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2.3 无穷小与无穷大

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2.3无穷小与无穷大

2.3无穷小与无穷大


lim 则 lim [ f ( x ) − A] = x → x α ( x ) = 0.
于是，对 ∀ε > 0, ∃δ > 0,当 | x − x0 |< δ 时， 于是， | f ( x ) − A − 0 |=| f ( x ) − A |< ε .
x → x0 →
0
∴ lim f ( x ) = A.
第三节 无穷小与无穷大 要 点
无穷小量与无穷大量概念 无穷小与无穷大性质关系
无穷小量 ( infinitesimal ) 例
1 x → 0, sin x → 0, x sin → 0, x 当 x→1, ln x → 0 , ( x − 1)3 → 0 , →
2
当 x→0 →
当 x→∞ , →∞ 1 − x2 →0, e →0, x 1 当 n→∞ → 0. n
0
图形的垂直渐近线 图形的垂直渐近线. 垂直渐近线
注意
无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 极限存在； 不可认为 lim f ( x ) = ∞ 极限存在； x→ • 无穷大是一种特殊的无界变量, 无穷大是一种特殊的无界变量, 但 是无界变量未必是无穷大. 是无界变量未必是无穷大.
1 f ( x) < , 于是 ⇒ M
1 由于 f ( x ) ≠ 0, ∴ x → x0 , 是无穷大量. 是无穷大量 f ( x)
关于无穷大的讨论, 意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关 于无穷小的讨论. 于无穷小的讨论.
例
研究 x→0 时， 函数 是否为无穷小. 是否为无穷小
1+ e 1+ e
1 1 , 取δ= , 只要 x − 1 < M M 1 1 当0 < x − 1 < δ = 时 , 就有 > M. M x −1 1 ∴ lim = ∞. x →1 x − 1
2.3 无穷小与无穷大

2.3 无穷小与无穷大


1
4
2
5
3
6
y x2
1 y x1
1 y x
y x1
1 y 3 x
y
1 x 1
3.无穷小量的比较 我们已经知道了有限个无穷小的和、差、积仍然是无 穷小.但是两个无穷小的商会是什么样的结果呢？
提出问题
2 x 0 2 x ， x ,4 x 都是无穷小量， 当 时， 观察他们任意两个求商取极限的情形？
1 2
任意两个无穷小的商是否仍是无穷小？为 什么？
x2 2x 4x lim 0, lim 2 , lim 2. x 0 2 x x 0 x x 0 2 x
lim X 0 变量X是这一变化过程中的无穷小
注意
（1）无穷小表达的是量的变化趋势，而不是量的大小；一 个非零的数不管其绝对值多么小，都不是无穷小，常数中 只有零是无穷小.
课堂练习
讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小.
1 1 x x (1) y ; (2) y 2 x 1; (3) y 2 ; (4) y ( ) . x 1 4
势是绝对值越来越大，趋于无穷.我们把这一类情况的变量 给出以下定义：
定义3
在某一变化过程中,函数绝对值越来越大的变量称为 无穷大量.一般用

表示。为方便起见，我们也称“函
x x 0 (x )
数的极限是无穷大”，并记为 lim f(x)
类似也有 x lim f(x) , x lim f(x) x x
0 0
(x )
(x )
正无穷大
负无穷大
注意
（1） 无穷大是个变量，不是常数 （2） 无穷大总和自变量的变化趋势相关联
2.3无穷大与无穷小

