第12讲 与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、错角、同旁角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两
边的反向延长线.
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.
【变式题组】
01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：
⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.
【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．
⑴求∠EOF 的度数；
⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的
定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝2
1
∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝
21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21
又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝
2
1
×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .
【变式题组】
01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）
A ．20°
B ． 40°
C ．50°
D ．80°
02．（）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .
【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上
的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线
段.
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】
01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ）
A B
C D E F A
B C D
E
F P
Q R A B
C
E F E A B
C
D O （第1题图）
1 4 3
2 （第2题图）
l 2
A ．4cm
B ． 5cm
C ．不大于4cm
D ．不小于6cm
02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的
村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ． 【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数；
⑵试说明OD 与AB 的位置关系.
03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：
∠1和∠3：
∠1和∠6：
∠2和∠6： ∠2和∠4：
∠3和∠5：
∠3和∠4：
【解法指导】正确辩认同位角、错角、同旁角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的F B A O
C D E C D B A E
O C
D
A B
A E D
C F E B
A
D 1 4 2 3 6 5
直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.
【变式题组】
01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁角
共有（ ）
A ．4对
B ． 8对
C ．12对
D ．16对
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、错角和同旁角.
03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A ．∠1和∠2是同旁角
B ．∠3和∠4是错角
C ．∠5和∠6是同旁角
D ．∠5和∠7是同旁角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•
⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°
⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁
角，有“ ”即有错角.
【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据错角
相等，两直线平行.
⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁角互
补，两直线平行.
⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据错角相等，两直线
平行.
【变式题组】 01．如图，推理填空.
⑴∵∠A ＝∠ （已知）
∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ） 02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ）
A
B
D
C
H
Ｇ E
F
7 1 5 6 8 4 1 2 乙
丙 3 2
3 4 5
6 1 2 3 4
甲 1 A B C 2 3
4 5
6 7 A B C D
O
A B E F
A B C
D E
F
1 2
