD. AB=AD，CB=CD8.n边形的每个内角都为120°，则内角和为（）A. 360°B. 540°C. 720°D. 1080°9.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BC=18，D是AB上一点，AC=BD，E是CD的中点.则AE的长是( ).A. 12B. 9C. 9D. 以上都不对10.一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A. 60°B. 72°C. 90°D. 108°11.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（）A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形12.把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（）A. 90°B. 84°C. 72°D. 88°二、填空题（共8题；共18分）13.已知平行四边形ABCD中，∠C＝2∠B，则∠A＝________度．14.一个n边形的内角和是720°，则n=________．15.若一个多边形的内角和为360°，则这个多边形的边数为________．16.如图，在正六边形ABCDEF中，连接AD，AE，则∠DAE=________．17.六边形有m条对角线，五边形有n条对角线，则m﹣n=________ ．18.如图1所示，圆上均匀分布着11个点A1，A2，A3，…，A11．从A1起每隔k个点顺次连接，当再次与点A1连接时，我们把所形成的图形称为“k+1阶正十一角星”，其中1≤k≤8（k为正整数）．例如，图2是“2阶正十一角星”，那么∠A1+∠A2+…+∠A11=________；当∠A1+∠A2+…+∠A11=900°时，k=________．19.如图，已知△ABC中，BC=2，AB=AC=4，点D是BC的中点，E为AC的中点，点P为AB上的动点，则点D到AC的距离为________，DP+EP的最小值等于________.20.如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了________．三、解答题（共3题；共25分）21.如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，求证：四边形AECF是平行四边形．22.在直角坐标平面内，已知点A（3，0）、B（2，3），点B关于原点对称点为C．（1）写出C点的坐标；（2）求△ABC的面积．23.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，．E是边AB的中点，联结DE、CE，且DE⊥CE．设AD=x，BC=y．（1）如果∠BCD=60°，求CD的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）联结BD．如果△BCD是以边CD为腰的等腰三角形，求x的值．四、综合题（共3题；共33分）24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于.（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设是直线上一点，过作轴，交反比例函数的图象于点，若为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标.25.如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，BF=DE，AE=CF，∠1=∠2．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．26.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD.连结BE、BF。

最新浙教版数学八年级下册第四章平行四边形测试题及答案(时间：100分钟满分：120分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案一、选择题(共10小题每3分共30分)1.已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点P成中心对称，则BC与B1C1的关系是( )A.相等B.垂直C.相等并且平行D.相等并且平行或相等并且在同一直线上2.已知一个多边形的所有外角都等于18°，则这个多边形为( )A. 18边形B.20边形C. 24边形D. 28边形3.不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )A. 对角线互相平分B. 一组对边相等，另一组对角相等C. 一组对边平行且相等D. 两组对边分别相等4.如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．结论一定正确的是()A. EF与AD互相平分B. EF>ADC. EF⊥ADD. EF=AD5.在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()6. 如图，在□ABCD中，点E、F分别为DC，AB上的点，AF=DE，连接AE、DF相交于点P，连接FC、EB相交于点Q，若四边形PFQE(阴影部分)面积为5，则□ABCD的面积为( )A. 15B. 20C. 30D. 357.设a，b，c都是正实数，x＝a＋b1，y＝b＋c1，z＝c＋a1，则x，y，z三个数( ) A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于28. 如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线EF经过点O，且EF⊥AC分别与AD、BC相交于点E、F，连接EC，若△CDE的周长为a，则□ABCD的周长为( )A.8aB. 6aC. 4aD. 2a9.一个凸多边形有35条对角线，则这个多边形的内角和为( )A B C D第6题图第8题图A. 1200°B. 1240°C. 1440°D. 1540°10. 下列说法正确的有( ) ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②平行四边形的内角和等于外角和；③平行线间的线段相等；④三边各不相等的两个全等的三角形只能拼成一个平行四边形；⑤平行四边形的四内角之比可以是4：5：4：5．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题(共10小题每题3分共30分)11.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，AD=7cm，BC=5cm，则EF的取值范围是.12. 如图，□ABCD的周长为32 cm，对角线AC，BD相交于点O，△BOC周长比△AOB周长长4 cm，AC=8 cm，则BD= cm.13. 一个多边形的内角和与一个外角的和为1660°，则这个多边形的边数为，这个外角的度数为________.14.已知O是□ABCD对角线的交点，AC=22cm，BD=28cm，AD=19cm，则△BOC的周长是______cm．15.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥DC于F，若∠1=∠2=∠3，AB=25，则AD与BC 的之间距离为________ cm．16.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD．若这个四边形的面积为16，求BC+CD的值是________．17. 一个多边形截去一个角，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原多边形的边数为_______．18.如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=________．19.在平面直角坐标系中有三个点A(1，-1)、B(-1，-1)、C(0，1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2019的坐标是.20. 如图，将□ABCD折叠，使点A，D分别落在点E，F处(点E，F都在BC所在的直线上)，折痕为MN，∠A=115°，有如下的结论：①BE=FC；②ME=NC；③∠CNF=50°；④图中平行四第11题图第15题图第20题图第12题图第18题图第16题图边形的个数为3个；⑤直线MN 是线段AE 的垂直平分线.其中正确的是 (填序号). 三、解答题(共6题 共60分)21. (满分8分)如图，已知△ABC 和点O . (1)画出△ABC 关于点O 的对称图形△A 1B 1C 1； (2)过点O 任意画一条直线a ，画△ABC 关于 直线a 的对称图形△A 2B 2C 2；(3)观察△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2，这两个图形对称吗？