无穷小与无穷大和极限的关系

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无穷小与无穷大和极限的关系

1 ∵ lim = 0, x →∞ x
2.无穷大 2.无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大. 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
小),总存在正数 δ (或正数 X ),使得对于适合不等式 0 < x x 0 < δ (或 x > X )的一切 x,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) > M ,
三、
定理3
无穷小的运算性质
同一过程中，有限个无穷小的代数
和仍是无穷小. 证：设α及β是当x → ∞时的两个无穷小, 时的两个无穷小,
ε > 0, X 1 > 0, X 2 > 0, 使得
当 x > X 1时恒有 α <
ε
2
; 当 x > X 2时恒有 β < ;
2
ε
取 X = max{ X 1 , X 2 }, 当 x > X时, 恒有
但 y( xk ) = 2kπ sin 2kπ = 0 < M .
不是无穷大．不是无穷大．
1 例证明 lim = ∞. x →1 x 1
1 1 y= 证 M > 0. 要使 > M, x 1 x 1 1 1 , 取δ = , 只要 x 1 < M M 1 1 1 = ∞. 时, 就有当0 < x 1 < δ = > M . ∴ lim x →1 x 1 M x 1
即：无穷大的倒数为无穷小，非零无穷无穷大的倒数为无穷小，小的倒数是无穷大. 小的倒数是无穷大.
证 (2) lim f ( x ) = ∞ . 设
x → x0
∴ ε > 0, δ > 0, 使得当0 < x x0 < δ时 1 1 < ε. 恒有 f ( x ) > , 即 f ( x) ε 1 ∴ 当x → x0时, 为无穷小. f ( x)

高数无穷小、无穷大极限运算法则

y 1 sin 1 xx
(1) 取 xk
1
2k
2
y( xk ) 2k 2 ,
(2)
取
xk
1 2k
(k 0,1,2,3,)
当k充分大时, y( xk ) M . (k 0,1,2,3,)
无界，
当 k 充分大时, xk ,
但 y( xk ) 2ksin 2k 0 M .
不是无穷大．
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,则有
(n )
A B
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当 yn
0且 B
0时,
lim
n
xn yn
A B
Hint: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理可由
直接得出结论。
求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n n n
0,
数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
f (x)
若
为无穷小, 且
f (x) 0, 则
1 为无穷大. f (x)
(自证)
Note: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大

是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1

→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1

⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以是

→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′

′

无穷大与无穷小极限运算法则(2)

2lim x3 lim4
x2
x2
lim( x2 5x 3)
2 23 4
3
4.
x2
29
小结
(1) 设 f ( x) a0 xn a1xn1 an , 则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0n a1 x0n1 an f ( x0 ).
当x 1时,
皆非无穷小.
当n 时,数列{(1)n }是无穷小. n
无穷小是指在某个过程中函数变化的趋势.
4
定义1 0(不论它多么小), 0(或X 0),
使得当0 | x x0 | (或 | x | X ),
恒有 | f ( x) |
则称f ( x)当x x0(或x )时的无穷小, 记作
证因为 lim 1 0 , ( 无穷小量 ) x x
| sin x | 1 x (,) , ( 有界量 )
故 lim 1 sin x 0 . x x
12
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
小),总存在正数(或正数 X ),使得对于适合不等式
lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
x x0
x
注 “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达
它的变化状态的. “无限制变小的量”
1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆;
2) 零是可以作为无穷小的唯一的数. 3) 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；

四、五节无穷小与无穷大极限运算法则

1，定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大，定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大
特殊情形：正无穷大，负无穷大．特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = −∞ )
x → x0 ( x→∞ )
注意（1）无穷大是变量不是一个很大的数，它能大于任不是一个很大的数，）无穷大是变量,不是一个很大的数意大的数; 意大的数
0
x−3 例3 求 lim 2 x →3 x − 9
B、x -->∞ 时求函数极限、
例4
2x − 3 求 lim 2 x →1 x − 5 x + 4
3x3 + 4 x2 + 2 例5 求 lim 3 x→∞ 7 x + 5 x2 − 3
3 x2 − 2 x − 1 例6 求 lim 3 2 x→∞ 2x − x + 5
极限的四则运算法则
定理
设 lim f ( x) = A, lim g( x) = B, 则 (1) lim f ( x) ± g( x)] = A± B; [ (2) lim f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; [ f ( x) A (3) lim B = , 其中 ≠ 0. g( x) B
第五节极限的运算法则
本节讲述极限的四则运算法则。为此先介绍两个定理。定理1：有限个无穷小的和还是无穷小。有限个无穷小的和还是无穷小定理有限个无穷小的和还是无穷小定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。有界函数与无穷小的乘积是无穷小定理有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。常数与无穷小的乘积是无穷小推论常数与无穷小的乘积是无穷小（常数是有界的）推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。有限个无穷小的乘积是无穷小推论有限个无穷小的乘积是无穷小（无穷小是有界的）

