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季度工作总结分析工作失误收获真知一、前言这一季度的工作，让我体验到了工作中的得与失。
在工作中的种种失误中，我不但汲取了许多真知，更在汲取真知的同时得到了很多的进步和收获。
下面将分析我本季度工作过程中的失误与收获。
二、工作失误1. 绩效管理方面的失误在业务部门内执行绩效管理制度方面，我们没有做好许多细节上的环节。
直接导致绩效管理制度的落地困难。
还有在指标管理上也有不小的失误，我们只是简单地衡量完成了哪些事项，同时没有将重点放在这些工作带来的收益或成果上。
2. 市场调查失误在市场调查方面的失误主要体现在两个方面：一是信息的搜集，二是数据的分析。
在搜集信息时，我们没有充分考虑到可靠性和有效性问题，在分析数据时也没有充分重视数据背后的实际含义，这让我们在市场调查中受到了很大的制约，也让我们对市场的了解不够透彻。
3. 人员管理失误人员管理是组织中非常重要的一个方面，我在本季度的工作中也出现了不少失误。
人员管理方面的失误主要表现在管理沟通上，我们没有做到清晰的沟通、及时的反馈、个性化的管理等方面。
这给了一些员工很大的困扰，也影响到了工作的进展。
三、工作收获1. 多角度思考问题在本季度的工作中，我开始尝试从不同的角度思考问题。
无论是在与同事之间的协作中，还是在工作推进的过程中，深度思考成为了一种习惯。
这让我能够更快地解决问题，更有建设性地为组织做出贡献。
2. 完善绩效管理制度在前面提到了本季度在绩效管理方面的失误，但同时我们的失误也让我们找到问题的症结所在，对于绩效管理制度的完善提供了思路与方向。
我们正计划出发制定一套更为科学有效的绩效管理系统，这对于未来部门的运作将大有裨益。
3. 更好的数据分析经历本季度的市场调查失误，我们清晰的认识到了数据分析的重要性，于是开始设计一个合理的数据分析方案。
尽管这样的方案设计需要大量的时间和精力，但我们相信，通过这次的“破产”的经历，我们能够更好地理解与掌控市场需求，从而提高业务质量和水平。
For personal use only in study and research; not for commercial use错解剖析得真知（四十）§13．3 算法案例一、知识导学1．算法设计思想：（1）“韩信点兵—孙子问题”对正整数m从2开始逐一检验条件，若三个条件中有任何一个不满足，则m递增1，一直到m同时满足三个条件为止(循环过程用Goto语句实现)（2）用辗转相除法找出的最大公约数的步骤是：计算出的余数，若，则为的最大公约数；若，则把前面的除数作为新的被除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为正整数的最大公约数.2.更相减损术的步骤：（1）任意给出两个正数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.（3）二分法求方程在区间内的一个近似解的解题步骤可表示为S1 取[]的中点，将区间一分为二；S2 若，则就是方程的根；否则判别根在的左侧还是右侧：若，，以代替；若，则，以代替；S3 若，计算终止，此时，否则转S1.二、疑难知识导析1．表示不超过的整数部分，如，但当是负数时极易出错，如就是错误的，应为-2.2．表示除以所得的余数，也可用表示.3．辗转相除法与更相减损术求最大公约数的联系与区别：（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.4．用二分法求方程近似解，必须先判断方程在给定区间[]上是否有解,即连续且满足.并在二分搜索过程中需对中点处函数值的符号进行多次循环判定，故需要选择结构、循环结构，即可用Goto 语句和条件语句实现算法.三、经典例题导讲[例1]，，，7= .A．16，-1，4，3 B.15，0，4，3 C.15,-1,3,4 D.15,-1,4,3错解：根据表示不超过的整数部分, 表示除以所得的余数,选择B. 错因:对表示的含义理解不透彻,将不超过-0.05的整数错认为是0,将负数的大小比较与正数的大小比较相混淆.正解：不超过-0.05的整数是-1,所以答案为D.[例2] 所谓同构数是指此数的平方数的最后几位与该数相等.请设计一算法判断一个大于0且小于1000的整数是否为同构数.错解：算法思想：求出输入数的平方，考虑其个位或最后两位或最后三位与输入数是否相等，若相等，则为同构数.Read xIf or or ThenPrint xEnd ifEnd错因：在表示个位或最后两位或最后三位出现错误，“/”仅表示除，y/10,y/100,y/1000都仅仅表示商.正解：可用来表示个位，最后两位以及最后三位.Read xIf or or ThenPrint xEnd ifEnd[例3]《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”可以用下面的算法解决：先在纸上写上2，每次加3，加成5除余3的时候停下来，再在这个数上每次加15，到得出7除2的时候，就是答数.试用流程图和伪代码表示这一算法.解：流程图为：伪代码为：102030 If Then Goto 2040 If ThenPrintGoto 8050 End if6070 Goto 4080 End点评：这是孙子思想的体现，主要是依次满足三个整除条件.[例4]分别用辗转相除法、更相减损法求192与81的最大公约数.解：辗转相除法：S1S2S3S4S5故3是192 与81 的最大公约数.更相减损法：S1S2S3S4S5S6S7S8S9故3 是192与81的最大公约数.