如果对称， 它们属于什么对称？画出它们的对称轴或对称中心， 并写出你的发现.22. (满分8分)设a 、b 、c 为互不相等的非零实数，求证：方程ax 2+2bx +c ＝0，bx 2+2cx +a ＝0，cx 2+2ax +b＝0 至少有一个方程有实数根．23. (满分10分)如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 、F 是AD 、BC 的中点，EF 分别交AC 、BD于M 、N ，且AC =BD ． 求证：OM =ON ．24. (满分10分)如图，在△ABC 中，点E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AD 是边BC 上的高． (1)求证：四边形AEFG 是平行四边形； (2)求证：∠EFG =∠GDF ．25．(满分12分)先阅读下列材料，再解决问题：在直角坐标系中，若点A ，B 的坐标分别为(x ₁，y ₁)，(x ₂，y ₂)，则线段AB 的中点C 的坐标为 (x 0，y 0)，则有x 0=221x x +，y 0 =221y y +，此公式为线段AB 的中点坐标公式. 第21题图第23题图 第24题图应用：例如点A ，B 的坐标分别为(-2，3)，(6，-5)，则有线段AB 的中点C 的坐标为( ). ∵x 1=-2，y 1=3；x 2=6，y 2=-5， ∴x 0=2262=+-，y 0 =1253-=-， ∴线段AB 的中点C 的坐标为(2，-1). 解决问题：(1)在图①，图②，图③中，给出□ABCD 的顶点A ，B ，C ，D 的坐标(如图所示)，写出图①，图②，图③中的顶点C 的坐标，它们分别是(____，____)，(____，____)，(__，___)； (2)在图④中，给出□ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标(如图所示)，求出顶点C 的坐标(___，____) (C 点坐标用含a ，b ，c ，d ，e ，f 的代数式表示)(3)通过对图①，图②，图③，图④的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A (a ，b )，B (c ，d )，C (m ，n )，D (e ，f )，(如图4)时，则四个顶点的横坐标a ，c ，m ，e 之间的等量关系为______； 纵坐标b ，d ，n ，f 之间的等量关系为______(不必证明)．26. (满分12分)如图，在□ABCD 中，O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线EF ，分别与BC ，AD相交于点E ，F ，过点O 的直线GH 与BA 的延长线交于点H ，DC 的延长线交于点G ，连接HE 、EG 、GF 、FH .求证：BM=DN .参考答案一、选择题(共10小题 每3分 共30分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBBADBCDCB第25题图③第25题图①第25题图②第25题图④第26题图二、填空题(共10小题 每题3分 共30分)11、2<EF <12 12、413 13、11，40° 14、44 15、5 16、8 17、10或11或12 18、540° 19、(4,0) 20、①、②、③、⑤ 三、解答题(共6题 共60分) 21.解：(1)△A 1B 1C 1如图所示； (2)△A 2B 2C 2如图所示；(3)如图所示，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2成轴对称， 对称轴为过点P 垂直于a 的直线b ．22. 解：假设题中的三个方程都没实数根，不妨设这三个方程的根的判别式为Δ1，Δ2，Δ3，则有： Δ1＝4b 2-4ac <0①，Δ2＝4c 2-4ab <0②，Δ3＝4a 2-4bc <0③， 而①+②+③得：4a 2+4b 2+4c 2-4ab -4ac -4bc =2(2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ca )=2〔(a 2-2ab +b 2)+ (b 2-2bc +c 2) +(c 2-2ca +a 2)〕=2〔(a -b ) 2+ (b -c ) 2 +(c -a ) 2〕>0 ∴这与Δ1+Δ2+Δ3<0矛盾，故题中的三个方程至少有一个方程有实数根． 23. 证明：点P 为AB 的中点，连接EP 、FP ， ∵点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴EP ，FP 分别为△ABC 和△ABD 的中位线， ∴EP ∥AC ，EP =21AC ， ∴FP ∥BD ，FP =21BD .∵AC =BD ， ∴21AC =21BD ， ∴EP =FP ， ∴∠PEF =∠PFE . ∵EP ∥AC ， ∴∠PEF =∠ONM . ∵FP ∥BD ， ∴∠PFE =∠OMN ， ∴∠OMN =∠ONM .第21题图第23题图∴OM =ON ．24. (1)证明：∵点F ，E ，G 分别是AB ，BC ，CA 的中点， ∴EF ，FG 分别为△ABC 的中位线， ∴EF ∥AC ，FG ∥AB ， ∴四边形AEFG 是平行四边形.(2)证明：连接EG ，∵EF ，FG 分别为△ABC 的中位线，∴EF =21AC ，FG =21AB ，∵AD 是边BC 上的高， ∴DE =21AB ，DG =21AC ， ∴EF =DG ，FG =DE 在△EFG 和△GDE 中，⎪⎩⎪⎨⎧===GE EG DF FG GD EF ， ∴△EFG ≌△GDE (SSS ). ∠EFG =∠GDF ． 25．解决问题：解：(1)利用平行四边形的性质：对角线互相平.即对角线BD 的中点坐标也是对角线AC 的中点坐标，得出图①，图②，图③中顶点C 的坐标分别是：(7，3)、(e +c ，d )，(c +e -a ，d )． (2)连接AC 与BD 交于M ，根据平行四边形的对角线互相平分，点M 是AC 的中点，也是BD 的中点， 由B (c ，d )，D (e ，f )． 则点M 的坐标为)2,2(fd e c ++ 第25题图③第25题图①第25题图②第25题图④第25题图④第24题图设点C 的坐标为(x 0，y 0)， 由中点坐标公式得，220ec x a +=+， x 0=e +c -a ． 220fd y b +=+，y 0=f +d -b ． ∴C (e +c -a ，f +d -b )．(3)m =c +e -a ，n =d +f -b 或m +a =c +e ，n +b =d +f ． 26. 证明：在□ABCD 中，∴OB =OD ，AD ∥BC ，∠ADB =∠CBD . 在△DOF 和△BOE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠EBO FDO OB OD EOB FOD ， ∴△DOF ≌△BOE (ASA ). ∴OF =OE .同理可证△HBO ≌△GDO . ∴OH =OG .∴四边形HEGF 为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). ∴HE ∥FG ， ∴∠MEO =∠NFO ， 在△OME 和△ONF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠NFO MEO OF OE NOF MOE ， ∴△OME ≌△ONF (ASA ). ∴OM =ON .∵BM =OB -OM ，DN =OD -ON ∴BM =DN .第26题图。

平行四边形第2讲（平行四边形的判定及三角形中位线）命题点一：平行四边形判定定理的应用【思路点拨】延长AC后，证明AD∥BC，然后转化为证明三角形全等，得到四边形对角线互相平分，从而证得四边形ABCD是平行四边形．在解决几何证明时，全等三角形是解题的有效手段．例1如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，过点P作直线，交AD于点E，交BC于点F，若PE＝PF，且AP＋AE＝CP＋CF.证明：四边形ABCD为平行四边形．解：延长AC，在点C上方取点N，点A下方取点M，使AM＝AE，CN＝CF，则由已知可得PM＝PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形．∴∠M＝∠N，∠MEP＝∠NFP.∴∠AEP＝∠PF C．∴AD∥B C．可证得△PAE≌△PCF，得PA＝PC，再证△PED≌△PFB，得PB＝P D．∴四边形ABCD为平行四边形．例2已知四边形ABCD是平行四边形，且满足AB＝BC，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.如图所示，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．解：如图，连结EF，过点A作AH⊥EC于点H，过点F作FG⊥EC于点G.∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝A C．