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新人教版八年级数学上册等边三角形（1）导学案一、目标导学教学目标：1.经历剪纸、折纸等活动，进一步认识等边三角形，了解等边三角形是轴对称图形；2.能够探索、归纳、验证等边三角形的性质，并学会应用等边三角形的性质；3.培养数形结合、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力。
二、自主学习阅读教材P79——80，完成下列问题：1、什么是等边三角形？2、等边三角形是等腰三角形吗？与其相比，特殊在哪里？3、归纳等边三角形的性质：⑴等边三角形具有的一切性质；⑵等边三角形的三个内角，并且。
4、归纳等边三角形的判定方法：⑴的三角形是等边三角形。
⑵的等腰三角形是等边三角形。
方法指导：温馨提示：（用时分钟）三、问题探究1.一个等腰三角形有三条对称轴，那么它就是＿＿＿三角形。
2.在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝60°，则△ABC是＿＿＿三角形。
3.选择：下列叙述正确的是（）A、等腰三角形是等边三角形B、所有的等边三角形形状都相同，所以全等C、三个角之比为1：2：3的三角形是等腰三角形D、等边三角形的三条中线是它的三条对称轴方法指导：学生四人一小组讨论明确：温馨提示：（用时分钟）四、反 馈 提 升1、 已知：如图在等边△ABC 中，O 为三条高线的交点，连结OB 、OC求：那么∠BOC=OCBA方法指导：大胆发挥合理的想像温馨提示： （用时 分钟）五、 达 标 运 用1、 如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线， 延长BC 至E ，使CE=CD ，⑴求证：DB=DE ⑵如果把BD 改成角平分线或高，能否得出同样的结论？方法指导温馨提示： （限时 分钟）总 结 与 反 思 【知识梳理】【收获与反思】方法指导：通过本课时的学习，归纳收获，反思不足课题：等边三角形（2）学校：濮城镇中学主备人：苏文静审核人：陈校长审核时间：使用人：课时总编号：学科数学课题等边三角形年级八年级课型探究课流程具体内容方法指导一、目标导学教学目标：1、探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用二、自主学习探究：有一个角为30°的直角三角形的性质问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．2、由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°求证：归纳：在直角三角形方法指导：温馨提示：（用时分钟）三、问题探究1、在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，若AB=a，则BC=2.RT△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝，∠B=_____,AB=___BC3.三角形的三个内角度数之比为1：2：3，最大边长是8，则最小边长为方法指导：学生四人一小组讨论明确：温馨提示：（用时分钟）CAB四、反馈提升1．已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：CD=2AD．方法指导：大胆发挥合理的想像温馨提示：（用时分钟）五、达标运用1、如图△A BC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，求∠EDC的度数ED CBA方法指导温馨提示：（限时分钟）总结与反思【知识梳理】【收获与反思】方法指导：通过本课时的学习，归纳收获，反思不足DCAB课题：等腰三角形（1）学校：濮城镇中学主备人：苏文静审核人：陈校长审核时间：使用人：课时总编号：学科数学课题等腰三角形(1) 年级八年级课型探究课流程具体内容方法指导一、目标导学教学目标：1.能够探究，归纳，验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质2、经历剪纸，折纸等探究活动，进一步认识等腰三角形的定义和性质，知道等腰三角形是轴对称图形。
等边三角形一、新课导入1、你还记得等腰三角形有哪些性质吗？2、如果一个等腰三角形的底边和腰相等，那么这个特殊的等腰三角形会具有哪些性质呢？二、学习目标1、利用等腰三角形的性质和判定方法探索等边三角形的性质和判定方法；2、利用等边三角形的性质和判定方解决问题。
三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
研读一、认真阅读课本要求：知道等边三角形的定义；了解等边三角形与等腰三角形的关系。
一边阅读一边完成检测一。
检测练习一、1、三条边都相等的三角形是等边三角形；2、如图所示，△ABC中，AB=BC=AC，那么△ABC是等边三角形，如果把BC看作底边，则AB、AC可以看作是腰，如果把AB看作底边，则AC、BC是腰，如果把AC看作底边，则AB、BC是腰；3、等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形，等边三角形也叫正三角形。
研读二、认真阅读课本要求：思考“探究”中的问题，利用等腰三角形的性质探索等边三角形的性质；问题探究：(1)、在等边△ABC中，把BC看作底边，则AB、AC为腰，那么∠B和∠C有什么关系？∠A和∠B有什么关系？∠A和∠C有什么关系？∠A、∠B、∠C之间有什么关系？∠A、∠B、∠C分别是多少度？、在等边△ABC中，如果把BC看作底边，则AB、AC为腰，那么BC边上的高、中线和BC边所对的角平分线三线合一，如果把AB或AC看作底边会有什么结果呢？等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高(中线或这条边所对的角平分线)所在的直线，等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？结论：1、等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°；2、等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一；3、等边三角形是轴对称图形，每条边上的高(中线或这条边所对的角平分线)所在的直线是它的对称轴，等边三角形有3条对称轴。