第四、五节无穷大与无穷小极限运算法则

M0,0,使得 0x 当 x0时恒f有 (x)1,
M
当xx0时, f(1x)为无穷 . 大意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
16
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; ∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
过程；
5
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证: lim f(x)A
xx0
0,0,当 0xx0 时,有
f(x)A
f(x)A
lim
0
xx0
注：对自变量的其它变化过程类似可证 . 6
f(2n)0.
所以 x时,f (x)不是无穷大!
13
y
例证明lim 1
x1 x1
解出 | x1|
y 1 x1
证
M0,
要使 1 x1
M,
O •1
x
只要 x1 1, M
取
1, M
1
铅直渐近线
当 0x1时 ,有 1 M. lim 1 .
x1
x1 x1
结如x l 果 ix0m f(x) ,则直 xx0是线函 yf(数 x) 论的图形的铅直渐近线(vertical asymptote).
14
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证设lim f(x). x x0 0,0,使得 0x 当 x0时恒f有 (x)1, 当xx0时, f(1x)为无穷 . 小 15

1_4无穷小无穷大极限运算法则

定理 4 . 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 则有
lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = AB
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[ C f ( x)] = C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x)]n = [ lim f ( x) ] n ( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
x → x0
lim Pn ( x) = Pn ( x0 ).
x → x0
例2. 设 n 次多项式 Pn ( x) = a0 + a1 x + + an x n , 试证
n a lim a x 证: lim Pn ( x) = 0 + a1 lim x + + n
= Pn ( x0 )
x → x0
x →1
1 1 lim = 0 , 函数当 x → ∞ 时为无穷小; x→ ∞ x x 1 1 lim = 0 , 函数当 x → −∞ 时为无穷小. x→ − ∞ 1 − x 1− x
定义1. 若 x → x0 (或 x → ∞ ) 时 , 函数 f ( x) → 0 , 则则称函数 f ( x ) 为 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小 . 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为
1 1 1 lim + + + = 1 n →∞ n n n
n
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 ∀ x ∈ ( x0 , δ 1 ) , u ( x ) ≤ M

高等数学1-4-无穷小与无穷大

说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量定义1 . 若则称函数例如 : 函数函数为当函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。）为当时为无穷小;
时为无穷小;
为当时为无穷小.
定义1. 若则称函数为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若若
1 为无穷大, 则为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0

4-5 无穷大与无穷小极限运算法则

π
2
时,
当
f ( 2 nπ + ) = 2 nπ + 2 2 而取 x = xn = 2nπ时,
π
π
f ( 2 n π ) = 0.
不是无穷大所以 x → ∞时 f (x)不是无穷大! 不是无穷大! ,
y
1 例证明 lim =∞ x →1 x − 1 解出 | x − 1 |
y=
1 x −1
1 证 ∀ M > 0, 要使 • > M, 1 O x x −1 −1 1 1 只要 x − 1 < , 取δ = , M M 铅直渐近线 1 1 0 当 < x − 1 < δ时, 有 > M. ∴ lim = ∞. x →1 x − 1 x −1
x → x0
lim f ( x ) = 0 (或lim f ( x) = 0).
x→∞
“无穷小量”并不是表达量的大小而是表无穷小量” 无穷小量并不是表达量的大小,而是表注达它的变化状态的. 无限制变小的量达它的变化状态的 “无限制变小的量” 无限制变小的量” 1) 无穷小是变量不能与很小很小的数混淆无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数唯一的数. 3) 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和定理在同一过程中有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 仍是无穷小证设α及β 是当x → ∞时的两个无穷小 ,
∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
ε ε 当 x > N 1时恒有 α < ; 当 x > N 2时恒有 β < ; 2 2

无穷大与无穷小

若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
f (x)
若
为无穷小, 且
f (x) 0, 则
1 为无穷大. f (x)
(自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小的运算性质 Th2 Th3 4. 无穷小与无穷大的关系 Th4
一、无穷小
定义1 极限为0的变量（函数）称为无穷小.
例如 :
函数
当
时为无穷小;
函数当为无穷小.
注意: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的常数. 3.无穷小是相对自变量的某一变化趋势而言。
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
因为
作业 P46 6
x x0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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二、无穷小的运算性质
定理2 定理3 推论1 推论2
有限个无穷小之和还是无穷小. 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小. 常数与无穷小的乘积还是无穷小. 有限个无穷小的乘积还是无穷小.
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例题1 求
C
当
时,
显然 C 只能是 0 !
C
定理 1 ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中为 x x0
时的无穷小量 .
证: lim f (x) A
x x0
0, 0, 当 0 x x0 时,有
f (x) A