∵∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠FA C．∵∠AEB＝∠ABH－∠EAB＝60°－15°＝45°，且AB∥CD，∴∠AFC＝∠BAF＝60°－15°＝45°.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF.∵BH＝CH＝2，AH＝23，∴EH＝AH＝2 3.∴EB＝CF＝EH－BH＝23－2.∵∠FCG＝∠ABC＝60°，∴FG＝32(23－2)＝3－ 3.【思路点拨】对于平行四边形的证明，首先通过证明△ADP≌△BEP，可得DP＝EP，从而通过对角线互相平分证得结论．而对于等腰三角形的证明，通过直角三角形的重要性质：斜边上的中线等于斜边的一半.例3如图，P是△ABC的边AB上一点，连结CP，BE⊥CP于点E，AD⊥CP，交CP的延长线于点D．(1)如图①，当P为AB的中点时，连结AE，BD，证明：四边形ADBE是平行四边形．(2)如图②，当P不是AB的中点时，取AB中点Q，连结QD，QE，证明：△QDE是等腰三角形．答图解：(1)∵P为AB的中点，∴AP＝BP.∵BE⊥CP，AD⊥CP，∴∠ADP＝∠BEP＝90°，且AD∥BE.又∵∠APD＝∠BPE，∴△ADP≌△BEP.∴DP＝EP.又∵AP＝BP，∴四边形ADBE是平行四边形．(2)如图，延长DQ交BE于点F.∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴AD∥BE.∴∠DAQ＝∠FBQ.又∵∠AQD＝∠BQF，AQ＝BQ，∴△ADQ≌△BFQ.∴DQ＝FQ.又∵BE⊥DC，∴QE是Rt△DEF斜边上的中线．∴QE＝QF＝Q D．∴△QDE是等腰三角形．例4如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．(1)若ED⊥EF，求证：ED＝EF.(2)在题(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)．(3)若ED＝EF，ED与EF垂直吗？若垂直，请给出证明．解：(1)如图①，连结CE.在▱ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥B C．∵E是AB的中点，∴AE＝EC，CE⊥A B．∴∠ACE＝∠BCE＝45°.∴∠ECF＝∠EAD＝135°.∵ED ⊥EF ，∴∠CEF ＝∠AED ＝90°－∠CE D ．在△CEF 和△AED 中，∵⎩⎨⎧∠CEF ＝∠AED ，EC ＝AE ，∠ECF ＝∠EAD ，∴△CEF ≌△AE D ．∴ED ＝EF .(2)连结CE .由题(1)知△CEF ≌△AED ，CF ＝A D ．∵AD ＝AC ，∴AC ＝CF .∵DP ∥AB ，∴FP ＝P B ．∴CP ＝12A B ．∴四边形ACPE 为平行四边形．(3)垂直．理由如下：过点E 作EM ⊥DA ，交DA 延长线于点M ，过点E 作EN ⊥AC 于点N . 在△AME 与△CNE 中∵⎩⎨⎧∠M ＝∠CNE ＝90°，∠EAM ＝∠NCE ＝45°，AE ＝CE ，∴△AME ≌△CNE .∴ME ＝NE .又∵∠DME ＝∠ENF ＝90°，DE ＝EF ， ∴△DME ≌△FNE .∴∠ADE ＝∠CFE .在△ADE 与△CFE 中，∵⎩⎨⎧∠ADE ＝∠CFE ，∠DAE ＝∠FCE ，DE ＝EF ，∴△ADE ≌△CFE (AAS )．∴∠DEA ＝∠FE C ．∵∠DEA ＋∠DEC ＝90°，∴∠FEC ＋∠DEC ＝90°.∴∠DEF ＝90°.∴ED ⊥EF .例5如图，E，F为△ABC中AB，BC的中点，在AC上取G，H两点，使得AG＝GH＝HC，EG与FH的延长线相交于点D，求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：如图，连结BG，BH，连结BD交AC于点O.∵AG＝GH，∴G是AH的中点．∵在△ABH中，E是AB的中点，∴EG∥BH.∴GD∥BH.∵GH＝HC，∴H是CG的中点．∵在△CBG中，F是BC的中点，∴FH∥BG.∴DH∥BG.∴四边形BHDG是平行四边形．∴OG＝OH，OB＝O D．又∵AG＝HC，∴OA＝O C．∴四边形ABCD是平行四边形．命题点二：三角形中位线的性质和应用例6如图，AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE＝AB，M，N分别为BC，AE的中点．求证：MN∥A D．证明：如图，连结BE，取BE中点F，连结FN，FM. ∵FN为△EAB的中位线，∴FN＝12AB，FN∥A B．∵FM为△BCE的中位线，∴FM＝12CE，FM∥CE.∵CE＝AB，∴FN＝FM.∴∠3＝∠4.∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5.∵∠1＋∠2＝∠3＋∠5，∠1＝∠2，∴∠2＝∠5.∴NM∥A D．例7如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE(不需证明)．(1)如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．(2)如图③，在△ABC中，AC >AB，D点在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G.若∠EFC＝60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．解：(1)△OMN为等腰三角形．(2)△AGD为直角三角形，证明如下：如图②，连结BD，取BD的中点H，连结HF，HE.∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF＝AB 2.同理，HE∥CD，HE＝CD 2.∵AB＝CD，∴HF＝HE.∵∠EFC＝60°，∴∠HEF＝60°. ∴∠HEF＝∠HFE＝60°.∴△EHF是等边三角形．∴∠3＝∠HFE＝∠EFC＝∠AFG＝60°.∴△AGF是等边三角形．∵AF＝FD，∴GF＝F D．∴∠FGD＝∠FDG＝30°.∴∠AGD＝90°，即△AGD是直角三角形．例8如图，E，F分别是四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，求证：EF<12(AB＋CD)．证明：如图，取BC的中点为G，连结EG，FG.∵点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，∴FG＝12DC，EG＝12A B．答图∵在△EFG中，EF<EG＋FG，∴EF<12(AB＋CD)．课后练习1．A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，D是该平面内任意一点，若A，B，C，D四个点恰能构成一个平行四边形，则在该平面内符合这样条件的点D有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8, 点D在BC上，在以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE能取的最小值是( B )A．4 B．6 C．8 D．103．如果三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15的两个根，那么连结这个三角形三边的中点，得到的新三角形的周长可能是( A )A．5.5 B．5 C．4.5 D．44．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN ＝3，则△ABC的周长是( D )A．38 B．39 C．40 D．415．如图，P是▱ABCD内一点，且S△PAB＝5，S△PAD＝2，则涂色部分的面积为( B )A．4 B．3 C．5 D．66．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线的中点，E，F分别是AB与CD的中点．若∠PEF＝20°，则∠EPF的度数是 140°.7．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，F为CE的中点，G为CD上的一点，连结DF，EG，AG，∠1＝∠2.若CF＝2，AE＝3，则BE的长是7 .8．如图，AD∥BC，∠EAD＝∠EAB，∠EBA＝∠EBC，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C．若AD＝3，BC＝4，则AB＝ 7 .9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点．若MN＝2，则AE＝2 2 .10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别为AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且满足∠FPQ＝∠FQP，若BD＝10，则AC为 10 .11．