点评：辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少.辗转相除法是当大数被小数整除时停止除法运算，此时的小数就是两者的最大公约数，更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时减法停止，较小的数就是最大公约数.[例5]为了设计用区间二分法求方程在[0，1]上的一个近似解（误差不超过0.001）的算法,流程图的各个框图如下所示,请重新排列各框图,并用带箭头的流线和判断符号“Y”、“N”组成正确的算法流程图,并写出其伪代码.(其中分别表示区间的左右端点)图13-3-2流程图为图13-3-3伪代码为10 Read20304050 If Then Goto 12060 If Then70100 End if80 Else90100 End if110 If Then Goto 20120 Print130 End点评：二分法的基本思想在必修一中已渗透，这里运用算法将二分法求方程近似解的步骤更清晰的表述出来.[例6]用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为.解：根据秦九韶算法，此多项式可变形为按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当时的值：故当时多项式的值为.点评：秦九韶算法的关键是n次多项式的变形.把一个次多项式改写成，求多项式的值，首先计算最内层括号内一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这样把求次多项式的值问题转化为求个一次多项式的值的问题，这种方法成为秦九韶算法.这种算法中有反复执行的步骤，因此，可考虑用循环结构实现.四、典型习题导练1．以下短文摘自古代《孙子算经》一书，其引申出的“大衍求一术”称为“中国剩余原理”：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”答曰（）.A．二十一 B.二十二 C.二十三 D.二十四2．用辗转相除法求52与39的最大公约数的循环次数为（）.A．1次 B.2次 C.3次 D.5次3．下面程序功能是统计随机产生的十个两位正整数中偶数和奇数的个数，并求出偶数与奇数各自的总和.For I from 1 to 10Print x;If ThenElseEnd IfEnd forPrintPrint “奇数个数=”；，“偶数个数=”；4．若一个数的各因子之和正好等于该数本身，则该数成为完数.请补充完整下列找出1～100之间的所有完数的伪代码.For from 2 to 100For b from 2 toIf mod(a,b)=0 ThenEnd ifEnd ForIf ThenPrint aEnd ifEnd ForEnd5．设计求被9除余4，被11除余3的最小正整数的算法，画出流程图，写出伪代码.6．利用辗转相除法或更相减损术求324,243,135的最大公约数.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
错解剖析得真知（十二）§4.3数列的综合应用一、知识导学1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S n还是求a n.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.二、疑难知识导析1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；3.等差数列中, a m=a n+ (n－m)d, ; 等比数列中，a n=a m q n-m;4.当m+n=p+q（m、n、p、q∈）时，对等差数列｛a n｝有：a m+a n=a p+a q；对等比数列｛a n｝有：a m a n=a p a q；5.若{a n}、{b n}是等差数列，则{ka n+bb n}(k、b是非零常数)是等差数列；若{a n}、{b n}是等比数列，则｛ka n｝、{a n b n}等也是等比数列；6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；7.对等差数列｛a n｝,当项数为2n时，S偶-S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈）；8.若一阶线性递推数列a n=ka n－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式.三、经典例题导讲[例1]设是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和.证明：。
“错”出真知中职学生在数学的学习过程中经常会出现错误，而通过集体的识错、思错以及纠正错误的过程中生成的课程资源，是一种非常真实的、有价值的，有意义的教学资源，应加以有效利用。
对于“错误”的产生，教师要宽容对待，更要善于利用，培养学生正确归因错误并巧妙地利用错误，进而培养学生的创造性思维，让课堂因此更精彩、更鲜活。
利用错误鲜活教学培养思维“学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解的过程。
”而这必然伴随着大量学习错误的生成。
对于这种直接反映学生学习情况的生成性教学资源，作为一线的教师，我们应充分加以利用，而对于“错误”的产生，更要宽容对待，分析错误产生的缘由，因势利导，促进学生的全面发展。
