向量 错解剖析得真知

错解剖析得真知（三十一）第十章导数及其应用§10.1导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数在点的瞬时变化率。

2.导数：当趋近于零时，趋近于常数c。

可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。

函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。

3.导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导。

这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数。

于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。

记为或（或）。

4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。

2）函数积的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。

3）函数的商的求导法则：设，是可导的，，则5.复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且.6.几种常见函数的导数：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)二、疑难知识导析1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则,应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如实际上应是。

(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如选成，计算起来就复杂了。

3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。

剖析平面向量中的常见错误平面向量是高中数学教材中的新增内容，运用向量知识解题常可收到化繁为简、化难为易的神奇功效，随着新教材的逐步实施，它已成为高考数学的新宠。

但学生在初学这部分内容时，往往会出现这样或那样的错误，现列举几种常见错误，以期起到防患于未然的作用。

一、乱用平移公式致误例1、已知)2,1(A 、)2,4(B ，则向量AB 按向量)3,1(-平移后得到的向量是（ ）A 、)5,0(B 、)5,3(C 、)0,3(D 、)3,2( 错解：由)2,1(A 、)2,4(B 得)0,3()2,1()2,4(=-=-=，将0,3==y x 及3,1=-=k h 代入平移公式⎩⎨⎧+='+='k y y h x x 得⎩⎨⎧='='32y x ，故选D 。

剖析： 平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关系，它不适用于向量平移的规律，上述错误是典型的乱用公式。

正解1：将)2,1(A 、)2,4(B 按向量)3,1(-平移后分别变为)5,0(A '、)5,3(B '，故)0,3(=''B A ，故应选C 。

正解2：因平移不影响向量大小的变化，故应选C 。

二、分不清平移前后致误例2、把一个函数的图象按)2,4(π=平移后得到的图象的函数解析式为2)4sin(++=πx y ，那么原来函数的解析式为（ ） A 、x y sin = B 、x y cos = C 、4sin +=x y D 、4cos +=x y 错解：由向量平移公式得⎪⎩⎪⎨⎧+='+='24y y x x π，即⎪⎩⎪⎨⎧-'=-'=24y y x x π代入2)4sin(++=πx y 得4sin +'='x y ，故选C 。

剖析：错选C 项是分不清平移前后所致，2)4sin(++=πx y 是图象平移后得到的函数解析式，应为2)4sin(++'='πx y 。

数学运算失误剖析高考中，数学试题的解答，往往少不了要运算和计算，这方面的得失，对数学成绩的影响很大。

因此，复习中，应把运算的合理性、准确性、简洁性和快速性作为基本功狠抓。

花大力气，提高计算技能和运算能力。

在历年高考中，不少考生在运算和计算上暴露出许多毛病和失误，严重阻碍了他们获取好的数学成绩。

前车之鉴，为了引起后来者的警觉，下面通过举例，剖析各种常见的运算失误，供参考。

1．未能正确使用运算法则和计算公式数学运算要求正确使用各种运算法则，包括整数、实数、复数、不等式、集合、向量、方幂、指数、对数、三角、极限、数列、函数和导数，以及排列、组合、统计和概率等各个方面的运算法则和计算公式，此外，还有几何方面的各种计算公式。

考生对这些法则和公式的使用常有误用和错用的现象发生。

例1 已知过点A (-2,m )和B(m ,4)的直线与直线2x +y -1=0平行，则m 的值为 A ．0 B ．-8 C ．2 D ．10由直线平行判别法则，得224-=+-=m mk AB ， 所以，m = -8。

