课标通用安徽省2019年中考数学总复习单元检测1数与式试题

1在2计算3一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）．45已知点6在某时段由7如图，在答案解析A.年B.年C.年D.年．据国家统计局数据，年全年国内生产总值为万亿，比年增长．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破万亿的年份是（）．8B年全年国内生产总值为：（万亿），年全年国内生产总值为：（万亿），∴国内生产总值首次突破万亿的年份是年．故选．答案解析A.，B.，C.，D.，已知三个实数，，满足，，则（）．9D ∵，，∴，，∴，∴，∴即，．故选．10如图，在正方形11计算12命题13如图，14在平面直角坐标系中，垂直于15解方程16如图，在边长为17为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中观察以下等式：18筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1920如图，点答案解析证明见解析．(1)．(2)∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，∴，同理得，在和中，∵,∴≌．(1)∵点在平行四边形内部，∴平行四边形，由（）知：≌，∴，∴四边形平行四边形，∵平行四边形的面积为，四边形的面积为，∴．(2)六、解答题（共12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格：编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮尺寸21∴抽到两种产品都是特等品的概率．七、解答题（共12分）答案解析一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点22求，，的值．(1)过点且垂直于轴的直线与二次函数的图象相交于，两点，点为坐标原点，记，求关于的函数解析式，并求的最小值．(2)；；．(1)．(2)由题意得，，解得，又∵二次函数顶点为，∴，把带入二次函数表达式得，解得．(1)由（）得二次函数解析式为，令，得∴，设，两点的坐标分别为，，则，∴，，∴当时，取得最小值．(2)八、解答题（共14分）如图，中，，，为内部一点，且．23∴，，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴．即：．。

{来源}2019年安徽省中考数学试卷{适用范围:3． 九年级}{标题}2019年安徽省中考数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题4，合计40分．{题目}1．（2019年安徽省1）在－2，－1，0，1这四个数中，最小的数是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．1{答案}A{解析}本题考查了有理数大小的比较，根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，这四个数中－2，－1较小，又根据两个负数大小比较方法，由于，所以，所以这四个数中－2最小，因此本题选A ．{分值}4{章节:[1-1-2-4]绝对值}{考点:有理数的大小比较}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019年安徽省2）计算a 3·(－a)的结果是（ ）A ．a 2B ．－a 2C ．a 4D ．－a 4{答案}D{解析}本题考查了幂的运算性质，a 3·(－a)＝－a 3＋1＝－a 4，因此本题选D ．{分值}4{章节:[1-14-1]整式的乘法}{考点:同底数幂的乘法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2019年安徽省3）一个由圆柱体和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）{答案}C{解析}本题考查了三视图的俯视图知识，该几何体的俯视图是选项C 中的平面图形，因此本题选C ．{分值}4{章节:[1-29-2]三视图}{考点:简单组合体的三视图}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}4．（2019年安徽省4）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为（ ）A ．1.61×109B ．1.61×1010C ．1.61×1011D ．1.61×1012{答案}B{解析}本题考查了科学记数法，161亿＝16100000000＝1.61×1010，因此本题选B ．{分值}412->-12-<-{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}5．（2019年安徽省5）已知点A （1，－3）关于x 轴的对称点A /在反比例函数y＝的图象上，则实数k 的值为（ ）A ．3B ．C ．－3D ．－{答案}A {解析}本题考查了轴对称的点的坐标特征及反比例函数表达式的确定，点A （1，－3）关于x 轴的对称点A /的坐标为（1，3），又A /（1，3）在反比例函数y ＝的图象上，所以3＝，k ＝3，因此本题选A ．{分值}4{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}{考点:反比例函数的解析式}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}6．（2019年安徽省6）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h ）为 （ ）A ．60B ．50C ．40D ．15{答案}C{解析}本题考查了条形统计图和众数的知识，由条形统计图可知，这组数据中出现次数最多的数据是40km/h ，因此本题选C ．{分值}4{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}{考点:条形统计图}{考点:众数}{类别:思想方法}{难度:3-中等难度}{题目}7．（2019年安徽省7）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝12，点D 在边BC 上，点E 在线段AD 上，EF ⊥AC 于点F ，EG ⊥EF 交AB 于点G ，若EF ＝EG ，则CD 的长为（ ）A ．3.6B ．4C ．4.8D ．5x k 3131x k 1k{答案}B{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质，过点D 作DM ⊥BC 交AB 于点M ，易证DC ＝DM ，设CD ＝x ，则DM ＝x ，又DM ∥AC ，所以△BDM ∽△BCA，所以，即，解得x ＝4，因此本题选B ．{分值}4{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}{考点:相似三角形的性质}{考点:由平行判定相似}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}8．