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无穷小与无穷大及四则运算ppt课件

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无穷小无穷大课件

无穷小无穷大课件

定义1. 若 则称函数
(或 x ) 时 , 函数
则
为
(或 x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 ! 因为
C
当
时,
C 显然 C 只能是 0 !
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定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
证: lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
0, 0, 当 0 x x0 时,有
f (x) A
f (x) A lim 0
x x0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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二、无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
作业 P41~42 2; 4；5
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数 当
但
所以
时,
不是无穷大 !
3. 若
则直线 x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
铅直渐近线
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例 . 证明
证: 任给正数 M , 要使
只要取 1 , 则对满足
M
即 的一切 x , 有
所以
说明: 直线 x 1 为曲线
的铅直渐近线 .
渐近线

《无穷小无穷大》课件

《无穷小无穷大》课件

无穷小是极限为零的变量或函数。
无穷小是数学分析中的一个重要概念，是 研究函数极限和连续性的基础。
无穷小是相对于自变量的某个变化范围而 言的，不是绝对的零。
无无穷小的性质
无穷小具有局部性、相对 性和极限性。
无穷小是相对于自变量的 某个变化趋势而言的，不 是绝对的零。
无穷小具有可加性、可减 性、可乘性和可除性等性 质。
无穷大的应用
无穷大在数学分析、实数理论、集合论等领域有着广泛的应用，是研究数学的基 础概念之一。
在实际应用中，无穷大可以用来描述物理现象和工程问题，例如在电路分析中， 无穷大可以用来表示电源电压或电流的极限值。
04
无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的基 础
无穷小是无限趋近于0的数，而无穷 大是无限增大的数。无穷小和无穷大 之间的关系是相互依存的，无穷小是 无穷大的基础，因为任何无穷大的数 都可以分解为无穷小的数相加或相乘 。
无穷大分为实无穷和潜无穷两种类型 ，实无穷认为存在一个最大的数或集 合，而潜无穷则认为数列或集合可以 无限地增大而没有最大值。
无穷大的性质
01
无穷大具有传递性，即如果一个 数或集合大于另一个数或集合， 且后者大于另一个数或集合，则 前者也大于后者。
02
无穷大具有不可比较性，即无法 比较两个无穷大的大小，因为它 们都超出了任何有限的界限。
无穷级数和无穷乘积是微积分中的重 要工具，无穷小和无穷大在它们的计 算和证明中也有着重要的应用。
导数和积分
导数和积分是微积分中的重要概念， 无穷小和无穷大在导数和积分的计算 中也有着重要的应用。
物理中的应用
相对论
在相对论中，时间和空间都是相 对的，无穷小和无穷大在相对论 中有着重要的应用，例如光速的

1-4无穷小与无穷大精品PPT课件

1-4无穷小与无穷大精品PPT课件

仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小,
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
例1
记作：lim f ( x) ()
lim 1
y
x x0
lim 1 x x 0 lim 1 x x 0
o
x
例2 lim e x x lim e x 0 x
例3
1
lim e x
x0
1
lim e x 0
x0
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
➢推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否

无穷小与无穷大、极限的四则运算与复合函数的极限.ppt

无穷小与无穷大、极限的四则运算与复合函数的极限.ppt

1 1 3 2 2 3 4 3 2 x 3 x 4 3 2 2x 3x 4 ①lim 3 ; x x 但又 x 5x 6x 7 3 1 1 5x 6x 7 56 2 3 x x 1 而 lim n 0 ( n 1 , 2 , 3 ) x x 运用极限的和、商运算 法则，立即可得： 1 1 2 3 4 3 3 2 2x 3x 4 2 x x lim lim 3 x 5 x 6 x 7 x 1 1 5 56 2 3 2019/3/21 x x
n n 1 ②设 P ( x ) a x a x a xa ，则： n n n 1 1 0 x x 0
lim P ( x ) P ( x ) 。 ( 其中 n Z ,a 为常数 ) n n 0 n
解①：
lim x x 0
x x 0 x x 0
证明：①由极限的四则 运算法则，立得； ②设 lim ( x ) 0 , f ( x ) 是有界量，即：
x x0
M 0 , x | f ( x ) | M ; 0 , 1 0 , 使得：当 则： 对于正数 0 | x x 0 | 1时，| ( x ) |
2019/3/21
x 1
机动
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运用四则运算求极限的例子（续2） 例5： 求极限：③ lim (x 1 x ) 。
x
解③： 原式
lim
x
lim lim
x
x
x 1 x ( x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 1 1 x