2.3无穷大与无穷小

1 2 1 cos x = x o( x 2 ). 2
2
y = 1 cos x
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
常用等价无穷小:重点 当x 0时,
①
x : sin x
②tan x ~ ④(1
x
a
1 ③ 1 cos x ~ x 2 2
⑤e
x
x) 1 ~ ax
二、无穷小的性质:
性质2.1 在同一过程中,有限个无穷小的和与差仍 是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 lim( 1 1 … 1 )= 1 n n nn n
个
性质2.2 有限个无穷小的积仍为无穷小. 性质2.3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
例如,当x 0时,
3x 例如： lim 3 = x 0 x
3 x是x 0时x 的低阶无穷小
3
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
f ( x) (3) 如果 lim = C 0, 就说 f ( x ) 与 g( x ) 是同阶的无穷小; x X g( x )
x2 1 2 2 2 lim 2 = x 1是2 x x 1的同阶无穷小 x 1 2 x x 1 3
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
例1 证明 : 当x 0时, tan x sin x为x的三阶无穷小 . 解
tan x sin x lim x 0 x3
1 sin x 1 cos x = lim( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 = lim lim lim = , 2 x 0 cos x x 0 x x 0 x 2
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
无穷小和无穷大

无穷小和无穷大

第二章 2.3讲 第三节 无穷小与无穷大一、无穷小１.无穷小的定义定义 如果当0x x →(或∞→x )时,函数)(x f 的极限为0,那么函数)(x f 叫做当0x x →(或∞→x )时的无穷小量,简称无穷小.例如,因为0)1(lim 1=-→x x ,所以函数1x -是1→x 时的无穷小.又如,01lim=∞→x x ,所以x1是∞→x 时的无穷小. 注意：:(1)说一个函数)(x f 是无穷小时,必须指明自变量x 的变化趋势,如函数1x -是当1→x 时的无穷小,当x 趋向其他数值时, 1-x 就不是无穷小.(2)不要把绝对值很小的常数(如0000001.0或0000001.0-)说成是无穷小,因为这个常数在当0x x →(或∞→x )时,极限为常数本身,并不是0.(3) 常数中只有“0”可看作是无穷小,因为00lim )(0=∞→→x x x2.无穷小的性质性质１ 两个无穷小的代数和是无穷小．性质２ 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小． 性质３ 两个无穷小的乘积还是无穷小． 例1 01lim sinx x x→ 解 当0x →时，1sinx的极限不存在,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.但因为0lim 0x x →=,所以x 是当0x →时的无穷小.而1sin1x≤,所以1sinx 是有界函数.根据无穷小的性质2可知1lim sinx x x→=0例2 求xxx sin lim∞→.解 当∞→x 时，分子及分母的极限都不存在,所以,不能应用极限运算法则Ⅲ.但xx sin 可以看作是x sin 与x 1的乘积.因为当∞→x 时, x 1是无穷小,而x sin 是有界函数,所以根据无穷小的性质2,可知0sin lim =∞→xx x . 3.函数极限与无穷小的关系定理 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限．下面就0x x →时的情形加以证明． 证 设A x f x x =→)(lim 0,令A x f -=)(α,则[]A x f A x f x x x x x x x x 0lim )(lim )(lim lim →→→→-=-=α0=-=A A就是说,α是当0x x →时的无穷小．由于A x f -=)(α,所以α+=A x f )(这就证明了具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和. 反之,设α+=A x f )(,其中A 为常数,α是当0x x →时的无穷小,则A A x f x x x x =+=→→）（α0lim )(lim这就证明了如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限．类似地可以证明当∞→x 时的情形．二、无穷大定义 如果在0x x →(或∞→x )时,函数)(x f 的绝对值无限增大,那么)(x f 叫做当0x x →(或∞→x )时的无穷大量,简称无穷大.如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时是无穷大,那么它的极限是不存在的.但为了便于描述函数的这种变化趋势,我们也说 “函数的极限是无穷大”,并记为∞=∞→→)(lim )(0x f x x x如果在无穷大的定义中,对于0x 左右近旁的x (或对于绝对值相当大的x ),对应的函数值都是正的或都是负的,就分别记为0()lim ()x x x f x →→∞=+∞ 0()lim ()x x x f x →→∞=-∞例如,1x →时,11x -无限增大,所以11x -是1x →时的无穷大.