最新2020年江苏省高考数学信息预测模拟仿真试卷(含答案)

第1页（共26页）页）2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ． 2．（5分）复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第 象限．3．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其概率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的有 辆．4．（5分）袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ． 5．（5分）在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为 ． 答对题数 4 8 9 10 人数分布11216．（5分）如图所示的算法流程图中，最后输出值为 ．7．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，②若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ； ④若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n ．上述命题中为真命题的是 （填写所有真命题的序号）．8．（5分）公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月(30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为 尺． (1匹4=丈，1丈10=尺）9．（5分）若cos 2cos()4παα=+，则tan()8πα+= ．10．（5分）如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD=u u u r u u u r g ．11．（5分）已知关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）已知0a >，0b >，且111a b +=，则32ba b a ++的最小值等于 ．13．（5分）如图，已知8AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点分别为两半圆上的动点（不含端点（不含端点A ，B ，)C ，且BM BN ⊥，则AM CN u u u u r u u u rg的最大值为 ．14．（5分）若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1x ∈，3]及任意的实数[2b ∈，4]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知ABC ∆内接于单位圆，且(1tan )(1tan )2A B ++=， （1）求角C（2）求ABC ∆面积的最大值．16．（14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=． （1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．17．（14分）如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =，4AD =．点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上． （1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； （2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．18．（16分）已知椭圆222:9(0)E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF u u u r u u u u r g 的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．19．（16分）已知函数()xf x ae =，()g x lnx lna =-，其中a 为常数，且曲线()y f x =在其与y 轴的交点处的切线记为1l ，曲线()y g x =在其与x 轴的交点处的切线记为2l ，且12//l l ．（1）求1l ，2l 之间的距离；（2）若存在x 使不等式()x m x f x ->成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数()f x 和()g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称00|()()|f x g x -的值为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2．20．（16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈．（1）求数列{}na 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【选做题】.本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧¶AB 与弧¶AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：2AB BE CD =g．四.[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，且AX B =r r ． （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；（2）求x ，y 的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P 在曲线4cos :3sin (x C y θθθ=⎧⎪=⎨⎪⎩为参数）上，直线2322:3(2x t l y t t ⎧=+⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪⎪⎪⎩为参数），求P 到直线l 距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]24．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y zyz zx xy x y z ++++…． 25．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，122CC =，90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上．（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值； （2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒，试确定点M 的位置．26．在平面直角坐标系xoy 中，已知焦点为F 的抛物线24x y =上有两个动点A 、B ，且满足AF FB λ=u u u r u u u r ，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M ． （1）求：OA OB u u u r u u u rg的值； （2）证明：FM AB u u u u r u u u rg 为定值．2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I {|12}x x << ． 【解答】角：Q 集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， {|12}A B x x ∴=<<I ．故答案为：{|12}x x <<．2．（5分）复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第 四 象限． 【解答】解：(1)1z i i i =-=+Q ，∴1z i =-，则复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限． 故答案为：四．3．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其概率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的有 80 辆．【解答】解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60)内的汽车的频率为(0.010.03)100.4+⨯=．∴时速在区间[40，60)内的汽车有0.420080⨯=（辆)．故答案为：80．4．（5分）袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 35．【解答】解：Q 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球， 基本事件总数2510n C ==，摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数11326m C C ==，∴摸出1个黑球和1个白球的概率63105m p n ===．故答案为：35．5．（5分）在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为 225 ．答对题数 4 8 9 10 人数分布1121【解答】解：根据表中数据，计算平均数为1(489210)85x =⨯++⨯+=，方差为22222122[(48)(88)(98)2(108)]55s =⨯-+-+-⨯+-=．故答案为：225． 6．（5分）如图所示的算法流程图中，最后输出值为 25 ．【解答】解：第一次循环得到155T =⨯=，10i =； 第二次循环得到51050T =⨯=，15i =；第三次循环得到5015750T =⨯=，20i =； 第四次循环得到7502015000T =⨯=，25i =； 此时不满足判断框中的条件，终止循环，输出25i =． 故答案为：25．7．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，②若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ； ④若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n ．上述命题中为真命题的是 ①④①④ （填写所有真命题的序号）． 【解答】解：选项①正确，由线面垂直的判定定理可知：若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； 选项②错误，若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m 与n 可能平行可能相交； 选项③错误，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则m 与n 可能平行或异面； 选项④正确，由线面平行的性质定理可知：若//m α，m β⊂，n αβ=I，则//m n ．故答案为：①④①④8．（5分）公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月(30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为 16162529尺． (1匹4=丈，1丈10=尺）【解答】解：设该妇子织布每天增加d 尺，由题意知，3030293053902S d ⨯=⨯+=，解得1629d =尺． 故答案为：1629．9．（5分）若cos 2cos()4παα=+，则tan()8πα+= 213+ ．【解答】解：cos 2cos()4παα=+Q ，cos()2cos()8888ππππαα∴+-=++，cos()cos sin()sin 2cos()cos 2sin()sin 88888888ππππππππαααα∴+++=+-+， 化为：cos()cos 3sin()sin 8888ππππαα+=+，1tan()83tan 8παπ∴+=，Q 22tan 8tan1418tanπππ==-，解得tan218π=-．121tan()833(21)πα+∴+==-， 故答案为：213+． 10．（5分）如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD =u u u r u u u rg52- ．【解答】解：以A 为原点，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系， 设(,)O m n ，(,0)B a ，(0,)D b ，则(,)C a b ， 2OA =Q ，4OC =，5AC =，∴222222254()()16a b m n m a n b ⎧+=⎪+=⎨⎪-+-=⎩，整理可得：132am bn +=． 又(,)OB a m n =--u u u r ，(,)OD m b n =--u u u r，∴22135()()()422OB OD m m a n n b m n am bn =-+-=+-+=-=-u u u r u u u rg． 故答案为：52-．11．（5分）已知关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是 5(2-，2)- ．【解答】解：关于x 的方程||()1x x a -=， 显然0x =方程不成立， 可得1||a x x =-，设1()||f x x x =-，则1,20()1,0x x x f x x x x ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪->⎩，画出()f x 的图象，可得当522a -<<-时，y a =和()y f x =的图象有3个交点，即关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，故答案为：5(2-，2)-．12．（5分）已知0a >，0b >，且111a b +=，则32b a b a ++的最小值等于 11 ． 【解答】解：已知0a >，0b >，且111a b+=，则1111323()2()b b a b a b a a b a b a ++=++++，33955211a b ab b a ab =+++=…，故答案为：1113．（5分）如图，已知8AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点分别为两半圆上的动点（不含端点（不含端点A ，B ，)C ，且BM BN ⊥，则AM CN u u u u r u u u rg 的最大值为 4 ．【解答】解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得(0,0)A ，(4,0)B ，(8,0)C ，以AB 为直径的半圆方程为22(2)4(0,0)x y x y -+=>>，以AC 为直径的半圆方程为22(4)16(0,0)x y x y -+=>>， 设(22cos ,2sin )M αα+，(44cos ,4sin )N ββ+，0α<，βπ<，BM BN ⊥，可得(22cos BM BN α=-+u u u u r u u u rg ，2sin )(4cos αβg ，4sin )0β=，即有8cos 8(cos cos sin sin )0βαβαβ-++=，即为cos cos cos sin sin βαβαβ=+， 即有cos cos()βαβ=-，又0α<，βπ<，可得αββ-=，即2αβ=， 则(22cos AM CN α=+u u u u r u u u r g ，2sin )(44cos αβ-+g，4sin )β 88cos 8cos 8(cos cos sin sin )αβαβαβ=--+++288cos 16cos 16cos 16cos αβββ=--+=-2116(cos )42β=--+，可得1cos 02β-=，即3πβ=，23πα=时，AM CN u u u u r u u u r g的最大值为4．故答案为：4．14．（5分）若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1x ∈，3]及任意的实数[2b ∈，4]恒成立，则实数a 的取值范围是 (,2)-∞- ．【解答】解：关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1x ∈，3] 及任意的实数[2b ∈，4]恒成立，可得323x x ax b -+<-的最小值， 即为3234x x ax -+<-， 可得243a x x x<--的最小值， 设24()3f x x x x=--，[1x ∈，3]， 导数为24()32f x x x '=-+， 可得12x <<时，()0f x '>，()f x 递增； 23x <<时，()0f x '<，()f x 递减，又f （1）2=-，f （3）43=-，可得()f x 在[1，3]的最小值为2-， 可得2a <-．即有a 的范围是(,2)-∞-． 故答案为：(,2)-∞-．二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知ABC ∆内接于单位圆，且(1tan )(1tan )2A B ++=， （1）求角C（2）求ABC ∆面积的最大值．【解答】解：（1）(1tan )(1tan )2A B ++=Q tan tan 1tan tan A B A B ∴+=-g， tan tan tan tan()11tan tan A BC A B A B+∴=-+=-=--，34C π∴=（2）ABC ∆Q 得外接圆为单位圆，∴其半径1R =由正弦定理可得2sin 2c R C ==， 由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-， 代入数据可得2222a b ab =++ 22(22)ab ab ab +=+…， 222ab ∴+…，ABC ∴∆得面积11221sin 22222S ab C -==+g …， ABC ∴∆面积的最大值为：212-16．（14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=． （1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．【解答】解：（1）因为//EF 平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC ⋂平面ABD AB =， 所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，所以点F 为AC 的中点， 由AF AC λ=得12λ=； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又AE DE E =I ，AE 、DE ⊂平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 而BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面AED ．17．（14分）如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =，4AD =．点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上． （1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．【解答】解：（1）在直角NFP ∆中，因为3PF =，FPN θ∠=，所以3tan NF θ=， 所以11(13tan )322APNSNA PF θ∆==+⨯g ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）在直角MEP ∆中，因为PE ，3EPM πθ∠=-，所以tan()3ME πθ=-， 所以11(33tan())1223APM S MA PE πθ∆==+-⨯g ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） 所以31tan tan()3223APN APM S S S πθθ∆∆=+=+-+，[0θ∈，]3π，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）（注：定义域错误扣1分） （2）因为3133tan tan tan()3tan 322322(13tan )S πθθθθθ-=+-+=+++．⋯（9分） 令13tan t θ=+，由[0θ∈，]3π，得[1t ∈，4]，⋯⋯⋯⋯⋯（11分）所以23443433()23323t t S t tt-+=+=++⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）3433222333t t ⨯⨯⨯+=+…． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）当且仅当233t =时，即23tan 3θ-=时等号成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（15分）此时，233AN =，323min S =+．答：当233AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为323+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（16分） 18．（16分）已知椭圆222:9(0)E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF u u u r u u u u rg 的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．【解答】解：（1）3m =，椭圆22:19x E y +=，两个焦点1(22,0)F -，2(22,0)F设(,)K x y ，1(22,)F K x y =+u u u u r ，2(22,)F K x y =-u u u u r，2221212(22,)(22,)881KF KF FK F K x y x y x y y ==+-=+-=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u rg g g ，11y -Q 剟， ∴12KF KF u u u r u u u u rg 的范围是[7-，1]（4分）（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则222112222299.x y m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相减，得12121212()()9()()0x x x x y y y y +-++-=，12121212()()190()()y y y y x x x x +-+=+-，即190OM lk k +=g ，故19OM l k k =-g ；（8分）（3）Q 直线l 过点(,)3m m ，∴直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k >且13k ≠． 设(P P x ，)P y ，设直线:()(0,0)3m l y k x m m k =-+≠≠，即:3m l y kx km =-+，由（2）的结论可知1:9OM y x k=-，代入椭圆方程得，2222991P m k x k =+，（10分）由()3my k x m =-+与19y x k=-，联立得222933(,)9191m km k m km M k k ---++．（12分）若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以02p x x =，即2222229394()9191k m km m k k k -=++，整理得29810k k -+=解得，479k ±=． 所以当479k ±=时，四边形OAPB 为平行四边形．（16分）19．（16分）已知函数()xf x ae =，()g x lnx lna =-，其中a 为常数，且曲线()y f x =在其与y 轴的交点处的切线记为1l ，曲线()y g x =在其与x 轴的交点处的切线记为2l ，且12//l l ．（1）求1l ，2l 之间的距离； （2）若存在x 使不等式()x mx f x ->成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数()f x 和()g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称00|()()|f x g x -的值为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2．【解答】解：（1）()x f x ae '=，1()g x x '=，()y f x =的图象与坐标轴的交点为(0,)a ， ()y g x =的图象与坐标轴的交点为(,0)a ， 由题意得(0)f g '='（a ），即1a a =，又0a >Q ，1a ∴=．（2分）()xf x e ∴=，()g x lnx =，∴函数()y f x =和()y g x =的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：10x y -+=，10x y --=，∴两平行切线间的距离为2（4分）（2）由()x mx f x ->，得x x mx e ->，故x m x xe <-在[0x ∈，)+∞有解，令()xh x x xe =-，则()max m h x <，当0x =时，0m <； 当0x >时，1()1()2xh x x e x'=-+Q ，0x >Q ，∴112222x x x x +=g …，1x e >， 1()22xx e x∴+>，故()0h x '<，即()h x 在区间[0，)+∞上单调递减， 故()(0)0max h x h ==，0m ∴<， 即实数m 的取值范围为(,0)-∞．（8分） （3）解法一：Q 函数()y f x =和()y g x =的偏差为：()|()()|xF x f x g x e lnx =-=-，(0,)x ∈+∞，1()xF x e x∴'=-，设x t =为()0f x '=的解， 则当(0,)x t ∈，()0F x '<；当(,)x t ∈+∞，()0F x '>，()F x ∴在(0,)t 单调递减，在(,)t +∞单调递增，1()t t tt F x min e lnt e ln e t e ∴=-=-=+，f 'Q （1）10e =->，1()202f e '=-<，∴112t <<，故11() 2.25222t min F x e t e =+=+>+=， 即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2．（16分） 解法二：由于函数()y f x =和()y g x =的偏差：()|()()|xF x f x g x e lnx =-=-，(0,)x ∈+∞， 令1()xF x e x =-，(0,)x ∈+∞；令2()F x x lnx =-，(0,)x ∈+∞， 1()1x F x e '=-Q ，211()1xF x x x-'=-=，1()F x ∴在(0,)+∞单调递增，2()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， 11()(0)1F x F ∴>=，22()F x F …（1）1=， 12()()()2xF x e lnx F x F x ∴=-=+>，即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2（16分）20．