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，DF⊥AE于点F，H为DF的中点，求证：CH⊥DF.证明：如图，分别延长AE和DC，交于点P.∵AB∥CP，∴∠ABE＝∠PCE.又∵CE＝BE，∠AEB＝∠PEC，∴△ABE≌△PCE.∴PC＝A B．又∵AB＝CD，∴PC＝CD，即C为PD的中点．∵H为DF的中点，∴CH为△DFP的中位线．又∵DF⊥AE，∴CH⊥DF.12．已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC，等腰直角三角形CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连结AF，M是AF的中点，连结MB，ME.(1)如图①，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF.(2)如图①，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长．(3)如图②，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME.解：(1)延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝B D．∴B为线段AD的中点．又∵M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线．∴BM∥CF.(2)由题(1)知AB＝BC＝BD＝a，AC＝CD＝2a，BM＝12 DF.分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形．∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝22A．∴E为FG中点．又∵M为AF中点，∴ME＝12AG.∵CG＝CF＝22a，CA＝CD＝2a，∴AG＝DF＝2A．∴BM＝ME＝12×2a＝22A．(3)延长AB交CE于点D，连结DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形．∴AB＝BC＝BD，AC＝C D．∴B为AD的中点．又∵M 为AF 中点，∴BM ＝12DF .延长FE 与CB 交于点G ，连结AG ，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形． ∴CE ＝EF ＝EG ，CF ＝CG .∴E 为FG 中点． 又∵M 为AF 的中点，∴ME ＝12AG .在△ACG 与△DCF 中，∵⎩⎨⎧AC ＝CD ，∠ACG ＝∠DCF ，CG ＝CF ，∴△ACG ≌△DCF (SAS )． ∴DF ＝AG .∴BM ＝ME .13．(2018·武汉市自主招生模拟题)如图，在四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，且MC ＝MD ，分别过C ，D 两点作边BC ，AD 的垂线，设两条垂线的交点为P ，若∠PAD ＝35°，则∠PBC 的度数的是( B )A ．45°B ．35°C ．55°D ．65°14．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF .设正方形的中心为O ，连结AO ，若AB ＝4，AO ＝62，则AC 的长为 16 .15．已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使得DE ＝DF ，过点E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于点P .求证：∠PAE ＝∠PBF .证明：如图，分别取AP ，BP 的中点M ，N ，并连结EM ，DM ，FN ，DN .根据三角形中位线定理，可得DM∥BP，DM＝12BP＝BN，DN∥AP，DN＝12AP＝AM.∴∠AMD＝∠APB＝∠BN D．∵M，N分别为Rt△AEP，Rt△BFP斜边的中点，∴EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM.∵DE＝DF，∴△DEM≌△DFN(SSS)．∴∠EMD＝∠FN D．∴∠EMD－∠AMD＝∠FND－∠BN D．∴∠AME＝∠BNF.∴△AME，△BNF为顶角相等的等腰三角形．∴∠PAE＝∠PBF.。

2021年度浙教版八年级数学下册《第4章平行四边形》经典好题优生辅导训练（附答案）1．以下条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角相等C．一组对边相等，一组对角相等D．一组对边平行，一组邻角互补2．如图，平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC、BD交于点O，E为CD的中点，BD ＝6，则△DOE的周长为（）A．5B．8C．10D．123．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），再找一点D，使它与点A，B，C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（）A．（﹣3，2）B．（﹣4，2）C．（0，﹣4）D．（2，4）4．平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝3，AB＝6，BD＝m，那么m的取值范围是（）A．9＜m＜15B．2＜m＜14C．6＜m＜8D．4＜m＜205．将两个各边都不相等的全等三角形按不同的方式拼成四边形，其中平行四边形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E是AB的中点，F是DC的中点，EF交AC于点O．∠DAC＝60°，∠ACB＝40°，则∠AOE的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、BC上，EF经过点O．如果AB＝3，BC＝5，EF＝AB，那么四边形CDEF的周长为（）A．8B．9C．10D．118．两个形状、大小完全相同的平行四边形如图放置，其中BC＝EF＝1，AB＝CE＝2，AC ⊥BE，∠BAC＝30°．连接CF和AF，则阴影部分△ACF的面积等于（）A．B．C．D．29．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A'B于点F，连接A'E．当△A'EF为直角三角形时，AB的长为．10．▱ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，E为直线BC上一点，且∠CDE＝15°，则DE的长为．11．如图，∠E＝50°，则∠A+∠B+∠C+∠D＝．12．已知：如图EF∥BC，HG∥AB，且EF和HG将平行四边形ABCD分成四个面积分别为S1，S2，S3，S4的平行四边形，如果EF和HG的交点O在对角线BD上，已知S2＝1，S3＝3，那么平行四边形ABCD的面积是．13．在平面直角坐标系xOy中，平行四边形的三个顶点O（0，0），A（3，0），B（4，2），则其第四个顶点C的坐标是．14．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，E为BC的中点，则：（1）∠AED＝度；（2）若BC＝4，AE+AD＝5，则S▱ABCD＝．15．如图，在△ABC中，AB＝8，点D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，四边形DBEF 为平行四边形，且∠CFE＝∠AFD，则▱DBEF的周长是．16．▱ABCD的周长为28，对角线交点是O，两邻边之差为2，点E是AB的中点，则OE 的长度为．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝5，∠BCD的平分线交AD于点F，交BA的延长线于点E．则AE的长为．18．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F，若∠1＝60°，BE＝2cm，DF＝3cm，则AB＝，AD＝，平行四边形ABCD的周长为．19．如图所示，平行四边形ABCD中，BE⊥AD，CE平分∠BCD，AB＝10，BC＝16，则AE＝．20．在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若△DEF的周长为30cm，则△ABC的周长为．21．如图，P为▱ABCD的CD上的一点，S▱ABCD＝20cm2，则S△APB＝cm2．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．（1）求证：AE＝CF；（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．23．已知：如图，D，E，F分别是△ABC各边上的点，且DE∥AC，DF∥AB．延长FD至点G，使DG＝FD，连接AG．求证：ED和AG互相平分．24．已知：如图，平行四边形ABCD，E为BA延长线上一点，EA＝ED，F为DE延长线上一点，EF＝DC．