一、集合与逻辑1、区分集合中元素的形式.如：}12|{2++==x x y x A ;}12|{2++==x x y y B ;}12|),{(2++==x x y y x C .2、条件为B A ⊆,在讨论的时候不要忘了φ=A 的情况.3、}|{B x A x x B A ∈∈=且 ;}|{B x A x x B A ∈∈=或 ；C U A={x|x ∈U 但x ∉A}.4、A ∩B=A ⇔A ∪B=B ⇔A ⊆B.5、含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集非空子集个数为2n－1;6、逻辑联结词“或”、“且”、“非”：复合命题的形式: p 或q 同假为假,否则为真;p 且q 同真为真, 否则为假; 非p 记”┑p”,与p 真假相反.7、原命题:若p 则q ; 逆命题: 若q 则p ; 否命题: 若⌝p 则⌝q ；逆否命题: 若⌝q 则⌝p ； 互为逆否的两个命题是等价的.8、注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别:命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q”,“p 且q ”的否定是“┐P 或┐Q”.9、若,q p ⇒则p 是q 的充分条件; 若,p q ⇒则p 是q 的必要条件;若,q p ⇔则p 是q 的充要条件.二、不等式1、a>b ⇔a-b>0; a<b ⇔a-b<0;a=b ⇔a-b=0;2、a>b,c>d ⇒a+c>b+d,a-d>b-c;3、a>b,c>0⇒ac>bc, a>b,c<0⇒ac<bc4、a>b>0,c>d>0⇒ac>bd,cb d a >; 5、n n b a b a >⇒>>0,n n b a >,n ∈N +6、重要不等式：① ab b a R b a 2,,22≥+∈则; ②222)2(2b a b a +≥+;③ +∈R b a ,,则ab b a 2≥+; ab 2)2(b a +≤.求最值: ① 一正二定三取等,若等号取不到则用单调性；② 积定和最小,和定积最大.7、证法:①比较法差法: 作差--变形分解或通分配方 ---定号,常用来比较两式的大小;②综合法--由因导果; ③分析法--执果索因; ④反证法--正难则反;8、ax2+bx+c>0a>0若△>0,x1<x2 , 则解集为{x|x<x1或x>x2}; 若△<0,则解集为R ;ax2+bx+c<0a>0若△>0,x1<x2 , 则解集为{x|x1<x<x2}; 若△<0,则解集为φ.9、解指数、对数不等式用函数单调性注意真数大于0;含参数时要分类讨论.10、线性规划问题：当A>0时,Ax+By+C>0表示直线的斜右侧区域; Ax+By+C<0表示直线的斜左侧区域;求最优解时注意：①目标函数值≠截距；②目标函数斜率与区域边界斜率的大小关系.三、平面向量1、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量2、加、减法的平行四边形与三角形法则:AB=-ACAB=ACBC+; C B3、()A B A B y y x x AB --=,;若()()2211,,,y x b y x a ==→→,则a λ=11,y x λλ;()2121,y y x x b a ±±=±→→;θcos ||||→→→→⋅=⋅b a b a =2121y y x x +;→→→→=⇔≠b a b b a λ)0(//01221=-⇔y x y x λ>0→→b a 与同向;λ<0反向4、非零向量：0=⋅⇔⊥→→→→b a b a 02121=+⇔y y x x22)()(||A B A B y y x x AB -+-==, 2211y x a +==.cos ><b a ,=b a =222221212121y x y x y y x x +⋅++, b 在a上的投影为b a .5、若||||(OB OB OA OA OP +=λ则P 在∠AOB 平分线上; 若O OC OB OA =++→,则O 为重心.6、→1e 和→2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→→→+=2211e e a λλ21,λλ唯一7、设Px,y,P 1x 1,y 1,中点公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x ； 三角形重心公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.3y y y y ,3x x x x 321321四、数列1、a n ={),2()1(*11N n n S S n S n n ∈≥-=- ,注意验证a 1是否包含在a n 的公式中.2、)*,2(2)(111中项常数｝等差｛N n n a a a d a a a n n n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-+- );0()(2的二次函数常数项为一次函数Bn An s b an a n n +=⇔+=⇔3、 );(q )N n 2,(n a a a }a 11n 1-n 2nn 定值中项等比｛=⇔∈≥⋅=⇔-+n na a4、首项正的递减或首项负的递增等差数列前n 项和最大或最小问题,转化为解不等式)00(0011⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++n n n n a a a a 或,或用二次函数处理;5、等差数列中a n =a 1+n-1d;S n =d n n na 2)1(1-+=2)(1n a a n +=d n n na n 2)1(--等比数列中a n = a 1 q n-1;当q=1,S n =na 1 ; 当q≠1,S n =qq a n --1)1(1=q qa a n --11;6. 