初二数学上册培优辅导讲义(人教版)(2020年整理).pptx

八年级数学讲义目录专题01 整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：mnm na a a+⋅=， ()m n mna a=，()n n nab a b =，(0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1(0)p pa a a -=≠． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若n 为不等式2003006n>的解，则n 的最小正整数的值为 ．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知21x x +=，那么432222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题）（3）把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若543237629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知252000x =，802000y=，则11x y+等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．32（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：,x y 为指数，我们无法求出,x y 的值，而11x y x y xy++=，所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设,,,a b c d 都是正整数，并且5432,,19a b c d c a ==-=，求d b -的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设5420326,a b m c d n ====，这样,a b 可用m 的式子表示，,c d 可用n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式2223286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+，求3211m n +-的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数,p q 使得42x px q ++能被225x x ++整除？如果存在，求出,p q 的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出,p q 的值，所谓,p q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，求ab的值． （北京市竞赛试题） 解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出,a b 的值．当然本题也有其他解法．能力训练A 级1．（1）24234(0.25)1⨯--= ． （福州市中考试题） （2）若23n a=，则621n a -= ． （广东省竞赛试题）2．若2530x y +-=，则432xyg． 3．满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数为 ． （武汉市选拔赛试题）4．,,,a b c d 都是正数，且23452,3,4,5a b c d ====，则,,,a b c d 中，最大的一个是 ．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：133=，个位数是3；239=，个位数是9；3327=，个位数是7；4381=，个位数是1；53243=，个位数是3；63729=，个位数是9；…那么73的个位数字是 ，303的个位数字是 ． （长沙市中考试题） 6．已知31416181,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>7．已知554433222,3,5,6a b c d ====，那么,,,a b c d 从小到大的顺序是（ ）A ．a b c d <<<B ．a b d c <<<C ．b a c d <<<D ．a d b c <<<（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若11222,22n n n n x y +--=+=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（ ）A ．4x y =B ．4y x =C ．12x y =D ．12y x =（江苏省竞赛试题）9．已知23,26,212,abc===则,,a b c 的关系是（ ）A ．2b a c <+B ．2b a c =+C ．2b a c >+D ．a b c +>（河北省竞赛试题）10．化简4322(2)2(2)n n n ++-得（ ） A ．1128n +- B ．12n +-C ．78D ．7411．已知2233447,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=，试求171995()6()2x y xy a b ++-+的值．12．已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++．试确定,,a b c 的值．13．已知323x kx ++除以3x +，其余数较被1x +除所得的余数少2，求k 的值．（香港中学竞赛试题）B 级1．已知23,45,87,abc===则28a c b+-= ．2．（1）计算：1998200020002000200073153735+⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭= ． （第16届“希望杯”邀请竞赛试题） （2）如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++，那么n = ． （青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）1615与1333的大小关系是1615 1333（填“＞”“＜”“＝”）．（2）200020013131++与200120023131++的大小关系是：200020013131++ 200120023131++（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果210,x x +-=则3223x x ++= ． （“希望杯”邀请赛试题）5．已知55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++= ．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知,,a b c 均为不等于1的正数，且236,ab c -==则abc 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．12（“CASIO 杯”武汉市竞赛试题）7．若3210x x x +++=，则27261226271xx x x x x x ---+++++++++L L 的值是（ ）A ．1B ．0C ．—1D ．28．如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ）A ．7B ．8C ．15D ．21（奥赛培训试题）9．已知12319961997,,,,a a a a a L 均为正数，又121996231997()()M a a a a a a =++++++L gL ，121997231996()()N a a a a a a =++++++L g L ，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M N =B ．M N <C ．M N >D ．关系不确定10．满足22(1)1n n n +--=的整数n 有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．411．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55ax by +的值．12．若,,,x y z w 为整数，且x y z w >>>，52222208xyzw+++=，求2010(1)x y z w +++-的值． （美国犹他州竞赛试题）13．已知,,a b c 为有理数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除． （1）求4a c +的值； （2）求22a b c --的值；（3）若,,a b c 为整数，且1c a >≥．试比较,,a b c 的大小．（四川省竞赛试题）专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )14．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++L L ．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=L（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----L 等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．41992（“希望杯”邀请赛试题）10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+L写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）第2题图11 2 1 1 3 31146 4 11 5 10 10 5 1 … … … … … … …8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若x y a b +=+，且2222x y a b +=+， 求证：2003200320032003x y a b +=+．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如222222420,1242,2064,=-=-=-因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）专题3 和差化积----因式分解的方法（1）阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 1．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等． 2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l 】分解因式()()=-++++122122x x x x ___________．（浙江省中考题）解题思路：把()x x +2看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程： （1）y x xy x 442-+-；原式＝()()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x ；（2）bc c b a 2222+--．原式＝()()()()c b a c b a c b a bc c b a +--+=--=-+-222222．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式． 仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）bc ac ab a -+-2；（西宁市中考试题）（2）yz z y x 44222+--．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（1）1999)11999(199922---x x ；（重庆市竞赛题）（2）()()()()112-+++++xy xy xy y x y x ；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）()()()33322y x y x -----．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中y x +、xy 反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式34222----y x y x 因式分解后，正确的结果是（ ）．A ．()()13--++y x y xB ．()()31+--+y x y xC ．()()13+--+y x y xD ．()()31--++y x y x（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式： （1）15++x x ；（扬州市竞赛题）（2）893+-x x ；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）1232234++++a a a a ．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：611623+++x x x ．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A 级1．分解因式： （1）2341x x x -+＝___________________________． （泰安市中考试题）（2）33164mn n m -＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）xy y y x x 2)1()1(-++-＝_________________________； （2）8)3(2)3(222-+-+x x x x ＝_____________________________． 3．分解因式：32422+++-b a b a ＝____________________________． 4．多项式a ax 83-与多项式442+-x x 的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有_______个． 6．将多项式yz z y x 1294222---分解因式的积，结果是（）．A ．)32)(32(z y x z y x ---+B ．)32)(32(z y x z y x +---C ．)32)(32(z y x z y x -+++D ．)32)(32(z y x z y x --++ 7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．A ．2727923-+-x x x B ．272723-+-x x x C ．272734-+-x x x D ．279323-+-x x x（“希望杯”邀请赛试题）8．把44+a 分解因式，其中一个因式是（ ）．A ．1+aB ．22+aC ．42+aD ．222+-a a 9．多项式abc c b a 3333++-有因式（ ）．A ．b a c -+B ．c b a ++C ．ab ac bc c b a -+-++222 D ．ab ac bc +-（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式10212-+ax x 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．A ．a 一定是奇数B ．a 一定是偶数C ．a 可为奇数也可为偶数D ．a 一定是负数 11．分解因式：（1）13322)132(222-+-+-x x x x ； （2）90)384)(23(22-++++x x x x ；（3）1724+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）65223--+x x x ； （重庆市竞赛试题） （5）444)(y x y x +++；（6）2)1)(13)(12)(16(x x x x x +----．12．先化简，在求值：2)()(2b a b a a +-+，其中 2008=a ，2007=b ．B 级1．分解因式：344422-+--y y x x ＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：)5()4)(3)(2)(1(++++++x x x x x x ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x ＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：15-+x x ＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将145++x x 因式分解得（）．A ．)1)(1(32++++x x x x B ．)1)(1(32+++-x x x x C ．)1)(1(32+-+-x x x x D ．)1)(1(32+-++x x x x（陕西省竞赛试题）6．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，则此三角形是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7．613223+-+x x x 的因式是（ ）．A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+x E. 12+x（美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+； （湖北省黄冈市竞赛试题） （2）19991998199924+++x x x ； （江苏省竞赛试题） （3）22212)16)(1(a a a a a ++-++； （陕西省中考试题） （4）153143+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （5）333)(125)23()32(y x y x y x ---+-； （“五羊杯”竞赛试题） （6）6121444234++--x x x x ． （太原市竞赛试题）9．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+ ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．分解因式： （1）x x x 27623-+； （2）123--+a a a ；（3）xy y x x y x ++--)7()2(822．11．对方程20042222=++b a b a ，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）12．已知在△ABC 中，),,(010616222是三角形三边的长c b a bc ab c b a =++--， 求证：b c a 2=+．（天津市竞赛试题）专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（ ）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）bc ac ab c b a 54332222+++++；（“希望杯”邀请赛试题）（2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22，求出b a 、即可．【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A ．)2)(4(+---y x y xB ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）．A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6个 7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10（“CASIO 杯”选拔赛试题）8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（ ）． A ．92 B ．32 C ．54D ．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）ac bc ab b a 2222++--；（吉林省竞赛试题）（2）))((4)(2b ac b a c ----；（昆明市竞赛试题）（3）a x a x x 2)2(323-++-；（天津市竞赛试题）（4）12267222--++-y x y xy x ；（四川省联赛试题）（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy（天津市竞赛试题）10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）15．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．（北京市竞赛试题）5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）．A ．8B ．7C ． 15D ．21E ．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．16D ．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++．（北京市竞赛试题）11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数y x ,，下列的值都不会等于33．543223451241553y xy y x y x y x x ++--+（莫斯科市奥林匹克试题）专题05 和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定方程（组）； 4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果： 1. 4224(22)(22)x x x x x +=++-+; 2. 42241(221)(221)x x x x x +=++-+; 3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±； 4.1(1)(1)ab a b a b ±-=±m m ；5. 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---．例题与求解【例1】已知0≠ab ，2220a ab b +-=，那么22a ba b-+的值为___________ .（全国初中数学联赛试题） 解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代入关系求值．【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).A . －1B ．－1或－7C ．1 D.1或7（江苏省竞赛试题） 解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值； (3)整体代入求值．【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998--+-g （“希望杯”邀请赛试题）（2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ （江苏省竞赛试题） 解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．【例4】求下列方程的整数解．(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题） (2)222522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题） 解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值： (1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)2211a b +． 解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的立方，则称自然数a 为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若a ＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a 是一个完全立方数． （北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将a 分解为完全立方式的形式即可．能力训练A 级1. 如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．（烟台市初中考试题）babbaa2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题） 3．方程25510x xy x y --+-=的整数解是__________． （“希望杯”邀请赛试题） 4. 如果2(1)1x m x -++是完全平方式，那么m 的值为__________． （海南省竞赛试题）5. 已知22230x xy y -+=(0≠xy )，则x yy x+的值是( )． A ．2，122 B ．2 C ．122 D ．12,22-- 6．当1x y -=，43322433x xy x y x y xy y ---++的值为( )． A . －1 B ．0 C ．2 D ．17．已知a b c ＞＞，222222M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的大小关 系是( )．A . M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．n 为某一自然数，代入代数式3n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A . 388944B .388945C .388954D .388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) 3331999100099919991000999--⨯⨯ （北京市竞赛试题）(2) 333322223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数．（北京市竞赛试题）16．已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成立.(1)求a c +的值；(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3．已知正数a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题） 4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．（浙江省中考试题）5．已知a ，b ，c 是一个三角形的三边，则444222222222a b c a b b c c a ++---的值( )．A .恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(太原市竞赛试题) 6．若x 是自然数，设4322221y x x x x =++++，则( )．A . y 一定是完全平方数B ．存在有限个x ，使y 是完全平方数C . y 一定不是完全平方数D ．存在无限多个x ，使y 是完全平方数 7．方程2223298x xy x --=的正整数解有( )组．A .3B ．2C ．1D ．0（“五羊杯”竞赛试题）8．方程24xy x y -+=的整数解有( )组．A .2B ．4C ．6D .8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N ＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N 的因数？（美国中学生数学竞赛试题）10．当我们看到下面这个数学算式333337133713503724372461++==++时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，… 你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，而以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设k ，a ，b 为正整数．k 被22,a b 整除所得的商分别为m ，16+m .(1)若a ，b 互质，证明22a b -与22,a b 互质；(2)当a ，b 互质时．求k 的值；( 3)若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值．（江苏省竞赛试题）专题06 从地平面到脚手架------分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等． 分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：1．分步通分，步步为营； 2．分组通分，化整为零； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．拆项相消后通分； 5．恰当换元后通分， 学习分式时．应注意：(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形； (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在． 分式问题比起整式问题，增加了几个难点； (1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序； (3)需要考虑字母的取值范围， 例题与求解【例1】m ＝_________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0. （杭州市中考试题）解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式1m -就不为0．【例2】 已知1abc =，以2a b c ++=，2223a b c ++=，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为( )．A .1B ．12-C ．2D ．23- （太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件2a b c ++=，对分母分解因式，分解后再通分.【例3】计算：(1)322441124a a a b a b a b a b+++-+++ （武汉市竞赛试题）(2) 2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b+++--+++-+--+- （天津市竞赛试题）（3）33232322112(1)2212211x x xx x x x x x x-+++-+++-+--（赣州市竞赛试题）（4）22223322332223()2b a b aa b a bb a b a b aa b a b a b+++÷---+-（漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于ba或ab的代数式，考虑设bxa=，ayb=，则1xy=，通过换元可降低问题的难度．当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。

第1讲 与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2几何符号表示它们.3经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、顶角一共构成哪几对邻补角 【解法指导】反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF ⑴∠ARC 的对顶角是⑵中有几对对顶角，几对邻补角02当三条直线相交于一点时，共有6当四条直线相交于一点时，共有12问：当有100【例２】如图所示，点O 是直线AB ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，C ．50° D ．80° 4＝ .相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的.的垂线段.A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ）A ．4cmB ． 5cmC ．不大于4cmD ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、NA B CE F O1 4 32 （第2题图）l 2为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P时，距离村庄N ⑵当汽车从A 出发向B 在 的路上距离村庄N 【例４】如图，直线AB 、CD BOE 和∠AOC 的度数. 可以作为该图形具备的性质，⊥AB ． 【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE ∠1和∠2： ∠1和∠3： ∠1和∠6： ∠2和∠6： ∠2和∠4：∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行.⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】 01⑴∵∠A ＝∠ ∴AC ∥ED （ ⑵∵∠C ＝∠ ∴AC ∥ED （ ⑶∵∠A ＝∠ ∴AB ∥DF （02．如图，AD 系. 解：∵AD ∴∠BAC ＝2∠ 又∵EF ∴ 又∵∠1＝∠2 ∴ ∴AB ∥DE （03．如图，已知＋∠ACE ＝9004分∠ACB ，∠EBF的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°. 【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.a2,a2∥a3，a3⊥a4，＝ .）EMB 的同位角为D ．∠END图⑴ 图⑵AD C第4题图D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ） ①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．05．点A 、B 、C 是直线l PC ＝6cm ，则点P 到直线l A ．4cm B ．5cm C 06＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 08．在同一平面内，若直线a1与a10不重合） 09．如图所示，直线a 、b 被直线∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180是 . 1011．如图，已知BE 平分∠ABD ，∥CD 12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何 13．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝ （已知） 使AD ∥BC ． 2，3 ）部分. D ．45 ）个交点.D ．55a 、b 是一个角的两的个数是（ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三A B C D O 第6题图 A CD EB AB CDEF 1 2A B C D E F第14题图 a b08．平面上有10安排才能办到09．如图，在一个正方体的2AC ，那么两条对角线的夹角等于（A ．60° B ． 75° C ．90°10．在同一平面内有9个条件⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点. 第13讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译123经典·考题·赏析 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB 【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补. 线，识别角的关系式关键. 【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° 【变式题组】 01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°2＝65°，则∠3为（ ） 60° D ．65° ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCGF ＝∠FCD(两条直EFC ＝45° ∴∠∴∠GCF ＝90°BCG ＝【变式题组】 01．如图，已知AF ∥BC, 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________ E A FG D C B西30°A01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA/ ②过点B 作AA/的平行线l ③在l 截取BB/＝AA/,则点B/就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得21cm ，作出平移后的图形. ABC 中，∠C ＝90°, BC＝4，AC ＝4，方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距与△A/B/C/的重叠部分的面积.BC 方向平移BE 的距）60°．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相A．第一次向左拐左拐130°C．第一次向左拐左拐120°04A．对顶角相等互补05A．①②B06．在A、B东52°.现A、B走向应该是（A．北偏东52°07的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC△ABC内能与△DEF那么在△ABC内由△DEF个02B点沿着BO方向匀速滚来，直线奔跑前去拦截足球.能截住足球的位置.（点的平移）03．如图，长方体的长AB＝4cm，宽AA1＝2cm. 将AC平移到A1C1的距离是___________,平移___________.04的边长均为a，竖直方向的边长为b向右平移1个单位得到B1B2A1A2B2B1 [即阴影部分如图⑴];得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [⑴在图⑶中，从而得到1________.地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是若5次后发现赛车回到出C．144°D．720°或144°10个点A1、A2、…、A10，直线bb上每一点相连可得线段.若）6480 D．2006平分∠BEC，EG⊥EF. 求∠BEG和∠DEG.⑶⑷实数与数轴上的点一q≠0）0(a≥0) ．的值．2m ?4＝5，m＝l．____．____．y是____．数a、b满足24242a b a-++=，则a＋b等于( ) A．－1 B．≥3∵24a b-++∴24a b-++∴()2203ba b+=⎧⎪⎨-=⎪⎩【变式题组】0l0203．（天津）若A．1 B．－04．已知xA．11π-B． C． D．无法确定【例3】若a、b都为有理效，且满足1a b-+=+a＋b的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1312，5±．＋2）m＋(3－＋7＝0（123π+）x＋（132π+）y?4?π是9的平方根，且a b b a-=-，求a?2＝整数部分＋小?2 ?2?4．∵a＝2，b?1＝4，即a＋b＝6．【变式题组】01．若3的小数部分是a，b，则a＋b的值为____．02a ，小数部分为ba ）·b ＝____． 演练巩固 反馈提高0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2C ． 