河北省平泉县第四中学九年级数学上册21.2一元二次方程根与系数关系导学案(无答案)(新版)新人教版

河北省平泉县第四中学九年级数学上册21.3一元二次方程的应用学案一元二次方程的应用学习目标学习重点学习难点1。

能够根据特定问题的数量（根据一定的传播速度传播问题、数字问题和利润问题）关联并求解一系列一元二次方程。

2.可以根据问题的实际意义来检验结果是否合理。

3.进一步掌握用方程解决应用问题的步骤和关键。

为了解决实际问题，建立了一个单变量二次方程。

找出实际问题中的等价关系。

设计意图是让学生充分理解沟通问题，培养学生解决沟通问题的能力。

教学互动设计I.自主学习和感受新知识[问题]一个人患流感。

经过两轮感染，121人感染了流感。

在每一轮感染中有多少人被一个人感染？[分析]假设在每一轮感染中，平均每个人感染x人。

⑴ 一开始，有一个人患流感。

第一轮感染的源头是此人。

他感染了x个人。

第一轮过后，有人患上了流感；在第二轮感染中，这些人中的每一人都感染了X多人。

用代数公式表示，第二轮后，共有人感染流感。

（2）根据等数量关系的一系列方程：（3）求解该方程得到：（4）平均一人感染一人。

（5）如果以这样的传播速度，经过三轮感染，就会有人患上流感。

2、【例1】植物的树干长出许多分枝，每个分枝长出相同数量的小分枝。

主干、分支和小分支的总数为91个。

每根树枝长多少根小树枝？[分析]让每根树枝长出x根小树枝。

然后在树干上生长x根树枝，总共有22根小树枝生长在x根树枝上。

树干、树枝和小树枝的总数可以用代数公式1+X+X表示。

根据问题2的含义，可以列出方程式：1+X+X=91解：让每个树枝长X个小树枝。

根据问题的意义，可以列出方程：21+X+X=91该方程的解，结果为：X1=9x2=-10（负根与问题的意义不一致，加起来）。

答：每根树枝长9根小树枝。

[例2]对于两位数，两位数之和为6。

两位数交换后，两位数与原两位数的乘积为1008。

找到原来的两位数。

【分析】如果原来的两位数是x，那么十位数是（6-x），那么原来的两位数是10（6-x）+x，新的两位数是10x+（6-x）。

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1.要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程的根与系数的关系，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.2.通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.二、教学重难点重点掌握一元二次方程的根与系数的关系.难点一元二次方程的根与系数关系的推导过程及其应用.重难点解读在使用一元二次方程的根与系数的关系时，应注意：（1）方程不是一般形式的要先化为一般形式.（2）使用x 1+x2=ba时，“-”不要漏写.（3）根与系数关系是在方程ax2+bx+c=0（a≠0）有根的前提下（即b2-4ac≥0）才成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负.（4）若已知方程“有两个实数根”，则该方程是一元二次方程，即存在隐含条件：二次项系数不为零.三、教学过程活动1 旧知回顾提出问题：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）请同学们写出一元二次方程的求根公式.（3）在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？（4）一元二次方程的根与系数有着密切的关系，其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系呢？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系.活动2 探究新知1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？用语言叙述你发现的规律.2.教材第15页 第1个思考. 提出问题：（1）把方程（x-x 1）（x-x 2）=0化为一般形式后的方程是什么？（2）这个方程的二次项系数是多少？一次项系数是多少？常数项是多少？ （3）由此可知，方程x 2-（x 1+x 2）x+x 1x 2=0两个根的和、积与系数有怎样的关系？ 3.教材第15页 第2个思考. 提出问题：（1）如果一元二次方程的二次项系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？你能证明你的猜想吗？（2）由求根公式可知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，两根分别为x 1=242bb ac a，x 2=242bb aca.观察两式右边，分母相同，分子是-b-.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？x 1+x 2=__________，x 1x 2=___________.（3）由此你能说出方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有怎样的关系吗？把方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两边同时除以a ，能否得出该结论？为什么？ 活动3 知识归纳一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系： x 1+x 2=b a ，x 1x 2= ca. 提出问题：（1）方程的根是由什么决定的？（2）在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0呢？为什么？活动4 典例赏析及练习 例1 教材第16页 例4.例2 已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）【答案】解：两种.（1）直接利用因式分解法，得（x+1）（x-2）=0；（2）用根与系数关系法求解：∵两根之和为1，两根之积为-2，∴满足条件的方程为ax 2-ax-2a=0（a ≠0）.例3 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 变式一：已知方程x 2-2kx-9=0的两根互为相反数，求k ； 变式二：已知方程2x 2-5x+k=0的两根互为倒数，求k. 【答案】解：由两根之积，得-3k=92，解得k=32；（变式一）互为相反数的两根之和为0，得0=2k.解得k=0；（变式二）互为倒数的两根之积为1，得1=2k，解得k=2. 练习：1.教材第16页 练习.2.若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x-2=0的两个实数根，则x 1+x 2+x 1x 2= -3 . 3.两根均为负数的一元二次方程是（ C ） A.7x 2-12x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.4x 2+21x+5=0 D.x 2+15x-8=04.已知关于x 的方程x 2+2x-k=0有两个不相等的实数根.若α，β是这个方程的两个实数根，求1+1的值.【答案】解：由根与系数的关系可知α+β=-2，αβ=-k ，∴1+1=(1)(1)(1)(1)=21=2212kk=2.活动5 课堂小结1.若方程x 2+px+q=0有两个实根x 1，x 2，则x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q.2.方程ax2+bx+c=0中，在a≠0，b2-4ac≥0的条件下，两个根x1，x2与系数a，b，c有如下关系：x 1+x2=ba，x1x2=ca.3.运用一元二次方程的根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意：（1）先把方程化为一般形式，明确方程的二次项系数、一次项系数和常数项的值，然后直接代入关系式；（2）确定方程的各项系数时一定要包括符号；（3）只有在一元二次方程有实根数的前提下，才能使用根与系数的关系，如果所给一元二次方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系.四、作业布置与教学反思。