（2019年安徽省8）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（ ）A ．2019年B ．2020年C ．2021年D ．2022年{答案}B{解析}本题考查了增长率问题，根据题意，2019年全年国内生产总值为90.3×(1＋6.6%)≈96.3万亿，2020年全年国内生产总值为90.3×（1＋6.6%）2≈102.7万亿＞100万亿，因此本题选B ．{分值}4{章节:[1-2-1]整式}{考点:代数式求值}{类别:高度原创}{难度:3-中等难度}{题目}9．（2019年安徽省9）已知三个实数a ，b ，c 满足a －2b ＋c ＝0，a ＋2b ＋c ＜0，则A ．b>0，b 2－ac ≤0B ．b ＜0，b 2－ac ≤0C ．b>0，b 2－ac ≥0D ．b ＜0，b 2－ac ≥0{答案}D{解析}本题考查了不等式的性质、整体思想和完全平方公式，由a －2b ＋c ＝0得2b ＝a ＋c ，又a ＋2b ＋c ＜0，所以4b ＜0，b ＜0，又b ＝，所以b 2－ac ＝()2－ac ＝AC DM BC BD =61212x x =-2c a +2c a +≥0，因此本题选D ．{分值}4{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}{考点:完全平方公式}{考点:不等式的性质}{考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质}{类别:高度原创}{难度:4-较高难度}{题目}10．（2019年安徽省10）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝12，点P 在正方形的边上，则满足PE ＋PF ＝9的点P 的个数是（ ）A ．0B ．4C ．6D ．8{答案}D{解析}本题考查了正方形的性质、勾股定理、最值问题以及分类讨论等知识，由AC ＝12，点E ，F 将对角线AC 三等分，求得AE ＝EF ＝FC ＝4，分四种情况：当点P 在AB上时，作点F 关于AB 的轴对称点G，连接EG 交AB 于点P ，此时PE ＋PF 的值最小，可求得最小值为4，而点P与点A 重合时，PE＋PF ＝4＋8＝12＞9，点P 与点B 重合时，PE ＋PF ＞12＞9，所以在AB 上满足条件的点有2个；同理，在BC ，CD ，DA 上满足条件的点P 分别有2个，所以满足条件的点P 一共有8个，因此本题选D ．{分值}4{章节:[1-18-2-3] 正方形}{考点:正方形的性质}{考点:勾股定理的应用}{考点:几何选择压轴}{类别:思想方法}{难度:5-高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，合计20分．{题目}11．（2019年安徽省11）的结果是{答案}3．{解析}＝＝3，因此本题填3．4)(44)(22c a ac c a -=-+95<9{分值}5分{章节:[1-16-2]二次根式的乘除}{考点:二次根式的除法法则}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}12．（2019年安徽省12）命题“如果a ＋b ＝0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为_____________________．{答案}如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0．{解析}本题考查了互逆命题，命题“如果a ＋b ＝0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题是“如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0．”．{分值}5分{章节:[1-17-2]勾股定理的逆定理}{考点:互逆命题}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}13．（2019年安徽省13）如图，△ABC 内接于☉O ，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，若☉O 的半径为2，则CD 的长为{答案}．{解析}本题考查了圆周角性质和解直角三角形的知识，连接CO 并延长交☉O 于点E ，连接AE ，则∠E ＝∠B ＝45°，∵CE 是☉O 的直径，∴∠CAE ＝90°，∵sin45°＝，∴AC ＝4，∵∠CAB ＝30°，CD ⊥AB 于点D ，∴CD ＝．{分值}5{章节:[1-24-1-4]圆周角}{考点:圆周角定理}{考点:直径所对的圆周角}{考点:特殊角的三角函数值}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}14．（2019年安徽省14）在平面直角坐标系中，垂直于x 轴的直线分别于函数y ＝x －a ＋1和y ＝x 2－2ax 的图像相交于P ，Q 两点．若平移直线，可以使P ，Q 都在x 轴的下方，则实数a 的取值范围是{答案}a ＞1或a ＜－1．2CE AC 2222=⨯221=AC l l{解析}本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，对于函数y ＝x 2－2ax 的图象是抛物线，抛物线的开口向上，与x 轴的交点坐标为（0，0）和（2a ，0），由题意知a ≠0，应分两种情况：（1）当a ＞0时，若平移直线，使得P ，Q 都在x 轴的下方，如图1，此时当x ＝0时，y ＝0－a ＋1＜0，解得a ＞1，故a ＞1；（2）当a ＜0时，若平移直线，使得P ，Q 都在x 轴的下方，此时当x ＝2a 时，y ＝2a －a ＋1＜0，解得a ＜－1，故a ＜－1．综上可得a ＞1或a ＜－1．{分值}5分{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}{考点:一次函数的图象}{考点:抛物线与一元二次方程的关系}{考点:代数填空压轴}{类别:思想方法}{难度:5-高难度}{题型:3-解答题}三、解答题：本大题共9小题，合计90分．{题目}15．（2019年安徽省15）解方程{解析}本题考查了一元二次方程的解法，根据平方根的意义求解即可．{答案}解：x －1＝，x －1＝2或x －1＝－2，∴x 1＝3，x 2＝－1．{分值}8分{章节:[1-21-2-1] 配方法}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:直接开平方法}{题目}16．（2019年安徽省16）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB ．（1）将线段AB 向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD ，请画出线段CD ．（2）以线段CD 为一边，作一个菱形CDEF ，且点E ，F 也为格点．（作出一个菱形即可）{解析}本题考查了利用网格的平移作图，（1）先画出点A ，B 平移后的对应点，然后连接即可；（2）根据菱形的判定方法，将线段CD 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度即可（本题答案不唯一）．