16的平方根是±4D ．02．设a =b ＝ －2，cA ．a<b<c B ．a<c<b C03A ．－9与81的平方根 B ．04．在实数1.414，，A ．2个 B ．3个 C ．405．实数a 、b A ．b>a B ．a C ． －a ＜b D ．－06．A ． 1个 B ．2个 C ．07．设m n ＝A. m ＝±nB.m ＝08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－2．－1．－2 D ．l 09．点AB 在数轴上和原点相距3个单位，____．13，那么至少要选____个数． a ※b ＝a b -，如．<b ，则a ＋b ＝____．a*b ＝()()22a b a b ab a b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，，213a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、．P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x 、y ＋x 、y ．17．已知2a?1的平方根是±3，3a＋b?1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b 315a-153a-＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn?2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x?y＋1）2与533x y--互为相反数，求22x y+的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a?3，则a值为( )A． 2 B．－1 C． 1 D． 002．x＋1x-＋2x-的最小值是( )A．0 B． 12 C．1 D． 20353x+?2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋b3＝21?53，则a＋b＝____．05．若a b-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足20092010a a a--=，则a? 20092＝_______．m满足关系式3523199199x y m x y m x y x y+--+-=-+--g，试确定m的值．08．（全国联赛）若a、b满足35a b+＝7，S＝23a b，求S的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g g g2930a⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a、b、x、y满足y＋231x a=-，231x y b-=--，求22x y a b+++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是-_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x 轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1－y2|，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．【变式题组】01．如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC 的面积．【解法指导】(1)三角形的面积＝12×底×高．(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△ABC＝Ｓ△ABD＝Ｓ△BCD＝12·3·5－12·3·1＝6．【变式题组】01．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(―3，―1)，B(1，3)，C(2，－3)，△ABC的面积．02．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形ABDC的面积．03．已知：A(－3，0)，B(3，0)，C(－2，2)，若D点在y轴上，且点A、B、C、D四点所组成的四边形的面积为15，求D点的坐标．【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2……每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有__________个．【解法指导】寻找规律，每个正方形四条边上的整点个数为S＝8n，所以S10＝8×10＝80个．【变式题组】01．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变成△OA3B3．已知：A(1，2)， A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化找出规律，按此规律再将三角形△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是____________，B4的坐标是_____________；(2)若按(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到三角形△OAnBn，推测An 的坐标是_____________，Bn的坐标是_____________．【解法指导】由AA1A2A3、BB1B2B3的坐标可知，每变换一次，顶点A的横坐标乘以2，纵坐标不变，顶点B的横坐标乘以2，纵坐标不变．如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)…则点A2010的坐标为_______________．演练巩固反馈提高01．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限02．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是( )A．(－2，7) B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)03．如果点A(a，b)，则点B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限04．下列数据不能确定物体位置的是( )A．六楼6号 B．北偏西400 C．文昌大道10号 D．北纬260，东经135005．在坐标平面内有一点P(a，b)，若ab＝0，则P点的位置是( )A．原点 B．x轴上 C．y轴上 D．坐标轴上06．已知点P(a，b)到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且|a－b |＝b－a，则点P的坐标是_______________．07．已知平面直角坐标系内两点M(5，a)，N(b，－2)，①若直线MN∥x轴，则a＝______，b＝__________；②若直线MN∥y轴，则a＝___________，b＝_________．08．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则P2010的横坐标x2010＝___________?09．按下列规律排列的一列数对，(2，1)，(5，4)，(8，7) …，则第七个数对中的两个数之和是______________?10．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（）A．(2，3) B．(2，－3) C．(－2，3)D．(－2，－3)11．点P位于x轴的下方，距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，则点P的坐标是____________．12．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对(n，m)表示第n排，从左到右第m个数，则表示实数25的有序数对是______________．13．已知点A(－5，0)，B(3，0)，(1)在y轴上找一点C，使之满足S△ABC＝16，求点C的坐标；(2)在平面直角坐标系内找一点C，使之满足S△ABC＝16的点C有多少个这样的点有什么规律．14．若y轴正方向是北，小芳家的坐标为(1，2)，小李家的坐标为(－2，－1)，则小芳家的________________方向．15．如图在平面直角坐标系中A(0，1)，B(2，0)，C(2，1.5)(1)求△ABC的面积；(2)如果在第二象限内有一点P(a，12)，试用含a的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在(2)的条件下，是否存在一点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图所示，在直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其边长为4，有一动点P，自O点出发，以2个单位长度／秒得速度自O→A→B→C→O运动，问何时S△ＰBC＝4并求此时P点的坐标．培优升级奥赛检测01．如果点M(a＋b，ab)在第二象限，那么点N(a，b)在第_____________象限．02．若点A(6－5a，2a－1)．(1)点A在第二象限，求a的取值范围；(2)当a为实数时，点A能否在第三象限，试说明理由；(3)点A能否在坐标原点处为什么03．点P{－12，－[ －|1－12| ]}04．已知点Ａ(2a＋3b，－2)与点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，那么a＋b＝__________．05．已知ａ＜０，那么点Ｐ(－a2－2，2－a)关于原点对称的点在第________象限．06．已知点P1(a－1，5)在第一、三象限角平分线上，点P2(2，b－8)在第二、四象限角平分线上，则(－a＋b)2010＝___________．07．无论x为何实数值，点P(x＋1，x－1)都不在第_________象限?08．已知点P的坐标为(2－a，3b＋6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标为_________．09．若点P(x，y)在第二象限，且|x－1|＝2，|y＋3|＝5，则P点的坐标是__________．10．若点A(2x－3，b－x)在坐标轴夹角的平分线上，且在第二象限，则点A的坐标是__________．11．已知线段AB平行于y轴，若点A的坐标为(－2，3)，且AB＝4，则点B的坐标是__________．12．已知A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求B点的坐标．13．如图，B(2，4)，点D从O→C→B运动，速度为1单位长度／秒．(1)当D在OC上运动时，直线BD能否将长方形ABCD的面积分为1:2两部分，若能，求点D的坐标，若不能，请说明理由；(2)当点D运动到CB上时，经过多长时间△ABD的面积等于14矩形ABCO的面积并求此时D点的坐标．14．已知：A(a－35，2b＋23)，以A点为原点建立平面直角坐标系．AB CDO－2 xy(1)试确定a、b的值；(2)若点B(2a －75，2b＋2m)，且AB所在直线为第二、四象限夹角的平分线，求m的值．第15讲平面直角坐标系（二）考点?方法?破译1．建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置.2．了解可以用不同的方式确定物体的位置.3．在同一坐标系中，会用坐标表示平移变换.经典?考题?赏析【例1】在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后得到B点的坐标是 .【解法指导】在平面直角坐标系中，将点P（x,y）向右或向左平移a个单位，可以得到P’（x+a,y）或P’（x－a,y），将点P（x,y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到P’（x,y+b）或P’（x,y－b）.一句话：右、上作加，左、下作减.即B点的坐标为（－4,5），所以B点的坐标为（－4,5）.【变式题组】01．在平面直角坐标系中，将点A（5，－2）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到点B的坐标是 .02. 在平面直角坐标系中，将点M（3，－4）平移到点N（－1,4），是经过了先向，再向，而得到的.03．点A（－5，－b）经过先向下平移3个单位，再向左平移2个单位长度后得到点B（a,－1），则ab＝ .【例2】△ABC三个顶点坐标分别是A（4,3）B（3,1）C（1,2）⑴将△ABC向右平移1个单位，得到△A1B1C1，再向下平移2个单位长度得到△A2B2C2，求△A2B2C2三个顶点的坐标.⑵将△ABC三个顶点坐标的横坐标都减去5，纵坐标不变得到△A3B3C3，则△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系⑶将△ABC三个顶点坐标的纵坐标都加上5，横坐标不变得到△A4B4C4，则△A4B4C4与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系【解法指导】平移后得到的图形与平移前的图形的大小相等，形状相同.解：⑴A2(5,1)B2（4，－1）C2（2,0）；⑵△A3B3C3与△ABC大小相等，形状相同，△A3B3C3是△ABC向左平移5个单位得到的；⑶A4（4,8） B4（3,6） C4（1,7），△A4B4C4与△ABC大小相等，形状相同，△A4B4C4是△ABC向上平移5个单位得到的.【变式题目】01.如图将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）A．（1,7），（0,2）（3,5） B（1,7），（0,2）（4,5）C（1,7），（2,2）（3,5） D（1,7），（2,2）（3,3）02.将正方形向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得到的顶点坐标分别是（－1,2），（3,2），（3，－2），（－1，－2），则平移前该正方形的四个顶点的坐标分别为：3.如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是：A（0,0）B（6,0）C（5,5）⑴求△ABC的面积；⑵如果将△ABC向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1，再向右平移2个单位长度得到△A2B2C2，试求△A2B2C2三个顶点的坐标；⑶试说明△A2B2C2与△ABC的形状、大小有什么关系【例3】在平面直角坐标中，点A（1,2）平移后的坐标A’（－3,3），按照同样的规律平移其它点，则下列哪种变换符合这种规律（）A．（3,2）→（4，－2） B．（－1,0）→（－5，－4）C（2.5，－1/3）→ (－1.5,2/3) D(1.2,5) → (－3.2,6)【解法指导】先仔细分析平移规律：点A（1,2）→A’（－3,3），规律是：横坐标减少4，纵坐标增加1，再依据规律作出正确的判断.【解】依据坐标平移规律，故选C．【变式题组】01．在平面直角坐标系中，点A（－2,3）平移后的坐标为A’（2，－3），按照同样的规律平移（1，－2），得到 .02．线段CD是由线段AB平移得到的,点A(－1,4)的对应点C（4,7），则点B（－4，－1）的对应点D的坐标是 .03．将点P(m－2,n+1),沿x轴负方向平移3个单位长度得到P1（1－m,2）,求点P的坐标.04．平面直角坐标系中，△ABC个顶点的坐标分别是A（6,8），B（－2,0），C（－5，－3），△DEF各顶点的坐标是D （0，3），E（8,11），F（－3,0），请仔细观察这两个三角形各顶点的坐标关系，判断△DEF是不是由△ABC平移得到的如果是请回答平移规律；如果不是，请说明理由.【例4】如图是某市市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为1个长度单位），请以某景点为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置.光岳楼金凤广场动物园【解法指导】若以金凤广场为坐标原点O，过点O的水平线为x轴，取向右为正方向；过点O的竖直直线为y轴，取向上为正方向，即可建立平面直角坐标系，各景点坐标的位置就可以表示出来.【解】以金凤广场为坐标原点O，，建立如图所示的直角坐标系.所以：⑴光岳楼（1,1）⑵金凤广场（0,0）；⑶动物园（6,5）.【变式题组】01．如图为某市旅游景点示意图，试以中心广场为坐标原点建立直角坐标系，用坐标表示各个景点的位置.02．如图是传说中的一个藏宝图，藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图，现金的寻宝人没有原来的地图，但知道在该图上有两块大石头A(2,1),B(8,2),而藏宝地的坐标是（6,6），试设法在地图上找到藏宝地点.【例5】某村是一个古树名木保护模范村，仅百年以上树龄的古树就有5棵，第一棵古松树在小刚家的院子里，第二棵古松树在小刚家东南方向2000米处，第三棵古松树在小刚家北偏西30?方向1000米处，第四棵古松树在小刚家正东1000米处，第五棵古槐树在小刚家南偏西45?方向1500米处，请你画图表示这五棵古树的位置.【解法指导】以小刚家为坐标原点，水平线为x轴，正东方向为正方向，取竖直线为y轴，正北方向为正方向建立平面直角坐标系，再根据这五棵树的方位和数量关系即可确定它们的位置.【解】以小刚家为坐标原点，水平线为x轴，正东方向为正方向，取竖直线为y 轴，正北方向为正方向建立平面直角坐标系，比列尺为1:50000，即1厘米表示500米.那么五棵数的位置如图所示.【变式题组】01．如图，为一公园内运动园的平面示意图：A为孔雀园，B为猴山，C为鹦鹉园，D为天鹅园，E为熊猫园，F为师虎园.现以孔雀园来说：⑴猴山在孔雀园的北偏东多少度的方向上要想确定猴山的位置，还需要什么数据⑵与孔雀园距离相等的有几个园它们是什么园⑶要确定狮虎园的位置还需要几个数据请借助刻度尺、量角器，说出狮虎园距鹦鹉园的位置【例6】如图，早直角坐标系中，第一次将∆OAB变换成∆OA1B1，第二次将∆OA1B1变换成∆OA2B2，第三次将∆OA2B2变换成∆OA3B3，已知A（1,3），A1（2,3），A2（4,3）A3（8,3），B（2,0），B1（4,0），B2（8，0），B3（16,0）.⑴观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再次将∆OA3B3变换成∆OA4B4，则A4的坐标是，B4的坐标是；⑵若按⑴题找到的规律，将∆OAB进行了n次变换，得到∆OAnBn,推测An的坐标是，Bn的坐标是 .【解法指导】此题为猜想题，解这类题一般步骤是：⑴＜1＞观察：高清观察的对象；＜2＞分析：分析个数之间的关系，如：和、倍、分等数量关系；＜3＞对比：在分析个数据的情况下，找出个数据之间的区别和联系，为归纳作准备；＜4＞归纳：将观察、分析、对比得出的结论用文字或数学式子表示出来；⑵这种数学方法是从特殊到一半的思想方法.分析：观察图形，可知An 的横坐标是2n,而Bn的横坐标是按2n+1变化的. 解：⑴A4(16,3),B4(32,0);An(2n,3),Bn(2n+1,0).【变式题组】01.（菏泽.淄博）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜想由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有个.【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，将坐标为（0,0), (5,0),(4,3), (1,3), (0,0),的点用线段依次连接起来形成一个图案，不画图形，回答下列问题.若每个点的横坐标保持不变，纵坐标变成原来的2倍，将所得各点用线段依次连接起来，那么所得的图案与原来图案相比有什么变化若横坐标保持不变，纵坐标分别加2呢若纵坐标保持不变，横坐标分别加2呢若横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1呢若纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1呢【解法指导】⑴所得图案与原图案相比，图案横向未变，纵向被拉长为原来的2倍；⑵所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向上纵向平移了2个单位；⑶所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向右横向平移了2个单位；⑷所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于x轴成轴对称.⑸所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于y轴成轴对称.欲解此题，只要充分利用图形上点的坐标变化与图形的形状变化之间关系的规律即可. 演练巩固反馈提高01．将三角形ABC各顶点的横坐标不变，而纵坐标分别加4，连接三个点所得到三角形是三角形ABC（）A．向左平移4个单位得到 B．向上平移4个单位得到C．向右平移4个单位得到 D．向下平移4个单位得到02. 将三角形ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标分别减5，连接三个点所得到三角形是由三角形ABC（）A．向左平移5个单位得到 B．向右平移5个单位得到C．向上平移5个单位得到 D．向下平移5个单位得到03.（日照市）在平面直角坐标系中，把点P(－2,1)向右平移一个单位，则得到的对应点P’的坐标是（）A．（－2,2） B．（－1,1） C．（－3,1） D．（－2,0）04．如右图，将三角形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）A．（2,2），（3,4），（1,7） B．（－2,2），（4,3），（1,7）C．（－2,2），（－5,－3），（0,－1）D．（－2,2），（－5,3），（0，－1）05．利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下⑴根据具体问题确定适当的单位长度；⑵建立平面直角坐标系；⑶在平面直角坐标系内画出各点.其中顺序正确的是（）A．⑴，⑵，⑶ B．⑵，⑴，⑶C．⑶，⑴，⑵ D．⑴，⑶，⑵06．如图，图是由图1经过变换得到的，下列说法中错误的是（）A．将图1先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到图2 B．将图1先向上平移6个单位，再向右平移4个单位得到图2C．将图1先向上平移6个单位后，再沿y轴翻折180?可得到图2D．将图1先向右平移4个单位后，再沿x轴翻折180?可得到图207．在象棋中，“马走斜”是指“马”从“日”的一个顶点沿着对角线走向另一个顶点，图中“马”现在的位置用（6,2）表示，要想“马”走现在“帅”的位置（如图），至少需要步，写出“马”所走的路线（只要写出一种） .。

第1讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是. 邻补角是.⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝AOCBOC21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180°∴∠EOF ＝21×180°＝90°⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（）A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝. 【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P到直线l 的距离为（）A ．4cmB ．5cmC ．不大于4cmD ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行ABCDEFAB CDEFPQRABCEFOEAACDO（第1题图） 143 2（第2题图）ABOl 2l 1驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越近..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数. 【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6：∠2和∠4：∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】FBAOCDECDB AEOCDABAEDCFEBAD14 2 365AB ＧE01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（）A ．4对B ． 8对C ．12对D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由?⑴∠CBD ＝∠ADB ；⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行.⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠（已知）∴AC ∥ED （）⑵∵∠C ＝∠（已知）∴AC ∥ED （）⑶∵∠A ＝∠（已知）∴AB ∥DF （）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系.解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知）∴（）又∵∠1＝∠2（已知）∴（）∴AB∥DE（）03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE＝90°，求证：AB ∥CD ．04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF.7 1 5 6 8 4 1 2乙丙3 23 4 5 6123 4甲1 A BC 2 3 456 7 ABCDOABDEFCABC DEA BCDE F12ADE【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是.03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝.演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠ B B．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BDA．0 B． 2 C．4 D．605．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝.l1l2l3l4l5l6图⑴l1l2l3l4l5l6图⑵AEB C FDABC DFEMNα第1题图第2题图AB D C第4题图07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝. 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是.10．在同一平面内两条直线的位置关系有.11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A＝（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠2＝（已知）∴AC∥ED（）⑶∵∠A＋＝180°（已知）∴AB∥FD．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）A．1，3 B．0，1，3 C．0，2， 3D．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10ABCDOAB CDEFGHabc第6题图第7题图第9题图123 4567 81AC DEBA BC DEF12AB CDEF第14题图ADEA D条直线最多能把平面分成（）部分.A．60 B．55 C．50 D．4503．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（）个交点.A．35 B．40 C．45 D．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点.05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（）A．60°B．75°C．90°D．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠A＝38°，求∠C的度数.【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB∥CD BC∥AD∴∠A＋∠B＝180°∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)∴∠A＝∠C ∵∠A＝38°∴∠C＝38°【变式题组】01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC 的度数为（）A．155°B．50°C．45°D．25°a bAC02．（安徽）如图，直线l1 ∥l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD∠F ＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60°∠EFC ＝45°∴∠BCD ＝60°∠FCD ＝45°又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理）∴∠GCD ＝90°－45°＝45°∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC, 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥MP ∥CD, MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ．求证：∠A ＝∠F.【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ．要证明DF ∥AC, 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°，即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC＝180°即要证明DB ∥EC ．要证明DB ∥EC 即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等?两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180°∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG ABC DOE FAEBC （第1题图）（第2题图）EABDα12 C F（第3题图）321l 1l 2（第2题图）（第1题图） EDCBAEAFG D CB BAMCDN P （第3题图）DAE F1 32B CA 1DFDA 21BFE ACD02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ．求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O ′Ｂ平行于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3.求证：AD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：∠1＝∠3）证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC∴∠EGC ＝∠ADC ＝90°（垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行）∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等）∴AD 平分∠BAC （角平分线定义）【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E,DF ⊥AB 于F, AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ．求证：∠EDF ＝∠BDF.3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360°【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，A DMCNEBA2CF 3 ED1B（第2题图）O/αO θβB31ABG DCEA BαβP BC D A∠P ＝α＋β 3 21γ 4ψDαβEBC AFHF γD αβE BCA FDEB CABCAA ′lB ′C ′DBCA联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键.【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360°即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360°【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________⑵____________________________ ⑶____________________________⑷____________________________【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.【解】过点E 作EH ∥AB ．过点F 作FG∥AB ．∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】01．如图，AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（）A ．∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ．∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.⑴定：确定平移的方向和距离.⑵找：找出图形的关键点.⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.⑷连: 按原图形顺次连接对应点.【解】①连接AA/②过点B 作AA/的平行线l ③在l 截取BB/＝AA/,则点B/就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.【变式题组】01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.BAPCACCDAAPCBDPBPD BD ⑴⑵⑶⑷西B 30°A北东南02．如图,已知三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC 与△A/B/C/的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（）A ．北偏东52°B ．南偏东52°C ．西偏北52°D ．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）P.P.P.P .⑴⑵⑶⑷D538AFCB E B B/AA/CC/150°120°DBCE 湖21ABEF09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？DEAB CE DB CE D AB CEDAB CEDA B C4P231 ABEFCD 15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA1＝2cm. 将AC 平移到A1C1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________.04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1 [即阴影部分如图⑴];将折现A1A2 A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________. ⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（）A ．720°B ．108°或144°C ．144°D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b 上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a 上每一点与b 上A 2B 2A 3B 3B 4A 4A 1B 1草地草地A 1B 2⑵B 1A 2B 2A 1B 1A 3B 3A 2⑴⑶⑷⑸CB 1A A 1C 1D 1BD.B .O .A FADE CBBDCFAE FEBA CGD每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（）A ．90B ．1620C ．6480D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF. 求∠BEG 和∠DEG.08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ．问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF.⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若2x ＝a(a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平FEBACGD100°FEBCABCD方根为x＝±a，其中a的平方根为x＝a叫做a的算术平方根．若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝3a．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na≥0（n为正整数），a≥0(a≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m -4与3m-l是同一个数的平方根，∴2m-4 ＋3m-l＝0，5m＝5，m＝l．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知m是小于152的最大整数，则m的平方根是____．03．9的立方根是____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足2242342a b a b a，则a＋b等于( )A．－1 B．0 C．1 D．2【解法指导】若23a b有意义，∵a、b为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0 a ≥3∵2242342a b a b a∴2242342a b a b a，∴2230b a b．∴22030ba b，∴32ab，故选C．【变式题组】0l．在实数范围内，等式223a a b＝0成立，则ab＝____．02．若2930a b，则ab的平方根是____．03．（天津）若x、y为实数，且220x y，则2009xy的值为（）A．1 B．－1 C．2 D．－204．已知x是实数，则1xx x的值是( )A．11B．11C．11D．无法确定输入x取算术平方根输出y是无理数是有理数【例3】若a、b都为有理效，且满足123a b b．求a＋b的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵123a b b，∴123a bb即112a bb，∴1312ab，a ＋b＝12 ＋13＝25．∴a＋b的平方根为：255a b．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m、n是有理数，且（5＋2）m＋(3－25)n＋7＝0求m、n．02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（123）x＋（132）y-4-＝0，则x-y＝____．【例4】若a为17-2的整数部分，b-1是9的平方根，且a b b a，求a＋b的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17-2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝17-2 -2＝17-4．∵a＝2，b-1＝±3 ，∴b＝－2或4∵a b b a．∴a<b ，∴a＝2，b＝4，即a＋b＝6．【变式题组】01．若3＋5的小数部分是a，3-5的小数部分是b，则a＋b的值为____．02．5的整数部分为a，小数部分为b，则（5＋a）·b＝____．演练巩固反馈提高0l．下列说法正确的是( )A．－2是(－2)2的算术平方根B．3是－9的算术平方根C．16的平方根是± 4 D．27的立方根是± 302．设3a，b＝－2，52c，则a、b、c的大小关系是( )A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b03．下列各组数中，互为相反数的是( )A．－9与81的平方根B．4与364C．4与364D．3与904．在实数 1.414，2，0.1?5?，5-16，，3.1?4?，83125中无理数有( )A．2个B．3个C．4个D．5个05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( )A．b>a B．a bC．－a＜b D．－b>a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( ) A．1个B．2个C．3个 D ．4个07．设m是9的平方根，n＝23．则m，n的关系是( )A. m＝±nB.m＝n C .m＝－n D.m n08．（烟台）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和3，点B关于点A 的对称点C，则点C所表示的数为( )A．－23B．－13C．－2 ＋3D．l ＋309．点A在数轴上和原点相距5个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝a ba b，如3※2＝3232＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<7<b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝22a b a bab a b≥<，已知3*m ＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a，213a在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a-1的平方根是±3，3a＋b-1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b＝315a＋153a＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn-2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x-y＋1）2与533x y互为相反数，求22x y的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a-3，则a值为( ) A． 2 B．－1 C． 1 D．002．（黄冈竞赛）代数式x＋1x＋2x的最小值是( )A．0 B．1＋2C．1 D． 203．代数式53x-2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋b3＝21-53，则a＋b＝____．05．若a b＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足20092010a a a，则a- 20092＝_______．m满足关系式3523199199x y m x y m x y x y，试确定m的值．08．（全国联赛）若a、b满足35a b＝7，S＝23a b，求S的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030aaa2830a2930a18，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y ＋231x a，231x y b ，求22x ya b的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x 轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1。