（16分）设数列{}na 的前n 项和为nS ，23nnS a +=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}nb 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由23n n S a +=，① 得1123n n S a --+=，(2)n …，② 由①-②得120n n n a a a -+-=，即11(2)3n n a a n -=…． 对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即11()3n n a -=，*n N ∈．（2）①由11()3n n a -=，可得对于任意*n N ∈．有2111211111()()()333333n n n n n b b b b n ----+++⋯+=+-，③则22212311111()()()363333n n n n n b b b b n -----+++⋯+=+-，2n …，④ 则2311123111111()()()()233333n n n n n b b b b n -----+++⋯+=+-，2n …，⑤ 由③-⑤得21(2)n b n n =-…， 对③取1n =得，11b =也适合上式， 因此21n b n =-，*n N ∈．②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==，则1121214(1)333n n n n nn n n c c +-+---=-=， 所以当1n =时，1n nc c +=，即12c c =，当2n …时，1n n c c +<，即{}n c 在2n …且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>⋯，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈， 由于12345c c c c c =>>>>⋯， 可不妨设s p r <<，则2(*)psrc c c =+，即1112(21)2121333p s r p s r ------=+， 因为s ，p ，*r N ∈，且s p r <<，则1s p -…且2p …， 由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -…，即12212333s p s p ----…， 因为12103r r r c --=>，所以11122(21)2121233333p s r p p s r p --------=+>，即122(21)2333p p p p ---->，化简得72p <， 又2p …且*p N ∈，所以2p =或3p =， 当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r …时，21r c c <=， 此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意．当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==， 代入(*)式得19r c =．因为数列{}nc 在2n …且*n N ∈上单调递减，且519c =， 4r …，所以5r =．综上所述，数列{}nc 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧¶AB 与弧¶AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：2AB BE CD =g．【解答】证明：连结AC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分） 因为EA 切圆O 于A ，所以EAB ACB ∠=∠． ⋯⋯⋯⋯（3分） 因为弧AB 与弧AD 长度相等，所以ACD ACB ∠=∠，AB AD =． 于是EAB ACD ∠=∠． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分） 又四边形ABCD 内接于圆O ，所以ABE D ∠=∠． 所以ABE CDA ∆∆∽． 于是AB BECD DA=，即AB DA BE CD =g g ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分） 所以2AB BE CD =g ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）四.[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，且AX B =r r ． （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；（2）求x ，y 的值．【解答】解：（1）由21[]32A =，det （A ）223110=⨯-⨯=≠，所以A 可逆， 设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则21103201a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦g ， 则21a c +=，20b d +=，320a c +=，321b d +=， 解得2a =，1b =-，3c =-，2d =，∴121[]32A --=-． （2）由AXB =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴12x y =⎧⎨=⎩．， （也可由AX B =得到214327x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即24327x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1)2x y =⎧⎨=⎩． [选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P 在曲线4cos :3sin (x C y θθθ=⎧⎪=⎨⎪⎩为参数）上，直线2322:3(2x t l y t t ⎧=+⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪⎪⎪⎩为参数），求P 到直线l 距离的最小值．【解答】解：直线2322:3(2x t l y t t ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪⎪⎪⎩为参数），的普通方程为：60x y --=．P 到直线l 距离为：|4cos 3sin 6||5cos()6|22θθθα--+-=，其中3tan 4α=． 当cos()1θα+=时，表达式取得最小值：22．[选修4-5：不等式选讲]24．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y zyzzx xy x y z ++++…． 【解答】证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y y xyz zx z x y z +=+…① 同理可得 2y z xz yx x +…② 2z x xy yz y +…③当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得：111x y z yz zx xy x y z++++… 25．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，122CC =，90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上．（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值；（2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒，试确定点M 的位置．【解答】解：（1）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(4A ，0，0)，1(4,0,22)A ，1(0,4,22)B ， 因为113A M MB =，所以(1,3,22)M ，所以1(4,0,22)CA =u u u r ，(3,3,22)AM =-u u u u r，所以111439cos ,39||||2426CA AM CA AM CA AM -〈〉===-u u u r u u u u ru u u r u u u u r g u u u r u u u u r g ． 所以异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值为3939； （2）由(4A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0,0,22)C ， 得(4,4,0)AB =-u u u r，1(4,0,22)AC =-u u u u r，设平面1ABC 的法向量为(,,)n a b c =r，由100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g 得4404220a b a c -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1a =，则1b =，2c =，所以平面1ABC 的一个法向量为(1,1,2)n =r， 因为点M 在线段11A B 上，设(,4,22)M x x -，所以(4,4,22)AM x x =--u u u u r，因为直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒， 所以1|cos ,|sin302n AM 〈〉=︒=u u u ur r ，由||||||cos ,n AM n AM n AM =〈〉u u u u r u u u u r u u u ur r r r g ，得221|1(4)1(4)222|2(4)(4)82x x x x -+-+=-+-+gg g g g ，解得2x =或6x =，为点M 在线段11A B 上，所以2x =， 即点(2,2,22)M 是线段11A B 的中点．26．在平面直角坐标系xoy 中，已知焦点为F 的抛物线24x y =上有两个动点A 、B ，且满足AF FB λ=u u u r u u u r，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M ． （1）求：OA OB u u u r u u u rg的值； （2）证明：FM AB u u u u r u u u rg 为定值． 【解答】解：（1）设221212(,),(,)44x x A x B xQ 焦点(0,1)F∴221212(,1),(,1)44x x AF x FB x =--=-u u u r u u u rQ AF FB λ=uu u r u u u r ∴122221221212110114444x x x x x x x x λλλ-=⎧⎛⎫⎛⎫⎪-+-=⎛⎫⎨ ⎪ ⎪-=-⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎩消得 ()121212104x x x x BR x x ⎛⎫-+=≠⎪⎝⎭Q 化简整理得， 124x x ∴=-221212144x x y y ∴==g∴12123OA OB x x y y =+=-u u u r u u u rg（定值） （2）抛物线方程为21142y x y x '=∴= ∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为22121122112424x x y x x x y x x x =-+=-+和即221212 1211,1 24242x x x xy x x y x x M+⎛⎫=-=--⎪⎝⎭和联立解出两切线交点的坐标为∴2222221221212121(2)(,)02422x x x x x x x xFM AB x x+---=--=-=u u u u r u u u rg g （定值）。

2020年2月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =I __________. 【答案】{1,2}【解析】Q 集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=I ．2．已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()f x 在点(1, (1))f 处的切线在y 轴上的截距为________. 【答案】2-【解析】由2()ln f x x x =+，得1()2f x x x'=+，所以(1)3f '=，又(1)1f =，所以切点为(1,1)，所以切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-，令0x =，得2y =-，所以切线在y 轴上的截距为-2. 3．某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有______个网箱产量不低于50 kg ．【答案】82【解析】由频率分布直方图，可知不低于50kg 的频率为：（0.040+0.070+0.042+0.012）×5＝0.82，所以网箱个数：0.082×100＝82.4．从123，，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________． 【答案】13【解析】列举法：12，21，13，31，23，32，一共6种可能，其中偶数2种，概率为135．函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________.【答案】()(),11,1-∞--U【解析】()2134lg x y x x -=--Q210340x x x ->⎧∴⎨--≠⎩解得1x <且1x ≠-即函数()2134lg x y x x -=--的定义域为()(),11,1-∞--U . 6．已知复数z 满足()()13z i i i ++=-，则z =________.【解析】因为()()13z i i i ++=-，所以()()()()31324131112i i ii z i i i i i i i ----=-=-=-=-++-，所以z ==7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，若32154,243S a a T =+=，则a 1的值为_________. 【答案】1.【解析】由已知，S 3＝123214a a a a a ++=+，则313a a =，所以23q =.又55123453243T a a a a a a ===，所以2313a a q ==，11a =.8．已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为2C 的标准方程是.【答案】2213y x -=【解析】由已知得2ca =，一条渐近线方程为0bx ay -=，根据焦点到渐近线距离d b ==，则b =C 的标准方程是2213y x -=. 9．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点．沿图中虚线折起，使B ，C ，D 三点重合，则围成的几何体的体积为_____.【答案】13【解析】以,,AE EF AF 为折痕，折叠这个正方形，使点,,B C D 重合于一点p ，得到一个四面体，如图所示．∵在折叠过程中，始终有AB BE ⊥，AD DF ⊥，即AP PE ⊥，AP PF ⊥，所以AP EFP ⊥平面．四面体的底面积为：12EFP S PE PF =⋅V ，高为2AP = ∴四面体A EFP -的体积：111112323A EFP V -=⨯⨯⨯⨯=.10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______.【答案】27【解析】s =0,n =1,s =(0+1)×1=1，n =1+1=2，不满足条件n >3，执行循环体； s =(1+2)×2=6，n =1+2=3，不满足条件n >3，执行循环体； s =(6+3)×3=27，n =1+3=4，满足条件n >3，退出循环体， 则输出结果为：2711．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2,1AB BC CD ===，M 是线段BC 上的动点，若3BD AM ⋅=-u u u r u u u u r，则BA BC ⋅u u u r u u u r的取值范围是______.【答案】[]1,10【解析】设,[0,1]BM tBC t =∈u u u u r u u u r,则()()()()1114t 23222t BD AM BC CD AB BM BC BA BA tBC BC BA BA tBC BC BA ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅-+=+⋅-+=--⋅+-=- ⎪⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v 所以[]821881,1022t BC BA t t u u u v u u u v +⋅==--∈--12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =()()1π-=x f x 在区间[],3ππ-上所有的实数解之和为_____．【答案】4π【解析】由题意，方程()()1π-=x f x 在区间[],3ππ-上所有的零点，转化为函数()y f x =与1()h x x π=-的交点的横坐标，又由定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，()()()2f x f x f x ππ∴+=-+=，所以函数()f x 的周期为2T π=，画出函数(),()f x h x 的图象，如图所示，则函数()f x 的图象关于点(,0)π对称，根据图象可得，函数(),()f x h x 的图象共有4个交点，它们关于点(,0)π对称，所以函数()()()1f x g x x π=-=在区间[],3ππ-所有的实数解之和为224πππ+=.13．设0,,0,22a ππβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且sin 1cos2cos 2sin2cos βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭______． 【答案】1-【解析】2sin 1cos22cos 2sin222sin cos cos cos cos βααβααααα+==++22222122cos sin cos sin sin cos αααααα-==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1222421222cos sin tantan sincostanαααπαααα--⎛⎫===- ⎪⎝⎭++，故tan 42tan παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又0,,0,2424a ππαπβ⎛⎫⎛⎫∈-∈∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=42πα-，故22πβα=-，则3tan 2tan 144ππαβ⎛⎫⎛⎫++==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则. 14．已知函数()[](]2,0,1,1,3x x x f x e x -⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中e 为自然对数的底数，若存在实数12x x ，满足1203x x ≤≤＜，且12()()f x f x =，则212x x ﹣的取值范围为_____． 【答案】2]1ln ∞-（-，． 【解析】记212m x x =-，①当1021≤≤≤x x 时，11()f x x =，22()f x x =，所以12x x =，则2m x =-， 故其最大值在20x =时取得，为0，其最小值在21x =时取得，为1-；②当3121≤≤<x x 时，121()x f x e -=，222()x f x e -=，所以1222x x e e --=，即12x x =，则2m x =-，故其最大值()11max m m <=-，其最小值()33min m m =-…； ③当31021≤<≤≤x x 时，11()f x x =，222()x f x e -=，所以221x x e -=，所以212x lnx -=，即212x lnx =+，故1122m lnx x =+-， 设()22g x lnx x =+-，[0x ∈，1]，则1()2g x x '=-，令()0g x '=，得12x =， 当1(0,)2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(2x ∈，1)时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以当0x →时，()g x 的值无限趋于-∞； 所以当12x =时，()g x 取极大值也是最大值，即11()2112122max m g ln ln ==+-=->-，所以212x x -最大值为12ln -．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30B =︒，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+. （1）求()sin A C -的大小；（2）若ABC ∆的面积为ABC ∆的周长.【解析】（1）因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+，由正弦定理可得： ()()2222a b b c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，解得120A =︒.又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒， ∴()()sin sin 120301A C -=︒-︒=. （2）由（1）知b c =，120A =︒，∴21sin1202b ︒=bc ==由余弦定理，得22212cos 1212212362a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即6a =.∴ABC 的周长为6.16．如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB BC CA ===1AD CD ==，11AAC C ABCD ⊥平面平面.（1）求证：1BD AA ⊥（2）若E 为线段BC 的中点，求证：111//A E DCC D 平面.【解析】（1）因为BA BC DA BD ==，，所以BD 是线段AC 的垂直平分线. 所以BD AC ⊥.又11AAC C ABCD ⊥平面平面，11=,AAC C ABCD AC BD ABCD ⋂⊂平面平面平面， 所以11BD AAC C 平面⊥.因为111AA AAC C ⊂平面，所以1BD AA ⊥.（2）因为1AB BC CA DA DC =====，所以60,30BAC BCA DCA ∠=∠=︒∠=︒，连结AE. 因为E 为BC 的中点，所以30EAC ∠=︒. 所以EAC DCA ∠=∠. 所以//AE DC .因为11DC DCC D ⊂平面，11AE DCC D ⊄平面，所以11//AE DCC D 平面.因为棱柱1111ABCD A B C D -，所以11//AA DD .因为111DD DCC D ⊂平面，111AA DCC D 平面⊄，所以11//AA AA E 平面，11AE AA E AA AE A ⊂⋂=平面，，所以111//AA E DCC D 平面平面.因为11111//A E AA E A E DCC D ⊂平面，所以平面.17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点坐标为())12,F F ，且椭圆E经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点M 是椭圆E 上位于第一象限内的动点，,A B 分别为椭圆E 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求四边形ABCD 的面积． 【解析】(1)因为椭圆焦点坐标为())12,F F，且过点1,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以121242a PF PF =+=+=，所以2a =，从而1b ==， 故椭圆的方程为2214x y +=．(2)设点()()0000,02,01M x y x y <<<<，(),0C m ，()0,D n ，因为()2,0A -，且,,A D M 三点共线，所以0022y nx =+，解得0022y n x =+，所以00000222122y x y BD x x ++=+=++，同理得000221x y AC y ++=+，因此0000002222112221ABCDx y x y S AC BD x y ++++=⋅=⋅⋅++()()()2000022221x y x y ++=++()22000000000044484222x y x y x y x y x y +++++=+++，因为点()00,M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，即220044x y +=，代入上式得：()0000000044882222ABCD x y x y S x y x y +++==+++．18．某小区内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP AB BQ ==，120PAB QBA ∠=∠=o，且AB ，PQ 在点O 的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.设,(0,)3OAB παα∠=∈.（1）求AB 的长（用α表示）；（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？ 【解析】（1）过点O 作OH 垂直于AB ，垂足为.H 在直角三角形OHA 中，20OA OAH α∠＝，＝， 所以20cos AH α＝，因此240cos .AB AH α＝＝ （2）由图可知，点P 处的观众离点O 最远 在三角形OAP 中，由余弦定理可知22222cos +3OP OA AP OA AP πα=+-⋅（）()2140040cos 22040cos cos 2＝αααα⎛⎫+-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭()24006cos cos 1ααα=++()4003cos24216003πααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．因为0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当26πα=，即12πα=时，()max OP ＝＋1600，又()max OP ＝16003600< 所以60OP <所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米． 故对于任意α，上述设计方案均能符合要求． 19．已知函数()()212ln 22f x a x x x x =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．