求证：（1）∠BEF＝∠FDC；（2）△BEF≌△FDC．25．如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，（1）若AE＝3cm，AF＝4cm，AD＝8cm，求：CD的长．（2）若平行四边形的周长为36cm，AE＝4cm，AF＝5cm，求平行四边形ABCD的面积．26．如图△ABC中，过点A分别作∠ABC、∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE，D，E 为垂足．求证：（1）ED∥BC；（2）．27．已知如图所示，▱ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE＝CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．28．如图，已知在▱ABCD中，EF∥BC，分别交AB、CD于E、F两点，DE、AF交于M，CE、BF交于N．求证：MN＝AB．29．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠CBE的度数．参考答案1．解：能判定四边形ABCD为平行四边形的是B、一组对边平行，一组对角相等，理由如下：∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝∠B+∠C＝180°，又∵∠A＝∠C，∴∠D＝∠B，∴四边形ABCD是平行四边形，故选：B．2．解：∵▱ABCD的周长为20，∴2（BC+CD）＝20，则BC+CD＝10．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，∴OD＝OB＝BD＝3．又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，∴OE＝BC，∴△DOE的周长＝OD+OE+DE＝BD+（BC+CD）＝5+3＝8，即△DOE的周长为8．故选：B．3．解：如图所示：观察图象可知，满足条件的点D有三个，坐标分别为（2，4）或（﹣4，2）或（0，﹣4），∴点D的坐标不可能是（﹣3，2），故选：A．4．解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC＝1.5，OB＝OD＝BD＝m，∵AB﹣OA＜OB＜AB+OA，∴6﹣1.5＜OB＜6+1.5，∴4.5＜OB＜7.5，∴9＜BD＜15，∴m的取值范围是9＜m＜15．故选：A．5．解：如图所示：则四边形ABCD、四边形BDCF、四边形BDEC都是平行四边形，共3个．故选：C．6．解：取AC的中点G，连接EG、FG，如图所示：∵E是AB的中点，F是DC的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△ACD的中位线，∴EG∥BC，EG＝BC，FG∥AD，FG＝AD，∴∠AGE＝∠ACB＝40°，∠AGF+∠DAC＝180°，∴∠AGF＝180°﹣∠DAC＝120°，∴∠EGF＝∠AGE+∠AGF＝40°+120°＝160°，∵AD＝BC，∴EG＝FG，∴∠GEF＝∠GFE＝（180°﹣160°）＝10°，∴∠AOE＝∠GEF+∠AGE＝10°+∠40°＝50°；故选：C．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS）．∴OF＝OE，CF＝AE．∴四边形CDEF的周长＝CD+DE+EF+CF＝CD+AB+DE+AE＝CD+AB+AD＝3+3+5＝11；故选：D．8．解：过E作EM⊥AB于M，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝2，BC＝1，∴∠B＝60°，AC＝，∵BE＝BC+CE＝1+2＝3，∴EM＝，∴S△ACF＝S梯形ABEF﹣S△ABC﹣S△CEF＝（EF+AB）•EM﹣S▱ABCD＝×（2+1）﹣1×＝﹣＝，故选：C．9．解：当△A'EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图，∵△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A'EF，∴∠ACB＝∠A'EC，∴∠A'CB＝∠A'EC，∴A'C＝A'E＝2，在Rt△A'CB中，E是斜边BC的中点，∴BC＝2AE'＝4，由勾股定理可得AB2＝BC2﹣AC2，∴AB＝；②当∠A'FE＝90°时，如图，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝2．综上，AB的长为或2．故答案为或2．10．解：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝45°，过A作AH⊥BC于H，过EF⊥AD于F，则四边形AHEF是矩形，∠AHB＝∠DFE＝90°，∴AH＝EF，∵∠B＝45°，AB＝6，∴AH＝EF＝AB＝6，∵∠CDE＝15°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF＝12；如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝45°，过A作AH⊥BC于H，过EF⊥AD于F，则四边形AHEF是矩形，∠AHB＝∠DFE＝90°，∴AH＝EF，∵∠B＝45°，AB＝6，∴AH＝EF＝AB＝6，∵∠CDE＝15°，∴∠EDF＝60°，∴∠FED＝30°，∵EF＝6，∴DE＝EF＝4；综上所述，DE的长为12或4．故答案为：12或4．11．解：延长CB交DE于点F，∵∠CFD＝∠C+∠E，∠DOG＝∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠DOF+∠D+∠DFO＝180°，∵∠E＝50°，∴∠A+∠B+∠C+∠D＝130°．故答案为：130°．12．解：如果EF和HG的交点O在对角线BD上，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD＝CB，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEO的面积＝△OGB的面积＝S3＝，△HOD的面积＝△DFO的面积＝S2＝，∴四边形AEOH和四边形CFOG的面积相等，即S1＝S4．设△BEO的OE边上的高为h'，△DFO的OF边上的高为h''，∵AB∥CD，∴h''＝h'，∴S1＝OE×h''＝OE×h'＝S2＝×3＝，∴平行四边形ABCD的面积＝S1+S2+S3+S4＝2+4；故答案为：2+4．13．解：∵O（0，0）、A（3，0），∴OA＝3，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝3，∵B（4，2），∴点C的坐标为（4﹣3，2），即C（1，2）；同理可得：C（7，2）或（﹣1，﹣2）；故答案为：（1，2）或（7，2）或（﹣1，﹣2）．14．解：（1）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠2＝∠3，∠4＝∠6，∵BC＝2AB，E为BC的中点，∴AB＝BE，EC＝DC，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠1+∠2+∠5+∠6＝180°，∴∠2+∠6＝90°，∴∠AED＝90°；故答案为：90°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，∵AE+AD＝5，∴AE＝1，∴ED＝＝，∴S△AED＝AE•DE＝，∴S▱ABCD＝2S△AED＝．故答案为：．15．解：∵四边形DBEF为平行四边形，∴EF∥AB，FD∥EB，∴∠CFE＝∠A，∠AFD＝∠C，∵∠CFE＝∠AFD，∴∠A＝∠AFD，∠CFE＝∠C，∠A＝∠C，∴FD＝AD，EF＝CE，AB＝BC＝8，∴▱DBEF的周长是：BD+DF+BE+EF＝BD+AD+BE+CE＝AB+BC＝8+8＝16．故答案为：16．16．解：设平行四边形ABCD的两邻边为a和b，∵▱ABCD的周长为28，两邻边之差为2，∴，解得或，∵点E是AB中点，∴OE＝AB＝3或4．故答案为：3或4．17．解：∵AB＝CD＝2，AD＝BC＝5，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DFC＝∠BCF，∵CE平分∠DCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF＝2，∴AF＝AD﹣DF＝3，∵AB∥CD，∴∠E＝∠DCF，又∵∠EF A＝∠DFC，∠DFC＝∠DCF，∴∠E＝∠EF A，∴AE＝AF＝3，故答案为：3．18．解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，∴∠AEB＝∠AEC＝∠AFC＝∠AFD＝90°，∴∠C＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠B+∠C＝180°，∴∠B＝∠D＝60°，∴∠BAE＝∠F AD＝30°，∵BE＝2cm，FD＝3cm，∴AB＝4cm，BC＝AD＝6cm，∴▱ABCD的周长为＝2（AB+BC）＝20cm．