M

无穷小与无穷大及四则运算课件

无穷小与无穷大及四则运算课件
无穷小与无穷大是高等数学中的重要概念。无穷小指的是当某个变量趋近于某个值时，函数值趋近于0。在四则运算中，有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小，这意味着我们可以对无穷小进行加法和乘法运算，结果仍为无穷小。同时，有界函数与无穷小的乘积也仍为无穷小。这些性质在求函数极限时非常有用。然而，无穷小的商不一定是无穷小，这取决于两个无穷小趋向于0的速度。为了比较无穷小的阶数，我们引入了高阶无穷小和低阶无穷小的概念。如果两个无穷小在同一变化过程中，一个无穷小比另一个无穷小更快地趋向于0，则称前者为后者的高阶无穷小，反之则为低阶无穷小。这些概念在分析和比较函数极限时具有重要意义。总的来说，无穷小与无穷大的四则运算规则以及无穷小的比较方法，为我们提供了处理复杂函数极限问 Nhomakorabea的有力工具。

2.无穷小量、无穷大量、极限的四则运算

2.无穷小量、无穷大量、极限的四则运算

lim x
2
1
1
2 x2
1
例1-21
求
lim
x
2x3 7x3

3x2 4x2

5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大. ( 型 )
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.

lim
x
2x3 7x3

3x2 4x2

5 1

lim
x
[ f (x) g(x)] (A B) (A )(B ) AB (A B) 0. (2)成立.
推论1 若lim f (x)存在,而c为常数,则
lim cf (x) c lim f (x)
即:常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 若lim f (x)存在,而n为正整数,则
1．无穷大量 2．无穷小量 ３．极限的四则运算
作业 P14-P15
➢ 1、 3(2，3，8，12，14) ➢ 2、 6
0
222
由夹逼法则
limsin x 0, limcos x 1
x0
x0
3．无穷小量的比较与阶
在自变量 x 的同一变化过程中，两个无穷小趋于零的
快慢可能会有所不同．
如：函数x和x2，当x 0时x2变化比x快.
两个无穷小趋于零的快慢，可根据两个无穷小的商是否 会有极限来判断．
例如 lim x 2 0 x0 x
即:若函数 f ( x)以为A极限,则函数 f ( x) A是无穷小; 反之,若 f ( x) A 是无穷小,则 f ( x)以A为极限. 因此,通常将
lim f ( x) A 表达为 f ( x) A (lim 0).

极限的四则运算法则(精)精品PPT课件

极限的四则运算法则(精)精品PPT课件

x = 3 时分母为 0 !
2 1 63
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例5
.
求
lim
x1
2x 3 x2 5x
4
.
解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim x2 5x 4 12 5 1 4 0
x1 2x 3
21 3
பைடு நூலகம்
lim
x1
2x 3 x2 5x
4
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lim f (x) lim f (x) A g(x) lim g(x) B
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 有
f (x) A , g(x) B , 其中 , 为无穷小
设 f (x) A A A 1 (B A ) g(x) B B B B(B ) 无穷小
x x0 1 时 , 有
2
2 0,当 0
x x0 2 时 , 有
2
取 min1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2
2
因此
lim ( ) 0.
x x0
这说明当 x x0 时, 为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
AB
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当yn
0且B
0时,
lim
n
xn yn
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
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无穷大与无穷小极限运算法则.ppt

无穷大与无穷小极限运算法则.ppt
例 求 lim ( x 1
x
x)
解 lim ( x 1
x
x )
四、极限运算法则
lim f ( x)泛指任一种极限
定理1 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
前面的定理直接得出结论 .
lim[ f ( x ) g( x )] A B
定理3
如果 ( x ) ( x ), 而 lim ( x ) a ,
lim ( x ) b, 那末a b.
证 令f ( x ) ( x ) ( x ), 则 f ( x ) 0 . 由定理1(1), 有 lim f ( x ) lim ( x ) ( x )
证 lim f ( x ) A, lim g( x ) B.
f ( x ) A ,
g( x ) B . 其中 0, 0.
由无穷小运算法则,得
[ f ( x ) g( x )] ( A B ) 0. (1)成立. [ f ( x ) g( x )] ( A B ) ( A )( B ) AB ( A B ) 0.
( 2)成立.
f ( x ) A A A B A B A 0. g ( x ) B B B B( B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , 2