第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

第1讲内角和初步基础回顾（一）三角形三边间关系1．若△ABC中，AB＝40，BC＝50，第三边长为x，则x的范围为________ ．2．已知等腰△ABC的周长为20，一边为5，求另两边的长．3．如图，AB＝AC，△ABC的周长为16cm，中线BD将△ABC分成的两个三角形，周长差为2cm, 求△ABC三边的长．4．有4m和6m的两根小棒，请你再找一根小棒，并以这三根小棒为边围成一个三角形，求第三根小棒的长x cm的取值范围．5．已知等腰三角形一边长3cm，另一边长6cm，求三角形的周长.6．已知△ABC周长为10，三边长为整数，求三边．7．已知三角形△ABC，AB＝3 , AC＝8，BC长为奇数，求BC的长.（二）三角形重要线段1．中线8．如图AD为△ABC的中线，点E为AD上一点，求证：S△ABE＝S△ACE.9．如图AD、BE、CF为△ABC的三条中线，求证：16BOD ABCS SD D= .10.如图，△ABC的面积是60，AD:DC＝1:3，BE:ED＝4:1，EF:FC＝4:5，求△BEF的面积．2.高11．(1)如图，作出△ABC三边上的高AD、CE、BF;(2)若AB＝2AC，求BFCE的值方法运用25，求∠A12．如图，AB∥CD，∠C＝∠E＝063，求∠DAC的13.如图，△ABC中，D是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝0度数．14.已知，如图，点P是△ABC内一点，连接PB、PC，请比较∠BPC与∠A的大小？并说明理由．90，CD是AB边上的高，AB＝10cm，BC＝8cm，15.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝0AC＝6cm，求：(1)CD的长；(2)△ABC的角平分线AE交CD于点F，交BC于E点，求证：∠CFE＝∠CEF．16．如右图，∠A ＝040，∠B ＝020，∠C ＝030，求∠BPC.17．如右图，在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝2∠C ，AD 、BE 为角平分线①求∠C ； ②求∠APE .18．如图△ABC ，∠B 、∠C 的外角平分线相交于P 点， 若∠P ＝080，求∠A ．19．如图，∠A ＝∠ABD ，∠C ＝∠BDC ＝∠ABC ，求∠A.20、如图，∠D ＝040，∠C ＝030，AE 、BE 平分∠DAC 、∠CBD ，求∠AEB.21．如图，在直角坐标系中，已知B (b ，0)，C (0，c )，且2|3|(28)0b c ++-=(1)求B 、C 坐标；(2)点A 、D 是第二象限的点.点M 、N 分别是x 轴和y 轴负半轴上的点，∠ABM ＝∠CBO ，CD ∥AB ,MC 、NB 所在直线分别交AB 、CD 于E 、F ，若∠MEA ＝070，∠NFC ＝030，求∠CMB －∠CNF 的值；(3)如图，AB ∥CD ，Q 是CD 上一动点，CP 平分∠DCB ，BQ 与CP 交于点P ， 求DQB QBC QPC??Ð 的值.第2讲三角形内角和专题基础回顾1.如图，△ABC中，BD是角平分线，CE是高，BD、CE相交于点F. ∠BCE＝2∠ACE，120，求∠ABF及∠A的度数．∠BFC＝036，求∠BED 2．如图，已知：AE平分∠BAC，BE⊥AE，垂足为E，ED∥AC，若∠BAE＝0的度数.3．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CD平分∠ACB，CE⊥AB交AB的延长线于点E，若∠1:∠DCE＝2:3，求∠A的度数．4．如下两图是一幅三角板叠放在一起，求a .5．如图所示，三角形纸片ABC 中，∠A ＝065， ∠B ＝075，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC 内，若∠1＝020，则∠2的度数是_________.6．如图，∠B －∠C ＝030，AD 为高，AE 为角平分线，求∠DAE .7．如图，△ABC 三条角平分线相交于O ，OE ⊥BC ，∠BOD ＝040，求∠COE .二、与平行线结合8.如图，点E在CA延长线上，DE、AB交于F，且∠BDE＝∠AEF，∠B＝∠C(1)说明AB与CD的位置关系，并予以证明；40，求∠G．(2) ∠EAF、∠BDF的平分线交于G，∠EDC＝09．如图，AB∥CD，P A平分∠BAC，PC平分∠ACD，过P点作PM、PE交CD于M，交AB于E．(1)求证：P A⊥PC；(2)当E、M在AB、CD上运动时，求∠3＋∠4－∠1－∠2的值．90．10.如图，AB∥CD，∠AEC＝0(1)当CE平分∠ACD时，求证：AE平分∠BAC；(2)移动直角顶点E点，如图，∠MCE＝∠ECD，当E点转动时，问∠BAE与∠MCG是否存在确定的数量关系，并证明．三、基本图形变式11、如图AC平分∠OAB，BD平分△ABO的一个外角，AD⊥BD于D点，求∠CAD12．如图P A、PB分别平分△AOB的两个外角，AE⊥PB，求∠P AE.13．如图BD平分∠OBC，AD平分∠OAC，∠C＝080，求∠D的大小．14.如图x轴、y轴分别平分∠DBC、∠EAD，求∠AED＋∠BCD的值.问题探究15．平面直角坐标系中，OP平分∠xOy，B为y轴上一点，D为第四象限内一点，BD交x 轴于C，过D作DE∥OP交x轴于点E，CA平分∠BCE交OP于A.(1)若∠D＝750，如图1，求∠OAC的度数；(2)若AC、ED的延长线交于F，如图2，则∠F与∠OBC是否具有确定的相等关系？请写出这种关系，并证明你的结论；(3) ∠BDE的平分线交OP于G；，交直线AC于M，如图3，以下两个结论：①∠GMA ＝∠GAM；②2OGD OEDOAC??Ð为定值，其中只有一个结论是正确的，请确定正确的结论，并给出证明.16.如图在平面直角坐标系中，AB 交y 轴于点C ，连结OB ．(1) A （－2，0），B (2，4)，求△AOB 的面积及点C 的坐标；(2)点D 在x 轴上，∠OBD ＝∠OBC ，求BDA BAD BOC??Ð 的值； (3)BM ⊥x 轴于点M ，N 在y 轴上，∠MNB ＝∠MBN ，点P 在x 轴上，∠MNP ＝∠MPN ，求∠BNP 的度数．第3讲三角形、多边形的内角和、外角和基础回顾（一）利用三角形的内角和解决下面问题（不作平行线）1. 如图，已知AB//CD，求∠BEC.2. 如图，已知AB//CD，求∠ABF.3. 如图，已知AB//CD，求∠BEC.（二）特殊到一般4. 如图，△ABC中∠B＞∠A，CD为角平分线，点E在CD上，EF⊥AB于F点. （1）若∠B＝600，∠A＝400，求∠DEF；（2）若∠DEF＝ ，求∠B－∠A的值.5. 如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC于D点.（1）若∠A＝200，求∠CBD的大小；（2）若∠A＝ ，求∠CBD的大小.（三）设未知数列方程6. 如图，在△ABC中，∠CAB＝∠B＝∠ACD，∠BCD＝∠CDB，AE为BC边上高，求∠CAE.7. 如图，△ABC中，∠ACE＝∠AEC，∠BCD＝∠CDB，∠DCE＝400，求∠ACB.（四）多边形的内角和外角和8. 一个多边形内角和为5400，求边数.9. 多边形内角和与外角和之比为9:2，求边数.10. 多边形每个外角相等且为150，求边数.11.（1）如图，∠A＝∠B，∠C＝∠D，求证：AB//CD.（2）已知∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：①AD//BC；②AB//CD.12. 如图所示，试说明：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝3600.13. 如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝900，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE与DF有怎样的位置关系？为什么？14. 如图，∠1＝600，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F .方法运用15. 如图，在平面直角坐标系中，D (－3，0)、F (0，4) .（1）求ODF S ；（2）将等腰直角三角板△ABC 如图放置，且∠1＝∠2，求证：∠FMN ＝∠FNM（3）在（2）中探求∠DFO 与∠CBD 的相等的数量关系并证明.16. 如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在y 轴、x 轴上，点D 在AB 上，DF ⊥AB交y 轴于E 点，交x 轴于F 点，∠BAO 、∠BFD 的平分线相交于C 点.（1）求证：∠BAO ＝∠BFD ；（2）问AC 与CF 的位置关系，并证明.17. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝900，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于G ，交BE 于H .求证：（1）CBE ABE S S ∆∆=； （2）∠AFG ＝∠AGF ； （3）∠FAG ＝2∠ACF .18. 如图，CD 是△ABC 的角平分线，AE 是高，CD 交AE 于O ，∠B ＝∠BAC .求证：（1）CD ⊥AB ； （2）∠ACB ＝2∠BAE ；（3）∠EOC ＝∠BAC ； （4）AE BC CD AB ⋅=⋅；问题探究19. 如图AD//BC ，DE 平分∠ADB 、∠BDC ＝∠BCD .（1）求证：∠1＋∠2＝900；（2）BF 平分∠ABD 交CD 的延长线于F 点，若∠ABC ＝700，求∠F 的大小；（3）若H 是BC 上一动点，F 是BA 延长线上一点，FH 交BD 于M ，FG 平分∠BFH ，交DE 于N ，交BC 于G. 当H 在BC 上运动时（不与B 重合）， 求证：DNGDMH BAD ∠∠+∠的值为定值.第4讲平面镶嵌与小结复习基础回顾1. 杨老师家客厅用正方形和正三角形镶嵌地面，则一个顶点周围正三角形、正方形个数为___________；2. 一个正n边形与一个正方形，一个正六边形构成一个平面镶嵌，则n的值为____________；3. 在△ABC中，AD、BE为高，M为AD、BE所在直线的交点，∠BMD＝500，求∠C的大小（画图说明）.4. 若一个角的两边与另一个角两边互相垂直，则这两个角有何关系，画图说明.5. 在平面直角坐标系中，AC为角平分线，CD//AB，且CD平分∠ACO.（1）求∠B的大小；（2）点E是第二象限内一动点，若∠AEO、∠ABO的平分线相交于点F，且∠EFB＝200，问：①∠EOB－∠BAE不变；②∠EOB＋∠BAE不变，选择正确的证明.6. 如图，△ABO 为等腰直角三角形，A (－1,3)，B (2，m ) .（1）5=∆AOB S ，求m ；（2）如图，E 点在x 轴上，且∠1＝∠2，求证: ∠3＝∠4；（3）如图，若PC 平分∠BCO ，OP 平分∠BOX ，求∠P 的大小.7. 如图，∠BAE ＝∠AEB ，∠CAD ＝∠ADC ，∠DAE ＝200，求∠BAC 的大小.8. 如图所示，已知∠3＋∠DCB ＝1800，∠1＝∠2，∠CME : ∠GEM ＝4:5，求∠CME 的度数.方法运用9. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E.（1）若∠B＝350, ∠ACB＝850，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明.10. 如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P，若∠A＝500，∠D＝100，求∠P的度数.11. 四边形ABCD的两组对边AD、BC与AB、DC延长线分别交于E、F，∠AEB、∠AFD的平分线交于点P，∠A＝640, ∠BCD＝1360.求证：（1）∠EPF＝1000；（2）∠ADC＋∠ABC＝1600；（3）∠PEB＋∠PFC＋∠EPF＝1360；（4）∠PEB＋∠PFC＝360；12. 如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于点G，若∠BDC＝1400, ∠BGC＝1100，求∠A的度数.13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且∠ADE＝∠AED.（1）求证：∠BAD＝2∠CDE；（2）如图，若D在BC的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.14. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值.15. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于A点，交y轴于B点，点C是直线AB上一动点.（1）若∠OAB比∠OBA大200，OC⊥AB，求∠AOC的度数.（2）过点C作直线交y轴的负半轴于N，AM平分∠BAO，BM平分∠OBN，当A点在x 轴负半轴上运动时，∠AMB的值是否发生变化？若不变求出∠AMB的度数；若变化请说明理由；（3）沿AB、OB放置两面镜子，从O点发出的光线AB、OB两次反射后，反射光线DF 与入射光线OP交于E点.若∠OAB＝450，下面两个结论：①DF//AB，②DF⊥OP.其中有且只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并说明理由.16. 一个外角等于720的正多边形的周长为45cm，求它的边长.17. 两个正方形连成如图所示，求x的度数.18. 如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数.问题探究19. 如图，AE 平分∠BAO ，∠ABF ＝3∠FBE ，EF 平分∠AEO ，求∠BFE .20. 在平面直角坐标系中，B (2，0)，A (6，6)，M (0，6)，P 点为y 轴上一动点.（1）当P 在线段OM 上运动时，是否存在一个P 使PAB POB PAM S S S ∆∆∆=+，若存在求出P 点的坐标，不存在，试说明理由；（2）当P 在线段OM 上运动时，PBOPAM APB∠+∠∠的值是否为定值，若是，试求解，若不是，试说明理由；（3）当P 点运动到x 轴下方时，试判断∠PAM 、∠APB 、∠PBO 三者之间的数量关系，并证明；21. 在平面直角坐标系中，A (0，1)，B (4，1)，为x 半轴上一点且AC 平分∠OAB . （1）求证：∠OAC ＝∠OCA ；（2）若分别作∠AOC 的三等分线及∠OCA 的外角的二等分线交于P ，即满足∠POC ＝31∠AOC ，∠PCE ＝31∠ACE ，求∠P 的大小； （3）在（2）中，若射线OP 、CP 满足∠POC ＝n 1∠AOC ，∠PCE ＝n1∠ACE ，猜想∠OPC 的大小，并证明你的结论（用含n 的式子表示）.第5讲 全等三角形判定方法专题（一）本讲知识归纳1. 形状、大小相同的两个三角形放在一起能够完全重合，称这样的两个三角形叫做全等三角形.2. 如图，平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等.3. 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等.4. 全等三角形的判定方法：（1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）； （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）； （4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）.基础回顾例1 如图，已知，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE =BF ，AF =CE .求证：AB ∥DC .CDB AEF分析：从要证明的结论入手，要证AB ∥DC ，转化为证∠C =∠A ；要证∠C =∠A ，只要证△ABF ≌△CDE ；要证△ABF ≌△CDE ，只要有两边和它们的夹角对应相等. 显然，这与已知条件相吻合. 证明：BAFEC DBA点评：探求证明题的思路，有两种较常见的方法. 从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、公理，逐步退出要证的结论，这种方法叫综合法. 有时“顺着”已知条件去证会产生一定困难，这时我们可采用与综合法的思考顺序相反的方法——分析法，去探求证题的途径. 分析法的思路是：从要证明的结论出发，根据已学过的知识，倒过来寻找使结论成立所需的条件，这样一步一步地逆求，一直追溯到结论成立所需的条件与已知条件或已学过的一些结论相吻合，这种方法可简单地说成“要什么，找什么，向已知条件靠拢”. 分析法是探求证题思路的一种非常有效的方法. 本例的“分析”便是运用的分析法，探求的过程大致如下：AB ∥CD⇑∠A =∠C⇑△ABF ≌△CDEAF CE DE BF AFB CED ==∠=∠⇑，，⇑BF ⊥AC ， DE ⊥AC例2 如图，已知AB =CD ，AB ∥CD ，BE =DF ，E 、F 是BD 上两点，求证：∠DAE =∠BCF .CD BAE F分析：要证∠DAE =∠BCF ，可考虑△ADE ≌△BCF . 目前由BE =DF 得到DE =BF 可用，其它所需要另行解决. 结合条件，可以证明△AEB ≌△CED ，直接得到AE =CF ，间接地可以得到∠AED =∠CFB . △ADE ≌△BCF 的条件就都具备了. 证明：点评：本题将分析法与综合法结合起来，这种既从条件着手，又从结论逆向探索的方法称为分析综合法，这是一种最为有效和最常用的思考方法.1. 如图，已知，AC 、BD 相交于O ，AE =FC ，AO =OC ，BO =OD . 求证：∠1=∠2.C DAOF 21BE2. 如图，已知BE 、CF 分别是△ABC 的AC 、AB 边上的高. 在BE 的延长线上取点P ，使BP =AC ，在CF 的延长线上取点Q ，使CQ =AB . 求证：AQ ⊥AP .QPCBAEF方法运用例3 如图，已知D 是△ABC 的边BC 上的一点，且CD =AB ，∠BDA =∠BAD ，AE 是△ABD 的中线. 求证：AC =2AE .CDBAEF分析：要证AC =2AE ，可先构造出2AE ，即延长AE 至F ，使EF =AE ，于是问题转化为证AC =AF . 考虑证△AFD ≌△ACD ，直接证较困难，结合条件，可先证△EFD ≌△EAB .证明：点评：（1）若从条件“AE 是△ABD 的中线”出发，本题作辅助线的方法可概括为“倍长中线法”.今后，当遇有中线条件时，可尝试运用，中线倍长后，立即出现一对全等三角形.（2）从结论上看，本题属“线段的和差倍分”问题，常用“截长补短”来解决，本例上面提供的证法属于“补短法”. 当然，在学了等腰三角形知识和中位线定理后，也可运用“截长法”，即取AC 的中点G ，连DG ，再由三角形全等得AE =AG .例4 如图，已知，AB =DE ，BC =EF ，CD =FA ，∠A =∠D . 求证：∠C =∠F .CD B AEF分析：由已知条件AB =DE 、CD =FA 和∠A =∠D ，观察图形，若连BF 、EC ，可得到△ABF≌△DEC .对比求证的∠C =∠F .，命题转化为求证∠BFE =∠ECB . 于是继续连接BE ，考虑证△BEF ≌△EBC .证明：点评：本题再次体现了分析综合法（即“两头凑”）的方法，解决问题的合理、准确性，避免了“撞南墙，不回头”现象，学会及时、正确调整解题方向，是解决较复杂问题的前提.3. 如图，已知，AB =AE ，BC =DE ，∠B =∠E ，M 为CD 的中点. 求证：AM 平分∠BAE .M CDBAE4. 如图，△ABC 为直角三角形，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于F ，交AB 于E ，FG ∥BC 交AB 于G ，AE =3，AB =8，求EG 的长.GC DBAE F问题探究例5 如图，△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为AC 中点，F 为BC 上一点，∠ADB =∠FDC . 试判断AF 与BD 的位置关系，并说明理由.GM21CDBAE F分析：猜想AF ⊥BD . 要证明这一猜想，可转化为证∠1=∠2，观察图形，现有的三角形中，难以通过全等解决，需要构造全等三角形. 注意△ABC 是一个等腰直角三角形，尝试作斜边BC 上的高AG ，交BD 于M ，得到两个新的等腰直角三角形ACG 和等腰直角三角形ABG ，结合条件，得到△CDF ≌△ADM ，进而，可证明△ACF ≌△BAM ，得证.解：点评：构造三角形全等解决问题，是几何中的一个难点. 在作辅助线时，应紧紧围绕已知条件进行. 本例中，作一条高线AG ，构造出两对全等三角形，因为它很好地融合了等腰直角三角形、角相等和中点等条件，形成了联接这些条件的真正“纽带”.例6 如图，点C 在线段AB 上，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，FC ⊥AB ，且DA =BC ，EB =AC ，FC =AB . 试探求∠AFB 与∠DFE 的数量关系.分析：∠AFB 与∠DFE 的数量关系不是很明显，先搁置一下. 从条件上看，线段相等较多，考虑是否有全等三角形. 结合图形，显然有△ACF ≌△EBA 、△BCF ≌△DAB ，于是得到两个等腰直角△AEF 和△BDF . 所以，4545AFB DFE ∠=︒+︒-∠，即90AFB DFE ∠+∠=︒解：CDB AEF点评：当一个命题中的条件较多时，往往是从条件出发，得出一些结论，达到化繁为简的目的，这便是综合法的好处.5. 将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC 和△DEF . 将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .CDAO B (E )B (E )CDFF AO CDBA EF图 ① 图 ② 图 ③（1）当旋转至如图②位置，点B （E ），C ，D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是 ；（2）当△DEF 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）在图③中，连接BO 、AD ，BO 与AD 之间有怎样的位置关系，并证明.6. 已知：AC =BC ，AC ⊥BC （∠CAB =∠B =45°），AE 为中线，CN ⊥AE ，交AE 于M ，交AB 于N . 求证：CN EN AE +=.NAMOCDBE7. 已知：如图，AB =AC ，AB ⊥AC ，AD =AE ，AD ⊥AE ，点M 为CD 的中点. 求证：12AM BE =. AC DB E第6讲全等三角形判定方法专题（二）本讲知识归纳1. 一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS四种；2. 直角三角形的全等，除了上述四种判定方法外，还有独有的一种判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“斜边、直角边”或“HL”）.基础回顾例1如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且AE=AF，连接EF. 求证：AD垂直平分EF.分析：从条件出发，由“HL”判定方法可证△AED≌△AFD，得∠1=∠2. 进而得△AEO≌△AFO.证明：21E BF AOC D点评：直角三角形的全等判定方法最多，一共有五个，其中的“HL”方法是直角三角形所独有的，要注意运用多种方法证明两个直角三角形全等.例2如图，△ABC的高BD、CE相交于O，且OD=OE. 求证：AB=AC.分析：由条件联想“HL”判定方法，容易想到连接AO，便有Rt△ADO≌Rt△AEO，得到AD=AE. 于是要证明AB=AC，可转化为证△ABD≌△ACE，运用“AAS”方法易证.证明：EBAOCD点评：由已知条件能够得到什么，要求证的结论需要什么，两者若能“接通”，就得到了证明思路，这种思维方法就是前面多次提到的分析综合法（“两头凑”）.1. 如图，已知，AD ⊥BD ，AE ⊥EC ，AD =AE ，AB =AC ，BD 、CE 交于点O . 求证： （1）BD =CE ；（2）OE =OD ；（3）BE =CD .E BAO CD2. 如图，AD 、BE 是△ABC 的两条高，它们交于点F ，且BF =AC ，CD =DF ，ED 平分∠BEC .求证： ∠ABE =∠ADE .EBFAC D方法运用例3 如图，正方形ABCD 中，E 和F 分别是边BC 和CD 上的点，AG ⊥EF 于G ，若∠EAF =45°.求证：AG =AD .G H54321EB F ACD分析：要让AG =AD ，可考虑证Rt △AGF ≌Rt △ADF ，但还差一条边相等或锐角相等，得去挖掘条件∠EAF =45°的作用. 结合正方形ABCD 的条件，当∠EAF =45°时，1245∠+∠=︒，应考虑通过构造三角形全等，把∠1与∠2移到一起. 于是，延长CD 至H 使DH =BE ，则△ADH ≌△ABE . 进而易证△AEF ≌△AHF ，得∠4=∠5，得证. 证明：点评：本题通过构造△ADH 与△ABE 全等，使得问题迎刃而解. 所构造的△ADH 相当于将△ABE 绕A 点旋转90°而得到，所以辅助线也可以表述为：将△ABE 绕A 点逆时针旋转90°至△ADH ，由正方形性质得C 、D 、H 共线. 习惯上称这种探求思路的方法为“旋转法”. “旋转法”的一个优点是将分散的角或线段集中在一起，便于问题的解集. 要予以说明的是，“旋转法”主要是在思维方式上的，在具体交待辅助线作法中，较少采用“旋转方式”，更多的是以延长线段或作角相等来构造全等.例4 如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形. 以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连接MN ，试求△AMN 的周长.分析：由于∠MDN =60°，∠BDC =120°，所以60BDM CDN ∠+∠=︒. 注意到DB =DC ，考虑运用“旋转法”将∠BDM 和∠CDN 移到一起，寻找全等三角形. 两一方面，△AMN 的周长A M A N M N A B A C M N =++=++--. 猜想M N B M C=+，证三角形全等解决. 解：P321NBAM C D点评：运用“旋转法”，可将分散的元素（如角或线段）集中起来，为利用条件提供便利. “旋转法”常用于等边三角形、正方形、等腰三角形等特殊图形中.3. 已知：△ACB 为等腰直角三角形，点P 在AC 上，连BP ，过B 点作BE ⊥BP ，BE =PB ，连AE 交BC 于F .（1）如图①，问PA 与CF 有何数量关系，并证明；（2）如图②，若点P 在CA 的延长线上，问上结论是否仍成立，画图证明.PCPEBF AC图① 图②问题探究例5 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等. 那么，在什么情况下，它们会全等？ （1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）. 对于这两个三角形均为锐角三角形，试证明它们全等. （2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论.分析：（1）画出图形，并结合图形将条件具体化. 如图为两个锐角三角形，AB =A 1B 1，BC =B 1C 1，∠C =∠C 1. 注意到角相等，可作高构造直角三角形全等（△BDC ≌△B 1D 1C 1），进而另一对直角三角形也全等（△ABD ≌△A 1B 1D 1），得∠A =∠A 1，问题得证.D 1C 1B 1A 1B AC D（2）（1）的本质是就这一问题进行分类讨论，从讨论的结果来看，满足条件的同类的两个三角形全等.证明：点评：在八年级课本中，我们知道了“SSA ”不能作为两个三角形全等的依据，但没有弄清楚“SSA ”中的全等情形，本例既让我们深入认识了“SSA ”，又让我们学到探究问题的一种思维方法——分类讨论.例6 如图，已知(2,0)A -.（1）如图①，以A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ，若(0,4)B -，求C 点坐标；（2）如图②，P 为y 轴负半轴上一个动点，以P 为顶点，PA 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点. 当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，试问OP DE -的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由.（3）如图③，已知F 点坐标为(4,4)--，G 是y 轴负半轴上一点，以FG 为直角边作等腰Rt △FGH ，H 点在x 轴上，∠GFH =90°. 设(0,)G m ，(,0)H n ，当G 点在y 轴负半轴上沿负方向运动时，m n +的值是否变化？若不变，求其值；若变化，说明理由.图① 图② 图③ 分析：（1）将求C 点坐标转化为求相关线段长度，过C 作CH ⊥x 轴于H ，得△ACH ≌△BAO ，求出线段CH 、OH 的长度.（2）欲求“OP DE -”的值，结合等腰Rt △APD 的条件，考虑到垂线段构造三角形全等. 如作DF ⊥y 轴于F ，得△DPF ≌△PAO ，进行线段转换后，可求出OP DE -的值.（3）点(4,4)F --到两坐标轴的距离相等，过F 点作x 轴、y 轴的垂线段FM 、FN ，得到△FGN ≌△FHM ，GN =HM . 用m 、n 表示出这一等量关系，即得m 、n 之间的关系.解：点评：（1）过等腰直角三角形的顶点，作相关直线的垂线段，就可构造全等三角形； （2）求点的坐标的一种方法是转化为求相关线段的长度；（3）求两个点坐标之间关系的一种方法是从几何方面得到相关线段的等量关系，再用坐标表示出线段的长度.4. 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形，∠MDN =60°，点M 在AB 的延长线上，点N 在CA 的延长线上，连接MN . 试探求线段BM 、MN 、CN 之间的数量关系，并予以证明.AB CNMD5. 如图，AC ⊥CB ，AD 为△ABC 的中线，CG 为高，DE ⊥AD ，BC =2AC . 求证：AD DF DE =+.GABCEFD6. 如图，等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，已知(0,2)A 、(5,0)C . （1）如图①，求点B 的坐标；（2）如图②，BF在△ABC的内部且过B点的任意一条射线，过A作AM⊥BF于M，过C 作CN⊥BF于N点，写出BN NC与AM之间的数量关系，并证明你的结论.图①图②第7讲全等三角形判定方法专题（三）1．如图，点C．E分别为∆ABD的边BD、AB上两点，且AE＝AD，CE＝CD．∠D＝070，∠ECD＝0150，求∠B的度数．2．如图，∠1＝∠2, ∠3＝∠4，点B、D、C、F在一条直线上，EF⊥AD于E，(1) 求证：∠ADF＝∠DAF;(2) 求证：AE＝DE.3．已知AC＝BC，AC⊥BC，CD＝CE，CD⊥CE，连AD、BE，求证：(1) AD＝BE：(2) AD⊥BE.4．已知△ACB和△CDE都为等腰直角三角形，连AE、BD，求证：(1) AE＝BD;(2) AE⊥BD.（一）作垂线构造直角全等三角形5.已知AC＝BC，AC⊥BC，过C点任意作直线l，过A点、B点分别作l的垂线AM、BN，垂足为M、N．若AM＝2，BN＝4，求MN的长．6.已知AC＝BC，AC⊥BC，BD为∠B的平分线，AE⊥BD，垂足为E点，求证：BD＝2AE90，AC＝BC，AE平分∠BAC，BD⊥AE，垂足7.如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝0为D点．(1) 求证：CD＝BD；(2) 求∠CDA的大小、8.如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB ＝090，AC ＝BC ，AE 平分∠BAC ，∠CDA ＝045，求证：AD ⊥BD ．9.如图Rt △ACB 中，∠ACB ＝090，∠CAB ＝030，以AC 、AB 的边向外作等边三角形△ACE 和△ABD ，连DE 交AB 于M .求证：ME ＝DM .（二）利用直角坐标系构建全等的直角三角形10.如图△ACB 为等腰直兔三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A (0，3)，C (1，0)，求B 点的坐标．11.如图△ACB 为等腰直角三角形，A （－1，0），C (1，3)，求B 点坐标．12. 如图P(2，2)，BC⊥AP.(1) 求OM＋OC的值；(2) 求OB－OA的值．13.如图，OA为第一象限的角平分线，点E在y轴上，∠OEF＝∠AOF，FE⊥OF交OA于M 点．求证：EM＝2OF90，AB＝AD，∠EAF＝α, ∠BAD＝2α.14.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝0求证：EF＝BE＋DF.45，交AC于E，交BC于F点，15.已知∆ACB为等腰直角三角形，D为BD的中点，∠EDF＝0连EF.(1) 求证：CD⊥AB；(2) 求证：CE＋EF＝BF．第8讲全等三角形与角平分线知识点归纳1．角平分线的性质(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等；(2)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．2．三角形三内角平分线交于一点（三角形的内心），这点到三角形三边的距离相等．基础回顾例1如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P是BD上一点，PM⊥AD于M，PN⊥CD 于N，求证：PM＝PN.分析：要证PM＝PN，联想角平分线性质，可考虑证DP平分∠ADC. 注意到BD平分∠ABC和AB＝BC的条件，易证△ABD≌△CBD.于是问题解决．证明：例2. 设P为∆ABC中∠B与∠C两个外角平分线的交点，试探讨点P与∠A的平分线的关系.【练习1】如图，已知∠ACB ＝090，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，BD ＝DF 交CA 的延长线于F 点，求证：BE ＝AE ＋AF .【练习2】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝21(AB ＋AD )．求∠ABC ＋∠ADC 的度数.例3 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于E ，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 交AC 延长线于G ，求证：AB ＋AC ＝2AF .分析：由DE 垂直平分BC ，连结EB 、EC ，得EB ＝EC .由AE 平分∠BAC ，过E 作 ∠BAC 两边的垂线段，得EF ＝EG .于是Rt △BEF ≌Rt △CEG ，得BF ＝CG .易证△AFE ≌△AGE ，得AF ＝AG .问题得证.证明：点评：当遇到角平分线时，过角平分线上一点向角的两边作垂线段是一个很好的方向，这样一来就可以运用“角平分线的性质”，得到相等的线段，往往容易形成全等形，为寻找证题思路作好了铺垫．例4 如图，△AOB 为等腰直角三角形，点P 为动点，PA ⊥PB .(1) 如图(1)，为P 点在第一象限时，求∠OPA ；(2) 如图(2)，为P 点在第四象限时，求∠OPA .解：点评：本例中辅助线的本质，运用角平分线的逆定理作垂线【练习1】如图，在∆ABC 中，∠ABC ＝0100，∠ACB ＝020，CE 平分∠ACB 交AB 于E ，D在AC 上，且∠CBD ＝020，求∠CED 的度数.【练习2】如图，已知，∆ABC 中，∠A ＝060，BD 、CE 是△ABC 的两条角平分线，求证：BC ＝CD ＋BE .例5如图，正方形ABOC ，点M 、N 分别在AB 、AC 上．(1)若∠NMO ＝∠MOC ，问△AMN 的周长是否变化，若不变，请求其值；(2)若点M 在AB 延长线上，点N 在CA 的延长线上，其它条件不变，问CN 、MN 、BM 三者存在怎样的关系，试证明，解：点评：(1)直角坐标系背景下的几何问题，注意挖掘点的坐标所隐含的几何关系：(2)强化通过证角平分线达到证垂线段相等的意识．例6 如图，∠C ＝090．AM ⊥AB ，MA ⊥AC ，PQ ⊥AB ，且AQ ＝MN .求证：PC ＝AN .【练习1】分别以∆ABC 的AB 、AC 为边向外作等边∆ABD 和等边∆ACE ，连结CD 、BE 交于F ．求证：AF 平分∠DFE【练习2】如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α.60，且点D在AC上，连BD、AE，相交于点G，如图①，求∠BGA；(1) 当α＝090，如图②，求∠BGC.(2) 若00＜α＜0【练习3】如图所示，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B、C，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D．90，如图1，则∠BDC＝___________;(1) 若∠MON＝060，如图2，则∠BDC＝___________;(2) 若∠MON＝0(3) 若∠MON＝α，如图3，∠BDC＝___________，请给予证明.第9讲角平分线、垂直平分线知识点归纳1. (1) 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(2) 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2．三角形三条边的垂直平分线交于一点（称为三角形的外心），这点到三角形三顶点的距离相等．例1已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于，P是AD上任一点．求证：PE＝PF.分析：显然，可以通过两次全等来证PE＝PF．从“垂直平分线”角度考虑，要证PE＝PF，转化为证AD垂直平分EF，易得DE＝DF，需证AE＝AF，因此证△ADE≌△ADF.证明：点评：运用线段垂直平分线性质，可减少证三角形全等的次数，使得问题解决变得简洁和“节省思维”例2如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点，交x轴于G．(1) 求∠AME；(2) 求证：AM＝MN;(3) 连FG，问FG与BE的位置关系并证明.解：。

