安徽省2019中考数学决胜一轮复习第6章圆第3节与圆有关的计算习题

第2课时 与圆有关的位置关系1．(2018·湘西州)已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线l 的距离为5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为( B ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法确定2．(2018·营口模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为( B )A ．32B ．210－2C ．213－2D ．43．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长度是( A )A ．5 3B ．5 2C ．5D ．524．如图，∠ABC ＝80°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，12OB 长为半径作⊙O ，要使射线BA 与⊙O 相切，应将射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转( C )A ．40°或80°B ．50°或100°C ．50°或110°D ．60°或120°5．(原创题)如图所示，△ABC 是等腰三角形，以腰AB 为直径作⊙O 交底BC 于点P ，PQ ⊥AC 于Q ，则PQ 与⊙O ( A )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交6．(2017·肥城市二模)如图，在等边△ABC 中，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB 、BC 相交于点D ，E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是( C )A ．若EF ⊥AC ，则EF 是⊙O 的切线B ．若EF 是⊙O 的切线，则EF ⊥AC C ．若BE ＝EC ，则AC 是⊙O 的切线D ．若BE ＝32EC ，则AC 是⊙O 的切线 7．已知点P 在半径为5的⊙O 外，如果设OP ＝x ，那么x 的取值范围是__x ＞5__. 8．如图，AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT ＝40°，则∠ATB ＝__50°__.9．(2018·大庆)已知直线y ＝kx (k ≠0)经过点(12，－5)，将直线向上平移m (m ＞0)个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相交(点O 为坐标原点)，则m 的取值范围为__0＜m ＜132__.10．(改编题)如图，△ABC 内接于⊙O ，外角∠BAM 的平分线与⊙O 交于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，下列结论：①AE ＝AF ；②BD ︵ ＝CD ︵；③BE ＝CF ；④DF 为⊙O 的切线．其中正确的是__①②③__(填序号)．11．(原创题)如图，AB 为半⊙O 的直径，延长AB 到P ，使BP ＝12AB ，PC 切半⊙O 于点C ，点D 是弧AC 上和点C 不重合的一点，求∠BDC 的度数．解：连接OC ，则∠OCP ＝90°；∵BP ＝12AB ，∴OB ＝BP ＝OC ，即OP ＝2OC ，∴∠OPC ＝30°，∠POC ＝60°，∴∠BDC＝12∠POC ＝30°. 12．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D ．(1)求证：PO 平分∠APC ；(2)连接DB ，若∠C ＝30°，求证：DB ∥AC ．证明：(1)如图，连接OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，又OA ＝OB ，∴PO 平分∠APC ；(2)∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠CAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠C ＝30°，∴∠APC ＝90°－∠C ＝90°－30°＝60°，∵PO 平分∠APC ，∴∠OPC ＝12∠APC ＝12×60°＝30°，∴∠POB ＝90°－∠OPC ＝90°－30°＝60°，又OD ＝OB ，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD ＝60°，∴∠DBP ＝∠OBP －∠OBD ＝90°－60°＝30°，∴∠DBP ＝∠C ，∴DB ∥AC ．13．(2018·明光二模)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，且CD ∥AB ．连接AC ，且AC ＝AB ．过点A 作⊙O 的切线AE 交CD 的延长线于点E .(1)求证：四边形ABCE 是平行四边形； (2)若AB ＝13，AE ＝10，求⊙O 的半径．