{答案}解：l l 2x 1=4-（）4±{分值}8分{章节:[1-18-2-2]菱形}{难度:2-简单}{类别:网格作图}{考点:平移作图}{考点:菱形的判定}{题目}17．（2019年安徽省17）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？{解析}本题考查了一元一次方程的实际应用，可设乙工程队每天掘进x 米，根据题意列方程求得甲、乙工程队每天掘进的隧道长度，最后根据工程问题的数量关系求解．{答案}解：设乙工程队每天掘进x 米，则甲工程队每天掘进（x ＋2）米，根据题意得3（x ＋2）＋x ＝26，解得x ＝5，所以x ＋2＝7米．所以（146－26）÷（5＋7）＝10（天）答： 完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作10天．{分值}8{章节:[1-3-2-2]解一元一次方程（二）去括号与去分母}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:一元一次方程的应用（工程问题）}{题目}18．（2019年安徽省T18）观察以下等式:第1个等式:，第2个等式:，第3个等式:，第4个等式:，第5个等式:，……按照以上规律，解决下列问题：211=111+612132+=211=5315+211=7428+211=9545+（1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明．{解析}本题考查了数与式的规律探究，（1）观察给出的等式发现，等式左边是分数，分子都是2，分母依次是1，3，5，……，的连续奇数，等式右边是两个分数的和，每个分数的分子都是1，第1个分数的分母与等式的序号相同，第2个分数的分母是第1个分母与等式左边分数的分母的积，据此写出第6个等式；（2）根据（1）的规律写出第n 个等式，并根据分式的运算法则进行证明．{答案}解：（1）；（2）．证明：因为等式右边＝ ＝＝等式左边，所以猜想成立．{分值}8分{章节:[1-15-1]分式}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:两个分式的加减}{考点:规律－数字变化类}{题目}19．（2019年安徽省19）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O 为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB 长为6米，∠OAB ＝41．3°，若点C 为运行轨道的最高点（C ，O 的连线垂直于AB ），求点C 到弦AB 所在直线的距离．（参考数据：sin41．3°≈0．66，cos41．3°≈0．75，tan41．3°≈0．88）{解析}本题以传统文化为背景考查了垂径定理和解直角三角形的知识，连接CO 并延长交AB 于D ，先根据垂径定理求得AD ，再在Rt △AOD 中求得OD ，OA 即可．{答案}解：连接CO 并延长交AB 于D ， ∵OD ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝AB ＝3，∵cos41．3°＝，∴OA ≈＝4，∵tan41．3°＝，∴OD ＝3，∴CD ＝OC ＋OD ≈4＋2．64＝6．64（米）．即点C 到弦AB 所在直线的距离约为6．64米．66161112+=)12(11122-+=-n n n n )12(11-+n n n 122)12(112)12(11-=-+-=-+n n n n n n n 21OA AD 75.03ADOD 64.288.0≈⨯{分值}10分{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}{难度:3-中等难度}{类别:数学文化}{考点:垂径定理的应用}{考点:解直角三角形}{题目}20．（2019年安徽省20）如图，点E 在 ABCD 内部，AF ∥BE ，DF ∥CE ．（1）求证：△BCE ≌△ADF ；（2）设□ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T，求的值{解析}本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及四边形面积的计算等．（1）由平行四边形得到对边平行且相等，再根据已知条件证得角相等进而证得结论；（2）把四边形的面积转化为三角形的面积的和求得T ，并与S 向比较即可．{答案}解：（1）∵ ABCD ，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵AF ∥BE ，DF ∥CE ，∴∠EBC ＝∠FAD ，∠ECB ＝∠FDA ，∴ △BCE ≌△ADF ；（2）过点E 作EM ⊥BC 于M ，交AD 于N ，则MN ⊥AD ．由（1）△BCE ≌△ADF ，∴S △BCE ＝S △ADF ，∴T ＝S △ADE ＋S △ADF ＝S △ADE ＝S △BCE ＝，∵S ＝，∴＝＝2．{分值}10分{章节:[1-18-1-1]平行四边形的性质}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:平行四边形边的性质}S TMN AD EN NE AD EM BC NE AD ⨯=+⨯=⨯+⨯21)(212121MN AD ⨯S T MN AD MN AD ⨯⨯21{考点:全等三角形的判定ASA ，AAS}{题目}21．（2019年安徽省21）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：按照生产标准，产品等次规定如下：注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）仅算在内．（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm ．（Ⅰ）求a 的值（Ⅱ）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm ，另一组尺寸不大于9cm ，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．{解析}本题是统计与概率的综合题，考查了频率、中位数和等可能情况下概率的计算等知识．（1）先根据合格率求出合格品的个数，再进行判断；（2）（Ⅰ）先确定优等品产品的编号，再根据中位数概念求a 的值；（Ⅱ）先找到优等品中尺寸大于9cm 的编号和尺寸不大于9cm 的编号，用树状图或列表法分析求概率．{答案}解：（1）编号为⑮的产品不是合格品．理由：合格品有15×80%＝12个，表中编号①②产品为非合格品，所以编号为⑮的产品不是合格品；（2）（Ⅰ） 这批产品中优等品的编号为⑥⑦⑧⑨⑩○11，其中位数是编号⑧⑨的平均数，即9，a ＝9.02；（Ⅱ）大于9cm 的有⑨⑩○11，小于9 cm 的有⑥⑦⑧，其中特等品的为⑦⑧⑨⑩．画树状图为：共有9种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种，∴抽到两种产品都是特等品的概率．