第12讲 与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】:⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ABCDEFAB CDEFPQR02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】:01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50°D ．80°CEFEA ADO 143 202．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】:01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.ABO2l 1⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．FBAOCDECDBAEO⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2：∠1和∠3：B ACDO ABAEDCFEBAD1 42 3 65∠1和∠6：∠2和∠6：∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.AB DCHＧEF7 1 5 6 8 4 2 3 3 4 5 61 2303．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.1A BC23 456 7 ABCD O【变式题组】 01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＝∠ （已知）∴AB ∥DF （ ）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知）∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ）ABDEFCA BCD E F1203．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ．04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF . 【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.ABCDEA BC DEl 1l 2l 3 l 4l 5l 6图⑴l 1l 2 l 3l 4l 5l 6图⑵【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 . 03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DACC ．∠ACF 是α的余角D ．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ）A ．∠AMFB ．∠BMFC ．∠ENCD ．∠END03．下列语句中正确的是（ ）A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B ．过直线上一点的直线只有一条C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ）①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．4 D ．605．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．小于4cmD ．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .A E BCF DABC DFEMNα第1题图 第2题图ABDC第4题图07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ .08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 . 11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81ACD EBABC DEF1213．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥BC ．ABCDEF第14题图培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）A ．1，3B ．0，1，3C ．0，2，3D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分.A ．60B ． 55C ．50D ．4503．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40C ．45D ．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点.05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ab08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ）A ．60°B ． 75°C ．90°D ．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.第13讲 平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析ABC【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥C 【解法指导】两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键. 【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数为（ ）A ．155°B ．50°C ．45°D ．25°02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）A ． 50°B ． 55°C ． 60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________ 03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.ABCDOE FAEBC （第1题图）（第2题图）EAFG DCB BA MCDN P （第3题图）【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】 因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FGCDABE F1 32G B3 C A1D2 E F （第1题图）02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B．求证：∠AED＝∠ACB 03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3. 求证：AD平分∠BAC．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：∠1＝∠3）A2CF3ED1B（第2题图）31AB G D CEDA 2E1BCBF EACD证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF .3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键.A DMCNEBD21 A B CαβP BA ∠P ＝α＋β3 21γ 4 ψ α βE B AFH【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形BAPCAC CDAA PCBD PBPD BD ⑴⑵⑶⑷Fγ Dα β E BC AFD EBC A AA′l B′善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）A ． ∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.⑴定：确定平移的方向和距离.⑵找：找出图形的关键点.⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.⑷连: 按原图形顺次连接对应点.【解】①连接AA/②过点B作AA/的平行线l ③在l截取BB/＝AA/,则点B/就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.【变式题组】01．如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形.02．如图,已知三角形ABC中，∠C＝90°, BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A/B/C/西B 30° A北东南的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固 反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（ ）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ）A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°B B /AA /C C /C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①②B．②③C．③④D．①④06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52°D．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.150°120°DBCE 湖21AB13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？4P 231 ABEFCD15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移） 03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________.04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面⑶⑷CB 1AA 1C 1D 1BD .B. O. AFEBA CGD05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720°B ．108°或144°C ．144°D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b 上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90B ．1620C ．6480D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？FEBACGD 100°09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF .⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值. ⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？F EBACO A B12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？第06讲 实 数考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a的平方根，记为：a 的平方根为x ＝a 的平方根为x叫做a 的算术平方根． 若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x ．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2n a ≥0（n 为正整数）≥0(a ≥0) ． 经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m的最大整数，则m 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( )A ．－1B ． 0C ．1D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0 a ≥3∵24242a b a -++++=∴24242a b a -++++=，∴20b ++=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l 3b -+＝0成立，则a b ＝____．02()230b -=，则ab的平方根是____．03．（天津）若x 、y 为实数，且20x ++=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x 1x π-+的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+．求a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b-=+，∴1a b-=⎧⎪=1a b-=⎧⎪=，∴1312ab=⎧⎨=⎩，a＋b＝12 ＋13＝25．∴a＋b的平方根为：5==±．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m、n2）m＋(3－n＋7＝0求m、n．02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（123π+）x＋（132π+）y−4−π＝0，则x−y＝____．【例4】若a−2的整数部分，b−1是9的平方根，且a b b a-=-，求a＋b的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝−2 −2＝−4．∵a＝2，b−1＝±3，∴b＝－2或4-=-．∴a<b，∴a＝2，b＝4，即a＋b＝6．∵a b b a【变式题组】01．若3a，b，则a＋b的值为____．02a，小数部分为b a）·b＝____．演练巩固反馈提高0l．下列说法正确的是( )A．－2是(－2)2的算术平方根B．3是－9的算术平方根C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±302．设a=b＝－2，c=，则a、b、c的大小关系是( ) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b03．下列各组数中，互为相反数的是( )A．－9与81的平方根B．4与C．4D．304．在实数1.414，，0.1•5•，π，3.1•4•中无理数有( ) A．2个B．3个C．4个D．5个05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ． －a ＜bD ．－b >a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A . m ＝±nB .m ＝nC .m ＝－nD .m n ≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____． 10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝a ba b+-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<7<b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b 315a - 153a - ＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( ) A．2 B．－1 C．1 D．002．( )A．0 B．1C．1 D．203−2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋＝，则a＋b＝____．05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____．06．已知实数a 满足2009a a -+=，则a − 20092＝_______．m 满足关系式 199x +=--，试确定m 的值．08．（全国联赛）若a 、b 满足5b +＝7，S ＝3b -，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y 21a -，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限. 03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．。

数学培优讲义八年级上册努力是为了能有一个让人羡慕的未来！目录第一讲三角形 (1)第二讲全等三角形的性质与判定 (5)第三讲角平分线的性质与判定 (9)第四讲轴对称及轴对称变换 (12)第五讲等腰三角形 (16)第六讲等边三角形 (19)第七讲认识多边形 (23)第八讲幂的运算 (23)第九讲整式乘法 (27)第十讲整式乘法公式讲义 (31)第十一讲整式除法讲义 (38)第十二讲因式分解及其应用 (42)第十三讲分式的概念•性质与运算 (45)第十四讲分式的化简求值与证明 (48)第十五讲分式方程及其应用 (52)第一讲 三角形一、学习目标1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.二、例子【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.【变式题组】1．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________.2．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个.3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ). A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.【变式题组】1．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm2．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( ) A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若S △GFC ＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.GFE DBAC【变式题组】1．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.(第1题图)FE DBA C2．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF ＝______________. 3．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF与AB 的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.(例4题图)BDACE【变式题组】1．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.2．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.3．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.(第3题图)A BCDE F【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ．则∠BOC ＝ ______________.OBA C(第2题图)FEBCAD (第3题图)FDBCA E(第2题图)ABFE D C(第1题图)ABEDC1．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.(第1题图)OBA C3．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.【变式题组】1.（改）如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE＝__________.2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.*【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.(第3题图)P OBAC(例6题图)E D ABC(第2题图)D EPCAGBF (第1题图)FED A BCC'B'ABC1.如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.(第1题图)α22°OBMA2．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.三、练习1．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定3．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个4．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 6．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定7．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________. 8．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.9．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.(第2题图)B'A'AOB(第3题图)αEDCBABACDEF (第9题图)D EBAC10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________. 11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________.12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________.第二讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【变式题组】1．（武汉2011）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等γβα(第10题图)ⅡⅠ(第11题图)FE DABC4321(第12题图)DBA CAFCEDBD ．有一边对应相等的两个等边三角形全等2．（黄冈）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.3．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ；⑵分别将―∠A ＝∠D ‖记为①，―∠OEF ＝∠OFE ‖记为②，―AB ＝DC ‖记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择―真‖或―假‖填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【变式题组】 1．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5AB CDO FEA CEFBD2.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________.\ 3．（孝感2013）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .演练巩固·反馈提高1．（海南2011）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°2．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°3．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 4．（武汉2012）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC第3题图第1题图C AO D BP第2题图ACA /BB /aαcca50° b72° 58°AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A FECB DC . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°5．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE6．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：―一定有△ABC ≌△AED .‖小明说：―△ABM ≌△AEN .‖那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对 7．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.8．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.E2 1N AB DC第5题图ABCDEAB CD第4题图第6题图M第10题图AB CDE 第9题图EABC D A BC DEF O CAEBD第7题图 第8题图D A C .QP.BD AAE F BDC13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .第三讲 角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .AEB FD C BDEClA4321NM ABODP P C A B MN MNA BD CP D CA B 321F E DCAB 求证：PM ＝PN【变式题组】1．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【变式题组】1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACDCBDS S ∆∆2．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BDDEC ABD FE B AC第1题图DCBA第2题图DB CA EP 第3题图QS RPB AC第4题图EFB DAC第5题图EBCA【变式题组】1．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .2．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn2．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．43．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③C ．①②D ．①②③4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①②③④ 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ）A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°6．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）第6题图F ED PA B C 第7题图P ABCE F 第8题图DABC E第9题图ED CAB第10题图K NMQ CBA FBDECA O F ED ABCA ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④ 7．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P8．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个 10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________ 11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD ⊥EF .第四讲 轴对称及轴对称变换考点·方法·破译1．轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以―补齐‖图形，集中条件.经典·考题·赏析【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【变式题组】1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）2．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【变式题组】1．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－32．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.3．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________.【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（）A．30°B．20°C．15°D．10°【变式题组】1．（孝感）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°2．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC 的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．【变式题组】1．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．3．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．4.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．演练巩固·反馈提高1．（黄冈）如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B的度数是（）．A．48°B．54°C．74°D．78°2．（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形3．图1是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP ∥AB，RC∥AD，如图2所示，则∠C＝（）A．80°B．85°C．95°D．110°4．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A 的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）A．M（1，－3），N（－1，－3）B．M（－1，－3），N（－1，3）C．M（－1，－3），N（1，－3）D．M（－1，3），N（1，－3）5．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（）A．（3，－5）B．（－5，3）C．（3，5）D．（5，3）06．已知M （1－a ，2a ＋2）关于y 轴对称的点在第二象限，则a 的取值范围是（ ） A ．－1＜a ＜1 B ．－1≤a ≤1 C ．a ＞1 D ．a ＞－1 7．如图，镜子中号码的实际号码是___________．8．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为___________cm 2.9．已知点A （2a ＋3b ，－2）和B （8，3a ＋2b ）关于x 轴对称，则a ＋b ＝___________.10．如图，在△ABC 中，OE 、OF 分别是AB 、AC 中垂线，且∠ABO ＝20°，∠ABC ＝45°，求∠BAC和∠ACB 的度数．第五讲 等腰三角形考点·方法·破译1．等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）2．等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．3．构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形 ⑵角平分线＋垂线（或高）＝等腰三角形 ⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形2131221(4)(3)(2)(1)经典·考题·赏析【例１】 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为________________.【变式题组】1．（黄冈）在等腰⊿ABC 中，AB ＝AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A .7B .11C .7或11D ．7或102.（黄冈）在⊿ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为500，则∠A DPEB＝___________度．3.（襄樊）在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t＝_________秒时，过D、P两点的直线将⊿ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【例２】如图，在⊿ABC中，AB＝AC，点D在AC上，AD＝BD＝BC，求∠A的度数．【变式题组】1．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度数．2．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ ED＝EA，求∠A的大小．【例３】已知坐标原点O和点A（2，－2），B是坐标轴上的一点．若⊿AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有（）个A．4 B．5 C．6 D．8【变式题组】1．(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，－3），点P是y轴上一点，则使⊿AOP 为等腰三角形的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0),点B的坐标是（0，△），点C在坐标平面内．若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C有_________个．CABD3.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上一点，∠BEG ＞600，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片中的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为（ ）A．4 B ．3 C ．2 D ．14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝43，点E 是折线段A －D －C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【例４】 两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．【变式题组】1．如图，在等腰直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 的中点,以P 为直角顶点的两边分别与边AB 、AC交于点E 、F ，当∠EPF 绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，⊿PEF 也始终是等腰三角形，请你说明理由．2．如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝900，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 垂足为E ，过点B 作BF∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴求证：AD ⊥CF ;⑵连接AF ，试判断⊿ACF 的形状，并说明理由．