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计杨彦伟教学目标：1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。

2、灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题。

3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。

4、通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生自己参与韦达定理的发现。

教学重点：一元二次方程根与系数的关系的探究及简单应用。

教学难点：一元二次方程根与系数的关系的理解和推导。

一、提出问题，复习旧知解下列方程并完成填空：（1） x2-7x+12=0（2） x2+3x-4=0二、探究新知1、由解下列方程并完成填空，你发现什么了吗？规律：如果方程x 2+px+q=0的两根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P , x 1x 2=q 2、一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0(a ≠0)求根公式：x= ( b 2-4ac ≥ 0 )韦达定理：一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2 ,那么x 1+x 2= , x 1x 2= 三、例题解析例4 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x 1，x 2 的和与积：（1） x 2 - 6x - 15 = 0 （2）3x 2 + 7x - 9 = 0 （3）5x - 1 = 4x 2 四、巩固练习练习 不解方程，求下列方程两个根的和与积：（1） x 2 - 3x = 15 （2） 3x 2 + 2 = 1- 4x （3） 5x 2 - 1 = 4x 2 + x （4） 2x 2 - x + 2 = 3x + 1 五、课堂小结：这节课你收获了什么？ 六、作业：课本17页第7题aacb b 242-±-ab-a c。

No x2＋2x－5＝0的两个实数(shìshù)根，。则m2－mn＋3m＋n＝____．。∵2x1x2＋x1＋x2≥20，。＝4k2－8k＋8。
综上所述，无论k为何值，方程总有实数(shìshù)根．
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(1)求m的取值范围；
【解】 根据(gēnjù)题意得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，
解得m≤4.
(2)如果方程的两个(liǎnɡ ɡè)实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围． 【解】 根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，
∵2x1x2＋x1＋x2≥20，
∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3， ∵m≤4， ∴m的取值范围为3≤m≤4.
【证明】 当k＝1时，原方程(fāngchéng)可化为2x＋2＝0， 解得x＝－1，此时该方程有实数根；
当k≠1时，方程是一元二次方程，
∵Δ＝(2k)2－4(k－1)×2
＝4k2－8k＋8
＝4(k－1)2＋4＞0，
∴无论(wúlùn)k为何值，方程总有实数根， 综上所述，无论k为何值，方程总有实数根．
＝－1.
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12．设 x1，x2 是方程 x2－x－2 016＝0 的两个实数根，求 x13＋2 017x2－2 016 的值．
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13．(鄂州)关于(guānyú)x的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0. (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；
【解】 ∵a是方程(fāngchéng)x2＋x－2017＝0的根，
∴a2＋a－2017＝0，
即a2＋a＝2017. ∵a，b是方程(fāngchéng)x2＋x－2017＝0的两个实数根，