这是一道比较容易的试题，而且还有多种解法（如向量法、距离法等）。

可是仍有不少考生答错，多数是列写出m 的方程时用错法则（例如把垂直法则当作平行法则），用错公式（例如把AB k 错为2、mm -+42等），以及解方程出错。

例2 求极限 （1）=-+-→9323limx x x ；（2）=+-++∞→112323limn n nn n 。

对此两题，用0作答的考生占有一定数量，反映了没有掌握好00型和∞∞-∞型的极限运算法则。

例3 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s ：t 。

现从箱中逐次取球。

每次从箱中任意取出一个球，若取到黄球，则结束取球，若取到白球，则将其放回箱中，继续下一次取球。

但取球的次数最多不超过n 次。

以ξ表示取球结束时已取到白球的次数。

（1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望。

晒晒平面向量与复数中的错解作者：张新艳来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2015年第11期人非圣贤，孰能无过？晒晒错解，防患于未然.让我们从平面向量与复数中的错解中汲取教训，走向成功.一、晒晒平面向量应用中的错解1.忽略共线向量致误例1 已知同一平面上的向量a、b、c两两所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a+b+c的长度.错解：易知a、b、c皆为非零向量，设a、b、c所成的角均为θ，则3θ=360°，即θ=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-1，同理b·c=-3，c·a=-32，由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3，故|a+b+c|=3.剖析：本例误以为a、b、c皆为非共线向量，而当向量a、b、c共线且同向时，所成的角也相等均为0°，符合题意.正解：（1）当向量a、b、c共线且同向时，所成的角均为0°，所以|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6；（2）当向量a、b、c不共线时，同错解.综上所述，向量a+b+c的长度为6或3.2.忽视两向量夹角的意义致误例2 正△ABC的边长为1，且BC=a，CA=b，AB=c，求|a+b+c|的值.错解：由于正△ABC的边长为1，所以，∠A=∠B=∠C=60°且|a|=|b|=|c|=1，所以，a·b=|a|·|b|cos∠C=12，同理可得b·c=12，c·a=12，由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=6，故|a+b+c|=6.剖析：本题误以为a与b的夹角为∠BCA.事实上，两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段之间的夹角，范围是[0°，180°]，因此，a与b的夹角应为180°-∠BCA.正解1：作CD=BC，a与b的夹角即BC与CA的夹角为180°-∠BCA=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-12，同理可得b·c=-12，c·a=-12，由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=0，故|a+b+c|=0.正解2：∵a+b+c=BC+CA+AB=0，∴|a+b+c|=0.3.忽视等价条件致误例3 已知a=（1，3），b=（2，λ），设a与b的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围.错解：因为θ为锐角，所以cosθ>0，由a·b=|a|·|b|cosθ知，只需a·b>0，即1·2+3·λ>0，即λ>-23.剖析：本题误以为两非零向量a与b的夹角为锐角的等价条件是a·b>0，事实上，两向量的夹角θ∈[0，π]，当θ=0时，有cosθ=1>0，对于非零向量a与b仍有a·b>0，因此，a·b>0与两非零向量a与b的夹角为锐角不等价.即有如下结论：两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是a·b>0且a不平行于b.正解：由θ为锐角，得cosθ>0且θ≠0，由a·b=|a|·|b|cosθ，而|a|、|b|恒大于0，所以a·b>0，1·2+3·λ>0，即λ>-23；若a平行b则1·λ-2·3=0即λ=6，但若a平行b则或θ=π，与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6.