可记为 01lim1x x →=∞- 例如,x →+∞时,xe 总取正值无限增大,所以xe 是x →+∞时的无穷大.可记为lim x x e →+∞=+∞注意：（1）说一个函数)(x f 是无穷大,必须指明自变量x 的变化趋势,如函数x 1是0→x 时的无穷大.当∞→x 时, x1是无穷小而不是无穷大. （2）不要把绝对值很大的常数(100000000或100000-)当作无穷大,因为这个常数在0x x →(∞→x )时的极限为常数本身,并不是无穷大.三、无穷大与无穷小的关系无穷小与无穷大之间有以下关系:在自变量x 的同一变化过程中,若)(x f 为无穷大,则)(1x f 为无穷小.反之,若)(x f 为无穷小,且0)(≠x f ,则)(1x f 为无穷大. 例3 求极限14lim1-+→x x x .解 当1→x 时,分母的极限为零,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.例4 求2lim(32)x x x →∞-+解 因为2lim x x →∞和lim 3x x →∞都不存在,所以不能应用极限法则Ⅰ和Ⅱ.但因为22211lim lim 032321x x x x x x x→∞→∞==-+-+即2132x x -+是当x →∞时的无穷小,所以它的倒数232x x -+是当x →∞时的无穷大,即2lim(32)x x x →∞-+=∞例5 求752lim 223++-∞→x x x x 解 因为分子分母的极限都不存在,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.但因为051271lim 527lim 527lim 3332332232=+-+=+-+=+-+∞→∞→∞→x x x x xx x x x x x x x x x 所以 ∞=++-∞→752lim223x x x x 归纳上节的例2、例4、以及本节的例5，可得以下的一般结论,即当0,000≠≠b a 时，有101101()lim 0()()m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩，，， 例6 求32112lim ()28x x x →--++ 解 因为当2x →-时， 12x +和3128x +都是无穷大，所以不能应用极限法则Ⅰ.但在2x →-的过程中，2x ≠-，所以23222112(24)1228(2)(24)(2)(4)4(2)(24)24x x x x x x x x x x x x x x x -+--=+++-++--==+-+-+于是32112lim ()28x x x →--=++22461lim 244442x x x x →---==--+++四、无穷小的比较定义 设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，又αβlim也是在这个变化过程中的极限． （１） 如果0lim=αβ，就称β是比α较高阶的无穷小，记为)(αβo =；（２） 如果∞=αβlim，就称是β比α较低阶的无穷小； （３） 如果C =αβlim（C 为不等于零的常数），就称β与α是同阶无穷小；（４） 如果1lim=αβ，就称β与α是等价无穷小，记为α～β． 显然，等价无穷小是同阶无穷小的特例，即1=C 的情形． 以上定义对于数列的极限也同样适用． 例7 比较当0→x 时，无穷小x x---111与2x 阶数的高低． 解 因为 2200111(1)(1)1lim lim (1)x x xx x x x x x →→---+--=+2200lim (1)1lim 11x x x x x x→→=-==-所以当0→x 时，x x---111～2x。

无穷小与无穷大

无穷小与无穷大


2 3 1 lim 2 2 2 n n n n
n 2 n
lim
n
1 2 3
1 n n 1 2
n2
n
n2
lim
n
1 n1 lim n 2n 2
二、无 穷 大
定义 在自变量某一变化过程中，若函数
f ( x) 的绝对值无限增大，则称 f ( x) 为无穷
解 因为
1 sin 1 x
1 所以 sin 是有界函数 x
即 又 lim x 0，
x 0
x 是 x 0 时的无穷小
1 lim x sin =0 性质2可知 ， x 0 x
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小．
1 2 n 当 n 时， 各项 2 , 2 , , 2 的 n n n 极限都为０， 均为无穷小，但却不是有限项的和.
即当 x 时, 所以
2x 5 2 2 lim x 1 x
3 f ( x) 是 2 与无穷小 2 之和. x 1 2
2．无穷小的性质
在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质： （1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小． （2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
例2
1 求 lim x sin x 0 x
x 1
x 1
时
x 1 是无穷小。
注意 (1)无穷小是相对于自变量的某一变化过程而言的．
1 例如，当 x 时， x
是无穷小.
而当
1 x 0 时， x
就不是无穷小了．
(2)无穷小是一个以0为极限的变量， 它表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小． 数0是唯一可看作无穷小的常数. 2.无穷小与函数极限的关系 一个不为零的常数无论多么小，都不是无穷小，
2.3-2.4 无穷小量,极限的性质与运算