检测练习二、在等边△ABC中，AB=AC=BC，因为AB=AC，所以∠A = ∠B，②因为AB=BC，所以∠A = ∠C，③因为AC=BC，所以∠A = ∠B，所以在等边△ABC中，∠A = ∠B = ∠C。
备课人：赵百胜学区（校）审核：张丁龙中心教研组审核：局领导审核：通渭县七年级数学上册导学案编写时间：2015年 9 月28日学期总第课时修改时间：年月日数学授课时间主备人授课班级教授者13.3.2等边三角形课时安排 1 课型新授知识目标经历探究等边三角形的性质和判定方法的过程，并能进行简单的应用。
能力目标经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理的、清晰地阐述自己的观点。
情感目标积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
教学重点探究等边三角形的性质与判定方法，并能进行简单的应用。
教学难点等边三角形的性质与判定的运用教学方法自主探究，合作交流教学准备课件导案设计学案设计二次备课教学过程设计一、创设情境导入课题活动1：观察与思考看一组图片：上海世博会永久性标志建筑之一世博轴、跳棋、警示牌、国旗、等，感受“等边三角形”。
活动2：回顾：什么是等边三角形？它与以前学过的等腰三角形有何关系？二、探究活动活动3：探究等边三角形的性质（1）等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？（2）通过折叠你发现等边三角形的角有那些性质，你能证明吗等边三角形的性质：1、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴教师引出课题学生回答通过动手折叠，由学生发现等边教学过程设计2、等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°活动4：探究等边三角形的判定1、思考：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？2、思考：一个等腰三角形满足什么条件就是等边三角形？3、动画演示说明。
小结等边三角形常用的判定方法：边：三边相等的三角形是等边三角形角：三角相等的三角形是等边三角形边角：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形三、解决问题、巩固提高1、（1）等边三角形每个外角都等于120°（2）有两个角是60°的三角形是等边三角形（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
人教版数学八年级上册12.3.2《等边三角形》教学设计一. 教材分析等边三角形是初中数学的重要内容，它既有三角形的普遍性质，又有自己独特的性质。
人教版数学八年级上册12.3.2《等边三角形》一节，主要让学生掌握等边三角形的定义、性质和判定方法，以及了解等边三角形在实际生活中的应用。
通过学习，学生能进一步理解三角形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习等边三角形之前，已经学习了三角形的分类、三角形的性质等知识，具备了一定的图形观念和空间想象力。
但部分学生对三角形的性质理解不深，对等边三角形的认识可能仅停留在表面。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，引导学生深入理解等边三角形的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握等边三角形的定义、性质和判定方法，能运用等边三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的空间想象能力和推理能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生对几何图形的审美观念。
四. 教学重难点1.重点：等边三角形的定义、性质和判定方法。
2.难点：等边三角形性质的证明和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入等边三角形，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生观察、操作、猜想、验证等边三角形的性质，培养学生的思维能力。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论、分享学习心得，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示等边三角形的图片、性质和判定方法。
2.教学素材：准备一些等边三角形的实物模型，如三角形纸片、塑料三角形等。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的等边三角形图片，如金字塔、自行车的三角形架等，引导学生关注等边三角形。
提问：你们知道这些图形有什么共同的特点吗？让学生思考并回答，从而引出等边三角形的定义。
2.呈现（10分钟）展示等边三角形的性质和判定方法。
人教版八年级数学上册13.3.2《等边三角形(1)》教学设计一. 教材分析等边三角形是八年级数学上册的教学内容，它是三角形的一种特殊形式，具有三条边相等、三个角相等的性质。
本节课的教学内容主要包括等边三角形的定义、性质和判定。
教材通过引入等边三角形的概念，让学生了解等边三角形的基本性质，并通过实例演示等边三角形的判定方法。
通过本节课的学习，学生能够掌握等边三角形的基本性质，并能够运用这些性质解决相关问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察和推理能力。