(1)证明：延长AO 交BC 于F ，如图，∵OB ＝OC ，AB ＝AC ，∴OA 垂直平分BC ，∵AE 为切线，∴AE ⊥OA ，∴AE∥BC ，∵AB∥CD ，∴四边形ABCE 是平行四边形；(2)解：连接OB ，如图，∵四边形ABCE 是平行四边形，∴BC ＝AE ＝10，∵OA 垂直平分BC ，∴BF ＝CF ＝12BC＝5，在Rt△ABF 中，AF ＝132－52＝12，设⊙O 的半径为r ，则OF ＝12－r ，OB ＝r ，在Rt △OBF 中，52＋(12－r )2＝r 2，解得r ＝16924，即⊙O 的半径为16924.14．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AC 为弦．过BC 延长线上一点G ，作GD ⊥AO 于点D ，交AC 于点E ，交⊙O 于点F ，M 是GE 的中点，连接CF ，CM.(1)判断CM 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若∠ECF ＝2∠A ，CM ＝6，CF ＝4，求MF 的长．解：(1)CM 与⊙O 相切．理由如下：连接OC ，如图，∵GD ⊥AO 于点D ，∴∠G ＋∠GBD ＝90°，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵M 点为GE 的中点，∴MC ＝MG ＝ME ，∴∠G ＝∠1，∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠2，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠O CM ＝90°，∴OC ⊥CM ，∴CM 为⊙O 的切线；(2)∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠5＋∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠5，而∠1＝∠G ，∠5＝∠A ，∴∠G ＝∠A ，∵∠4＝2∠A ，∴∠4＝2∠G ，而∠EMC ＝∠G ＋∠1＝2∠G ，∴∠EMC ＝∠4，而∠FEC ＝∠CEM ，∴△EFC ∽△E CM ，∴EF CE ＝CE ME ＝CF CM ，即EF CE ＝CE 6＝46，∴CE ＝4，EF ＝83，∴MF ＝ME －EF ＝6－83＝103.。

圆的基本性质好题随堂演练1．(2018·柳州)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C 的度数为( )A ．84°B ．60°C ．36°D ．24°2．如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A＝50°，则∠OBC 的度数为( )A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°3．(2018·陕西)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O 相交于点D ，连接BD ，则∠DBC 的大小为( )A ．15°B ．35°C ．25°D ．45°4．(2017·宜昌)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AC 平分∠BAD，则下列结论正确的是( )A ．AB ＝ADB ．BC ＝CD C.AB ︵＝AD ︵ D ．∠BCA＝∠DCA5．(2018·咸宁)如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )A．6 B．8 C．5 2 D．5 36．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是______________．7．(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．参考答案1．D 2.B 3.A 4.B 5.B 6.AB∥CD7．(1)证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB ，∴四边形ABFC 是菱形．(2)解：设CD ＝x.如解图，连接BD.∵AB 是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°， ∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2，∴(7＋x)2－72＝42－x 2，解得x ＝1或－8(舍去)， ∴AC＝8，BD ＝82－72＝15，∴S 菱形ABFC ＝AC·BD＝815.S 半圆＝12·π·42＝8π.。