2.3-2.4 无穷小量,极限的性质与运算


二.无穷大
1.定义：在自变量的某一变化过程中，若变量 f ( x) 的绝对值无限增大，则称 f ( x) 为无穷大.
记作： lim f ( x )
x x0
(或 lim f ( x) ).
x
注意：1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
例如
lim sin x 0, 函数 sin x是当x 0时的无穷小.
x 0
1 lim 0, x x
1 函数 是当x 时的无穷小. x
n ( 1) n ( 1 ) lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
2.无穷小与函数极限的关系:
x x0
3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
三.无穷小与无穷大的关系
在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷 小的倒数为无穷大.
2.4极限的性质与运算
一.极限的性质 性质1（局部保号性）
若 lim f ( x) A, 且A 0(或A 0), 则 0, 当x U 0 ( x0 , )时,
定理1 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的 代数和仍是无穷小. 定理2 有界变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在自变量的同一变化过程中,极限不为零的变 量除无穷小的商是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 注意:1.无限多个无穷小量的和（积）不一定是无穷小量． 2.两个无穷小量的商不一定为无穷小量.
x x0
性质3（局部有界性）若 lim f ( x) A ，则函数 f ( x) 在 x0 的某空心邻
2.3无穷大与无穷小

2.3无穷大与无穷小

例1 自变量x在何变化过程中, 下列函数 f (x)为无穷小.
x2 1 (1) f ( x ) ； x 1
1 (2) xn ； n1
(3) f ( x) x 2 1.
解
x2 1 为无穷小; (1) 当x 1时, f ( x ) x 1
(2) 当n 时,
证 设 及 是当 x 时的两个无穷小,
0, N1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2
取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有
, 0 ( x ) 2 2
解
(1)当 x 0或 x 时, f ( x ) ln x为无穷大;
(2) 当 x 时,
(3) 当 n 时,
e x为无穷大;
n2 1为无穷大;
(4) 无论 x 趋于何值, sinx 都不是无穷大.
三、无穷小的性质
定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.
1 例 f ( x) x
x 0,
1 有 f ( x) 0 x
1 lim f ( x ) lim A 0. x x x
1 M 0, 0, 使得当 0 x x0 时, 恒有 f ( x) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
x x0
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.
2.3 无穷小量与无穷大量

2.3 无穷小量与无穷大量

故 x
0
0
1 x 时 y , y e , y arc cot x x
都是无穷小量.
注 2）
(1) 无穷小量是变量；任何非零常数（无论其绝 对值多么小）都不是无穷小. (2) 无穷小量与极限过程有关，不能孤立的说一 个变量是无穷小. (3) 0是唯一的无穷小常数，但无穷小不是0.
铅直渐近线 x 1
1 y x 1
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x0是函数y f ( x )
x x0
的图形的铅直渐近线.
定理6 在自变量的某一变化过程中，如 1 果 f x 为无穷大量，则 f x 为无穷小量；反之， 如果 f x 为无穷小量，且 f x 0 ，则 1 为无 f x 穷大量.
无穷小一般用希腊字母 等表示.
例子
(1) lim x 2 0, x 0 时, x 2 是一个无穷小量 .
x 0
(2) lim sin x 0, x 0 时, sin x 是一个无穷小量 .
x0
1 1 (3) lim 0, x 时, 是一个无穷小量 . x x x
2.3 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
二、无穷大量
1
一、无穷小量
定义: 在自变量的某一变化过中，以零为极限的 函数，称为无穷小量（或简称为无穷小）. 注1） 这里所说的自变量的变化过程包括
x x0 , x x , x x , x , x .
1 x lim 0 , lim e 0, lim arc cot x 0 如， x x x x
2.3无穷小量和无穷大量

