浙教版八年级数学培优试卷专题25 配方法

配方法1．一元二次方程(x －1)2＝4的根为 ( D )A ．x ＝3B ．x ＝－1C ．x ＝3或x ＝－3D ．x ＝3或x ＝－1【解析】 ∵(x －1)2＝4，∴x －1＝±2，∴x －1＝2或x －1＝－2，∴x ＝3或x ＝－1.故选D.2．若3(x ＋1)2－48＝0，则x 的值为 ( B )A ．±4B ．3或－5C ．－3或5D ．3或5【解析】 ∵3(x ＋1)2－48＝0，∴(x ＋1)2－16＝0，∴x ＋1＝±4，∴x 1＝3，x 2＝－5，故选B.3．方程x 2－2x ＋1＝2的解是 ( A ) A ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2B ．x 1＝1－2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝3，x 2＝－1D ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2【解析】 由x 2－2x ＋1＝2得(x －1)2＝2，∴x －1＝±2，∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2，故选A.4．[2013·兰州]用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为 ( D )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝25．若a 为一元二次方程(x －17)2＝100的一个根，b 为一元二次方程(y －4)2＝17的一个根，且a ，b 都是正数，则a －b 的值为 ( B )A ．5B ．6C.83 D ．10－17【解析】 方程(x －17)2＝100的解为x ＝17±10，∴a ＝17＋10.方程(y －4)2＝17的解为y ＝4±17，∴b ＝4＋17.∴a －b ＝(17＋10)－(4＋17)＝6，故选B.6．填空：(1)x 2－20x ＋__100__＝(x －__10__)2；(2)x 2＋__18x __＋81＝(x ＋9)2；(3)y 2＋5y ＋(__52__)2＝(y ＋__52__)2； (4)x 2－52x ＋(__54__)2＝(x －__54__)2； (5)x 2＋px ＋(__p 2__)2＝(x ＋__p 2__)2. 7．解方程：x 2＋6x ＋5＝0，移项，得x 2＋6x ＝__－5__，配方，得x2＋6x＋__9__＝－5＋__9__，即(x＋3)2＝4，方程两边同时开方，得x＋3＝__±2__，∴x1＝__－1__，x2＝__－5__．8．[2013·温州]方程x2－2x－1＝0的解是__x1＝1＋2，x2＝1－2__. 9．用开平方法解下列方程：(1)9x2＝25；(2)[2012·永州](x－3)2－9＝0.解：(1)由原方程，得x2＝259，∴x1＝53，x2＝－53.(2)由原方程，得(x－3)2＝9，∴x－3＝±3，∴x1＝0，x2＝6.10．用配方法解下列方程：(1)x2－4x＝0；(2)x2－23x＋3＝0；(3)x2－6x＝9 991；(4)(x＋2)2＝6x－3.解：(1)原方程可变形为x2－4x＋4＝4，即(x－2)2＝4，∴x－2＝±2，∴x1＝4，x2＝0.(2)原方程可变形为(x－3)2＝0，∴x－3＝0，∴x1＝x2＝ 3.(3)原方程可变形为x2－6x＋9＝9 991＋9，即(x－3)2＝10 000，∴x－3＝±100，∴x1＝103，x2＝－97.(4)原方程可变形为x2－2x＋7＝0，∴x2－2x＝－7，∴x2－2x＋1＝－6，∴(x－1)2＝－6＜0，此方程无解．11．[2013·鞍山]已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根【解析】∵(x－1)2＝b中b＜0，∴原方程没有实数根．12．[2013·东营]要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是 ( C )A．5个B．6个C．7个D．8个【解析】设有x个队，每个队都要赛(x－1)场，但两队之间只有一场比赛，故可得x(x－1)÷2＝21，解得x ＝7或－6(舍去)， 故参赛球队的个数是7个． 13．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a ⊕b ＝a 2－b 2，则方程(4⊕3)⊕x ＝24的解为__x 1＝5，x 2＝－5__.【解析】 由题意，得4⊕3＝42－32＝16－9＝7，7⊕x ＝72－x 2，∴72－x 2＝24，∴x 2＝25，∴x 1＝5，x 2＝－5.14．用配方法解下列方程：(1)x 2＋10x ＋9＝0;(2)x 2－x －74＝0； (3)x 2－22x ＋1＝0；(4)[2013·山西](2x －1)2＝x (3x ＋2)－7.解：(1)x 1＝－1，x 2＝－9.(2)x 1＝12＋2，x 2＝12－ 2. (3)x 1＝2＋1，x 2＝2－1.(4)原方程可化为：4x 2－4x ＋1＝3x 2＋2x －7，∴x 2－6x ＋8＝0，∴(x －3)2＝1，∴x －3＝±1，∴x 1＝2，x 2＝4.15．当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<3x －3，12（x －4）<13（x －4）时，求方程x 2－2x －4＝0的根． 解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<3x －3，12（x －4）<13（x －4），求得⎩⎪⎨⎪⎧2<x ，x <4， 则2<x <4，解方程x 2－2x －4＝0可得x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.∵2<5<3，而2<x <4，∴x ＝1＋ 5.16．对于竖直向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：h ＝vt －12gt 2，其中h 是物体上升的高度，v 是抛出时的速度，g 是重力加速度(g ≈10米/秒2)，t 是抛出后的时间，如果一物体以每秒25米的初速度从地面竖直向上抛出，经过几秒钟后它在离地面20米高的地方？解：由题意，得25t －12×10t 2＝20， ∴5t －t 2＝4，∴t 2－5t ＋4＝0，解得t 1＝1，t 2＝4.答：经过1秒或4秒后它在离地面20米高的地方．17．[2012·绍兴]小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．思考题如图2－2－3所示，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1＝x，则B1C＝x＋0.7，A1C＝AC－AA1＝ 2.52－0.72－0.4＝2，而A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B12，得方程__(x＋0.7)2＋22＝2.52__，解方程得x1＝__0.8__，x2＝__－2.2(舍去)__，∴点B将向外移动__0.8__米．(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：问题①在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？问题②在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．图2－2－3解：①不会是0.9米．理由如下：若AA1＝BB1＝0.9，则A1C＝2.4－0.9＝1.5，B1C＝0.7＋0.9＝1.6，∵1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25，∴A1C2＋B1C2≠A1B12，∴该题的答案不会是0.9米．②有可能．理由如下：设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有(x＋0.7)2＋(2.4－x)2＝2.52，解得x＝1.7或x＝0(舍去)，∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．。

一元二次方程的解法——配方法教案课程名称一元二次方程的解法——配方法
教学目标1.理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程。

2.通过用配方法解一元二次方程，把一元二次方程化为一元一次方程的过程，体会转化的数学思想。

第一节课教学过程
教学流程
步骤一：进门考（复习巩固）时间分配：2’1.如果一个数的平方等于4，则这个数是，若一个数的平方等于7，则这个数是。

一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？
2.直接开平方法可以解什么类型的一元二次方程。

步骤二：时间分配：5’教师活动: （问题探索）
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。

如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？请根据这一问题，列出方程。

分析：解决未知的问题可以运用方程思想，即可以先设出第一个数。

解：那么梯子的底端滑动x米，
由勾股定理可以得到原来梯子底端距墙为6m
那么移动后梯子的底端距墙为（x+6 ）米。

根据题意有：
72+（x+6）2 =102
化简得：
x2+12x－15=0
在这个阶段，创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲。