{分值}12分{章节:[1-25-2]用列举法求概率}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:中位数}{考点:频数与频率}{考点:两步事件不放回}=+298.8a 49P ={题目}22．（2019年安徽省22）一次函数y ＝kx ＋4与二次函数y ＝ax 2＋c 的图像的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图像的顶点（1）求k ，a ，c 的值；（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y ＝ax 2＋c 的图像相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W ＝OA 2＋BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值．{解析}本题考查了一次函数与二次函数表达式的确定、二次函数最值的确定等．（1）把点（1，2）代入y ＝kx ＋4确定k 的值，根据二次函数y ＝ax 2＋c 的图像经过点（1，2）和顶点（0，c ）在直线y ＝－2x ＋4上建立关于a ，c 的方程组求解；（2）先用含m 的代数式表示点B ，C 之间的距离，再根据条件建立W 关于x 的二次函数关系并用配方法求W 的最小值．{答案}解：（1）由题意得，k ＋4＝－2，解得k ＝－2，又二次函数顶点为（0，c ），根据题意得，解得a ＝－2，c ＝4；（2）由（1）得二次函数解析式为y ＝－2x 2＋4，令y ＝m ，得2x 2＋m －4＝0∴，即B ，C两点的坐标分别为（，m ）（－，m ），则2，∴W ＝OA 2＋BC 2＝，又抛物线开口向上，且0＜m ＜4，∴当m ＝1时，W 取得最小值7．{分值}12{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}{难度:4-较高难度}{类别:高度原创}{考点:待定系数法求一次函数的解析式}{考点:二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质}{考点:其他二次函数综合题}{题目}23．（2019年安徽省23如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 为△ABC 内部一点，且∠APB ＝∠BPC ＝135°（1）求证：△PAB ∽△PBC ；（2）求证：PA ＝2PC ；（3）若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为h 1，h 2，h 3，求证h 12＝h 2·h 3．⎩⎨⎧+==c a c 24x=24m -24m -=BC 24m -2224-m m 4=m -2m+8=m-172+⨯+（）{解析}本题以等腰直角三角形为背景考查了相似三角形的判定与性质，以及运用相似三角形的性质解决数学问题．（1）通过证两个角对应相等得到相似三角形；（2）由（1）中的相似三角形得到对应边成比例，分别建立PA ，CP 与PB 之间的关系得证；（3）分别作点P 到AC ，BC 之间的距离，通过证Rt △AEP ∽Rt △CDP 得到h 3与h 2之间的关系，由（1）的结论得到h 1与h 2的关系，通过变形得出结论．{答案}解：（1）∵∠ACB ＝90°，AB ＝BC ，∴∠ABC ＝45°＝∠PBA ＋∠PBC ，又∠APB ＝135°，∴∠PAB ＋∠PBA ＝45°，∴∠PBC ＝∠PAB ，又∵∠APB ＝∠BPC ＝135°，∴△PAB ∽△PBC ；（2）在Rt △ABC 中，AB ＝AC，∴，由（1）得△PAB∽△PBC ∴＝，∴PB ＝PC ，PA ＝PB ， ∴PA ＝2PC ；（3）过点P 分别作PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E．∵∠CPB ＋∠APB＝135°＋135°＝270°∴∠APC ＝90°，∴∠EAP ＋∠ACP ＝90°，又∵∠ACB ＝∠ACP ＋∠PCD ＝90°∴∠EAP ＝∠DCP ，∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ，∴，即，∴由（1）得△PAB ∽△PBC ，∴，即．{分值}14{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}{难度:5-高难度}{类别:高度原创}{考点:相似三角形的判定（两角相等）}{考点:相似三角形的性质}{考点:几何综合}AB BCPA PB AB ==PB PC BC 222PE AP ==2DP PC 32h =2h 32h =2h 1122h AB =h h BC22122223h =2h =2h h =h h。

中考数学复习《数与式》考点及测试题（含答案）【专题分析】本专题的主要考点有实数的有关概念，科学记数法，非负数的性质，实数的运算；幂的运算，整式的运算，因式分解；分式的概念，分式的加减，分式的混合运算；二次根式的有关概念，二次根式的性质，二次根式的运算等．中考中数与式的考查一般以客观张题为主，但分式的化简求值经常有开放型题目．数与式的考查常见题型以选择题或填空题为主，整式和分式的化简求值一般以解答题的形式进行考查．数与式在中考中所占比重约为20%～25%. 【解题方法】解决数与式问题的常用方法有数形结合法，特殊值法，分类讨论法，整体代入法，设参数法，逆向思维法等. 【知识结构】【典例精选】：计算：2－1－3tan 60°＋(π－2 015)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12.【思路点拨】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、零次幂以及绝对值的概念计算即可．【自主解答】解：原式＝12－3×3＋1＋12＝－1.把x 2y －2y 2x ＋y 3分解因式正确的是( )A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y)C．y(x－y)2 D．y(x＋y)2【思路点拨】首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解即可．答案：C规律方法：利用两种方法结合的分解因式题目，提公因式后不要忘记利用公式法二次分解，分解因式要在规定的范围内分解彻底.先化简，再求值：(x＋3)(x－3)＋2(x2＋4)，其中x＝ 2.【思路点拨】原式第一项利用平方差公式展开，第二项去括号，合并同类项得到最简结果，将x的值代入计算即可求出代数式的值．【自主解答】解：原式＝x2－9＋2x2＋8＝3x2－1.当x＝2时，原式＝3×(2)2－1＝5.规律方法：整式的计算，要根据算式的特点选择合适的方法，可先选择乘法公式展开，然后合并；或先因式分解，然后计算.先化简，再求值：m－33m2－6m÷⎝⎛⎭⎪⎫m＋2－5m－2，其中m是方程x2＋3x＋1＝0的根．【思路点拨】在化简时要先算括号里面的，再把除法变为乘法，然后分解因式并约分，最后相乘．【自主解答】解：原式＝m－33m m－2÷m2－9m－2＝m－33m m－2×m－2m＋3m－3＝13m m＋3.∵m是方程x2＋3x＋1＝0的根，∴m2＋3m＋1＝0，∴m2＋3m＝－1，即m(m＋3)＝－1，∴原式＝13×－1＝－13.