2.3无穷小量和无穷大量

n+2 n
无限接近于 1.那么他们的差：
n+2 2 −1= n n 就是一个无穷小量。 如果这个变量极限为 1，那么这个量减去 1 就是一个无穷小量。这个 事实对函数也是成立的。比如：
x →0
lim(x 2 + 3) = 3；则x 2 + 3 − 3 = x 2 → 0
一般来说，如果： lim f(x) = a；则 lim(f x − a) = 0 反之也成立。 定 理 ： 在 某 一 极 限 过 程 中 lim f x = A <=> ������ x = A + α(x) 其 中 α x 在这一极限过程中是无穷小量。 为什么要研究无穷小量？ f x = A + α(x) 函数以 A 为极限等价于 f(x)-A 为一个无穷小量；两者是等价的。这就
x →0
1 x → 0 时，x 本身是无穷小量， sin 没有极限。 x 但是sin 是一个有界函数。绝对值不会超过 1.因此x → 0时，一个无
x 1
穷小量乘以一个有界量，因此极限仍然为零。 F(x)=0 恒等于零的函数，常函数是一个无穷小量。
三、无穷大量的概念。 x → ∞；x 2 ；3x ； ln x 1 x → 0； ； ln x x 如果当x → x0 (x → ± ∞)时，|f(x)|无限增大，那么我们说 f(x)是无 穷大量。记为： lim f x = ∞ 注意：第一、无穷大量也好，无穷小量也好，它们并不是一个非常大 或者非常小的数，而是在某一极限过程中的一种变化趋势。第二、 lim f x = ∞ 并不能认为它的极限存在。 无穷大量与无穷小量的关系： 如果在某一极限过程中，f(x)是无穷大量，那么 1 f(x) 是无穷小量。比如： lim 2x = +∞；则 lim 1 =0 x →+∞ 2x
无穷小与无穷大(13)

无穷小与无穷大(13)

公差，以防按键手感不良。
2.3 无穷小与无穷大
如 y x sin x是无界函数, 但不是无穷大.
因为取
x
xn
2nπ
π 时, 2
f
( xn )
f
(2nπ
π) 2
2nπ
π 2
,
当n充分大时,
f (xn)可以大于一预先给定的正数M;
而取 x xn 2nπ时, f ( xn ) f (2nπ) 0.
x
解 lim ( x 1 x) . x
2021/4/21
14
2.3 无穷小与无穷大
四、小结
无穷小的概念; 无穷小与函数极限的关系; 无穷小的运算; 无穷大的概念; 无穷小与无穷大的关系.
2021/4/21
15
2.3 无穷小与无穷大
思考题
考研数学三, 3分
当x
0时,
1 x2
sin
1 是( x
| f ( x) |
则称f ( x)当x x0(或x )时的无穷小, 记作
lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
x x0
x
注 (1) 无穷小是变量, 不能与很小很小的数混淆;
“无穷小量”并不是表达量的大小, 而是表达它的变
化状态的.
“无限制变小的量”
(2) 零是可以作为无穷小的唯一的数.
1•
| f (x)| M
当0 x 1 时, 有
1
M . 所以 lim
1
.
x1
x1 x 1
结
如 果 lim x x0
f ( x) , 则直线x = x0是函数y = f (x)
论 的图形的 铅直渐近线(vertical asymptote).
高等数学系列经典学习资料2.3无穷小无穷大

