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第二章 2.3讲 第三节 无穷小与无穷大一、无穷小１.无穷小的定义定义 如果当0x x →(或∞→x )时,函数)(x f 的极限为0,那么函数)(x f 叫做当0x x →(或∞→x )时的无穷小量,简称无穷小.例如,因为0)1(lim 1=-→x x ,所以函数1x -是1→x 时的无穷小.又如,01lim=∞→x x ,所以x1是∞→x 时的无穷小. 注意：:(1)说一个函数)(x f 是无穷小时,必须指明自变量x 的变化趋势,如函数1x -是当1→x 时的无穷小,当x 趋向其他数值时, 1-x 就不是无穷小.(2)不要把绝对值很小的常数(如0000001.0或0000001.0-)说成是无穷小,因为这个常数在当0x x →(或∞→x )时,极限为常数本身,并不是0.(3) 常数中只有“0”可看作是无穷小,因为00lim )(0=∞→→x x x2.无穷小的性质性质１ 两个无穷小的代数和是无穷小．性质２ 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小． 性质３ 两个无穷小的乘积还是无穷小． 例1 01lim sinx x x→ 解 当0x →时，1sinx的极限不存在,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.但因为0lim 0x x →=,所以x 是当0x →时的无穷小.而1sin1x≤,所以1sinx 是有界函数.根据无穷小的性质2可知1lim sinx x x→=0例2 求xxx sin lim∞→.解 当∞→x 时，分子及分母的极限都不存在,所以,不能应用极限运算法则Ⅲ.但xx sin 可以看作是x sin 与x 1的乘积.因为当∞→x 时, x 1是无穷小,而x sin 是有界函数,所以根据无穷小的性质2,可知0sin lim =∞→xx x . 3.函数极限与无穷小的关系定理 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限．下面就0x x →时的情形加以证明． 证 设A x f x x =→)(lim 0,令A x f -=)(α,则[]A x f A x f x x x x x x x x 0lim )(lim )(lim lim →→→→-=-=α0=-=A A就是说,α是当0x x →时的无穷小．由于A x f -=)(α,所以α+=A x f )(这就证明了具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和. 反之,设α+=A x f )(,其中A 为常数,α是当0x x →时的无穷小,则A A x f x x x x =+=→→）（α0lim )(lim这就证明了如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限．类似地可以证明当∞→x 时的情形．二、无穷大定义 如果在0x x →(或∞→x )时,函数)(x f 的绝对值无限增大,那么)(x f 叫做当0x x →(或∞→x )时的无穷大量,简称无穷大.如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时是无穷大,那么它的极限是不存在的.但为了便于描述函数的这种变化趋势,我们也说 “函数的极限是无穷大”,并记为∞=∞→→)(lim )(0x f x x x如果在无穷大的定义中,对于0x 左右近旁的x (或对于绝对值相当大的x ),对应的函数值都是正的或都是负的,就分别记为0()lim ()x x x f x →→∞=+∞ 0()lim ()x x x f x →→∞=-∞例如,1x →时,11x -无限增大,所以11x -是1x →时的无穷大.可记为 01lim1x x →=∞- 例如,x →+∞时,xe 总取正值无限增大,所以xe 是x →+∞时的无穷大.可记为lim x x e →+∞=+∞注意：（1）说一个函数)(x f 是无穷大,必须指明自变量x 的变化趋势,如函数x 1是0→x 时的无穷大.当∞→x 时, x1是无穷小而不是无穷大. （2）不要把绝对值很大的常数(100000000或100000-)当作无穷大,因为这个常数在0x x →(∞→x )时的极限为常数本身,并不是无穷大.三、无穷大与无穷小的关系无穷小与无穷大之间有以下关系:在自变量x 的同一变化过程中,若)(x f 为无穷大,则)(1x f 为无穷小.反之,若)(x f 为无穷小,且0)(≠x f ,则)(1x f 为无穷大. 例3 求极限14lim1-+→x x x .解 当1→x 时,分母的极限为零,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.例4 求2lim(32)x x x →∞-+解 因为2lim x x →∞和lim 3x x →∞都不存在,所以不能应用极限法则Ⅰ和Ⅱ.但因为22211lim lim 032321x x x x x x x→∞→∞==-+-+即2132x x -+是当x →∞时的无穷小,所以它的倒数232x x -+是当x →∞时的无穷大,即2lim(32)x x x →∞-+=∞例5 求752lim 223++-∞→x x x x 解 因为分子分母的极限都不存在,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.但因为051271lim 527lim 527lim 3332332232=+-+=+-+=+-+∞→∞→∞→x x x x xx x x x x x x x x x 所以 ∞=++-∞→752lim223x x x x 归纳上节的例2、例4、以及本节的例5，可得以下的一般结论,即当0,000≠≠b a 时，有101101()lim 0()()m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩，，， 例6 求32112lim ()28x x x →--++ 解 因为当2x →-时， 12x +和3128x +都是无穷大，所以不能应用极限法则Ⅰ.但在2x →-的过程中，2x ≠-，所以23222112(24)1228(2)(24)(2)(4)4(2)(24)24x x x x x x x x x x x x x x x -+--=+++-++--==+-+-+于是32112lim ()28x x x →--=++22461lim 244442x x x x →---==--+++四、无穷小的比较定义 设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，又αβlim也是在这个变化过程中的极限． （１） 如果0lim=αβ，就称β是比α较高阶的无穷小，记为)(αβo =；（２） 如果∞=αβlim，就称是β比α较低阶的无穷小； （３） 如果C =αβlim（C 为不等于零的常数），就称β与α是同阶无穷小；（４） 如果1lim=αβ，就称β与α是等价无穷小，记为α～β． 显然，等价无穷小是同阶无穷小的特例，即1=C 的情形． 以上定义对于数列的极限也同样适用． 例7 比较当0→x 时，无穷小x x---111与2x 阶数的高低． 解 因为 2200111(1)(1)1lim lim (1)x x xx x x x x x →→---+--=+2200lim (1)1lim 11x x x x x x→→=-==-所以当0→x 时，x x---111～2x。
