向量错解剖析得真知

初三数学教学大纲(详情)初三数学教学大纲很抱歉，我无法找到有关初三数学的大纲，但是我可以为您提供有关初一数学的教学要求：学生需要联系实际进一步理解数学知识和数学思想，掌握基本的数学知识，包括代数、几何和统计与概率的基础。

学生将学习6名代数、实数和代数式、方程和方程组、函数、正负数、一次函数、整式和分式、分式方程等。

以上仅作为参考，不作为正式的教学大纲，初三数学的具体教学要求可能因地区而异，建议您咨询当地教育机构或学校以获取更准确的信息。

初三下数学湘教版教学大纲初三下数学湘教版教学大纲如下：1.重点：在这一阶段，学生们将学习到一些非常重要的数学知识，包括分式方程、二元一次方程组、勾股定理等。

学生们需要通过完成例题、练习题和挑战题来掌握这些知识，并在必要时进行进一步的探讨。

2.难点：学生们可能会遇到一些困难，如分式方程的解法、勾股定理的应用等。

为了克服这些难点，学生们需要认真听讲、积极参与课堂讨论，并在必要时寻求老师或同学的帮助。

3.数学思想：学生们需要掌握的数学思想包括方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。

这些思想对于解决数学问题非常重要，学生们需要通过不断的练习来逐渐掌握它们。

4.数学活动：在这一阶段，学生们将参加一些数学活动，如数学竞赛、数学建模等。

这些活动旨在提高学生们对数学的兴趣和热情，并帮助他们更好地理解数学知识。

5.教学目标：学生们需要达到的教学目标包括掌握分式方程、二元一次方程组、勾股定理等知识，培养解决数学问题的能力，并培养对数学的兴趣和热情。

希望以上信息对您有所帮助，如果您还有其他问题，欢迎告诉我。

初三数学教学大纲以下是初三数学的教学大纲：一、教学目标1.掌握实数、代数式、方程、不等式、函数等基本概念和它们之间的关系。

2.掌握基本初等函数（正弦、余弦、正切、余切）的定义、性质及其应用。

3.掌握平面几何的基本概念和性质，能够解决一些几何问题。

4.掌握基本数学思想和数学方法，如分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等。

平移问题中的三类典型陷阱 由于平移公式是建立在向量的基础上的，因此平移处处体现向量双重性，即平移的长度和方向，因此命题人会围绕这点知识设置相关的陷阱，如果学生没有真正理解平移的定义及平移公式，那么就会上误入歧途.下面就命题人在平移公式应用中设置的陷阱进行辨别.一、利用点平移与向量平移设置陷阱点P(x ，y)按向量→a ＝(t ，s)平移后的点P '坐标为(x ＋s ，y ＋t)，而→m ＝(x ，y)按向量→a ＝(t ，s)平移后的坐标不发生任何变化，仍为→m ＝(x ，y)，初学者在此容易发生错误，恰是命题者喜欢在此设置陷阱的地方.例1已知A(3,7)、B(5,2)，将→AB 按向量→a ＝(1,2)平移后所得向量的坐标是( )A.(1,7) B(2,－5)C.(10,4) D(.(3,－3)错解：∵A(3,7)、B(5,2)，∴→AB ＝(2,－5)， 将x ＝2，y ＝－5及h ＝1，k ＝2，代入平移公式，得x '＝2＋1＝3，y '＝－5＋2＝－3， 故→AB 按向量→a 平移后所得向量的坐标是(3,－3).剖析：平移公式揭示的是点沿着向量平移后前后坐标的变化关系，它并不适合向量平移规律.上述错误是典型的适用公式.正解一：由A(3,7)、B(5,2)，按→a ＝(1,2)平移后分别为A '(4,9)和B '(6,4)，所以－→A 'B '＝(2,－5)，故选B.正解二：因向量平移后仍与原向量相等，故－→A 'B '＝→AB ＝(2,－5)，故选B.二、利用平移前后的解析式设置陷阱在平移公式中，涉及两种坐标，其中坐标(x ，y)表示平移前后函数图象的点的坐标，而(x '，y ')表示平移后的函数图象的点的坐标，初学者如果稍不注意，就会混淆前后函数的解析式，进而得出相反结论.命题者喜欢围绕平移前后函数的解析式设置陷阱.