高等数学第五节无穷小与无穷大

xxxxxx000
0 0
则称x x0是y f x的铅直渐近线.
8
无穷大与无穷小的关系:
定理2: 在自变量的同一变化过程中，如果f x为无穷大,
则
f
1
x
为无穷小;
反之, 且如果f
x为无穷小,且f
x
0,
则
f
1
x
为无穷大.
证设 lim f x ,
x x0
M 0, 0,当0 x x0 时,有 f x M.
x ( x0 , 1 ),
u M 成立。
U 设 lim 0, 则对于 x x0 当 x ( x0 , 2 )
0, 2 0, 时，恒有 .
M
U 取 min1 , 2, 则当 x ( x0 , ),
u M 及同时成立。
M
从而 u u M .
M
所以，
取
1 M
,对上述
0, 当0
x x0
,
有
1
f x
1 M
f
1
x
为
无穷小.
9
反之 : 设当x x0时, f x为无穷小：
0, 0,当0 x x0 时,就有 f x .
取M
1 , 对上述
0,当0
x x0
时, 就有
1
f x
M.
由 , M的任意性：当x x0时, f 1x为无穷大.
x0
由定理2知, x cos 1 是无穷小,
lim x cos 1 0.
x
x0
x
14
即 y不是无穷大.
7
例2 证明lim 4 x3 x 3
证 M 0, 要使 4 4 M , 只要 x 3 1 ,

无穷小运算法则

1 x
lim sin x 0, 函数 sin x是当x 0时的无穷小. x0
1 lim 0,
x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
(1)n lim n n
0,
数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数. (3) 必须指出自变量的趋势
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f ( x) g( x) 有极限， f ( x)有极限，
由极限运算法则可知：
g( x) f ( x) g( x) f ( x) 必有极限，
与已知矛盾，
故假设错误．
练习题
一、填空题:
1、 lim x3 3 __________ . x2 x 3
2、
lim
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是
无界变量未必是无穷大.
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
例如, 函数 f ( x) x cos x , x ( , )
f (2n ) 2 n (当 n )
但 f (2 n ) 0
所以 x 时 ,f (x) 不是无穷大 !
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
推论3: 若lim f ( x) A, lim g( x) B, 且 f ( x) g( x), 则 A B .
f (x)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.

第三讲函数的极限无穷小与无穷大

函数与极限
11/42
注意：1.函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关;
2.与任意给定的正数有关.
2.几何解释:
当x在x0的去心邻域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
y
A
A
A
y f (x)
线y A为中心线,

宽为2的带形区域内. o
x0 x0 x0
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0
f ( x0 ) A.
注意 :{ x 0 x x0 }
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
2019/11/20
函数与极限
18/42
定理 : lim x x0
收
敛，
且lim n
f ( x函n数)与极限A.
22/42
证 lim f ( x) A x x0 0, 0,使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
又 lim n
xn

x0
且
xn

x0 ,
对上述 0, N 0,使当n N时, 恒有
f ( x)当 x x0时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
" "定义 lim f ( x) A 0, 0, x x0
2019/11/20
使当0 x x0 时,恒有 f ( x) A .
20. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .

无穷小与无穷大可编辑全文

绝对值 f ( x) 无限增大，就称f ( x)是该变化过
程中的无穷大，并记作（以x x0为例）
lim f ( x) 或
x x0
f ( x) ( x x0 ).
例如, 当x 0时, y 1 是无穷大. x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则
可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无
穷小代换，而不会改变原式的极限．
例４求 lim ( x 1)sin x . x0 arcsin x
解当x 0时, sin x ~ x, ar多;
察
各极
lim sin x 1, x0 x
sin x与x大致相同;
限（ 0 型）lxim0
0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义2: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说是比高阶的无穷小,
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n 0, (1)n 是当n 时的无穷小.
n n
n
注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
lim sin x 1， x0 x