【变式题组】1．(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）第2题图 第3题图第4题图ACBMDE(例4题图)A．200B．1200C．200或1200D．36002．（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（）A．9 B．15 C．15 D．12或153.（云南）如图，等腰∆ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则∆BEC的周长为（）A．13 B．14 C．15 D．164．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝180，则∠GEF的度数是（）A．800B．900C．1000D．10805．如图，Rt∆ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B B.CH＝CE＝EF C.CH＝HD D.AC＝AF6．如图，∆ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC 于点E,那么下列结论：①∆BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①7.（武汉）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC, ∠ABC＝∠ADC＝700,则∠DAO＋∠DCO的大小是（）A．700B．1100C．1400D．15008．（滨州）已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是____________.第六讲等边三角形考点方法破译1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；21NMF EDBC A EPQDCABEPQDCAB2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．经典 考题 赏析【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ．(1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状【变式题组】 1．(天津)如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小等于__________ 度 2．(荆州)如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．3．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQ4．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长．【例2】P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠PAB ＝∠PAC ＝22°，求∠APC 的度数EDCBA PA【变式题组】1．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数．2．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．巩固练习 反馈提高1．如图．△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，点E 在AC 上，且AE ＝AD ，则∠DEC ＝( )A 105°B 85°C 95°D 75°第1题图 第2题图2．如图，等边△ABC ，D 在AC 上，延长BC 到E ．使CE ＝CD ，若BD ＝DE ，给出下列结论：① BD平分∠ABC ② AD ＝21AB ③ CE ＝ 21BC ④∠A ＝2∠E ，其中正确结论的个数是( ) A ．4个 B 3个 C 2个 D 1个3．(河北)如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在A’处，且A’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________ cmEDCABDCABBEDCABEDCA4．在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP ＝__________． 5．如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，试判断△DEF 是否为等边三角形，并说明理由．6．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．7．如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点．AB ＝3AD ，DE ⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F (1)求证：△ACD ≌△BAE ：(2)过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明．8．如图：△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将线段DB 绕点D顺时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连接DC ，AE ． 求证：△ADE ≌△DFCEDBFCAFEDAODB PC ADE B FC A 第3题图 第4题图 第5题图第七讲 认识多边形考点·方法·破译多边形内角和= (2)180n -⨯ 外角和= 360第八讲 幂的运算考点·方法·破译幂的运算性质（其中m 、n 、p 都为正整数）：1．m n m n a a a +⋅= 2．()m n mn a a = 3．()n n n ab a b = 4．m n m n a a a -÷= 5．011(0)(0)p p a a a a a-=≠=≠， 经典·考题·赏析【例1】下列算式，正确的个数是（ ）①3412a a a ⋅= ②5510a a a += ③336()a a = ④236(2)6a a --A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式题组】 1.计算212()()n n c c+⋅的结果是()A ．42n c+B ．44n c +C ．22n c+D ．34n c+2．计算100101(2)(2)-+-＝_______________3．如果3915()nma b b a b ⋅=，则m ＝_________，n ＝____________ 4．计算2323()()()n n x y x y +-⋅-＝_______________ 【例２】若2n+12448n +=，求n 的值.【变式题组】1．若24m =，216n =，求22m n +的值2．若35n x =，求代数式2332(2)4()n n x x -+的值3．若3m x =，6n x =，则32m n x -＝________.4．已知33m a =，32n b =，求233242()()m n m n m n a b a b a b +-⋅⋅⋅的值5．已知232122192m m ++-=，求m 的值【例３】（希望杯）552a =-，443b =-，335c =-，226d =-，那么a 、b 、c 、d 的大小关系为（）A ．a >b >c >dB ．a >b >d >cC ．b >a >c >dD ．a >d >b >c【变式题组】1．已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a <b <cD ．b >c >a2．已知503a =，404b =，305c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a【例4】求满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数【变式题组】 1．求满足2003005n ＜的最大整数值n.2．如果x 、y 是正整数，且2232x y ⋅=，求满足条件的整数x 、y演练巩固 反馈提高1．（武汉）下列运算正确的是（）A ．3412x x ⋅=B ．623(6)(2)3x x x -÷-=C ．23a a a -=-D ．236(2)6x x -=-2．（泰州）下列各式计算正确的是（）A ．23523a a a +=B ．235(2)6b b =C ．2(3)()3xy xy xy ÷=D ．56236x x x ⋅=3．当n 为正整数时，221()n x +-等于（）A ．42n x +-B ．41n x +-C ．41n x +D ．42n x +4．计算3224()a a a +⋅的结果为（）A ． 92aB ．62aC ．68a a +D ．12a5．下列命题中，正确的个数是（）（１）m 为正奇数时，一定有等式(4)4m m -=- （２）等式(2)2mm-=，无论m 为何值时都不成立（３）三个等式：236326236()()[))]a a a a a a -=-=--=，，（（都不成立； （４）两个等式：3434(2)2mmmm x y x y -=-，3434(2)2n n n n x y x y -=-都不一定成立.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列各题中，计算正确的是（）A ．322366()()m n m n --=B ．322331818[()()]m n m n --=- C ．2222398()()m n mn m n --=-D ．232399()()m n mn m n --=-7．已知22|2||238|0yxx x y x y y x -+-+=⋅-⋅，则＝_______________。

第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE.【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）A ．20°B ． 40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l2的垂线.⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，A B C D E F A B C DEF PQ R AB CE F OE A ACD O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）l 2PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6：∠2和∠4：∠3和∠5： ∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先F B AO CD EC DA EOB ACDO A BA E DCF EBAD 1 4 2 3 6 5弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】 01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对 02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. 03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ） A ．∠1和∠2是同旁内角 B ．∠3和∠4是内错角 C ．∠5和∠6是同旁内角 D ．∠5和∠7是同旁内角 【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由• ⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内 角，有“ ”即有内错角. 【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ）又∵∠1＝∠2（已知）∴ （ ）∴AB ∥DE （ ） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ．A BDC HＧ E F 7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙 3 23 4 56 1 2 3 4甲 1 AB C 2 3 4 5 6 7 A B C D O A B D E F CABE A B CD EF1 204．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF.【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 . 03．已知n （n ＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn ＝ . 演练巩固·反馈提高 01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（ ）A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DAC C ．∠ACF 是α的余角D ．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ）A ．∠AMFB ．∠BMFC ．∠ENCD ．∠END03．下列语句中正确的是（ ）A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B ．过直线上一点的直线只有一条C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ）①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度A B C D E Fl 1l 2 l 3 l 4 l 5 l 6图⑴ l 1 l 2 l 3l 4 l 5 l 6 图⑵ A EB C F D A B C DFEMN α 第1题图 第2题图AB D C第4题图是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BDA．0 B． 2 C．4 D．605．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝ .07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB ∥CD？12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A＝（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠2＝（已知）∴AC∥ED（）⑶∵∠A＋＝180°（已知）∴AB∥FD．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．ABCDOAB CDEFGHabc第6题图第7题图第9题图123 4567 81AC DEBAC DE12AB CDEF第14题图培优升级·奥赛检测 01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ） A ．1，3 B ．0，1，3 C ．0，2，3 D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．55 04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？ 09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ） A ．60° B ． 75° C ．90° D ．135° 10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点. 第13讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译 1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A C 的度数. 【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截a b AB C线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB∥CD BC∥AD∴∠A＋∠B＝180° ∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)∴∠A＝∠C ∵∠A＝38°∴∠C＝38°【变式题组】01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为（）A．155°B．50°C．45°D．25°02．（安徽）如图，直线l1 ∥ l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）A． 50° B． 55° C． 60° D．65°03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B的度数.【例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB∥CD∥EF ∴∠B＝∠BCD ∠F＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B＝60° ∠EFC＝45° ∴∠BCD＝60° ∠FCD＝45° 又∵GC⊥CF∴∠GCF＝90°（垂直定理）∴∠GCD＝90°－45°＝45° ∴∠BCG＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF∥BC, 且AF平分∠EAB，∠B＝48°，则∠C的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC＋∠ACB＝120°，BO、CO分别∠ABC、∠ACB，DE过点O与BC平行，则∠BOC＝___________03．如图，已知AB∥ MP∥CD, MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠NMP的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F.【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A＝∠F，即要证明DF∥AC．要证明DF∥AC, 即要证明∠D＋∠DBC＝180°，即：∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC＝180°即要证明DB∥EC．要证明DB∥EC即要证明∠1＝∠3.AB CD O EFAEB C（第1题图）（第2题图）AGBBAMCDNP（第3题图）D A 2 E1 B C B F EA C D 证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） 【变式题组】 01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：∠1＝∠3） 证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】 01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E,DF ⊥AB 于F, AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF. AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCMA D M CN E B C DA B E F1 32 GB 3C A 1D 2EF （第1题图） A2 CF 3 E D1 B（第2题图） 31AEα β P B C D A∠P ＝α＋β3 21 γ 4ψ D α βE B C AFH F γ Dα β E B C AF D E BC A AA ′l B ′C ′【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】 01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________ ⑶____________________________ ⑷____________________________【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180° 【变式题组】01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）A ． ∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点.BAP C A C C DA A P CB D PB PD B D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ FE D 2 1AB CA北【解】①连接AA/ ②过点B 作AA/的平行线l ③在l 截取BB/＝AA/,则点B/就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/. 【变式题组】01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.02．如图,角形ABC 中，∠C ＝90°, BC＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC 与△A/B/C/的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米） 演练巩固 反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（ ）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ）A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（ ）A ．对顶角相等B ． 同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏B B /AA /CC /东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52° B．南偏东52° C．西偏北52°D．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD 的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分. 11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.DAB CEDB CED AB CED AB CEA B C15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC各边都被分成五等分，这样在从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________.1个单位），请你猜想空白部分草地面积是F EB A 多少？ 05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720° B ．108°或144°C ．144°D ．720°或144° 06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b 上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．2006 07．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF. 求∠BEG 和∠DEG. 08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF. ⑴求∠EOB 的度数； ⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值. ⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？FE B AC GD 100°F E BAC O A12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？第06讲 实 数 考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a(a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a的平方根为x a 的平方根为x叫做a 的算术平方根．若x3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq （p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 3非负数： 实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l． 【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m的最大整数，则m 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2 有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b2>0∴a －3≥0 a≥3 ∵24242a b a -+++=∴24242a b a -++=，∴20b ++=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l3b+＝0成立，则ab＝____．02()230b-=，则ab的平方根是____．03．（天津）若x、y为实数，且20x+=，则2009xy⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A．1 B．－1 C．2 D．－204．已知x1xπ-的值是( )A．11π-B．11π+C．11π-D．无法确定【例3】若a、b都为有理效，且满足1a b-+=+a＋b的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1 a b-+=+∴1a b-=⎧⎪=1a b-=⎧⎪=，∴1312ab=⎧⎨=⎩，a ＋b＝12 ＋13＝25．∴a＋b的平方根为：5==±．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m、n2）m＋(3－＋7＝0求m、n．02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（123π+）x＋（132π+）y−4−π＝0，则x−y＝____．【例4】若a2的整数部分，b−1是9的平方根，且a b b a-=-，求a＋b的值．−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，−2 −2−4．∵a＝2，b−1＝±3 ，∴b＝－2或4∵a b b a-=-．∴a<b ，∴a＝2， b＝4，即a＋b＝6．【变式题组】01．若3a，3−b，则a＋b的值为____．02a，小数部分为ba）·b＝____．演练巩固反馈提高0l．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±302．设3a =-，b ＝ －2，52c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．a<c<bC ． b<a<cD ．c<a<b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与 364- C ．4与364 D ．3与904．在实数1.414，2-，0.1•5•，5−16，π，3.1•4•，83125中无理数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( ) A ．b>a B ．a b>C ． －a ＜bD ．－b>a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( ) A ． 1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A. m ＝±nB.m ＝n C .m ＝－n D.m n≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a ba b +-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a<7 <b ，则a ＋b ＝____．13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a*b ＝()()22a b a b ab a b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m ＝____．14．设a 是大于1的实数．若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b＝315a-＋153a-＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn−2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2与533x y--互为相反数，求22x y+的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( )A． 2 B．－1 C． 1 D． 002．（黄冈竞赛）代数式x＋1x-＋2x-的最小值是( )A．0 B． 1＋2 C．1 D． 203．代数式53x+−2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋b3＝21−53，则a＋b＝____． 05．若a b-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足2009a a-=，则a − 20092＝_______．m 满足关系式199y x =--，试确定m的值．08．（全国联赛）若a 、b 满足5b＝7，S ＝3b，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y ＋21a =-，231x y b -=--，求22x ya b +++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0) 【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是-_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x 轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1－y2|，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．【变式题组】01．如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗？03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC 的面积．【解法指导】(1)三角形的面积＝12×底×高．(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△ABC＝Ｓ△ABD＝Ｓ△BCD＝12·3·5－12·3·1＝6．【变式题组】01．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(―3，―1)，B(1，3)，C(2，－3)，△ABC的面积．02．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形ABDC 的面积．03．已知：A(－3，0)，B(3，0)，C(－2，2)，若D点在y轴上，且点A、B、C、D四点所组成的四边形的面积为15，求D点的坐标．【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2……每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有__________个．【解法指导】寻找规律，每个正方形四条边上的整点个数为S＝8n，所以S10＝8×10＝80个．【变式题组】01．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变成△OA3B3．已知：A(1，2)， A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是____________，B4的坐标是_____________；(2)若按(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到三角形△OAnBn，推测An的坐标是_____________，Bn的坐标是_____________．【解法指导】由AA1A2A3、BB1B2B3的坐标可知，每变换一次，顶点A的横坐标乘以2，纵坐标不变，顶点B的横坐标乘以2，纵坐标不变．如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)…则点A2010的坐标为_______________．演练巩固反馈提高01．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限02．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是( )A．(－2，7) B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)03．如果点A(a，b)，则点B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限04．下列数据不能确定物体位置的是( )A．六楼6号 B．北偏西400 C．文昌大道10号 D．北纬260，东经135005．在坐标平面内有一点P(a，b)，若ab＝0，则P点的位置是( )A．原点 B．x轴上 C．y轴上 D．坐标轴上06．已知点P(a，b)到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且|a－b |＝b－a，则点P的坐标是_______________．。

初中八年级数学培优竞赛辅导讲义（共213页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）第1讲全等三角形的性质与判定 (2)第2讲角平分线的性质与判定 (12)第3讲轴对称及轴对称变换 (17)第4讲等腰三角形 (25)第5讲等边三角形 (37)第06讲实数 (43)第7讲变量与函数 (50)第8讲一次函数的图象与性质 (55)第9讲一次函数与方程、不等式 (64)第10讲一次函数的应用 (69)第11讲幂的运算 (81)第12讲整式的乘除 (87)第13讲因式分解及其应用 (94)第14讲分式的概念•性质与运算 (101)第15讲分式的化简求值与证明 (109)第16讲分式方程及其应用 (118)第17讲反比例函数的图象与性质 (126)第18讲反比例函数的应用 (139)第19讲勾股定理 (146)第20讲平行四边形 (158)第21讲菱形与矩形 (167)第22讲正方形 (175)第23讲梯形 (185)第24讲数据的分析 (194)B AC D EF 第1讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图B （E ）OC F 图③DA【变式题组】01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D第1题图a αcca50° b72° 58°A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图AB C DEAEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。