规律方法：1.本题采用了整体代入法求解，这是求代数式的值常用的方法，体现了整体思路的应用.2.分式的化简求值是先化简，再求值；化简时一定要化到最简，结果是最简分式或整式.【能力评估检测】一、选择题1．已知空气的单位体积质量是0.001 239 g/cm 3，则用科学记数法表示该数为( A )A ．1.239×10－3g/cm 3B ．1.239×10－2 g/cm 3C ．0.123 9×10－2 g/cm 3D ．12.39×10－4 g/cm 3 2．下列运算错误的是( B )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1 B ．x 2＋x 2＝2x 4C ．|a |＝|－a | D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 23＝b3a63．下列运算错误的是( D )A.a －b 2b －a2＝1 B.－a －ba ＋b＝－1 C. 0.5a ＋b 0.2a －0.3b ＝5a ＋10b 2a －3b D. a －b a ＋b ＝b －a b ＋a4．下列二次根式中，不能与2合并的是( C ) A.12B. 8C. 12D.18 5．若m ＝22×(－2)，则有( C )A ．0<m <1B ．－1<m <0C ．－2<m <－1D ．－3<m <－26．(2015·绍兴鲁迅中学模拟)下列三个分式12x 2，5x －14m －n ，3x的最简公分母是( D )A ．4(m －n )xB ．2(m －n )x 2C. 14x2m －nD ．4(m －n )x 27．已知x －1x ＝3，则4－12x 2＋32x 的值为( D )A ．1 B. 32 C. 52 D. 72【解析】把x －1x ＝3两边同乘x ，得x 2－1＝3x ，即x 2－3x ＝1，所以4－12x 2＋32x ＝4－12(x 2－3x )＝4－12×1＝72. 8．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x 的值为( )A ．135B ．170C ．209D ．252【解析】观察前四个表格中的数字，第1个表格中 9＝2×4＋1，第2个表格中20＝3×6＋2，第3个表格中35＝4×8＋3，第4个表格中54＝5×10＋4，且每个表格中左下角的数字是右上角数字的一半，左上角的数字比左下角数字小1，所以b ＝12×20＝10，a ＝b －1＝9，x ＝20×10＋9＝209.故选C.答案: C9.实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a －b |的结果为( C )A ．a ＋bB ．a －bC ．b －aD ．－a －b【解析】由图可知，a <0，b >0，所以a －b <0，所以 |a －b |＝－(a －b )，C 正确．10．如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为 (a ＋2)的小正方形(a ＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( C )第1个 第2个 第3个 第4个 … … …A ．a 2＋4B ．2a 2＋4aC ．3a 2－4a －4D ．4a 2－a －2【解析】平行四边形的面积为(2a )2－(a ＋2)2＝4a 2－(a 2＋4a ＋4)＝4a 2－a 2－4a －4＝3a 2－4a －4.故选C.11．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x ＋1x(x >0)的最小值是2”，其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边的长为1x，矩形的周长为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ；当矩形成为正方形时，就有x ＝1x (x >0)，解得x ＝1.这时矩形的周长2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝4最小， 因此x ＋1x (x >0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子x 2＋9x(x >0)的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．10【解析】∵x >0，∴在原式中分母分子同除以x ，即x 2＋9x ＝x ＋9x ，在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长为9x ，矩形的周长为2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋9x ；当矩形成为正方形时，就有x ＝9x (x >0)，解得x ＝3.这时矩形的周长2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋9x ＝12最小，因此x ＋9x(x >0)的最小值是6.故选C.答案: C 二、填空题12．分解因式：9x 3－18x 2＋9x ＝9x (x －1)2 . 13．若式子2－xx有意义，则实数x 的取值范围是x ≤2且x ≠0 .14．计算：－36＋214＋327＝－32. 15．已知(a ＋6)2＋b 2－2b －3＝0，则2b 2－4b －a 的值为12.【解析】由题意知，∵(a ＋6)2≥0，b 2－2b －3≥0.而(a ＋6)2＋b 2－2b －3＝0，∴(a ＋6)2＝0且b 2－2b －3＝0.整理，得a ＝－6，b 2－2b ＝3，∴2b 2－4b －a ＝2(b 2－2b )－a ＝2×3－(－6)＝12.三、解答题16．计算：||－3－12＋2sin 60°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1.解：原式＝3－23＋2×32＋3＝3. 17．先化简，再求值：(x ＋y )(x －y )－(4x 3y －8xy 3)÷2xy ，其中x ＝－1，y ＝33. 解：原式＝x 2－y 2－2x 2＋4y 2＝－x 2＋3y 2. 当x ＝－1，y ＝33时，原式＝－1＋1＝0. 18．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ＋2÷x 2＋2x ＋1x ＋2，其中x ＝3－1. 解：原式＝x ＋1x ＋2÷x ＋12x ＋2＝x ＋1x ＋2·x ＋2x ＋12＝1x ＋1. 当x ＝3－1时，原式＝13－1＋1＝13＝33.19．探究下面的问题：(1)在图甲中，阴影部分的面积和为a 2－b 2(写成两数平方差的形式)； (2)将图甲中的第①块割下来重新与第②块拼成如图乙所示的一个长方形，那么这个长方形的长是a ＋b ，宽是 a －b ，它的面积是(a ＋b )(a －b )(写成两个多项式的形式)；(3)由这两个图可以得到的乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2(用式子表示)；(4)运用这个公式计算：(x －2y ＋3z )(x ＋2y －3z )．