《高数无穷大无穷小》课件

《高数无穷大无穷小》课件

2 无穷小的分类
我们将介绍无穷小的三种 分类，包括正无穷小、负 无穷小和常无穷小。
3 无穷小的性质
我们将讨无穷小的一些 基本性质，以便大家能够 更好地理解和使用无穷小。
规则化无穷小
1 什么是规则化无穷小？
我们将解释规则化无穷小的定义和特性，并 讨论规则化无穷小与极限的关系。
2 规则化无穷小的特性
我们将讨论无穷大和无穷小的一些基本性质，包括极限、分类以及规则化无穷小特性。
极限
1 极限的定义
我们将详细介绍极限的定义和推导方法，以便大家能够正确理解和计算极限。
2 极限存在的条件
我们将讨论极限存在的条件，帮助大家判断和证明极限是否存在。
3 极限的一些基本性质
我们将介绍一些常用的极限性质，以便大家能够更灵活地应用到具体的问题中。
我们将介绍规则化无穷小的一些特性，以便 大家能够灵活地应用到具体问题中。
夹逼准则
1 夹逼准则的定义
2 使用夹逼准则求极限
我们将详细介绍夹逼准则的定义和应用技巧， 以方便大家在求极限时能够准确判断是否满 足夹逼准则。
我们将演示如何使用夹逼准则求取一些常见 的极限值。
应用
1 无穷大无穷小的应用举例
我们将通过实际例子演示无穷大和无穷小在数学和物理等领域的应用。
《高数无穷大无穷小》 PPT课件
欢迎大家来到《高数无穷大无穷小》PPT课件。在本课程中，我们将深入探 讨无穷大和无穷小的概念、性质以及应用，并通过丰富的示例帮助大家更好 地理解和运用这些基本概念。
概述
1 什么是无穷大、无穷小？
我们将介绍无穷大和无穷小的定义和特性，帮助大家建立起对它们的直观认识。
2 无穷大与无穷小的特性
无穷大

高等数学无穷小和无穷大PPT

高等数学无穷小和无穷大PPT
1-4 无穷小和无穷大
2022/11/17
1
一、无穷小
• 定义1： → 0 时（或 → ∞时）， 有() → 0，
称()是 → 0 （或 → ∞）时的无穷小。
lim


=
0
.
→
0
(→∞)
2022/11/17
2
一、无穷小
• 误区：很小的数、-9999999、0.0000001、…
• 0也是无穷小，是可作为无穷小的唯一常数。
2022பைடு நூலகம்11/17
3
一、无穷小
• 无穷小+无穷小= 无穷小
• 无穷小-无穷小= 无穷小
C 无穷小=无穷小
• 无穷小无穷小= 无穷小
（不用区分C是否为0）
• 无穷小/无穷小= 不一定
2022/11/17
4
一、无穷小
• 定理1： lim = ⟺ = + ，其中为
• 无穷大无穷大= 无穷大
0 =0
C 无穷大=ቊ
∞ ≠0
• 无穷大/无穷大= 不一定
2022/11/17
7
二、无穷大
• 定理2： ()无穷大 ⟺
()无穷小 ⟺
2022/11/17
1
无穷小
()
1
无穷大
()
8
→0
→ 0 时的无穷小量。
2022/11/17
5
二、无穷大
• 定义2： → 0 时（或 → ∞时）， 有() → ∞，
称()是 → 0 （或 → ∞）时的无穷大。
lim = ∞
→0
(→∞)
2022/11/17
6
二、无穷大

无穷小与无穷大及四则运算ppt课件

无穷小与无穷大及四则运算ppt课件
本文首先引入了无穷小与无穷大的概念，并详细解释了无穷小的定义，即当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于零的变量。着，通过实例演示了如何判断一个函数是否为无穷小，并深入探讨了无穷小的性质，包括有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小，以及有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。此外，还通过具体例子展示了如何利用这些性质进行极限运算。最后，本文对无穷小进行了比较，定义了高阶、低阶、同阶以及等价无穷小，并通过实例加以说明。这些内容为理解和应用无穷小与无穷大在四则运算中的规则提供了坚实的基础。