等差数列中, a n =a m + n －md, nm a a d nm --=; 当m+n=p+q,a m +a n =a p +a q ；等比数列中,a n =a m q n-m; 当m+n=p+q ,a m a n =a p a q ；7. 等差三数设为: a-d,a,a+d ; 等比三数可设为: a/q,a,aq ；8. 数列求和时关键要看通项的结构,常用方法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.求通项常用法:公式、迭加、迭乘、构造等比,如：a n =ka n －1+b k ≠0,k ≠1.9. 常用结论：1111)1(1+-=+n n n n ,2)211(21)2(1+-=+n n n n ,3)()11(11q p qp p q pq <--=4k k k k k 111)1(112--=-< ；111)1(112+-=+>k k k k k5)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ；五、概率与统计１、必然事件 PA=1,不可能事件PA=0,随机事件的定义0<PA<1；2、互斥事件不可能同时发生的: PA+B=PA+PB;对立事件A 、B 不可能同时发生,但A 、B 中必然有一发生:P A +P A ＝1;独立事件事件A 、B 的发生互不影响: PA B ＝PA ·PB;3、总体、个体、样本、样本容量;抽样方法: ①简单随机抽样包括随机数表法,抽签法 ;②系统抽样等距离抽样 ; ③分层抽样用于个体有明显差异时.4、古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有n 个,而且所有结果都是等可能的,如果事件A 包含m 个结果,那么事件A 的概率nm A P =)(.5、几何概型：如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型．6、回归直线方程为y a bx =+,它过样本点的中心),(y x ; 相关系数r 满足|r|≤1,|r|越近于1,相关程度越大;|r|越近于0,相关程度越小；r>0则正相关, r<0则负相关.7、在频率分布直方图中： ① 小矩形的面积=组距组距频率⨯=频率,所有小矩形面积的和=1；② 众数是最高矩形的中点的横坐标；③ 中位数的左边与右边的直方图的面积相等,可以由此估计中位数的值；六、三角函数1、终边相同β=2k π+α; 终边落在坐标轴上的角 如α=2πk ; 其中Z k ∈;α、2α关系 如:α终边在一、二象限,则2α终边在一或三象限.2、掌握正余弦、正切图象和性质:定义域、值域、周期、奇偶性、单调性、最值;3、函数)(x f y ==++⋅)sin(ϕωx A b 0,0>>A ω的图像掌握:① 五点法作图; ② 周期T=ωπ2；③ 当φ=k π时,奇函数; 当φ=k π+2π时偶函数;④ 对称轴处取最值,中心处值为b,余弦正切可类比正弦;⑤ 变换:4、α=RL ; L 弧长=αR ; S 扇=21L R=21R 2α 其中角为弧度制 ; π=1800, 1弧=57.305、同角基本关系： ⑴ 商的关系： ① θθθtan cos sin ⋅==r y②rx =θcos ③θtan =x y =θθcos sin ⑵ 平方关系：1cos sin 22=+θθ 号规律: 一全正,二正弦,三是切,四余弦;6、诱导公式简记:奇变偶不变．．．．．,．符号看象限．．．．．．注意：公式中始终视．．． ．为锐角．．．7、和差倍公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±, βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± , ααα2tan 1tan 22tan -=αααcos sin 22sin = , ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=降幂公式：22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=．辅助角公式：)sin(cos sin 22φ++=+x b a x b x a8、正弦定理:2R=A a sin =B b sin =C c sin ; 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos ,bc a c b A 2cos 222-+=等；面积公式：111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===;七、函数与导数1、映射的概念象唯一,原象未必有且也未必唯一,函数的概念三要素.2、分数指数幂:n m nm a a =;||a a nn = 0,,a m n N *>∈,且1n >,运算法则：a s ·a t =as +t; a st =a s t ; ab s =a s b s ;ss a a 1=-s,t ∈Q,a>03、对数: log a N=b ⇔a b=Na>0,a ≠1,N>0; Nlog a a=N; log a a b=b;1log ,01log ==a a a ;运算法则: log a M n= nlog a M ; log a MN=log a M+log a N; log a NM =log a M-log a N;换底公式:log log log m a m N N a =. 