高中数学(理)一轮复习课件：第5章 第32讲 向量的概念与线性运算

[示例2] (2011·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标 系中两两不同的四点，若A→1A3＝λA→1A2(λ∈R)，A→1A4＝μA→1A2(μ
∈R)，且
1 λ
＋
1 μ
＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上
的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是( )
A．C可能是线段AB的中点
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(5)相等向量：长度□13 ______且方向□14 ______的向量． (6)相反向量：长度□15 ______且方向□16 ______的向量．
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2．向量的加法和减法 (1)加法： ①法则：服从三角形法则、平行四边形法则． ②运算性质：
a＋b＝□17 __________(交换律)；
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审题：关键条件：a⊙b＝mq－np，选的是错误的． 方法：逐一验算
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求解：a⊙b＝mq－np，b⊙a＝np－qm，只有当mq－np ＝0时，a⊙b＝b⊙a，故B错误．
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反思：本题中的定义运算较易理解，但运算量较大，注 意细心认真．
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解析：①②正确，③④错误． 答案：①②
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考点二 平面向量的线性运算 [例2] 如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的
中点，则( )
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A.A→D＋B→E＋C→F＝0 B.B→D－C→F＋D→F＝0 C.A→D＋C→E－C→F＝0 D.B→D－B→E－F→C＝0
1 λ
＋
1 μ
＞2，不成
立，若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，

[解] (1)3a＋b－2c＝3×(3,2)＋(－1,2)－2×(4,1)＝(9,6) ＋(－1，2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc， ∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)，
∴－ 2mm＋＋n4＝n2＝3 ，解得nm＝＝8995
点，直线 AB 上有一点 C，满足 2A→C＋C→B＝0，则O→C等于
A．2O→A－O→B
B．－O→A＋2O→B
()
C.32O→A－31O→B
D．－13O→A＋23O→B
解析：解法一：如图： ∵2A→C＋C→B＝0， ∴A→C＝－A→B， ∴O→C＝O→A＋A→C＝O→A－A→B ＝O→A－(O→B－O→A) ＝2O→A－O→B.
(1)求3a＋b－2c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (4)若d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.
[分析] (1)直接用向量加减法的坐标运算公式． (2)借助于向量相等的条件，建立关于m，n的方程组． (3)利用向量共线的充要条件，建立关于实数k的充要条 件． (4)利用(d－c)∥(a＋b)及|d－c|＝1建立关于x，y的方程 组．
解得x＝4＋
5 5
或x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2 5 5
∴d＝(20＋5 5，5＋52 5)或 d＝(20－5 5，5－52 5)．
[规律总结] 向量的坐标表示实际上就是向量的代数表 示．在引入向量的坐标表示后，可以使向量的运算完全化为 代数运算．这样就可以将“形”和“数”紧密结合在一起．因此， 很多几何问题，特别是像共线、共点等较难问题的证明，通 过建立坐标系，设出点的坐标就可转化为坐标运算来解 决．如：要证平行，只需相关向量共线；要证垂直，只需相 关向量数量积等于0.

两向量不能比较大小
2.向量的线性运算
栏目索引
向量运算的常用结论
(1)在△ABC中,D是BC的中点,则 AD= 1( AC+ AB);
2



(2)O为△ABC的重心的充要条件是 OA+ OB+ OC=0;



(3)四边形ABCD中,E为AD的中点,F为BC的中点,则 AB+ DC =2 EF .
典例1 给出下列命题:
(1)若|a|=|b|,则a=b;


(2)若A、B、C、D是不共线的四点,则 AB= DC 是四边形ABCD为平行四
边形的充要条件;
(3)若a=b,b=c,则a=c;
(4)两向量a、b相等的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
(5)如果a∥b,b∥c,那么a∥c.
其中假命题的个数为 ( B )
向量由方向和长度确定,不受位 置影响
零向量 长度为⑤ 0 的向量;其方向是任意的 单位向量 长度等于⑦ 1个单位 的向量
记作⑥ 0
a
|a|
非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向⑧ 相同或相反 的非零向量
0与任一向量⑩ 平行 或共
共线向量 ⑨ 方向相同或相反 的非零向量又叫做共线向 线
量
相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量
C

AB
∥ CD
包含 AB
所在的直线与 CD
所在的直线平行和重合两
种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;零
向量长度为0,故C正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以
是所在直线互相平行的向量,故D错.
2.(2016北京西城期末)设M是△ABC所在平面内一点,且 BM= MC,则 AM

a-b=a+(-b)
λ(μa)= λμa ; (λ+μ)a= λa+μa ; λ(a+b)= λa+λb
-8知识梳理 双基自测
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3.向量共线定理 (1)向量b与a(a≠0)共线当且仅当有唯一一个实数λ,使 b=λa 得 . 注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性. (2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有
且只有一个实数 λ,使得������������=(1-λ)������������+λ������������.
-9知识梳理 双基自测
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4.两个结论 (1)P 为线段 AB 的中点⇔������������ =
1 (������������ + ������������); 2
(2)G 为△ABC 的重心⇔������������ + ������������ + ������������ =0.
第五章 平面向量、数系的扩充 与复数的引入
-2-
5.1
平面向量的概念及线性运算
-4知识梳理 双基自测
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1.向量的有关概念
名称 定 向量 义 备 注 既有 大小 又有 方向 的量;向量AB的大 小叫做向量的 长度 (或 模 ),记作|AB| 的向量;其方向是任意的 平面向量是自 由向量 记作 0 非零向量 a 的 单位向量为 ±|������ |
三角形法则
平行四边形法则
-7知识梳理 双基自测
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向量运算 定
义
法则(或几何意义)