苏教版高中数学(选修2-3)2.5.2《离散型随机变量的方差与标准差》word学案3篇
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2.5.2离散型随机变量的方差与标准差 教学案
班级 学号 姓名
学习目标
1. 会求离散型随机变量的方差和标准差；
2. 理解离散型随机变量的方差与标准差的意义；
3. 掌握0-1分布、超几何分布、二项分布的方差和标准差的计算方法．
重点难点
重点：0-1分布、超几何分布、二项分布的方差和标准差的计算
难点：理解离散型随机变量的方差与标准差的意义
课堂学习
问题情境（一）：
甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用1X，2X表示，1X，2X的概率分布如表所示．
1X 0 1 2
3
kp 0.6 0.2 0.1 0.1
2X 0 1 2 3
kp 0.5 0.3 0.2 0
思考 如何比较甲、乙两名工人的技术？
学生活动（一）：
计算：1EX ；2EX ．
意义建构（一）：
当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢?
数学理论（一）：
一般地，若离散型随机变量X的概率分布如表所示，
则2ixEX描述了1,2,,ixin相对于均值的偏离程度，故2221122nnxpxpxp（其中0ip，1,2,,in，121nppp）刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差．记为VX或2．即
22221122nnVXxpxpxp
其中0ip，1,2,,in，121nppp
方差也可用公式221niiiVXxp计算．
随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差．X的方差VX的算术平方根称为X的标准差．即VX X 1x 2x … nx
P 1p 2p … np
思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系?
随机变量的方差和标准差都反映了随机变垦的取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小．随机变量偏离于均值的平均程度就越小．
数学运用（一）：
例1. 已知随机变量X的分布如表所示，求方差VX和标准差VX
X 0 1
P 1p p
例2. 高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望、方差和标准差．
例3. 从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X的数学期望、方差和标准差．
随堂反馈
1. 设随机变量,XY的关系为32YX，则EX与EY的关系是 ，VX与VY的关系是 ；
2. 设X是一个离散型随机变量，其分布列如右表，则EX ；VX ；
课后复习
1. 已知随机变量X的分布列如右图，则VX ； X 1 0 1
P 12 12q 2q
X 1 0 1
P 12 13 16
X 0 1 x 2. 如果随机变量~100,0.2XB，那么43VX ；
3. 已知随机变量X的分布列如右图，且1.1EX，则VX ；
4. 已知~,XBnp，且7EX，6VX，则p ；
5. 已知随机变量X的分布列如右图，则m ；EX ；VX ；127VX ；
6. 一只口袋中装有20只白球，10只黑球，从中一次摸出5只球，其中黑球的个数X的方差是 ；
7. 甲、乙两种水稻在相同条件下各种100亩，结果如下：
甲 亩产 300 320 330 340
亩数 20 25 40 15
试问：哪种水稻品种较好？
8. 设随机变量X的概率分布如下表所示，试求X的标准差．
X 1 2 3 4 5
P 15 15 15 15 15
9. 假定1500件产品中有100件不合格品，从中抽取15件进行检查，求15件中不合格品件数X的标准差．
10. 袋中装有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个求，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求：（1）取球次数的概率分布；（取球次数的数学期望及方差）．
P 15 p 310
X 1 2 3 4
P 14 13 m 112
乙 亩产 310 320 330 340
亩数 30 20 40 10
11. 某人有10把不同的钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，钥匙的每次取法是相互独立的，如果每次试开后的钥匙不再放回，求把门打开的试开次数的数学期望和方差．
12. 某运动员投篮命中率0.6p．
（1） 求投篮一次时命中次数的均值与方差；
（2） 求重复5次投篮时，命中次数的均值与方差．
第二章 概率 2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差（1）
编写人： 编号：009
学习目标
（1）理解随机变量的方差和标准差的含义；
（2）会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．
学习过程：
一、预习：
（一）问题：甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,XX表示，12,XX的概率分布如下．
1X 0 1 2 3
kp 0.7 0.1 0.1 0.1
2X 0 1 2 3
kp 0.5 0.3 0.2 0 如何比较甲、乙两个工人的技术？
我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？
（二）总结归纳：
1．
一般地，若离散型随机变量X的概率分布如表所示：
X 1x 2x …
nx
P 1p 2p … np
则2()(())ixEX描述了(1,2,...,)ixin相对于均值的偏离程度，故
2221122()()...()nnxpxpxp，（其中
120,1,2,...,,...1inpinppp）刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为()VX或2．
2．方差公式也可用公式221()niiiVXxp计算．
3．随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差()VX的算术平方根称为X的标准差，即()VX．
思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？
练习：解答（一）中的问题。
二、课堂训练：
例1．若随机变量X的分布如表所示：求方差()VX和标准差()VX．
X 0 1
P 1p p
例2．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏,在一个口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色外完全相同.某学生一次从中摸出5个球,其中红球的个数为X,求X的数学期望.方差和标准差.（超几何分布H(5,10,30)）
例3．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查,若这批产品的不合格品率为0.05,随机变量X表示这10件产品中的不合格品数,求随机变量X的方差和标准差。（二项分布B(10,0.5)）
说明：一般地，由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式：
当~(,,)XHnMN时，2()()()(1)nMNMNnVXNN，
当~(,)XBnp时，()(1)VXnpp．
例4．有甲、乙两名学生，经统计，他们字解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲 分数X甲 80 90 100
概率 0.2 0.6 0.2
试分析两名学生的答题成绩水平．
练习：
1、设X～B( n, p )，如果E X= 12，V X= 4，求n, p
乙 分数X乙 80 90 100
概率 0.4 0.2 0.4