例2将函数y ＝f(x)的图象按向量→a 平移，使图象上的点A 的坐标由(2,3)变为(3,5)，则平移后图象的解析式为( )A.y ＝f(x －1)＋2B.y ＝f(x －1)－2C.y ＝f(x ＋1)＋2D.y ＝f(x ＋1)－2错解：∵点A 的坐标由(2,3)变为(3,5)，∴→a ＝(3－2,5－3)＝(1,2)，由平移公式得⎩⎨⎧x '＝x ＋1y '＝y ＋2，∴y ＋2＝f(x ＋1)，故选D. 剖析：上述错误是把点的平移与图象的平移混为一谈.正解：→a ＝(3－2,5－3)＝(1,2)，设P(x,y)为函数y ＝f(x)的图象上的任意一点，平移后的对弈点为P '(x ',y ')，，由平移公式得⎩⎨⎧ x '＝x ＋1y '＝y ＋2，∴⎩⎨⎧ x ＝x '－1y ＝y '－2，将它们代入y ＝f(x)中，得y '－2＝f(x '－1)，习惯上将上式中的x ',y '写作x,y ，∴y －2＝f(x －1)，故选A.例3把一个函数的图象按→a ＝(π4,2)平移后得到的图象的函数解析式为y ＝sin(x ＋π4)＋2，那么原来函数的解析式为（ ）A 、y ＝sinxB 、y ＝cosxC 、y ＝sinx ＋4D 、y ＝cosx ＋4错解：由向量平移公式得⎩⎨⎧ x '＝x ＋π4y '＝y ＋2，即⎩⎨⎧ x ＝x '﹣π4y ＝y '－2代入y ＝sin(x ＋π4)＋2得y '＝sinx '＋4，故选C.剖析：错选C 项是分不清平移前后所致，y ＝sin(x ＋π4)＋2是图象平移后得到的函数解析式，应为y '＝sin(x '＋π4)＋2. 正解：由平移公式得⎩⎨⎧ x '＝x ＋π4y '＝y ＋2，代入y '＝sin(x '＋π4)＋2得y ＝cosx ，故选B. 例4若函数y ＝log 2(2x －4)＋1的图象按向量→a 平移后所得到的图象的解析式为y ＝log 2(2x)，则→a ＝________________.错解：设→a (m,n)，则y ＝log 2(2x －4)＋1按向量→a 平移后的解析式为：y ＋n ＝log 2[2(x＋m)－4]＋1，则有⎩⎨⎧ 2m －4＝0－n ＋1＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝2n ＝1，故→a ＝(2,1). 分析：以上解法中关键的错误是把点平移和图象平移相混淆.正解：设→a (m,n)，则y ＝log 2(2x －4)＋1的图象按向量→a 平移后的解析式为：y －n ＝log 2[2(x －m)－4]＋1，则有⎩⎨⎧ －2m －4＝0n ＋1＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝－2n ＝－1，故→a ＝(－2,－1). 三、利用平移方向设置陷阱由于图象的平移是按向量平移，因此在平移时既要考虑平移的长度，又要考虑平移的方向.在解题中学生存在思维定势，即只考虑水平平移和竖直平移，导致只考虑特殊情况而不考虑一般情况.命题者会利用平移的方向设置陷阱.例5将函数y ＝2x －6的图象按向量→a 平移后，得到函数y ＝2x 的图象，那么→a ＝_______.错解：∵y ＝2x －6＝2(x －3)，∴要得到y ＝2x 的图象，只需将函数y ＝2x －6的图象沿着x 轴向左平移3个单位长度，故→a ＝(－3,0)；又函数y ＝2x 的图象可以看作将函数y ＝2x －6的图象沿着y 轴向上平移6个单位长度得到的，故→a ＝(0,6)，所以向量→a ＝(－3,0)或(0,6).剖析：上述解法错误是对图象平移的定义没有弄清所致，根据图象平移的定义可知，图象的平移就是将图象F 上所有点按照同一方向，移动同样长度，得到图象F '.此处它只需按照同一方向，而没有要求一定是水平或竖直的移动.正解：设→a ＝(h,k)，P(x,y)是函数y ＝2x －6的图象上倦意一点，它在函数y ＝2x 的图象对应点为P '(x ',y ')，由平移公式⎩⎨⎧ x '＝x ＋h y '＝y ＋k 得⎩⎨⎧ x ＝x '－h y ＝y '－k，将它们代入y ＝2x －6中，得y '－k ＝2(x '－h)－6，即y '＝2x '－2h －6＋k ，∴平移后函数解析式为y ＝2x －2h －6＋k ，∵y ＝2x －2h －6＋k 与y ＝2x 为同一函数，∴－2h －6＋k ＝0，即k ＝2h ＋6，因此，所求向量→a＝(h,2h＋6)(h∈R).。