然而，对于等边三角形的特殊性质和判定方法，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察和推理来发现等边三角形的性质，并通过实例来巩固和应用这些性质。
三. 教学目标1.知识与技能：理解等边三角形的定义，掌握等边三角形的基本性质，学会判定一个三角形是否为等边三角形。
2.过程与方法：通过观察、推理和举例，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：等边三角形的定义和性质。
2.难点：等边三角形的判定方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂讨论。
2.引导发现法：通过提问和引导，让学生自主发现等边三角形的性质，培养学生的推理能力。
3.实例教学法：通过举实例，让学生更好地理解等边三角形的性质和判定方法。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示等边三角形的图片和实例。
2.教学道具：准备一些等边三角形的模型或图片，用于展示和操作。
3.练习题：准备一些有关等边三角形的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些等边三角形的图片，引导学生观察和思考：这些三角形有什么特殊的性质？你能否找出它们之间的共同点？2.呈现（10分钟）向学生介绍等边三角形的定义和性质，并通过举例来展示等边三角形的判定方法。
人教版八年级数学上册第十三章 《等边三角形》学习任务单及作业设计（共2课时） 第一课时【学习目标】1.探索并掌握等边三角形的性质及判定方法；2.运用等边三角形的性质和判定进行简单的计算和证明；3.在几何证明过程中，培养逻辑推理能力. 【课前学习任务】复习回顾等腰三角形的性质和判定方法、三角形按边分类，并完成下述问题： （1）（2） 三角形【课上学习任务】学习任务一：合作探究，类比学习等边三角形的性质的 4 条性质，并给出几何证明.等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质同样适用于等边三角形.但等边三角形还有哪些特殊的性质呢？让我们一起来探究一下吧.轴对称图形是；1 条或 3 条对称轴学习任务二：运用等边三角形的性质进行简单计算如图，在等边△ABC 中，BC=10,BD⊥AC 于点 D，则：（1）AC= ；（2）∠A= ；（3）∠ABD= ，AD= .学习任务三：类比探究等边三角形的判定方法，感受分类讨论思想.学习任务四：等边三角形判定方法的简单应用，开拓思路、一题多解. 例：如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC,分别交 AB，AC 于点 D，E．求证：△ADE 是等边三角形.【作业设计】1. 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长____.2. △ABC 是等腰三角形，周长为15cm 且∠A=60°，则 BC=_______.3. 等边三角形两条高相交所成的钝角的度数是_______.4. 例题变式练习：变式 1：△ABC是等边三角形，若点D，E在边AB，AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？变式 2：△ABC是等边三角形，若点D，E在边AC，AB的反向延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？变式 3：例题中,△ABC是等边三角形，若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由.【参考答案】1. 9cm2. 5cm3. 120°4.变式 1：证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB．∵ DE∥BC，∴∠ABC =∠ADE，∠ACB =∠AED.∴∠A =∠ADE =∠AED.∴△ADE 是等边三角形.变式 2：证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠B =∠C．∵ DE∥BC，∴∠B =∠E，∠C =∠D.∵∠BAC=∠DAE∴∠DAE =∠D =∠E.∴△ADE 是等边三角形.变式 3：证明：∵ AD=AE，∴△ADE 是等腰三角形．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C=60°．∴△ADE 是等边三角形．第二课时【学习目标】1.通过拼图，探索、发现、证明含30°的直角三角形的性质，反映直角三角形的边角关系，并利用含30°的直角三角形的性质进行简单计算；2.增强对特殊直角三角形的认识，培养几何直观、推理能力.【课前学习任务】课前准备：两个含 30°角的三角尺.复习回顾等边三角形的性质和判定与边角关系，并完成下述问题：等边三角形性质判定【课上学习任务】学习任务一：动手实践，探究含 30°的直角三角形的性质，并用不同的方法进行证明.学习任务二：运用含 30°的直角三角形的性质进行简单计算1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB, AB＝4. 则BC＝，BD= .2.小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200m，山的高度为_____m.学习任务三：例题讲解，体会含30°的直角三角形的性质的应用.例：下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC，DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m，∠A＝30°立柱BC，DE要多长?学习任务四：拓展提高，进一步体会含30°的直角三角形的性质的应用.1.三角形三个角的度数之比为1：2 ：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是_______cm．