那么，如何在数学教学中利用这一动态生成的资源，使数学教学更鲜活呢？一、正视错误，包容学生的错误，抓住教学契机中职学生的知识背景、思维方式、情感体验、表达形式往往和成人截然不同，在学习过程中必然会出现各式各样的错误。
哲学家黑格尔曾说过，错误本身乃是达到真理的一个必然的环节。
正确很有可能只是一种模仿，可错误却绝对是一种经历，真实而自然。
在平时教学中，我们要善待学生的“错误”，抓住这种数学教育契机，加以充分的利用，长此以往课堂也因差错而变得鲜活而又有生命力。
二、课中捕捉错误善待“错误”，生成多姿的课堂叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中曾提到：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、注意力、合作能力、发表的意见和观点、提出的问题与争论乃至错误的回答等，都是教学过程中的生成性资源。
”错误是学生思维的真实反映，蕴含着宝贵的“亮点”，让学生充分展示思维过程，探求其产生错误的内在因素，就能有针对性地展开教学，有利于学生的自主建构。
同时教师也要独具慧眼，及时捕捉稍纵即逝的错误并巧妙运用于教学活动中，让其发挥出应有的价值，折射出灿烂的光芒。
[案例一]：学习了函数这一章后，我发现函数的值域问题很多学生存在着一定的问题特别是二次函数的值域问题，很多学生的求法是把闭区间的2个端点分别代入函数解析式中，因此我特别设计了一堂习题课。
剖析错误，对症下药为了有效地提高学生的计算能力，我尝试让学生利用“错题本”收集自己的错误，分析错误的原因，并在错题本上写出正确解法、注意事项等，取得了较好的效果。
以下是我将学生收集的错误进行分类分析，并根据不同的“病因”开出的“处方”。
一、知识方面的原因产生的错误1.概念不明确，算理不理解。
在小学数学计算教学中，主要是以数的概念和运算法则为基础，如果学生对数的概念和运算法则掌握得不好，理解得不够透彻，那么就难免在计算中出现这样、那样的错误。
[案例1]700÷200=3 (1)减少这类错误的关键是重视学生注意力的培养：首先，创设情境，激发兴趣。
教学伊始，教师可以用有趣的故事、谜语或小竞赛、小实验，将学生引到新知识的探索中去，学生兴趣盎然。
在教学中，引导学生联系自己身边具体、有趣的事物，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，赋予抽象的数字以实际意义，从而提高计算能力。
其次，组织学生有计划、有目的地进行练习。
教师要研究练习的形式，讲究练习的效率，课上尽量采取全班学生都能得到练习机会的练习形式。
教学中，教师还要根据学生计算中的错误，及时补充一些有针对性的练习，以提高学生计算的准确性。
再次，在教学过程中，教师可以教给学生一些检查计算题的方法。
比如：对口算题的检查方法是：一数、二对、三算；对笔算题的检查方法是：一对抄题、二对竖式、三查计算、四对得数。
另外，教师尽可能安排学生在课内完成作业，学生做作业时，教师对学生的注意要求不宜过多，对于比较抽象的步骤要让学生反复感知。
3.负迁移对小学生计算问题的干扰。
由于小学生的思维能力薄弱，感知式题时，总是受到容易计算部分、能简便计算、比较熟悉部分等强刺激的作用，以致于把运算的法则、定律等知识忽略掉而造成干扰，对于相似的知识点往往难以区分，常常出现心理学上的“痕迹性错误”。
[案例7]。
心得体会知错就改（专业18篇）心得体会是我们对自己的经验和感受进行反思和总结的一种方式。
通过阅读这些心得体会，我们可以更深刻地理解和领悟到人生的真谛和价值。
通知错了心得体会作为一个现代社会不可或缺的一部分，通知在我们的生活中起着重要的作用。
不论是工作、学习还是生活日常，我们都需要准确及时地收到通知。
尽管我们每个人都会尽力保证通知准确传达，但偶尔也会发生错漏的情况。
在我个人的经历中，我曾经收到一次错误的通知，这给我带来了深刻的反思和意义重大的体会。
这次错误的通知是关于一项紧急会议的召开时间的错误。
根据通知，会议原定于下午两点在会议室A进行。
然而，当我赶到会议室A时却发现那里一片空荡。
我迅速与同事取得联系，才发现他们已经在会议室B等待多时了。
原来，通知书中的会议地点错误地标注为了会议室A，实际上则是会议室B。
这个错误给我留下了深刻的印象。
首先，这次错误的通知让我明白到每一份通知都应该经过仔细核对。
作为一个负责任的人，我们不能因为一时的疏忽而引起不必要的麻烦。
这次错误的通知是由于工作人员对会议室信息的熟悉不够，才导致了这样的错误。
从这次经历中，我深刻地认识到，在每次发布通知之前，我们应该对信息进行仔细核实，特别是那些重要会议或活动的通知。
其次，这次通知错误还表明了沟通的重要性。
在现代社会，信息的快速传播是非常必要的。
如果缺乏有效的沟通，不论是企业内部还是个人之间都会面临着严重的问题。
在这次通知错误中，原本应该第一时间通知所有参会人员的信息并没有及时传达给每个人，从而导致了会议室的错乱和浪费了大家的时间。
因此，这次错误让我明白，良好的沟通是保证信息准确、高效传达的关键。
第三，这次通知错误也让我体会到了团队的重要性。
团队合作是现代社会所强调的核心价值观之一。
在这次通知错误中，虽然会议室的错误给了我们一些麻烦，但是我们通过沟通又迅速解决了问题。
我们互帮互助，共同解决了这个小问题。
这个过程让我明白了团队的力量，团队的力量远大于个人的力量。