综上，λ>-23且λ≠6.4.忽视向量的特性致误例4 已知a、b都是非零向量，且向量a+3b与7a-5b垂直，向量a-4b与7a-2b垂直，求向量a与b的夹角.错解：由题意得（a+3b）·（7a-5b）=0（a-4b）·（7a-2b）=0，即7a2+16a·b-15b2=07a2-30a·b+8b2=0，两式相减得46a·b-23b2=0，即b（2a-b）=0，所以，b=0（不合题意舍去）或2a-b=0，由2a-b=0知a与b同向，故向量a与b的夹角为0°.剖析：本题误用实数的性质，即实数a、b若满足ab=0则必有a=0或b=0，但对于向量a、b，若满足a·b=0则不一定有a=0或b=0，因为由a·b=|a|·|b|cosθ知与θ有关，当θ=90°时，a·b=0恒成立，此时a、b均可以不为0.正解：由前知b2=2a·b代入7a2+16a·b-15b2=0得a2=2a·b，所以，a2=b2=2a·b，故cosθ=a·b|a|·|b|=12|a2||a2|=12.二、晒晒复数中的错解1.将“实数的相关公式”迁移到复数中而致误例5 在复数范围内，方程x2-5|x|+6=0的解的个数为.错解：由x2-5|x|+6=0，得（|x|-2）（|x|-3）=0，那么，|x|=2或|x|=3，从而x=±2或x=±3，故答案为4.剖析：在实数中我们经常用到x2=|x|2，有时因为这种代换而产生巧解，但在复数中它是不成立的.正解：设x=a+bi（a，b∈R），那么原方程即为（a+bi）2-5a2+b2+6=0，得a2-b2-5a2+b2+6=0，2ab=0，故a=±2，b=0或a=±3，b=0或a=0，b=±1.所以正确答案为6.例6 （1-i1+i）5的化简结果是.错解：由（1-i1+i）5=[（1-i1+i）4]54=[（1-i）4（1+i）4]54=[（-2i）2（2i）2]54=154=1，故答案为1.剖析：在实数集中，对任意x∈R（m，n∈R），有xmn=（xm）n；而在复数集中，仅对m，n∈N*有xmn=（xm）n.此错解盲目的将实数集中的指数运算的法则直接推广到了复数集.正解：（1-i1+i）5=（1-i1+i）4·1-i1+i=（1-i）4（1+i）4·（1-i）（1+i）（1+i）（1+i）=（-2i）2（2i）2·22i=-i2i=-i，故正确答案为-i.2.忽视复数相等的条件致误例7 解关于x的方程x2-5x+6+（x-2）i=0.错解：由复数相等的定义得：x2-5x+6=0x-2=0x=2或x=3x=2x=2.分析：a+bi=c+dia=c，b=d，上式必须是在a、b、c、d∈R为前提的，本题并未告诉x是否为实数.正解：原方程变形为x2-（5-i）x+6-2i=0，则Δ=（5-i）2-4（6-2i）=（1-i）2.由一元二次方程求根公式得：x1=（5-i）+（1-i）2=3-i，x2=（5-i）-（1-i）2=2，∴原方程的解为x=3-i或x=2.3.忽视使用判别式的条件致误例8 关于x的方程x2+（2a-i）x-ai+1=0有实根，求实数a的范围.错解：∵方程有实根，∴Δ=（2a-i）2-4（1-ai）=4a2-5≥0，得a≥52或a≤-52即为所求.剖析：判别式Δ只能用来判定实系数一元二次方ax2+bx+c=0（a≠0）根的虚实，而该方程式中2a-i与1-ai并非实数.正解：设x0是其实根，代入原方程变形为x20+2ax0+1-（a+x0）i=0，由复数相等的定义有x20+2ax0+1=0x0+a=0a=±1.4.忽视虚根共轭成对出现的条件致误例9 已知x2+kx-i=0有一个根是i，求另一个根及k的值.错解：根据一元n次方程虚根成对原理，i是其一根，则i的共轭虚数-i必是其另一根，由韦达定理有i+（-i）=k，∴k=0.剖析：虽然韦达定理对复系数一元n次方程仍成立，但只有实系数一元n次方程的虚根才成对共轭出现，本题系数并非实数.正解：因i是其根，代入原方程i2+ki-i=0，由此得k=1-i，设x0是另一根，则由韦达定理得x0i=-i，从而得x0=-1.（作者：张新艳，太仓市明德高级中学）。

向量解题的心得体会篇一：高中数学课堂教学心得体会高中数学课堂教学心得体会【摘要】：课堂教学是学生在校期间学习科学文化知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育和素质教育的主渠道。

课堂教学不但要加强双基而且要提高智力;不但要发展学生的智力，而且要发展学生的创造力;不但要让学生学会，而且要让学生会学，特别是自学，尤其是在正课上，不但要提高学生的智力因素，而且要提高学生在课堂45分钟的学习效率，尽量在有限的时间里，出色地完成教学任务。