2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AC．则AB：AE=______．3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，BF=5cm，求CF的长．【作业设计】1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A． 6 米 B． 9 米 C． 12 米 D． 15 米2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若 AD=6，则CD等于（）A．3 B．4 C．5 D．63.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为_______．4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．【参考答案】1. B2. A解析：∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°.∵ BD 平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°.∴ BD=AD=6，∴ CD=1/2BD=6×1/2=3．3. 6解析：∵ DE 是 AB 的垂直平分线，∴ AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∵∠C=90°，∴∠CAD=30°，∴ AD=2CD.∵ CD=3，∴ AD=BD=6.4.（1）证明：∵ AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴ CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，ED=CDAD=AD∴ Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵ DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，DC=ED=1，∴ BD=2ED=2．。
教学过程设计什么？3. 在△ABC 中，AB=BC ，∠A=60°（ ∠B=60°或 ∠C =60°）你能得到AB=BC=CA 吗？为什么？4. 等边三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？5. 等边三角形与等腰三角形有什么关系呢？ 归纳等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。
等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【例题】如图，已知ABC ∆、DCE ∆均为等边三角形，且B 、C 、E 在一条直线上，连结BD 、AE 分别交AC 、DC 于F 、G . (1) 求证：AE =BD ； (2) 求证：CF =CG ； (3)连结FG ，求证：CFG ∆ 为等边三角形.【分析】（1）由于等边三角形各边都相等，各角都是60°，不难证明BCD ACE ∆≅∆，所以AE ＝BD ；（2）利用（1）中的全等，不难证明BCF ACG ∆≅∆，所以CF =CG ；（3）因CFG ∆为等腰三角形，只须证其有60°角。
【点拨】本题条件中，即使B 、C 、E 不在一条直线上，所证线段依然相等，只是CFG ∆为一般等腰三角形，请同学们自己验证。
三、当堂训练1. 对于等边三角形，下列说法不成立的是（ ） A ．三条边都相等 B ．每个角都是60° C ．有三条对称轴 D ．两条高互相垂直 2．下列说法中正确的个数是（ ） ①有三条对称轴的三角形是等边三角形； ②三个外角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形； ④腰上的高与底边上的高相等的等腰三角形是等边三角形。
A ．1B ．2C ．3D ．43．等腰三角形的腰长为2，顶角与底角相等，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．无法确定教师给出性质、判定的准确描述，并板书性质、判定。
《13.3.2等边三角形》导学案（第1课时）
日期 班级 姓名 组别 评价
【学习目标】
1． 经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程
2． 等腰三角形成为等边三角形的区别与联系
3.等边三角形性质的发现与证明（学习重点）
【学习过程】
一、【自学质疑】
1．等腰三角形的定义： 2.观察上图：如果△ABC 是等边三角形，有那些相等关系：
相等的边有： 。
相等的角：
3．等腰三角形有 条边相等。
等边三角形有 条边相等。
二、【合作与展示】
［任务一］等边三边形的性质：
1.如图：如果△ABC 是等边三角形，则每个内角是 度
证明： 你们小组得到什么结论？ ［任务二］等边三边形的判定：
1．如果∠B=∠C ，则有AC= 。
如果有∠A=∠B=∠C ，则有 = =
三角形，三个角相等的三角形是 三角形。
△ABC 中，AB=AC ，请你加一个条件：
可以证明△ABC 是等边三角形。
你们小组得到什么结论？
三【训练反馈】
1. 等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？
2. 如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°，•图中有哪些与BD 相等的线段？
3. 三角形ABC 为等边三角形．D 、E 为边AB 、AC 上两点，且AD=AE ．判断△ADE•是否是等边三角形，并说明理由．
四、【归纳拓展】
五、【作业】
C A
B C A
C
A B E D C A B。
一、学习目标1、掌握等边三角形的定义。
2、理解等边三角形的性质与判定定理。
教学重、难点：重点：等边三角形的性质和判定方法。
难点：等边三角形的性质的应用。
二、自主预习自学指导：阅读教材第79至80页，完成下列各题。