无穷小与无穷大及四则运算ppt课件

无穷小与无穷大及四则运算ppt课件

(2) 有界函数与无穷小的积 仍为无穷小.
1
例3
求极限 lim x sin .
x0
x
解 因为lim x 0, x0
而 sin 1 1, x
由性质（2）lim x 0
x sin
1 x
0.
1
例4
求极限
lim sin x. x x
解
因为 lim 1 0, x x
而sin x 1,
由性质（2） lim 1 sin x 0.
实例1
在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏 的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑 丸会变得越来越小，最后樟脑丸的质量将 会如何变化？
3
宁波职业技术学院数学教研室
高等数学 Advanced Mathematics
实例2
❖ 将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，让单摆 自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个 过程中，角的变化趋势如何？
注意！
1 无穷大不是数,而是当 x x0 或x 时极限
为的函数,因此要把无穷大与很大 的数分开.
2 无穷大必须指明自变 量的变化趋向.
3 极限为，但极限仍然不存在。
简言之 ，极限为 无穷 的量叫做无穷大量.
17
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高等数学 Advanced Mathematics
三、无穷小与无穷大的关系
x 4x 3 2x 3
312
lim( )
x x
x2 x3
lim(4
x
2 x2
3 x3
)
0 0. 4
27
宁波职业技术学院数学教研室
高等数学 Advanced Mathematics
例8 求