【关键词】：课堂教学;体会;互动交流教育家施瓦布曾经指出如果要学生学习科学的方法，那么有什么学习比通过积极地投入到探究的过程中去更好呢?这句话对科学教育中的探究性教学和学习深远的影响。

美国心理学家布鲁纳认为：探索是数学的生命线。

在数学课堂教学中，教师创设情景，为学生构建一种开放的学习环境，教师通过提问引思，师生探究互动，建立模型，并加以应用与拓展，从而引起学生探索的兴趣，达到课堂教学的目标效能。

那么，高中数学课堂教学如何在新课改下体现，实现师生双方的协同发展呢?经过笔者近3年的课堂教学实验探索，认为在课堂教学中，教师应注意构建和谐、民主的课堂教学氛围，鼓励学生积极思考，大胆质疑，爱护学生的好奇心、求知欲，倡导自主、合作、探究的学习方式，为学生提供发表不同意见的机会，逐步形成创新意识。

本文拟从以下几个个方面做一些探讨，供同行参考。

有明确的教学目标，能突出重点、化解难点教学目标分为三大领域，即认知领域、情感领域和动作技能领域。

因此，在备课时要围绕这些目标选择教学的策略、方法和媒体，把内容进行必要的重组。

在数学教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。

如《向量及其运算》这一课是整个向量这一章的第一课，在备课时应注意，通过这一课的教学，使学生能利用辩证唯物主义的观点来解释向量的产生和发展，体会到向量本身存在我们的周围，来激发学生的求知欲望，同时也就提高了学生自己分析问题和解决问题的能力。