故答案为：4cm，6cm，20cm．19．解：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC＝16，AB＝CD＝10，∴∠DEC＝∠ECB，∵CE平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝AB＝10，∴AE＝16﹣10＝6，故答案为：6．20．解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，EF＝AB，DF＝BC，∵△DEF的周长为30cm，∴DE+EF+DF＝30cm，∴AB+BC+AC＝2（DE+EF+DF）＝2×30cm＝60cm．故答案为：60cm．21．解：设平行四边形的高为h，∵S□ABCD＝AB×h＝20cm2∴S△APB＝×AB×h＝＝10cm2．故答案为10．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：∵△AOE≌△COF，∴∠EAO＝∠FCO，∴AG∥CH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形AGCH是平行四边形，∵AD∥BC，∴∠HAC＝∠ACB，∵AC平分∠HAG，∴∠HAC＝∠GAC，∵∠GAC＝∠ACB，∴GA＝GC，∴平行四边形AGCH是菱形．23．证明：法一：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF，∵DG＝FD，∴AE＝DG，∵DF∥AB，∴∠G＝∠EAG，∠GDE＝∠AED，在△AEO和△GDO中，∴△AEO≌△GDO，∴OE＝0D，OA＝OG，即ED和AG互相平分．法二：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF，AE∥DF，∵DG＝FD∴AE＝DG，AE∥DG，∴四边形AEGD是平行四边形，∴ED和AG互相平分．24．（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB∥DC，∴∠BEF＝∠FDC．（2）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB＝DC，∵EF＝DC，∴EF＝AB，∵AE＝ED，∴EA+AB＝ED+EF，∴EB＝DF，∵EF＝DC，∠BEF＝∠FDC，EB＝DF，∴△BEF≌△FDC．25．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8cm，∴AD＝BC＝8cm，∵S平行四边形ABCD＝BC×AE＝CD×AF，∴8×3＝4CD，即CD＝6（cm），答：CD的长是6cm．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∵平行四边形的周长为36cm，∴BC+CD＝18，由平行四边形的面积公式得：4BC＝5CD，即，解得：BC＝10，CD＝8，即平行四边形ABCD的面积是4×10＝40（cm2），答：平行四边形ABCD的面积是40cm2．26．证明：（1）分别延长AD、AE与直线BC交于点F、G，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠FDB＝90°，∵BD＝BD，∠ABD＝∠FBD，∴△ABD≌△FBD∴AD＝FD，同理可得AE＝EG，∴DE∥BC；（2）由（1）知△ABD≌△FBD，∴AB＝BF，同理AC＝CG，∵∴GF＝FB+BC+GC＝AB+BC+AC，∴．27．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∵AD∥BC，∴∠GAO＝∠HCO，∠AGO＝∠CHO，在△AGO和△CHO中，∴△AGO≌△CHO（AAS），∴OG＝OH，∵OE＝OF，∴四边形EHFG是平行四边形．28．证明：∵平行四边形ABCD，CD∥AB，AD∥BC，∵EF∥BC，∴EF∥BC∥AD，∴四边形ADFE、CFEB是平行四边形，∴FM＝AM，FN＝BN，∴MN＝AB．29．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H为FG的中点，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD∥FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）解：∵∠BAE＝70°，∴∠BCD＝70°，∵∠DCE＝20°，∴∠BCE＝70°﹣20°＝50°，∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣50°）＝65°。

浙教版2022-2023学年八下数学第四章 平行四边形 培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A 、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C 、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故答案为：C ．2．已知平行四边形ABCD 中，∠A +∠C =240°，则∠B 的度数是（ ） A ．100° B ．60° C ．80° D ．160° 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠A=∠C ，∠A+∠B ＝180°． 又∵∠A+∠C=240°， ∴∠A=∠C=120°， ∠B=180°－∠A=60°． 故答案为：B3．多边形边数从n 增加到n +1，则其内角和（ ） A ．增加180° B ．增加360° C ．不变 D ．减少180° 【答案】A【解析】n 边形的内角和是（n -2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（n+1-2）•180°． 则（n+1-2）•180°-（n -2）•180°=180°． 故它的内角和增加180°． 故答案为：A ．4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB∠AC ．若AC ＝6，BD ＝10，则AB 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，BD ＝10，AC ＝6， ∴AO ＝OC ＝12AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝5，又∵AB∠AC ， ∴∠BAC ＝90°，∴AB ＝√BO 2−AO 2＝√52−32＝4， 故答案为：B ． 5．用反证法证明，“在∠ABC 中，∠A 、∠B 对边是a 、b ，若∠A ＜∠B ，则a ＜b ．”第一步应假设（ ） A ．a ＞b B ．a ＝b C ．a≤b D ．a≥b【答案】D【解析】根据反证法步骤，第一步应假设a ＜b 不成立，即a≥b ． 故答案为：D.6．如图，点E 、F 分别是∠ABCD 边AD 、BC 的中点，G 、H 是对角线BD 上的两点，且BG=DH ．则下列结论中错误的是（ ）A ．GF =EHB ．四边形EGFH 是平行四边形C ．EG =FHD ．EH ⊥BD【答案】D【解析】连接EF 交BD 于点O ，在平行四边形ABCD 中，AD=BC ，∠EDH=∠FBG ， ∵E 、F 分别是AD 、BC 边的中点，∴DE=BF=12BC ，∠EDO=∠FBO ，∠DOE=∠BOF ，∴∠EDO∠∠FBO ， ∴EO=FO ，DO=BO ， ∵BG=DH ， ∴OH=OG ，∴四边形EGFH 是平行四边形， ∴GF=EH ，EG=HF ，故答案为：A 、B 、C 不符合题意； ∵∠EHG 不一定等于90°，∴EH∠BD 错误，D 符合题意； 故答案为：D ．7．如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，∠CBD=30°，∠ADB=100°，则∠PFE 的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】D【解析】∵点P 是BD 的中点，点E 是AB 的中点， ∴PE 是∠ABD 的中位线， ∴PE=12AD ，PE∠AD ，∴∠EPD=180°-∠ADB=80°， 同理可得，PF=12BC ，PE∠BC ，∴∠FPD=∠CBD=30°， ∵AD=BC ， ∴PE=PF ，∴∠PFE=12×（180°-110°）=35°，故答案为：D ．8．如图， ▱EFGH 的四个顶点分别在 ▱ABCD 的四条边上， QF ∥AD ，分别交EH 、CD 于点P 、Q 过点P 作 MN ∥AB ，分别交AD 、BC 于点M 、N ，若要求 ▱EFGH 的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（ ）A ．四边形AFPMB ．四边形MPQDC ．四边形FBNPD ．