1、等边三角形是_____________________的特殊的等腰三角形，因此，它具有等腰三角形的所有性质。
2、等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于_______。
3、等边三角形是轴对称图形，有_______条对称轴。
4、三个角都_______的三角形是等边三角形。
5、有一个角是_______的等腰三角形是等边三角形。
三、合作探究1、等边三角形的定义：底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形。
2、思考：等边三角形有哪些性质？边：三条边都相等。
角：三个角都相等，并且每一个角都等于60°。
3、在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝AC＝CA吗？为什么？你从中能得到什么结论？三角角都相等的三角形是等边三角形。
4、已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.⑴求证：△ABC是等边三角形；⑵如果把∠A＝60°改为∠B＝60°或∠C＝60°结论还成立吗？⑶由上你可以得到什么结论？有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、当堂检测1、已知△ABC中，AB＝AC，下列结论：①若AB＝BC，则△ABC是等边三角形②若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形③若∠B＝60°，则△ABC是等边三角形其中正确的有( )A、0个B、1个C、2个D、3个2、如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y=_______.3、如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠CDE＝_______.第2题图第3题图4、①等边三角形有_______条对称轴；②等腰三角形的对称轴最少有_______条，最多有_______条。
等边三角形（1）【目标导航】1.了解等边三角形的性质和判定；2．理解如何用轴对称性质解释等边三角形的有关性质．【要点梳理】活动1 复习旧知1．等腰三角形的定义：．答案：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2．等腰三角形的性质：⑴；⑵．答案：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.3．等腰三角形的判定：．答案：如果一个三角形有两个底角相等，那么这两个角所对的边也相等.活动2 等边三角形的性质与判定1．等边三角形的定义：．答案：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2．等边三角形的性质：⑴；⑵．答案：（1）等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；3．等边三角形的判定：⑴；⑵．答案：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.指出：1．等边三角形是特殊的等腰三角形，除有本身的性质外，还具有等腰三角形的所有性质．2．等边三角形的定义既是等边三角形的性质，又是它的判定．在证明等边三角形时，若已知三边关系，则先选用定义法；若已知三角关系，则先选用判定1；若已知等腰三角形，则先选用判定2．活动3 等边三角形的性质与判定的应用1．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E．求证：△ADE是等边三角形．AD EB C答案：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠A =∠ADE =∠AED .∴△ADE 是等边三角形．2．如图，在等边三角形ABC 的三边上，分别取 点D ，E ，F ，使AD ＝BE ＝CF ． 求证：△DEF 是等边三角形．FAB CDE答案：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B=∠C ，AB =BC =AC .∵AD ＝BE ＝CF ，∴BD ＝CE ＝AF ．∴△DBE ≌△ECF ≌△FAD ．∴DE =EF =DF .∴△DEF 是等边三角形．3． 如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，CE 平分∠ACD ，且CE ＝BD ．求证：△DAE 为等边三角形．AB C ED答案：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠B =∠ACB =60°，∴∠ACD =120°．∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE =∠DCE =60°．在△ABD 和△ACE 中，∵AB =AC ，∠B =∠ACE ，BD =CE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD =AE ，∠BAD =∠CAE ，∴∠DAE =∠BAC =60°，∴△ADE 为等边三角形．4． 如图，△ABD ，△AEC 都是等边三角形，BE ，CD 相交于O ．⑴求证：BE ＝DC ；⑵求∠BOC 的度数．O AB CDE答案：（1）∵△ABD ，△AEC 都是等边三角形，∴AD =AB ，AC =AE ，∠DAB =∠CAE =60°.∴∠DAC =∠BAE .∴△DAC ≌△BAE (SAS ).∴BE ＝DC ；（2）∠BOC =∠DBO +∠BDO =∠ABO +∠ABD+∠BDO =∠ADC +∠ABD +∠BDO =∠ABD +∠ADB =60°+60°=120°.5．