教案编写：张明军。

第二章：一元二次方程培优训练试题一．选择题：（本题共10小题,每小题3分,共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的,请将正确的答案选择出来！1．关于x 的方程062=++mx x 的一个根为2-,则另一个根是（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．3D ．62.用配方法解方程0122=-+x x ,配方后的方程是( ) A .()212=+x B . ()212-=+xC . ()012=+x D . ()212=-x3.下列一元二次方程中,有一个根为1的方程是（ ）A ．0322=+-x xB ．0232=+-x xC ．0322=--x xD ．0232=-+x x4.在全国人民的共同努力下,新冠肺炎确诊病倒逐渐减少,据统计,某地区2月份新冠肺炎确诊病例144例,4月份新冠肺炎确诊病例36例,设这两个月确诊病例平均每月降低的百分率是x,则下列关于x 的方程正确的是（ ）A ．144（1﹣x ）2＝36B ．144（1﹣2x ）＝36C ．36（1+x ）2＝144D ．144（1﹣x 2）＝36 5.等腰△ABC 的一边长为4,另外两边的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两个实数根,则m 的值是( ) A ．24B ．25C ．26D ．24或256.已知方程()01842=+++-x x m m 是一元二次方程,则m 的值为（ ） A. 4± B. 2± C. 4 D.2-7.若关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 的一个根是0,则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．08.如图是由三个边长分别为6、9、x 的正方形所组成的图形,若直线AB 将它分成面积相等的两部分,则x 的值是（ ） A ．1或9B ．3或5C ．4或6D ．3或69.若关于x 的方程()0112=++-x k kx 的根是整数,则满足条件的整数k 的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.已知下面三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ,02=++a cx bx ,02=++b ax cx 恰好有一个相同的实数根a ,则c b a ++的值为（ ） A ．0B ．1C ．3D ．不确定二．填空题（本题共6小题,每题4分,共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.方程0122=+-kx x 有两个相等的实数根,则k 的值是12.如果关于x 的方程()01222=+-+m x m x 的根的判别式的值为5,那么________=m13.用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆),中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域,分别种植两种花草,篱笆总长为17米(恰好用完),围成的大长方形花圃的面积为24平方米,设垂直于墙的一段篱筐长为x 米,可列出方程为________________________14．一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x 2﹣7x +12＝0的一个根,则此三角形的周长是 15.关于x 的方程mx 2+x ﹣m+1=0,有以下三个结论：①当m=0时,方程只有一个实数解；②当m ≠0时,方程有两个不等的实数解；③无论m 取何值,方程都有一个负数解,正确的是_________（填序号） 16.已知关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c ,下列命题中正确的有____________（填序号） ①若0a b c ++=,则240b ac -≥；②若方程两个根为1-和3,则320a c +=； ③若0b =,则方程20ax bx c ++=一定有两个实数根,并且这两个根互为相反数；④若方程20ax c +=有两个不相等的实数根,则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根．三．解答题（共6题,共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.（本题6分）解下列方程：（1）228100x x --= （2）()()22213x x -=+（3）01432=--x x ．18（本题8分）设一元二次方程022=-+ax x ． （1）若该方程的一个解是2=x ,求a 的值；（2）求证：一元二次方程022=-+ax x 有两个不相等的实数解．19（本题8分）如图,在一个长10cm ,宽6cm 的矩形铁皮的四角各截去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方形盒子．若长方形盒子的底面（图中阴影部分）面积是32cm 2,求截去的小正方形的边长．20（本题10分）已知：关于x 的方程()0222=++-k x k x ．（1）求证：无论k 取任何实数值,方程总有实数根．（2）若等腰ABC ∆的底边长为1,另两边的长恰好是这个方程的两个根,求ABC ∆的周长．21．(本题10分)甲商品的进价为每件20元,商场确定其售价为每件40元．（1）若现在需进行降价促销活动,预备从原来的每件40元进行两次调价,已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同,求这个降价率；（2）经调查,该商品每降价0.2元,即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件,若该商场希望该商品每月能盈利10000元,且尽可能扩大销售量,则该商品在原售价的基础上应如何调整？22（本题12分）某租赁公司拥有汽车100辆．据统计,每辆车的月租金为4000元时,可全部租出,每辆车的月租金每增加100元,未租出的车将增加1辆,租出的车每辆每月的维护费为500元,未租出的车辆每月只需维护费100元．（1）当每辆车的月租金为4800元时,能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元,当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？23（本题12分）如图,四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形,a ､b ､c 是Rt ABC 和Rt BED 边长,易知2=AE c ,这时我们把关于x 的形如220++=ax cx b 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”,请解决以下问题：（1）判断235240x x ++=是否为“勾系一元二次方程”,并说明理由． （2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”220++=ax cx b 必有实数根．（3）若1x =-是“勾系一元二次方程”220++=ax cx b 的一个根,且四边形ACDE 的周长是62,求ABC 面积．第二章：一元二次方程培优训练试题答案三．选择题：（本题共10小题,每小题3分,共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的,请将正确的答案选择出来！1.答案：A解析：∵方程062=++mx x 的一个根为2-,∴0624=+-m , 解得：5=m ,∴方程为：0652=++x x , 方程的根为：21-=x ,32-=x , 故另一根为：3-=x , 故选择：A2.答案：A解析：∵0122=-+x x ∴02122=-++x x , ∴()212=+x ,故选择：A3.答案：B解析：∵0322=+-x x 无实数解, ∵0232=+-x x 的两根为2,121==x x ∵0322=--x x 的两根为3,121=-=x x∵0232=-+x x 的两根为2173,217321+-=--=x x 故选择：B4.答案：A解析：由题意得：()3611442=-x故选择：A5.答案：D解析：∵方程0102=+-m x x 的两根和为10, ∴当这个等腰三角形的腰长为4时,另两边长为4,6,∴()()064=--x x ,∴024102=+-x x ,∴24=m ；当这个等腰三角形的底边长为4时,另两边长为5,5, ∴()()055=--x x ,∴025102=+-x x ,∴25=m ,故m 的值为25或24 故选择发：D6.答案：C解析：∵方程()01842=+++-x x m m 是一元二次方程,∴22=-m ,∴4=m 或4-=m （不合题意,舍去） ∴4=m ,故选择》C7.答案：B解析：∵一元二次方程()01122=-++-a x x a 的一个根是0,∴012=-a ,解得：1,121=-=a a （不合题意,舍去） ∴1-=a ,故选择：B8.答案：D解析：以AB 为对角线将图形补成长方形, 由已知可得缺失的两部分面积相同, 即3×6=x ×(9-x), 解得x=3或x=6, 故选择：D.9.答案：C解析：当k=0时,原方程为-x+1=0, 解得：x=1, ∴k=0符合题意；当k ≠0时,kx 2-（k+1）x+1=（kx-1）（x-1）=0, 解得：x 1=1,x 2=k1, ∵方程的根是整数, ∴k1为整数,k 为整数, ∴k=±1．综上可知：满足条件的整数k 为0、1和-1． 故选C ．10.答案：A解析：把x =a 代入ax 2+bx +c =0,bx 2+cx +a =0,cx 2+ax +b =0 得：a •a 2+ba +c =0,ba 2+ca +a =0,ca 2+a •a +b =0, 相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0, ∴（a +b +c ）（a 2+a +1）=0．∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++a a a∴0=++c b a ． 故选择A ．四．填空题（本题共6小题,每题4分,共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.答案：22±=k解析：∵方程0122=+-kx x 有两个相等的实数根,∴082=-k ,解得：22±=k12.答案：1-解析：∵方程()01222=+-+m x m x 的根的判别式的值为5,∴()541222=--m m ,解得：1-=m13.答案：()17324x x -=解析：由题意可得：()17324x x -=． 故答案为：()17324x x -=．14.答案：14解析：解方程x 2﹣7x +12＝0得：x ＝3或4,当腰为3时,三角形的三边为3,3,6,3+3＝6,此时不符合三角形三边关系定理,此时不行； 当腰为4时,三角形的三边为4,4,6,此时符合三角形三边关系定理,三角形的周长为4+4+6＝14, 故答案为：14．15.答案：①③解析：当m=0时,x=﹣1,方程只有一个解,①正确； 当m ≠0时,方程mx 2+x ﹣m+1=0是一元二次方程,△=1﹣4m （1﹣m ）=1﹣4m+4m 2=（2m ﹣1）2≥0,方程有两个实数解,②错误；把mx 2+x ﹣m+1=0分解为（x+1）（mx ﹣m+1）=0,所以x=﹣1是方程mx 2+x ﹣m+1=0的根,③正确； 故答案为①③．16.答案：①④ 解析：①∵a +b +c =0, ∴b =-a -c ,∴b 2-4ac =（-a -c ）2-4ac =a 2+2ac +c 2-4ac =（a -c ）2≥0,故①正确； ②∵方程两根为-1和3, ∴-1+3=ba -,（-1）×3=c a,∴b =-2a ,c =-3a ,∴3a +2c =3a -6a =-3a ≠0,故②错误； ③∵b =0,∴△=b 2-4ac =-4ac ,因为题目中a 、c 的值不确定,故-4ac 的值不确定,不能判定该方程根的情况,故③错误； ④∵方程ax 2+c =0有两个不相等的实数根, ∴△=b 2-4ac =-4ac ＞0, ∵方程ax 2+bx +c =0,∴△=b 2-4ac ＞0,故方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实数根,故④正确； 故答案为：①④．三．解答题（共6题,共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.解析：（1）228100x x --=, ∴2450x x --=, ∴()()150x x +-=, ∴x 1=-1,x 2=5；（2）()()22213x x -=+, ∴()()222130x x --+=,∴()()()()2132130x x x x -++--+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, ∴()()3240x x +-=, ∴3x+2=0或x-4=0, ∴x 1=23-,x 2=4．（3）方程：01432=--x x ∵()281242=+-=∆,∴6724±=x , ∴372,37221+=-=x x18.解析：（1）把x ＝2代入方程022=-+ax x , 得到22+2a ﹣2＝0, 解得a ＝﹣1；（2）∵Δ＝a 2﹣4×（﹣2）＝a 2+8＞0,∴一元二次方程022=-+ax x 有两个不相等的实数解．19.解析：设截去的小正方形边长是xcm , 根据题意得：（10﹣2x ）（6﹣5x ）＝32, 解得：x 1＝1,x 5＝7（舍去）． 答：截去的小正方形边长是1cm ．20.解析：（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4×2k ＝（k ﹣2）2, ∵（k ﹣2）2≥0,即△≥0,∴无论k 取任何实数值,方程总有实数根； （2）依题意有Δ＝（k ﹣2）2＝0,则k ＝2, 方程化为x 2﹣4x+4＝0,解得x 1＝x 2＝2, 故△ABC 的周长＝2+2+1＝5．21.解析：（1）设这种商品平均降价率是x,依题意得：40（1﹣x ）2＝32.4, 解得：x 1＝0.1＝10%,x 2＝1.9（舍去）； 答：这个降价率为10%；（2）设降价y 元,则多销售y ÷0.2×10＝50y 件, 根据题意得（40﹣20﹣y ）（500+50y ）＝10000, 解得：y ＝0（舍去）或y ＝10,答：该商品在原售价的基础上,再降低10元．22.解析：（1）9210040004800100=--（辆）,（4800﹣500）×92﹣100×（100﹣92）＝394800（元）,394800元＝39.48万元．答：当每辆车的月租金为4800元时,能租出92辆．（2）40.4万元＝404000元设上涨x 个100元,由题意得：（4000+100x ﹣500）（100﹣x ）﹣100x ＝404000整理得：x 2﹣64x +540＝3解得：x 1＝54,x 2＝10∵规定每辆车月租金不能超过7200元,∴取x ＝10,则4000+10×100＝5000（元）答：每辆车的月租金定为5000元时,租赁公司的月收益可达到40.3万元23.解析：（1）在2340x ++=中, a =3,b =4,c =5,满足222+=a b c ,∴a ,b ,c 是直角三角形的三边长,∴2340x ++=是勾系一元二次方程；（2）证明；20+=ax b ,△2)4ab =-224c ab =-,222a b c +=,∴△2222()42()0a b ab a b =+-=-,∴关于x 的“勾系一元二次方程” 20+=ax b 必有实数根；（3）1x =-是“勾系一元二次方程” 20+=ax b 的一个根,0a b ∴+=,即a b +=,四边形ACDE 的周长是22a b ∴+=∴=,2c ∴=,2224a b c ∴+==,a b +=2()8a b ∴+=,2228a ab b ∴++=, 2ab ∴=,112122ABC S ab ∆∴==⨯=．。