无穷小与函数极限的关系

f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) ,
那末称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷小, 记作
x x0
lim f ( x ) 0
(或 lim f ( x ) 0).
x
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 . x 0
定理 1
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
证必要性设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x
0
则有 lim ( x ) 0,
x x0
(1) 取 x k 1 2k 2 ( k 0,1,2,3,)
y( x k ) 2k , 2 1 ( 2) 取 x k 2k
当k充分大时, y( xk ) M . 无界.
( k 0,1,2,3,)
当 k 充分大时, xk ,
但 y( xk ) 2k sin 2k 0 M .
f ( x ) A ( x ).
充分性设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
x x0 x x0
x x0
3、无穷小的运算性质:
f ( x) (2)若存在正数K和L, 使得在某U ( x0 )上有K L, g ( x)

则称f与g为当x x0时的同阶无穷小量 .特别当 f ( x) lim c 0时, f与g必为同阶无穷小量 . x x0 g ( x )

考研高数总复习无穷大与无穷小

证设 lim f ( x) . x x0 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , 即 1 . f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0
M 0, 0,使得当0 x x0 时
依渐近线定义，当 x 时（ x 或 x 类似），| PN | 0 ，
即有 lim[ f (x) (kx b)] 0 lim[ f (x) kx] b
x
x
又由 lim [ f (x) k] lim 1 [ f (x) kx] 0 k 0 lim f (x) k
x x
四、曲线的渐近线
作为函数极限的一个应用。我们讨论曲线的渐近线问题。
由平面解析几何知：双曲线
x2 a2
y2 b2
1有两条渐近线 x a
y b
0。
y
o
x
那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？
曲线的渐近线定义：若曲线Ｃ上的动点 p 沿着曲线无限地远离原点时，点 p 与某实直线Ｌ的
距离趋于零，则称直线Ｌ为曲线Ｃ的渐近线。
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证必要性设 lim f ( x) A, 令 ( x) f ( x) A, x x0 则有 lim ( x) 0, 且f (x) A (x). x x0 充分性设 f ( x) A ( x),
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) lim ( A ( x)) A lim ( x) A.
M
当x x0时,u(x) (x)为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘

无穷小量在微积分中的重要地位和作用

无穷小量在微积分中的重要地位和作用在《高等数学》中，无穷小量与无穷大量（可简称为无穷大与无穷小）是极限计算甚至极限定义中的一个重要概念。

而我们知道，无穷小与无穷大之间有着紧密的联系，比如：在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大等。

从而，这篇文章中，我们仅将无穷小在微积分中的重要地位和作用加以总结阐述。

一、无穷小与极限的密切关系已知无穷小与极限的关系如下：A u n n =∞→lim ⇔ A u n -是当∞→n 时的无穷小； ()A x f x x =→0lim ⇔ ()A x f -是当0x x →时的无穷小。

很多教材利用这个关系，从无穷小出发定义极限并建立极限理论。

因此，无穷小也可以作为微积分的基本概念。

在无穷小的基础上建立微积分。

二、无穷小等价代换是求极限的一种重要方法这种方法建立在无穷小等价代换的定理的基础上：定理：设α，α'，β，β'是同一过程中的无穷小，且α～α'，β～β'，αβ''lim 存在，则αβαβ''=lim lim 该定理在求00型不定式的极限时，对分子和分母中所含的无穷小因式分别用比它们更简单的等价无穷小去代替，往往可以使计算简化。

值得注意的是，在作等价代换时，只能对其中的无穷小因式进行，切不可对用加减号联结的项分别进行代换，否则会导致错误！三、无穷小分析是贯穿于微积分主要概念中的一种重要的思想方法1、可导函数的导数()()()xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆0lim 实际上就是0→∆x 时两个无穷小()()x f x x f -∆+与x ∆之比的极限。

2、可导函数()x f y =的微分()x x f x A dy ∆'=∆=是当0→∆x 时的无穷小，它与函数的改变量y ∆之差是x ∆的高阶无穷小，即()x dy y ∆=-∆ ，因此当0≠dy 时，dy 与y ∆是当0→∆x 时的等价无穷小。

2.3-2.4无穷小与无穷大、极限运算法则

第三节无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系基本要求： 1. 理解无穷小与无穷大的定义。

2. 掌握无穷小与无穷大的相关关系。

一、无穷小 1. 定义定义1 定义如果函数 f ( x) 当 x → x0 (或 x → ∞ )时的极限为零，那么称函数 f ( x ) 为当 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小。

1 x = 0 lim cos x = 0, = 0 limsin 例：lim x →0 π x →∞ x x→ 2 1 故 , sin x, cos x是相应过程的无穷小量 x注1：无穷小与极限过程分不开, 不能脱离极限过程谈无穷小。