【解析】（1）()()()()211220f x a x x a x x x x '=--⎛⎫+=-- ⎪⎝>⎭①0a ≤，0a x -<，(0,2)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；(2,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减②02a <<，()02f x x '=⇒=或x a =，当(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；(),2x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；()2,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减③2a =，()()2120f x x x'=--<，()f x 在()0,∞+单调递减 ④2a >，()02f x x '=⇒=或x a =，当()0,2x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；()2,x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增； (),x a ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减（2）由（1）得当0a =时，()2122f x x x =-+在定义域上只有一个零点 0a <，由（1）可得，要使()f x 有两个零点，则()()()20222ln220f f a >⇒=-+>∴10ln 21a <<-下证()f x 有两个零点取1ax e =，1111112202a aa a f e a e e e a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()120af e f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，故()f x 在()0,2有且只有一个零点()()442ln40f a =-<，满足()()240f f <，故()f x 在()2,+∞有且只有一个零点当02a <<时，由（1）可得()0,2x ∈，()()()()22112ln 221ln 022f x f a a a a a a a a a ≥=--+=+->，故()f x 在()0,2无零点， 又因为()f x 在()2,+∞单调递减，∴()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件当2a >时，()0,x a ∈，()()()222ln 220f x f a ≥=-+>故()f x 在()0,a 上无零点， 又因为()f x 在(),a +∞单调递减，∴()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件 ∴满足条件a 的取值范围10ln 21a <<-20.已知正项数列}{n a 中，61=a ，点),(1+n n n a a A 在抛物线12+=x y 上．数列}{n b 中，点),(n n b n B 在经过点)1,0(，以)2,1(=为方向向量的直线l 上． （Ⅰ）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（Ⅱ）若⎩⎨⎧=为偶数），（为奇数），（n b n a n f n n )(，问是否存在*∈N k ，使得)(4)27(k f k f =+成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意的正整数n ，不等式02)11()11)(11(211≤+--++++nnnn a n a b b b a K 成立，求正数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）将点),(1+n n n a a A 代入抛物线12+=x y 得：11+=+n n a a∴)1(11≥=-+n a an n ∴数列}{n a 是等差数列．1(1)6(1)1n a a n d n =+-=+-⨯，即5na n =+Θ)2,1(=m 为直线l 的方向向量∴直线l 的斜率2=k ，直线l 的方程为12+=x yΘ),(n n b n B 在直线l 上．∴12+=n b n（Ⅱ）由题5()21n n f n n n +⎧=⎨+⎩，（为奇数），（为偶数）①当k 是偶数时，27+k 是奇数，)(4)27(k f k f =+即)12(4527+=++k k 4=⇒k ，②当k 是奇数时，27+k 是偶数，)(4)27(k f k f =+即)5(41)27(2+=++k k 235=⇒k （舍去）故存在唯一的4=k 符合条件．（Ⅲ）由题12111(1)(1)(1)n a b b b +++K 111(1)(1)(1)a +++K设111(1)(1)(1)()f n +++=K则1111(1)(1)(1)(1)(1)f n +++++=K∴5232)()1(++=+n n n f n f )11(1++n b 151641616432524222++++=+++=n n n n n n n >1∴)()1(n f n f >+，即数列)}({n f 是递增数列． ∴==)1()(minf xf∴0a <≤数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知x ，y ∈R ，矩阵21x y ⎡⎤=⎢⎥⎦⎣A 的两个特征向量110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α． （1）求矩阵A 的逆矩阵1-A ；（2）若12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，求10A β．【解析】（1）设矩阵A 的特征向量1α对应的特征值为1λ，特征向量2α对应的特征值为2λ，则2001A ⎡⎤∴=⎢⎥⎦⎣，则110201A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎦⎣． （2）因12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β12102201⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦αα，所以10A β1010102122(2)2A λλ=+=+11αααα1010102422012⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，圆C的参数方程为：12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若直线l ：cos tsin x t y ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数）被圆C截得的弦长为l 的倾斜角.【解析】（1）圆C：12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数α得：()(2214x y -+-=，即2220x y x +--=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=.∴22cos sin 0ρρθθ--=，4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）∵直线l ：cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩的极坐标方程为θϕ=，当θϕ=时4cos 3πρϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭即：cos 3πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴36ππϕ-=或36ππϕ-=-. ∴2ϕπ=或6π=ϕ， ∴直线l 的倾斜角为6π或2π. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知()|2|f x x =-.（1）解不等式()1(2)f x f x +>；（2）若()1f m ≤，(2)2f n ≤，求21m n --的最大值，并求此时实数,m n 的取值. 【解析】（1）原不等式等价于|x ﹣2|+1＞2|x ﹣1|， 故或或，解得﹣1＜x ＜，故不等式的解集是（﹣1，）；（2）由题意得：f （m ）=|m ﹣2|≤1，f （2n ）=|2n ﹣2|≤2， ∴|n ﹣1|≤1，∴|m ﹣2n ﹣1|=|（m ﹣2）﹣2（n ﹣1）﹣1|≤|m ﹣2|+2|n ﹣1|+1≤4， 当且仅当时，|m ﹣2n ﹣1|取最大值4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．已知n 为给定的正整数，设201223nn n x a a x a x a x ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭L ，x ∈R .（1）若4n =，求01,a a 的值；（2）若13x =，求0()nkk k n k a x =-∑的值.【解析】（1）因为4n =，所以0404216C ()381a ==，1314232C ()327a ==；（2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x -=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!kk n n n n k kn n k n k k n k ---===---，当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑；当2n ≥时，0021()()C ()()33nnkk n k kk n k k n k a x n k -==-=-∑∑012121C ()()C ()()3333nn kn k k k n k knnk k n k --===-∑∑ 1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑11212()3333n n n n -=-+=，当1n =时，也符合.所以0()nkk k n k a x =-∑的值为23n .23．某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N 人，若逐个检验就需要检验N 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这个k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验，这时k 个人的检验次数为1k +次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p . （Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若0.1p =，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；（Ⅱ）设ξ为k 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数. ①当5k =，0.1p =时，求ξ的分布列；②是运用统计概率的相关知识，求当k 和p 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数. 【解析】（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事件A ：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率()1230.10.90.243P A C =⋅⋅=（Ⅱ）①当5K =，0.1P =时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为50.9，每人所检验的次数为15次，若混合检验结果为阳性，则其概率为510.9-，则每人所检验的次数为65次，故ξ的分布列为②分组时，每人检验次数的期望如下()11k P P k ξ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()1111k P P k ξ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭∴()()()111111111k k k E P P P k k k ξ⎛⎫⎡⎤=⋅-++--=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需()1111kPk--+<即1P ->所以当1P ->时，用分组的办法能减少检验次数.。

2020年高考模拟试卷高考数学一模试卷一、填空题1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}，则A∩B＝．2．设复数z+2i＝，则|z|＝．3．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（a+2），则f（）＝．4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为．5．若变量x，y满足，且x﹣2y≤a恒成立，则a的最小值为．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．7．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．9．已知x∈（0，），tan（x+）＝﹣3，则＝．10．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为．11．若正实数x、y满足x2﹣xy+y2＝9，且|x2﹣y2|＜9，则xy的取值范围为．12．已知直角三角形ABC的两直角边CA＝3，CB＝4，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为．13．已知函数f（x）＝（）x﹣1，x∈[﹣1，0]，g（x）＝a2log2x+3a，x∈[，2]，对任意的x0∈[，2]，总存在x1∈[﹣1，0]使得g（x0）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a，若对任意的t∈[1，e]，f（x）在区间[﹣1，1]总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．（1）求证：O是BD的中点；（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（0＜r＜2），过点A作圆M的两条切线分别交椭圆C 于点B和D，求证：直线BD过定点．18．（16分）如图，一条小河岸边有相距8km的A，B两个村庄（村庄视为岸边上A，B 两点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽OH为0.05km，通过测量可知，∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN（M，N分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知A，B两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次．设∠PMQ＝θ．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用θ表示L；（2）试确定θ的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求．19．（16分）已知数列{a n}，其前n项和为{S n}，满足a1＝2，S n＝λna n+μa n﹣1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R．（1）若λ＝0，μ＝4，b n＝a n+1﹣2a n（n∈N*），求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是等比数列，求λ，μ的值；（3）若a2＝3，且λ+μ＝，求证：数列{a n}是等差数列．20．（16分）若函数f（x）+g（x）和f（x）•g（x）同时在x＝t处取得极小值，则称f （x）和g（x）为一对“P（t）函数”．（1）试判断f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是否是一对“P（1）函数”；（2）若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”．①求a和t的值；②若a＜0，若对于任意x∈[1，+∞），恒有f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x），求实数m的取值范围．【选做题】本题包括21、22两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知矩阵M＝满足：Ma i＝λi a i，其中λi（i＝1，2）是互不相等的实常数，a i（i＝1，2）是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3：（t为参数，t＞0，）分别交C1，C2于A，B 两点，当α取何值时，取得最大值．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．24．设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1＝a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．参考答案一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}，则A∩B＝（1，2）．【分析】求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}＝{x|1＜x＜2}，∴由题得A∩B＝{x|x＜2，x∈R}∩{x|1＜x＜2，x∈R}＝（1，2）．故答案为：（1，2）．2．设复数z+2i＝，则|z|＝3．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：∵z+2i＝＝﹣i，∴z＝﹣2i﹣i＝﹣3i，则|z|＝3，故答案为：3．3．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（a+2），则f（）＝2．【分析】当0＜a＜2时，a2+a＝﹣2a﹣4+8，求出a＝1；当a≥2时，﹣2a+8＝﹣2a﹣4+8，无解．从而f（）＝f（1），由此能求出结果．解：∵函数f（x）＝，f（a）＝f（a+2），∴当0＜a＜2时，a2+a＝﹣2a﹣4+8，解得a＝﹣4（舍）或a＝1；当a≥2时，﹣2a+8＝﹣2a﹣4+8，无解．∴a＝1，f（）＝f（1）＝12+1＝2．故答案为：2．4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为﹣6．【分析】由已知求得，再由配方法求数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值．解：由S n＝2n﹣1，得a1＝S1＝1，当n≥2时，，a1＝1适合上式，∴．则b n＝a n2﹣7a n+6＝．∴当a n＝4时．故答案为：﹣6．5．若变量x，y满足，且x﹣2y≤a恒成立，则a的最小值为4．【分析】令z＝x﹣2y，作平面区域，从而可得到z＝x﹣2y的最大值，从而求得a的最小值．解：令z＝x﹣2y，作变量x，y满足的平面区域如下，结合图象可知，C（0，﹣2）；且z＝x﹣2y在A（0，﹣2）处有最大值4，故a≥4，即实数a的最小值为4，故答案为：4．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．【分析】利用分导抽样的性质求出高一学生抽取2名，高二学生抽取2名，高三学生抽取1名，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n＝＝10，记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m＝＝2，由此能求出事件A的概率．解：青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，则高一学生抽取：5×＝2，高二学生抽取：5×＝2，高三学生抽取：5×＝1，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n＝＝10，记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m＝＝2，∴事件A的概率为p＝＝＝．故答案为：．7．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．【分析】直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值．解：由题意，圆柱与圆锥的底面半径R＝3，圆柱与圆锥的高h＝4，则圆锥的母线长为l＝5，则圆锥的全面积为：πR2+×2πR×l＝9π+15π＝24π；圆柱的全面积为：2πR2+π×2R×h＝18π+24π＝42π．∴圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：．故答案为：．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为3．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i＝1．第一次执行循环体后：a＝1，b＝8，不满足条件a＞b，故i＝2；第二次执行循环体后：a＝3，b＝6，不满足条件a＞b，故i＝3；第三次执行循环体后：a＝6，b＝3，满足条件a＞b，故输出的i值为：3，故答案为：39．已知x∈（0，），tan（x+）＝﹣3，则＝．【分析】利用两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式可求cos x，sin x，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解．解：∵x∈（0，），tan（x+）＝＝﹣3，∴tan x＝2，即sin x＝2cos x，∴sin2x+cos2x＝（2cos x）2+cos2x＝5cos2x＝1，解得cos x＝，sin x＝，∴＝＝＝．故答案为：．10．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为﹣6或2．【分析】由题可知切线的斜率k＝f'（1）＝1．又f（1）＝a，所以切点坐标为（1，a），函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y＝x+a﹣1．所以圆心到切线的距离．则，解得实数a的值是﹣6或2．解：f′（x）＝，由题可知切线的斜率k＝f'（1）＝1．又f（1）＝a，所以切点坐标为（1，a），所以函数的图象在x＝1处的切线方程为y＝x+a﹣1．又因为圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0的圆心坐标为（1，﹣2），半径为3，所以圆心到切线的距离．因为切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则，解得a＝﹣6或2．故答案为：﹣6或2．11．若正实数x、y满足x2﹣xy+y2＝9，且|x2﹣y2|＜9，则xy的取值范围为（6，9]．【分析】运用基本不等式可得xy的最大值，再由不等式的性质可得xy＞6，即可得到所求范围．解：x＞0，y＞0，x2﹣xy+y2＝9，可得xy＝（x2+y2）﹣9≥2xy﹣9，即xy≤9，当且仅当x＝y＝3取得最大值9；由|x2﹣y2|＜9，即﹣9＜x2﹣y2＜9，即xy﹣x2﹣y2＜x2﹣y2＜x2+y2﹣xy，（x＞0，y＞0），即xy＜2x2，xy＜2y2，化为x＜y＜2x，由x2+y2＝9+xy＞9，可得x＞3，则xy＞x2＞6，综上可得xy∈（6，9]．故答案为：（6，9]．12．已知直角三角形ABC的两直角边CA＝3，CB＝4，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为﹣4．【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径；建立坐标系求出各点坐标以及对应向量的坐标；结合三角函数的有界性即可求解解：由题意，直角三角形，斜边长为5，由等面积，可得内切圆半径r＝＝1，建立如图所示坐标系则O（0，0），C（﹣1，﹣1），A（2，﹣1），B（﹣1，3）；设P（cosθ，sinθ）；∴＝（2﹣cosθ，﹣1﹣sinθ），＝（﹣1﹣cosθ，3﹣sinθ）；∴＝cos2θ﹣cosθ﹣2+sin2θ﹣2sinθ﹣3＝﹣（2sinθ+cosθ）﹣4＝﹣sin（θ+φ）﹣4；其中tanφ＝；∴sin（θ+φ）＝﹣1时的最大值为：﹣4；故答案为：﹣4．13．已知函数f（x）＝（）x﹣1，x∈[﹣1，0]，g（x）＝a2log2x+3a，x∈[，2]，对任意的x0∈[，2]，总存在x1∈[﹣1，0]使得g（x0）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}．【分析】由已知问题可转化为函数g（x）在上值域是f（x）在[﹣1，0]上值域的子集，结合导数及函数的性质分别求解函数的值域即可．解：∵，∴f（0）≤f（x）≤f（﹣1），即0≤f（x）≤4，即函数f（x）的值域为B＝[0，4]，若对于任意的x1∈[﹣1，0]，总存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，则函数g（x）在上值域是f（x）在[﹣1，0]上值域A是集合B的子集，即A⊆B，①若a＝0，g（x）＝0，此时A＝{0}，满足条件．②当a≠0时，g（x）＝a2log2x+3a在是增函数，g（x）∈[﹣+3a，a2+3a]，即A＝[﹣+3a，a2+3a]，∴，解可得0≤a≤1，故答案为：{a|0≤a≤1}．14．已知函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a，若对任意的t∈[1，e]，f（x）在区间[﹣1，1]总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是[1+，e]．【分析】根据导数求出函数的最值，再根据存在唯一的x0∈[﹣1，1]，使得f（x0）＝﹣lnt+a 在t∈[1，e]上恒成立，得到≤f（x0）≤e，即≤﹣lnt+a≤e，得到关于a的不等式组，解得即可．解：函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a＝0可得x2e x＝a﹣lnt，令g（x）＝x2e x，则g′（x）＝2xe x+x2e x＝xe x（x+2），x∈[﹣1，1]，令g′（x）＝0，则x＝0，当g′（x）＞0时，0＜x≤1，当g′（x）＜0时，﹣1≤x＜0，∴g（x）在（﹣1，0）单调递减，在（0，1]上单调递增，∴g（x）min＝f（0）＝0∵g（﹣1）＝＜g（1）＝e，∴g（x）max＝g（1）＝e，∵存在唯一的x0∈[﹣1，1]，使得f（x0）＝﹣lnt+a在t∈[1，e]上成立，∴≤f（x0）≤e，因为≤﹣lnt+a≤e在t∈[1，e]上成立，∴，解得1+≤a≤e，故答案为[1+，e]．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解cos A，进而可求A；（2）由余弦定理结合基本不等式可求bc的最大值，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）由及正弦定理可得，整理可得，sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A，即sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos A，因为sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝，（2）由余弦定理可得，＝，所以b2+c2＝1+bc≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，所以bc≤1，即bc的最大值为1，此时三角形的面积取得最大值S＝＝．