考点强化练22 圆的有关概念及性质夯实基础1.(2018·上海)如图,已知在☉O中,AB是弦,半径OC⊥AB,垂足为点D.要使四边形OACB为菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是()A.AD=BDB.OD=CDC.∠CAD=∠CBDD.∠OCA=∠OCBOC⊥AB,由垂径定理可知AD=BD,即四边形OACB中两条对角线互相垂直,且一条对角线被另一条平分.根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”,可知若添加条件OD=CD,即可说明四边形OACB为菱形,故选择B.2.(2018·山东菏泽)如图,在☉O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是()A.64°B.58°C.32°D.26°OC⊥AB,∴AA⏜.⏜=AA⏜所对的圆心角,⏜所对的圆周角,∠BOC是AA∠ADC是AA∴∠BOC=2∠ADC=64°,∴∠OBA=90°-∠BOC=90°-64°=26°.故选D.3.(2017·湖北黄石)如图,已知☉O为四边形ABCD的外接圆,O为圆心,若∠BCD=120°,AB=AD=2,则☉O的半径长为()A.3√22B.√62C.32D.2√33BM,连接DM,BD.则∠BDM=90°.因为∠C=120°,所以∠A=60°.又AB=AD=2,所以BD=2,∠M=60°.在Rt△BDM中,sin M=AAAA =2AA,得到AA2=2√33.4.(2018·山东烟台)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为.-1,-2),连接AB,BC,分别作AB和BC的中垂线,交于G点.由图知,点G的坐标为(-1,-2).5.(2017·江苏淮安)如图,在圆内接四边形ABCD 中,若∠A ,∠B ,∠C 的度数之比为4∶3∶5,则∠D 的度数是 °.ABCD 是☉O 的内接四边形,所以∠A+∠C=∠B+∠D=180°.因为∠A ,∠B ,∠C 的度数之比为4∶3∶5,所以∠A ,∠B ,∠C ,∠D 的度数之比为4∶3∶5∶6. 所以∠D=63+6×180°=120°.6.(2017·湖北襄阳)在半径为1的☉O 中,弦AB ,AC 的长分别为1和√2,则∠BAC 的度数为 .15°1,当点O 在∠BAC 的内部时,连接OA ,过点O 作OM ⊥AB ,ON ⊥AC ,垂足分别为M ,N ,则AM=12,AN=√22.在Rt △AOM 中,cos ∠MAO=AAAA =12,∴∠MAO=60°.在Rt △AON 中,cos ∠NAO=AA AA=√22, ∴∠NAO=45°,∴∠BAC=60°+45°=105°.如图2,当点O 在∠BAC'的外部时,∠BAC'=60°-45°=15°. 7.如图,在☉O 的内接四边形ABCD 中,∠BCD=120°,CA 平分∠BCD.(1)求证:△ABD 是等边三角形; (2)若BD=3,求☉O 的半径.∵∠BCD=120°,CA 平分∠BCD ,∴∠ACD=∠ACB=60°.由圆周角定理得,∠ADB=∠ACB=60°,∠ABD=∠ACD=60°,∴△ABD 是等边三角形.(2)连接OB ,OD ,作OH ⊥BD 于H ,则DH=12BD=32,∠BOD=2∠BAD=120°,∴∠DOH=60°.在Rt △ODH 中,OD=AAsin∠AAA =√3,∴☉O 的半径为√3.8.(改编题)如图,MN 是☉O 的直径,MN=4,点A 在☉O 上,∠AMN=30°,B 为AA ⏜的中点,P 是直径MN 上一动点.(1)利用尺规作图,确定当PA+PB 最小时P 点的位置(不写作法,但要保留作图痕迹). (2)求PA+PB 的最小值.(1)如图,点P 即为所求.(2)如图,连接OA ,OA',OB.由(1)可得,PA+PB 的最小值即为线段A'B 的长,∵点A'和点A 关于MN 轴对称且∠AMN=30°, ∴∠AON=∠A'ON=2∠AMN=∠60°.又∵点B 为AA ⏜的中点,∴∠BON=1∠AON=30°,2∴∠A'OB=90°.又∵MN=4,∴OB=OA'=2.在Rt△A'OB中,由勾股定理得A'B=√22+22=2√2.∴PA+PB的最小值是2√2.提升能力9.⏜,点M是AB上一动点,下⏜=AA(2018·四川雅安)如图,AB,CE是圆O的直径,且AB=4,AA⏜=AA∠BOD;②DM⊥CE;③CM+DM的最小值为4;④设OM为x,则S△OMC=√3x,上述结论中,列结论:①∠CED=12正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个〚导学号16734131〛因为AA⏜,所以∠COD=∠BOD,所以∠CED=1∠BOD,正确;②M是直径AB上一动点,而CE是固定⏜=AA2的,因此DM⊥CE不一定成立,错误;③因为DE⊥AB,所以D和E关于AB对称,因此CM+DM的最小值在M和O重合时取到,即为CE的长.因为AB=4,所以CE=AB=4,③正确;④连接AC,因为AA⏜=AA⏜= AA⏜,所以∠COA=60°,则△AOC为等边三角形,边长为2,过C作CN⊥AO于N,则CN=√3,在△COMx,故④错误.故选B.中,OM为底,CN为OM边上的高,所以S△COM=√3210.(2018·江苏无锡)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos B=3,求AD的长.5,延长AD,BC交于点E,∵四边形ABCD 内接于☉O ,∠A=90°, ∴∠EDC=∠B ,∠ECD=∠A=90°, ∴△ECD ∽△EAB ,∴AA AA =AAAA . ∵cos ∠EDC=cos B=35,∴AA AA =35. ∵CD=10,∴10AA =35,∴ED=503.