错解剖析得真知（三十一）第十章导数及其应用§10.1导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数在点的瞬时变化率。

2.导数：当趋近于零时，趋近于常数c。

可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。

函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。

3.导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导。

这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数。

于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。

记为或（或）。

4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。

2）函数积的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。

3）函数的商的求导法则：设，是可导的，，则5.复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且.6.几种常见函数的导数：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)二、疑难知识导析1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则,应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如实际上应是。

(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如选成，计算起来就复杂了。

3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。

数学解决向量问题的常用方法和技巧向量在数学中起着重要的作用，广泛应用于物理、计算机科学等领域。

解决向量问题是数学学习中的重要内容之一。

本文将介绍解决向量问题的常用方法和技巧，帮助读者更好地理解和运用向量。

一、向量的基本概念和表示方法向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

在解决向量问题时，首先需要了解向量的基本概念和表示方法。

1. 向量的表示方法向量可以用各种方法来表示，最常见的有以下两种方式：（1）以一个带箭头的小写字母表示，如a、a、a等；（2）以一个有向线段上的两个点表示，箭头指向的点为起点，另一个点为终点，如a AB表示以点A为起点，点B为终点的向量。

2. 向量的基本运算在解决向量问题时，常常需要进行向量的基本运算，包括加法、减法、数乘等。

（1）向量的加法向量的加法满足以下规律：对于任意两个向量a和a，a+a=a+a。

即向量的加法满足交换律。

（2）向量的减法向量的减法满足以下规律：对于任意两个向量a和a，a-a=a+(-a)，其中-a称为向量a的负向量。

（3）数乘数乘指的是一个向量与一个数的乘法，即将向量的每个分量乘以该数。

二、解决向量问题的常用方法对于向量问题的解决，具体方法因题而异，但仍然存在一些常用的方法和技巧。

1. 向量的数量积向量的数量积也称为内积或点积，表示为a·a，其计算方法为a·a=|a||a|cos a，其中a为a和a之间的夹角。

通过计算数量积，可以获得向量的夹角、判断向量的垂直性等。

2. 向量的向量积向量的向量积也称为叉积或外积，表示为a×a，其计算方法为a×a=|a||a|sin aa，其中a为a和a之间的夹角，a为垂直于a和a的单位法向量。