如：f (x)=sinx 当x →∵ lim sin == 1≠ ∵ lim sinx x 00 πx→ →0 x 2当x→0时，f (x)=sinx为无穷小π2时，f (x)=sinx不是无穷小.注2：0是任何极限过程的无穷小. 即 lim 0 = 0 注3：由于limC = C(常数), 所以, 除0外的任何常数不是无穷小量. 注4：不能将无穷小与很小的数混淆; 如：数10-10 ≈0，但不是无穷小。

定理lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x ). 其中α ( x )是该极限过程中的无穷小量. A为常数. (省去x→xo , x→∞的极限符号“lim” 表示任一极限过程).2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质：性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小注1：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.。

1 例. 求 lim x sin x →0 x解: 因为 x → 0 时， x为无穷小, sin 1 ≤ 1 x 1 sin 为有界函数, x 1 。

由定理1.4 2 , 得到 lim x sin = 0 x →0 x2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质：性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

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即：无穷大的倒数为无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大.
证 (2)设 lim f ( x) . x x0
0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , 即 1 .
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
注关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷
小的讨论.
(1) 设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0
三、无穷小的运算性质
定理3 同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
证：设及是当x 时的两个无穷小,
当
x
X
时
1
恒
有
; 2
当
x
X
时
2
恒
有
;
2
取 X max{ X1, X2 }, 当 x X时, 恒有
2
2
,
lim( ) 0.
注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小.
例如， n 时，1 是无穷小. n
充分性设 f ( x) A ( x),
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) lim ( A ( x)) A lim ( x) A.
x x0x x0Fra bibliotekx x0
2. 无穷小与无穷大的关系
定理2 (1)若lim f (x) 0,( f (x) 0),则 x lim 1 . x f (x) (2)若lim f (x) ,则 x lim 1 0. x f (x)
式0 x x0 (或 x X )的一切 x,所对应的函
数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f ( x)当 x x0 (或 x )时为无穷小 ,
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
lim f ( x) (或 lim f ( x) )
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim
n
(1)n n
0, 数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
2.无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
小),总存在正数 (或正数 X ),使得对于适合不等
1.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0 时的无穷小.
证必要性设 lim f ( x) A, 令 ( x) f ( x) A, x x0 则有 lim ( x) 0, f ( x) A ( x). x x0 x是 x x0 时无穷小.
第四节无穷小与无穷大
一无穷小与无穷大的概念二无穷小与无穷大和极限的关系三无穷小的运算性质
一、无穷小与无穷大的概念
1.无穷小极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ( 或正数 X ), 使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切x ,对应的函数值
f ( x)都满足不等式 f ( x) ,
那末称函数 f ( x)当 x x0 (或 x )时为无穷小,
记作 lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
x x0
x
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
lim 1 0, x x
| u || u | | | M ,
M
当x x0时，u 为无穷小.
推论1 在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如，当
x
0
时，x sin
1 x
,
x2
arctan
1 x
都是无穷小.
但n个之和为1,不是无穷小.
定理4 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小.
证设函数u在U 0 ( xo ,1 )内有界,
则M
0,1
0, 使得当0
|
x
x0
|
时
1
恒有 | u | M ,
又设是当 x x0时的无穷小，
0,2 0, 使得当0 | x x0 | 2时恒有 | | .
M
取 min{1,2 }, 则当0 | x x0 | 时恒有
M 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , M
由于 f ( x) 0,
从而 1 M. f (x)
当x
x0时, f
1 为无穷大. (x)
意义 1.将一般的极限问题转化为特殊的极限问
题(无穷小）；
2.给出了函数f ( x)在 xo附近的近似表达
式 f ( x) A,误差为 ( x).
证 M 0. 要使 1 M , x 1
y 1 x1
只要 x 1 1 , 取 1 ,
M
M
当0 x 1 1 时,就有 1 M .lim 1 .
M
x 1
x1 x 1
定义:如果 lim x x0
f ( x) ,则直线x
x0是函数y
f (x)
的图形的铅直渐近线.
二、无穷小与无穷大和极限的关系
x x0 ( x)
x x0 ( x)
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿将lim f (x) 认为极限存在. xx0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
例如,当x 0时,y 1 sin 1 xx
y 1 sin 1 xx
是一个无界变量,但不是无穷大.
(1)取
xk
1
2kp
p
(k
0,1,2,3,L
)
y( xk)
2kp
p
2
,
2 当k充分大时, y( xk) M . 无界，
(2)取
xk
1
2kp
(k
0,1,2,3,L
)
当k充分大时,xk ,
但 y( xk ) 2kp sin 2kp 0 M . 不是无穷大．
例证明 lim 1 . x1 x 1

无穷小与无穷大和极限的关系

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