四边形PNCQ【答案】C【解析】如图，连接PG ，FN ，∵∠EFGH ，∴S △FPG =12S ▱EFGH ，∵FQ ∥BC ，∴S △FPN =S △FPG ， 又∵MN∠AB ，∴四边形FBNP 为平行四边形，∴S △FPN =S △FPG =12S ▱FBNP∴S ▱FBNP =S ▱EFGH ，∴要求∠EFGH 的面积，只需要知道四边形FBNP 的面积. 故答案为：C.9．如图，已知□OABC 的顶点A ，C 分别在直线 x =1 和 x =4 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】过点B 作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D ，过点B 作BE⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线x=1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线x=4与AB 交于点N ，如图：∵四边形OABC是平行四边形，∴⊥OAB=⊥BCO，OC⊥AB，OA=BC.∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，∴AM⊥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴⊥MAN=⊥NCM，∴⊥OAF=⊥BCD.∵⊥OFA=⊥BDC=90°，∴⊥FOA=⊥DBC.在⊥OAF和⊥BCD中，⊥FOA=⊥DBC，OA=BC，⊥OAF=⊥BCD，∴⊥OAF⊥⊥BCD，∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=√OE2+BE2.由于OE的长不变，所以当BE最小时，OB取得最小值，最小值为OB=OE=5.故答案为：C.10．如图，∠ ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB=12BC，连接OE．下列结论：①∠ADO＝30°；②S ∠ ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④S四边形OECD＝32S∠AOD，其中成立的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，∴OA=OC，OB=OD，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB=AE=BE，∠AEB=60°，∵AB=12BC，∴BE=12BC，∴CE=BE=AE，∴∠ACE=∠CAE=30°，∴∠OAB=90°，∠OAD=30°，∴在Rt△AOB中，OB>OA，OB>AB，则结论③不成立；∴OD >OA ，∴∠ADO ≠∠OAD ，即∠ADO ≠30°，结论①不成立； ∵∠OAB =90°，即AB ⊥AC ，∴S ▱ABCD =AB ⋅AC ，则结论②成立； 设平行四边形ABCD 的面积为8a(a >0)， 则S △AOD =S △COD =S △BOC =14S ▱ABCD =2a ，∵BE =CE ，∴S △BOE =S △COE =12S △BOC =a ，∴S 四边形OECD =S △COE +S △COD =3a =32S △AOD ，结论④成立；综上，成立的个数为2个， 故答案为：B ．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．一个多边形的内角和与外角和的和为2160∠，则这个多边形的边数为 . 【答案】12【解析】设这个多边形的边数是n ， （n -2）•180°+360°=2160°， 解得n=12. 故答案为：12.12．在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 、D 四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），若一次函数y=mx -6m 的图象将四边形ABCD 的面积分成1：3两部分，则m 的值为 ．【答案】−35或−6【解析】∵直线y=mx -6m 经过定点B （6，0），A 、B 、C 、D 四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），∴CD∠AB ，CD=8-2=6= AB ， ∴四边形ABCD 是平行四边形，∴S∠ADC= S∠ADC=12S 平行四边形ABCD ，又∵直线y=mx -6m 把平行四边形ABCD 的面积分成1：3的两部分．∴直线y=mx -6m 经过AD 的中点M （1，3）或经过CD 的中点N （5，6）， ∴m -6m=3或5m -6m=6，∴m=-35或-6，故答案为：-35或-6．13．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，ED ，EF 分别交AC ，AB 于点D ，F ，得到四边形EDAF ，它的面积记作S 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，E 1D 1，E 1F 1分别交EF ，BF 于点D 1，F 1，得到四边形E 1D 1FF 1，它的面积记作S 2……照此规律作下去，则S n = ．【答案】√322n+1【解析】∵∠ABC 是边长为1的等边三角形，∴∠ABC 的高为：√12−(12)2=√32，∴S △ABC =12×1×√32=√34，∵DE 、EF 分别是∠ABC 的中位线，∴AF =12AC =12，∴S 1=12S △ABC =√38，同理可得S 2=√38×14；…，∴S n =√38×(14)n−1=√322n+1；故答案为：√322n+1．14．如图， ΔABC 和 ΔDEC 关于点C 成中心对称，若 AC =1 ， AB =2 ， ∠BAC =90° ，则 AE 的长是 .【答案】2√2【解析】∵∠DEC 与∠ABC 关于点C 成中心对称， ∴DC=AC=1，DE=AB=2，∴在Rt∠EDA 中，AE 的长是：AE =√AD 2+DE 2=√(DC +AC)2+DE 2=√(1+1)2+22=2√2 . 故答案为： 2√2 . 15．已知：如图，线段AB ＝6cm ，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边在AB 作等边△APC 、等边△BPD ，连接CD ，点M 是CD 的中点，当点P 从点A 运动到点B 时，点M 经过的路径的长是 cm ．【答案】3【解析】如图，分别延长AC，BD交于H，过点M作GN∠AB分别交AH于G，BH于N，∵∠APC、∠BPD都是等边三角形，∴∠A=∠B=∠DPB=∠CPA=60°，∴AH∠PD，BH∠CP，∴四边形CPDH是平行四边形，∴CD与HP互相平分，∴M是PH的中点，故在P运动过程中，M始终在HP的中点，所以M的运动轨迹即为∠HAB的中位线，即线段GN，∴GN=12AB=3cm，故答案为：3．16．如图，把含45∘，30∘角的两块直角三角板放置在同一平面内，若AB//CD，AB=CD=√6则以A，B，C，D为顶点的四边形的面积是.【答案】3+2√3【解析】延长CO，交AB于点E，由题意可知：∠BAO=45°，∠CDO=30°∵AB//CD，AB=CD=√6∴四边形ABCD为平行四边形∵OC∠CD∴CE∠AB∴S∠AOB＋S∠COD= 12AB·OE＋12CD·OC= 12AB·（OE＋OC）= 12AB·CE= 12S平行四边形ABCD∴S平行四边形ABCD=2（S∠AOB＋S∠COD）在Rt∠AOB中，AO2＋BO2=AB2=6，AO=BO解得：AO=BO= √3在Rt∠COD中，∠CDO=30°，OC2＋CD2=OD2∴OD=2OC，OC2＋6=（2OC）2解得：OC= √2，∴S∠AOB= 12AO·BO= 32，S∠COD=12CD·OC= √3∴S平行四边形ABCD=2（S∠AOB＋S∠COD）=2×（32＋√3）= 3+2√3故答案为：3+2√3.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF，连接BF、DE．求证：BF=DE，BF∥DE．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC.∴∠DAC=∠BCA.又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴BF=DE，∠DEA=∠BFC.∴∠DEC=∠BFA.∴BF∥DE.18．如图，在∠ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至F，使BF＝BE；连接EC并延长至G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；（2）求证：四边形AFHD为平行四边形．