剖析的心得体会6篇（最新版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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错解剖析得真知（十四）§5.4不等式的应用一、基础知识导学1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2∈R+，那么.2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.二、疑难知识导析不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数”为模型的新的形式.三经典例题导讲[例1]求y=的最小值.错解： y=＝2y的最小值为2.错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.正解：令t=,则t,于是y=由于当t时，y=是递增的，故当t＝2即x=0时，y取最小值.[例2]m为何值时，方程x2+(2m+1)x+m2－3=0有两个正根.错解：由根与系数的关系得，因此当时，原方程有两个正根.错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.正解：由题意：因此当时，原方程有两个正根.[例3]若正数x，y满足，求xy的最大值．解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以当且仅当6x=5y时，取“=”号．因，则，即，所以的最大值为.[例4]已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值．因此最大值一定要用S来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y2的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了．解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则y=abc，2ab+2bc+2ac=S．而y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y2有最小值答：长方体的长、宽、高都等于时体积的最大值为.说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.四、典型习题导练1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.3.在四面体P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为m，求这个四面体体积的最大值．4. 设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相交，试证明对一切R都有.5．青工小李需制作一批容积为V的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？5.5 推理与证明一、基础知识导学1.推理一般包括合情推理和演绎推理.2.合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.3.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.4.归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.5.类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.6.类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.7.演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.8.直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.9.分析法：从原因推导到结果的思维方法.10.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.11.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.12.应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.13.数学归纳法：设｛p n｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设p k成立的前提上，推出p k＋1也成立，那么可以断定，｛p n｝对一切正整数成立.14.数学归纳法的步骤：（1）证明当（如或2等）时，结论正确；（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．二、疑难知识导析1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.三、经典例题导讲[例1]{}是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项.(1)写出数列{}的前3项;(2)求数列{}的通项公式(写出推证过程);错解：由(1)猜想数列{}有通项公式=4-2.下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是=4-2. (∈N).