推论:log log m n a a nb b m =,a b ba log 1log =4、指数函数y=a x与对数函数y=log a x 互为反函数a>0,a ≠1,它们的图象关于直线x y =对称;注意: 已知函数y=log a x 2+bx+c 定义域为R 时,则△<0; 若值域为R 时,则△≥0.5、一次函数:y=ax+ba ≠0,a>0时增函数;a<0时减函数;b=0时奇函数;6、二次函数 ① 三种形式: 一般式: fx=ax 2+bx+c 对称轴x=-b/2a ,a ≠0;顶点式: fx=ax-h 2+k; 零点式: fx=ax-x 1x-x 2 ；② 区间上的最值: 讨论开口方向,对称轴与区间的相对位置关系;③ 实根分布: 先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;7、反比例函数:)0x (xcy ≠=平移⇒b x c a y -+= 中心为b,a8、函数xax y +=是奇函数：上为增函数，，在区间时当)0(),0(,0∞+-∞<a ;递减，，在为双钩函数时当)0,[],0(,0a a a ->,递增；，在),[],(+∞--∞a a9、单调性: ① 定义法: x 1,x 2∈M =a,b,则fx 在a,b 上递增减,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f )0(0)]()()[(2121<>--⇔x f x f x x )0(0)()(2121<>--⇔x x x f x f ；② 导数法: 函数y=fx 在某区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;若0)(<'x f ,则fx 递减; ③ 复合函数由同增异减判定,别忘记分析定义域 .10、fx 是偶函数⇔f-x=fx=f|x|; fx 是奇函数⇔f-x=-fx;定义域中含零的奇函数过原点,f0=0;判断奇偶性时要注意：①定义域关于原点对称否； ②对于对数型函数用fx ±f-x=0;奇函数在对称区间内单调性相同; 偶函数在对称区间内单调性相反;奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于Y 轴对称;函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；11、若y=fx 满足fx+a= fa-x 或fx+2a= f-x,则fx 关于轴x=a 对称；若y=fx 满足fx+a= - fa-x 或fx+2a= - f-x,则fx 关于点a,0对称;12、周期性:y=fx 满足fx +a=fx －a 或fx ±2a=fx 恒成立,则2a 为周期;若y=fx 满足fx+a=-fx 或fx+a=)x (f 1±,则2a 为fx 的一个周期;若y=fx 有两个对称中心,或有两条对称轴,或一个中心一条轴,则它有周期,可类比三角函数记忆;13、图形变换:y=fx→y=|fx|,把ｘ轴上方的图象保留,ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称得到上方图象;y=fx→y=f|x|,把ｙ轴右边图象保留,并将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称得到左方图象.14、恒成立问题与存在问题常常转化为求函数的最值来解决,若能参变分离则分离;一般步骤：①分离参数; ②求最值;a ≥fx 恒成立⇔a ≥fx max,; ≤a fx 恒成立⇔a ≤fx min ;存在,0M x ∈使得)(0x f a ≤⇔≤a fx max ; 存在,0M x ∈使得)(0x f a ≥⇔≥a fx min ;15、y=fx 在点x 0处的导数几何意义:k=f /x 0表示曲线y=fx 在点Px 0,fx 0处切线的斜率;导数⇔瞬时变化率; V ＝s /t 表示t 时刻即时速度;16、基本公式:cosx ;)(sinx Q);(m m x )(x ;)())((1-m m ='∈=''='x f C x Cfxa ⋅='='='='='ln 1)(log ;x 1)(lnx lna;a )(a ;e )(e -sinx;)(cosx xa x x x x法则:;)(;)(;)(2vv u v u v u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='±17、导数应用: ⑴求切线斜率; ⑵研究单调性步骤: 分析y=fx 定义域; 求导数;解不等式f /x>0得增区间; 解不等式f /x<0得减区间;⑶ 求极值、最值步骤:求导数;求0)(='x f 的根;检验)(x f '在根左右两侧符号：若左正右负,则fx在该根处取极大值;若左负右正,则fx在该根处取极小值;最后把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.八、立体几何1、平面的基本性质：三个公理及推论; 共点、共线、共面问题;2、斜二测作图法；几何体的三视图：理解三视图的投影规律“长对正,高平齐,宽相等”的含义.3、位置关系：①空间两直线: 平行、相交、异面;②直线与平面: a⊂α、a⊄α a∥α、a∩α=A ；③平面与平面: α∥β、α∩β=a ；4、求空间角与距离几何法步骤:一作、二证、三算.