《无穷小和无穷大》课件

《无穷小和无穷大》课件

无穷小序列
讨论无穷小序列的定义及其特点。
无穷大序列
介绍无穷大序列的定义和性质。
性质
无穷小性质
探讨无穷小的性质， 比如加法、乘法和 极限运算。
无穷大性质
讨论无穷大的性质， 如无穷大和有界函 数的关系。
无穷小与有 界函数
探讨无穷小和有界 函数之间的关联。
无穷大与趋 向无穷函数
讨论无穷大和趋向 无穷函数之间的关 系。
讨论
1
无穷小的判定
介绍判断一个数是否为无穷小的方法
无穷大的判定
2
和技巧。
讨论判断一个数是否为无穷大的方法
和策略。
3
常用的无穷小和无穷大
列举常见的无穷小和无穷大，并探究
可比无穷大和同阶无穷小
4
它们的应用。
解释可比无穷大和同阶无穷小的概念 及其重要性。
应用
洛必达法则
介绍洛必达法则及其在无穷小 和无穷大中的应用。
泰勒公式
解释泰勒公式及其在无穷小和 无穷大中的作用。
解析几何中的应用
探讨无穷小和无穷大在解析几 何中的实际应用。
总结
定义和性质回顾
回顾无穷小和无穷大的定义及其性质。
应用场景总结
总结无穷小和无穷大在不同领域中的应用场景。
未来深入学习方向
指导听众进一步学习无穷小和无穷大相关领域的知识。
ห้องสมุดไป่ตู้
参考文献
提供相关学术文献和参考资料，供听众进一步学习和研究。
《无穷小和无穷大》PPT 课件
# 无穷小和无穷大 介绍无穷小和无穷大的概念及其重要性。
前言
1 基础研究
2 概念讨论
无穷小和无穷大在研究区间内函数性质中 扮演着重要角色。
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lim(x sin x) 0
x0
例2.求
lim (
n
1 n2
2 n2
n n2 )
解
:当n
时,
1 n2
,
2 n2
,
n n2
均为无穷小, 但
1
lim (
n
n
2
பைடு நூலகம்
2 n2
n n2 )
lim
n
n(n 1) 2n2
1 lim ( n 2
1) 2n
1 2
8
宁波职业技术学院数学教研室
高等数学 Advanced Mathematics
x0 3x
lim
x0
3x x2
,
2x 2 lim , x0 3x 3
lim sin x 1 x0 x
x2是比3x高阶的无穷小 3x是比x2低阶的无穷小 2x是比3x同阶的无穷小 sin x与x是等价无穷小
12
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高等数学 Advanced Mathematics
13
宁波职业技术学院数学教研室
lim f ( x) 0
即若 x x0
，
lim f ( x) 0
x
则 f ( x)是当 x x0 时的无穷小。 x
7
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高等数学 Advanced Mathematics
2.无穷小性质
（1）有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。
例1.求lim(x sin x) x0
解:函数y x及y sin x都是x 0时无穷小,有性质1得
4
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一、 无穷小概念
1.无穷小的定义
如果当 x x（0 或 x ）时，函数f(x)的极限是零，那么称函 数f(x)当 x x（0 或 x ）时为无穷小。常用, ,表示
例 lim x3 27 0, x3 27是当x 3时为无穷小 . x3
2x lim
2
x0 3x 3
x
1
3x
3
x2
1
0.5
0.1 0.01 …
1.5
0.3 0.03 …
0.25 0.01 0.0001 …
10
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3、无穷小的比较
定义 设和是同一变化过程中的两个无穷小，
即lim =0和lim=0
(１)
lim 1 0, 函数 1 是当x 时为无穷小
x x
x
5
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例1 判断下列函数哪些是无穷小，哪些不是无穷小。
(1) f (x) 0(x 3)
lim 0 0 x3
0是当 x 3 时为无穷小
(2) 1 (x 1) x
如果
lim
0
，那么称是的高阶无穷小
(２)
如果 lim
，那么称是的低阶无穷小
(３) 如果 lim
c
(c 0)，那么称是的同阶无穷小
特别是当c=1时，即当
lim
1 时，则称与是
等价无穷小,记作：
11
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高等数学 Advanced Mathematics
x2 lim 0,
(2) 有界函数与无穷小的积 仍为无穷小.
1
例3
求极限 lim x sin .
x0
x
解 因为lim x 0, x0
而 sin 1 1, x
由性质（2）lim x 0
x sin
1 x
0.
1
例4
求极限
lim sin x. x x
解
因为 lim 1 0, x x
而sin x 1,
由性质（2） lim 1 sin x 0.
实例1
在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏 的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑 丸会变得越来越小，最后樟脑丸的质量将 会如何变化？
3
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实例2
❖ 将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，让单摆 自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个 过程中，角的变化趋势如何？
x x
9
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高等数学 Advanced Mathematics
例5： 当 x 0 时，x 2 , x,3x 都是无穷小，他们的积
仍为无穷小，那么它们的商是否也是无穷小呢？
并通过列表观察 x 2 , x,3x 趋向于零的速度。
lim x2 0, x0 3x
3x lim , x0 x 2
lim 1 1
x1 x
1 是当
x
x 1 时不是无穷小
6
宁波职业技术学院数学教研室
高等数学 Advanced Mathematics
简言之，极限为 0 的量叫做无穷小量。
(1) 无穷小与很小的数不能等同, 无穷小是变量. 零是可作为无穷小的惟一的常数一的常数.
(2) 无穷小必须指明自变量 的变化趋向.
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常用等价无穷小 :
～ ～ ～ ～
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～
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实例3
小王有本金A元，银行存款的年利率为 r， 不考虑个人所得税，按复利计算，小王第一 年末的本利和为A(1+r), 第二年末的本利和为 A(1+r) 2 ，…，第n年末的本利和为A(1+r) n ，那 么随着存款时间推移，本利和会如何变化？
注意！
1 无穷大不是数,而是当 x x0 或x 时极限
为的函数,因此要把无穷大与很大 的数分开.
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二、无穷大的概念
观察f (x) 1 , 当 x 0时，| f ( x) | 无限增大
x
定义: 如果当 x x（0 或 x ）时，函数f(x)的绝对值无
限增大，那么称函数f(x)当 无穷大。
x
x 0（或x
）时为
记作
lim f (x)
xx0
( x)
如 lim 1 ,
称 1 是当 x 0 时的无穷大.
x0 x
x
lim 3n , 称 3n 是当 n 时的无穷大.
n
lim(x 1) , 称 x 1是当 x 时的无穷大.
x
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知识目标
1、理解无穷大与无穷小的概念 2、掌握无穷小的性质
能力目标
1、会用无穷小计算函数的极限 2、会将无穷小的数学概念与专业问题互译
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