(x －2y ＋3z )(x ＋2y －3z )＝[x －(2y －3z )]·[x ＋(2y －3z )]＝x 2－(2y －3z )2＝x 2－4y 2＋12yz －9z 2.20．如果10b ＝n ，那么b 为n 的劳格数，记为b ＝d (n )，由定义可知：10b＝n 与b ＝d (n )所表示的b ，n 两个量之间的同一关系．(1)根据劳格数的定义，填空：d (10)＝1，d (10－2)＝－2； (2)劳格数有如下运算性质：若m ，n 为正数，则d (mn )＝d (m )＋d (n )，d ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ＝d (m )－d (n )．根据运算性质，填空：d a 3d a＝3(a 为正数)，若d (2)＝0.301 0，则d (4)＝0.602 0，d (5)＝0.6990，d (0.08)＝－1.097.(3)如表中与数x 对应的劳格数d (x )有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正.x 1.5 3 5 6 8 9 12 27 d (x ) 3a －b ＋c 2a －ba ＋c1＋a －b －c3－3a －3c4a －2b3－b －2c6a －3b解：(1)1 －2(2)d a 3d a ＝3d a d a＝3.由运算性质可得，d (4)＝0.602 0，d (5)＝d (10)－d (2)＝ 1－0.301 0＝0.699 0，d (0.08)＝－1.097.(3)若d (3)≠2a －b ，则d (9)＝2d (3)≠4a －2b ，d (27)＝3d (3)≠6a －3b ，从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，∴d (3)＝2a －b ；若d (5)≠a ＋c ，则d (2)＝1－d (5)≠1－a －c ， ∴d (8)＝3d (2)≠3－3a －3c ，d (6)＝d (3)＋d (2)≠1＋a －b －c ，表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．∴d(5)＝a＋c.∴表中只有d(1.5)和d(12)的值是错误的，应纠正为：d(1.5)＝d(3)＋d(5)－1＝3a－b＋c－1，d(12)＝d(3)＋2d(2)＝2－b－2c.。

2019年中考数学精品专题复习第一章 数与式第一讲 实数及有关概念★★★核心知识回顾★★★知识点一、实数的分类 1．按实数的定义分类：⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎩⎪⎩整数有限小数或无限循环小数有理数实数：无限不循环小数 2．按实数的正负分类：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正实数正无理数实数零负有理数负实数知识点二、实数的基本概念和性质1．数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴，实数和数轴上的点是一一对应的。

2．相反数：（1）只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ； （2）a+b=0⇔a 、b 互为 ；（3）在数轴上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离 。

3．倒数：（1）乘积为 的两个数互为倒数，用数学语言表述为：1ab =，则a ，b 互为 ； （2）1和 的倒数还是它本身， 没有倒数。

4．绝对值：（1）一般地，数轴上表示数a 的点与原点的 叫做数a 的绝对值。

（2）(0)||0(0)(0)a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩（3）因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 和 。

知识点三、平方根、算术平方根、立方根 1．平方根： （1）一般地，如果一个数的 等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根或二次方根，记作 ； （2）正数的平方根有两个，它们互为 ，0的平方根为 ， 没有平方根。

2．算术平方根：（1）一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，记作 ；（2）正数的算术平方根为 ，0的算术平方根为 。

3．立方根： （1）一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根或三次方根，记作 ； （2）正数的立方根为 ， 0的立方根为 ，负数立方根为 ；每个实数有且只有一个立方根。

知识点四、科学记数法科学记数法：把一个较大或较小的数写成写成10na ⨯的形式（其中a 大于或等于1且小于10，n 是正整数），使用的是科学记数法。

第3课时代数式与整式数式规律：列代数式整式运算1.（2018·毕节中考）下列运算正确的是（C）A.（－a＋b）（a－b）×a2－b2＝a2－b2B.a3＋a4＝a7C.a3·a2＝a5D.23＝62.（2014·毕节中考）下列运算正确的是（D）A.π－3.14＝0B.2＋3＝ 5C.a·a＝2aD.a3÷a＝a23.（2014·毕节中考）若－2a m b4与5a n＋2b2m＋n可以合并成一项，则m n的值是（D）A.2B.0C.－1D.1规律探索与列代数式4.（2014·毕节中考）观察下列一组数：14，39，516，725，936，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是2n－1（n＋1）2Ｗ.毕节中考考点梳理代数式和整式的有关概念1.代数式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和字母连接而成的式子叫做代数式.2.代数式的值用 具体数值 代替代数式中的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值. 温馨提示（1）在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出代数式；（2）列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言和、差、积、商、乘以、除以等在数学语言中的含义；（3）注意书写规则：a×b 通常写作a·b 或ab ；1÷a 通常写作1a ；数字通常写在字母前面，如a×3通常写作3a ；带分数一般写成假分数，如115a 通常写作65a ；（4）求代数式的值的方法主要有两种：一种是直接代入法；另一种是整体代入法.对于整体代入求值的，要注意从整体上分析已知代数式与欲求代数式之间结构的异同，从整体上把握解题思路，寻求解题的方法.整式的相关概念整式的运算1.（2015·毕节中考）下列计算正确的是（ C ）A .a 6÷a 2＝a 3B .a 6·a 2＝a 12C .（a 6）2＝a 12D .（a －3）2＝a 2－92.（2017·黔东南模拟）下列运算正确的有（ C ）A .5ab －ab ＝4B .32－2＝3C .a 6÷a 3＝a 3D .1a ＋1b ＝2a ＋b3.