①异面直线所成角00,900: 平移法求角,有中点多用中位线;② 线面角00,900: 作平面的垂线找射影 ；5、平面图形翻折展开: 注意翻折展开后在同一平面图形中角度、长度不变;6、长方体:对角线长l =正方体和长方体外接球直径=体对角线的长;7、正方体、长方体、特殊椎体的外接球面积8、常用定理: ① 线面平行：ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂;αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂;ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥；② 线线平行: b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα; b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα; b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα; b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫；③ 面面平行: βαββαα////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊂b a O b a b a ;βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ; γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫④ 线线垂直:b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα; 所成角为900；⑤ 线面垂直: ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l b l a l O b a b a ,,;βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l ,;βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //; αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //⑥ 面面垂直：βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ; βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //⑤ 线线平行⇔线面平行⇔面面平行; ⑥ 线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直;九、解析几何1、倾斜角α∈0,π,α=900斜率不存在; 斜率k=tan α=1212x x y y --；理解倾斜角和斜率的关系;2、直线方程: 点斜式：y-y 1=kx-x 1; 斜截式：y=kx+b;一般式: Ax+By+C=0 ； 截距式:1=+bya x a ≠0;b ≠0;注意：求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解;3、两直线平行和垂直：① 若l 1: y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2 ,则l 1∥l 2⇔k 1=k 2,b 1≠b 2 ; l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1 ；② 若l 1: A 1x+B 1y+C 1 =0, l 2: A 2x+B 2y+C 2 =0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,则l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B2=0 ；l 1∥l 2⇔212121C C B B A A ≠=;k 不存在或A 1、A 2、B 1、B 2为0时需讨论③ l 1∥l 2 ,则化为同x 、y 系数后再求距离: d =2221||B A C C +-4、点线距：d=2200||BA C By Ax +++;5、圆:标准方程：x －a 2+y －b 2=r 2; 一般方程: x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 D 2+E 2-4F>06、直线与圆关系,常常化为弦心距与半径关系,如：用垂径定理,构造Rt △解决弦长问题； 又:ｄ>r ⇔相离; d=r ⇔相切;d<r ⇔相交.7、 圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则有：d>r+R ⇔两圆相离; d ＝r+R ⇔两圆相外切; |R －r|<d<r+R ⇔两圆相交;d ＝|R －r|⇔两圆相内切;8、椭圆 ：① 方程1by a x 2222=+a>b>0; ② 定义: |PF 1|+|PF 2|=2a>2c ；③ e=22ab 1ac-=,a 2=b 2+c 2 ； ④ 椭圆上距焦点最近距离：a-c, 最远距离：a+c;9、双曲线：①方程1by a x 2222=-a,b>0； ② 定义: ||PF 1|-|PF 2||=2a<2c ；③ e =22ab 1ac +=,c 2=a 2+b 2 ；④渐近线：0b y a x 2222=-或x a b y ±=; 焦点到渐近线的距离为b;10、抛物线：①方程y 2=2px ；② 定义:|PF|=d 准 ； ③焦点F2p ,0,准线x=-2p； ④ 焦点弦AB ＝x 1+x 2+p; y 1y 2=－p 2, x 1x 2 =42p 其中Ax 1,y 1、Bx 2,y 2; 11、求动点的轨迹方程: ① 直接法：建系、设点、列式、化简、定范围 ；②定义法：说明动点Px,y满足已知曲线的定义,由定义直接写出方程；③相关点法：动点Px,y依赖于动点Qx1,y1而变化,Qx1,y1在已知曲线上,用x、y表示x1、y1,再将x1、y1代入已知曲线即得所求方程;。