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．（1）求证：O是BD的中点；（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．【分析】（1）利用线面平行的性质即可得证；（2）直接利用面面垂直的判定定理证明即可．【解答】证明：（1）∵BC∥平面AOE，BC在平面BCD内，平面BCD∩平面AOE＝OE，∴BC∥OE，∵E为CD的中点，∴O为BD的中点；（2）∵OE∥BC，BC⊥BD，∴OE⊥BD，∵AB＝AD，O为BD的中点，∴OA⊥BD，∵OE∩OA＝A，且都在平面AOE内，∴BD⊥平面AOE，∵BD在平面ABD内，∴平面ABD⊥平面AOE．17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（0＜r＜2），过点A作圆M的两条切线分别交椭圆C 于点B和D，求证：直线BD过定点．【分析】（1）根据椭圆的定义，利用椭圆的离心率公式即可求得c和b，即可求得椭圆的标准方程；（2）设切线方程，根据点到直线的距离公式等于半径，求得k1k2＝1，将直线方程代入椭圆方程，求得B和D点坐标，求得直线BD的方程，即可判断直线BD过定点．解：（1）由椭圆的定义2a＝4，则a＝2，，则c＝，所以b2＝a2﹣c2＝1，因此椭圆C的标准方程；（2）证明：设切线AB，CD的方程为y＝k（x+2），则，即（4﹣r2）k2﹣8k+4﹣r2＝0，设两切线AB，AD的斜率为k1，k2，则k1k2＝1，联立，得（1+4k2）x2+16k2﹣4＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1＝，y1＝，同理得x2＝＝，y2＝＝，所以直线BD的斜率k BD＝＝．则直线BD的方程为y﹣＝（x﹣），整理得y＝（x+），故直线BD过定点（﹣，0）．18．（16分）如图，一条小河岸边有相距8km的A，B两个村庄（村庄视为岸边上A，B 两点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽OH为0.05km，通过测量可知，∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN（M，N分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知A，B两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次．设∠PMQ＝θ．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用θ表示L；（2）试确定θ的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求．【分析】（1）通过∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3，推出PA：PB＝3：1，求出L＝1000（AN+MN+MP）+500（BN+MN+MP），得到解析式．（2），求出函数的导数，判断函数的单调性，得到函数的最值即可．解：（1）因∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3，所以，所以PA：PB＝3：1，即PA＝6，PB＝2，因PQ＝2，所以，，所以L＝1000（AN+MN+MP）+500（BN+MN+MP），所以，化简得，．（2）由（1）知，所以，化简得，由L'＝0，得，令，且，当θ∈（0，θ0）时，，L'＜0；当时，，L'＞0；所以函数L（θ）在（0，θ0）上单调递减；在上单调递增；所以θ＝θ0时函数L（θ）取最小值，即当时，符合建桥要求，答：（1），；（2）当时，符合建桥要求．19．（16分）已知数列{a n}，其前n项和为{S n}，满足a1＝2，S n＝λna n+μa n﹣1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R．（1）若λ＝0，μ＝4，b n＝a n+1﹣2a n（n∈N*），求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是等比数列，求λ，μ的值；（3）若a2＝3，且λ+μ＝，求证：数列{a n}是等差数列．【分析】（1）利用数列的递推关系，结合等比数列的定义进行证明即可．（2）根据等比数列的性质建立方程关系进行求解．（3）利用数列的递推关系，结合等差数列的定义进行证明．【解答】（1）证明：若λ＝0，μ＝4，则当S n＝4a n﹣1（n≥2），所以a n+1＝S n+1﹣S n＝4（a n﹣a n﹣1），即a n+1﹣2a n＝2（a n﹣2a n﹣1），所以b n＝2b n﹣1，又由a1＝2，a1+a2＝4a1，得a2＝3a1＝6，a2﹣2a1＝2≠0，即b n≠0，所以＝2，故数列{b n}是等比数列．（2）若{a n}是等比数列，设其公比为q（q≠0），当n＝2时，S2＝2λa2+μa1，即a1+a2＝2λa2+μa1，得1+q＝2λq+μ，①当n＝3时，S3＝3λa3+μa2，即a1+a2+a3＝3λa3+μa2，得1+q+q2＝3λq2+μq，②当n＝4时，S4＝4λa4+μa3，即a1+a2+a3+a4＝4λa4+μa3，得1+q+q2+q3＝4λq3+μq2，③②﹣①×q，得1＝λq2，③﹣②×q，得1＝λq3，解得q＝1，λ＝1．代入①式，得μ＝0．此时S n＝na n，（n≥2），所以a1＝2，{a n}是公比为1的等比数列，故λ＝1，μ＝0．（3）证明：若a2＝3，由a1+a2＝2λa2+μa1，得5＝6λ+2μ，又λ+μ＝，解得λ＝，μ＝1．由a1＝2，a2＝3，λ＝，μ＝1，代入S n＝λna n+μa n﹣1得a5＝4，所以a1，a2，a3成等差数列，由S n＝a n+a n﹣1，得S n+1＝a n+1+a n，两式相减得：a n+1＝a n+1a n+a n﹣a n﹣1，即（n﹣1）a n+1﹣（n﹣2）a n﹣2a n﹣1＝0，所以na n+2﹣（n﹣1）a n+1﹣2a n＝0，相减得：na n+2﹣2（n﹣1）a n+1+（n﹣2）a n﹣2a n+2a n﹣1＝0，所以n（a n+2﹣2a n+1+a n）+2（a n+1﹣2a n+a n﹣1）＝0，所以a n+2﹣2a n+1+a n＝﹣（a n+1﹣2a n+a n﹣1）＝（a n﹣2a n﹣1+a n﹣2）＝…＝（a3﹣2a2+a1），因为a3﹣2a2+a1＝0，所以a n+2﹣2a n+1+a n＝0，即数列{a n}是等差数列．20．（16分）若函数f（x）+g（x）和f（x）•g（x）同时在x＝t处取得极小值，则称f （x）和g（x）为一对“P（t）函数”．（1）试判断f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是否是一对“P（1）函数”；（2）若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”．①求a和t的值；②若a＜0，若对于任意x∈[1，+∞），恒有f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x），求实数m的取值范围．【分析】（1）设立两个新函数h1（x）＝f（x）+g（x），h2（x）＝f（x）•g（x），分别求导，看在x＝1处是否有极小值，从而得出判断．（2）①设立两个新函数h1（x）＝e x+x2+ax+1，h2（x）＝e x•（x2+ax+1），分别求导，由f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数，对a进行分类讨论，看极小值从而得到结论．②由①的结论，对不等式进行转化，根据恒成立的条件进行求解即可．解：令h1（x）＝f（x）+g（x），h2（x）＝f（x）•g（x）．（1）则h′1（x）＝2x+a+1，h′2（x）＝3x2+2ax+b．∵f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是一对“P（1）函数”；∴，∴此时，因h′2（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2≥0，h2（x）无极小值．故f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b不是一对“P（1）函数”．（2）①h1（x）＝e x+x2+ax+1，h2（x）＝e x•（x2+ax+1），h′1（x）＝e x+2x+a，h′2（x）＝e x[x2+（a+2）x+a+1]＝e x•（x+1）（x+a+1）．若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”，由h′2（x）＝e x•（x+1）（x+a+1）＝0，得x1＝﹣1，x2＝﹣a﹣1，1°若a＞0，则有﹣a﹣1（﹣1，+∞）x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，﹣a﹣1）h′2（x）+0﹣0+h2（x）↑极大值↓极小值↑因为h2（x）在x＝t处取得极小值，所以t＝1，从而h′1（﹣1）＝e﹣1﹣2+a＝0，a＝2﹣，经验证知h1（x）＝e x+x2+（2﹣）x+1，在x＝﹣1处取得极小值，∴2°若a＜0，则有x（﹣∞，﹣a﹣1）﹣a﹣1（﹣a﹣1，﹣1）﹣1（1，+∞）h′2（x）+0﹣0+h2（x）↑极大值↓极小值↑因为h2（x）在x＝t处取得极小值，所以t＝﹣a﹣1；从而h′1（﹣a﹣1）＝e﹣a﹣1﹣a﹣2＝0令φ（a）＝e﹣a﹣1﹣a﹣2，a＜0，φ（a）在（﹣∞，0）是减函数，且φ（﹣1）＝0，所以a＝﹣1，从而，经验证知h1＝（x）＝e x+x2﹣x+1在x＝0处取得极小值，所以3．当a＝0时，h′2（x）＝e x•（x+1）2≥0，h2（x）是增函数，无极小值，与题设不符．综上所述：或，②∵a＜0，由①结论可知，f（x）＝e x与g（x）＝x2﹣x+1，∴易见f（x）＞0，g（x）＞0，故不等式f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x ）等价于：，令H（x ）＝，则H（x）max＜m．∵x≥1，∴H（x）单调递减，∴H（x）max＝H（1）＝+1，从而m．【选做题】本题包括21、22两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知矩阵M＝满足：Ma i＝λi a i，其中λi（i＝1，2）是互不相等的实常数，a i（i ＝1，2）是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝，求矩阵M．【分析】由题意λ1，λ2是方程f（λ）＝＝λ2﹣ab＝0的两根，由λ1＝1得ab＝1，由Ma2＝λ2a2得•＝λ2，求得，再由λ1≠λ2求得a、b的值即可．解：由题意，λ1，λ2是方程f（λ）＝＝λ2﹣ab＝0的两根，因为λ1＝1，所以ab＝1；又因为Ma2＝λ2a2，所以•＝λ2，从而，所以，因为λ1≠λ2，所以λ2＝﹣1，从而a＝b＝﹣1，故矩阵M＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3：（t为参数，t＞0，）分别交C1，C2于A，B 两点，当α取何值时，取得最大值．【分析】（Ⅰ）利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）＝＝＝，即可得出结论．解：（Ⅰ）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，C1的极坐标方程为，C2的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2y＝0，对应极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅱ）曲线C3的极坐标方程为θ＝α（ρ＞0，）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则，ρ2＝2sinα，所以＝＝＝，又，，所以当，即时，取得最大值．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．【分析】（1）当直线l过点M且垂直于x轴时，由AB＝4知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得p的值；（2）设直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x化简得关于y的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线l1的方程，再根据垂直关系求出直线l2的方程，由此求得两直线的交点坐标P，并判断点P在定直线x＝1上．【解答】（1）解：当直线l过点M（2，0），且垂直于x轴时，由AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1；（2）证明：由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x，化简得ky2﹣2y﹣4k＝0，由根与系数的关系得y1+y2＝，y1y2＝﹣4；又点C在直线AB上，则y C＝＝，所以直线l1的方程为y＝；又直线l2过点M且与直线l垂直，则直线l2的方程为y＝﹣（x﹣2）；联立，解得，所以点P（1，），所以点P在定直线x＝1上．24．设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1＝a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．【分析】第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）＝（1+x）p﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；对第（Ⅱ）问，从a n+1着手，由a n+1＝a n+a n1﹣p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a n＞a n+1进行转换，设法利用已证结论证明．【解答】证明：（Ⅰ）令f（x）＝（1+x）p﹣（1+px），则f′（x）＝p（1+x）p﹣1﹣p ＝p[（1+x）p﹣1﹣1]．①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0＝1，∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f（0）＝（1+0）p﹣（1+p×0）＝0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，∴（1+x）p＞1+px．②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0＝1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）＝0，∴（1+x）p＞1+px．综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．（Ⅱ）先证a n+1＞．∵a n+1＝a n+a n1﹣p，∴只需证a n+a n1﹣p＞，将写成p﹣1个相加，上式左边＝，当且仅当，即时，上式取“＝”号，当n＝1时，由题设知，∴上式“＝”号不成立，∴a n+a n1﹣p＞，即a n+1＞．再证a n＞a n+1．只需证a n＞a n+a n1﹣p，化简、整理得a n p＞c，只需证a n＞．由前知a n+1＞成立，即从数列{a n}的第2项开始成立，又n＝1时，由题设知成立，∴对n∈N*成立，∴a n＞a n+1．综上知，a n＞a n+1＞，原不等式得证．。

2020年4月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（1）数学第I 卷（必做题，共160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合()2{}2|1A x log x =-<，{|26}B x x =<<，且A B =I ________．2．i 是虚数单位，复数20171+ii z =，则复数z =______.3．函数122log (1)y x x =+-的定义域为________4．执行下图所示的程序框图，如果输入的918,238a b ==，则输出的n =_____．5．已知{}n a 为等比数列，2351,42a a a ==，则q =_______ 6．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为____．7．如图，已知,E F 分别是矩形ABCD 的边,BC CD 的中点，EF 与AC 交于点G .若,AB a AD b ==ru u u v u u u v r ，用,a b rr 表示AG uuu v ，则AG =u u u v _________.8．函数()cos x f x e x =在点(0,1)处的切线的斜率为________9．袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为________. 10．已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=_______. 11．设奇函数()()y f x x R =∈满足对任意t R ∈都有()(1)f t f t =-，且1[0,]2x ∈时，2()f x x =-，则3(3)()2f f +-的值等于_____12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为2y x =±，点()1,2A 到右焦点F 的距离为22C 的方程为______.13．如图，直三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均为2，D 为棱11B C 上任意一点，则三棱锥1D A BC -的体积是___．14．已知()[)[]e 1,0,22,2,6x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()21x f x 的取值范围为______． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin cos sin cos sin b A C c A B ac B += . (1)证明：bc a = ； (2)若13,cos 6c C ==，求AC 边上的高. 16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱P A 的中点． （1）求证：PC // 平面BDE ；（2）若PC ⊥P A ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面P AB ．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，点()2,1在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线与圆22:2O x y +=相切，与椭圆C 相交于,P Q 两点，求证：POQ ∠是定值. 18．如图为某公园的绿化示意图，准备在道路AB 的一侧进行绿化，线段AB 长为2km ，1OC OD OA OB km ====，设COB θ∠=.(1)为了类化公园周围的环境，现要在四边形ABCD 内种满郁金香，若3COD π∠=，则当θ为何值时，郁金香种植面积最大;(2)为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段BC ，CD 和DA 组成，若BC CD =，则当θ为何值时，栈道的总长l 最长，并求l 的最大值. 19．已知函数()ln m x x x =.（1）设2()[()1]f x a m x x =--'(0)a ≠，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）设()[()1]bg x b m x x -'=-+(0)b >，对任意121,[,]x x e e∈，有12()()2g x g x e -≤-成立，求实数b的取值范围.20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a 2=1，，数列{b n }是公差为d 的等差数列，n ∈N *.（1）求d 的值；（2）求数列{a n }的通项公式； （3）求证：.第II 卷（附加题，共40分）理科附加题21．设二阶矩阵A ＝1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1） 求A －1；（2） 若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C ′：6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：22545x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()3θρπ=∈R . （Ⅰ）求1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅰ）若直线3C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，设2C 与1C 的交点为O ，M ，3C 与1C 的交点为O ，N ，求OMN ∆的面积.23．已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA 来确定是否感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA ，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验.（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？ 24．已知函数3()93x f x =+． （1）求(1)(0)f f +和()(1)f x f x +-的值； （2）记121m m m S f f f f m m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m S ； （3）对（2）中的m S 和任意*m ∈N ，均有121m m m m a a S S ++>成立，求实数a 的取值范围．（直接写出答案即可，不要求写求解过程．）2020年4月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（1）数学第I 卷（必做题，共160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2020年江苏省南通市尖子生班高考数学模拟试卷（一）（3月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={x||x|≤1,x ∈Z}，B ={x|0≤x ≤2}，则A ∩B =_________2. 高一某班在合唱比赛中被各评委打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的平均值为______．3. 复数z 满足(1+i)z =|√3−i|，则z − =________．4. 一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子抛掷二次，观察向上的点数，则二次点数之和等于10的概率为_________．5. 执行如图所示的流程图，则输出的M 应为______6. 曲线x 2+4y 2=4关于点M(3,5)对称的曲线方程为__________．7. 已知cos(α−π3)=13，则sin(2α−π6)=______．8. 已知矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则(AE⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 9. 已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，若|PF|=34|AF|，则该椭圆的离心率是____.10. 棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径等于_______。