因式分解------配方法与待定系数法配方法把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法。

配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式。

例1、分解因式： (1)44x +(2)、344422-+--y y x x(3)、1232234++++x x x x (3)`、()()22221x x x x ++++ （另见最后一题）练习 ：分解因式： (1)4416b a +；(2)4224y y x x ++；(3)432234232a a b a b ab b ++++；(4)、1724+-x x ；(5)、22412a ax x x -+++；(6)、24222)1()1(2)1(y x y x y -+--+。

待定系数法对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是： 1、根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的多项式； 2、利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；3、解方程组，求出待定系数，再代人所设问题的结构中去，得到需求问题的解。

例1、如果823+++bx ax x 有两个因式1x +和2x +，则a b +＝( )。

A 、7B 、8C 、15D 、2l练习1、如果3233x x x k +-+有一个因式1x +，求k 。

课后练习、已知是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的一个因式为62-+x x ，求a 的值。

例2、k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积?练习：1、已知代数式 22342x xy y x by ---+-能分解成两个关于 , y x 一次因式的积求 b 的值。

2021年初中数学浙教版八年级下册第二章培优检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题1．关于x的一元二次方程x2(k3)x2k0的根的情况是〔〕A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2．关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，以下说法正确的选项是〔〕．方程有两个相等的实数根．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定3．设a，b是方程x220x10的两个根，c，d是方程x219x10的两个根，那么代数式(ac)(bc)(a d)(bd)的值为〔〕．A．0B．2021C．39D．14．一元二次方程x24x0根的情况是〔〕．A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于D．有两个正根，且有一根大于35．某校九年级〔 1〕班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级〔1〕班有多少名同学吗？设九年级〔 1〕班有x名同学，根据题意列出的方程是〔〕x(x1)x(x1)D．x〔x+1〕=465A．=465B．=465C．x〔x﹣1〕=465226．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？假设设二、三月份平均每月的增长率为x，那么可得方程〔〕A．56 0(1x)21850B．560560(1x)21850C．5601x 560(1x)21850D．5605601x 560(1)218507．定义新运算，a*ba(1b)，假设a、b是方程x21m0〔m0〕的两根，4那么b*ba*a的值为〔〕A．0 B．1 C．2 D．与m有关8．假设a≠b，且a24a10,b24b10那么11的值为〔1a21b21A．B．1C．.4D．349．一个容器盛满纯药液63千克，第一次倒出一局部药液后加满水，第二次又倒出同样多的药液，再加满水，此时容器内的纯药液利下28千克，那么每次倒出的药液是〔A．20千克B．21千克C．22千克D．千克．实数ab11(b-c).ab+ac的值是(.、、满足(b)(c)0那么代数式a4A．-2B．-1C．1D．2二、填空题1．关于x的方程a(xm)2(a，，m均为常数，且a)的两个解是x3bb1和x27，那么方程4a(xm)2b0的解是____．2．阅读以下材料：求函数y3x22x的最大值．x2解：将原函数化为x的一元二次方程，得yx2y2x10．1y4因为x为实数，所以b24ac y4y3y40，所以y4．4根据材料给你的启示，那么函数y 3x2x2的最小值是__________．x 22x13．a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，那么3a2﹣b+2的值是_____．a24．关于x的一元二次方程x26x m0有两个实数根x1，x2，假设x1，x2满3 x1x22，那么m的值为_____________15．心理学家研究发现：一般情形下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持为理想的稳定状态，随后学生的汪意力开始分散．经过实验分析，知学生的注意力指数y随时间x〔分钟〕的变化规律为：4x60,0x10y100,10px201x231x165,20px40328有一道数学竞赛题需要讲解分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数最低值到达最大．那么，教师经过适当安排，应在上课的第________分钟开始讲解这道题．三、解答题16．经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，方案采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加吨．〔1〕当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨.〔2〕该经销店方案月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，那么售价应定为每吨多少元？17．关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．假设2x1＝x2+1，求m的值．18．阅读材料:假设m22mn2n28n160，求m、n的值.解:Qm22mn2n28n16，( m22mnn2)(n28n16)0( m n)2n4)2，m n 0,n40，n4,m4.根据你的观察，探究下面的问题:〔1〕己知x22xy2y22y10，求x y的值.〔2〕△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2b26a 8b 25 0，求边c的最大值.3〕假设己知ab4,abc26c130，求abc的值.9．〔1〕假设一元二次方程ax2bx(a0)的两根之比为2:3，求证：6b225ac；2〕假设一元一次方程ax2bx c(a0)的两根之比为m:n，能否将〔1〕的结论予以推广？假设能，试证明你的结论；假设不能，请说明理由．20．方程x2﹣2x﹣8=0．解决以下问题：〔1〕请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法．〔2〕①这些方法都是将解方程转化为解方程，以达到将方程降次的目的；②尝试解方程：x3+2x2﹣3x=0．答案与解析1．B【解析】先根据根的判别式求出“△〞的值，再判断即可．【详解】x2-〔k+3〕x+2k=0，=[-〔k+3〕]2-4×1×2k=k2-2k+9=〔k-1〕2+8，即不管k为何值，△＞0，所以方程有两个不相等的实数根，应选：B．【名师点评】此题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．2．B【解析】试题分析：先求出△=42﹣4×3×〔﹣5〕=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.考点：一元二次方程根的判别式．3．C【解析】根据根与系数的关系和解的定义可得a＋b=-20，ab=1，c＋d=19，cd=1，c219c 1 0，d219d 1 0，然后根据整式的乘法将其展开，利用整体代入法求值即可．【详解】解：∵a，b是方程x 220x10的两个根，c，d是方程x219x10的两个根，∴a＋b=-20，ab=1，c＋d=19，cd=1，c219c1，d219d10∴(ac)(bc)(ad)(b d)=ababcc2ababdd2=120cc2120d d2= c219c 1 c d219d 1 39d=0 c 0 39d39cd39应选C．【名师点评】此题考查的是一元二次方程根与系数的关系和解的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系和解的定义是解决此题的关键．4．D【解析】根据配方法解出方程的两个根即可判定.【详解】x24x 2 02x 4x= 22x 4x 4=22〔x 2〕=2x1=2-2，x2=2+ 2;0＜2-2＜1，2+ 2＞3，应选：D.【名师点评】此题考查解一元二次方程，和二次根式取值范围判定，熟练应用配方法解方程是解题的关键.5．A【解析】因为每位同学都要与除自己之外的〔x﹣1〕名同学握手一次，所以共握手x〔x﹣1〕次，由于每次握手都是两人，应该算一次，所以共握手x〔x﹣1〕÷2次，解此方程即可.【详解】解：设九年级〔1〕班有x名同学，根据题意列出的方程是应选A．x(x 1)=465，2【名师点评】此题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人握手应该只算一次并据此列出方程是解题的关键.6．D【解析】第一个月是560，第二个月是 560〔1+x〕，第三月是560〔1+x〕2，所以第一季度总计560+560〔1+x〕+560〔1+x〕2=1850，选D. 7．A【解析】根据题意可得2b*ba*ab1ba1abb aa，又因为，是方程ax2x 1m0的两根，所以a21m0，化简得a2a1m，同理444b2b 1m，b2b1m，代入上式可得44b b2aa2b2a21m1m0，应选A．448．B【解析】【详解】解：由a24a 1 0,b24b 1 0得：a2 1 4a,b2 1 4b∴1111b 1a21b24a4b4ab又由a24a1,b24b10可以将a，b看做是方程x24x10的两个根∴a+b=4，ab=1∴ab4=14ab 41故答案为B.【名师点评】此题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解。