（2018·安顺模拟改编）如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1； ∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…；∠A 2 019BC 和∠A 2 019CD 的平分线交于点A 2 020，则∠A 2 020＝ m 22 020°.4.（2018·自贡中考改编）观察下列图中的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 019个图形共有 6 058 个○.5.（2018·宁波中考）先化简，再求值： （x －1）2＋x （3－x ），其中x ＝－12.解：原式＝x 2－2x ＋1＋3x －x 2＝x ＋1.当x ＝－12时，原式＝－12＋1＝12.中考典题精讲精练整式运算例1 （2017·毕节中考）下列计算正确的是（ D ）A .a 3·a 3＝a 9B .（a ＋b ）2＝a 2＋b 2C .a 2÷a 2＝0D .（a 2）3＝a 6【解析】A .根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，a 3·a 3＝a 6，计算不正确；B .根据完全平方公式，（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，计算不正确；C .根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，a 2÷a 2＝a 0＝1，计算不正确；D .根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，（a 2）3＝a2×3＝a 6，计算正确.求代数式的值例2 （2018·贵阳中考）当x ＝－1时，代数式3x ＋1的值是（ B ）A .－1B .－2C .4D .－4【解析】把x ＝－1代入3x ＋1，得3×（－1）＋1，计算得出结果.规律探索例3 （2018·毕节模拟）将正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对（m ，n ）表示从上到下第m 排，从左到右第n 个数，如（4，2）表示整数8，则（62，55）表示的数是 1 946 Ｗ.【解析】若用有序数对（m ，n ）表示从上到下第m 排，从左到右第n 个数，由图中给出的有序数对和（4，2）表示整数8可得，（4，2）＝（4－1）×42＋2＝8，（3，1）＝（3－1）×32＋1＝4，（4，4）＝（4－1）×42＋4＝10，….由此可以发现，对所有有序数对（m ，n ）（其中n≤m）表示的整数为（1＋2＋3＋…＋m －1）＋n ＝（m －1）·m2＋n. 所以，（62，55）＝（62－1）×622＋55.1.（2016·毕节中考）下列运算正确的是（ D ）A .－2（a ＋b ）＝－2a ＋2bB .（a 2）3＝a 5C .a 3÷4a ＝14a 3 D .3a 2·2a 3＝6a 52.（2018·成都中考）下列计算正确的是（ D ）A .x 2＋x 2＝x 4B .（x －y ）2＝x 2－y 2C .（x 2y ）3＝x 6yD .（－x ）2·x 3＝x 53.（2018·海口模拟）已知m －2n ＝－1，则代数式1－2m ＋4n 的值是（ D ）A .－3B .－1C .2D .34.（2018·安顺中考）若x 2＋2（m －3）x ＋16是关于x 的完全平方式，则m ＝ 7或－1 Ｗ.5.（2017·毕节中考改编）观察下列运算过程： 计算：1＋2＋22＋…＋210. 解：设S ＝1＋2＋22＋…＋210，① ①×2，得2S ＝2＋22＋23＋…＋211，② ②－①，得S ＝211－1.所以，1＋2＋22＋…＋210＝211－1. 运用上面的计算方法计算：1＋3＋32＋…＋32 019＝32 020－12Ｗ.6.（2018·毕节模拟）已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n ，C n 在圆上.如图1，当n ＝1时，正三角形的边长a 12，当n ＝2时，正三角形的边长a 2＝13 ；如图3，正三角形的边长a n ＝ 3n ＋1（用含n 的代数式表示）.。

单元检测(一) 数与式(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(xx·陕西)-的倒数是()A. B.- C. D.-答案D2.(xx·江苏盐城)下列运算正确的是()A.a2+a2=a4B.a3÷a=a3C.a2·a3=a5D.(a2)4=a6答案C3.(xx·山东聊城)在运算速度上,已连续多次获得世界第一的神威太湖之光超级计算机,其峰值性能为12.5亿亿次/秒,这个数据以亿次/秒为单位使用科学记数法可以表示为()A.1.25×108亿次/秒B.1.25×109亿次/秒C.1.25×1010亿次/秒D.12.5×108亿次/秒答案B解析12.5亿=12.5×108=1.25×109.4.(xx·山东枣庄)实数a,b,c,d在数轴上的位置如图所示,下列关系式不正确的是()A.|a|>|b|B.|ac|=acC.b<dD.c+d>0答案B解析由数轴可知实数a在实数b的左边离原点较远,所以|a|>|b|,故A正确.5.(xx·河北)若2n+2n+2n+2n=2,则n=()A.-1B.-2C.0D.答案A解析∵2n+2n+2n+2n=4×2n=22×2n=2n+2=2,∴n+2=1.∴n=-1.故选A.6.(xx·山东淄博)与最接近的整数是()A.5B.6C.7D.8答案B解析在6和7之间,且非常接近6的平方36,从而答案选B.7.化简(a+1)÷·a2的结果是()A.-a3B.1C.a3D.-1答案C解析根据分式的运算法则进行运算时,要注意运算顺序.原式=(a+1)÷·a2=(a+1)··a2=a3.8.(xx·桐城二模)下列计算错误的是()A. B.=3C. D.答案D9.(xx·浙江绍兴)利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统,图2是某个学生的识别图案,黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号,其序号为a×23+b×22+c×21+d×20.如图2第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5,表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是()〚导学号16734149〛答案B解析A:1×23+0×22+1×21+0×20=10;B:0×23+1×22+1×21+0×20=6;C:1×23+0×22+0×21+1×20=9;D:0×23+1×22+1×21+1×20=7,只有选项B表示6班,故选B.10.(xx·重庆B卷)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第①个图形中有3张黑色正方形纸片,第②个图形中有5张黑色正方形纸片,第③个图形中有7张黑色正方形纸片,…,按此规律排列下去,第⑥个图形中黑色正方形纸片的张数为()A.11B.13C.15D.17答案B解析根据第1个图形中小正方形的个数为2×1+1,第2个图形中小正方形的个数为2×2+1,第3个图形中小正方形的个数为2×3+1,……,第n个图形中小正方形的个数为2n+1,故第6个图形中小正方形的个数为2×6+1=13,故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.