①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得.∴这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.错因在于解题过程中忽视了取值的取舍.正解：由(1)猜想数列{an}有通项公式a n=4n-2.猜想数列{}有通项公式=4-2.下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是=4-2. (∈N).①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得.由∴这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.[例2] 用数学归纳法证明对于任意自然数，错解：证明：假设当（N）时，等式成立，即，那么当时，这就是说，当时，等式成立．可知等式对任意N成立．错因在于推理不严密，没有证明当的情况．正解：证明：（1）当时，左式，右式，所以等式成立．（2）假设当（）时，等式成立，即，那么当时，这就是说，当时，等式成立．由（1）、（2），可知等式对任意N成立．[例3]是否存在自然数，使得对任意自然数，都能被整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．分析本题是开放性题型，先求出，，…再归纳、猜想、证明．解：，，，……猜想，能被36整除，用数学归纳法证明如下：（1）当时，，能被36整除．（2）假设当，（N）时，能被36整除．那么，当时，由归纳假设，能被36整除，当为自然数时，为偶数，则能被36整除．∴ 能被36整除，这就是说当时命题成立．由（1）、（2）对任意，都能被36整除．当取大于36的自然数时，不能被整除，所以36为最大．[例4]设点是曲线C：与直线的交点，过点作直线的垂线交轴于，过点作直线的平行线交曲线C于，再过点作的垂线作交X轴于，如此继续下去可得到一系列的点，，…，，…如图，试求的横坐标的通项公式．分析本题并没有指明求通项公式的方法，可用归纳——猜想——证明的方法，也可以通过寻求与的递推关系式求的通项公式．解：解法一与（，）联立，解得直线的方程为，令，得，所以点直线的方程为与联立，消元得（），解得，所以点（，）．直线的方程为，令，得，所以点同样可求得点（，0）……由此推测（，0），即用数学归纳法证明（1）当时，由点的坐标为（，0），即，所以命题成立．（2）假设当时命题成立，即，0），则当时，由于直线的方程为，把它与（，）联立，消去可得（），∴于是即点的坐标为（，）．∴ 直线的方程为令得，即点的坐标为（，0）∴ 当时，命题成立．解法二设点，的坐标分别为（，0）、（，0），建立与的递推关系，即，由数列是等差数列，且，公差可求得（），．用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．[例5]有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2-n＋2个部分．证明①当n＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2又n＝1时，n2-n＋2＝2，∴命题成立②假设n＝k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2-k＋2个部分，那么设第k＋1个圆记⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它k个圆相交于2k个点．把⊙O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平面的总区域增加2k块，即f(k＋1)＝k2-k＋2＋2k=(k＋1)2-(k＋1)＋2即n＝k＋1时命题成立．由①②可知对任何n∈N命题均成立．说明: 本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第k＋1个圆与其它k个圆的交点个数问题．[例6] 已知n≥2，n∈N②假设n=k时，原不等式成立．由①②可知，对任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．四、典型习题导练1.用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（＋3）= (N)”，当=1时，左边应为____________.2.已知数列{ }的前n项和，则{}的前四项依次为_______,猜想=__________.3.已知数列证明.4.已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足证明.5. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n成正比，死亡量与x n2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（1）求x n+1与x n的关系式；（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（3）设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有x n＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.。