浙教版2020八年级数学下册期中综合复习培优训练题（附答案详解） 1．用配方法解方程2670x x -+=时，原方程应变形为（ ）． A ．2(6)2x -=B ．2(6)16x -=C ．2(3)2x -=D ．2(3)16x -=2．随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到现在的 64 元，求年平均下降率．设年平均下降率为 x ，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是（ ）A ．年平均下降率为80%，符合题意B ．年平均下降率为18%，符合题意C ．年平均下降率为1.8%，不符合题意D ．年平均下降率为180%，不符合题意 3．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数是2，方差是13，那么另一组数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -，的平均数和方差分别是( )．A ．12,3B ．2,1C ．24,3D ．4,3 4．若是不等于的任意实数,则方程总有一个根等于A ．1B ．-1C ．0D ．25．一元二次方程x 2﹣2x ﹣6＝0根的判别式的值是（ ） A ．20B ．﹣20C ．﹣28D ．286．关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则（ ） A ．a ＜0 B 、a ≥0 C 、0≠a D 、1=a 7．在下列各组根式中，可以合并的是（ ） A ．2与12B ．3与13C ．5与15D ．3与338．计算（2﹣3）+|2﹣3|的结果是（ ） A ．0B ．22﹣23C ．23﹣22D ．229．用配方法将二次三项式222a a -+变形的结果是（ ） A ．(a-1)²+1 B ．(a+1)²+1 C ．(a+1)²-1 D ．(a-1)²-110．已知x ＝+1，y ＝﹣1，则x 2+xy+y 2的值为( )A ．10B ．8C ．6D ．411．方程2x x =的解是______，方程()()2353x x x -=-的解是______.12．如果函数()21f x x =-,那么()5f=____________.13．若x 1=﹣1是关于x 的方程2x mx 50+-=的一个根，则方程的另一个根x 2= ． 14．计算：28﹣18＝_____． 15．计算：()232-=_________．16．关于x 的方程(k+1)x 2+3(k －2)x+k 2－42=0的一次项系数是－3，则k=_________. 17．不等式260x ->的解集是________.18．若x=2是方程x 2+3x ﹣2m=0的一个根，则m 的值为________． 19．已知+|a+b+1|=0，则a b = ．20．由于受“一带一路”国家战略策略的影响，某种商品的进口关税连续两次下调，由4000美元下调至2560美元，则平均每次下调的百分率为_____． 21．解下列方程：(1)2(1)9x += （2）2680x x -+= （3）()()421521x x x -=- ()()()41332x x -+=． 22．计算：（1）1160.52738⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝（2）148312242÷-⨯+ （3）()()()2255232+-+--23．在春季运动会上，某学校教工组和学生组进行定点投篮比赛，每组均派五名选手参加，每名选手投篮十次，投中记1分，不中记零分，3分以上（含3分）视为合格，比赛成绩绘制成条形统计图如下：（1）请你根据条形统计图中的数据填写表格： 组别平均数中位数方差合格率（2）如果小亮认为教工组的成绩优于学生组，你认为他的理由是什么？小明认为学生组成绩优于教工组，他的理由又是什么？（3）若再让一名体育教师投篮后，六名教师成绩平均数大于学生组成绩的中位数设这名体育教师命中m 分，求m 的值． 24．在实数范围内因式分解： （1）()816x x +-；（2）)221x x ++（3）()()221270x x -+-. 25．计算①②()-101-12π⎛⎫+ ⎪⎝⎭26．计算（1）因式分解：()()22225x y x y --+ （2）解方程：（公式法）()2231x x x -=-27是同类二次根式，求关于x 的方程（a ﹣2）x 2+2x ﹣3=0的解．28．解方程：2211x x x x--=- 29．化简计算：（1；（2（30(1+；（4） 解不等式组或方程30．（1）31．（2）参考答案1．C【解析】解：x2﹣6x+7=0，x2﹣6x=﹣7，x2﹣6x+9=﹣7+9，即（x﹣3）2=2，故选C．2．D【解析】【分析】根据：平均年下降率是大于0且小于1的数.【详解】由已知可得，平均年下降率是大于0且小于1的数，故选项D说法正确.故选：D【点睛】本题考核知识点：一元二次方程与应用题. 解题关键点：应用题中方程的根的检验. 3．D【解析】【分析】根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律求得新数据的平均数及方差即可．【详解】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为13，∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是13×32=3，∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是3，故选D．【点睛】本题考查了方差的知识,说明了当数据都加上一个数(或减去一个数)时,平均数也加或减这个数,方差不变,即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时,平均数也乘以或除以这个数,方差变为这个数的平方倍.4．B【解析】【分析】将各选项的数分别代入方程，即可得出只有B选项符合题意，即得解.【详解】解：根据题意，可得， 将A 选项的1代入方程，得=0，不一定成立，不符合题意；B 选项的-1代入方程，得，使得方程一定成立，符合题意；C 选项的0代入方程，得，不一定成立，不符合题意；D 选项的2代入方程，得，不一定成立，不符合题意； 故答案为B. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的解法，关键是理解题意，直接代入较为简便. 5．D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式（24b ac ∆=-）进行计算即可， 【详解】 解：根据题意得： △＝（﹣2）2﹣4×（﹣6） ＝4+24 ＝28， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握其公式是关键 6．C 【解析】试题分析：根据一元二次方程的二次项系数不为0，可得方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则需满足a≠0. 考点：一元二次方程的定义 7．B【分析】先将各选项进行二次根式的化简，再根据同类二次根式的概念求解即可． 【详解】A 选项=,与B 3=3可以合并；CD 故选B ． 【点睛】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念． 8．A 【解析】试题解析：|=0 故选A ． 9．A 【解析】 【分析】根据平方公式配方即可. 【详解】a 2–2a+2=a 2–2a+1+1=(a –1)2+1. 【点睛】掌握配方法是解题的关键. 10．A【分析】在原式中添加一个xy ，再减去一个xy. 【详解】解：原式= x 2+2xy+y 2-xy=(x+y)2-xy=(+1+﹣1)2-(+1)(﹣1)=12-3+1=10,故选择A. 【点睛】本题直接代入计算较为麻烦，通过构造完全平方公式为简便方法. 11．10x =，21x = 13x =，252x = 【解析】 【分析】先移项，然后提取公因式，对等式的左边进行因式分解，然后解方程． 【详解】解：由方程2x x =，得20x x -=x （x-1）=0， ∴x=0或x-1=0， 解得，10x =，21x =； 由方程()()2353x x x -=-，得()()23530x x x ---=（x-3）（2x-5）=0， ∴x-3=0或2x-5=0， 解得，13x =，252x =； 故答案为：10x =，21x =；13x =，252x =． 【点睛】本题考查解一元二次方程--因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．12．2【解析】【分析】将x=.【详解】f===解：2故答案为：2【点睛】本题考查求函数值，正确计算是本题的解题关键.13．5【解析】试题分析：设方程的另一根为x2，由一个根为x1=﹣1，根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，得﹣x2=﹣5，解得：x2=5．则方程的另一根是x2=5．14【解析】【分析】先把各二次根式进行化简，然后再合并同类二次根式即可得解.【详解】解：原式＝﹣，；【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法实质就是合并同类二次根式.15．【解析】【详解】-<，=2016．1【解析】【分析】根据题意使一次项系数为-3，列出方程，解方程即可.【详解】关于x的方程(k+1)x2+3(k－2)x+k2－42=0的一次项系数是－3，即3（k-2）=-3，解得k=1．故答案为：1.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用一次项系数为-3列出方程是解决本题的关键.17．x>【解析】【分析】根据不等式的解法进行移项，再进行计算，即可求出不等式的解集．【详解】>>x>故答案为：x>【点睛】本题考查解一元一次不等式，二次根式的应用，根据不等式的解法进行计算是解题的关键．18．5【解析】试题分析：把x＝2代入方程得：22＋3×2﹣2m＝0，解得：m＝5．故答案为：5．19．1．【解析】试题分析：根据非负数的性质列式求出a 、b ，然后代入代数式进行计算即可得解． 试题解析：根据题意得，a-1=0，a+b+1=0， 解得a=1，b=-2， 所以，a b =1-2=1．考点：1．算术平方根,2．绝对值20．20%．【解析】【分析】设平均每次下调的百分率为x, 则第一次下调后的关税为4000 (1-x) , 第二次下调的关税为4000, 根据题意可列方程为4000=2560求解即可.【详解】解：设平均每次下调的百分率为x, 根据题意得: 4000=2560， 解得: =0.2=20%,=1.8=180%( 舍去), 即: 平均每次下调的百分率为20%.故答案是: 20%.【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据已知条件列出方程是解题的关键.21．(1)12x =，24x =-；(2)1 2x =，24x =；(3)15 4x =，212x =；(4)1 5x =，27x =-. 【解析】【分析】（1）方程开方即可求出解；（2）方程利用因式分解法求出解即可；（3）方程变形后，利用因式分解法求出解即可；（4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【详解】 (1)开方得：13x +=或13x +=-，解得：12x =，24x =-；()2分解因式得：()()240x x --=，可得20x -=或40x -=，解得：12x =，24x =；()3方程变形得：()()45210x x --=，可得450x -=或210x -=， 解得：154x =，212x =； ()4方程整理得：22350x x +-=，分解因式得：()()570x x -+=，解得：15x =，27x =-．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．22．（1）;（2）4（3）8-+【解析】【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后去括号后再合并同类二次根式即可得到答案； （2）先进行二次根式的乘法运算和把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可得到答案；（3）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可.【详解】（1）-=+，=（2=4=4（3）2(22)2)+-=45(34)---=17--+=8-+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后根据二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.23．（1）补全表格见解析；（2）从合格率与方差上来看，教工组成绩优于学生组，从平均数、中位数来看，学生组优于教工组；（3）m ＝9或m ＝10.【解析】分析：.（1）根据成绩条形统计图计算出平均数、中位数和方差即可；（2）从合格率与方差上来看，教工组成绩优于学生组，从平均数、中位数来看，学生组优于教工组；（3）根据六名教师成绩平均数大于学生组成绩的中位数计算即可详解：(1)补全表格如下：(2)从合格率与方差上来看，教工组成绩优于学生组，从平均数、中位数来看，学生组优于教工组；(3)依题意，得1+3+3+4+5+6m >4，解得m>8， 又∵m 为正整数，∴m ＝9或m ＝10.点睛：此题考查了条形统计图、中位数，平均数，以及方差，弄清题意是解本题的关键． 24．（1）(44x x +++-；（2）()()13x x ；（3）()(29x x x +-+. 【解析】【分析】（1）求出()816x x +-=0的根，然后根据一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根为x 1、x 2，则a （x-x 1）（x-x 2）=0，进而分解因式即可；（2）求出)221x x ++的根，然后根据一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根为x 1、x 2，则a （x-x 1）（x-x 2）=0，进而分解因式即可；（3）整理后，先用十字相乘法，再用平方差公式分解即可；【详解】（1）对于()816x x +-=0，即x 2+8x-16=0,∆=64+64=128>0，∴=4-±∴1x2=-4x +∴()816x x +-=(44x x +++-； （2）对于)221xx ++=0， ∆=)2214⎡⎤-⨯⎣⎦， ∴x=)21=122-±-±,∴11x,23x ,∴2122x -+=()()13x x +； （3）()()221270x x -+-=x 4+x 2-72=(x 2+9)(x 2-8)=()(29x x x +-+；【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，那么一元二次方程可整理为a(x －x 1)(x －x 2)＝0.25．①-②5.【解析】【分析】①先进行二次根式的乘法运算，然后将二次根式化为最简．②先计算绝对值，负整数指数幂，零次幂，再计算二次根式的乘法，最后进行加减运算即可.【详解】①==-②()-101-12π⎛⎫+ ⎪⎝⎭212-1=5.【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，掌握二次根式的乘法法则及二次根式的化简是关键．同时还考查了负整数指数幂，零指数幂等知识.26．（1）()()37x y x y -++ （2）123 3x x =+=-【解析】【分析】（1）用平方差公式进行因式分解即可,分解一定要彻底.（2）用公式法解一元二次方程即可.【详解】（1）解：原式()()225225x y x y x y x y =-++---()()337x y x y =+--()()37x y x y =-++（2）解：整理得：2610x x -+=1,6,1a b c ==-=Q()2641132∴∆=--⨯⨯=663212x ±±∴===±⨯1233x x ∴=+=-【点睛】考查因式分解以及公式法解一元二次方程，比较基础，熟练掌握公式法求一元二次方程是解题的关键.27．x=1、x=﹣3或x=32． 【解析】整体分析：由同类二次根式的定义求出a 的值，再把a 的值代入到方程(a ﹣2)x 2+2x ﹣3=0中求解.解：∵是同类二次根式，∴a 2﹣a=4a ﹣6，解得：a=2或a=3，当a=2时，关于x 的方程为2x ﹣3=0，解得：x=32， 当a=3时，关于x 的方程为x 2+2x ﹣3=0，解得；x=1，x=﹣3，∴关于x 的方程(a ﹣2)x 2+2x ﹣3=0的解是x=1、x=﹣3或x=32． 28．121,22x x == 【解析】分析：根据分式方程的解法，先化为整式方程，解整式方程，然后检验即可求解. 详解：方程两边同时乘以()1x x -，得()()()22111x x x x x ---=-整理，得22520x x -+=解这个方程，得 121,22x x == 经检验: 121,22x x ==是原方程的解 点睛：考查学生解分式方程的一般步骤，同事考查了一元二次方程的解法，尤其考查了学生容易遗忘检验所解的整式方程的根是否是分式方程的增根。