∴EC=√AA 2-AA 2=√(503) 2-102=403. ∴1017=403503+AA ,∴AD=6.11.(2017·湖北武汉)如图,△ABC 内接于☉O ,AB=AC ,CO 的延长线交AB 于点D.备用图(1)求证:AO 平分∠BAC ;(2)若BC=6,sin ∠BAC=35,求AC 和CD 的长.OB ,∵AO=AO ,BO=CO ,AB=AC , ∴△AOB ≌△AOC ,∴∠BAO=∠CAO ,即AO 平分∠BAC.,过点D 作DK ⊥AO 于K ,延长AO 交BC 于H.∵由(1)知AO ⊥BC ,OB=OC ,BC=6.∴BH=CH=12BC=3,∠COH=12∠BOC , ∵∠BAC=12∠BOC , ∴∠COH=∠BAC.在Rt △COH 中,∠OHC=90°,sin∠COH=AAAA =35,∵CH=3,∴CO=AO=5. ∴OH=4.∴AH=AO+OH=4+5=9,tan ∠COH=tan ∠DOK=34.在Rt △ACH 中,∠AHC=90°,AH=9,CH=3,∴tan ∠CAH=AA AA =13,AC=3√10,①由(1)知∠COH=∠BOH ,tan ∠BAH=tan ∠CAH=13, 设DK=3a ,在Rt △ADK 中,tan ∠BAH=13,AK=9a. 在Rt △DOK 中,tan ∠DOK=34,∴OK=4a ,DO=5a. ∴AO=OK+AK=13a=5.∴a=513,DO=5a=2513,CD=OC+OD=5+2513=9013, ②∴AC=3√10,CD=9013.创新拓展12.(2018·贵州遵义)如图,AB 是半圆O 的直径,C 是AB 延长线上的点,AC 的垂直平分线交半圆于点D ,交AC 于点E ,连接DA ,DC ,已知半圆O 的半径为3,BC=2. (1)求AD 的长;(2)点P 是线段AC 上一动点,连接DP ,做∠DPF=∠DAC ,PF 交线段CD 于点F ,当△DPF 为等腰三角形时,求AP 的长.如图1,连接OD,因为半径为3,所以OA=OB=OD=3.因为BC=2,所以AC=8.因为DE垂直平分AC,所以DA=DC,AE=4,∠DEO=90°,OE=1,在Rt△DOE中,DE=√222√2,在Rt△ADE中,AD=√AA2+AA2=2√6.图1(2)因为△PDF为等腰三角形,因此分类讨论:①当DP=DF时,如图2,点A与点P重合,则AP=0.图2②当PD=PF时,如图3,因为∠DPF=∠DAC=∠C,∠PDF=∠CDP,所以△PDF∽△CDP,因为PD=PF,所以CP=CD,所以CP=2√6,AP=AC-PC=8-2√6.图3③当FP=FD时,如图4,因为△FDP和△DAC都是等腰三角形,∠DPF=∠DAC,所以∠FDP=∠DPF=∠DAC=∠C,所以,设DP=PC=x,则EP=4-x,在Rt△DEP中,DE2+EP2=DP2,得(2√2)2+(4-x)2=x2,得x=3,则AP=5.图4综上所述,当△DPF为等腰三角形时,AP的长可能为0,8-2√6,5.〚导学号16734132〛。

第2课时 与圆有关的位置关系1．(2018·湘西州)已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线l 的距离为5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为( B )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定2．(2018·营口模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为( B )A ．32B ．210－2C ．213－2D ．43．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长度是( A )A ．5 3B ．5 2C ．5D ．524．如图，∠ABC ＝80°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，12OB 长为半径作⊙O ，要使射线BA 与⊙O 相切，应将射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转( C )A ．40°或80°B ．50°或100°C ．50°或110°D ．60°或120°5．(原创题)如图所示，△ABC 是等腰三角形，以腰AB 为直径作⊙O 交底BC 于点P ，PQ ⊥AC 于Q ，则PQ 与⊙O ( A )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交6．(2017·肥城市二模)如图，在等边△ABC 中，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB 、BC 相交于点D ，E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是( C )A ．若EF ⊥AC ，则EF 是⊙O 的切线B ．若EF 是⊙O 的切线，则EF ⊥AC C ．若BE ＝EC ，则AC 是⊙O 的切线D ．若BE ＝32EC ，则AC 是⊙O 的切线 7．已知点P 在半径为5的⊙O 外，如果设OP ＝x ，那么x 的取值范围是__x ＞5__. 8．