第 1 讲与订交相关看法及平行线的判断考点·方法·破译1．认识在平面内，两条直线的两种地址关系：订交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们 .3．掌握直线平行的条件，并能依照直线平行的条件说明两条直线的地址关系.经典·考题·赏析【例 1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 订交于点O，一共组成哪几对对顶角一共组成哪几对邻补角A 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共极点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线 .C⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有 6 对对顶角 . 12 对邻补角 .【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、 CD、EF 订交于 P、Q、R，则：C⑴∠ ARC 的对顶角是.邻补角是.⑵中有几对对顶角，几对邻补角02．当两条直线订交于一点时，共有 2 对对顶角；A Q 当三条直线订交于一点时，共有 6 对对顶角；当四条直线订交于一点时，共有12 对对顶角 .F问：当有 100 条直线订交于一点时共有对顶角 .【例２】以下列图，点O 是直线 AB 上一点， OE、 OF 分别均分∠ BOC 、∠AOC ．⑴求∠ EOF 的度数；⑵写出∠ BOE 的余角及补角 .F 【解法指导】解这类求角大小的问题，要依照所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转变成代数式进而求解；1A【解】⑴∵ OE、OF 均分∠ BOC 、∠ AOC∴∠ EOC＝2∠BOC ，111∠ FOC＝2∠ AOC∴∠ EOF＝∠ EOC＋∠ FOC＝2∠ BOC＋2∠AOC ＝1AOC1BOC又∵∠ BOC＋∠ AOC ＝ 180° ∴∠ EOF＝2× 180°＝ 90°2⑵∠ BOE 的余角是：∠ COF 、∠ AOF ；∠ BOE 的补角是：∠ AOE.【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 订交于点 O，OA 均分∠ EOC，且∠ EOC＝100°，E则∠ BOD 的度数是（）D A ．20°B ． 40°C． 50° D ．80°02ED14．B（32F杭A O A州）已知∠ 1CE（第 1 题图）（第 2 题图）＝∠ 2＝∠ 3＝ 62°，则∠ 4＝.P【例３】如图，直线l1、 l2订交于点O， A 、 B 分别是 l1、 l2上的R点，试用三角尺达成以下作图：AB⑴经过点 A 画直线 l2的垂线 .D⑵画出表示点 B 到直线 l1 的垂线段 .O【解法指导】垂线是一条直线，垂线l2B段是一条线段 .【变式题组】l 101． P 为直线 l 外一点， A 、 B 、 CCE是直线 l 上三点，且PA＝ 4cm， PB＝ 5cm，PC＝ 6cm，则点 P到直线 l 的距离为（）A ． 4cm B．5cm C．不大于 4cmD．不小于 6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由 A向B行驶，M、O B N 为位于公路两侧的农村；⑴设汽车行驶到路AB 上点 P 的地址时距离农村M 近来.行驶到 AB 上点 Q 的地址时，距离农村N 近来，请在图中的公路上分别画出点P、Q 的地址 .A．4对B． 8 对C．12 对D．16对⑵当汽车从 A 出发向 B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.近 ..在的路上距离农村N 越来越近，而距离农村Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB 、 CD 订交于点O，OE⊥ CD，OF⊥ AB ，∠ DOF ＝ 65°，求∠ BOE 和∠ AOC 的度数 .E 【解法指导】图形的定义现能够作为判断图形的依照，也能够作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝ 90°，D51 3478234621653214甲乙丙AOF⊥AB ．A 【变式题组】01．如图，若EO⊥ AB 于 O，直线 CD 过点 O，∠ EOD ︰OCBF03．如图，按各组角的地址判断错误的选项是13（）25∠ EOB ＝ 1︰ 3，求∠ AOC 、∠ AOE 的度数 .02．如图，O 为直线 AB 上一点，∠ BOC＝ 3∠AOC ，OC 均分∠ AOD⑴求∠ AOC 的度数；⑵试说明OD 与 AB 的地址关系 .E．DDAO C CA ．∠ 1 和∠ 2 是同旁内角B．∠ 3 和∠ 4 是内错角C．∠ 5 和∠ 6 是同旁内角D ．∠ 5 和∠ 7 是同旁内角4B67 C03．如图，已知 AB ⊥ BC 于 B，DB ⊥ EB 于 B，并且∠ CBE︰∠ ABD ＝ 1︰ 2，请作出∠ CBE 的对顶角，并求其度数 .【例５】如图，指出以下各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而获取的，并说出它们的名称：B ∠1 和∠ 2：∠1 和∠ 3：∠1和∠6：A ∠2 和∠ 6：∠2 和∠ 4：∠3 和∠ 5：∠3 和∠ 4：ABOBFAE5D【例６】如图，依照以下条件，可推得哪两条直线平行并说明原因?⑴∠ CBD ＝∠ ADB ；A D⑵∠ BCD ＋∠ ADC ＝ 180°D A⑶∠ ACD ＝∠ BACC【解法指导】图中有即即O1有同旁内B4C236角，有“”即有内错角 .B【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ ADB ，可推得 AD ∥ BC；依照内E错角相等，两直线平行 .⑵由∠ BCD ＋∠ ADC ＝ 180°，可推得AD ∥ BC ；依照同旁内【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：第一弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其他两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与订交直线 EF，GH 订交，图中的同旁内角共有（）ACH角互补，两直线平行.⑶由∠ ACD ＝∠ BAC 可推得 AB ∥ DC；依照内错角相等，两直线平行.【变式题组】AEＧ01．如图，推理填空 .⑴∵∠ A ＝∠（已知）F B∴AC ∥ED（）EDF BD⑵∵∠ C＝∠（已知）12× 31°＝ 372°＞ 360°∴AC ∥ ED（）与一周角等于 360°矛盾⑶∵∠ A ＝∠（已知）C所以 12 个角中最少有一个角小于 31°∴AB ∥ DF（）【式】02．如， AD 均分∠ BAC ， EF 均分∠ DEC，且∠ 1＝∠ 2，明 DE 与 AB 的地址关系 .01．平面内有18 条两两不平行的直，：在全部的交角中最少有一个角小于11° .解：∵ AD 是∠ BAC 的均分（已知）∴∠ BAC ＝ 2∠ 1（角均分定）又∵ EF 均分∠ DEC （已知）∴（）又∵∠ 1＝∠ 2（已知）∴（）A1E202．在同一平面内有2010 条直 a1,a2,⋯， a2010,若是 a1⊥a2,a2∥ a3，a3⊥ a4， a4∥ a5⋯⋯那么a1 与 a2010 的地址关系是.03．已知 n（ n＞ 2）个点 P1，P2，P3⋯Pn.在同一平面内没有任何三点在同素来上， Sn 表示几个点中的随意两个点所作的全部直的条数，然：S2＝1， S3＝ 3， S4＝6，∴ S5＝ 10⋯ Sn＝.演牢固·反提高∴AB ∥DE（）03．如，已知 AE 均分∠ CAB ， CE 均分∠ ACD ．∠ CAE ＋∠ ACE ＝ 90°，求： AB ∥ CD．04．如，已知∠ ABC ＝∠ ACB ， BE 均分∠ ABC ， CD 均分∠ ACB ，∠ EBF ＝∠ EFB ，求： CD ∥ EF.【例７】如⑴，平面内有六条两两不平行的直，：BD FAEC AC 01．如，∠ EAC ＝∠ ADB ＝ 90°.以下法正确的选项是（）A ．α的余角只有∠B B ．α的角是∠ DACC．∠ ACF 是α的余角D．α与∠ ACF 互BEEA A AαMD BC D在全部的交角中，最少有一l 6个角小于31° .【解法指】如⑵，我能够将全部的直移后，使它订交于同一点，此的形⑵ .明：假⑵中的l4l3l5l 2Bl1⑴12 个角中的每一个角都不小于31°DE l4l3l5l6C⑵BD CFFN BD C第 2第 4l2第 102．如，已知直 AB 、CD 被直 EF 所截，∠ EMB 的同位角F l 1（）A ．∠ AMFB ．∠ BMF C．∠ ENC D．∠ END03．以下句中正确的选项是（）A．在同一平面内，一条直只有一条垂B．直上一点的直只有一条C．直上一点且垂直于条直的直有且只有一条D．垂段就是点到直的距离04．如，∠ BAC ＝ 90°， AD ⊥ BC 于 D ，以下中，正确的个数有（）① AB ⊥AC② AD与AC互相垂直③点C到AB的垂段是段AB④ 段AB的度是点 B 到 AC 的距离⑤垂段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BD A．0B．2C．4D．605．点 A 、 B、 C 是直 l 上的三点，点P 是直 l 外一点，且PA＝ 4cm， PB＝5cm， PC＝6cm，点 P 到直 l 的距离是（）∴AC∥ED（）⑶∵∠ A ＋＝180°（已知）∴AB ∥ FD．14．如，你填上一个合适的条件使AD∥ BC．A ． 4cmB ．5cm C．小于 4cm 06．将一副直角三角板按所示的方法旋＝.C ADBGBA O第 61D．不大于4cm（直角点重合），∠ AOB ＋∠ DOCcE D21a34b657 8FCH第 7第 9F培升·奥01．平面上互不重合的三条直的交点的个数是（）ADA． 1，3B． 0，1，3C．0，2，3D． 0， 1，2， 3B第 1402．平面上有 10 条直，其中 4 条是互相平行的，那么 10条直最多能把平面分成（）部分 .DA． 60B． 55C．50D． 45A03．平面上有六个点，每两点都成一条直，除了本来的6 个点之外，些直最多有（）个交点 .A． 35B． 40C．45D．55CECE07．如，矩形ABCD 沿 EF 折，且∠ DEF ＝ 72°，∠ AEG ＝. 08．在同一平面内，若直 a1∥ a2,a2⊥ a3,a3∥ a4,⋯ a1a10（. a1 与 a10不重合）09．如所示，直a、b 被直 c 所截，出以下四个条件：①∠1＝∠ 5，②∠ 1 ＝∠ 7，③∠ 2＋∠ 3＝ 180°，④∠ 4＝∠ 7，其中能判断a∥ b 的条件的序号是.10．在同一平面内两条直的地址关系有.11．如，已知 BE 均分∠ ABD ，DE 均分∠ CDB ，且∠ E＝∠ ABE ＋∠ EDC．明 AB∥CD12．如，已知 BE 均分∠ ABC ， CF 均分∠ BCD ，∠ 1A＝∠ 2，那么直 AB 与 CD 的地址关系怎样E13．如，推理填空：AC1⑴∵∠ A＝（已知）∴AC ∥ED（）⑵∵∠ 2＝E（已知）C 204．如，上有 6 个点，作两两，内最多有__________________ 交点 .B05．如是某施工一破的，已知a、b是一个角的两，在要在上画一条与个角的均分平行的直，你帮助个施工画出条平行，并明你的正确性.06．平面上三条直互相的交点的个数是a（）BA ． 3B．1或 3C．1或2或 3D．不用然是 1， 2，307．你在平面上画出 6 条直（没有三条共点）使得它中的每条直都恰好与B另三条直订交，并明画法CD08．平面上有 10 条直，无任何三条交于一点，要使它出31 个交点，怎么安排才能到F09．如，在一个正方体的 2 个面上画了两条角DF bA线 AB 、 AC ，那么两条对角线的夹角等于（）A ． 60°B． 75°C． 90° D ． 135°10．在同一平面内有9 条直线怎样安排才能满足下面的两个条件⑴随意两条直线都有交点；⑵总合有29 个交点 .第 13 讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判断与性质定理之间的差异和联系；2．初步认识命题，命题的组成，真假命题、定理；3．灵便运用平行线的判断和性质解决角的计算与证明，确定两直线的地址关系，AE3l 1D2B C1l 2（第 1 题图）（第 2 题图）FC21α感觉转变思想在解决数学问题中的灵便应用 . 经典·考题·赏析【例１】如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，度数 .【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.BC∥AD ，∠ A ＝ 38°，求∠ C 的DAA B（第 3 题图）D EC∥ l2,∠ 1＝ 55°，∠ 2＝ 65°，则∠ 3 为（）02．（安徽）如图，直线 l1A． 50°B． 55°C． 60°D． 65°B03．如图，已知 FC∥ AB ∥ DE ，∠α：∠ D：∠ B＝ 2:3: 4, 试求∠α、∠ D、∠ B的度数 .【例２】如图，已知 AB ∥CD ∥ EF，GC⊥ CF，∠ B＝ 60°，∠ EFC＝ 45°，求∠ BCG平行线的性质是推导角关系的重要依照之一，必定正确鉴别图形的特点，看清截线，鉴别角的关系式要点 .【解】：∵ AB ∥ CD BC∥AD∴∠ A ＋∠ B＝ 180°∠B ＋∠ C＝ 180°(两条直线平行，同旁内角互补 )∴∠ A＝∠ C∵∠ A ＝38°∴∠ C＝ 38°【变式题组】01．如图，已知 AD ∥ BC ，点 E 在 BD 的延长线上，若∠ADE ＝ 155 °，则∠ DBC 的度数为（）A ． 155°B．50°C．45°D ． 25°的度数 .【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平A分线相结合，可求各种地址的角的度数，但注意看清角的位置 .【解】∵ AB ∥ CD ∥EF∴∠ B＝∠ BCD∠ F＝∠ FCD( 两C条直线平行，内错角相等 )又∵∠ B＝ 60° ∠EFC＝ 45° ∴∠ BCD ＝ 60°∠ FCD ＝ 45°又∵ GC⊥CF∴∠ GCF＝E90∴∠ GCD ＝ 90°－ 45°＝ 45°∴∠ BCG ＝°（垂直定理）60°－ 45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥ BC, 且 AF 均分∠ EAB ，∠ B ＝ 48°，则∠ C 的的度数＝_______________BGDFEA求证： AD 均分∠ BAC ．E【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细解析A BM 条件给我们带来的结论，关于不能够直接直接得出结论AFC.（题目中的：的条件，要正确掌握住这些条件的妄图13DO E∠ 1＝∠ 3）N D 证明：∵ EG ⊥ BC ， AD ⊥ BC∴∠ EGC ＝∠ ADC ＝ 90°B（第 1 题图）C BCAP（垂直定义）∴ EG ∥ AD （同位角相等，两条直线平行） BGDC（第 2 题图）（第 3 题图）∵∠ 1＝∠ 3 ∴∠ 3＝∠ BAD （两条直线平行，内错角相等） 02.如图 ,已知∠ ABC ＋∠ ACB ＝ 120°， BO 、 CO 分别∠ ABC 、∠ ACB ， DE 过点 ∴ AD 均分∠ BAC （角均分线定义）O 与 BC 平行，则∠ BOC ＝___________【变式题组】D03．如图，已知 AB ∥ MP ∥ CD, MN 均分∠ AMD ，∠ A ＝ 40°，∠ D ＝50°，求01．如图，若 AE ⊥ BC 于 E ，∠ 1＝∠ 2，求证： DC ⊥ BC ．∠ NMP 的度数 .02．如图，在△ ABC 中， CE ⊥ AB 于 E,DF ⊥ AB 于 F, AC∥ED ，【例３】如图，已知∠ 1＝∠ 2，∠ C ＝∠ D ． 求证：∠ A ＝∠ F.CE 均分∠ ACB ． 求证：∠ EDF ＝∠ BDF.AA【解法指导】3．已知如图， AB ∥ CD ，∠B ＝ 40°， CN 是∠ BCE1因果转变，综合运用 .的均分线 . CM ⊥ CN ，求：∠ BCM 的度数 .E2逆向思想：要证明∠ A ＝∠ F ，即要证明 DF ∥AC ．AB要证明 DF ∥ AC, 即要证明∠ D ＋∠ DBC ＝ 180°， 【例５】已知，如图， AB ∥ EF ，求证： BEFC 即：∠ C ＋∠ DBC ＝ 180°；要证明∠ C ＋∠ DBC ∠ ABC ＋∠ BCF ＋∠ CFE ＝ 360° N＝ 180°即要证明 DB ∥ EC ． 要证明 DB ∥ EC 即要 【解法指导】从考虑 360°这个特别角下手张开联想，解析M B DC证明∠ 1＝∠ 3.类比，ECD证明：∵∠ 1＝∠ 2，∠ 2＝∠ 3（对顶角相等）所以∠ 1＝∠ 3 ∴ DB ∥EC （同位角AB联想周角 .构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.相等 ?两直线平行）∴∠ DBC ＋∠ C ＝ 180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠ C过点 C 作 CD ∥AB 即把已知条件 AB ∥ EF 联系起来，这是关1＝∠ D ∴∠ DBC ＋∠ D ＝ 180° ∴ DF ∥ AC （同旁内角，互补两直线平行）∴ DC∠ A ＝∠ F （两直线平行，内错角相等）键 .2【证明】：过点 C 作 CD ∥ AB∵CD ∥AB∴∠ 1＋∠ ABC【变式题组】EFFDC＝ 180°E01．如图，已知 AC ∥FG ，∠ 1＝∠ 2，求证： DE ∥ FG2F (两直线平行，同旁内角互补 ) 又∵ AB ∥ EF ，∴ CD ∥ EF （平行D31A于同一条直线的两直线平行）∴∠ 2＋∠ CFE ＝ 180°(两直线平行，02．如图，已知∠ 1＋∠ 2＝ 180°，∠ 3＝∠ B ． 求证：∠ AED ＝∠ ACB3 B03．如图，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光辉 AO 平行2同旁内角互补 ) ∴∠ ABC ＋∠ 1＋∠ 2＋∠ CFE ＝180°＋ 180°＝ 360°1ED即∠ ABC ＋∠ BCF ＋∠ CFE ＝ 360 °AO ′B 平行于 β入射到 α上，经两次反射后的出射光辉Eα1 G3B C2 【B 变式题组】于 α，则角 θ等于 _________.（第 1题图） F【例４】如图，已知 EG ⊥ BC ， AD ⊥BC ，∠ 1＝∠ 3.O01．如图，已知， AB ∥ CD ，分别研究下面四个图形中∠APC 和∠ PAB 、∠ PCDCB.的关系，请你从所得四个关系中选出随意一个，说明你研究的结论的正确性（第 2 题图）θβO/结论 ： ⑴ ____________________________⑵B/ 就是的 B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点 C/.连接 A/B/ ，B/C/ ， C/A/____________________________⑶ ____________________________⑷ ____________________________ABPABABBAPPPDC ⑴D C ⑵ D C ⑶ DC ⑷【例６】如图，已知， AB ∥ CD ，则∠ α、∠ β、∠ γ、∠ ψ之间的关系是∠ α＋∠ γ＋∠ ψ－∠ β＝ 180°Aα B【解法指导】基本图形A B.善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路1βHα【解】过点 E 作 EH ∥AB ． 过点 F 作 FG ∥AB ． ∵AB ∥ EH2∴∠ α＝∠ 1（两直线平行，内错角相等）又∵P ∠ P ＝ α＋ β EFG ∥AB ∴ EH ∥ FG （平行于同一条直线的两直线F34 平行）∴∠ 2＝∠ 3 又∵ AB ∥ CD βγ ∴FG ∥ CD （平行于同一条直线的两直线平行）C Dα＋∠ γ＋∠ ψ－∠ψ β＝∠ 1 ∴∠ ψ＋∠ 4＝ 180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠ ＋∠ 3＋∠ 4－ ψ－∠ 1－∠ 2＝∠ 4＋ ψ＝180° CD 【变式题组】就获取平移后的三角形 A/B/C/.【变式题组】01．如图，把四边形 ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形 .02．如图 ,已知 A三角形 ABC 中，∠ C ＝ 90°, BC ＝4， AC＝ 4 ，现将△ DABC 沿 CB 方向平移到△ A/B/C/ 的地址，若平移距离为 3, 求△ ABC 与△ A/B/C/ 的重叠部分的面BAA /CCC /BB /积.03．本来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移 BE 的距离，就获取此图形，求阴影部分的面积 .（单位：厘米）AD01．如图， AB ∥ EF ，∠ C ＝ 90°，则∠ α、∠ β、∠ γ的关系是（ ）A ． ∠ β＝∠ α＋∠ γB ．∠ β＋∠ α＋∠ γ＝ 180°C ． ∠ α＋∠ β－∠ γ＝ 90°D ．∠ β＋∠ γ－∠ α＝ 90°02．如图， 已知， AB ∥ CD ，∠ ABE 和∠ CDE 的均分线订交于点 F ，∠ E ＝ 140°，求∠ BFD 的度数 .A Bα【例７】如图，平移三角形 ABC ，设点 A 搬动到点 A A/ ，画出平移后的三角形 A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”—— 定，找，移，连 . BC83B5 ECF演练牢固反响提高A北01．如图，由 A 测 B 得方向是（）A ′ A ．南偏东 30°B ．南偏东 60°°30⑴定：确定平移的方向和距离 . ⑵找：找出图形的要点点 .γ D⑶移：过要点点作平行且相等的线段，获取要点点的对应点β C ⑷连 : 按原图形按次连接对应点 . 【解】 ①连接 AA/ E ③在②过点 B 作 AA/F 的平行线 lElF . B ′Dl 截取 BB/ ＝ AA/, 则点C ．北偏西 30°D ．北偏西 60° 西B 东02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一南A条直线的两直线平行； ④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ）C ′B ．2 个C ．3个D ．4个A ．1 个BC03．一个学在广上汽，两次拐弯后，行的方向与本来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A ．第一次向左拐 30°，第二次向右拐 30°B ．第一次向右拐 50°，第二次向左拐 130°C．第一次向左拐 50°，第二次向右拐 130 ° D ．第一次向左拐 60°，第二次向左拐 120°04．以下命中，正确的选项是（）A ．角相等B．同位角相等C．内角相等 D ．同旁内角互05．学了平行后，小敏想出直外一点画条直的平行的新方法，是通折一半透明的获取的 [ 如⑴—⑷ ]P.P.P.P.⑴⑵⑶⑷从中可知，小敏画平行的依照有（）①两直平行，同位角相等；②两直平行，内角相等；③同位角相等，两直平行；④内角相等，两直平行.A ．①②B ．②③C．③④D．①④06．在 A 、B 两座工厂之要修建一条笔直的公路，从 A 地得 B 地的走向是南偏 52° . A 、 B 两地要同动工，若干天后，公路正确接， B 地所修公路的走向是（）A ．北偏 52°B ．南偏 52°C．西偏北 52°D．北偏西 38°07．以下几种运中属于平移的有（）①水平运上的的运；②笔直的高公路上行的汽的运（忽略的）；③起落机上下做机械运；④足球上足球的运.A．1种B．2 种C．3 种D．4 种08．如，网格中的房子案正好于网格右下角的地址.平移个案，使它正好位于左上角的地址（不能够出格）09．察，哪个是由⑴平移而获取的（）10．如， AD ∥ BC ，AB ∥ CD ，AE ⊥BC，将△ ABE 行平移 . 平移方向射AD 的方向 . 平移距离段 BC 的，平移获取的三角形是中（）的阴影部分 .D A D A D ABE A CBE B CBE C C B E DC11．判断以下命是真命是假命，若是是假命，出一个反例.⑴ 角是相等的角；⑵相等的角是角；⑶两个角的和是角；⑷同旁内角互，两直平行.12．把以下命改写成“若是⋯⋯那么⋯⋯”的形式，并指出命的真假.⑴互的角是角；⑵两个角的和是角；⑶直角都相等.13．如，在湖修一条公路.若是第一个拐弯∠ A ＝ 120 °，第二个拐弯∠B＝150°，第三个拐弯∠ C，道路 CE 恰好和道路 AD 平行，∠ C 是多少度并明原因 .14．如，一条河流两岸是平行的，当小船行到河中湖 E 点，与两岸B、D 成 64°角 . 当小船行到河中 F 点，看 B 点和 D 点的EFB 、FD 恰好有∠1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4 的关系 . 你能出此点 F 与 B、D 所形成的角∠ BFD 的度数150°120°CBAB15．如， AB ∥ CD ，∠ 1＝∠ 2，明∠1E和∠F的关系 .DA2ABF E培升·奥3D3FE D 01．如，等△ ABC 各都被分成五均分，C4EF42CB PCD在△ ABC 内能与△ DEF 达成重合的小三角形共有25 个，那么在△ ABC 内由△DEF 平移获取的三角形共有（）个02．如，一足球运在球上点 A 看到足球从 B 点沿着 BO 方向匀速来，运立刻从 A 以匀速直奔跑前去截足球 .若足球的速度与运奔跑的速度同样，出运的平移方向及最快能截住足球的地址.（运奔跑于足球点的平移）. D A03．如，方体的 AB ＝ 4cm， BC ＝3cm，高 AA1 ＝ 2cm. 将 AC 平移到 A1C1 的地址上，平移的距离是 ___________,平移的方向是___________..A .B04．如是形的操作程（五个矩形水平方向O D1的均 a，直方向的 b ）；将段BA1A2 向右平移 1 个位获取 B1B2 ，获取封A1B1形 A1A2B2B1 [即阴影部分如⑴]; 将折 A1A2A3 向右平移 1 个位获取 B1B2B3 ，获取封形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如⑵ ];⑴在⑶中，你似地画出一条有两个折点的直，同的向右平移 1 个位，A． 720° B ．108°或 144°C． 144° D ． 720°或 144°06．两条直 a、b 互相平行，直 a 上次有 10 个点 A1 、A2 、⋯、 A10 ，直b 上次有10 个点 B1 、B2 、⋯、 B9 ，将 a 上每一点与 b 上每一点相可得段 .若没有三条段订交于同一点，些段的交点个数是（）A． 90 B ．1620C． 6480D． 200607．如，已知 AB ∥CD ，∠ B＝ 100 °，EF 均分∠ BEC ，EG⊥ EF. 求∠ BEG 和∠C DEG.BA100°C1G FD E C08．如， AB ∥ CD ，∠ BAE ＝ 30°，∠ DCE＝ 60°，EF、EG 三均分∠ AEC ．：EF 与 EG 中有没有与AB 平行的直什么进而获取 1 个封形，并画出阴影.⑵ 你分写出上述三个阴影部分的面S1＝ ________, S2＝ ________, S3＝________.⑶ 想与研究：如⑷，在一矩形草地上，有一条波折的柏油小路（小路在任何地方的水平度都是1个位），你猜想空白部分草地面是A1 B1A11A11B B草地A22 A2A B23B B309．如，已知直 CB∥ OA ，∠C＝∠ OAB ＝ 100 °，E、 F 在CB 上，且足∠ FOB＝∠ AOB ，OE 均分∠FCOF.⑴求∠ EOB 的度数；⑵若平行移 AB ，那么∠ OBC ：∠ OFC 的是G生化若化，找出化律；若不，求出个比 .⑶在平行移AB 的程中，可否存在某种状况，使∠A BE否随之C D草地22A3 B34B4B AA⑴⑵⑶⑷⑸多少05．一位模型手遥控一，先前一半，尔后原地逆旋α°（ 0°＜α°＜ 180 °），被称一次操作，若 5 次后回到出点，α°角（）OEC＝∠ OBA 若存在，求出其度数；若不存在，明原因.E10．平面上有 5 条直，其中随意两条都不平行，那么在C FB5条直两两订交所成的角中，最少有一个角不超36°,明原因 .11．如，正方形 ABCD 的 5,把它的角AC 分成 n 段，以每一小段角作小正方形，n 个小正方形的周之和多少A B 12．如将面 a2 的小正方形和面 b2 的大正方形放在一同，用添法如何求出阴影部分面O A第06讲实数FA考点·方法·破译1．平方根与立方根：EB 若 x2＝ a(a≥0) 则 x 叫做 a 的平方根，记为： a 的平方根为 x＝±a，其中 a 的平方根为 x＝C Da 叫做 a 的算术平方根．若 x3＝ a，则 x 叫做 a 的立方根．记为： a 的立方根为 x＝3 a ．2．无量不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一p一对应．任何有理数都能够表示为分数q（ p、 q 是两个互质的整数，且q≠ 0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0， a2n≥ 0（ n 为正整数），a≥ 0(a≥ 0) ．经典·考题·赏析【例 1】若 2m－ 4 与 3m－1 是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m ?4 与3m?l 是同一个数的平方根，∴2m?4 ＋ 3m?l＝ 0， 5m＝ 5， m＝ l．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知 m 是小于152的最大整数，则 m 的平方根是 ____．03．9的立方根是 ____．04．如图，有一个数值转变器，当输入的x 为 64 时，输出的y 是____．输入 x是无理数输出 y取算术平方根是有理数【例 2 】（全国竞赛）已知非零实数 a 、 b满足2a 4 b 2 a 3 b2 4 2a)，则 a＋b 等于 (A．－ 1B． 0C． 1 D ． 2【解法指导】若 a 3 b2有意义，∵ a、 b 为非零实数，∴ b2>0∴ a－ 3≥ 0 a ≥ 3∵2a4b2a 3 b2 4 2a∴2a 4 b 2 a 3 b2 4 2a b 2 a 3 b20，∴．b20a3∴a 3 b2，∴ b2，应选 C．【变式题组】0l．在实数范围内，等式2a a 2b3＝ 0 成立，则 ab＝ ____．2a02．若a9b3，则 b 的平方根是____．2009x03．（天津）若 x、 y 为实数，且x 2y 2 0，则y的值为（）A． 1B．－ 1C． 2D．－2x x104．已知 x 是实数，则x的值是 ()111111A ．B．C．D．无法确定【例 3】若 a、 b 都为有理效，且满足 a b b 1 23．求 a＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不用然是无理数．∵a b b 1 2 3 ，a b 1 a b1a13∴ b 2 3 即b12 ，∴ b 12，a ＋ b＝ 12 ＋ 13＝ 25．∴ a＋ b 的平方根为： a b255．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m、 n 是有理数，且（5＋ 2）m＋ (3－ 25)n＋7＝ 0求 m、 n．1102．（希望杯试题）设 x、y 都是有理数，且满足方程（23）x＋（3 2）y?4?＝ 0，则 x?y＝ ____ ．【例 4】若 a 为17?2 的整数部分， b?1 是 9 的平方根，且 a b b a ，求a＋ b 的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17?2＝整数部分＋小数部分．整数部分估计可得2，则小数部分＝17?2 ?2＝17?4．∵ a＝ 2， b?1＝± 3，∴ b＝－ 2 或 4∵abb a．∴ a<b ，∴ a＝ 2， b＝ 4，即 a＋ b＝ 6．【变式题组】01．若 3＋5的小数部分是 a， 3?5的小数部分是b，则 a＋b 的值为 ____．02．5的整数部分为a，小数部分为b，则（5＋ a）· b＝____．演练牢固反响提高0l．以下说法正确的选项是()A．－ 2 是(－ 2)2 的算术平方根 B ． 3 是－ 9 的算术平方根C． 16 的平方根是± 4D． 27 的立方根是± 3c502．设a3， b＝－ 2，2，则 a、 b、 c 的大小关系是 ( )A． a<b<c B ． a<c<b C． b<a<cD． c<a<b03．以下各组数中，互为相反数的是()A．－ 9 与 81 的平方根B．4 与364C．4 与3 64D．3与9? ?? ?382，5?16 ，125中无理数有 ()04．在实数，，，4，5A．2个B．3 个C．4 个D． 5个05．实数 a、 b 在数轴上表示的地址以下列图，则()A． b>aa bB．C．－ a＜ b D ．－ b>a06．现有四个无理数5， 6，7 ，8，其中在2＋1与3＋1 之间的有 ()A． 1个B．2 个C． 3个 D ．4个3207．设 m 是9的平方根， n＝．则 m， n 的关系是 ()A. m ＝± n＝ nC .m ＝－ nmnD.08．（烟台）如 ，数 上 A 、B 两点表示的数分 － 1 和 3，点 B 关于点 A的 称点 C ， 点 C 所表示的数 ( )A ．－23B ．－ 13C ．－2 ＋3D ． l ＋309．点 A 在数 上和原点相距5个 位，点 B 在数 上和原点相距 3 个 位，且点 B 在点 A 左 ， A 、 B 之 的距离 ____ ．11110．用 算器研究：已知按必然 律排列的一 数：1，2， 3⋯，19，120．若是从中 出若干个数，使它的和大于3，那么最少要 ____个数．a b11． 于随意不相等的两个数a 、b ，定 一种运算※以下：a ※b ＝ab，如33 2※ 2＝3 2＝ 5．那么 12.※4＝ ____．12．（ 沙中考 ）已知 a 、 b 两个 整数，且 a<7<b ， a ＋ b ＝____ ．a 2b a ≥ b13． 数 a 、 b ，定 运算“ * ”，以下 a*b ＝ ab2a<b，已知 3*m＝ 36，数 m ＝ ____．a2 2a 114． a 是大于 1 的 数． 若 a ， 3 ，3 在数 上 的点分 是A 、B 、C ， 三点在数 上从左自右的 序是____ ．15.如 ，直径1 的 与数 有唯一的公共点 P ．点 P 表示的 数 － 1．若是沿数 正方向 一周后与数 的公共点P ′，那么点 P ′所表示的数是 ____．16．已知整数 x 、 y 足x＋ 2y ＝ 50 ，求 x 、 y ．17．已知 2a?1 的平方根是± 3，3a ＋ b?1 的算 平方根是 4，求 a ＋ b ＋ 1 的立方根．18．小 同学在 上做扇形 的游 ，如 有一 心角60°，半径 1 个位 的扇形放置在数 上，当扇形在数 上做无滑 的 ，当B 点恰好落在数 上 ，(1)求此 B 点所 的数； (2) 求 心 O 移 的行程．19．若 b ＝3a 15＋153a＋ 3l ，且 a ＋ 11 的算 平方根m ， 4b ＋ 1 的立方根 n ，求（ mn?2） (3mn＋ 4)的平方根与立方根．20．若 x 、y 数，且（ x?y ＋ 1）2 与 5x 3y 3互 相反数， 求x 2y2的．培 升奥01．（ 州市八年 数学 ）一个正数x 的两个平方根分 是a ＋ 1 与 a?3，a( )A ． 2B ．－ 1C ． 1D ． 002．（黄 ）代数式x ＋ x 1＋ x2的最小 是 ()A ． 0B ．1＋2C ． 1D ． 203．代数式5 3x?2 的最小 ____．04． a 、b 有理数， 且 a 、b 足等式 a2＋ 3b ＋ b 3 ＝ 21?53， a ＋b ＝ ____．05．若a b＝ 1，且 3a＝ 4b，则在数轴上表示a、b 两数对应点的距离为____．112009a a 2010a，则 a? 20092＝ _______．A( －3， 0)， B( －2，－3) ，C(2，2)， D(0,3) ， E(π－，－π )06．已知实数 a 满足【例 2】若点 P(a， b)在第四象限，则点Q(― a， b― 1)在（）3x5y 2m x 3 y m x199y g 199 x y ，A．第一象限 B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限m 满足关系式【解法指导】∵ P(a，b)在第四象限，∴ a＞0，b＜ 0，∴－ a＜ 0, b－１＜ 0,应选 C．试确定 m 的值．【变式题组】3 a 5 b＝ 7，S＝2 a3 b，求 S 的取值范围．01．若点 G(a，2－ a)是第二象限的点，则 a 的取值范围是（）08．（全国联赛）若 a、 b 满足A． a＜ 0B． a＜2C． 0＜ a＜ 2 B ． a＜ 0 或 a＞ 2 09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1 ，并且02．若是点 P(3x－２，２－ x)在第四象限，则x 的取值范围是 ____________．1a 2a3ggg a28a2903．若点 P(x， y)满足 xy ＞ 0，则点 P 在第 ______________象限．a30303018，求 [10a] 的值04．已知点 P(2a－ 8， 2－ a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．3030【例３】已知 A 点与点 B(－ 3， 4)关于 x 轴对称，求点 A 关于 y 轴对称的点的坐[ 其中 [x] 表示不高出 x 的最大整数 ]．标．10 ．（北京竞赛试题）已知实数a、 b、 x 、 y y ＋x3 1a2【解法指导】关于x 轴对称的点的坐标的特点：横坐标 (x)相等，纵坐标 (y)互为相满足，反数，关于 y 轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．x 3y 1b2，求 2x y2a b的值．【变式题组】____________ ．01．P(－ 1， 3)关于 x 轴对称的点的坐标为第 14讲平面直角坐标系（一）02．P(3，－ 2)关于 y 轴对称的点的坐标为____________ ．考点．方法．破译03．P(a， b)关于原点对称的点的坐标为____________ ．1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．04．点 A( － 3 ， 2m－１ ) 关于原点对称的点在第四象限，则m 的取值范围是2．认识点与坐标的对应关系．____________ ．3．会依照点的坐标特点，求图形的面积．05．若是点Ｍ (a＋b， ab)在第二象限内，那么点N(a， b) 关于 y 轴对称的点在第经典．考题．赏析______象限．【例 1】在坐标平面内描出以下各点的地址．【例４】 P(3，－ 4)，则点 P 到 x 轴的距离是 ____________．A(2 ， 1)， B(1， 2)， C(－1， 2)， D( － 2，－ 1)， E(0， 3)， F(－ 3， 0)【解法指导】 P(x，y)到 x 轴的距离是 | y|，到 y 轴的距离是 |x|．则 P 到轴的距离是【解法指导】从点的坐标的意义去思虑，在描点时要注意点的坐标的有序性．|－ 4|＝4【变式题组】【变式题组】01．第三象限的点 P(x，y)，满足 |x|＝ 5,2x＋ |y|＝ 1，则点 P 得坐标是 _____________ ．01．已知点 P(3， 5)， Q(6，－５ )，则点 P、 Q 到 x 轴的距离分别是 _________ ，02．在平面直角坐标系中，若是＞０，那么（ m, |n|）必然在 ____________象__________．P 到 y 轴的距离是点Q 到 y 轴的距离的 ________倍．限 .02．若 x 轴上的点Ｐ到 y 轴的距离是3，则 P 点的坐标是 __________ ．03．指出以下各点所在的象限或坐标轴．03．若是点 B(m ＋1， 3m－ 5) 到 x 轴的距离与它到 y 轴的距离相等，求 m 的值．04．若点 (5－a ， a － 3)在一、三象限的角均分 上，求 a 的 ．【 式 】05．已知两点 A( －3， m)， B(n ，4) ，AB ∥ x ，求 m 的 ，并确定n 的取 范01．在平面直角坐 系中， 已知△ ABC 三个 点的坐 ．分 A( ― 3，― 1)， B(1 ，3)，C(2，－ 3)，△ ABC 的 【例５】如 ，平面直角坐 系中有A 、B 两点．面 ．(1) 它 的坐 分 是 ___________，___________； 02．如 ，已知 A( － 4，0)，B( － 2，2)，C,0 ，－ 1)，D(1 ，0)，求四 形 ABDC (2) 以 A 、 B 相 两个 点的正方形的 _________；的面 ．(3) 求正方形的其他两个 点C 、D 的坐 ．03．已知： A( － 3， 0)，B(3 ，0) ，C( － 2，2)，若 D 点在 y 上，且点 A 、 B 、 C 、 【解法指 】平行 x 的直 上两点之 的距离是：两个点的横坐 的差得 D 四点所 成的四 形的面 15，求 D 点的坐 ．，平行 y 的直 上两点之 的距离是：两个点的 坐 的差得 ．即：【例 7】如 所示， 在平面直角坐 系中， 横、 坐 都 整数的点称 整点．A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)，若 AB ∥ x ， |AB| ＝ |x1－ x2|；若 AB ∥ y ， |AB| ＝ |y1 你 察 中正方形 A1B1C1D1 、 A2B2C2D2 ⋯⋯每个正方形四条 上的整点的个－ y2| 数，计算出正方形A10B10C10D10 四条 上的整点共有 __________个．， (1)A(2 ，2) ，B(2 ，－ 1)； (2)3； (3)C(5 ， 2)，D(5 ，－ 1)或 C(－ 1， 2)， D(－ 1， 【解法指 】 找 律，每个正方形四条 上的整点个数 S ＝ 8n ，－ 1)． 所以 S10＝ 8×10＝ 80 个． 【 式 】【 式 】01．如 ，四 形 ACBD 是平行四 形，且 AD ∥ x ， 01．如 所示，在平面直角坐 系中，第一次将△ OAB 成△明， A 、D 两点的 ___________坐 相等， 你依照 OA1B1 ，第二次将△ OA1B1 成 形写出 A 、 B 、 C 、 D 四点的坐 分 是 _________ 、 △ OA2B2 ，第三次将△ OA2B2 成_________、 ____________ 、____________ ．△ OA3B3 ．已知： A(1 ，2)， A1(2 ， 02．已知： A(0 ，4)， B( －3， 0)， C(3， 0)要画出平行四 2)，A2(4 ，2)，A3(8 ，2)，B(2 ，0)， 形 ABCD ， 依照 A 、 B 、C 三点的坐 ，写出第四 B1(4 ， 0)， B2(8， 0)， B3(16， 0)．个 点 D 的坐 ，你的答案是唯一的(1) 察每次 前后的三角形有03．已知： A(0 ， 4)， B(0 ，－ 1)，在坐 平面内求作一 何 化找出 律，按此 律再将三角形△OA3B3成△ OA4B4 ，点，使△ ABC 的面 5， 写出点 C 的坐 律．A4 的坐 是 ____________， B4 的坐 是 _____________；【例 6】平面直角坐 系，已知点A( － 3，－ 2)， B(0， 3)， C(－ 3， 2) ，求△ ABC(2)若按 (1) 找到的 律将△ OAB 行 n 次 ， 获取三角形△ OAnBn ，推 An的面 ．的 坐是 _____________ ， Bn 的 坐是1_____________．【解法指 】 由 AA1A2A3 、BB1B2B3 的坐 可知，【解法指 】 (1)三角形的面 ＝2×底×高．每 一次， 点 A 的横坐 乘以 2， 坐 不 ，(2) 通 三角形的 点做平行于坐 的平行 将不 的 形割 成 形，点 B 的横坐 乘以 2， 坐 不 ．1 1如 ，已知 A1(1 ，0)，A2(1 ，1)，A3( － 1，1)，A4( －尔后 算其面 ． Ｓ△ABC ＝Ｓ△ ABD ＝Ｓ△ BCD ＝ 2 ·3·5－ 2 ·3·1＝ 6．1， － 1)，A5(2 ， － 1)⋯ 点 A2010 的坐_______________．。