专题 25 配方法阅读与思考把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：1、2222()a ab b a b ±+=±2、2a b ±=3、2222222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2222221[()()()]2a b c ab bc ac a b b c a c ++---=-+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2a = 能联想起配方法.(2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.例题与求解【例1】 已知实数x ，y ，z 满足25,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值.【例2】 若实数a ，b ， c 满足2229a b c ++= ，则代数式222()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( )A 、27B 、18C 、15D 、12(全国初中数学联赛试题)解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质； (1) 非负数的最小值为零；(2) 有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.【例3】 已知152a b c +-=-， 求a + b + c 的值. 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.解题思路：2222497,448967,444889667,444488896667==== ，由此可猜想2144448889(66661)n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ，只需完成从左边到右边的推导过程即可.几个有趣的结论： (1) 21444488889(66661)n nn+=+(2) 21111155556(33331)n nn+=+这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．(全国初中数学联赛试题)解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.【例6】 已知自然数n 使得21991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：原式中n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.能力训练1=_________.(“希望杯”邀请赛试题)2、已知2222()30a b c a b c ++-+++= ，则3333_________a b c abc ++-=.3、x ，y 为实数，且22422y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.4、当x ＞2，得___________.5、已知224121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小.(全国通讯赛试题)6、若22221076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )A 、负数B 、正数C 、非负数D 、可正可负7的值为 ( )A 、1BC 、D 、(全国初中数学联赛试题)8、设a ，b , c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，则x ，y ，z 中至少有一个值 ( )A 、大于零B 、等于零C 、不大于零D 、小于零(全国初中数学竞赛试题)9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )A 、2333n n -+B 、2444n n ++C 、2555n n -+ D 、2777n n -+ E 、2111111n n -+10、已知实数a ，b ， c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )A 、2B 、3C 、4D 、5(河北省竞赛试题)解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数.(1) 若120n x x x ⋅⋅⋅= 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++<，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.11、解方程组222222212121z x z x y x y z y⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩ (苏州市竞赛试题)12、能使2256n+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？(全国初中数学联赛试题)13、已知b a >，且()()243aa b a ab b b+++-+= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值. (天津市竞赛试题)13、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.(全国初中数学联赛试题)14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？。

浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．2x −1=0B ．3x +x 2=7C ．x 2−2x −3=0D ．x +y =6 【答案】C【解析】A 、方程是一元一次方程，故此选项不符合题意；B 、不是整式方程，故此选项不符合题意；C 、方程是只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程，符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；B 、方程是二元一次方程，故此选项不符合题意.故答案为：C.2．若关于x 的方程x 2+2x +a =0有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x +a =0有两个不相等的实数根，∴△=4−4×1×a =4−4a ，当a=3时，4−4a =4−4×3=−8＜0，方程没有实数根，A 不符合题意；当a=2时，4−4a =4−4×2=−4＜0，方程没有实数根，B 不符合题意；当a=1时，4−4a =4−4×1=0，方程由两个相等的实根，C 不符合题意；当a=0时，4−4a =4−4×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，D 符合题意．故答案为：D ．3．用配方法解一元二次方程y 2−y −12=0时，下列变形正确的是（ ） A ．(y +12)2=1 B ．(y −12)2=34 C ．(y +12)2=34 D ．(y −12)2=1 【答案】B【解析】y 2−y −12=0， 移项得：y 2−y =12， 配方得：y 2−y +(12)2=12+(12)2， 即(y −12)2=34． 故答案为：B ．4．一元二次方程x （x ﹣2）＝2﹣x 的根是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝2C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝﹣1，x 2＝2【答案】D【解析】x （x ﹣2）+（x ﹣2）＝0，（x ﹣2）（x+1）＝0，x ﹣2＝0或x+1＝0，所以x 1＝2，x 2＝﹣1．故答案为：D ．5．关于x 的一元二次方程x 2+4x+（1-m ）（m-3）=0，下列选项正确的是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．根的个数与m 的取值有关【答案】C【解析】 x 2+4x+（1-m ）（m-3）=0b 2-4ac=16-4（1-m ）（m-3）=4（m 2-4m+7）=4（m-2）2+12无论m取何值时4（m-2）2+12＞0即b2-4ac＞0∴此方程有两个不相等的实数根.故答案为：C.6．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．12B．13C．12或13D．15【答案】B【解析】∵x2−7x+12=0，即（x﹣3）（x﹣4）=0，∴x﹣3=0或x﹣4=0，解得：x=3或x=4，当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，故答案为：B．7．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约达到4亿元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（）A．2(1+x)2=4B．2(1+2x)=4C．2(1−x)2=4D．2+2(1+x)+2(1+x)2=4【答案】A【解析】设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：2(1+x)2=4．故答案为：A．8．如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路.四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2.设道路宽为xm，则以下方程正确的是（）A．32x+4x2=40B．32x+8x2=40C．64x−4x2=40D．64x−8x2=40【答案】B【解析】设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，依题意，得：x（20+4x+12+4x）=40，即32x+8x2=40.故答案为：B.9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第n行有n个点……，前n行的点数和不能是以下哪个结果（）A．741B．600C．465D．300【答案】B【解析】前n行的点数之和为1+2+3+⋯…+n=12n(n+1)，若前n行的点数之和为741，则12n(n+1)=741，解得n=38或n=−39(舍)，即前38行的点数之和为741，故此选项不符合题意；若前n 行的点数之和为600，则 12n(n +1)=600 ，解得 n =−12±√48012 ， n 不是整数，即不存在前 n 行的点数之和为600，故此选项符合题意；若前n 行的点数之和为465，则 12n(n +1)=465 ，解得 n =30 或 n =−31( 舍 ) ，即前30行的点数之和为465，故此选项不符合题意；若前n 行的点数之和为300，则 12n(n +1)=300 ，解得 n =24 或 n =−25( 舍 ) ，即前24行的点数之和为300，故此选项不符合题意.故答案为：B.10．下列关于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的命题中：真命题有（ ）①若a ﹣b+c ＝0则b 2﹣4ac≥0；②若方程ax 2+bx+c ＝0两根为1和2，则2a ﹣c ＝0；③若方程ax 2+c ＝0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx+c ＝0必有实根A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③【答案】A【解析】a ﹣b+c ＝0，则b ＝a+c ，△＝（a+c ）2﹣4ac ＝（a ﹣c ）2≥0，所以①正确；∵方程ax 2+bx+c ＝0两根为1和2， ∴1×2＝ c a ，则c ＝2a ， ∴2a ﹣c ＝2a ﹣2a ＝0，所以②正确；∵方程ax 2+c ＝0有两个不相等的实根，∴ac ＜0，∴Δ＝b 2﹣4ac ＞0，∴方程ax 2+bx+c ＝0必有两个实根，所以③正确.故答案为：A.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx −1=0的一个解是x =1，则2023-a-b= ．【答案】2022【解析】∵一元二次方程ax 2+bx −1=0的一个解是x =1，∴a +b −1=0，∴a +b =1，∴−(a +b)=−a −b =−1，∴2023−a −b =2023−1=2022．故答案为：202212．若a 是方程2x 2-x-5=0的一个根，则代数式2a-4a 2+1的值是【答案】-9【解析】∵a 是方程2x 2-x-5=0的一个根，∴2a 2-a-5=0，∴2a 2-a=5，∴2a-4a 2+1=-2(2a 2-a) +1=-2×5+1=-9. 故答案为：-9.13．若方程x 2−(a −3)x −3a −b 2=0有两个相等的根，则方程x 2+ax +b =0的根分别是 ．【答案】x 1=0，x 2=3或x 1=3，x 2=0【解析】∵关于x 的方程x 2﹣（a ﹣3）x ﹣3a ﹣b 2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝[﹣（a ﹣3）]2﹣4（﹣3a ﹣b 2）＝a 2+6a +9+4b 2＝（a+3）2+4b 2＝0，∴a ＝﹣3，b ＝0，把a ＝﹣3，b ＝0代入x 2+ax+b ＝0得：x 2﹣3x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝3．故答案为：x 1＝0，x 2＝3．14．若关于x 的一元二次方程a(x －h)2+k=0的解是x 1=－2，x 2=1，则关于x 的一元二次方程a(x －h+3)2+k=0的解是 ．【答案】x 1=－5，x 2=－2【解析】∵ 关于x 的一元二次方程a(x －h)2+k=0的解是x 1=－2，x 2=1，∴关于x 的一元二次方程a(x －h+3)2+k=0的解为x+3=-2或x+3=1解之：x 1=－5，x 2=－2.故答案为：x 1=－5，x 2=－2.15．已知关于x 的方程x 2－(k+2)x+2k=0，若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另外两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，则△ABC 的周长为 ．【答案】5【解析】当b ＝c 时，Δ＝（k+2）2-8k ＝0，解之：k ＝2，方程化为x 2−4x ＋4＝0，解得x 1＝x 2＝2，∴△ABC 的周长＝2＋2＋1＝5；当b ＝a ＝1或c ＝a ＝1时，把x ＝1代入方程得1−（k ＋2）＋2k ＝0，解之：k ＝1，∴x 2−3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∴△ABC 的周长为5.故答案为：5.16．设一元二次方程 ax 2+bx +c =0 的两根为 x 1，x 2 ，则两根分别与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a . 根据该材料选择：已知 a ，b 是方程 x 2+(m +2)x +1=0 的两根，则(a 2+ma +1)(b 2+mb +1) 的值为 .【答案】4【解析】∵a ，b 是方程x 2+（m+2）x+1＝0的两根，∴a 2+（m+2）a+1＝0，b 2+（m+2）b+1＝0，ab ＝1，∴原式＝[a 2+（m+2）a+1﹣2a][b 2+（m+2）b+1﹣2b]＝（0﹣2a ）（0﹣2b ）＝4ab＝4．故答案为：4.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．按照指定方法解下列方程：（1）16x 2+8x =3（公式法）；（2）2x 2+5x −1=0（配方法）；（3）6−2y =(y −3)2（因式分解法）．【答案】（1）解：16x 2+8x =3，16x 2+8x −3=0，b 2−4ac =82−4×16×(−3)=256>0，x =−8±√2562×16，x 1=14，x 2=−34； （2）解：方程整理得：x 2+52x =12，配方得：x 2+52x +2516=12+2516，即(x +54)2=3316，开方得：x +54=±√334，解得：x 1=−54+√334，x 2=−54−√334；（3）解：方程整理得：(y −3)2+2(y −3)=0，分解因式得：(y −3)(y −3+2)=0，可得y −3=0或y −1=0，解得：y 1=3，y 2=1．18．如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？【答案】解：设围成的矩形花圃的宽为x 米，则长为(20−2x)米．根据题意列方程：x(20−2x)=50解得：x 1=x 2=5则20−2x =10．答：矩形花圃的长10米、宽5米．19．小芳家今年添置了新电器已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据去年5至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时.假设今年5至6月用电量月增长率是6至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时.【答案】.解：设今年6至7月用电量月增长率为x ，则今年5至6月用电量月增长率为1.5x ，根据题意得120（1+1.5x ）（1+x ）=240，解得x 1= 13 ，x 2=-2（不合题意，舍去）， ∴小芳家6月份的用电量为12×（1+1.5x ）=120×（1+1.5× 13 ）=180（千瓦时） 答：预计小芳家6月份用电量为180千瓦时.20．已知关于x 的一元二次方程：x 2+（k-5）x+4-k=0（1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求另一个根及k 的值．【答案】（1）解：∵△=（k-5）2-4×1×（4-k ）=k 2-2k+1=（k-3）2≥0，∴无论k 取任何值，方程总有实数根．（2）解：∵x=2是方程x 2+（k-5）x+4-k=0的一个根，∴22+（k-5）×2+4-k=0， 解得：k=2，设方程的另一个根为x 1，则x•x 1=4-k ，即2×x 1=2， x 1=1，则方程的另一个根为1．21．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的一元二次方程(a +c)x 2+2bx +a −c =0有两个相等的实数根．（1）请判断△ABC 的形状；（2）当a =5，b =3时，求一元二次方程的解．【答案】（1）解：∵关于x 的一元二次方程(a +c)x 2+2bx +a −c =0有两个相等的实数根， ∴Δ=(2b)2−4(a +c)(a −c)=0，∴b 2+c 2=a 2，∴△ABC 为直角三角形；（2）解：∵b 2+c 2=a 2，a =5，b =3，∴c =√a 2−b 2=4，∴a +c =9=2b =6=a −c =1，∴原方程为9x 2+6x +1=0， 解得：x 1=x 2=−13． 22．已知关于x 的方程x 2+2mx+n=0（m 、n 是常数）有两个相等的实数根．（1）求证：m 2=n ； （2）求证：m +n ≥−14． 【答案】（1）证明：∵关于x 的方程x 2+2mx+n=0有两个相等的实数根，∴Δ=（2m ）2-4n=0，∴m 2=n ；（2）证明：∵n=m2，∴m+n=m+m2=(m+12)2-14，∵(m+12)2≥0，∴m+n≥-14．23．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润.据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件.设每件童装降价x元.（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元.（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由.【答案】（1）解：由题意，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元；（2）解：由题意，（40-x）（20+2x）=1200，整理，得：x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20，∵适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，∴x=20，答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元.（3）解：平均每天盈利不能达到2000元，理由为：由（40-x）（20+2x）=2000，整理，得：x2-30x+600=0，∵△=（-30）2-4×1×600=-1500＜0，∴所列方程无实数根，故平均每天盈利不能达到2000元.24．已知关于x的方程x2+(m−2)x−9=0.（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根.（2）若这个方程的两个实根α，β，满足2α+β=m+1，求m的值.【答案】（1）证明：∵b2−4ac=(m−2)2−4×1−(−9)=(m−2)2+36，无论m取何实数，b2−4ac的值都大于零.∴这个方程总有两个不相等的实数根.（2）解：∵α，β是方程的两个实数根，∴α+β=2−m.又∵2α+β=m+1，∴α+2−m=m+1.∴α=2m−1，代入原方程得：(2m−1)2+(m−2)(2m−1)−9=0，化简得：2m2−3m−2=0.解得：m1=2，m2=−12.。