如图，AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT ＝40°，则∠ATB ＝__50°__.9．(2018·大庆)已知直线y ＝kx (k ≠0)经过点(12，－5)，将直线向上平移m (m ＞0)个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相交(点O 为坐标原点)，则m 的取值范围为__0＜m ＜132__.10．(改编题)如图，△ABC 内接于⊙O ，外角∠BAM 的平分线与⊙O 交于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，下列结论：①AE ＝AF ；②BD ︵ ＝CD ︵；③BE ＝CF ；④DF 为⊙O 的切线．其中正确的是__①②③__(填序号)．11．(原创题)如图，AB 为半⊙O 的直径，延长AB 到P ，使BP ＝12AB ，PC 切半⊙O 于点C ，点D 是弧AC 上和点C 不重合的一点，求∠BDC 的度数．解：连接OC ，则∠OCP ＝90°；∵BP ＝12AB ，∴OB ＝BP ＝OC ，即OP ＝2OC ，∴∠OPC ＝30°，∠POC ＝60°，∴∠BDC ＝12∠POC ＝30°.12．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D ．(1)求证：PO 平分∠APC ；(2)连接DB ，若∠C ＝30°，求证：DB ∥AC ．证明：(1)如图，连接OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，又OA ＝OB ，∴PO 平分∠APC ；(2)∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠CAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠C ＝30°，∴∠APC ＝90°－∠C ＝90°－30°＝60°，∵PO 平分∠APC ，∴∠OPC ＝12∠APC ＝12×60°＝30°，∴∠POB＝90°－∠OPC ＝90°－30°＝60°，又OD ＝OB ，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD ＝60°，∴∠DBP ＝∠OBP －∠OBD ＝90°－60°＝30°，∴∠DBP ＝∠C ，∴DB ∥AC ．13．(2018·明光二模)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，且CD ∥AB ．连接AC ，且AC ＝AB ．过点A 作⊙O 的切线AE 交CD 的延长线于点E .(1)求证：四边形ABCE 是平行四边形； (2)若AB ＝13，AE ＝10，求⊙O 的半径．(1)证明：延长AO 交BC 于F ，如图，∵OB ＝OC ，AB ＝AC ，∴OA 垂直平分BC ，∵AE 为切线，∴AE ⊥OA ，∴AE∥BC ，∵AB∥CD ，∴四边形ABCE 是平行四边形；(2)解：连接OB ，如图，∵四边形ABCE 是平行四边形，∴BC ＝AE ＝10，∵OA 垂直平分BC ，∴BF ＝CF ＝12BC ＝5，在Rt△ABF 中，AF ＝132－52＝12，设⊙O 的半径为r ，则OF ＝12－r ，OB ＝r ，在Rt △OBF 中，52＋(12－r )2＝r 2，解得r ＝16924，即⊙O 的半径为16924.14．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AC 为弦．过BC 延长线上一点G ，作GD ⊥AO 于点D ，交AC 于点E ，交⊙O 于点F ，M 是GE 的中点，连接CF ，CM.(1)判断CM 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若∠ECF ＝2∠A ，CM ＝6，CF ＝4，求MF 的长．解：(1)CM 与⊙O 相切．理由如下：连接OC ，如图，∵GD ⊥AO 于点D ，∴∠G ＋∠GBD ＝90°，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵M 点为GE 的中点，∴MC ＝MG ＝ME ，∴∠G ＝∠1，∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠2，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠O CM ＝90°，∴OC ⊥CM ，∴CM 为⊙O 的切线；(2)∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠5＋∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠5，而∠1＝∠G ，∠5＝∠A ，∴∠G ＝∠A ，∵∠4＝2∠A ，∴∠4＝2∠G ，而∠EMC ＝∠G ＋∠1＝2∠G ，∴∠EMC ＝∠4，而∠FEC ＝∠CEM ，∴△EFC ∽△E CM ，∴EF CE ＝CE ME ＝CF CM ，即EF CE ＝CE 6＝46，∴CE ＝4，EF ＝83，∴MF ＝ME －EF ＝6－83＝103.。