向量的向量积常用于求解平面的面积、判断向量的平行性等。

3. 向量的投影向量的投影指的是将一个向量在另一个向量上的投影，通过投影可以得到向量在某个方向上的分量。

在解决向量问题时，有时需要将一个向量分解为两个相互垂直的向量，这时就可以利用向量的投影来实现。

1题目高中数学复习专题讲座运用向量法解题高考要求平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题重难点归纳1解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想2向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题3用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？典型题例示范讲解例1如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD(1)求证C1C⊥BD(2)当1CCCD的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明命题意图本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力知识依托解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单错解分析本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系技巧与方法利用a⊥ba·b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可(1)证明 设C B =a , CD =b ,1C C c = ,依题意，|a|=|b |，CD 、C B 、1CC中两两所成夹角为θ，于是DB =a－b ，1CC BD =c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c|·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD(2)解 若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由1111()()CA C D CA AA CD CC ⋅=+⋅-=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c|2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c|·cos θ=0,得当|a =|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c|时，A 1C ⊥BD ，∴1CC CD =1时，A 1C ⊥平面C 1BD例2如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点(1)求B N的长；(2)求cos<11,BA CB>的值；(3)求证 A 1B ⊥C 1M命题意图 本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题知识依托 解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标错解分析 本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标技巧与方法 可以先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标(1)解 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz 依题意得 B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|B N|=)01()10()01(222=-+-+-(2)解 依题意得 A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2) ∴1B A =1(1,1,2),CB -=(0，1，2)11BA CB ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3|1B A|=6)02()10()01(222=-+-+-1||CB ==111111cos ,10||||BA CB BA CB BC CB ⋅∴<>===⋅(3)证明 依题意得 C 1(0，0，2)，M (2,21,21)1111(,,0),(1,1,2)22C M A B ==--∴111111(1)1(2)00,,22A B C M A B C M ⋅=-⨯+⨯+-⨯=∴⊥∴A 1B ⊥C 1M例3三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求 (1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值解 (1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+-||2AM ∴==(2)||10,||5AB AC ====D 点分BC 的比为2∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y||AD ==(3)∠ABC 是BA 与BC 的夹角，而BA=(6，8），BC =(2，－5）2629cos 145||||BA BC ABC BA BC ⋅∴====⋅学生巩固练习1 设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( )A 正方形B 矩形C 菱形D 平行四边形2 已知△ABC 中， AB =a ，A C =b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a|=3,|b |=5,则a与b 的夹角是( )A 30°B －150°C 150°D 30°或150°3 将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x－5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_________4 等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的两个平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =_________5 如图，在△ABC 中，设AB =a ，A C =b ，AP =c , AD =λa,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c6 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a(1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角7 已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使,,M P M N PM PN N M N P⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM与P N 的夹角，求tan θ8 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA的 中点(1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明 BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证 对空间任一点O ，有1()4O M O A O B O C O D =+++参考答案1 解析 AB =(1，2），D C =(1，2），∴AB =D C ，∴AB∥D C ，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB|=5，A C =(5，3），|A C |=34， ∴|AB|≠|A C },∴ ABCD 不是菱形，更不是正方形； 又BC =(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB 不垂直于BC ，∴ABCD 也不是矩形，故选D 答案 D2 解析 ∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°又∵a·b ＜0,∴α=150°答案 C3 (2,0)4 13 cm5 解 ∵BP 与BE 共线，∴BP =m BE =m (AE －AB)=m (μb －a ),∴AP =AB +BP =a +m (μb －a )=(1－m ) a+m μb ① 又C P 与CD 共线，∴C P =n CD =n (AD －A C )=n (λa－b ), ∴AP =A C +C P =b +n (λa －b )=n λa+(1－n ) b ② 由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a+(1－n ) b∵a与b 不共线，∴110110m a n m m n n m λλμμ-=+-=⎧⎧⎨⎨=-+-=⎩⎩即③解方程组③得 m =λμμλμλ--=--11,11n代入①式得c =(1－m ) a+m μb =πμ-11［λ(1-μ) a+μ(1-λ)b ］6 解 (1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23a a 2a )(2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2aa ），连AM ，MC 1，有1M C=(－23a ,0,0）,且AB=(0，a ,0）,1AA =(0,02a )由于1M C ·AB=0，1M C ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角∵1A C=(,),(0,),222a a a AM -=22190244a AC AM a a ∴⋅=++=13||,||2AC AM a ====而2194cos ,322aAC AM a∴<>==⨯所以1AC AM与所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°7 解 (1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得，PM =－M P=(－1－x ,－y ）,PN NP =-=(1－x ,－y ), MN =－N M=(2,0),∴M P ·MN =2(1+x ), PM·P N =x 2+y 2－1,NM NP ⋅ =2(1－x )于是，,,M P M N PM PN N M N P ⋅⋅⋅是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(2)点P 的坐标为(x 0,y 0) 220012,||||PM PN x y PM PN ⋅=+-=⋅===cos ||PM PN PM PN θ⋅∴==⋅010cos 1,0,23x πθθ<≤∴<≤≤<||3cos sin tan ,411cos 1sin 0222y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ8 证明 (1）连结BG ，则1()2EG EB BG EB BC BD EB BF EH EF EH =+=++=++=+由共面向量定理的推论知 E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21BD=EH ）(2）因为1111()2222E H A H A E A D A B A D A B B D =-=-=-=所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH 所以BD ∥平面EFGH(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG由(2）知12EH BD =，同理12F G B D = ，所以EH FG = ，EHFG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以1111111()[()][()]2222222O M O E O G O E O G O A O B O C O D =+=+=+++1().4O A O B O CO D =+++课前后备注。