11. 已知a >0，函数f(x)=|√2−x 2+12|x −2a |−5|在[−1,1]上的最大值为2，则a =______．12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S n =3a n −2 (n ∈N ∗)，则a 5= ______ ．13. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线l 垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点且|AB|=1，P 是椭圆上一点，∠F 1PF 2的最大值为120°，当∠F 1PF 2=60°时，S △F 1PF 2=________．14. 已知x 2+4y 2+kz 2=36(其中k >0)且t =x +y +z 的最大值是7，则k =__________．二、解答题（本大题共11小题，共146.0分）15.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=π4，AC=72，cos∠ADB=−√210(1)求sin∠C的值；(2)若△ABD的面积为7，求AB的长．16.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，DE=2AF．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；(Ⅱ)求证：AC//平面BEF．17.某学校准备对一块空地ABCD进行绿化改造，其中AD=30m，AB=20m，∠A=90°.同时决定从该空地中划出一个直角三角形地块AEF建学生活动中心(点E,F分别在线段AB,AD上)，且直角三角形AEF的周长为30m，设△AEF的面积为S．(1)设AE=xm，求S关于x的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)求直角三角形地块AEF面积S的最大值．18.已知点P(−2,1)在椭圆C：x2a2+y22=1(a>0)上，动点A，B都在椭圆上，且直线AB不经过原点O，直线OP经过弦AB的中点．(1)求椭圆C的方程和直线AB的斜率；(2)求△PAB面积的最大值．19.已知函数f(x)=a(x2−1)−lnx．(1)若y=f(x)在x=2处的切线与y垂直，求a的值；(2)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，求a 的取值范围．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且 a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =(n −1)S n +2n(n ∈N ∗).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若p ，q ，r 是三个互不相等的正整数，且p ，q ，r 成等差数列，试判断a p −1，a q −1，a r −1是否成等比数列？并说明理由．21. 已知矩阵A =[12−14]，向量α⃗ =[53]，计算A 5α．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =√32t +m y =12t(t 是参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，且直线l 与圆C 相切，求实数m 的值．23.已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：1a2+1b4+1c6≥27．24.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=√3，BC=1，AA1=2，E为A1D的中点．(1)求直线EC1与A1B所成角的余弦值；(2)若F为BC的中点，求直线EC1与平面FA1D1所成角的正弦值．25.设实数c>0，整数p>1，n∈N∗．(1)证明：当x>−1且x≠0时，(1+x)p>1+px；(2)数列{a n}满足a1>c1p，a n+1=a n+a，证明：a n>a n+1>c1p．-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,1}解析：【分析】本题考查了交集及其运算，是基础题．【解答】解：集合A ={x||x|≤1,x ∈Z}={−1,0,1}，B ={x|0≤x ≤2}，所以，A ∩B ={0,1}，故答案为{0,1}．2.答案：90解析：解：由题意所剩数据：85，87，90，91，93，94，所以平均数x =16(85+87+90+91+93+94)=90，故答案为：90．求出所剩数据，取平均数即可．本题考查了茎叶图和平均数公式，属于基础题． 3.答案：1+i解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算与共轭复数的概念，属于基础题．设出z =a +bi ，得到关于a ，b 的方程组，求出z 的共轭复数即可．【解答】解：设z =a +bi ．则(1+i)z =(1+i)(a +bi)=(a −b)+(a +b)i ．又|√3−i|=√3+1=2，所以{a +b =0a −b =2，解得a =1，b =−1， 所以z − =1+i ，故答案是z − =1+i ．4.答案：112解析：【分析】本题考查古典概型概率计算，属于基础题目．利用基本事件数与总事件数之比得出即可．【解答】解：抛掷1颗骰子两次，向上的点数构成6×6=36个基本事件，两次点数之和等于10，包含(4,6)，(5,5)，(6,4)三个基本事件．故所求概率为336=112．故答案为112．5.答案：2解析：解：由题意，执行程序框图，可得i=1，满足条件，则M=11−2=−1，i=2，满足条件，则M=11−(−1)=12，i=3，满足条件，则M=11−12=2，i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．故答案为：2模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．6.答案：(x−6)2+4(y−10)2=4解析：解：设曲线上坐标为(x0,y0)，其关于点M的对称点坐标为(x,y)x关于点M的对称点为x0，y关于点M的对称点为y0则有：x+x02=3,y+y02=5解得x0=6−x,y0=10−y把点(x0,y0)带入椭圆方程x2+4y2=4，得(x−6)2+4(y−10)2=4故答案为：(x−6)2+4(y−10)2=47.答案：−79解析：解：cos(α−π3)=13，sin(2α−π6)=sin[2(α−π3)+π2]=cos2(α−π3) =2cos 2(α−π3)−1=2×(13)2−1=−79． 故答案为：−79．利用诱导公式以及二倍角的余弦化简求解即可．本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，考查计算能力． 8.答案：−92解析：解：如图所示，A(0,0)，B(2,0)，E(2,12)，F(1,1)，D(0,1)．∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,12)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)． ∴(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,32)⋅(−2,1)=−6+32=−92． 故答案为：−92．建立坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算即可得出．本题考查了向量的坐标运算和数量积运算，属于基础题． 9.答案：14解析：【分析】本题考查了椭圆的性质及几何意义，属于基础题．根据P 点坐标及|PF|=34|AF|，可得b 2a =34(a +c)，求解即可． 【解答】解：根据椭圆几何性质可知|PF|=b 2a ， |AF|=a +c ， 所以b 2a =34(a +c) ，即4b 2=3a 2+3ac ，又因为b 2=a 2−c 2，所以有4(a 2−c 2)=3a 2+3ac ，整理可得4c 2+3ac −a 2=0 ，两边同除以a 2得： 4e 2+3e −1=0 ，所以(4e −1)(e +1)=0，由于0<e <1，所以e =14．故答案为14．10.答案：2√2解析：【分析】本题考查了正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长．根据正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长即可求解．【解答】解：正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长为：√42+42=4√2，故R =2√2，故答案为2√2．11.答案：52或7−√102解析：【分析】本题考查绝对值函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及导数求单调性、极值和最值，考查运算能力，属于难题．由题意可得f(0)≤2，求得a 的范围，去掉一个绝对值，再由最值的取得在顶点和端点处，计算可得a 的值，检验可得a 的值．【解答】解：a >0，函数f(x)=2+12|x −2a |−5|在区间[−1,1]上的最大值是2，可得f(0)≤2，即|√2+a −5|≤2，解得3−√2≤a ≤7−√2，即有f(x)=|√2−x 2−12x +a −5|，−1≤x ≤1，由f(x)的最大值在顶点或端点处取得，即f(−1)=2，即|a −72|=2，解得a =32(舍去)或112；f(1)=2，即|a −92|=2，解得a =52或a =132(舍去)；由y =√2−x 2−12x 的导数为y ′=√2−x 2−12， 当0<x <1时，函数y 递减，可得y ∈(12,√2)， 当−1<x <0，由√2−x 2−12=0，可得x =−√105，可得y =√2−x 2−12x 在x =−√105处取得极大值√102，可得y =√2−x 2−12x 的值域为[12,√102]，由|√102+a −5|=2，解得a =7−√102或3−√102(舍去)， 当a =52时，f(x)=|√2−x 2−12x −52|，−1≤x ≤1， 由y =√2−x 2−12x −52的值域为[−2,√10−52]，可得f(x)的值域为[5−√102,2]符合题意；当a =32时，f(x)=|√2−x 2−12x −72|，−1≤x ≤1， 由y =2−12x −72的值域为[−3,√10−72]，可得f(x)的值域为[7−√102,3]不符合题意；当a =7−√102时，f(x)=|√2−x 2−12x +2−√102|，−1≤x ≤1， 由y =√2−x 2−12x +2−√102的值域为[52−√102,2]，可得f(x)的值域为[5−√102,2]符合题意．故答案为：52或7−√102．12.答案：162解析：解：∵2S n =3a n −2， ∴2S n−1=3a n−1−2(n ≥2)， 两式相减得：2a n =3a n −3a n−1， ∴a nan−1=3(n ≥2)，又2a 1=3a 1−2， ∴a 1=2，∴数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a 5=2×34=162． 故答案为：162．由2S n =3a n −2可得2S n−1=3a n−1−2(n ≥2)，两式相减，可判断数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，从而可得a5的值．本题考查数列的求和及等比关系的确定，求得数列{a n}是以2为首项，3为公比的等比数列是关键，考查推理运算能力，属于中档题．13.答案：√33解析：【分析】本题主要考查了椭圆的几何性质，属于中档题．解焦点三角形求ΔF1PF2的面积．【解答】解：由题意，过F2的直线l垂直于x轴，交椭圆于A，B两点且|AB|=1，故b2a =12，当点P在短轴定点时，∠F1PF2的最大值为120°，故，故a=2b，解得a=2，b=1，c=√3，椭圆方程为x24+y2=1，当∠F1PF2=60°时，|PF1|+|PF2|=4，=(|PF1|+|PF2|)2−3|PF1||PF2|，即12=16−3|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|=43，=12×43×√32=√33，故答案为√33．14.答案：9解析：∵由柯西不等式得(x2+4y2+kz2)(1+14+1k)≥(x+y+z)2，又t max=7，∴36(54+1k)=49，∴k=9.15.答案：解：(1)因为cos∠ADB=−√210,所以sin∠ADB=7√210，又因为，所以sin∠C=sin(∠ADB−π4)=sin∠ADBcosπ4−cos∠ADBsinπ4=7√210⋅√22+√210⋅√22=45．(2)在△ADC中，由正弦定理得ADsin∠C =ACsin∠ADC，故AD=AC⋅sin∠Csin∠ADC =AC⋅sin∠Csin(π−∠ADB)=AC⋅sin∠Csin∠ADB=72×457√210=2√2．．在△ADB中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cos∠ADB=8+25−2×2√2×5×(−√210)=37．所以AB=√37．解析：(1)由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由∠C=∠ADB−π4.利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．(2)先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式求得BD，与余弦定理即可得解AB的长度．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了数形结合能力和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．16.答案：证明：(Ⅰ)因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D，所以AC⊥平面BDE．(Ⅱ)设AC∩BD=O，取BE的中点G，连接FG，OG，所以OG//DE且OG=12DE．因为AF//DE，DE=2AF，所以AF//OG且AF=OG，从而四边形AFGO是平行四边形，所以FG//AO．因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，所以AO//平面BEF，即AC//平面BEF．解析：【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，是中档题．(Ⅰ)利用线面垂直的判定定理证明；(Ⅱ)利用平行四边形的性质证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行．17.答案：解：(1)设AF=ym，则x+y+√x2+y2=30，所以√x2+y2=30−(x+y)，即450−30(x+y)+xy=0，所以y=30(15−x)30−x，所以S=12xy=15x(15−x)30−x．因为0<x<30，0<y<30，所以0<x<15，即函数的定义域为(0,15)．(2)设t=30−x，则x=30−t，15<t<30，所以S=15(30−t)(t−15)t =−15(t+450t−45)．因为t+450t ≥2√t⋅450t=30√2，当且仅当t=15√2∈(15,30)时，取“=”，所以S≤−15(30√2−45)=675−450√2，即S的最大值为．答：当AE=30−15√2m时，直角三角形地块AEF面积S的最大值．解析：本题考查函数模型的应用，属一般题目．(1)根据题意得出解析式S=12xy=15x(15−x)30−x，再进一步求定义域即可(2)表示面积为S=15(30−t)(t−15)t =−15(t+450t−45)，再由基本不等式求最值即可．18.答案：解：(1)将P(−2,1)代入x 2a 2+y 22=1，得22a2+122=1，解得a 2=8， ∴椭圆方程为x 28+y 22=1，设直线AB ：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，A ，B 的中点为M(x 0,y 0)， 由{y =kx +m x 28+y 22=1，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−8=0，x 0=12(x 1+x 2)=−4km 1+4k 2，y 0=kx 0+m =m1+4k 2，直线OP 经过弦AB 的中点，则k OM =k OP ，y 0x 0=−12，m −4m =−12，∴k AB =12． (2)当k =12时，由△=16−4m 2>0，得−2<m <2，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4， |AB|=√1+122|x 1−x 2|=√1+122⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√1+122⋅√4−m 2，点P 到直线AB ：y =12x +m 的距离d =√1+122，△PAB 面积S =12|AB|d =|m −2|√4−m 2=√−(m −2)3(m +2)， 设f(m)=−(m −2)3(m +2)，(−2<m <2)，则f′(m)=−[3(m −2)3(m +2)+(m −2)3]=−4(m −2)2(m +1)， 解得f(m)max =f(−1)=27， ∴S max =√27=3√3．解析：(1)将P(−2,1)代入x 2a 2+y 22=1，得椭圆方程为x 28+y 22=1，设直线AB ：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，A ，B 的中点为M(x 0,y 0)，由{y =kx +mx 28+y 22=1，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−8=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，能求出椭圆C 的方程和直线AB 的斜率．(2)当k =12时，由△=16−4m 2>0，得−2<m <2，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4，|AB|=√1+12|x 1−x 2|=2√1+12⋅√4−m 2，点P 到直线AB ：y =12x +m 的距离d =√1+22△PAB 面积S =12|AB|d =|m −2|√4−m 2=√−(m −2)3(m +2)，设f(m)=−(m −2)3(m +2)，(−2<m <2)，利用导数性质能求出△PAB 面积的最大值．本题考查椭圆方程、直线斜率的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式、弦长公式、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．19.答案：解：(1)∵f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=2ax −1x ，∴f′(2)=0，即a=18．(2)∵f′(x)=2ax−1x，①当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)在[1,+∞)上单调递减，∴当x>1时，f(x)<f(1)=0矛盾．②当a>0时，f′(x)=2ax2−1x，令f′(x)>0，得x>2a ；f′(x)<0，得0<x<2a．(i)当2a >1，即0<a<12时，x∈2a)时，f′(x)<0，即f(x)递减，∴f(x)<f(1)=0矛盾．(ii)当√2a ≤1，即a≥12时，x∈[1,+∞)时，f′(x)>0，即f(x)递增，∴f(x)≥f(1)=0满足题意．综上：a≥12．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值及其切线斜率，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，令f′(2)=0，解得a．(2)f′(x)=2ax−1x，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性、最值即可得出．20.答案：解：(1)∵a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，∴当n=1时，有a1=(1−1)S1+2，解得a1=2.…(1分)由a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，①得a1+2a2+3a3+⋯+na n+(n+1)a n+1=nS n+1+2(n+1)，②…(2分)②−①得：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2.③…(3分)以下提供两种方法：法1：由③式得：(n+1)(S n+1−S n)=nS n+1−(n−1)S n+2，即S n+1=2S n+2；…(4分)∴S n+1+2=2(S n+2)，…(5分)∵S1+2=a1+2=4≠0，∴数列{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．∴S n+2=4×2n−1，即S n=4×2n−1−2=2n+1−2.…(6分)当n≥2时，a n=S n−S n−1=(2n+1−2)−(2n−2)=2n，…(7分)又a1=2也满足上式，∴a n=2n.…(8分)法2：由③式得：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2=n(S n+1−S n)+S n+2，得a n+1=S n+2.④…(4分)当n≥2时，a n=S n−1+2，⑤…(5分)⑤−④得：a n+1=2a n.…(6分)由a1+2a2=S2+4，得a2=4，∴a2=2a1.…(7分)∴数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．∴a n=2n…(8分)(2)解：∵p，q，r成等差数列，∴p+r=2q.…(9分)假设a p−1，a q−1，a r−1成等比数列，则(a p−1)(a r−1)=(a q−1)2，…(10分)即(2p−1)(2r−1)=(2q−1)2，化简得：2p+2r=2×2q.(∗)…(11分)∵p≠r，∴2p+2r>2√2p×2r=2×2q，这与(∗)式矛盾，故假设不成立．…(13分)∴a p−1，a q−1，a r−1不是等比数列．…(14分)解析：(1)由a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，类比得a1+2a2+3a3+⋯+na n+(n+ 1)a n+1=nS n+1+2(n+1)，两式作差可求得：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2③．法1：由：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2⇒S n+1=2S n+2，而S1+2=4⇒数列{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列⇒S n，继而可求得a n；法2：由(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2⇒a n+1=S n+2，当n≥2时，a n=S n−1+2，两式作差，同理可证数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列，从而求得a n；(2)p，q，r成等差数列⇒p+r=2q，假设a p−1，a q−1，a r−1成等比数列，可由(a p−1)(a r−1)=(a q−1)2⇒2p+2r=2×2q.(∗)利用基本不等式可得2p+2r>2√2p×2r=2×2q，这与(∗)式矛盾，从而可得a p−1，a q−1，a r−1不是等比数列．本题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，属于难题．]21.答案：[371307解析：【分析】本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6=0，解得λ=2或3.分别对应的一个特征向量为[12]；[11].设[35]=m[12]+n[11]解得m ，n ，即可得出． 【解答】解：∵f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6，由f(λ)=0，解得λ=2或3． 当λ=2时，对应的一个特征向量为α1=[12]； 当λ=3时，对应的一个特征向量为α2=[11]． 设[35]=m[12]+n[11]，解得{m =2n =1．∴A 5α=2×25[12]+1×35[11]=[371307]．故答案为[371307]． 22.答案：解：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，所以x 2+y 2=4x ，即圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4．又由{x =√32t +my =12t (t 是参数)消t ，得x −√3y −m =0，由直线l 与圆C 相切， 所以|2−m |2=2，解得：m =−2或m =6．解析：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程，根据直线和圆相切的性质求出m 的值．23.答案：证明：因为正实数a ，b ，c 满足a +b 2+c 3=1，所以1≥3√ab 2c 33，即ab 2c 3≤127， 所以1ab 2c 3≥27，因此1a 2+1b 4+1c 6≥331a 2b 4c 6≥27．解析：由正实数a ，b ，c 满足a +b 2+c 3=1，运用三元均值不等式，可得ab 2c 3≤127，再由均值不等式即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用三元均值不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 24.答案：解：(1)以A 1为坐标原点，{A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，设直线EC 1与A 1B 所成角为θ，θ∈(0,π2],则各点坐标为A 1(0,0，0)，D(0,1，2)，E(0,12,1)，C 1(√3,1，0)，B(√3,0，2)，所以，EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,12,−1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，2)， 所以，cosθ=|EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√172×√7=2√119119．所以，直线EC 1与A 1B 所成角的余弦值为2√119119; (2)由题意，B(√3,0，2)，C(√3,1，2)，D 1(0,1，0)， 则A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，因为F 为BC 中点，所以F(√3,12,2)，则A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,12,2)， 设平面FA 1D 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{√3x +12y +2z =0y =0, 令x =2，则y =0，z =−√3，所以n⃗ =(2,0，−√3)是平面FA 1D 1的一个法向量， 由题(1)知，EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,12,−1)，所以cos <EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=n⃗⃗ ·EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |·|EC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =√3√7·√172=6√357119，所以直线EC 1与平面FA 1D 1所成角的正弦值为6√357119．解析：本题考查利用空间向量求解线面角，线线角，属于中档题．(1)以A 1为坐标原点，{A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量得出结果;(2)求得平面FA 1D 1的一个法向量为n ⃗ ，即可求出直线EC 1与平面FA 1D 1所成角的正弦值．25.答案：(1)见解析(2)见解析解析：【分析】(1)利用数学归纳法证明当x>−1且x≠0时，(1+x)p>1+px.(2)利用数学归纳法证明a n>a n+1>c 1 p．【详解】证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p=2时，(1+x)2=1+2x+x2>1+2x，原不等式成立．②假设p=k(k≥2,k∈N∗)时，不等式(1+x)k>1+kx成立．当p=k+1时，(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+ 1)x．所以当p=k+1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>−1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1+x)p>1+px均成立．(2)先用数学归纳法证明an >c1p．①当n=1时，由题设知a1>c1p成立．②假设n=k(k≥1,k∈N∗)时，不等式ak >c1p成立．由a n+1=a n+a易知a n>0，n∈N∗．当n=k+1时，=+a=1+．由ak >c1p>0得−1<−<<0．由(1)中的结论得=>1+p·=．因此a>c，即ak+1>c1p，所以当n =k +1时，不等式an >c1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式an >c1p均成立．再由=1+可得<1，即a n+1<a n．综上所述，an >a n+1>c1p，n∈N∗．【点睛】(1)本题主要考查数学归纳法证明不等式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)不等式的证明常用的方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法和反证法，要根据具体情况灵活选择．第21页，共21页。