第1讲内角和初步基础回顾（一）三角形三边间关系1．若△ABC中，AB＝40，BC＝50，第三边长为x，则x的范围为________ ．2．已知等腰△ABC的周长为20，一边为5，求另两边的长．3．如图，AB＝AC，△ABC的周长为16cm，中线BD将△ABC分成的两个三角形，周长差为2cm, 求△ABC三边的长．4．有4m和6m的两根小棒，请你再找一根小棒，并以这三根小棒为边围成一个三角形，求第三根小棒的长x cm的取值范围．5．已知等腰三角形一边长3cm，另一边长6cm，求三角形的周长.6．已知△ABC周长为10，三边长为整数，求三边．7．已知三角形△ABC，AB＝3 , AC＝8，BC长为奇数，求BC的长.（二）三角形重要线段1．中线8．如图AD为△ABC的中线，点E为AD上一点，求证：S△ABE＝S△ACE.9．如图AD、BE、CF为△ABC的三条中线，求证：16BOD ABCS S .10.如图，△ABC的面积是60，AD:DC＝1:3，BE:ED＝4:1，EF:FC＝4:5，求△BEF的面积．2.高11．(1)如图，作出△ABC三边上的高AD、CE、BF;(2)若AB＝2AC，求BFCE的值方法运用25，求∠A12．如图，AB∥CD，∠C＝∠E＝063，求∠DAC的13.如图，△ABC中，D是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝0度数．14.已知，如图，点P是△ABC内一点，连接PB、PC，请比较∠BPC与∠A的大小？并说明理由．90，CD是AB边上的高，AB＝10cm，BC＝8cm，15.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝0AC＝6cm，求：(1)CD的长；(2)△ABC的角平分线AE交CD于点F，交BC于E点，求证：∠CFE＝∠CEF．16．如右图，∠A ＝040，∠B ＝020，∠C ＝030，求∠BPC.17．如右图，在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝2∠C ，AD 、BE 为角平分线①求∠C ； ②求∠APE .18．如图△ABC ，∠B 、∠C 的外角平分线相交于P 点， 若∠P ＝080，求∠A ．19．如图，∠A ＝∠ABD ，∠C ＝∠BDC ＝∠ABC ，求∠A.20、如图，∠D ＝040，∠C ＝030，AE 、BE 平分∠DAC 、∠CBD ，求∠AEB.21．如图，在直角坐标系中，已知B (b ，0)，C (0，c )，且2|3|(28)0b c(1)求B 、C 坐标；(2)点A 、D 是第二象限的点.点M 、N 分别是x 轴和y 轴负半轴上的点，∠ABM ＝∠CBO ，CD ∥AB ,MC 、NB 所在直线分别交AB 、CD 于E 、F ，若∠MEA ＝070，∠NFC ＝030，求∠CMB －∠CNF 的值；(3)如图，AB ∥CD ，Q 是CD 上一动点，CP 平分∠DCB ，BQ 与CP 交于点P ， 求DQB QBC QPC的值.第2讲三角形内角和专题基础回顾1.如图，△ABC中，BD是角平分线，CE是高，BD、CE相交于点F. ∠BCE＝2∠ACE，120，求∠ABF及∠A的度数．∠BFC＝036，求∠BED 2．如图，已知：AE平分∠BAC，BE⊥AE，垂足为E，ED∥AC，若∠BAE＝0的度数.3．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CD平分∠ACB，CE⊥AB交AB的延长线于点E，若∠1:∠DCE＝2:3，求∠A的度数．4．如下两图是一幅三角板叠放在一起，求a .5．如图所示，三角形纸片ABC 中，∠A ＝065， ∠B ＝075，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC 内，若∠1＝020，则∠2的度数是_________.6．如图，∠B －∠C ＝030，AD 为高，AE 为角平分线，求∠DAE .7．如图，△ABC 三条角平分线相交于O ，OE ⊥BC ，∠BOD ＝040，求∠COE .二、与平行线结合8.如图，点E在CA延长线上，DE、AB交于F，且∠BDE＝∠AEF，∠B＝∠C(1)说明AB与CD的位置关系，并予以证明；40，求∠G．(2) ∠EAF、∠BDF的平分线交于G，∠EDC＝09．如图，AB∥CD，P A平分∠BAC，PC平分∠ACD，过P点作PM、PE交CD于M，交AB于E．(1)求证：P A⊥PC；(2)当E、M在AB、CD上运动时，求∠3＋∠4－∠1－∠2的值．90．10.如图，AB∥CD，∠AEC＝0(1)当CE平分∠ACD时，求证：AE平分∠BAC；(2)移动直角顶点E点，如图，∠MCE＝∠ECD，当E点转动时，问∠BAE与∠MCG是否存在确定的数量关系，并证明．三、基本图形变式11、如图AC平分∠OAB，BD平分△ABO的一个外角，AD⊥BD于D点，求∠CAD12．如图P A、PB分别平分△AOB的两个外角，AE⊥PB，求∠P AE.13．如图BD平分∠OBC，AD平分∠OAC，∠C＝080，求∠D的大小．14.如图x轴、y轴分别平分∠DBC、∠EAD，求∠AED＋∠BCD的值.问题探究15．平面直角坐标系中，OP平分∠xOy，B为y轴上一点，D为第四象限内一点，BD交x 轴于C，过D作DE∥OP交x轴于点E，CA平分∠BCE交OP于A.(1)若∠D＝750，如图1，求∠OAC的度数；(2)若AC、ED的延长线交于F，如图2，则∠F与∠OBC是否具有确定的相等关系？请写出这种关系，并证明你的结论；(3) ∠BDE的平分线交OP于G；，交直线AC于M，如图3，以下两个结论：①∠GMA ＝∠GAM；②2OGD OEDOAC为定值，其中只有一个结论是正确的，请确定正确的结论，并给出证明.16.如图在平面直角坐标系中，AB交y轴于点C，连结OB．(1) A（－2，0），B(2，4)，求△AOB的面积及点C的坐标；(2)点D在x轴上，∠OBD＝∠OBC，求BDA BADBOC的值；(3)BM⊥x轴于点M，N在y轴上，∠MNB＝∠MBN，点P在x轴上，∠MNP＝∠MPN，求∠BNP的度数．第3讲三角形、多边形的内角和、外角和基础回顾（一）利用三角形的内角和解决下面问题（不作平行线）1. 如图，已知AB//CD，求∠BEC.2. 如图，已知AB//CD，求∠ABF.3. 如图，已知AB//CD，求∠BEC.（二）特殊到一般4. 如图，△ABC中∠B＞∠A，CD为角平分线，点E在CD上，EF⊥AB于F点. （1）若∠B＝600，∠A＝400，求∠DEF；（2）若∠DEF＝ ，求∠B－∠A的值.5. 如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC于D点.（1）若∠A＝200，求∠CBD的大小；（2）若∠A＝ ，求∠CBD的大小.（三）设未知数列方程6. 如图，在△ABC中，∠CAB＝∠B＝∠ACD，∠BCD＝∠CDB，AE为BC边上高，求∠CAE.7. 如图，△ABC中，∠ACE＝∠AEC，∠BCD＝∠CDB，∠DCE＝400，求∠ACB.（四）多边形的内角和外角和8. 一个多边形内角和为5400，求边数.9. 多边形内角和与外角和之比为9:2，求边数.10. 多边形每个外角相等且为150，求边数.11.（1）如图，∠A＝∠B，∠C＝∠D，求证：AB//CD.（2）已知∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：①AD//BC；②AB//CD.12. 如图所示，试说明：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝3600.13. 如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝900，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE与DF有怎样的位置关系？为什么？14. 如图，∠1＝600，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F .方法运用15. 如图，在平面直角坐标系中，D (－3，0)、F (0，4) .（1）求ODF S ；（2）将等腰直角三角板△ABC 如图放置，且∠1＝∠2，求证：∠FMN ＝∠FNM（3）在（2）中探求∠DFO 与∠CBD 的相等的数量关系并证明.16. 如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在y 轴、x 轴上，点D 在AB 上，DF ⊥AB交y 轴于E 点，交x 轴于F 点，∠BAO 、∠BFD 的平分线相交于C 点.（1）求证：∠BAO ＝∠BFD ；（2）问AC 与CF 的位置关系，并证明.17. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝900，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于G ，交BE 于H .求证：（1）CBE ABE S S ∆∆=； （2）∠AFG ＝∠AGF ； （3）∠FAG ＝2∠ACF .18. 如图，CD 是△ABC 的角平分线，AE 是高，CD 交AE 于O ，∠B ＝∠BAC .求证：（1）CD ⊥AB ； （2）∠ACB ＝2∠BAE ；（3）∠EOC ＝∠BAC ； （4）AE BC CD AB ⋅=⋅；问题探究19. 如图AD//BC ，DE 平分∠ADB 、∠BDC ＝∠BCD .（1）求证：∠1＋∠2＝900；（2）BF 平分∠ABD 交CD 的延长线于F 点，若∠ABC ＝700，求∠F 的大小；（3）若H 是BC 上一动点，F 是BA 延长线上一点，FH 交BD 于M ，FG 平分∠BFH ，交DE 于N ，交BC 于G. 当H 在BC 上运动时（不与B 重合）， 求证：DNGDMH BAD ∠∠+∠的值为定值.第4讲平面镶嵌与小结复习基础回顾1. 杨老师家客厅用正方形和正三角形镶嵌地面，则一个顶点周围正三角形、正方形个数为___________；2. 一个正n边形与一个正方形，一个正六边形构成一个平面镶嵌，则n的值为____________；3. 在△ABC中，AD、BE为高，M为AD、BE所在直线的交点，∠BMD＝500，求∠C的大小（画图说明）.4. 若一个角的两边与另一个角两边互相垂直，则这两个角有何关系，画图说明.5. 在平面直角坐标系中，AC为角平分线，CD//AB，且CD平分∠ACO.（1）求∠B的大小；（2）点E是第二象限内一动点，若∠AEO、∠ABO的平分线相交于点F，且∠EFB＝200，问：①∠EOB－∠BAE不变；②∠EOB＋∠BAE不变，选择正确的证明.6. 如图，△ABO 为等腰直角三角形，A (－1,3)，B (2，m ) .（1）5=∆AOB S ，求m ；（2）如图，E 点在x 轴上，且∠1＝∠2，求证: ∠3＝∠4；（3）如图，若PC 平分∠BCO ，OP 平分∠BOX ，求∠P 的大小.7. 如图，∠BAE ＝∠AEB ，∠CAD ＝∠ADC ，∠DAE ＝200，求∠BAC 的大小.8. 如图所示，已知∠3＋∠DCB ＝1800，∠1＝∠2，∠CME : ∠GEM ＝4:5，求∠CME 的度数.方法运用9. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E.（1）若∠B＝350, ∠ACB＝850，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明.10. 如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P，若∠A＝500，∠D＝100，求∠P的度数.11. 四边形ABCD的两组对边AD、BC与AB、DC延长线分别交于E、F，∠AEB、∠AFD的平分线交于点P，∠A＝640, ∠BCD＝1360.求证：（1）∠EPF＝1000；（2）∠ADC＋∠ABC＝1600；（3）∠PEB＋∠PFC＋∠EPF＝1360；（4）∠PEB＋∠PFC＝360；12. 如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于点G，若∠BDC＝1400, ∠BGC＝1100，求∠A的度数.13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且∠ADE＝∠AED.（1）求证：∠BAD＝2∠CDE；（2）如图，若D在BC的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.14. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值.15. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于A点，交y轴于B点，点C是直线AB上一动点.（1）若∠OAB比∠OBA大200，OC⊥AB，求∠AOC的度数.（2）过点C作直线交y轴的负半轴于N，AM平分∠BAO，BM平分∠OBN，当A点在x 轴负半轴上运动时，∠AMB的值是否发生变化？若不变求出∠AMB的度数；若变化请说明理由；（3）沿AB、OB放置两面镜子，从O点发出的光线AB、OB两次反射后，反射光线DF 与入射光线OP交于E点.若∠OAB＝450，下面两个结论：①DF//AB，②DF⊥OP.其中有且只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并说明理由.16. 一个外角等于720的正多边形的周长为45cm，求它的边长.17. 两个正方形连成如图所示，求x的度数.18. 如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数.问题探究19. 如图，AE 平分∠BAO ，∠ABF ＝3∠FBE ，EF 平分∠AEO ，求∠BFE .20. 在平面直角坐标系中，B (2，0)，A (6，6)，M (0，6)，P 点为y 轴上一动点.（1）当P 在线段OM 上运动时，是否存在一个P 使PAB POB PAM S S S ∆∆∆=+，若存在求出P 点的坐标，不存在，试说明理由；（2）当P 在线段OM 上运动时，PBOPAM APB∠+∠∠的值是否为定值，若是，试求解，若不是，试说明理由；（3）当P 点运动到x 轴下方时，试判断∠PAM 、∠APB 、∠PBO 三者之间的数量关系，并证明；21. 在平面直角坐标系中，A (0，1)，B (4，1)，为x 半轴上一点且AC 平分∠OAB . （1）求证：∠OAC ＝∠OCA ；（2）若分别作∠AOC 的三等分线及∠OCA 的外角的二等分线交于P ，即满足∠POC ＝31∠AOC ，∠PCE ＝31∠ACE ，求∠P 的大小； （3）在（2）中，若射线OP 、CP 满足∠POC ＝n 1∠AOC ，∠PCE ＝n1∠ACE ，猜想∠OPC 的大小，并证明你的结论（用含n 的式子表示）.第5讲 全等三角形判定方法专题（一）本讲知识归纳1. 形状、大小相同的两个三角形放在一起能够完全重合，称这样的两个三角形叫做全等三角形.2. 如图，平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等.3. 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等.4. 全等三角形的判定方法：（1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）；（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）； （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）； （4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）.基础回顾例1 如图，已知，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE =BF ，AF =CE .求证：AB ∥DC .CDB AEF分析：从要证明的结论入手，要证AB ∥DC ，转化为证∠C =∠A ；要证∠C =∠A ，只要证△ABF ≌△CDE ；要证△ABF ≌△CDE ，只要有两边和它们的夹角对应相等. 显然，这与已知条件相吻合. 证明：BAFEC DBA点评：探求证明题的思路，有两种较常见的方法. 从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、公理，逐步退出要证的结论，这种方法叫综合法. 有时“顺着”已知条件去证会产生一定困难，这时我们可采用与综合法的思考顺序相反的方法——分析法，去探求证题的途径. 分析法的思路是：从要证明的结论出发，根据已学过的知识，倒过来寻找使结论成立所需的条件，这样一步一步地逆求，一直追溯到结论成立所需的条件与已知条件或已学过的一些结论相吻合，这种方法可简单地说成“要什么，找什么，向已知条件靠拢”. 分析法是探求证题思路的一种非常有效的方法. 本例的“分析”便是运用的分析法，探求的过程大致如下：AB ∥CD⇑∠A =∠C⇑△ABF ≌△CDEAF CE DE BF AFB CED ==∠=∠⇑，，⇑BF ⊥AC ， DE ⊥AC例2 如图，已知AB =CD ，AB ∥CD ，BE =DF ，E 、F 是BD 上两点，求证：∠DAE =∠BCF .CD BAE F分析：要证∠DAE =∠BCF ，可考虑△ADE ≌△BCF . 目前由BE =DF 得到DE =BF 可用，其它所需要另行解决. 结合条件，可以证明△AEB ≌△CED ，直接得到AE =CF ，间接地可以得到∠AED =∠CFB . △ADE ≌△BCF 的条件就都具备了. 证明：点评：本题将分析法与综合法结合起来，这种既从条件着手，又从结论逆向探索的方法称为分析综合法，这是一种最为有效和最常用的思考方法.1. 如图，已知，AC 、BD 相交于O ，AE =FC ，AO =OC ，BO =OD . 求证：∠1=∠2.C DAOF 21BE2. 如图，已知BE 、CF 分别是△ABC 的AC 、AB 边上的高. 在BE 的延长线上取点P ，使BP =AC ，在CF 的延长线上取点Q ，使CQ =AB . 求证：AQ ⊥AP .QPCBAEF方法运用例3 如图，已知D 是△ABC 的边BC 上的一点，且CD =AB ，∠BDA =∠BAD ，AE 是△ABD 的中线. 求证：AC =2AE .CDBAEF分析：要证AC =2AE ，可先构造出2AE ，即延长AE 至F ，使EF =AE ，于是问题转化为证AC =AF . 考虑证△AFD ≌△ACD ，直接证较困难，结合条件，可先证△EFD ≌△EAB .证明：点评：（1）若从条件“AE 是△ABD 的中线”出发，本题作辅助线的方法可概括为“倍长中线法”.今后，当遇有中线条件时，可尝试运用，中线倍长后，立即出现一对全等三角形.（2）从结论上看，本题属“线段的和差倍分”问题，常用“截长补短”来解决，本例上面提供的证法属于“补短法”. 当然，在学了等腰三角形知识和中位线定理后，也可运用“截长法”，即取AC 的中点G ，连DG ，再由三角形全等得AE =AG .例4 如图，已知，AB =DE ，BC =EF ，CD =FA ，∠A =∠D . 求证：∠C =∠F .CD B AEF分析：由已知条件AB =DE 、CD =FA 和∠A =∠D ，观察图形，若连BF 、EC ，可得到△ABF≌△DEC .对比求证的∠C =∠F .，命题转化为求证∠BFE =∠ECB . 于是继续连接BE ，考虑证△BEF ≌△EBC .证明：点评：本题再次体现了分析综合法（即“两头凑”）的方法，解决问题的合理、准确性，避免了“撞南墙，不回头”现象，学会及时、正确调整解题方向，是解决较复杂问题的前提.3. 如图，已知，AB =AE ，BC =DE ，∠B =∠E ，M 为CD 的中点. 求证：AM 平分∠BAE .M CDBAE4. 如图，△ABC 为直角三角形，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于F ，交AB 于E ，FG ∥BC 交AB 于G ，AE =3，AB =8，求EG 的长.GC DBAE F问题探究例5 如图，△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为AC 中点，F 为BC 上一点，∠ADB =∠FDC . 试判断AF 与BD 的位置关系，并说明理由.GM21CDBAE F分析：猜想AF ⊥BD . 要证明这一猜想，可转化为证∠1=∠2，观察图形，现有的三角形中，难以通过全等解决，需要构造全等三角形. 注意△ABC 是一个等腰直角三角形，尝试作斜边BC 上的高AG ，交BD 于M ，得到两个新的等腰直角三角形ACG 和等腰直角三角形ABG ，结合条件，得到△CDF ≌△ADM ，进而，可证明△ACF ≌△BAM ，得证.解：点评：构造三角形全等解决问题，是几何中的一个难点. 在作辅助线时，应紧紧围绕已知条件进行. 本例中，作一条高线AG ，构造出两对全等三角形，因为它很好地融合了等腰直角三角形、角相等和中点等条件，形成了联接这些条件的真正“纽带”.例6 如图，点C 在线段AB 上，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，FC ⊥AB ，且DA =BC ，EB =AC ，FC =AB . 试探求∠AFB 与∠DFE 的数量关系.分析：∠AFB 与∠DFE 的数量关系不是很明显，先搁置一下. 从条件上看，线段相等较多，考虑是否有全等三角形. 结合图形，显然有△ACF ≌△EBA 、△BCF ≌△DAB ，于是得到两个等腰直角△AEF 和△BDF . 所以，4545AFB DFE ∠=︒+︒-∠，即90AFB DFE ∠+∠=︒解：CDB AEF点评：当一个命题中的条件较多时，往往是从条件出发，得出一些结论，达到化繁为简的目的，这便是综合法的好处.5. 将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC 和△DEF . 将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .CDAO B (E )B (E )CDFF AO CDBA EF图 ① 图 ② 图 ③（1）当旋转至如图②位置，点B （E ），C ，D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是 ；（2）当△DEF 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）在图③中，连接BO 、AD ，BO 与AD 之间有怎样的位置关系，并证明.6. 已知：AC =BC ，AC ⊥BC （∠CAB =∠B =45°），AE 为中线，CN ⊥AE ，交AE 于M ，交AB 于N . 求证：CN EN AE +=.NAMOCDBE7. 已知：如图，AB =AC ，AB ⊥AC ，AD =AE ，AD ⊥AE ，点M 为CD 的中点. 求证：12AM BE =. AC DB E第6讲全等三角形判定方法专题（二）本讲知识归纳1. 一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS四种；2. 直角三角形的全等，除了上述四种判定方法外，还有独有的一种判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“斜边、直角边”或“HL”）.基础回顾例1如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且AE=AF，连接EF. 求证：AD垂直平分EF.分析：从条件出发，由“HL”判定方法可证△AED≌△AFD，得∠1=∠2. 进而得△AEO≌△AFO.证明：21E BF AOC D点评：直角三角形的全等判定方法最多，一共有五个，其中的“HL”方法是直角三角形所独有的，要注意运用多种方法证明两个直角三角形全等.例2如图，△ABC的高BD、CE相交于O，且OD=OE. 求证：AB=AC.分析：由条件联想“HL”判定方法，容易想到连接AO，便有Rt△ADO≌Rt△AEO，得到AD=AE. 于是要证明AB=AC，可转化为证△ABD≌△ACE，运用“AAS”方法易证.证明：EBAOCD点评：由已知条件能够得到什么，要求证的结论需要什么，两者若能“接通”，就得到了证明思路，这种思维方法就是前面多次提到的分析综合法（“两头凑”）.1. 如图，已知，AD ⊥BD ，AE ⊥EC ，AD =AE ，AB =AC ，BD 、CE 交于点O . 求证： （1）BD =CE ；（2）OE =OD ；（3）BE =CD .E BAO CD2. 如图，AD 、BE 是△ABC 的两条高，它们交于点F ，且BF =AC ，CD =DF ，ED 平分∠BEC .求证： ∠ABE =∠ADE .EBFAC D方法运用例3 如图，正方形ABCD 中，E 和F 分别是边BC 和CD 上的点，AG ⊥EF 于G ，若∠EAF =45°.求证：AG =AD .G H54321EB F ACD分析：要让AG =AD ，可考虑证Rt △AGF ≌Rt △ADF ，但还差一条边相等或锐角相等，得去挖掘条件∠EAF =45°的作用. 结合正方形ABCD 的条件，当∠EAF =45°时，1245∠+∠=︒，应考虑通过构造三角形全等，把∠1与∠2移到一起. 于是，延长CD 至H 使DH =BE ，则△ADH ≌△ABE . 进而易证△AEF ≌△AHF ，得∠4=∠5，得证. 证明：点评：本题通过构造△ADH 与△ABE 全等，使得问题迎刃而解. 所构造的△ADH 相当于将△ABE 绕A 点旋转90°而得到，所以辅助线也可以表述为：将△ABE 绕A 点逆时针旋转90°至△ADH ，由正方形性质得C 、D 、H 共线. 习惯上称这种探求思路的方法为“旋转法”. “旋转法”的一个优点是将分散的角或线段集中在一起，便于问题的解集. 要予以说明的是，“旋转法”主要是在思维方式上的，在具体交待辅助线作法中，较少采用“旋转方式”，更多的是以延长线段或作角相等来构造全等.例4 如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形. 以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连接MN ，试求△AMN 的周长.分析：由于∠MDN =60°，∠BDC =120°，所以60BDM CDN ∠+∠=︒. 注意到DB =DC ，考虑运用“旋转法”将∠BDM 和∠CDN 移到一起，寻找全等三角形. 两一方面，△AMN 的周长AM AN MN AB AC MN BM CN =++=++--. 猜想MN BM CN =+，证三角形全等解决.解：P321NBAM C D点评：运用“旋转法”，可将分散的元素（如角或线段）集中起来，为利用条件提供便利. “旋转法”常用于等边三角形、正方形、等腰三角形等特殊图形中.3. 已知：△ACB 为等腰直角三角形，点P 在AC 上，连BP ，过B 点作BE ⊥BP ，BE =PB ，连AE 交BC 于F .（1）如图①，问PA 与CF 有何数量关系，并证明；（2）如图②，若点P 在CA 的延长线上，问上结论是否仍成立，画图证明.PCPEBF AC图① 图②问题探究例5 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等. 那么，在什么情况下，它们会全等？ （1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）. 对于这两个三角形均为锐角三角形，试证明它们全等. （2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论.分析：（1）画出图形，并结合图形将条件具体化. 如图为两个锐角三角形，AB =A 1B 1，BC =B 1C 1，∠C =∠C 1. 注意到角相等，可作高构造直角三角形全等（△BDC ≌△B 1D 1C 1），进而另一对直角三角形也全等（△ABD ≌△A 1B 1D 1），得∠A =∠A 1，问题得证.D 1C 1B 1A 1B AC D（2）（1）的本质是就这一问题进行分类讨论，从讨论的结果来看，满足条件的同类的两个三角形全等.证明：点评：在八年级课本中，我们知道了“SSA ”不能作为两个三角形全等的依据，但没有弄清楚“SSA ”中的全等情形，本例既让我们深入认识了“SSA ”，又让我们学到探究问题的一种思维方法——分类讨论.例6 如图，已知(2,0)A -.（1）如图①，以A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ，若(0,4)B -，求C 点坐标；（2）如图②，P 为y 轴负半轴上一个动点，以P 为顶点，PA 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点. 当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，试问OP DE -的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由.（3）如图③，已知F 点坐标为(4,4)--，G 是y 轴负半轴上一点，以FG 为直角边作等腰Rt △FGH ，H 点在x 轴上，∠GFH =90°. 设(0,)G m ，(,0)H n ，当G 点在y 轴负半轴上沿负方向运动时，m n +的值是否变化？若不变，求其值；若变化，说明理由.图① 图② 图③ 分析：（1）将求C 点坐标转化为求相关线段长度，过C 作CH ⊥x 轴于H ，得△ACH ≌△BAO ，求出线段CH 、OH 的长度.（2）欲求“OP DE -”的值，结合等腰Rt △APD 的条件，考虑到垂线段构造三角形全等. 如作DF ⊥y 轴于F ，得△DPF ≌△PAO ，进行线段转换后，可求出OP DE -的值.（3）点(4,4)F --到两坐标轴的距离相等，过F 点作x 轴、y 轴的垂线段FM 、FN ，得到△FGN ≌△FHM ，GN =HM . 用m 、n 表示出这一等量关系，即得m 、n 之间的关系.解：点评：（1）过等腰直角三角形的顶点，作相关直线的垂线段，就可构造全等三角形； （2）求点的坐标的一种方法是转化为求相关线段的长度；（3）求两个点坐标之间关系的一种方法是从几何方面得到相关线段的等量关系，再用坐标表示出线段的长度.4. 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形，∠MDN =60°，点M 在AB 的延长线上，点N 在CA 的延长线上，连接MN . 试探求线段BM 、MN 、CN 之间的数量关系，并予以证明.AB CNMD5. 如图，AC ⊥CB ，AD 为△ABC 的中线，CG 为高，DE ⊥AD ，BC =2AC . 求证：AD DF DE =+.GABCEFD6. 如图，等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，已知(0,2)A 、(5,0)C . （1）如图①，求点B 的坐标；（2）如图②，BF 在△ABC 的内部且过B 点的任意一条射线，过A 作AM ⊥BF 于M ，过C作CN ⊥BF 于N 点，写出BN NC 与AM 之间的数量关系，并证明你的结论.A BCA y xOxy BCF NMO图① 图②第7讲 全等三角形判定方法专题（三）1．如图，点C ．E 分别为∆ABD 的边BD 、AB 上两点，且AE ＝AD ，CE ＝CD ． ∠D ＝070，∠ECD ＝0150，求∠B 的度数．2．如图，∠1＝∠2, ∠3＝∠4，点B 、D 、C 、F 在一条直线上，EF ⊥AD 于E ， (1) 求证：∠ADF ＝∠DAF ; (2) 求证：AE ＝DE .3．已知AC ＝BC ，AC ⊥BC ，CD ＝CE ，CD ⊥CE ，连AD 、BE ，求证： (1) AD ＝BE ： (2) AD ⊥BE .4．已知△ACB和△CDE都为等腰直角三角形，连AE、BD，求证：(1) AE＝BD;(2) AE⊥BD.（一）作垂线构造直角全等三角形5.已知AC＝BC，AC⊥BC，过C点任意作直线l，过A点、B点分别作l的垂线AM、BN，垂足为M、N．若AM＝2，BN＝4，求MN的长．6.已知AC＝BC，AC⊥BC，BD为∠B的平分线，AE⊥BD，垂足为E点，求证：BD＝2AE90，AC＝BC，AE平分∠BAC，BD⊥AE，垂足7.如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝0为D点．(1) 求证：CD＝BD；(2) 求∠CDA的大小、8.如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB ＝090，AC ＝BC ，AE 平分∠BAC ，∠CDA ＝045，求证：AD ⊥BD ．9.如图Rt △ACB 中，∠ACB ＝090，∠CAB ＝030，以AC 、AB 的边向外作等边三角形△ACE 和△ABD ，连DE 交AB 于M .求证：ME ＝DM .（二）利用直角坐标系构建全等的直角三角形10.如图△ACB 为等腰直兔三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A (0，3)，C (1，0)，求B 点的坐标．11.如图△ACB 为等腰直角三角形，A （－1，0），C (1，3)，求B 点坐标．12. 如图P(2，2)，BC⊥AP.(1) 求OM＋OC的值；(2) 求OB－OA的值．13.如图，OA为第一象限的角平分线，点E在y轴上，∠OEF＝∠AOF，FE⊥OF交OA于M 点．求证：EM＝2OF90，AB＝AD，∠EAF＝α, ∠BAD＝2α.14.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝0求证：EF＝BE＋DF.45，交AC于E，交BC于F点，15.已知∆ACB为等腰直角三角形，D为BD的中点，∠EDF＝0连EF.(1) 求证：CD⊥AB；(2) 求证：CE＋EF＝BF．第8讲全等三角形与角平分线知识点归纳1．角平分线的性质(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等；(2)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．2．三角形三内角平分线交于一点（三角形的内心），这点到三角形三边的距离相等．基础回顾例1如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P是BD上一点，PM⊥AD于M，PN⊥CD 于N，求证：PM＝PN.分析：要证PM＝PN，联想角平分线性质，可考虑证DP平分∠ADC. 注意到BD平分∠ABC和AB＝BC的条件，易证△ABD≌△CBD.于是问题解决．证明：例2. 设P为∆ABC中∠B与∠C两个外角平分线的交点，试探讨点P与∠A的平分线的关系.【练习1】如图，已知∠ACB ＝090，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，BD ＝DF 交CA 的延长线于F 点，求证：BE ＝AE ＋AF .【练习2】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝21(AB ＋AD )．求∠ABC ＋∠ADC 的度数.例3 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于E ，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 交AC 延长线于G ，求证：AB ＋AC ＝2AF .分析：由DE 垂直平分BC ，连结EB 、EC ，得EB ＝EC .由AE 平分∠BAC ，过E 作 ∠BAC 两边的垂线段，得EF ＝EG .于是Rt △BEF ≌Rt △CEG ，得BF ＝CG .易证△AFE ≌△AGE ，得AF ＝AG .问题得证.证明：点评：当遇到角平分线时，过角平分线上一点向角的两边作垂线段是一个很好的方向，这样一来就可以运用“角平分线的性质”，得到相等的线段，往往容易形成全等形，为寻找证题思路作好了铺垫．例4 如图，△AOB 为等腰直角三角形，点P 为动点，PA ⊥PB .(1) 如图(1)，为P 点在第一象限时，求∠OPA ；(2) 如图(2)，为P 点在第四象限时，求∠OPA .解：点评：本例中辅助线的本质，运用角平分线的逆定理作垂线【练习1】如图，在∆ABC 中，∠ABC ＝0100，∠ACB ＝020，CE 平分∠ACB 交AB 于E ，D 在AC 上，且∠CBD ＝020，求∠CED 的度数.【练习2】如图，已知，∆ABC 中，∠A ＝060，BD 、CE 是△ABC 的两条角平分线， 求证：BC ＝CD ＋BE .例5如图，正方形ABOC，点M、N分别在AB、AC上．(1)若∠NMO＝∠MOC，问△AMN的周长是否变化，若不变，请求其值；(2)若点M在AB延长线上，点N在CA的延长线上，其它条件不变，问CN、MN、BM 三者存在怎样的关系，试证明，解：点评：(1)直角坐标系背景下的几何问题，注意挖掘点的坐标所隐含的几何关系：(2)强化通过证角平分线达到证垂线段相等的意识．90．AM⊥AB，MA⊥AC，PQ⊥AB，且AQ＝MN.例6 如图，∠C＝0求证：PC＝AN.【练习1】分别以∆ABC的AB、AC为边向外作等边∆ABD和等边∆ACE，连结CD、BE交于F．求证：AF平分∠DFE【练习2】如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α.60，且点D在AC上，连BD、AE，相交于点G，如图①，求∠BGA；(1) 当α＝090，如图②，求∠BGC.(2) 若00＜α＜0【练习3】如图所示，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B、C，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D．90，如图1，则∠BDC＝___________;(1) 若∠MON＝060，如图2，则∠BDC＝___________;(2) 若∠MON＝0(3) 若∠MON＝α，如图3，∠BDC＝___________，请给予证明.第9讲角平分线、垂直平分线知识点归纳1. (1) 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(2) 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2．三角形三条边的垂直平分线交于一点（称为三角形的外心），这点到三角形三顶点的距离相等．例1已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于，P是AD上任一点．求证：PE＝PF.分析：显然，可以通过两次全等来证PE＝PF．从“垂直平分线”角度考虑，要证PE＝PF，转化为证AD垂直平分EF，易得DE＝DF，需证AE＝AF，因此证△ADE≌△ADF.证明：点评：运用线段垂直平分线性质，可减少证三角形全等的次数，使得问题解决变得简洁和“节省思维”例2如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点，交x轴于G．(1) 求∠AME；(2) 求证：AM＝MN;(3) 连FG，问FG与BE的位置关系并证明.解：。

