无穷小的比较ppt课件

无穷小是极限为零的变量或函数。
无穷小是数学分析中的一个重要概念，是 研究函数极限和连续性的基础。
无穷小是相对于自变量的某个变化范围而 言的，不是绝对的零。
无无穷小的性质
无穷小具有局部性、相对 性和极限性。
无穷小是相对于自变量的 某个变化趋势而言的，不 是绝对的零。
无穷小具有可加性、可减 性、可乘性和可除性等性 质。
无穷大的应用
无穷大在数学分析、实数理论、集合论等领域有着广泛的应用，是研究数学的基 础概念之一。
在实际应用中，无穷大可以用来描述物理现象和工程问题，例如在电路分析中， 无穷大可以用来表示电源电压或电流的极限值。
04
无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的基 础
无穷小是无限趋近于0的数，而无穷 大是无限增大的数。无穷小和无穷大 之间的关系是相互依存的，无穷小是 无穷大的基础，因为任何无穷大的数 都可以分解为无穷小的数相加或相乘 。
无穷大分为实无穷和潜无穷两种类型 ，实无穷认为存在一个最大的数或集 合，而潜无穷则认为数列或集合可以 无限地增大而没有最大值。
无穷大的性质
01
无穷大具有传递性，即如果一个 数或集合大于另一个数或集合， 且后者大于另一个数或集合，则 前者也大于后者。
02
无穷大具有不可比较性，即无法 比较两个无穷大的大小，因为它 们都超出了任何有限的界限。
无穷级数和无穷乘积是微积分中的重 要工具，无穷小和无穷大在它们的计 算和证明中也有着重要的应用。
导数和积分
导数和积分是微积分中的重要概念， 无穷小和无穷大在导数和积分的计算 中也有着重要的应用。
物理中的应用
相对论
在相对论中，时间和空间都是相 对的，无穷小和无穷大在相对论 中有着重要的应用，例如光速的

证:
lim
lim
lim
lim
lim
lim
例如, limtan2x lim 2x 2 x0 sin5x x0 5x 5
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1
例2. 求 lim(1x2)3 1. x0 cosx1
解: 当x0时,
1 则称 是 的等价无穷小, (1x ) 1~ x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
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常用等价无穷小 : 当x0时,
sinx～x , tanx～x , arcsixn～ x ,
1cox～s
1 2
x
2
,
ln1(x) ～ x
n1x1～
1 n
x
ex1 ～ x
2. 等价无穷小替换定理
第八节 目录 上页 下页 返回 结束
若 lim 0,则称 是比 高阶的无穷小, 记作
o()
若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
若 limC0,
则称 是
的同阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~
或 ~
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例如 , 当x0时
x 3 o(6x2 ); sinx～ x; tanx～ x
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原式 lim x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
12 3
x0
1 2
x2
2 3
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例3. 求xl im 0tasxni3nsxinx.
解: x l i0 m ta sx n i3 sn xixn x l i0 m scix(n o 1 xs c si3n x o x)s

x 2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x) 的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1)， x1
lim f ( x) f (1) .
x1
练习题答案
一、1、3 ； 2
0,m n 2、1, m n ；3、2；
解
原式
lim
x0
2x 1x
x
2
4.
2
例7
求 lim x0
1
x sin x sin2 2x
1
.
解 当 x 0 时 , 1 x sin x 1～1 x sin x～1 x2 ,
2
2
sin2 2x～(2x)2 ,
1 x2
原式
lim
x0
2 4
x
2
1 8
例8 求 lim 1 cos x . x0 x(1 cos x )
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x,
ex 1 ~ x,
1 cos x ~ 1 x2 , 2
(1 x)a 1 ~ a x , (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
a x 1 ~ x lna .
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0,
即 o( ), 于是有 o( ).
x 2 sin 1 x
x2
lim sin
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义: 设 , 是同一过程中的两个无穷小 , 且 0 . (1) 如果 lim 0 , 就说 是比 高阶的无穷小,

x 2 "慢 lim 2 , x 0比x 0要 些 " x 0 x sin x lim 1, sinx 0与x 0大致相同; x0 x 1 2 x sin x lim sin 1 不存在. lim 不可比. 2 x0 x 0 x x
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同 .
1)
例2 证明 : 当x 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小.
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim 4 lim( ) 4, 4 x 0 x 0 x x
故当x 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
常用等价无穷小:
补充
当x 0时,
sin x ~ x , tan x ~ x ,
2
2
1 sin x x cos x 原式 lim x 0 (1 cos x ) x
sin x 1 1 1 lim ( x cos ) x 0 1 cos x x x 2
( x 1)( 3 x 1)( n x 1) 例7 求 lim x 1 ( x 1)n1
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ 1 x 3 , 1 3 2 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 16 (2 x )
例6 求
1 sin x x cos x lim x 0 (1 cos x ) ln(1 x )
解
令u x 1
则x 1 u
由(1 u) 1 ~ u得
( 1 u 1)( 3 1 u 1)( n 1 u 1) I lim u 0 un1

第八节 无穷小的比较
无穷小
高阶无穷小
同阶无穷小
特例 等价
无穷小
低阶无穷小
等价无穷小 的充要条件
等价无穷小 的替换
1
一、基本理论
当x 0时,3x, x 2 , sin x, tan x都是无穷小,
而 lim x2 0, x0 3 x
lim
x0
sin x x2
,
tan x
lim
1
x0 sin x
x
x
lim
x0
x
1 cos xx
3 sin x lim x
x cos
1 x
3
x0 1 cos x
2
例7： 求 lim 1 x sin x 1
x0
e x2 1
解： 当x 0时,
1
x sin x
1 1
x
sin
x
1 2
1~
1
x sin x, e x2
1~
x2,
lim
x0
1 x sin x ex2 1
x0
x3
x0
x3
2
注：利用无穷小的替换求极限，须注意以下问题：
（1）一般只适用于求极限函数中的乘积因子。 （2）如果极限中出现加减时，则设法把它们转化为乘除的 形式。
11
4 分析： 要证明
lim xn yn 0, 只要证
n
对于 0, N , 当n N时, xn yn 0
证 xn 有界，
2x
2x
lim x sin x
2x x2 1
sin lim
x
x2 1
1
lim
x
x2 1 1

(2) 和差代替法则:
如
如
(见下页例3)
则
(3) 因式代换法则:
则
如
例3 求
解:
原式
若
例5 证明: 当
时,
证明:
利用和差代换与取大规则
例6
解 因为
所以
内容小结
1. 无穷小的比较
设 , 是自变量的同一变化过程中的无穷小, 且
是 的高阶无穷小
是 的低阶无穷小
注:
定理2
且
存在 ,
证明:
例2
二、等价无穷小代换
设
则
例3 求
解：
所以原式
例4 求
解：
所以原式
时，
时，
例5 求
解：
所以原式
时，
设 , 为自变量同一变化过程中的无穷小 ,
注:
等价无穷小的性质,
(1) 和差取大法则:
由
可得简化极限运算的下述法则.
记作
则称 是比 低阶的无穷小;
则称 是 的同阶无穷小;
则称 是关于 的 k 阶无穷小;
则称 是 的等价无穷小,
记作
如 当
时
又如
故
时,
是关于 x 的二阶无穷小,
且
即
例1
当 时,
证明:
证明:
例2 证明: 证明: ∴ 注: 定理1
证明:
即
即
如
故
是 的同阶无穷小
是 的等价无穷小
是 的 k 阶无穷小
第一章
第七节 无穷小的比较
一、无穷小的比较
二、等价无穷小的代换
一、无穷小的比较