2020年江苏省淮安市高考数学模拟训练试卷16一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={1，2，5}，B={2，4}，C={x∈R|-1≤x＜5}，则（A∪B）∩C=（）A. [1，2，4，6}B. {x∈R|-1≤x≤5}C. {2}D. {1，2，4}2.双曲线的焦点坐标是（）A. （-1，0），（1，0）B. ，C. ，D. （0，-1），（0，1）3.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. B. C. 8 D. 44.设{a n}是公差为d的等差数列，S n为其前n项和，则“d＞0”是“{S n}为递增数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.现有四个函数：①y=x|sin x|，②y=x cos|x|，③，④y=x ln|x|的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是（）A. ①④②③B. ①④③②C. ③②④①D. ③④②①6.设α、β都是锐角，且，则cosβ等于（）A. B. C. 或 D. 或7.已知函数，若实数m∈（0，1），则函数g（x）=f（x）-m的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 38.已知甲盒中有2个红球，1个黄球，乙盒中有1个红球，2个黄球．从甲乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中．现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为X i（i=1，2，3）（甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应i=1，2，3），则（）A. E（X1）＜E（X3）＜E（X2），D（X1）=D（X2）＞D（X3）B. E（X1）＞E（X3）＞E（X2），D（X1）=D（X2）＜D（X3）C. E（X1）＞E（X2）＞E（X3），D（X1）=D（X3）＜D（X2）D. E（X1）＜E（X2）＜E（X3），D（X1）=D（X3）＞D（X2）9.设，为单位向量，向量满足，则的最大值为（）A. 2B. 1C.D.10.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=，Q为PA中点，下列说法中，正确说法的个数为（）（1）∠PBA+∠PCA+∠BPC=π；（2）记二面角P-BC-A，Q-BC-A的平面角分别为θ1，θ2，则θ1＞2θ2；（3）记△ABC，△QBC，△PBC的面积分别为S0，S1，S2，则S02+S22≤4S12；（4）cos∠PBC＜cos∠PBQ•cos∠QBC．A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.欧拉公式e ix=cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，对表示的复数z，则|z|=______．12.的展开式共有11项，则n的值为______，其中常数项为______．13.设x，y满足约束条件，则的最小值是______，最大值是______．14.在三角形ABC中，，，AC=5，AB=3．则sin A的值为______，BC的长为______．15.10次投篮中，投中5次，其中恰有1个2连中和1个3连中的情形有______种（用数字作答）．16.存在第一象限的点M（x0，y0）在椭圆=1（a＞b＞0）上，使得过点M且与椭圆在此点的切线=1垂直的直线经过点（，0）（c为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取值范围是______．17.函数f（x）=x3-|ax2-b|-1在（0，2）上有2个零点，则的范围是______三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设函数，且以为最小正周期．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的对称轴方程及单调递增区间．19.如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC=∠ADB=90°，CD=1，BC=2．（1）求证：BE∥平面DCF；（2）当AE的长为何值时，直线AD与平面BCE所成角的大小为45°．20.已知数列{a n}为等比数列，数列{b n}满足b n=log2a n，且a4=b5=1．设S n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式及S n；（2）若数列{c n}满足，求{c n}的前n项和T n．21.如图，过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，过AB中点M且与AB垂直的直线与x轴交于点N．（1）求的值；（2）若p=2，求的取值范围．22.已知．（1）若函数y=f（x）有三个零点，求实数a的取值范围；（2）若a=2，设，其中b≤2，c＞0f（x）=g（x）的两根为x1，x2（x1＜x2），求证：x2f（x1）-x1f（x2）＜0．-------- 答案及其解析 --------1.答案：D解析：解：集合A={1，2，5}，B={2，4}，C={x∈R|-1≤x＜5}，则A∪B={1，2，4，5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：D．根据并集与交集的定义，写出运算结果．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.答案：B解析：解：双曲线，可得a=，b=2，则c=，所以双曲线的焦点坐标是：，．故选：B．直接利用双曲线方程求解双曲线的焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基本知识的考查．3.答案：A解析：解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥A-CDEF和一个三棱锥组F-ABC成的组合体，四棱锥A-CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组F-ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V=+=，故选：A．由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥组成的组合体，画出几何体的直观图，求出两个棱锥的体积，相加可得答案．根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n项和公式是解决本题的关键，属于较易题.根据等差数列的前n项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由S n+1＞S n⇔（n+1）a1+d＞na1+ d⇔dn+a1＞0⇔d≥0且d+a1＞0．即数列{S n}为递增数列的充要条件是d≥0且d+a1＞0，则“d＞0”是“{S n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D．5.答案：C解析：解：根据题意，依次分析四个函数的图象：①y=x|sin x|是奇函数，图象关于原点对称，当x＞0时，y≥0，对应第4个图象，②y=x cos|x|是奇函数，f（1）=cos1＞0，对应第2个图象，③＞≥0恒成立，对应第1个图象，④y=x ln|x|的定义域是{x|x≠0}，函数为奇函数，由y=x ln|x|=0，得ln|x|=0，得|x|=1，即x=±1，即函数只有两个零点，对应第3个图象，则按照图象从左到右的顺序对应的应该为③②④①；故选：C．根据题意，依次分析四个函数对应的图象，据此分析可得答案．本题考查函数图象的判定分析，注意分析函数的奇偶性．单调性以及值域，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵α为锐角，cosα=＜，∴sinα===，∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=（2cosβ+sinβ）=，且＜＜，∴2cosβ+sinβ=①，且＜α+β＜π，∴cos（α+β）=-=-，则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-×+×=．故选：B．由α为锐角，根据cosα的值，求出sinα的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin （α+β），且根据其值范围确定出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos （α+β）的值，所求式子中的角β变形为（α+β）-α，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．7.答案：D解析：解：画出函数f（x）=的图象，如图所示；由函数g（x）=f（x）-m=0，得出m=f（x）；又m∈（0，1），则y=m与y=f（x）由3个交点，所以函数g（x）有3个零点．故选：D．画出函数f（x）的图象，结合图象令g（x）=f（x）-m=0，得m=f（x）；看m∈（0，1）时，函数y=m与y=f（x）交点个数即可．本题主要考查了函数零点的判断问题，也考查了分段函数图象的画法与应用问题，是基础题．8.答案：B解析：解：依题意，X1的所有取值为0，1．其中P（X1=0）==，P（X1=1）=+=，所以随机变量X1的分布列为：X1 01PX1服从两点分布，所以E（X1）=，D（X1）==，同理，X2的所有取值为0，1．P（X2=1）==，P（X2=0）=×+=，所以随机变量XX2 01PX2服从两点分布，所以E（X2）=，D（X2）==．X3的所以取值为0，1．P（X3=0）=（+）×+=，P（X3=1）=（）×+=，所以随机变量X3的分布列为：X3 01PX3服从两点分布，所以E（X3）=，D（X3）==，所以：E（X1）＞E（X3）＞E（X2），D（X1）=D（X2）＜D（X3）．故选：B．根据题意分别列出X1，X2，X3的分布列，求出它们的期望与方差比较大小即可．本题考查了离散型随机变量的分布列，期望与方差的求法，考查运算能力和逻辑思维能力．属于中档题．9.答案：A解析：解：由|2+|=|•|得|-（-）|=|•|，说明的终点的轨迹是以-的终点为圆心，|•|为半径的圆，|-|的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为|-（-）|+|•|，∵|+|+|•|=+|•|=+|•=+cos≤+=2，（当且精当cos，）=0时取等）．故选：A．由|2+|=|•|得|-（-）|=|•|，说明的终点的轨迹是以-的终点为圆心，|•|为半径的圆，|-|的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为|-（-）|+|•|，再将其化成，的模和夹角可解得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属难题．10.答案：B解析：解：（1）∵PA⊥平面ABC，根据最小角定理可得∠PBA＜∠PBC，∠PCA＜PCB，∴∠PBA+∠PCA+∠BPC＜∠PBC+∠PCB+∠BPC=π，故错；（2）如图1，过A作AM⊥BC于M，则θ1=∠PMA，θ2=∠QMA，过M作∠PMA的角平分线交PA于点E，则，∴点E在点Q的下方，故，∴则θ1，＜2θ2故错；（3）如图1，S0=，S1=，S2=，∴，．∵，＞MA2+MP2，∴，故错误；cos∠PBC＜cos∠PBQ•cos∠QBC（4）过Q作QN⊥平面QBC，交PM于N，所以cos∠PBC＜cos∠NBC=cos∠NBQ•cos∠QBC＜cos∠PBC•cos∠PBQ，所以cos∠PBC＜cos∠PBQ•cos∠QBC．故选：B．利用直线与平面所成角以及二面角转化求解判断选项的正误；三角形的面积的求法判断选项的正误即可．本题考查直线与平面所成角以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11.答案：1解析：解：由题意，=cos+i sin=cos+i sin=，∴|z|=．故答案为：1．由题意结合三角函数的诱导公式化简z，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，考查利用诱导公式求三角函数的值，是基础题．12.答案：10解析：解：∵的展开式共有n+1项，依题意得：n+1=11，∴n=10；设的展开式的通项为T r+1，则T r+1=••x3（10-r）-2r=••x30-5r，由30-5r=0得r=6，∴的展开式中的常数项为T7=•=．故答案为：10，．利用二项式的性质可求得n，利用其通项公式即可求得的展开式中的常数项．本题考查二项式定理的应用，着重考二项式的性质与通项公式，属于中档题．13.答案： 2解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=-x+y为y=x+z，由解得A（2，3）；由解得B（，）；由图可知，当直线y=x+z过A（2，3）时直线在y轴上的截距最大，z最大，为-×2+3=2．当直线y=x+z过B（，）时直线在y轴上的截距最小，z最小，为．z=-x+y的最小值，最大值：2，故答案为：-；2．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：解析：解：三角形ABC中，，，∴A+∈（0，），cos（A+）==，∴sin A=sin（A+-）=sin（A+）cos-cos（A+）sin=-=，∴cos A==．∵AC=5，AB=3，∴BC===，故答案为：；．由题意利用同角三角函数的基本关系求得cos（A+）的值，再利用两角和差的三角公式求得sin A=sin（A+-）的值，再利用余弦定理求得BC的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于基础题．15.答案：30解析：解：将恰有1个2连中和1个3连中的分别看作2个复合元素，插入到没有投中所排列后所成6个空中，故有A62=30，故答案为：30．利抽空法，将恰有1个2连中和1个3连中的分别看作2个复合元素，插入到没有投中所排列后所成6个空中，问题得以解决．本题考查排列数的应用，解题时要注意插空法的合理运用．16.答案：（，1）解析：解：∵过点M且与椭圆在此点的切线=1垂直的直线经过点（，0），∴-=-1⇒⇒x0=，∵点M（x0，y0）在第一象限，∴0＜x0＜a．∴，∴a＜2c，e=．故答案为：（可得=-1⇒⇒x0=，由点M（x0，y0）在第一象限即可求解．本题考查了椭圆的性质，属于中档题．17.答案：[1，4）解析：解：设t=x2，t∈（0，4），则问题可转化为在（0，2）上有2个零点，由题意，函数与函数有两个交点，只需考虑函数的零点在每一个变化值，是否存在对应的a，使得两函数图象有两个交点，由图象可知，当或时，显然不存在a使得两个函数有两个交点；当时，显然存在a使得两个函数有两个交点；故答案为：[1，4）．设t=x2，t∈（0，4），则问题可转化为，由题意，函数与函数有两个交点，而绝对值函数的零点恰为，且其图象关于对称，故只需函数的零点在任意一个变化值，存在对应的a使得两函数图象有两个交点即可．本题考查由函数零点个数求参数的取值范围，考查函数图象的运用，培养了学生“化曲为直”的解题思想，锻炼了学生的数形结合能力，本题是难题．18.答案：解：（1）由于函数，且以为最小正周期，∴=，∴ω=3，f（x）=3sin（3x+）．（2）令3x+=kπ+，求得x=+，故函数的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．令2kπ-≤3x+≤2kπ+，求得-≤x≤+，可得函数的增区间为[-，+]，k∈Z．解析：（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得它的对称轴方程；再利用正弦函数单调性求得它的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．19.答案：解：（1）由已知可得⇒面ABE∥面DEC，∵BE⊂面ABE，∴BE∥平面DCF；（2）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，∵AB∥CD，∠ABC=∠ADB=90°，则△ADB∽△BCD，⇒∴CD=1，BC=2．BD=，∴，AB=5．则D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，，0），C（-，，0），E（2，0，m）．，，设面BCE的法向量为，⇒=（2，-1，-）∵直线AD与平面BCE所成角的大小为45°．∴||=，⇒m=．∴AE的长为时，直线AD与平面BCE所成角的大小为45°．解析：（1）由已知可得面ABE∥面DEC，由面面平行的性质可得BE∥平面DCF；（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．本题考查了空间线面平行，线面角，属于中档题．20.答案：解：（1）数列{a n}为公比为q的等比数列，数列{b n}满足b n=log2a n，且a4=b5=1．可得a5=2，q==2，a n=a4q n-4=2n-4；b n=log2a n=log22n-4=n-4；（2）S n=n（-3+n-4）=n（n-7），=|n-7|•2n-5，n≤7时，T n=++…+（7-n）•2n-5，2T n=++…+（7-n）•2n-4，相减可得-T n=--…-2n-5-（7-n）•2n-4=--（7-n）•2n-4，化简可得T n=（8-n）•2n-4-；n≥8，前n项和T n=+++++2+0+1•23+2•24+…+（n-7）•2n-5=+1•23+2•24+…+（n-7）•2n-5，2T n=15+1•24+2•25+…+（n-7）•2n-4，相减可得-T n=+24+…+2n-5-（n-7）•2n-4=+-（n-7）•2n-4，化简可得T n=+（n-8）•2n-4，则T n=．解析：（1）数列{a n}为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和对数的运算性质，可得所求；（2）讨论n≤7，n≥8，结合错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.答案：解：（1）设直线AB的方程为：x=my+．设A（x1，y1），B（x2，y2），⇒y2-2pmy-p2=0，，x1+x2=2pm2+p，x1x2=，∴|AB|=x1+x2+p=2pm2+2p又M（，pm）直线MN方程：y-pm=-m（x-）令y=0，则x=即N（，0）∴|FN|==pm2+p∴的值为；（2）p=2时，N（2m2+3，0），=（x1-2m2-3）（x2-2m2-3）+y1y2=x1x2-（2m2+3）（x1+x2）+（2m2+3）2+y1y2=-4m4-4m2∵m≠0，令t=m2＞0-4m4-4m2=-4（t2+t）＜0∴的取值范围为（-∞，0）．解析：（1）设直线AB的方程为：x=my+．A（x1，y1），B（x2，y2），求得|AB|=x1+x2+p=2pm2+2p，直线MN方程：y-pm=-m（x-），令y=0，则x=，可得|FN|==pm2+p，即可求解．（2）=（x1-2m2-3）（x2-2m2-3）+y1y2=x1x2-（2m2+3）（x1+x2）+（2m2+3）2+y1y2=-4m4-4m2即可求解．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．22.答案：解：（1），当a≥-2时，f′（x）≥0，则函数f（x）单调，不可能有三个零点；当a＜-2时，，设f′（x）=0的两个根为m，n（m＜0＜n），则f（x）在（-1，m），（n，+∞）上单调递增，在（m，n）上单调递减，且f（0）=0，则f（m）＞0＞f（n），，因此根据零点存在性定理可知，函数f（x）有三个零点，即实数a的取值范围为（-∞，-2）；（2）证明：设h（x）=-f（-x），构造F（x）=h（x）-f（x）=-f（-x）-f（x）=-x2-ln（1-x2）≥-x2+x2=0，，则，∴函数G（x）单调递减，∴G（x3）=g（x3）-f（x3）=h（x3）-f（x3）＞0=G（x2），∴x3＜x2，单调递减，∴，∴x2f（x1）-x1f（x2）＜0．解析：（1）分a≥-2及a＜-2时，验证即可；（2）解题的关键是构造函数，并结合数形结合得证．本题考查导数的综合运用，同时也涉及了零点存在性定理等基础知识点，考查推理论证能力及数形结合思想的运用，属于难题．。

2020年全国高考数学试卷及答案(名师押题预测试卷+解析答案，值得下载)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数(1)(3)i i -+的虚部是( ) A ．4 B ．4-C ．2D ．2-【解析】解：．∴复数(1)(3)i i -+的虚部是2-．【答案】D ． 2．若集合，，则(A B = )A ．{|12}x x -B ．{|02}x x <C ．{|12}x xD ．{|1x x -或2}x >【解析】解：；．【答案】B ．3．已知向量a ，b 的夹角为60︒，||1a =，||2b =，则|3|(a b += ) A ．5B ．17C ．19D ．21【解析】解：向量a ，b 的夹角为60︒，||1a =，||2b =，∴，则，【答案】C ．4．设375()7a =，573()7b =，373()7c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【解析】解：由函数3()7x y =为减函数，可知b c <，由函数37y x =为增函数，可知a c >， 即b c a <<， 【答案】B ．5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21016a a +=，811a =，则7(S = ) A ．30B ．35C ．42D ．56【解析】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21016a a +=，811a =，∴，解得112a =，32d =，．【答案】B ．6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有( ) A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种【解析】解：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有121020⨯⨯=种， ②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有131030⨯⨯=种，所以总共有203050+=种． 【答案】B ．7．已知a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，则下列说法正确的是( ) A ．若c ⊂平面α，则a α⊥ B ．若c ⊥平面α，则//a α，//b α C ．存在平面α，使得c α⊥，a α⊂，//b α D ．存在平面α，使得//c α，a α⊥，b α⊥【解析】解：由a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，知： 在A 中，若c ⊂平面α，则a 与α相交、平行或a α⊂，故A 错误；在B 中，若c ⊥平面α，则a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内，故B 错误； 在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c α⊥，a α⊂，//b α，故C 正确；在D 中，若存在平面α，使得//c α，a α⊥，b α⊥，则//a b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾，故D 错误．【答案】C ．8．将函数()f x 的图象上的所有点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：由图象知1A =，，即函数的周期T π=，则2ππω=，得2ω=，即，由五点对应法得23πϕπ⨯+=，得3πϕ=，则，将()g x 图象上的所有点向左平移4π个单位长度得到()f x 的图象， 即，【答案】C ．9．已知定义域R 的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且当01x 时，3()f x x =，则5()(2f = )A ．278-B ．18-C ．18D ．278【解析】解：()f x 是奇函数，且图象关于1x =对称；；又01x 时，3()f x x =；∴．【答案】B ．10．已知a R ∈且为常数，圆，过圆C 内一点(1,2)的直线l 与圆C 相切交于A ，B 两点，当弦AB 最短时，直线l 的方程为20x y -=，则a 的值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 【解析】解：化圆为，圆心坐标为(1,)C a -，半径为21a +． 如图，由题意可得，过圆心与点(1,2)的直线与直线20x y -=垂直． 则21112a -=---，即3a =． 【答案】B ．11．用数字0，2，4，7，8，9组成没有重复数字的六位数，其中大于420789的正整数个数为( ) A ．479B ．480C ．455D ．456【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①，六位数的首位数字为7、8、9时，有3种情况，将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，此时有553360A ⨯=种情况，即有360个大于420789的正整数， ②，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，有3种情况，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有44372A ⨯=种情况，即有72个大于420789的正整数，③，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有4424A =种情况，其中有420789不符合题意，有24123-=个大于420789的正整数，则其中大于420789的正整数个数有个；【答案】C ．12．某小区打算将如图的一直三角形ABC 区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形DEF ，在其内建造文化景观．已知20AB m =，10AC m =，则DEF ∆区域内面积（单位：2)m 的最小值为( )A ．253B ．75314C ．10037D ．7537【解析】解：ABC ∆是直三角形，20AB m =，10AC m =，可得103CB =，DEF 是等边三角形，设CED θ∠=；DE x =，那么；则cos CE x θ=，BFE ∆中由正弦定理，可得可得，其中23tan 3α=； 1037x ∴；则DEF ∆面积【答案】D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(,1)a x =，(3,2)b =-，若//a b ，则x = 32- ．【解析】解：向量(,1)a x =，(3,2)b =-，//a b ，∴132x =-，解得32x =-． 故答案为：32-．14．若，则a 的值是 2 ．【解析】解：，1a >，，解得2a =，故答案为：2；15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1b =，，当ABC ∆的面积最大时，cos A = ． 【解析】解：：，，，，由A ，(0,)B π∈，B A B ∴=-，或，2A B ∴=，或A π=（舍去）． 2A B ∴=，．由正弦定理sin sin AC BCB A=可得，2cos a B ∴=，，30B π->，3B π∴<，∴当22B π=时S 取得最大值，此时．故答案为：0．16．设不等式组表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到直线50x -=的距离大于7的概率是 ．【解析】解：如图，不等式对应的区域为DEF ∆及其内部． 其中(6,2)D --，(4,2)E -，(4,3)F ， 求得直线DF 、EF 分别交x 轴于点(2,0)B -，当点D 在线段2x =-上时，点D 到直线50x -=的距离等于7，∴要使点D 到直线的距离大于2，则点D 应在BCD ∆中（或其边界）因此，根据几何概型计算公式，可得所求概率．故答案为：425．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：对任意的*n N ∈，都有111n n a S +++=，又112a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2log n n b a =，求【解析】解：（Ⅰ）根据题意，由111n n a S +++=，①， 则有1n n a S +=，②，(2)n①-②得：12n n a a +=，即112n n a a +=，又由112a =， 当1n =时，有221a S +=，即，解可得214a =， 则所以数列{}n a 是首项和公比都为12的等比数列， 故12n na =； （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，12n n a =，则，则．