浙教版八年级数学下册2.2 一元二次方程的解法-配方法同步训练一、单选题1.用配方法解方程x2+4x-1=0，下列配方结果正确的是（）A. B. C. D.2.用配方法解方程，下列变形正确的是（）A. B. C. D.3.把方程左边配成一个完全平方式，得到的方程是（）A. B. C. D.4.若关于的一元二次方程通过配方法可以化成的形式，则的值不可能是A. 3B. 6C. 9D. 105.方程配方后变形为（）A. B. C. D.6.用配方法解方程y2-6y+7=0，得（y+m）2=n，则( )A. m=3，n=2B. m=-3，n=2C. m=3，n=9D. m=-3，n=-77.用配方法解方程，下列配方的结果正确的是（）A. B. C. D.8.用配方法解方程，配方正确的是（）A. B. C. D.二、填空题（共5题；共6分）9.一元二次方程x2－6x－5＝0通过配方可变形为________10.把一元二次方程x2+6x-1=0通过配方化成(x+m)2= n的形式为________．11.已知2x（x+1）=x+1，则x=________．12.用配方法解x2﹣6=﹣2（x+1），此方程配方形式为________13.方程4x2-4x+1=0的解为________.三、解答题（共5题；共46分）14.解下列方程：（1）x（x﹣3）+x﹣3=0 （2）x2﹣4x+1=0．15.解方程：（1）x2﹣4x+4=0 （2）（2x+1）2﹣x2=0．16.解方程（1）（2）（用配方法）17.解方程：（1）（2）18.小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下：解：（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）（1）小明解答过程是从第几步开始出错的，写出错误原因.（2）请写出此题正确的解答过程.答案一、单选题1. A2.A3. D4. D5. A6. B7.A8. C二、填空题9.10. (x+3)2=1011.﹣1或12.（x+1）2=513. x1=x2=三、解答题14.（1）解：∵x（x﹣3）+x﹣3=0，∴（x﹣3）（x+1）=0，∴x﹣3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=﹣1 （2）解：∵x2﹣4x+1=0，∴（x﹣2）2=3，∴x﹣2= ，∴x1=2+ ，x2=2﹣15.（1）解：（x﹣2）2=0，所以x1=x2=2（2）解：（2x+1﹣x）（2x+1﹣x）=0，2x+1﹣x=0或2x+1+x=0，所以x1=﹣1，x2=﹣16. （1）解：移项，得，两边除以36，得，开平方，得x+3=± ，解得x1= ，x2=（2）解：移项，得4x2-5x=3，二次项系数化为1，得x2- x= ，配方，得x2- x+ = + ，即（x- ）2= ，于是，得x- =± ，x1= ，x2= .17. （1）解：（2）解：18. （1）解：一，移项没变号（或移项错误或等式性质用错）（2）解：即，，。