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7
2、 无穷大
定义 若任给 M > 0 , 总存在 δ > 0 (正数 X ) , 使对 一切满足不等式 0 < x − x0 < δ ( x > X ) 的 x , 总有
f ( x) > M
①
则称函数 f ( x) 当 x → x0 ( x → ∞ ) 时为无穷大, 记作
x → x0
lim f ( x) = ∞ .
24
事实上, 当 y > 0时, y = elny.
从而,
(1 + x) k − 1 e k ln(1+ x ) − 1 lim = lim kx x →0 kx x →0
k ln(1 + x) = lim =1 kx x →0
结论： x → a 时， lnx-lna～(x-a)/a ln(x/a)～ x/a -1
华东师范大学软件学院xlq
17
等价无穷小相关定理 . 定理
0 定理表明，在求两个无穷小之比(即求“ ”型)极限 0 时，分子、分母均可用适当的等价无穷小代替，从 而使计算简便快捷。
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18
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4
证明 3) . 有界变量与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设 ∀x ∈U0 (x0 ; δ1 ),
x → x0
u ≤M
ε
M
又设 lim α = 0 , 即 ∀ ε > 0 , ∃δ 2 > 0 ,
x ∈U 0 ( x0 ; δ2 ) 时, 有 α ≤ 当
取 δ = min{ δ 1 , δ 2 }, 则当 x ∈U 0 ( x0 ; δ ) 时 , 就有 uα = u α ≤ M ⋅ ε = ε

2.3-2.4无穷小与无穷大、极限运算法则

第三节无穷小与无穷大一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系基本要求： 1. 理解无穷小与无穷大的定义。

2. 掌握无穷小与无穷大的相关关系。

一、无穷小 1. 定义 定义1 定义 如果函数 f ( x) 当 x → x0 (或 x → ∞ )时的 极限为零，那么 称函数 f ( x ) 为当 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小。

1 x = 0 lim cos x = 0, = 0 limsin 例：lim x →0 π x →∞ x x→ 2 1 故 , sin x, cos x是相应过程的无穷小量 x注1：无穷小与极限过程分不开, 不能脱离极限 过程谈无穷小。

如：f (x)=sinx 当x →∵ lim sin == 1≠ ∵ lim sinx x 00 πx→ →0 x 2当x→0时，f (x)=sinx为无穷小π2时，f (x)=sinx不是无穷小.注2：0是任何极限过程的无穷小. 即 lim 0 = 0 注3： 由于limC = C(常数), 所以, 除0外的任何 常数不是无穷小量. 注4： 不能将无穷小与很小的数混淆; 如： 数10-10 ≈0，但不是无穷小。

定理lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x ). 其中α ( x )是该极限过程中的无穷小量. A为常数. (省去x→xo , x→∞的极限符号“lim” 表示任一极限过程).2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质： 性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小 注1：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.。

1 例. 求 lim x sin x →0 x解: 因为 x → 0 时， x为无穷小, sin 1 ≤ 1 x 1 sin 为有界函数, x 1 。

由定理1.4 2 , 得到 lim x sin = 0 x →0 x2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质： 性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

2023年大学_高等应用数学试题及答案

2023年高等应用数学试题及答案高等应用数学试题第一章函数1.1函数的概念习题1.11.2初等函数习题1.21.3分段函数习题1.31.4常用的经济函数习题1.4复习题一第二章极限与连续2.1数列极限习题2.12.2函数极限习题2.22.3无穷小与无穷大习题2.32.4极限的四则运算习题2.42.5两个重要极限习题2.52.6函数的连续性习题2.6复习题二第三章导数与微分3.1导数的概念习题3.13.2导数的基本公式和基本运算法则习题3.23.3复合函数的导数习题3.33.4反函数的.层数和隐函数的层数习题3.43.5高阶层数习题3.53.6微分习题3.6复习题三第四章导数的应用4.1中值定理习题4.14.2罗必塔法则习题4.24.3函数单调性习题4.34.4函数的极值与最值习题4.44.5函数图形的描绘习题4.54.6导数在经济工作中的应用习题4.6复习题四第五章不定积分第六章定积分第七章多元函数微积分第八章矩阵附录一习题参考答案附录二简易积分表高等应用数学内容简介《高等应用数学》是教育部高职高专规划教材，是以教育部高职高专应用数学课程的基本要求为依据，吸收国外先进职业教育思想编写的，分上、下两册。