18．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥，2AD AB ==，作BE CD ⊥，E 为垂足，将CBE ∆沿BE 折到PBE ∆位置，如图2所示． （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PDE ；（Ⅱ）当PE DE ⊥时，平面PBE 与平面PAD 所成角的余弦值为255时，求直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值．【解析】证明：（Ⅰ）在图1中，因为BE CE ⊥，BE DE ⊥， 所以在图2中有，BE PE ⊥，BE DE ⊥，又因，所以BE ⊥平面PDE ，因BE ⊂平面PBE ，故平面PBE ⊥平面PDE ． 解：（Ⅱ）因为PE DE ⊥，PE BE ⊥，，所以PE ⊥平面ABED ．又BE ED ⊥，以E 为原点，分别以ED ，EB ，EP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图1所示的空间直角坐标系，设PE a =，(2D ，0，0)，(0P ，0，)a ，(2A ，2，0)， 则(2PD =，0，)a -，(2PA =，2，)a -． 设平面PAD 的法向量为(n x =，y ，)z ，由00n PD n PA ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即．取2z =，得(n a =，0，2)，取平面PBE 的法向量为(2ED =，0，0)，由面PBE 与平面PAD 所成角的余弦值为255，得，即，解得4a =，所以(4n =，0，2)，(0PB =，2，4)-，设直线PB 与平面PAD 所成角为α，．所以直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为25．19．为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：)mg ．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布2(,)N μσ． （Ⅰ）假设生产状态正常，记X 表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在之外的药品件数，求(1)P X =（精确到0.001)及X 的数学期望；（Ⅱ）在一天内四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测．（1）下面是检验员在某一次抽取的20件药品的主要药理成分含量： 10.02 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.22 10.13 9.91 9.95 10.099.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12经计算得，．其中i x 为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，1i =，2，⋯，20．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？ （2）试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001)． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则，，，，．【解析】解：（Ⅰ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在之内的概率为0.9974，从而主要药理成分含量在之外的概率为0.0026，故．因此， X 的数学期望为；（Ⅱ）（1）由9.96x =，0.19s =，得μ的估计值为ˆ9.96μ=，σ的估计值为ˆ0.19σ=， 由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在ˆˆ(3μσ-，，10.53)之外，因此需对本次的生产过程进行检查．（2）设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A ，则P （A ）；如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在之外的药品，故概率为3[P P =（A ）2][1P ⨯-（A ）．故确定一天中需对原材料进行检测的概率为0.007．20．已知椭圆的离心率为22，且过点(2,2)． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，过C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M ，N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S ，2S ，求12||S S -的最大值．【解析】解：（Ⅰ）根据题意可得：22c a =，22421a b+=，222a b c =+， 解得：28a =，2b =．故椭圆C 的标准方程为：22184x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，12S S =，于是12||0S S -=； 当直线l 的斜率存在时，设直线，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 联立22(2)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得．，，于是．当且仅当22k =±时等号成立，此时12||S S -的最大值为4． 综上，12||S S -的最大值为4． 21．已知函数．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性．（Ⅱ）若()0f x =有两个相异的正实数根1x ，2x ，求证．【解析】解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞．．①当0a 时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)+∞上为减函数；②当0a >时，，()f x ∴在1(0,)a 上为减函数，在1(,)a +∞上为增函数．（Ⅱ）证明：要证．即证，即12112a x x <+． 由得，∴只要证．不妨设120x x >>，则只要证即证明：．令121x t x =>，则只要证明当1t >时，12lnt t t<-成立． 设，1t >，则，∴函数()g t 在(1,)+∞上单调递减，()g t g <（1）0=，即12lnt t t<-成立．由上分析可知，成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2020届江苏省高三高考全真模拟（二）数学试题一、填空题1．已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则U A =ð________． 【答案】{}12x x <≤【解析】直接根据补集的定义进行计算，即可得答案； 【详解】Q {}1U x x =>，{}2A x x =>，∴{}12U A x x =<?ð，故答案为：{}12x x <?. 【点睛】本题考查集合的补运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足2020(1)i z i +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限． 【答案】四【解析】根据复数的次幂运算和除法运算，化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】Q 20202(111)1iz i i z i -⇒==++=， ∴z 在复平面内对应的点位于第四象限，故答案为：四. 【点睛】本题考查复数的次幂运算和除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为________ 【答案】53【解析】先计算平均数,再利用方差公式求解即可. 【详解】该组数据平均数46587666x +++++==.故方差()()()()()()222222214666568676666s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦ ()1540141063=+++++=. 故答案为：53【点睛】本题主要考查了方差的计算,属于基础题型.4．已知向量(1,2)a =r， (2,1)b =-r ，则()a ab ⋅-r r r 的值为________．【答案】5【解析】利用向量数量积的坐标运算，即可得答案； 【详解】Q (1,3)a b -=-r r，∴()(1,2)(1,3)5a a b ⋅-=⋅-=r r r，故答案为：5. 【点睛】本题考查向量减法和数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 5．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为________．【答案】27【解析】根据程序语言所表示的当型循环，直接模拟程序运行，即可得答案； 【详解】3,3S i ==，6,5S i ==， 11,7S i ==， 18,9S i ==，27,11S i==，输出27S=，故答案为：27.【点睛】本题考查算法语言的当型循环，考查阅读理解能力，属于基础题.6．在一个不透明的口袋中装有形状、大小都相同的红球和黄球共5个，从中随机取出1个球，该球是红球的概率是25．现从中一次随机取出2个球，则这2个球的颜色相同的概率为________．【答案】25【解析】先求出红球和白球的个数，再利用古典概型计算概率，即可得答案；【详解】易得：红球2个，白球3个，∴22232525C CPC+==，故答案为：25.【点睛】本题考查古典概型概率计算，求解时注意利用计数原理进行计算，属于基础题.7．已知x，y满足约束条件221x yy xy+≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则3yzx-=的最大值为________．【答案】23-【解析】作出约束条件所表示的可域，再根据目标函数的几何意义为两点连线斜率的最大值，即可得答案；【详解】约束条件所表示的可行域，如图所示：目标式3yzx-=的几何意义是可行域内的点(,)x y与点(0,3)连线的斜率，由图可知过点（1，1）时，max 23z =-． 故答案为：23-. 【点睛】本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意目标函数几何意义的运用. 8．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =是偶函数，则ω的最小值为________． 【答案】3【解析】求出()y g x =的解析式，再利用函数为偶函数，则(0)1g =±从而得到ω的表达式，进而得到其最小值. 【详解】由题意得()sin 6g x x πω⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为()y g x =是偶函数，所以(0)sin 16g πω⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭， ∴()62k k Z ππωπ-=+∈，解得63()k k Z ω=--∈．因为0>ω，所以ω的最小值为3． 故答案为：3. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换及偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知一个圆柱的高为3cm ，体积为312cm π，则该圆柱的外接球的表面积为________2cm ． 【答案】25π【解析】设圆柱的底面半径为rcm ，求出圆柱的外接球的直径，再代入球的表面积公式，即可得答案； 【详解】设圆柱的底面半径为rcm ．由2312r ππ⨯=，得2r =（负值舍去），所以圆柱的外接球的直径为5cm ，故外接球的表面积为2254252cm ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：225cm π. 【点睛】本题考查圆柱的外接球表面积，考查空间想象能力、运算求解能力.10．已知函数22()4x f x x =+，21()2x g x a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若对任意[)11,x ∈+∞，都存在[)21x ∈+∞,，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是________．【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】根据题意可得函数()f x 的值域为函数()g x 值域的子集，从而得到关于a 的不等式组，解不等式组即可得答案； 【详解】Q222()44x f x x x x==++当[)11,x ∈+∞时，1144x x +…，当且仅当12x =时取等号，所以()1f x 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 当[)21x ∈+∞,时，[)22x -∈+∞0,，所以221()2x -∈(]0,1，∴()2g x 的取值范围为(],1a a +．由题意知(]10,,12a a ⎛⎤⊆+ ⎥⎝⎦，所以0a …且112a +…，解得102a -剟． 综上，实数a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查全称量词与存在量词的运用、函数值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用子集关系解题.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点F 作倾斜角为30°的直线，与圆222:C x y b '+=交于点A ，B ．若60AOB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________．【答案】2【解析】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c -+=（c为双曲线C 的半焦距），易得22c =，再结合222c a b =+，即可得答案； 【详解】过双曲线C 的左焦点F 作倾斜角为30°的直线l的方程为0x c +=（c 为双曲线C的半焦距），由题意知圆心O 到直线l，所以22c b =． 因为222c a b =+，所以双曲线C的离心率c e a =．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，则1210a a a +++L 的值为________． 【答案】1023【解析】根据等差中项的性质得12n n S a +=，再利用临差法可得12n na a +=，从而得到数列为等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式，即可得答案； 【详解】由题意得12n n S a +=，所以1112a a +=，解得11a =．由12n n S a +=，得1112n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n na a +=， 所以数列{}n a 是等比数列．因为11a =，所以12n n a -=，故10121012102312a a a -++⋯+==-．故答案为：1023. 【点睛】本题考查数列的n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.13．如图在等腰三角形ABC 中，2AB =，5AC BC ==．若D 是ABC V 所在平面内一点，且0DB DC ⋅=u u u r u u u r，设AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为________．【答案】138． 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，求得点D 的轨迹方程，再利用三角函数的有界性，即可得答案； 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ．由0DB DC ⋅=u u u r u u u r知DB DC ⊥，所以点D 在以BC 为直径的圆上．以BC 为直径的圆的方程为2215(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以可设1,12D θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，则3,12AD θθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ．因为(2,0)AB u u u r =，(1,2)AC =u u u r，AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ．所以3cos 22212θλμθμ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1212λθθμθ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以511sin )1sin()8λμθθθθθϕ+=++=++=++， 其中tan 2ϕ=， 所以λμ+的最大值为138． 故答案为：138． 【点睛】本题考查平面向量基本定理的坐标运算、参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意辅助角公式和三角函数有界性的运用.14．已知函数323,0()31,0x x t x f x x x ⎧-++≤=⎨->⎩，若函数(())y f f x =恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是________．【答案】3|42t t ⎧⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =【解析】令()s f x =，则()y f s =，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求s 的值，再求x 的值，对t 分5种情况进行讨论，结合函数图象，即可得答案； 【详解】因为2()360f x x x '=-+≤在0x ≤上恒成立，所以()f x 在(],0-∞上单减，令()s f x =，则()y f s =．（ⅰ）当0t >时，只有13s =，显然不成立（ⅱ）当0t =时，10s =，213s =，此时如图：有四个交点，∴满足题意．（ⅲ）当10t -<<时，如图1，由()0f s =得10s <，213s =． 由213s =得3x x =或4x ， 由10s <且321130s s t -++=，知32113t s s =-．要使()y f s =有4个不同的零点，必须由1()f x s =得1x x =或2x ， 此时321113t s s s =-…，解得1313s -…，133s +…（舍去）， 又211360t s s '=->在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦恒成立， 所以()2113t s s =-在313,2⎛⎤--∞ ⎥ ⎝⎦上为增函数，所以31312t --<…．（ⅳ）当1t =-时，由(1)0f ->，(0)0f <，得110s -<<，此时满足题意． （ⅴ）当1t <-时，如图2，由()0f s =得10s <，213s =． 要使()y f s =有4个不同的零点，必须110s -<<，此时32113(4,0)t s s =-∈-，所以41t -<<-．综上，实数t 的取值范围是3134t t ⎧-⎪-<⎨⎪⎩…或}0t =．【点睛】本题考查分段复合函数的零点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，BA AD ⊥，CD AD ⊥，E 是棱D 上一点，AE PD ⊥，AE AB ⊥．（1）求证：//AB 平面PCD ； （2）求证：平面ADP ⊥平面PCD ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证明AB CD ∥，再根据线面平行的判定定理，即可证得结论； （2）证明AE ⊥平面PCD ，再利用面面垂直的判定定理，即可证得结论； 【详解】（1）在四边形ABCD 内，因为BA AD ⊥，CD AD ⊥，所以AB CD ∥． 又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ． （2）因为AE AB ⊥，//AB CD ，所以AE CD ⊥．又因为AE PD ⊥，CD ，PD ⊂平面PCD ，CD PD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ． 又因为AE ⊂平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查空间想象能力. 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos 212sin 2AA +=． （1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）3A π=；（2 【解析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，可得关于cos A 的一元二次方程，即可得答案；（2）利用余弦定理求出a 的值，再利用正弦定理求得sin B ，进而利用同角三角函数的基本关系求得cos B ，最后代入两角和的正弦公式，即可得答案； 【详解】（1）因为2cos 212sin2AA +=， 所以cos2cos 0A A +=，故22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-． 又因为0A π<<，所以3A π=．（2）由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-．因为4b =，5c =，3A π=，所以222145245212a =+-⨯⨯⨯=，即a =由正弦定理知sin sin a b A B=，即4sin sin 3B π=．所以sin B =．因为b c <，所以B C <，即B 为锐角，故cos 7B =．所以1sin sin cos cos sin 33327B B B πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17．某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆1O 、半圆2O 和正方形ABCD 组成的，且8AB cm =．设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH ，标签的其中两个顶点E ，F 在AM 上，另外两个顶点G ，H 在CN 上（M ，N分别是AB ，CB 的中点）．设EF 的中点为P ，1FO P θ∠=，矩形EFGH 的面积为2Scm ．（1）写出S 关于θ的函数关系式()S θ （2）当θ为何值时矩形EFGH 的面积最大？ 【答案】（1）()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【解析】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，可得8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，利用矩形的面积公式，即可得答案； （2）利用导数可得：当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，即可得答案； 【详解】（1）由题意知0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，8sin EF θ=，8cos 42EH θ=+，则()8sin (8cos 42)S EF EH θθθ=⋅=+， 即()32sin (2cos 2)S θθθ=+，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）()32[cos (2cos 2)sin (2sin )]S θθθθθ'=+⋅-()22322cos 2sin 2θθθ=-()2324cos 22θθ=+-．因为0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以224cos 4θ<…，122θ<…，所以24cos 2cos 20θθ+->，故当0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0S θ'>恒成立，所以()S θ在0,4E π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增． 故当4πθ=时，[]max ()32sin2cos 26444S ππθ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭． 答：当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，为264cm ． 【点睛】本题考查导数在实际问题中的运用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为22．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆E 相切于点P （点P 在第一象限内），与圆2212x y +=相交于点A ，B ，且2AP PB =u u u r u u u r，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）162y x =-+．【解析】（1）直接根据短轴和离心率的值，求出,a b ，即可得椭圆的方程；（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=，根据三角形相似可得12333OP OD ==，再利用点P 的坐标标可得,k m 的关系，从而得到直线的方程. 【详解】（1）设椭圆E 的焦距为2c ，则2222222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）由题意可设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，与椭圆22:12+=x E y 联立并消去y 得()222214220k x kmx m +++-=．因为直线l 与椭圆E 相切，所以()()222216422210k m m k ∆=--+=，整理得2221m k =+．设点P 的坐标为()00,x y ，则022221km k x k m -==-+，01y m=． 设直线OP 交圆2212x y +=于点C ，D ，则AP CPBP DP=．又因为2AP PB =u u u r u u u r ，所以1233OP OD ==2224143k m m +=，与2221m k =+联立解得12k =-（正值舍去），6=m 所以直线l 的方程为162y x =-+． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、直线方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是利用向量关系得到长度的比例关系.19．