专题25配方法阅读与思考把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：1、a2±2ab+b2=(a±b)22、a±2ab+b=(a±b)23、a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)24、a2+b2+c2-ab-bc-ac=12[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：(1)具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如a=(a)2能联想起配方法.(2)具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.例题与求解【例1】已知实数，，满足x+y=5,z2=xy+y-9，那么x+2y+3z=_____(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x，y的值.【例2】若实数，b，c满足a2+b2+c2=9，则代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是()A、27B、18C、15D、12(全国初中数学联赛试题)解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.．配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；(1) 非负数的最小值为零；(2) 有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.【例 3】 已知 a + b - 2 a - 1 - 4 b - 2 = 3 c - 3 - 1c - 5 ， 求 a + b + c 的值.2解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.【例 4】 证明数列 49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.解 题 思 路 ： 49 = 72 ,4489 = 672 ,444889 = 6672 ,44448889 = 66672， 由 此 可 猜 想444 ⋅⋅⋅ 488 ⋅⋅⋅ 89 = (666n +1n几个有趣的结论：6 + 1)2 ，只需完成从左边到右边的推导过程即可.(1) 444n +1 4888 89 = (666n n6 + 1)2(2) 111n +11555n 56 = (333 3 + 1)2n这表明：只出现 1 个奇数或只出现 1 个偶数的完全平方数分别有无限多个.【例 5】 一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32 人，而且只能在第 2 层至第 33 层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到 1 分不满意，往上走一层楼梯感到 3 分不满意，现在有 32 个人在第一层，并且他们分别住在第 2 至第 33 层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这 32 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）(全国初中数学联赛试题)解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.【例6】已知自然数n使得n2-19n+91为完全平方数，求n的值.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：原式中n的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.能力训练1、计算10+83+22=_________.(“希望杯”邀请赛试题) 2、已知a2+b2+c2-2(a+b+c)+3=0，则a3+b3+c3-3abc=_________.b x y znn n3、，y 为实数，且 x 2 +y 22+ 4 ≤ xy + 2 y ，则+ y 的值为__________.4、当＞2 时，化简代数式 x + 2 x - 1 +x - 2 x - 1 ，得___________.5、已知 m = 4x 2 - 12xy + 10 y 2 + 4 y + 9 ，当=________，y=______时，的值最小.(全国通讯赛试题)6、若 M = 10a 2 + b 2 - 7a + 6, N = a 2 + b 2 + 5a + 1 ，则 M －N 的值 ()A 、负数B 、正数C 、非负数D 、可正可负7、计算 14 + 6 5 - 14 - 6 5 的值为 ()A 、1B 、 5C 、 2 5D 、 3 5(全国初中数学联赛试题)8、设， ,为实数，= a 2 - 2b +π3 , y = b 2 - 2c + π 6 , z = c 2 - 2a + π2 ，则 x ，， 中至少有一个值 ()A 、大于零B 、等于零C 、不大于零D 、小于零(全国初中数学竞赛试题)9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中 n 为自然数)的是()A 、 3n 2 - 3n + 3B 、 4n 2 + 4n + 4C 、 5n 2 - 5n + 5D 、 7n 2 - 7n + 7E 、11n 2 - 11n + 1110、已知实数， b ， c 满足 a 2 + 2b = 7, b 2 - 2c = -1, c 2 - 6a = -17 ，则 a + b + c 的值等于 ()A 、2B 、3C 、4D 、5(河北省竞赛试题)解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：设 x 1，x 2，x 3,… x n 为实数.(1) 若 x ⋅ x ⋅ 12(2) 若 x + x +1 2 (3) 若 x + x +12 ⋅ x = 0 则 x ，x ，x ,… x 中至少有(或存在)一个为零；1 2 3 n+ x > 0 ，则 x ，x ，x ，… x 中至少有(或存在)一个大于零；1 2 3 n+ x < 0 ，则 x ，x ，x ，… x 中至少有(或存在)一个小于零.1 2 3 n⎪ x = 1 + z 2 11、解方程组 ⎨ y = (苏州市竞赛试题)1 + x 2⎧ 2 z 2 ⎪⎪ 2 x 2 ⎪ ⎪ 2 y 2 ⎪ z =⎩ 1 + y 212、能使 2n + 256 是完全平方数的正整数 n 的值为多少？13、已知 a > b ，且 (a + b ) + (a + ab - b ) +ab (全国初中数学联赛试题)= 243 ，， b 为自然数，求， b 的值.(天津市竞赛试题)13、设 a 为质数，b 为正整数，且 9(2a + b )2 = 509(4a + 511b ) ，求， b 的值.(全国初中数学联赛试题)14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数 y 与房间单价 x 之间存在如图所示的一次函数关系.(1) 根据图象求 y 与 x 之间的函数关系式(0＜＜160)；(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？y间数（个）9905400 50 100x单价（元）。

专题2.3 解一元二次方程-配方法（专项训练）1．（2022秋•滨城区校级期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣1）2＝9 2．（2022秋•闽侯县校级期末）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣9B．（x+4）2＝﹣7C．（x+4）2＝25D．（x+4）2＝7 3．（2022秋•宜宾期末）把方程x2﹣4x﹣5＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b 的值分别是（）A．2，9B．2，7C．﹣2，9D．﹣2，7 4．（2022秋•双滦区校级期末）用配方法解方程，x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9 5．（2022秋•陈仓区期中）用配方法解方程：2x2+6x＝3．6．（2022秋•普宁市校级期中）解下列方程3x2+4x﹣1＝0．（用配方法）7．（2021秋•镇安县期末）用配方法解方程：2x2﹣6x+1＝0．8．（2022秋•虹口区校级期中）解方程：（配方法）2x2+5x﹣1＝0．9．（2022秋•城西区校级期中）x2﹣14x＝8（配方法）．10．（2022秋•辉县市期中）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）．11．（2022秋•青浦区校级期中）用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．13．用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．13．用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．专题2.3 解一元二次方程-配方法（专项训练）1．（2022秋•滨城区校级期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣1）2＝9【答案】B【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，∴（x﹣1）2＝6．故选：B．2．（2022秋•闽侯县校级期末）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣9B．（x+4）2＝﹣7C．（x+4）2＝25D．（x+4）2＝7【答案】D【解答】解：方程x2+8x+9＝0，移项得：x2+8x＝﹣9，配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，故选：D．3．（2022秋•宜宾期末）把方程x2﹣4x﹣5＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（）A．2，9B．2，7C．﹣2，9D．﹣2，7【答案】C【解答】解：方程x2﹣4x﹣5＝0，移项得：x2﹣4x＝5，配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9，∴a＝﹣2，b＝9．故选：C．4．（2022秋•双滦区校级期末）用配方法解方程，x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x﹣1）2＝6C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9【答案】B【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，故选：B．5．（2022秋•陈仓区期中）用配方法解方程：2x2+6x＝3．【答案】，．【解答】解：2x2+6x＝3，二次项系数化为1得，2（x2+3x）＝3，配方得：，即：，∴，∴，．6．（2022秋•普宁市校级期中）解下列方程3x2+4x﹣1＝0．（用配方法）【答案】x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．【解答】解：∵3x2+4x﹣1＝0，∴3x2+4x＝1，则x2+x＝，∴x2+x+＝+，即（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．7．（2021秋•镇安县期末）用配方法解方程：2x2﹣6x+1＝0．【答案】x1＝，x2＝．【解答】解：原方程可化为x2﹣3x＝﹣，x2﹣3x+＝﹣+，（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，∴x1＝，x2＝．8．（2022秋•虹口区校级期中）解方程：（配方法）2x2+5x﹣1＝0．【答案】x1＝，x2＝．【解答】解：2x2+5x＝1，x2+x＝，x2+x+＝+，即（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝，x2＝．9．（2022秋•城西区校级期中）x2﹣14x＝8（配方法）．【答案】x1＝7+，x2＝7﹣【解答】解：x2﹣14x＝8，x2﹣14x+72＝8+72，（x﹣7）2＝57，x﹣7＝±，x1＝7+，x2＝7﹣．10．（2022秋•辉县市期中）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）．【答案】x1＝﹣9，x2＝﹣3．【解答】解：x2+12x+27＝0，x2+12x＝﹣27，x2+12x+36＝9，（x+6）2＝9，x+6＝±3，所以x1＝﹣9，x2＝﹣3．11．（2022秋•青浦区校级期中）用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【答案】x1＝+，x2＝﹣．【解答】解：2x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣x﹣＝0，x2﹣x＝，x2﹣x+（）2＝+（）2，（x﹣）2＝，x﹣＝±，x﹣＝或x﹣＝﹣，x1＝+，x2＝﹣．13．用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．【答案】x1＝+4，x2＝﹣+4．【解答】解：x2﹣8x+13＝0，移项，得：x2﹣8x＝﹣13，配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，即（x﹣4）2＝3，开方，得：x﹣4＝±，∴x1＝+4，x2＝﹣+4．13．用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0．【答案】x1＝2+，x2＝2﹣．【解答】解：移项得x2﹣4x＝3，配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，开方得x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣．。