本书为下册本书，本书共分为八章。

主要内容包括：函数;极限与连续;导数与微分;导数的应用;不定积分;定积分;多元函数微积分;矩阵。

每节后附有相关习题，每章后附有复习题。

本书最大的特点是应用性较强，适用面较广，财经类、工程技术类、管理类人员都可用。

高等应用数学目录。

第3节无穷小量与无穷大量


即在x 0邻域内，总存在 y 0 的点， 因此，
函数不是无穷大量。
9/14/2019 3:19 AM
第2章 极限与连续
x 3 x 2 1
4. x l im 2 x x 3 (s in x c o sx )0
解
x3 x2 1
lim
x
2x x3
0
（2019）
sinxcosx2
在那个时刻以后，不等式 y E 恒成立，则称
变量 y 是无穷大量，或称变量 y 趋于无穷大。
记作 limy
例如 lim 1
x1 x 1
1 lxi m1 (x1)2

limlnx limx2
x0
x
9/14/2019 3:19 AM
第2章 极限与连续
第2章 极限与连续
2. 无穷大量
引例 讨论函数 y 1 当 x1 时的
x1
变化趋势。 y
如图所示
y 1
x1
在 x 无限接近1的过程中，
y 1 可以任意的大。
x1
O1
x
称当 x1 时， y 1 是一个无穷大量。
x1
9/14/2019 3:19 AM
第2章 极限与连续
【定义2.6】若对任意给定的正数 E ， 变量 y 在其变化过程中，总有那么一个时刻，
不等式 y 恒成立，则称变量 y 为无穷小量。
例1
因为 lim n
1 2n

0
，所以当
n 时，
变量
yn

1 2n
为无穷小量。
9/14/2019 3:19 AM
第2章 极限与连续
例2 因为 lim 1 0 ，所以当 x 时，

江西大学高等数学教材答案

江西大学高等数学教材答案第一章：导数与微分1.1 导数的概念与性质1.2 基本导数公式1.3 高阶导数1.4 隐函数的求导法则1.5 参数方程的求导法则第二章：极限与连续2.1 数列的极限2.2 函数的极限2.3 无穷小与无穷大2.4 极限存在准则2.5 连续与间断第三章：一元函数微分学3.1 微分的概念3.2 微分中值定理3.3 洛必达法则3.4 泰勒公式与应用3.5 中值定理的应用第四章：一元函数积分学4.1 不定积分4.2 定积分的概念4.3 定积分的性质4.4 牛顿—莱布尼茨公式4.5 定积分的应用第五章：微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 一阶微分方程的解法5.3 二阶线性常微分方程5.4 高阶线性常微分方程5.5 微分方程的应用第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的极限6.2 偏导数与全微分6.3 多元函数的极值6.4 隐函数的微分法6.5 多元函数的泰勒公式第七章：重积分7.1 二重积分的概念7.2 二重积分的计算7.3 三重积分的概念7.4 三重积分的计算7.5 重积分的应用第八章：曲线与曲面积分8.1 第一类曲线积分8.2 第二类曲线积分8.3 平面上的曲面积分8.4 空间中的曲面积分8.5 曲线与曲面积分的应用根据江西大学高等数学教材的章节内容，上述为教材的大致目录。