如图1，点A 是线段BC 上一点，△ABD ，△AEC 都是等边三角形，BE 交AD 于点M ，CD 交AE 于N ． ⑴求证：BE ＝DC ；⑵求证：△AMN 是等边三角形；⑶将△ACE 绕点A 按顺时针方向旋转90°，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断⑴、⑵两小题结论是否仍然成立，并加以证明．图1答案：（1）∵△ABD ，△AEC 都是等边三角形，∴AD =AB ，AC =AE ，∠DAB =∠CAE =60°.∴∠DAC =∠BAE .∴△DAC ≌△BAE (SAS ).∴BE ＝DC ；（2）∵△DAC ≌△BAE ，∴∠ABM=∠ADN.∵∠BAD=∠EAC=60°，∴∠DAN=60°.又∵AB=AD ，∴△ABM ≌△ADN (ASA ).∴AM=AN.又∵∠MAN=60°，∴△AMN 是等边三角形；（3）图略，⑴小题结论仍然成立，过程同（1）；（2）小题结论不成立，因为此时∠MAN 并不等于60°.6．如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE ＝BD ，连结CE ，DE ．求证：EC ＝ED ．AB C ED答案：延长CD 到F ，使DF =BC ，连结EF ，∵AE =BD ，∴AE =CF . ∵△ABC 为等边三角形，∴BE =BF ，∠B =60°. ∴△EBF 为等边三角形，∴∠F =60°，EF =EB . 在△EBC 和△EFD 中，EB =EF ，∠B=∠F ，BC =DF ，∴△EBC ≌△EFD ，∴EC =ED （SAS ）.【课堂操练】1．在△ABC 中∠A ＝60°，要使△ABC 是等边三角形，则需添加的一个条件是： ．答案：AB =AC ，或∠B =60°等2. （2011年广东茂名中考）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝ 度．答案：15 ABC D E F G图2A BD CE N M A B CD E3．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有( )A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④答案：D4．如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形．求证：BE ＝CD ．A B C ED答案：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AE =AD ，∠BAE =∠CAD =60°．∴△BAE ≌△CAD .∴BE ＝CD ．5．如图，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，DC ＝AE ，AD 、BE 交于点F ，求∠BFD 的度数．FABCE D答案：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠C =60°.又∵DC ＝AE ，∴△BAE ≌△ACD .∴∠ABE ＝∠DAC ．∴∠BFD =∠ABE +∠BAD =∠DAC +∠BAD =∠BAC =60°．6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是CB 延长线上一点，∠D ＝60°，E 是AD 上一点，且有DE ＝DB ，求证：AE ＝BE ＋BC ．A B C ED答案：过点A 作AF ⊥BC 于F ．∵AF 是等腰△ABC 底边上的高，∴BC = 2BF ．∵∠D ＝60°，DE ＝DB ，∴△BDE 是等边三角形，BE = DE = DB ．在Rt △ADF 中，∠AFD = 90°，∠ADF = 60°，可得AD = 2DF ．所以，AE = AD -DE = 2DF -DB = 2(DB +BF )-DB = DB +2BF = BE +BC ．【课后巩固】1． 等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，对称轴是 所在的直线．答案：3，各边中线2．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE ＝______． 答案：60°3. （2011年广西梧州中考）如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．△ACE ≌△BCDB ．△BGC ≌△AFCC ．△DCG ≌△ECFD ．△ADB ≌△CEA答案：D4．如图1，在等边△ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE ＝∠CDF ＝60°，图中与BD 相等的线段有： ．答案：BE ,DE ,CD ,CF ,DF ,AE ,AF图1FA BC E D5．如图2，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1＝∠2，BE ＝CD ，则对△ADE 的形状最准确的判断是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状答案：B6．如图3，△ABC 是等边三角形，AD 是角平分线，△ADE 是等边三角形，下列结论：①AD ⊥BC ；②EF ＝FD ；③BE ＝BD ．其中正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个答案：A7．如图4，已知点D 是BC 上一点，且满足AB ＝AC ＝BD ，那么∠1与∠2的关系是（ ）图3图4AB CDFABC E D答案：相等8．下列说法正确的是（ ）A ．有一个角相等的两个等腰三角形全等B ．有一条边对应相等两个等腰三角形全等C ．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等D ．有一条边对应相等的两个等边三角形不一定全等 AB C D E 12图2A B C E G F D答案：C9．如图△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE ＝CD ，求证：DB ＝DE ．