第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程知识点1用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1.把方程3x2-6x-27=0的二次项系数化为1，可得方程()A.x2-2x-9=0B.x2-6x+27=0C.x2-2x-27=0D.x2-6x-9=02.方程2x2-4x-3=0配方后写成(x+m)2=b的形式应为()A.(x-2)2=7B.(x-1)2=C.(x-1)2=5D.(x-2)2=3.用配方法解方程2y2-5y+2=0.方程两边同除以2，并将常数项移项，得.方程两边同加上，得y2-y+=-1+，即=，解得y1=，y2=.4.(教材例6变式)用配方法解下列一元二次方程:(1)4x2+12x+9=0; (2)3x2+6x-1=0;(3)2x2-3x-3=0.知识点2配方法的运用5.填空:(1)3x2+12x+=3(x+)2;(2)x2-5x+=(x-)2.6.若二次三项式4x2+ax+1可化为(2x-b)2的形式，则ab=.7.先仔细阅读下列材料，再尝试解决问题.求多项式2x2+12x-4的最小值时，我们可以这样处理:解:原式=2(x2+6x-2)=2(x2+6x+9-9-2)=2[(x+3)2-11]=2(x+3)2-22.因为无论x取何值，都有(x+3)2的值为非负数，所以(x+3)2的最小值为0，此时x=-3.当x=-3时，2(x+3)2-22=-22，故原多项式的最小值是-22.解决问题:(1)请根据上面的解题思路，求多项式x2+4x+5的最小值，并写出此时x的值;(2)请根据上面的解题思路，求多项式-3x2-6x+12的最大值，并写出此时x的值.8.用配方法证明对于任何实数x，二次三项式x2-2x+5-的值恒大于零.9.因为(x-1)2≥0，所以x2-2x+1≥0，即x2+1≥2x，由此可得出结论:若x为实数，则x2+1≥2x.运用这个结论求代数式的最大值为()A.0B.C.1D.10.若(5x+6y)2+2(5x+6y)-4=0，则5x+6y的值为.11.若P=a-2，Q=a2+3a(a为实数)，则P，Q的大小关系为P Q(填“>”“<”或“=”).12.用配方法解下列一元二次方程:(1)x(2x+1)=5x+70;(2)0.4y2+0.8y-1=0;(3)x(2x-4)=5-6x.13.(教材例7变式)若9x2-(k+2)x+4是一个关于x的完全平方式，求常数k的值.14.若x2+y2+4x-6y+13=0，求2x+3y的值.15.阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其中一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=(a±b)2.例如:(x-1)2+3，(x-2)2+2x，x-22+x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).请根据阅读材料解决下列问题:(1)按照上面的例子，写出x2-4x+9的三种不同形式的配方;(2)将a2+ab+b2配方(写出两种不同形式的配方);(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0，求a+b+c的值.详解详析1.A2.B[解析] 方程2x2-4x-3=0，变形，得x2-2x=，配方，得x2-2x+1=，即(x-1)2=.故选B.3.y2-y=-124.解:(1)(2x+3)2=0，解得x1=x2=-.(2)二次项系数化为1，得x2+2x-=0.移项，得x2+2x=.方程两边同时加上1，得x2+2x+1=+1，即(x+1)2=，开方，得x+1=±，解得x1=-1，x2=--1.(3)2x2-3x-3=0，二次项系数化为1，得x2-x-=0，移项，得x2-x=，方程两边同时加上2，得x2-x+2=2+，即=，开方，得x-=±，解得x1=，x2=.5.(1)122(2) 56.-47.解:(1)x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1.因为无论x取何值，都有(x+2)2的值为非负数，所以(x+2)2的最小值为0，此时x=-2.当x=-2时，多项式x2+4x+5的最小值是1.(2)-3x2-6x+12=-3(x2+2x-4)=-3(x2+2x+1-1-4)=-3[(x+1)2-5]=-3(x+1)2+15.因为无论x取何值，都有-3(x+1)2的值为非正数，所以-3(x+1)2的最大值为0，此时x=-1.当x=-1时，多项式-3x2-6x+12的最大值是15.8.证明:x2-2x+5-=+3-.∵≥0，3->0，∴x2-2x+5-的值恒大于零.9.B[解析] ∵x2+1≥2x，要求代数式的最大值，∴x必须大于0，∴≤，即≤，∴的最大值为.故选B.10.-1±11.<[解析] ∵P=a-2，Q=a2+3a(a为实数)，∴Q-P=a2+3a-a+2=a2+2a+2=(a+1)2+1.∵(a+1)2≥0，∴(a+1)2+1≥1，∴Q-P≥1，∴Q>P，即P<Q.12.解:(1)x(2x+1)=5x+70.去括号，得2x2+x=5x+70.移项、合并同类项，得2x2-4x=70.两边同时除以2，得x2-2x=35.配方，得x2-2x+1=35+1，即(x-1)2=36.解得x1=7，x2=-5.(2)0.4y2+0.8y-1=0，0.4y2+0.8y=1，y2+2y=2.5，y2+2y+1=2.5+1，(y+1)2=，y+1=±，y=-1±，即y1=-1+，y2=-1-.(3)x(2x-4)=5-6x，整理，得2x2+2x=5，x2+x=，x2+x+=+，=，x+=±，即x1=，x2=.13.解:∵9x2-(k+2)x+4是一个完全平方式，∴9x2-(k+2)x+4=(3x+2)2或9x2-(k+2)x+4=(3x-2)2，∴-(k+2)=12或-(k+2)=-12，∴k=-14或k=10.14.解:由题意得(x+2)2+(y-3)2=0，∴x=-2，y=3，∴2x+3y=-4+9=5.15.解:(1)x2-4x+9的三种不同形式的配方分别为x2-4x+9=(x-2)2+5; x2-4x+9=(x-3)2+2x;x2-4x+9=x-32+x2.(2)答案不唯一，如a2+ab+b2=(a+b)2-ab;a2+ab+b2=a+b2+b2.(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0，∴a2-ab+b2+(b2-4b+4)+c2-2c+1=0，∴a-b2+(b-2)2+(c-1)2=0，∴a-b=0，b-2=0，c-1=0，∴a=1，b=2，c=1，则a+b+c=4.。

一元二次方程班级：___________姓名：___________得分：__________一． 选择题（每小题5分，20分）1、将方程03-22=+x x 化为()n m -x 2=的形式，m 和n 分别是（ ） A 、 1,3 B 、-1,3C 、 1，4D 、-1,42、用配方法解方程01-22=+x x 时，原方程应变形为（ ）A. ()612=+xB.()61-2=xC. ()922=+xD.()92-2=x3、将一元二次方程05-2-2=x x 化为()b a x 2=+的形式，则b=（） A 、3 B 、4 C 、7 D 、134、关于x 的一元二次方程0k 2=+x 有实数根，则（ ）A. k<0B. k>0C. k ≥0D. k ≤0二、计算题（每小题10分，40分）1、5x 2+2x －1=02、x 2+6x +9=73、()()333-x 2-=x x4、05-1)-x 22=（三、解答题（每小题10分，40分）1.已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. 求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.2、已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b --的值．3. 我们知道：对于任何实数，①∵≥0，∴+1＞0；②∵≥0，∴+＞0. 模仿上述方法解答：x 2x 2x 2)31(-x 2)31(-x 21求证：（1）对于任何实数，均有：＞0；（2）不论为何实数，多项式的值总大于的值．4.关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x =﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． x 3422++x x x 1532--x x 2422--x x参考答案一． 选择题、1.C【解析】()41-x 2=配方得2． A【解析】()61151222=++=++x x x ，即3. D ．【解析】 配方0139322=-+⨯-x x13,313)3(,013)3(22=-=∴=-=--b a x x 即则4. D【解析】-k 2=xk -x ±=，若有实数根，则-k ≥0，k ≤0二、计算题1. 解：a =5,b =2,c =－1∴Δ=b 2－4ac =4+4×5×1=24＞0∴x 1·2=∴x 1=561,5612--=+-x2.解：整理，得：x 2+6x +2=056110242±-=±-∴a =1,b =6,c =2∴Δ=b 2－4ac =36－4×1×2=28＞0∴x 1·2=2286±-=－3±7 ∴x 1=－3+7,x 2=－3－73、3,320)3)(23(06113936-x 22122===--=+--=x x x x x x xx4、()2102,2210251212-=+==-x x x三、解答题1、(1)Δ=2k 2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.2、由1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，得：40a b +=又a b ≠，得：22()()20222()2a b a b a b a b a b a b -+-+===-- 3、（1）；（2）即>.4、解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=-1是方程的根，∴（a+c）×（-1）2-2b+（a-c）=0，∴a+c-2b+a-c=0，∴a-b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，∴4b2-4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=-1．。

专题25 配方法例1 10 提示：x =5-y 代入z 2=xy +y −9，然后配方.例2 A 提示：原式=3(a 2+b 2+c 2)−(a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ).例 3 a+b+c =20 提示：将等式整理，得(a −1−2√a −1+1)+(b −2−4√b −2+4)+12(c −3−6√c −3+9)=0即(√a −1−1)2+(√b −2−2)2+12(√c −3−3)2=0例 4 原式=44⋯44 ⏟ n+188⋯88⏟ n+1+1=44⋯44 ⏟ n+100⋯00⏟ n+1+88⋯88⏟ n+1+1=4×11⋯11 ⏟ ×n+110n+1+8×11⋯11 ⏟ n+1+1=4()2211111111119111118111113611111211111611111n n n n n n ++++++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯++⨯+=⨯+⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例5 已知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住S 层的人乘电梯，而住t 层的人直接上楼，S ＜t ，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少.设电梯停在第x 层，在第一层有y 人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为：()()()31233312122S x y x y =+++-++++++++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()()()()333343121222x x y y x y x y ⨯--+----++ =()222102231684x y x y y -++++=()221021215180306848y x y y +⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ =()2210212631631648y x y +⎛⎫-+-+≥ ⎪⎝⎭ 又当x=27，y=6时，=316S 最小值.故当电梯停在第27层时，总分最小，最小值为316分.例6 若2n 19n 91-+为完全平方数，则()24n 19n 91-+也是完全平方数.设()224n 19n 91=m -+（m 为自然数）配方得()222n 193=m -+，∴（m+2n -19）（m -2n+19）=3于是219=3219=1219=1219=3m n m n m n m n +-+--+-+⎧⎧⎨⎨⎩⎩或 解得：=2=2=10=10m m n n ⎧⎧⎨⎨⎩⎩或 故当n=9或10时2n 19n 91-+是完全平方数.能力训练1.4 2. 0 3. 6 4.5. -3，-2, 56. B7. C8. A 提示：()()()222x y z=a 1b 1c 13π++-+-+-+-大于0 .9. B 提示：取n=2和3可否定A 、C 、D 、E ，而()224n 4n 4=4n n 1++++，()222n n n 11n <++<+，故2n n 1++不是完全平方数. 10. B11. （x ，y ，z ）=（0,0,0）或（1,1,1） 提示：取倒数.12. 提示：当n<8时，(22222=01+a b a b =m--，若它是完全平方数，则n 必为偶数.若n=2，则22256265n +=⨯；若n=4，则42256217n +=⨯；若n=6，则6225625n +=⨯；若n=8，则8225622n +=⨯.所以当n ≤8时，2256n +都不是完全平方数.当n>8时，8n 822562(21)n -+=+，若它是完全平方数，则n 821-+为一奇数的平方，设()2n 82121k -+=+（k 为自然数），则()n 10211k k -+=+，由于k 和k+1一奇一偶，∴k=1，于是n 1022-=，故n=11.13. 提示：设a=kb （k 为正整数），则()222124327339k b +==⨯=⨯，解得542428a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 或 14. 由()222292a b =5093k +⨯，得到2a+b=509k ，b=509k -2a ，代入原式得()224a 511509k 2a =5093k +-⨯，()k 5119k a=2-，因为a 为质数，故有以下情况： ⑴当k=1时，5119a==2512-，为质数，b=509k -2a=7. ⑵当k=2时，a=511-18=493=17×29，不为质数，舍去. ⑶当k>2且k 为奇数时，5119k a=k 2-•为质数且k>2，则5119k =12-，此方程无整数解，舍去. ⑷当k>2且k 为偶数时，()k a=5119k 2-为质数，且k 12>，则511-9k=1，此方程无整数解，舍去.综上所述，a=251，b=7.15. 提示：⑴ y=-9x+1440 （0<x<160）.⑵每周的住宿收入是S 元，则()()22914409144098057600S x x x x x =-+=-+=--+ 当x=80时，57600S =最大元.。