每一章涵盖了各个知识点的详细内容，并按照教材的顺序进行了归类。

本教材为学习高等数学的学生提供了系统且全面的知识线索，帮助学生理解数学的基本原理和方法。

值得注意的是，本文仅提供目录部分，具体内容请参考江西大学高等数学教材。

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x 0
注: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈;
2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势. 3.零是唯一可以作为无穷小的数.
无穷小和极限的关系:
定理 变量 u 以A为极限的充分必要条件是：变量 u 可以表示为 A 与一个无穷小量的和。即 lim u A u Aa ，
其中a 是无穷小 。
x sin
1 1 sin sin 1 ， 即函数 x x
1 x 是当 x 0 时的无穷小，
例 题 三
解
n 1 1 2 2 求 lim ． 2 n n 2 n n
1 2 n 1 1 2 n 1 n(n 1) n 2 n 2 2 2 2 2 n n n n 2n 2n2
的铅直渐近线
x x0
例 题 五
1 曲线y 的铅直渐近线方程为？ x
例 题 一
1 1 因为 lim 0 所以函数 为当 x时的无穷小 x x x
x 1
因为 lim (x 1) 0 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小
因为 lim (x 1) 0 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小
x 1
因为 lim 因为 lim
1 0 1 所以数列{ }为当 n时的无穷 n n 1 n 1
1 0 1 所以数列{ }为当 n时的无穷小 n n 1 n 1
无穷小的性质
•性质1 有限个无穷小的和也是无穷小 •性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 •性质3 常数与无穷小的乘积是无穷小
•性质4 有限个无穷小的乘积也是无穷小
举例: 当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是 当x0时的无穷小 1 当 x时 是无穷小 arctan x 是有界函数 x 1 所以 arctan x 也是无穷小 x
例 题 二
x sin 求 lim x0
1 x
．
当 x 0 时， 函数 x 为无穷小， 而 是有界函数，由性质 2 知， 故 1 lim x sin 0 x 0 x
x x0
0
0
一、无穷小
定义 以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).
. 例如, lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小
1 1 lim 0, 函数 是当x 时的无穷小 . x x x ( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
3．无穷大与自变量某一变化过程有关．
定理2(无穷大与无穷小之间的关系) 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小,且 f ( x) 0 , 则 f ( x)
注 与无穷小不同的是，在自变量的同一变化过程中， 两个无穷大相加或相减的结果是不确定的．因此无穷大 没有和无穷小那样类似的性质，须具体问题具体分析．
例 题 四
即
1 求 lim x 1 x 2 1 .
解
2 x 1 x 当 时， 1是无穷小，由定理 2 知，
1 x 2 1 是 x 1 时的无穷大，
1 lim 2 x 1 x 1
铅直渐近线
如果 lim f (x) 则称直线 x x0 是函数 yf (x)的图形
n2 n 1 n 1 1 2 lim 2 2 2 lim 2 n n n n n 2n 2
所以
注 无穷多个无穷小之和不一定是无穷小．
二、无穷大
定义2： 如果当xx0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)| 无限增大 那么称函数 f(x) 为 xx0( 或 x) 时的无穷大 记为 lim f (x) (或 lim f (x) )
2.3 无穷小与无穷大
*无穷小 *无穷大
复习引入 lim an A
n
x x0 x
an A f ( x) A
(n ) ( x x0 , x )
lim f ( x) A,来自lim f ( x) A
极限存在都需要刻画两个无限变化过程.
定理 : lim f ( x ) A f ( x ) f ( x ) A .
x x0
x
注 1．函数 f ( x) 当 x x0 （或 x ）时为无穷大，按 照函数极限的定义来说，极限是不存在的，但为了表示 函数的这一性态，我们也说函数极限是无穷大，并记作
x x0
lim f ( x)
f ( x) ） （或 lim x
．
2．无穷大不是一个很大数，而是一个变量，且在自变 量的某个变化过程中其绝对值无限增大．