向量解题的心得体会篇一：高中数学课堂教学心得体会高中数学课堂教学心得体会【摘要】：课堂教学是学生在校期间学习科学文化知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育和素质教育的主渠道。

课堂教学不但要加强双基而且要提高智力;不但要发展学生的智力，而且要发展学生的创造力;不但要让学生学会，而且要让学生会学，特别是自学，尤其是在正课上，不但要提高学生的智力因素，而且要提高学生在课堂45分钟的学习效率，尽量在有限的时间里，出色地完成教学任务。

【关键词】：课堂教学;体会;互动交流教育家施瓦布曾经指出如果要学生学习科学的方法，那么有什么学习比通过积极地投入到探究的过程中去更好呢?这句话对科学教育中的探究性教学和学习深远的影响。

美国心理学家布鲁纳认为：探索是数学的生命线。

在数学课堂教学中，教师创设情景，为学生构建一种开放的学习环境，教师通过提问引思，师生探究互动，建立模型，并加以应用与拓展，从而引起学生探索的兴趣，达到课堂教学的目标效能。

那么，高中数学课堂教学如何在新课改下体现，实现师生双方的协同发展呢?经过笔者近3年的课堂教学实验探索，认为在课堂教学中，教师应注意构建和谐、民主的课堂教学氛围，鼓励学生积极思考，大胆质疑，爱护学生的好奇心、求知欲，倡导自主、合作、探究的学习方式，为学生提供发表不同意见的机会，逐步形成创新意识。

本文拟从以下几个个方面做一些探讨，供同行参考。

有明确的教学目标，能突出重点、化解难点教学目标分为三大领域，即认知领域、情感领域和动作技能领域。

因此，在备课时要围绕这些目标选择教学的策略、方法和媒体，把内容进行必要的重组。

在数学教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。

如《向量及其运算》这一课是整个向量这一章的第一课，在备课时应注意，通过这一课的教学，使学生能利用辩证唯物主义的观点来解释向量的产生和发展，体会到向量本身存在我们的周围，来激发学生的求知欲望，同时也就提高了学生自己分析问题和解决问题的能力。