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∠BC，∵∠DCE＝20°，AB∠CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∠BC，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是∠EFG的中位线，∴BC∠FG ，BC ＝12FG ，∵H 为FG 的中点， ∴FH ＝12FG ，∴BC∠FH ，BC ＝FH ， ∴AD∠FH ，AD ＝FH ，∴四边形AFHD 是平行四边形．19．如图，∠ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，过点C 作CF∠AB 交DE 的延长线于点F ，连接BE ．（1）求证：四边形BCFD 是平行四边形．（2）当AB ＝BC 时，若BD ＝2，BE ＝3，求AC 的长． 【答案】（1）证明：∵点 D ，E 分别是边 AB ，AC 的中点， ∴DE∠BC ． ∵ CF∠AB ，∴四边形 BCFD 是平行四边形；（2）解：∵AB ＝BC ，E 为 AC 的中点， ∴BE∠AC ．∵AB ＝2DB ＝4， BE ＝3， ∴AE =√42−32=√7 ∴AC =2AE =2√720．如图，在 5×5 的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A ，B 两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的项点上）（1）在图1中画四边形 ABCD ，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）在图2中画以A ，B ，M ，N 为顶点的平行四边形，且面积为5；（3）在图3中画以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3. 【答案】（1）解：如图1中，四边形ABCD 即为所求作.（2）解：如图2中，四边形ABMN即为所求作. （3）解：如图3中，四边形ABEF即为所求作. 21．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB⊥BF，AB=8，BF=6，AC=16．求线段EF长．【答案】（1）证明：连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∵OB=OD，∴四边形BEDF是平行四边形．（2）解：在Rt△ABF中，AF=√AB2+BF2=√82+62=10，∵AC=16，∴CF=AC−AF=16−10=6，∵AE=CF，∴AE=6，∴EF=AF−AE=10−6=4．22．如图，已知：在∠ABCD中，AE∠BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1＝∠2.（1）求证：G 为CD 的中点.（2）若CF ＝2.5，AE ＝4，求BE 的长.【答案】（1）证明：∵点F 为CE 的中点，∴CF=12CE ， 在∠ECG 与∠DCF 中，∵∠2＝∠1， ∠C ＝∠C ， CE ＝CD ，∴∠ECG∠∠DCF （AAS ），∴CG=CF= 12CE. 又CE=CD ， ∴CG=12CD ， 即G 为CD 的中点； （2）解：∵CE=CD ，点F 为CE 的中点，CF=2.5，∴DC=CE=2CF=5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=5，∵AE∠BC ，∴∠AEB=90°，在Rt∠ABE 中，由勾股定理得：BE=√52−42=3.23．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，且AB =AE ，延长AB 与DE 的延长线交于点F ．下列结论中：求证：（1）∠ABE 是等边三角形；（2）∠ABC ∠∠EAD ；（3）S △ABE =S △CEF ．【答案】（1）证明：∵ABCD 是平行四边形∴AD∠BC ，AD=BC ，∴∠EAD=∠AEB ，又∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，∵AB=AE ，∴∠ABE 是等边三角形；（2）证明：∵∠ABE 是等边三角形∴∠ABE=∠EAD=60∠，∵AB=AE ，BC=AD ，∴∠ABC∠∠EAD(SAS)（3）证明：∵∠FCD 与∠ABC 等底(AB=CD)等高(AB 与CD 间的距离相等)，∴S∠FCD=S∠ABC ，又∵∠AEC与∠DEC同底等高，∴S∠AEC=S∠DEC，∴S∠ABE=S∠CEF24．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”.（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝CB，求证：四边形ABCD是“准筝形”；（2）如图2，在“准筝形”ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝4，CD＝3，求AC的长；（3）如图3，在∠ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，AB＝3－√3，设D是∠ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积.【答案】（1）证明：在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∵∠A＋∠C＝270°，∠D＝30°，∴∠B＝360°－（∠A＋∠C＋∠D）＝360°－（270°＋30°）＝60°，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是“准筝形”；（2）解：以CD为边作等边∠CDE，连接BE，过点E作EF∠BC于F，如图2所示：则DE＝DC＝CE＝3，∠CDE＝∠DCE＝60°，∵AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∴∠ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，AD＝BD，∴∠ADB＋∠BDC＝∠CDE＋∠BDC，即∠ADC＝∠BDE，在∠ADC和∠BDE中，{AD＝BD∠ADC＝∠BDEDC＝DE，∴∠ADC∠∠BDE（SAS），∴AC＝BE，∵∠BCD＝∠DCE＝60°，∴∠ECF＝180°－60°－60°＝60°，∵∠EFC ＝90°，∴∠CEF ＝30°，∴CF ＝12CE ＝32 ， 由勾股定理得：EF ＝√CE 2−CF 2＝√32−(32)2＝3√32 ， BF ＝BC ＋CF ＝4＋32＝112， 在Rt∠BEF 中，由勾股定理得：BE ＝√BF 2＋EF 2＝√(112)2＋(3√32)2＝√37 ， ∴AC ＝√37 ；（3）解：四边形ABCD 的面积为3√32或9＋3√32 或 92＋3√3. 【解析】（3）过点C 作CH∠AB ，交AB 延长线于H ，如图3所示：设BH ＝x ，∵∠ABC ＝120°，CH 是∠ABC 的高线，∴∠BCH ＝30°，∴HC ＝√3x ，BC ＝2BH ＝2x ，又∵∠A ＝45°，∴∠HAC 是等腰直角三角形，∴HA ＝HC ，∵AB ＝3－√3 ，∴√3x ＝3－√3＋x ，解得：x ＝√3，∴HC ＝√3x ＝3，BC ＝2√3 ，∴AC ＝ √2 HC ＝3 √2 ，当AB ＝AD ＝3－ √3 ，∠BAD ＝60°时，连接BD ，过点C 作CG∠BD ，交BD 延长线于点G ，过点A 作AK∠BD ，如图4所示：则BD ＝3－√3 ，∠ABD ＝60°，BK ＝12AB ＝12（3－√3 ）， ∵∠ABC ＝120°，∴∠CBG ＝60°＝∠CBH ，在∠CBG 和∠CBH 中， {∠CGB ＝∠CHB ＝90°∠CBG ＝∠CBH BC ＝BC，∴∠CBG∠∠CBH （AAS ），∴GC ＝HC ＝3，在Rt∠ABK 中，由勾股定理得：AK ＝√AB 2−BK 2 ＝√(3−√3)2−[12(3−√3)]2 ＝ 3√3−32， ∴S ∠ABD ＝ 12 BD•AK ＝ 12×（3－√3 ）×3√3−32 ＝6√3−92， S ∠CBD ＝ 12 BD•CG ＝ 12×（3－√3 ）×3＝9−3√32， ∴S 四边形ABCD ＝ 6√3−92 ＋ 9−3√32 ＝ 3√32； ②当BC ＝CD ＝2√3 ，∠BCD ＝60°时，连接BD ，作CG∠BD 于点G ，AK∠BD 于K ，如图5所示：则BD ＝2√3 ，CG ＝√32 BC ＝√32×2√3 ＝3，AK ＝3√3−32 ， ∴S ∠BCD ＝12 BD•CG ＝12×2√3×3＝3√3， S ∠ABD ＝12BD•AK ＝12×2√3×3√3−32＝9−3√32， ∴S 四边形ABCD ＝3√3＋9−3√32＝9＋3√32 ； ③当AD ＝CD ＝AC ＝3√2，∠ADC ＝60°时，作DM∠AC 于M ，如图6所示：则DM ＝√32AD ＝√32×3√2 ＝3√62 ， ∴S ∠ABC ＝12AB•CH ＝12×（3－√3）×3＝9−3√32， S ∠ADC ＝ 12 AC•DM ＝12×3√2×3√62＝9√32， ∴S 四边形ABCD ＝9−3√32＋ 9√32＝92＋3√3. 综上所述，四边形ABCD 的面积为3√32或9＋3√32 或 92＋3√3.。