已知各项均为正数的两个数列{}n a ，{}n b 满足11121n nn n a a a a +++=+-，2212log log 1n n n a b b +=++．且111a b ==．（1）求证数列{}n a 为等差数列； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求使得等式236m m i S a T +-=成立的有序数对()(,),*m i m i N ∈． 【答案】（1）证明见解析；（2）12n nb -=；（3）见解析.【解析】（1）根据递推关系可得()2211n n a a +=+，从而得到数列{}n a 是等差数列；（2）分别求出数列{}n b 的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列{}n b 的通项公式；（3）求出n S ，n T ，代入236m m l S a T +-=中，则存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=，再证明5s …不成立，从而得到4s =，9m =，6l =． 【详解】（1）由11121n nn n a a a a +++=+-得()()()11112n n n n a a a a +++-=+，即()2221211n n n n a a a a +=++=+．因为数列{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +=+，即11n n a a +-=， 故数列{}n a 是公差为1的等差数列． （2）由（1）及11a =知n a n =．由2212log log 1n n n a b b +=++，得2112n n n b b -+=．所以21122n n n b b +++=，上面两式相除得24n nb b +=， 所以数列{}n b 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．由11b =及2112n n n b b -+=知22b =，所以1(21)121142k k k b ----=⨯=，()121*2242k k k b k N --=⨯=∈，所以12n nb -=．综上，数列{}n b 的通项公式为12n nb -=．（3）由（1）和（2）知(1)2n n n S +=，122112nn n T -==--．由236m m l S a T +-=，得(1)236212l m m m +⨯+-=-，即(7)(5)2l m m +-=． 则必存在*,s t N ∈，使得27s m =+，25t m =-，从而2212s t -=．若5s …，则221220t s =-…，故5t …． 又因为s t >，所以12222232s t t t t +--=厖．这与2212s t -=矛盾，所以4s …．由于2212s t -=，则只能4s =，2t = 此时9m =，6l =． 【点睛】本题考查数列递推关系、等差、等比数列基本量运算、及数论的相关知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20．已知函数()(1)x f x x e =-，()ln g x a x =+，其中e 是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切． ①求实数a 的值；②求函数()()()x f x e g x ϕ=+的单调区间； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点． 【答案】（1）①2a e =-，②函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞；（2）证明见解析【解析】（1）①利用导数的几何意义求出在1x =处的切线方程，再利用切线与曲线()g x 也相切，可求得a 的值；②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+，对绝对值内的数进行分类讨论，再利用导数分别研究分段函数的单调性.（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=，令2()1x m x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>，故()m x 在(0,)+∞上单调递增，再利用零点存在定理证明函数()h x 的极小值小于0，及1ln0h b ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证得结论；【详解】（1）①由()(1)x f x x e =-得()x f x xe '=，所以切线的斜率(1)k f e '==． 因为切点坐标为(1,0)，所以切线的方程为(1)y e x =-． 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y ． 由()ln g x a x =+得1()g x x'=， 所以()111g x e x '==，得11x e =． 所以切点坐标为1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为点1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线(1)y e x =-上．所以2a e =-． ②由①知()(1)2ln xx x e e e x ϕ=-+-+． 当2e x e -…时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=-+-+， 因为()0xe x xe xϕ'=+>恒成立，所以()x ϕ在)2,e e -⎡+∞⎣上单调递增． 当20e x e -<<时，()(1)(2ln )xx x e e e x ϕ=---+． 所以()xex xe xϕ'=-． 因为[]2()(1)0xex x e xϕ''=++>恒成立，所以()x ϕ'在()20,e e -上单调递增． 注意到(1)0ϕ'=，所以当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<；当()21,e x e -∈时，()0x ϕ'>． 所以()x ϕ在(0,1)上单调递减，在()21,e e -上单调递增．综上，函数()x ϕ的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞．（2）由()(1)ln xh x b x e x =--，得211()x xbx e h x bxe x x-'=-=．令2()1xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()2()20xm x bx bx e '=+>， 故()m x 在(0,)+∞上单调递增．又因为(1)10m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()0m x =在(0,)+∞上有唯一解，从而()0h x '=在(0,)+∞上有唯一解．不妨设为0x ，则011lnx b<<． 当()00,x x ∈时，()0()()0m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0()()0m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增． 故0x 是()h x 的唯一极值点．令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，1()10t x x'=-<，所以()t x 在(1,)+∞上单调递减， 从而当1x >时，()(1)0t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111111ln ln 1ln ln ln 1ln ln ln 0b h b e t b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点． 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在(0,)+∞上恰好有2个零点． 【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程、导数研究函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.21．换T :22x x x y y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试写出变换T 对应的矩阵A ，并求出其逆矩阵1A -． 【答案】110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【解析】设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，利用11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，可得方程组，解方程组即可得答案； 【详解】由1022x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1022A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，设1a b c d A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则1101022222201a b ab AAcd a c b d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以10220221a b a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得10112a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，所以110112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． 【点睛】本题考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力，求解时注意待定系数法的应用. 22．直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程13x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为222x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）．若直线l 与曲线C 相交于点A ，B ．求OAB V 的面积．． 【解析】将直线的参数方程化为普通方程，再利用直线过定点，得到三角形的面积12112S y y =⨯⨯-，求出直线与抛物线交点的纵坐标，即可得答案；【详解】由13x t y t =+⎧⎨=⎩，消去参数t 得3(1)y x =-，由222x m y m ⎧=⎨=⎩消去参数m 得22y x =． 联立方程组23(1)2y x y x =-⎧⎨=⎩，消去x 得23260y y --=，解得y =或y =． 因为直线l 过定点(1,0)．所以OAB V的面积12112S y y =⨯⨯-=． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系、三角形面积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.23．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围． 【答案】120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】因为()222222221226221()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭… 所以25120a a -…，解得1205a 剟． 综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 24．在直三校柱111ABC A B C -中，ABC V 是等直角三角形，90ACB ∠=︒，42AB =，M 是AB 的中点，且11A M B C ⊥．（1）求1A A 的长；（2）已知点N 在棱1CC 上，若平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角的余10N 的位置． 【答案】（1）22（2）N 在棱1CC 的中点处．【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设1A A a =，利用直线垂直向量的数量积为0，可得关于a 的方程，解方程即可得答案；（2）由（1）知1(0,0,22)C ，设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)BN λ=--u u u u r ，求出平面1B AN 的一个法向量12241,1,n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ，平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，再代入向量的夹角公式，即可得答案；【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系．设1A A a =．由42AB =4AC BC ==，则(4,0,0)A ，(0,0,0)C ，1(4,0,)A a ，1(0,4,)B a ，(2,2,0)M所以1(2,2,)AM a =--u u u u r ，1(0,4,)=--u u u r B C a ． 因为11A M B C ⊥，所以(2)02(4)()()0a a -⨯+⨯-+-⨯-=，解得22a =1A A 的长为22（2）由（1）知1(0,0,22)C设(0,0,)(02)N λλ剟，所以1(4,4,22)B A =--u u u r ，1(0,4,22)B N λ=--u u u u r ．设平面1B AN 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r ．由1111n B A n B N ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u v u u u v u v u u v r ，得1111144204(2)0x y z y z λ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩，取12241,1n λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r ． 易知平面11BCC B 的一个法向量为2(1,0,0)n =u u r ，设平面1B AN 与平面11BCC B 所成锐二面角的平面角为θ，1212122210cos cos ,22411n n n n n n θλλ⋅====⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r u u r u r u u r u r u u r ．解得λ=2λ=-（舍去） 所以N 在棱1CC 的中点处．【点睛】本题考查空间中线段的长度、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.25．整数2n …，集合{}1,P x x n x N =∈剟，A ，B ，C 是集合P 的3个非空子集，记n a ，为所有满足A B ，A B C P ⋃⋃=的有序集合对(,,)A B C 的个数．（1）求2a ；（2）求n a ．【答案】（1）26a =；（2）52323n n n -⋅-+． 【解析】（1）由题意得{1}A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2或{}2A =，{}1,2B =，{}1C =，{}2，{}1,2，即可得到2a 的值；（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -，即可得到n a 的值；【详解】（1）当2n =时，集合{}1,2P =，非空子集为{1}，{2}，{1,2}，因为A B ，A B C P ⋃⋃=，所以当{1}A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2；当{}2A =时，{}1,2B =，则{}1C =，{}2，{}1,2．综上，26a =．（2）当B 中的元素个数为(21)k k n -剟时，集合A 的种数为22k -，集合C 的种数为2k ；当B 中的元素个数为n 时，集合A 的种数为22n -，集合C 的种数为21n -． 所以()()()12C 222C 2221n kk k n n n n nn k a -==-+--∑()()()()()()00011102222221222222222nk k n n n n k n nn n n k C C C C ==-+--------∑()0C 42223n kk k n n k ==-⋅-+∑0042223n nkkk k n n n k k C C ===-⋅-+∑∑ (14)2(12)23n n n =+-⋅+-+52323n n n =-⋅-+．【点睛】本题考查集合的新定义、二项式定理的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑思维能力、运算求解能力，难度较大.。

2020年3月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合A ={|2,x x x R <∈}，集合B ={|12,x x x R <<∈}，则=A B I ________． 2．设1i2i 1iz --=+，则z =________．3．函数y =__________．4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =-，则数列276n n n b a a =-+的最小值为__________.5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为()2,0，且它的一条渐近线与直线l ：0x +=垂直，则双曲线C 的标准方程为____.6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT 的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A ＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A 的概率为_____．7．函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为________.8．执行下面的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为____.9．等腰直角三角形ABC 中，，则有________.10．已知(0,)2x π∈，3tan 4x =，则2sin()sin 21cos x xx π-+=+__________． 11．已知点()3,0A ，抛物线C ：24x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|MNFM=______. 12．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱1BB 的中点，点F 是棱1CC 靠近1C 的三等分点，且三棱锥1A AEF -的体积为2，则四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为______．90,C ︒∠=CA CB ==CA AB ⋅=u u u r u u ur13．已知函数()(),0,1,0,x xe x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()1g x k x =+，若方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_____．14．已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=o ,点E 、F 分别在边,BC CD 所在直线上,BE BC λ=u u u v u u u v，DF DC μ=u u u v u u u v ,若522λμ+=, 则AE AF ⋅u u u v u u u v的最小值___________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos -=a c bA B. （1）求A ；（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值.16．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且，F 为棱1BB 的中点M 为线段1AC 的中点．（1）求证：直线//MF ABCD 平面； （2）求证：111AFC ACC A ⊥平面平面17．如图所示，在某海滨城市A 附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市A 的东偏南60°方向、距城市A 300km 的海面点P 处，并以20km /h 的速度向西偏北30°方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A 是否会受到上述台风的影响.如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.18．如图，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>左、右顶点为A 、B ，左、右焦点为1F 、2F，4AB =，1223F F =.直线y kx m =+()0k >交椭圆于点C ，D 两点，与线段12F F 、椭圆短轴分别交于M 、N 两点（M ，N 不重合），且CM DN =.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线AD ，BC 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的取值范围. 19．已知函数22()ln (0)xe f x a x x x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭.（1）若函数()f x 在区间()0,2内有两个极值点1x ，()212x x x <，求实数a 的取值范围； （2）在（1）的基础上，求证：122ln x x a +<.20．已知函数f （x ）对任意x R 都有()(1)2011f x f x +-=。

江苏省2020届高考数学模拟试题（二）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________.2．集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B =I _____.3．在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为 ．答对题数4 8 9 10 人数分布1 12 14．某校高一高二高三三个年级数学MT 的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A ＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A 的概率为_____．5．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.6．若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为________________.7．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是______.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则789a a a ++=________.9．已知tan α＝2，则cos(24πα+)的值为 ．10．已知正方形ABCD 的边长为2，以C 为圆心的圆与直线BD 相切．若点M 是圆C 上的动点，则AM MD⋅u u u u r u u u u r 的最小值为 ．11．在ABC V 中，已知2AB AC BC BA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，且13BC =，则ABC V 面积的最大值为________． 12．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>o ，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____. 13．已知直线l ：x ＋my ﹣2﹣m ＝0(m ∈R)恒过定点A ，点B ，C 为圆O ：2225x y +=上的两动点，满足∠BAC ＝90°，则弦BC 长度的最大值为 ．14．已知函数()[]11,1,05x f x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222()tan b c a A +-=． （1）求角A ；（2）若2a =，ABC ∆的面积S ，求11b c +的值．16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，PC AB ⊥，,D E 分别为,BC AC 的中点. 求证：（1）AB ∥平面PDE ；（2）平面PAB ⊥平面PAC .17．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1，为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2，已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO ＝θ，0<θ<π2，圆锥的侧面积为S cm 2.(1) 求S 关于θ的函数关系式；(2) 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大，求S 取得最大值时腰AB 的长度．（图1） （图2）18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点(. ()1求椭圆C 的方程；()2已知BMN △是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN △的垂心，求线段MN 的长；②若原点O 为BMN △的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.19. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，在各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1=a 1，公比为q ，且b 2+S 2=10，b 2（q +2）=S 2．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n =an b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥12的n 的最小值．20．设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <).（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证:12x x ⋅随着21x x 的增大而增大.数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。