(xx·甘肃白银)使得代数式有意义的x的取值范围是.答案x>312.(xx·辽宁沈阳)因式分解:3x3-12x=.答案3x(x+2)(x-2)13.(xx·山东潍坊)用教材中的计算器进行计算,开机后依次按下3x2=,把显示结果输入如下的程序中,则输出的结果是.答案7解析按下3x2=后,得32=9,9÷3-=3->1,故输出(3-)(3+)=7.14.(xx·安徽铜陵一模)设y=kx,存在实数k,使得代数式(x2-y2)(4x2-y2)+3x2(4x2-y2)能化简为x4,则满足条件的k=.答案±或±解析(x2-y2)(4x2-y2)+3x2(4x2-y2)=(4x2-y2)(x2-y2+3x2)=(4x2-y2)2,当y=kx,原式=(4x2-k2x2)2=(4-k2)2x4,令(4-k2)2=1,解得k=±或±,即当k=±或±时,原代数式可化简为x4.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.(xx·江苏扬州)计算:+|-2|+tan 60°.解原式=2+2-=4.16.(xx·安庆桐城模拟)计算:2.解原式=2-2=2-2=-.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.(xx·安徽芜湖二模)定义一种新运算:x y=,如:2 1==2,求(4 2) (-1)的值.解4 2==2,2 (-1)==0.故(4 2) (-1)=0.18.(xx·湖北宜昌)先化简,再求值:x(x+1)+(2+x)(2-x),其中x=-4.解原式=x2+x+4-x2=x+4.当x=-4时,原式=-4+4=.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.(xx·安徽铜陵一模)我们把完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2移项,可得:a2+b2=(a+b)2-2ab或a2+b2=(a-b)2+2ab.用这两个等式解决某些问题能起到意想不到的效果.如:已知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值.由上式解:a2+b2=(a+b)2-2ab= 52-2×3=19.请你试试解决以下问题:(1)已知a+=6,则a2+=;(2)已知a-b=2,ab=3,求a4+b4的值.解(1)34a2+-2=36-2=34.(2)∵(a-b)2=a2+b2-2ab,∴a2+b2=(a-b)2+2ab=4+6=10.∴a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=100-18=82.20.(xx·青海)先化简,再求值:,其中m=2+.解.当m=2+时,原式==1+.〚导学号16734150〛六、(本题满分12分)21.(xx·云南)观察下列各个等式的规律:第一个等式:=1,第二个等式:=2,第三个等式:=3…请用上述等式反映出的规律解决下列问题:(1)直接写出第四个等式;(2)猜想第n个等式(用n的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的.解(1)由题目中式子的变化规律可得,第四个等式是:=4;(2)第n个等式是:=n,证明:∵===n,∴第n个等式是:=n.七、(本题满分12分)22.(xx·湖北随州)我们知道,有理数包括整数、有限小数和无限循环小数,事实上,所有的有理数可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数),那么无限循环小数如何表示为分数形式呢?请看以下示例:例:将0.化为分数形式,由于0.=0.777…,设x=0.777…,①则10x=7.777….②②-①得9x=7,解得x=,于是得0..同理可得0.,1.=1+0.=1+.根据以上阅读,回答下列问题:(以下计算结果均用最简分数表示)【基础训练】(1)0.=,5.=;(2)将0.化为分数形式,写出推导过程;【能力提升】(3)0.=,2.0=;(注:0.=0.315 315…,2.0=2.018 18…)【探索发现】(4)①试比较0.与1的大小:0.1(填“>”“<”或“=”)②若已知0.85 71,则3.14 28=.(注:0.85 71=0.285 714 285 714…)解(1)由于0.=0.555…,设x=0.555…,①则10x=5.555….②②-①得9x=5,解得x=,于是得0..同理可得5.=5+0.=5+.故答案为.(2)由于0.=0.2323…,设x=0.2323…,①则100x=23.2323….②②-①得99x=23,解得x=,∴0..(3)由于0.=0.315315…,设x=0.315315…,①则1000x=315.315315….②②-①得999x=315,解得x=,于是得0..设x=2.0,则10x=20.③1000x=xx.④④-③得990x=1998,解得x=,于是得2.0.故答案为.(4)①由于0.=0.999...,设x=0.999...,Ⅰ则10x=9.999. (Ⅱ)Ⅱ-Ⅰ得9x=9,解得x=1,于是得0.=1.②3.1428=3+0.1428=3+1000×-285=.故答案为①=,②.八、(本题满分14分)23.(xx·山东枣庄)我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解.并规定:F(n)=.例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12-1>6-2>4-3,所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)=.(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方,我们称正整数m是完全平方数.求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;(2)如果一个两位正整数t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36,那么我们称这个数t为“吉祥数”,求所有“吉祥数”; (3)在(2)所得“吉祥数”中,求F(t)的最大值.(1)证明对任意一个完全平方数m,设m=n2(n为正整数),∵|n-n|=0,∴n×n是m的最佳分解,∴对任意一个完全平方数m,总有F(m)==1;(2)解设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t',则t'=10y+x,∵t是“吉祥数”,∴t'-t=(10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=36,∴y=x+4,∵1≤x≤y≤9,x,y为自然数,∴满足“吉祥数”的有:15,26,37,48,59;(3)解F(15)=,F(26)=,F(37)=,F(48)=,F(59)=,∵,∴所有“吉祥数”中,F(t)的最大值为.〚导学号16734151〛。