For personal use only in study and research; not for commercial use错解剖析得真知（四十）§13．3 算法案例一、知识导学1．算法设计思想：（1）“韩信点兵—孙子问题”对正整数m从2开始逐一检验条件，若三个条件中有任何一个不满足，则m递增1，一直到m同时满足三个条件为止(循环过程用Goto语句实现)（2）用辗转相除法找出的最大公约数的步骤是：计算出的余数，若，则为的最大公约数；若，则把前面的除数作为新的被除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为正整数的最大公约数.2.更相减损术的步骤：（1）任意给出两个正数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.（3）二分法求方程在区间内的一个近似解的解题步骤可表示为S1 取[]的中点，将区间一分为二；S2 若，则就是方程的根；否则判别根在的左侧还是右侧：若，，以代替；若，则，以代替；S3 若，计算终止，此时，否则转S1.二、疑难知识导析1．表示不超过的整数部分，如，但当是负数时极易出错，如就是错误的，应为-2.2．表示除以所得的余数，也可用表示.3．辗转相除法与更相减损术求最大公约数的联系与区别：（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.4．用二分法求方程近似解，必须先判断方程在给定区间[]上是否有解,即连续且满足.并在二分搜索过程中需对中点处函数值的符号进行多次循环判定，故需要选择结构、循环结构，即可用Goto 语句和条件语句实现算法.三、经典例题导讲[例1]，，，7= .A．16，-1，4，3 B.15，0，4，3 C.15,-1,3,4 D.15,-1,4,3错解：根据表示不超过的整数部分, 表示除以所得的余数,选择B. 错因:对表示的含义理解不透彻,将不超过-0.05的整数错认为是0,将负数的大小比较与正数的大小比较相混淆.正解：不超过-0.05的整数是-1,所以答案为D.[例2] 所谓同构数是指此数的平方数的最后几位与该数相等.请设计一算法判断一个大于0且小于1000的整数是否为同构数.错解：算法思想：求出输入数的平方，考虑其个位或最后两位或最后三位与输入数是否相等，若相等，则为同构数.Read xIf or or ThenPrint xEnd ifEnd错因：在表示个位或最后两位或最后三位出现错误，“/”仅表示除，y/10,y/100,y/1000都仅仅表示商.正解：可用来表示个位，最后两位以及最后三位.Read xIf or or ThenPrint xEnd ifEnd[例3]《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”可以用下面的算法解决：先在纸上写上2，每次加3，加成5除余3的时候停下来，再在这个数上每次加15，到得出7除2的时候，就是答数.试用流程图和伪代码表示这一算法.解：流程图为：伪代码为：102030 If Then Goto 2040 If ThenPrintGoto 8050 End if6070 Goto 4080 End点评：这是孙子思想的体现，主要是依次满足三个整除条件.[例4]分别用辗转相除法、更相减损法求192与81的最大公约数.解：辗转相除法：S1S2S3S4S5故3是192 与81 的最大公约数.更相减损法：S1S2S3S4S5S6S7S8S9故3 是192与81的最大公约数.点评：辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少.辗转相除法是当大数被小数整除时停止除法运算，此时的小数就是两者的最大公约数，更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时减法停止，较小的数就是最大公约数.[例5]为了设计用区间二分法求方程在[0，1]上的一个近似解（误差不超过0.001）的算法,流程图的各个框图如下所示,请重新排列各框图,并用带箭头的流线和判断符号“Y”、“N”组成正确的算法流程图,并写出其伪代码.(其中分别表示区间的左右端点)图13-3-2流程图为图13-3-3伪代码为10 Read20304050 If Then Goto 12060 If Then70100 End if80 Else90100 End if110 If Then Goto 20120 Print130 End点评：二分法的基本思想在必修一中已渗透，这里运用算法将二分法求方程近似解的步骤更清晰的表述出来.[例6]用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为.解：根据秦九韶算法，此多项式可变形为按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当时的值：故当时多项式的值为.点评：秦九韶算法的关键是n次多项式的变形.把一个次多项式改写成，求多项式的值，首先计算最内层括号内一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这样把求次多项式的值问题转化为求个一次多项式的值的问题，这种方法成为秦九韶算法.这种算法中有反复执行的步骤，因此，可考虑用循环结构实现.四、典型习题导练1．以下短文摘自古代《孙子算经》一书，其引申出的“大衍求一术”称为“中国剩余原理”：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”答曰（）.A．二十一 B.二十二 C.二十三 D.二十四2．用辗转相除法求52与39的最大公约数的循环次数为（）.A．1次 B.2次 C.3次 D.5次3．下面程序功能是统计随机产生的十个两位正整数中偶数和奇数的个数，并求出偶数与奇数各自的总和.For I from 1 to 10Print x;If ThenElseEnd IfEnd forPrintPrint “奇数个数=”；，“偶数个数=”；4．若一个数的各因子之和正好等于该数本身，则该数成为完数.请补充完整下列找出1～100之间的所有完数的伪代码.For from 2 to 100For b from 2 toIf mod(a,b)=0 ThenEnd ifEnd ForIf ThenPrint aEnd ifEnd ForEnd5．设计求被9除余4，被11除余3的最小正整数的算法，画出流程图，写出伪代码.6．利用辗转相除法或更相减损术求324,243,135的最大公约数.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。