第1讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译12形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、对顶角一共构成哪几对邻补角 【解法指导】反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、⑴∠ARC 的对顶角是 02问：当有100【例２】如图所示，点O ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝；∠BOE 的补角是：∠AOE.相交于点O ，OA 平分∠EOC ，的度数是（ ） C ．50° ＝∠2＝∠3＝62°，则∠4l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、的垂线.⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，A BCEF 143 2（第2题图）l 2垂线段是一条线段.【变式题组】01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线lA．4cm B．5cm C02路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时，距离村庄N⑵当汽车从A出发向B来越近..在【例４】如图，直线AB、CD65°，求∠BOE和∠AOCOF⊥AB．【变式题组】01．如图，若EO⊥AB于O∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠02．如图，O为直线AB⑴求∠AOC的度数；⑵试说明OD与AB03．如图，已知AB⊥BC于B︰∠ABD＝1︰2，请作出∠∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6：∠2和∠4：.）【例６】如图，根据下列条件，可推A BDCHＧEF丙12341AB C23456 7AB CDO⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内 角，有“ ”即有【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得【变式题组】 01．如图，推理填空. ⑴∵∠A ＝∠ ∴AC ∥ED （ ⑵∵∠C ＝∠ ∴AC ∥ED （ ⑶∵∠A ＝∠ ∴AB ∥DF （ 02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC ∴∠BAC ＝2∠1 又∵EF 平分∠DEC ∴ （ 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ∴AB ∥DE （ 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． 04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF.31° 试证：在所有的交角中a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2a1与a2010的位置关系P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝A BCDEA B C D EF 2 l 1l 2l 3l 4 l 5 l 6 图⑵10…则Sn ＝ . 演练巩固·反馈提高01A ．C 02．A 03A B C D 04（ ①段＞A ．05＝A ．4cm B ．5cm C ．小于4cm D ．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ . 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的 . CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试BCD ，∠⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．ABCDEFG H abc第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 8BA CDEBAB C DEF1214．如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥BC ．培优升级·奥赛检测01（ ）A ．1，3B ．0，1，3 1，2，302．平面上有10条直线，其中这10A ．60 B ． 55 C 03A ．35 B ． 40 C 04．如图，图上有6个点__________________交点. 05． 06．A ．3 B ．1或3 C D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6单说明画法 08．平面上有10怎么安排才能办到 09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ） A ．60° B ． 75° C ．90° D ．135°条直线如何安排才能满足下面的两.正确理解平行线的判定与性质定理 确定两. 中，AB ∥CD ， BC ∥AD . .AD ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁° ∴∠C ＝38° E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数为（ ）A ．155°B ．50°C ．45°D ．25°ABC03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行于β入射到α于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG⊥BC求证：AD平分∠BAC．∠1＝∠3）证明：∵EG⊥BC，AD⊥BC（垂直定义）∴EG∥AD∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD∴AD平分∠BAC【变式题组】01．如图，若AE⊥BC于E02．如图，在△ABC中，CE⊥ED，CE平分∠ACB．3．已知如图，AB∥CD，∠B的平分线. CM⊥CN，求：∠【例５】已知，如图，AB∥ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°【解法指导】从考虑360°比，联想周角.过点C作CD∥AB【证明】：过点C作CD∥AB180°(两直线平行，同旁内角互补) 行西30A 01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ） A ． ∠β＝∠α＋∠γ B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180° C ． ∠α＋∠02140°，求∠形A/B/C/. ⑷连: 【解】B/就是的B C/A/01形. 02．如图,＝4，现分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米） B 得方向是（ ） B ．南偏东60°D ．北偏西60° ） D ．4个B ．第一次向右拐50°，第二次D ．第一次向左拐60°，第二次C ．内错角相等D ．同⑷]A．①②B 06．在A、B是南偏东52°.现A．北偏东52°07车轮的转动）A．1种B．080910．如图，AD∥为射线AD（F E B A C GD有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与置.03高AA1＝2cm. 平移的距离是___________. 04的边长均为a A1A2向右平移1形A1A2B2B1 [A3向右平移1部分如图⑵];单位，从而得到＝________.多少 05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或个点A1、A2、…、A10，B9，将a 上每一点与b 则这些 C ．6480，EF 平分∠BEC ，EG ⊥、EG 三等分∠AEC ． 问：，E 、否随之发生变化若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA若存在，10．平面上有511．如图，正方形ABCD段为对角线作小正方形，这n12．如图将面积为a2法如何求出阴影部分面积第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若2x＝a(a≥0)则x叫做a方根为x a做a的算术平方根．若x3＝a，则x叫做a2．点一一对应．q≠0）的形式．3非负数：负数．即a>0，2na≥0（n经典·考题·赏析【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．∵2m ?4．____．b满足∴a－3≥0=．∴()22030ba b+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32ab=⎧⎨=-⎩，故选C．【变式题组】0l02(b-03．（天津）若x、y A．1 B．－104．已知xA．11π-B．1【例3】若a、b 根．1 a b-=+∴1a b-=⎧⎪=a⎧⎪=，∴1312ab=⎧⎨=⎩，a ＋b＝12 ＋13＝25．∴a＋b的平方根为：5==±．2）m＋(3－＋且满足方程（123π+）x＋（132π+）是9的平方根，且a b b a-=-，?2＝整数部分?2．∵a＝4，即a＋b＝6．b，则a＋b的值为____．a）·b＝____．0l．下列说法正确的是( )A．－2是(－2)2的算术平方根B．3是－9的算术平方根C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±302．设a=b＝－2，c=A．a<b<c B．a<c<b C 03A．－9与81的平方根B．04．在实数1.414，，0.1•5•A．2个B．3个C．405．实数a、bA．b>a B．aC．－a＜b D．－06的有( )A．1个B．2个C．07．设m n＝A. m＝±nB.m＝n C .m08．（烟台）如图，数轴上A、点A的对称点C，则点CA．－2B．－1C．－2 D．l09．点A B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离为____．1，3，那么至少要选____个数．a※b＝，____．且<b，则a＋b＝____．a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝213a+在数轴上对应的点分别是A、____．P．点P表示的实数为－1．如P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y＋x、y．17．已知2a?1的平方根是±3，3a ＋b?1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b 315a - 153a - ＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn?2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x 、y 为实数，且（x?y ＋1）2与533x y --互为相反数，求22x y +的值．培优升级 奥赛检测 01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a?3，则a 值为( )A ． 2B ．－1 ． 1 D ． 0 02．x ＋1x -＋2x -的最小值是( )A ．0B ． 12 1 D ． 2 0353x +?2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a2＋3b ＋33a ＋b ＝____．05．若a b-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____．06．已知实数a 满足20092010a a a-+-=，则a? 20092＝_______．m满足关系式3523199199x y m x y m x y x +--++-=-+--，试确定m的值．08．（全国联赛）若a 、b 满足35a b+＝7，S ＝23a b，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y 231x a =-，231x y b -=--，求22x ya b +++的值．第14讲 平面直角坐标系（一） 考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性． 【变式题组】01．第三象限的点P(x ，y)，满足|x|＝5,2x ＋|y|＝1，则点P 得坐标是-_____________．02．在平面直角坐标系中，如果象限.03A(－3，0)，B(－2，－13)，【例2】若点P(a ，b)A ．第一象限 B 象限【解法指导】∵P(a ，b)选C ．【变式题组】01．若点G(a ，2－a)A ．a ＜0 B ．a ＜2 ＞202．如果点P(3x －２，２－x)03．若点P(x ，y)满足xy ＞004．已知点P(2a －8，2－a)【例３】已知A 点与点B(－3的坐标．【解法指导】关于x 互为相反数，关于y 相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x 轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y 轴对称的点的坐标为____________． 03．P(a ，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m －１) 关于原点对称的点在第四象限，则m 的取值范围是N(a ，b) 关于y 轴对称的点____________．y 轴的距离是|x|．则P 到轴的距Q 到x 轴的距离分别是_________，y 轴的距离的________倍． P 点的坐标是__________． y 轴的距离相等，求m 的a 的值．∥x 轴，求m 的值，并确定n 的取B 两点． ；_________；x 轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB ∥y ，，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)． 【变式题组】01．如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC的面积．【解法指导】(1)三角形的面积＝12×底×高．(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△ABC＝Ｓ△ABD＝Ｓ△BCD＝12·3·5－12·3·1＝6．【变式题组】01．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(―3，―1)，B(1，3)，C(2，－3)，△ABC的面积．02．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形ABDC的面积．03．已知：A(－3，0)，B(3，0)，C(－2，2)，若D点在y轴上，且点A、B、C、D四点所组成的四边形的面积为15，求D点的坐标．【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2……每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有__________个．【解法指导】寻找规律，每个正方形四条边上的整点个数为S＝8n，所以S10＝8×10＝80个．【变式题组】01．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变成△OA3B3．已知：A(1，2)，A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化找出规律，按此规律再将三角形△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是____________，B4的坐标是_____________；(2)若按(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到三角形△OAnBn，推测An的坐标是_____________，Bn的坐标是_____________．【解法指导】由AA1A2A3、BB1B2B3的坐标可知，每变换一次，顶点A的横坐标乘以2，纵坐标不变，顶点B的横坐标乘以2，纵坐标不变．如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)…则点A2010的坐标为_______________．演练巩固反馈提高01．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限02．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是( )A．(－2，7) B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)03．如果点A(a，b)，则点B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限04．下列数据不能确定物体位置的是( )A．六楼6号B．北偏西400 C．文昌大道10号D．北纬260，东经135005．在坐标平面内有一点P(a，b)，若ab＝0，则P点的位置是( ) A．原点B．x轴上C．y轴上D．坐标轴上06．已知点P(a，b)到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且|a－b |＝b－a，则点P的坐标是_______________．07．已知平面直角坐标系内两点M(5，a)，N(b，－2)，①若直线MN∥x轴，则a＝______，b＝__________；②若直线MN∥y轴，则a＝___________，b＝_________．08．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2010次，点P 依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则P2010的横坐标x2010＝___________?09．按下列规律排列的一列数对，(2，1)，(5，4)，(8，7) …，则第七个数对中的两个数之和是______________?10．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（）A．(2，3) B．(2，－3) C．(－2，3) D．(－2，－3)11．点P位于x轴的下方，距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，则点P的坐标是____________．12．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对(n，m)表示第n排，从左到右第m个数，则表示实数25的有序数对是______________．13．已知点A(－5，0)，B(3，0)，(1)在y轴上找一点C，使之满足S△ABC＝16，求点C的坐标；(2)在平面直角坐标系内找一点C，使之满足S△ABC＝16的点C有多少个这样的点有什么规律．14．若y轴正方向是北，小芳家的坐标为(1，2)，小李家的坐标为(－2，－1)，则小芳家的________________方向．15．如图在平面直角坐标系中A(0，1)，B(2，0)，C(2，1.5)(1)求△ABC的面积；(2)如果在第二象限内有一点P(a，12)，试用含a的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在(2)的条件下，是否存在一点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图所示，在直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其边长为4，有一动点P，自O点出发，以2个单位长度／秒得速度自O→A→B→C→O 运动，问何时S△ＰBC＝4并求此时P点的坐标．培优升级奥赛检测01．如果点M(a＋b，ab)在第二象限，那么点N(a，b)在第_____________象限．02．若点A(6－5a，2a－1)．(1)点A在第二象限，求a的取值范围；(2)当a为实数时，点A能否在第三象限，试说明理由；(3)点A能否在坐标原点处为什么03．点P{－12，－[ －|1－12| ]}关于y轴对称点的坐标是_____________．04．已知点Ａ(2a ＋3b ，－2)与点B(8，3a ＋2b)关于x 轴对称，那么a ＋b ＝__________．05．已知ａ＜０，那么点Ｐ(－a2－2，2－a)关于原点对称的点在第________象限．06．已知点P1(a －1，5)四象限角平分线上，则(－a ＋07．无论x 为何实数值，点P(x 08．已知点P 的坐标为(2－a ，P 的坐标为_________．09．若点P(x ，y)__________．10．若点A(2x －3，b －x)的坐标是__________．11．已知线段AB 平行于y B 的坐标是__________．12．已知A(－3，2)与点B(x ，轴的距离等于3，求B 13．如图，B(2，4)，点D 从O (1)当D 在OC 上运动时，直线分，若能，求点D(2)当点D 运动到CB 上时，经过多长时间△ABD 的面积等于14矩形ABCO四象限夹角的平分线，. . . 2，3）先向左平移2个单位，再 .P （x,y ）向右或向左平移a 个单位，P （x,y ）向上或向下平移b 个单－b ）.4,5），所以B 点的坐2）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到点B 的坐标是 .02. 在平面直角坐标系中，将点M （3，－4）平移到点N （－1,4），是经过了先向，再向，而得到的.03．点A（－5，－b）经过先向下平移3个单位，再向左平移2个单位长度后得到点B（a,－1），则ab＝.【例2】△ABC 三个顶点坐标分别是A （4,3）B（3,1）C（1,2）⑴将△ABC向右平移1个单位，得到△A1B1C1，再向下平移2个单位长度得到△A2B2C2，求△A2B2C2三个顶点的坐标.⑵将△ABC三个顶点坐标的横坐标都减去5，纵坐标不变得到△A3B3C3，则△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系⑶将△ABC三个顶点坐标的纵坐标都加上5，横坐标不变得到△A4B4C4，则△A4B4C4与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系【解法指导】平移后得到的图形与平移前的图形的大小相等，形状相同. 解：⑴A2(5,1)B2（4，－1）C2（2,0）；⑵△A3B3C3与△ABC大小相等，形状相同，△A3B3C3是△ABC向左平移5个单位得到的；⑶A4（4,8）B4（3,6）C4（1,7），△A4B4C4与△ABC大小相等，形状相同，△A4B4C4是△ABC向上平移5个单位得到的.【变式题目】01.如图将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）A．（1,7），（0,2）（3,5）B（1,7），（0,2）（4,5）C（1,7），（2,2）（3,5）D（1,7），（2,2）（3,3）02.将正方形向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得到的顶点坐标分别是（－1,2），（3,2），（3，－2），（－1，－2），则平移前该正方形的四个顶点的坐标分别为：3.如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是：A（0,0）B（6,0）C（5,5）⑴求△ABC的面积；⑵如果将△ABC向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1，再向右平移2个单位长度得到△A2B2C2，试求△A2B2C2三个顶点的坐标；⑶试说明△A2B2C2与△ABC的形状、大小有什么关系【例3】在平面直角坐标中，点A（1,2）平移后的坐标A’（－3,3），按照同样的规律平移其它点，则下列哪种变换符合这种规律（）A．（3,2）→（4，－2）B．（－1,0）→（－5，－4）C（2.5，－1/3）→(－1.5,2/3) D(1.2,5) →(－3.2,6)【解法指导】先仔细分析平移规律：点A（1,2）→A’（－3,3），规律是：横坐标减少4，纵坐标增加1，再依据规律作出正确的判断.【解】依据坐标平移规律，故选C．【变式题组】01．在平面直角坐标系中，点A（－2,3）平移后的坐标为A’（2，－3），按照同样的规律平移（1，－2），得到.02．线段CD是由线段AB平移得到的,点A(－1,4)的对应点C（4,7），则点B （－4，－1）的对应点D的坐标是.03．将点P(m－2,n+1),沿x轴负方向平移3个单位长度得到P1（1－m,2）,求点P的坐标.04．平面直角坐标系中，△ABC个顶点的坐标分别是A（6,8），B（－2,0），C（－5，－3），△DEF各顶点的坐标是D（0，3），E（8,11），F（－3,0），请仔细观察这两个三角形各顶点的坐标关系，判断△DEF是不是由△ABC平移得到的如果是请回答平移规律；如果不是，请说明理由.【例4】如图是某市市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为1个长度单位），请以某景点为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置.光岳楼金凤广场动物园【解法指导】若以金凤广场为坐标原点O，过点O的水平线为x轴，取向右为正方向；过点O的竖直直线为y轴，取向上为正方向，即可建立平面直角坐标系，各景点坐标的位置就可以表示出来. 【解】以金凤广场为坐标原点O，，建立如图所示的直角坐标系.所以：⑴光岳楼（1,1）⑵金凤广场（0,0）；⑶动物园（6,5）.【变式题组】01．如图为某市旅游景点示意图，试以中心广场为坐标原点建立直角坐标系，用坐标表示各个景点的位置.02．如图是传说中的一个藏宝图，藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图，现金的寻宝人没有原来的地图，但知道在该图上有两块大石头A(2,1),B(8,2),而藏宝地的坐标是（6,6），试设法在地图上找到藏宝地点.【例5】某村是一个古树名木保护模范村，仅百年以上树龄的古树就有5棵，第一棵古松树在小刚家的院子里，第二棵古松树在小刚家东南方向2000米处，第三棵古松树在小刚家北偏西30?方向1000米处，第四棵古松树在小刚家正东1000米处，第五棵古槐树在小刚家南偏西45?方向1500米处，请你画图表示这五棵古树的位置.【解法指导】以小刚家为坐标原点，水平线为x轴，正东方向为正方向，取竖直线为y轴，正北方向为正方向建立平面直角坐标系，再根据这五棵树的方位和数量关系即可确定它们的位置.【解】以小刚家为坐标原点，水平线为x轴，正东方向为正方向，取竖直线为y轴，正北方向为正方向建立平面直角坐标系，比列尺为1:50000，即1厘米表示500米.那么五棵数的位置如图所示.【变式题组】01．如图，为一公园内运动园的平面示意图：A为孔雀园，B为猴山，C为鹦鹉园，D为天鹅园，E为熊猫园，F为师虎园.现以孔雀园来说：⑴猴山在孔雀园的北偏东多少度的方向上要想确定猴山的位置，还需要什么数据⑵与孔雀园距离相等的有几个园它们是什么园⑶要确定狮虎园的位置还需要几个数据请借助刻度尺、量角器，说出狮虎园距鹦鹉园的位置【例6】如图，早直角坐标系中，第一次将∆OAB变换成∆OA1B1，第二次将∆OA1B1变换成∆OA2B2，第三次将∆OA2B2变换成∆OA3B3，已知A（1,3），A1（2,3），A2（4,3）A3（8,3），B（2,0），B1（4,0），B2（8，0），B3（16,0）.⑴观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再次将∆OA3B3变换成∆OA4B4，则A4的坐标是，B4的坐标是；⑵若按⑴题找到的规律，将∆OAB进行了n次变换，得到∆OAnBn,推测An的坐标是，Bn的坐标是.【解法指导】此题为猜想题，解这类题一般步骤是：⑴＜1＞观察：高清观察的对象；＜2＞分析：分析个数之间的关系，如：和、倍、分等数量关系；＜3＞对比：在分析个数据的情况下，找出个数据之间的区别和联系，为归纳作准备；＜4＞归纳：将观察、分析、对比得出的结论用文字或数学式子表示出来；⑵这种数学方法是从特殊到一半的思想方法.分析：观察图形，可知An的横坐标是2n,而Bn的横坐标是按2n+1变化的.解：⑴A4(16,3),B4(32,0);An(2n,3),Bn(2n+1,0).【变式题组】01.（菏泽.淄博）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜想由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有个.【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，将坐标为（0,0), (5,0),(4,3), (1,3), (0,0),的点用线段依次连接起来形成一个图案，不画图形，回答下列问题.若每个点的横坐标保持不变，纵坐标变成原来的2倍，将所得各点用线段依次连接起来，那么所得的图案与原来图案相比有什么变化若横坐标保持不变，纵坐标分别加2呢若纵坐标保持不变，横坐标分别加2呢若横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1呢若纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1呢【解法指导】⑴所得图案与原图案相比，图案横向未变，纵向被拉长为原来的2倍；⑵所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向上纵向平移了2个单位；⑶所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向右横向平移了2个单位；⑷所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于x轴成轴对称.⑸所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于y轴成轴对称.欲解此题，只要充分利用图形上点的坐标变化与图形的形状变化之间关系的规律即可.演练巩固反馈提高01．将三角形ABC各顶点的横坐标不变，而纵坐标分别加4，连接三个点所得到三角形是三角形ABC（）A．向左平移4个单位得到B．向上平移4个单位得到C．向右平移4个单位得到D．向下平移4个单位得到02. 将三角形ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标分别减5，连接三个点所得到三角形是由三角形ABC（）A．向左平移5个单位得到B．向右平移5个单位得到C．向上平移5个单位得到D．向下平移5个单位得到03.（日照市）在平面直角坐标系中，把点P(－2,1)向右平移一个单位，则得到的对应点P’的坐标是（）A．（－2,2）B．（－1,1）C．（－3,1）D．（－2,0）04．如右图，将三角形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）A．（2,2），（3,4），（1,7）B．（－2,2），（4,3），（1,7）C．（－2,2），（－5,－3），（0,－1）D．（－2,2），（－5,3），（0，－1）05．利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下⑴根据具体问题确定适当的单位长度；⑵建立平面直角坐标系；⑶在平面直角坐标系内画出各点.其中顺序正确的是（）A．⑴，⑵，⑶B．⑵，⑴，⑶C．⑶，⑴，⑵D．⑴，⑶，⑵06．如图，图是由图1经过变换得到的，下列说法中错误的是（）A．将图1先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到图2B．将图1先向上平移6个单位，再向右平移4个单位得到图2C．将图1先向上平移6个单位后，再沿y轴翻折180?可得到图2D．将图1先向右平移4个单位后，再沿x轴翻折180?可得到图207．在象棋中，“马走斜”是指“马”从“日”的一个顶点沿着对角线走向另一个顶点，图中“马”现在的位置用（6,2）表示，要想“马”走现在“帅”的位置（如图），至少需要步，写出“马”所走的路线（只要写出一种）.08.（泸州）如图是某市市区四个旅游景点示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度），请以某景点为原点，建立平面直角坐标系（保留坐标系的痕迹），请用坐标表示下列景点的位置.⑴动物园，⑵烈士陵园.09.（永州）如图所示，要把线段AB平移，使得点A到达点A‘(4,2)，点B 到达点B’，那么点B10的路线分别是：⑴李丽出家门口向东走50⑵王明出家门口向西100⑶张倩出家门口向东走10011. 在平面直角坐标系中，△⑴计算△ABC的面积；⑵将△ABC向右平移5A1B1C1，请画出△A1B1C1⑶写出所得△A1B1C1和△培优升级奥赛检测01.那么m的值为.02. 已知点P1（a－1,5二、四象限角平分线上，则（－a+b）2004＝.03．矩形ABCD中，AB＝5，04．在正方形ABCD中，A、B－2），则顶点D的坐标为05．无论x为何实数值，点06．如果点A(ba,1)在第一象限，则点B(－a2,ab)在第（）象限.A．一B．二C．三D．四07．若点的坐标满足，则点P必在（）.A．原点上B．x轴上C．y轴上D．x或y轴上经典·考题·赏析【例1】已知下列方程2xm－1＋3yn＋3＝5是二元一次方程，则m＋n＝.【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件： ⑴这个方程中有且只有两个未知数； ⑵含未知数的次数是1；＋n ＝0.【变式题组】01⑴2x ＋5y ＝16 (2)2x ＋y ＋z ＝＋10xy ＝502．若方程2xa ＋1＋3＝y2b ＝ .03．在下列四个方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-432021y x y x，④⎩⎨⎧=-=+4587y x y x A ．1个 B ．2个 C ．【例2】A ． ⎩⎨⎧==23y x B ．⎩⎨⎧==21y x C ．⎩⎨⎧==24y x D ．⎩⎨⎧==13y x【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不. D ． 3的解，则a 的值是 （ ） D ．1解为⎩⎨⎧-==12y x ，则此方程可以是比∠B 大30°，设∠A 、∠B 的度数 （ ）+==30180y y C ． ⎩⎨⎧+==+3090y x y x⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2523by ax by ax ，的解，则a ＋【例3】解方程组⎩=+1753y x【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的系数为1或②－1时，可选用带入法解此方程，此例中①变形得y ＝7－x ③,将③带入②可消去y,从而求解.解：由①得，y ＝7－x ③将③带入②，得 3x ＋5(7－x)故此方程组的解是⎩⎨⎧-==29y x【变式题组】 1.解方程组：（南京）⑴⎩⎨⎧=+=-5242y x y x （花都）⑶⎩⎨⎧=+=-5242y x y x 2．方程组⎩⎨⎧=-+=525y x y x A ．5 B ．－5 【例4】解方程组⎩⎨⎧=-=+5332y x y x 【解法辅导】若系数符号相反，则相加.本题中，y 家，即可消去y. 解：①×5得，y ＝7－x ③③＋②,得 ，13x ＝26 ∴x ＝2 将x ＝2代入①得 y ＝－1⎨⎧-==12y x （ ）-=-=+10y y C ．⎩⎨⎧=-=+20y x y x⎩⎨⎧=+-=-1223532y x y x ⎩⎨⎧==12y x ，则2a －3b 的值为 （ ）D ．－4y 的值为 ，x ＋y 的值【例5】已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+243412223k y x k y x 的解满足x ＋y ＝6,求k①②的值.【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k 而得一个二元一次方程，此方程与x ＋y ＝6联立，求得x 、y 的值，从而代入①或②可求得k 的值；式分别表示x 、y ，再代入x ＋y k 的值. 解：①×2，得， 6x ＋4y ＝4k ＋＋y ＝6，得2x ＋2y ＝12 入x ＋y ＝6得 x ＝4 将⎩⎨⎧==4y x 【变式题组】01．已知⑴⎩⎨⎧-=-=+2513n ny x ny mx ＝ .02．方程组⎩⎨⎧=-+=525y x y x A ．5 B ．－5 C 03．已知方程组⎩⎨⎧=+=+3223k y x k y x 【例6】解方程组⎩⎨⎧-+++)3(3)3(4y x y x －y ）,如果我们将这两类代数式整体不拆开，而分别当作两个新的未知数，求解则将会大大减少运算量，当分别求出x ＋3y 和x －y 的值后，再组成新的方程组可求出x 、y 的值，此种方法称为换元法. 解：设x ＋3y ＝a, x －y ＝b, 则原方程组可变形为⎧=+1634b a 12a －20b ＝48 ⑥－⑤,得 29b ＝0, 故原方程组的解为⎩⎨⎧==11y x .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+5791034y x y x9.的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组） C ． ⎩⎨⎧==2.23.10y x D ． ⎩⎨⎧==2.03.10y x③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+-0121221136211y x x x【例7】（第二届“华罗庚⎩⎨⎧-=+-=+2242016y cx by ax 的解应为⎩⎨⎧y x 到的解是⎩⎨⎧-==1312y x ，则a2＋【解法辅导】⎩⎨⎧-==108y x 程，由题意分析可知：⎩⎨⎧-==12y x a 、b 解：34【变式题组】01．方程组⎩⎨⎧=-=+472dy cx y ax ⎩⎨⎧-==13y x ，则a 、c 、d 的值是 A ．不能确定 B ．a ＝3, c ＝1, d ＝1 C ． c 、d 不能确定 D ． a ＝3, c ＝2, d ＝ －202．甲、乙良人同解方程组⎩⎨⎧-=-=+232y Cx By Ax ，甲正确解得⎩⎨⎧-==11y x ，乙因抄.y 是 ，用含y 的式子==21by by 的解，则a ＋b ＝ . , y ＝ .=-=+147by x by ax 的解，则a －b 的值m ＝ ,n (m ＋1)y ＝m ＋5, 当m ＝ 时，.（ ）A ． ⎩=1yB ． ⎩7C ． ⎪⎩⎪⎨⎧-==732y xD ． ⎪⎩⎪⎨⎧==732y x ① ②08．（杭州）已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是 （ ）A ．1B ．309．（苏州）方程组⎩⎨⎧=-=+21y x y x A ． ⎩⎨⎧=-=21y x B ．⎩⎨⎧=-=32y x 10．（山东）若关于x 、y 方程3x ＋3y ＝6的解，则k A ．－43 B ． 43 11．（怀柔）已知方程组⎩⎨⎧-+ax ax 12.解方程组：⑴（滨州）⎩⎨⎧-=+=-22622y x y x ⑶⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=--+5)32(5)3(186)3(7)32(6y x x y13．已知方程组⎩⎨⎧=--=+1653652y x y x 和方程组⎩⎨⎧-=+-=-84ay bx by ax 的解相同，求代数式x 与y 的和为8，求k 的值.⎩⎨⎧=-=+023102y x y mx 有整数+-+2)1x b时，方程组⎩⎨⎧+-=+=4)12(x k y mkx y 至==266有整数解，求m 的值.则式子222222103225z y x z y x ---+的值A ．－21B ．－219C ．－15D ．－13① ②05．（信利杯赛题）已知：三个数a 、b 、c 满足b a ab +＝31，c a bc +＝41，a c ca+＝51，则ca bc ab abc++的值为 （ ）A ．61B ．121C ．152D ．20106． （广西赛题）已知：满足方程2x －3y ＋4m ＝11和3x ＋2y ＋5m ＝21的x 、y 满足x ＋3y ＋7m ＝20,那么m 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 07．（广西赛题）若|a ＋b ＋1|与（a －b ＋1）2互为相反数，则a 与b 的大小关系是 （ ）A ．a ＞bB ．a ＝bC ．a ＜bD ．a≥b 08．（“华罗庚杯”竞赛题）解方程组09.（全国竞赛湖北赛区试题）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+612y x y x 的解的组数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．对任意实数x 、y 定义运算x ※y ＝ax ＋by ，其中a 、b 为常数，符号右边的运算是通常意义的加乘运算，已知1※2＝5且2※3＝8，则4※5的值为 （ ）A ．20B ．18C ．16D ．14 11．（北京竞赛题）若a 、b 都是正整数，且143a ＋500b ＝2001,则a ＋b ＝ .12．(华杯赛题）当m ＝－5,－4,－3,－1,0,1,3,23,124,1000时，从等式（2m ＋1）x ＋(2－3m)y ＋1－5m ＝0可以得到10个关于x 和y 的二元一次方程，问这10个方程有无公共解若有，求出这些公共解.13．下列的等式成立：x1x2＝x2x3＝x3x4＝ … ＝x99·x100＝x100·x101＝x101·x1＝1,求x1 ，x2， …x100，x101的值. 第19讲 实际问题与二元一次方程组 考点·方法·破译1．逐步形成方程思想，进一步适应列方程(组)解决实际问题的新思路. 2．学会用画图，列表等途径分析应用题的方法. 3．熟练掌握各类应用题中的基本数量关系.4．学会找出每道应用题中所蕴藏的各种等量关系，并依此列出方程组. 经典·考题·赏析【例1】甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地相向而行，1小时20分钟相遇，相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时追上了拖拉机，这时，汽车、拖拉机各自走了多少千米?【解法指导】(1)画出直线型示意图理解题意(2)本题有两个未知数——汽车的行程和拖拉机的行程.有两个相等关系：①相向而行:汽车行驶113小时的路程+拖拉机行驶113的路程＝160千米；②同向而行：汽车行驶12小时的路程＝拖拉机行驶(1+12)小时的路程.。