答案：∵BD 是等边△ABC 的中线，∴∠DBC =21∠ABC =21×60°=30°．∠DCE =180°－∠ACB =120°，又∵CE =CD ，所以∠E =∠CDE =30°．∴∠E =∠DBE ，∴BD =DE ．10．已知：AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝60°，BC ＝4．把△ADC 沿直线AD 折叠后，点C 落在点C ′的位置上，求BC ′的长．AB CD C '答案：连接BC ′.∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =DC.又∵DC =DC ′，∴BD =DC ′.∵∠ADC ＝60°，∴∠ADC ′=60°，∴∠BDC ′=60°，∴△BDC ′是等边三角形，∴BC ′= BD =BC 21=2.11．如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 至E ，延长BA 至F ，使AF ＝BE ，连结CF 、EF ，过点F 作直线FD ⊥CE 于D ，试发现∠FCE 与∠FEC 的数量关系，并说明理由．答案：∠FCE =∠FEC.∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ，∠B =60°．∵FD ⊥CE ，∴∠BFD =30°，∴BD =21BF ，又∵BC =AB ，∴CD +BC =21(AF +BC )，∵AF =BE ，CD =21(AF -BC )=21(BE -BC )，∴CD =21CE ．又∵FD ⊥CE ，∴FC =FE ，∴∠FCE =∠FEC.12．如图，点D 是等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BP ＝AB ，∠DBP ＝∠DBC ．求∠BPD 的度数．AB C D EAPDB C答案：作AB的垂直平分线，∵DA=DB，CA=CB，∴AB的垂直平分线必过C、D两点，∴∠BCD=30°．∵AB=BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD，∴△BDC≌△BDP，∴∠BPD=∠BCD=30°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝∠ACD＝60°．求证：BD＋DC＝AB．ADB C答案：延长BD至F，使得AF=AB，连结CF.∵AB=AF，∠ABF=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠AFB=60°，AB=BF，∴∠AFB=∠ACD.∵AB=AC，∴AC=AF.∴∠ACF=∠AFC.∴∠ACF-∠ACD=∠AFC-∠AFB.∴∠DCF=∠DFC.∴DC=DF.∴DC+BD=DF+BD=BF，又∵AB=BF，∴DC+BD=AB.【课外拓展】14.等边三角形给人以“稳如泰山”的视觉感受，它具有独特的对称性，请你至少用三种不同的方法，将以下三个等边三角形分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）．答案：如图所示：15.如图，点D 是等边△ABC 内一点，将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得△ADC ，连接OD ． ⑴求证：△DOC 是等边三角形；⑵当α=150°时，判断△AOD 的形状，并说明理由；⑶探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形．答案：（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴△BOC ≌△ADC ，∠OCD =60°，∴CO =CD ．∴△COD 是等边三角形；（2）∵△ADC ≌△BO C ，∴DA =OB ．∵△COD 是等边三角形，∴OD =OC ，且∠ADC =∠α=150°，即可得∠ADO =90°，∴△AOD 为直角三角形．（3）若△AOD 是等腰三角形，所以分三种情况：①∠AOD =∠ADO ；②∠ODA =∠OAD ；③∠AOD =∠DAO ．∵∠AOB =110°，∠COD =60°，∴∠BOC =190°-∠AOD ，而∠BOC =∠ADC =∠ADO +∠CDO ，由①∠AOD =∠ADO 可得∠BOC=∠AOD +60°，求得α=125°；由②∠ODA =∠OAD 可得∠BOC =150°- ∠AOD ，求得α=110°；由③∠AOD =∠DAO 可得∠BOC =240°-2∠AOD ，求得α=140°；综上可知α=125°，或α=110°或α=140°．16. （2011年浙江绍兴中考）数学课上，李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： αA B C D O 110°（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“>”,“<”或“＝”）.AEDB C图1图2（2）特例启发，解答题目【答案】解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“>”,“<”或“＝”）.理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F.（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）.答案：（1）＝；（2）＝.证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，∴AE=AF=EF，∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF．∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∴∠BED=∠FCE，∴△DBE≌△EFC，∴DB=EF，∴AE=BD．(3)1或3.。