For personal use only in study and research; not for commercial use错解剖析得真知（四十）§13．3 算法案例一、知识导学1．算法设计思想：（1）“韩信点兵—孙子问题”对正整数m从2开始逐一检验条件，若三个条件中有任何一个不满足，则m递增1，一直到m同时满足三个条件为止(循环过程用Goto语句实现)（2）用辗转相除法找出的最大公约数的步骤是：计算出的余数，若，则为的最大公约数；若，则把前面的除数作为新的被除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为正整数的最大公约数.2.更相减损术的步骤：（1）任意给出两个正数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.（3）二分法求方程在区间内的一个近似解的解题步骤可表示为S1 取[]的中点，将区间一分为二；S2 若，则就是方程的根；否则判别根在的左侧还是右侧：若，，以代替；若，则，以代替；S3 若，计算终止，此时，否则转S1.二、疑难知识导析1．表示不超过的整数部分，如，但当是负数时极易出错，如就是错误的，应为-2.2．表示除以所得的余数，也可用表示.3．辗转相除法与更相减损术求最大公约数的联系与区别：（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.4．用二分法求方程近似解，必须先判断方程在给定区间[]上是否有解,即连续且满足.并在二分搜索过程中需对中点处函数值的符号进行多次循环判定，故需要选择结构、循环结构，即可用Goto 语句和条件语句实现算法.三、经典例题导讲[例1]，，，7= .A．16，-1，4，3 B.15，0，4，3 C.15,-1,3,4 D.15,-1,4,3错解：根据表示不超过的整数部分, 表示除以所得的余数,选择B. 错因:对表示的含义理解不透彻,将不超过-0.05的整数错认为是0,将负数的大小比较与正数的大小比较相混淆.正解：不超过-0.05的整数是-1,所以答案为D.[例2] 所谓同构数是指此数的平方数的最后几位与该数相等.请设计一算法判断一个大于0且小于1000的整数是否为同构数.错解：算法思想：求出输入数的平方，考虑其个位或最后两位或最后三位与输入数是否相等，若相等，则为同构数.Read xIf or or ThenPrint xEnd ifEnd错因：在表示个位或最后两位或最后三位出现错误，“/”仅表示除，y/10,y/100,y/1000都仅仅表示商.正解：可用来表示个位，最后两位以及最后三位.Read xIf or or ThenPrint xEnd ifEnd[例3]《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”可以用下面的算法解决：先在纸上写上2，每次加3，加成5除余3的时候停下来，再在这个数上每次加15，到得出7除2的时候，就是答数.试用流程图和伪代码表示这一算法.解：流程图为：伪代码为：102030 If Then Goto 2040 If ThenPrintGoto 8050 End if6070 Goto 4080 End点评：这是孙子思想的体现，主要是依次满足三个整除条件.[例4]分别用辗转相除法、更相减损法求192与81的最大公约数.解：辗转相除法：S1S2S3S4S5故3是192 与81 的最大公约数.更相减损法：S1S2S3S4S5S6S7S8S9故3 是192与81的最大公约数.点评：辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少.辗转相除法是当大数被小数整除时停止除法运算，此时的小数就是两者的最大公约数，更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时减法停止，较小的数就是最大公约数.[例5]为了设计用区间二分法求方程在[0，1]上的一个近似解（误差不超过0.001）的算法,流程图的各个框图如下所示,请重新排列各框图,并用带箭头的流线和判断符号“Y”、“N”组成正确的算法流程图,并写出其伪代码.(其中分别表示区间的左右端点)图13-3-2流程图为图13-3-3伪代码为10 Read20304050 If Then Goto 12060 If Then70100 End if80 Else90100 End if110 If Then Goto 20120 Print130 End点评：二分法的基本思想在必修一中已渗透，这里运用算法将二分法求方程近似解的步骤更清晰的表述出来.[例6]用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为.解：根据秦九韶算法，此多项式可变形为按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当时的值：故当时多项式的值为.点评：秦九韶算法的关键是n次多项式的变形.把一个次多项式改写成，求多项式的值，首先计算最内层括号内一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这样把求次多项式的值问题转化为求个一次多项式的值的问题，这种方法成为秦九韶算法.这种算法中有反复执行的步骤，因此，可考虑用循环结构实现.四、典型习题导练1．以下短文摘自古代《孙子算经》一书，其引申出的“大衍求一术”称为“中国剩余原理”：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”答曰（）.A．二十一 B.二十二 C.二十三 D.二十四2．用辗转相除法求52与39的最大公约数的循环次数为（）.A．1次 B.2次 C.3次 D.5次3．下面程序功能是统计随机产生的十个两位正整数中偶数和奇数的个数，并求出偶数与奇数各自的总和.For I from 1 to 10Print x;If ThenElseEnd IfEnd forPrintPrint “奇数个数=”；，“偶数个数=”；4．若一个数的各因子之和正好等于该数本身，则该数成为完数.请补充完整下列找出1～100之间的所有完数的伪代码.For from 2 to 100For b from 2 toIf mod(a,b)=0 ThenEnd ifEnd ForIf ThenPrint aEnd ifEnd ForEnd5．设计求被9除余4，被11除余3的最小正整数的算法，画出流程图，写出伪代码.6．利用辗转相除法或更相减损术求324,243,135的最大公约数.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

错解剖析得真知（十二）§4.3数列的综合应用一、知识导学1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S n还是求a n.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.二、疑难知识导析1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；3.等差数列中, a m=a n+ (n－m)d, ; 等比数列中，a n=a m q n-m;4.当m+n=p+q（m、n、p、q∈）时，对等差数列｛a n｝有：a m+a n=a p+a q；对等比数列｛a n｝有：a m a n=a p a q；5.若{a n}、{b n}是等差数列，则{ka n+bb n}(k、b是非零常数)是等差数列；若{a n}、{b n}是等比数列，则｛ka n｝、{a n b n}等也是等比数列；6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；7.对等差数列｛a n｝,当项数为2n时，S偶-S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈）；8.若一阶线性递推数列a n=ka n－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式.三、经典例题导讲[例1]设是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和.证明：。