立体几何 错解剖析得真知

一道立体几何题错解分析案例及反思陶晶【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2013(000)010【总页数】2页(P21-22)【作者】陶晶【作者单位】江苏省南京市江宁高级中学 211100【正文语种】中文1 教学案例在一次作业中，给学生布置了这样一道题：如图1，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1的面积是10 cm2，对棱CC1到平面ABB1A1的距离是6cm，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积是______.图1师：这次作业中，本题的错误率非常高，错误答案主要有两个：20cm3和60cm3.下面我们逐一分析他们错误的原因.我们先来分析20cm3.生1：20cm3的计算过程应该是×10×6＝20，但这个是棱锥的体积公式，所以错了.师：错误原因很明显.不过在刚才同学分析的基础上，我们可以再思考一下，题目的三棱柱中有这样的锥体存在吗？图2生2：刚才那个计算公式×10×6＝20可以看作四棱锥C-ABB1A1的体积，而，就是小三棱锥C－A1B1C1 不好求.生3：三棱锥C-A1B1C1的体积我还没算出来，但是我发现：它与三棱柱ABC-A1B1C1有共同的底面 A1B1C1，且等高 . 因此，生4：因为，所以＝20cm3，因此＝30cm3.这时还有同学举手表示有不同方法. 生5：受生4解法的启发，由刚才的结果知四棱锥C-ABB1A1的体积是三棱锥C-A1B1C1的体积的两倍，所以我的解法是这样的：由等底同高证明，得生众：太棒了，原来如此啊！这就是传说中的“切割法”！此时，教师顺势点评：原来大家距离成功如此之近，有时真理和错误确实只有一步之遥.下面我们不妨再试着分析另一个典型错误结果，并且尝试看看有没有其他的方法解决本题.学生很快安静下来，陷入沉思.这时生6举手提问：“老师，我认为这个计算过程应该是10×6＝60cm3，用的是柱体的体积公式，我还没弄明白错误原因，但是觉得它是正确答案30cm3的两倍，所以……”.还没等他说完，就有不少学生开始笑他.笔者看出生6急切想表达自己想法的眼神，立刻示意其他同学安静，让他继续回答：“所以我在想能不能再拼一个同样大小的三棱柱，两个体积加起来不就是60cm3？”这个提法激起了所有同学的思考兴趣，大家都低头思考，用笔画起来.同时，笔者很坚定地表扬了生6的质疑：“生6的想法非常棒！这是一个善于发散性思维的同学，既然刚刚我们用切割的方法解决了问题，那么用补的方法是否也可以哦，同学们赶快试试！”很快生6再次举手回答：“老师，我用两个全等的三棱柱拼成了一个四棱柱，而这个四棱柱的体积是10×6＝60cm3.”这水到渠成的结果恰恰是笔者准备自己给学生补充的另解“补形法”，为了让其他同学明白，笔者用早已准备好的几何画板课件演示了两个三棱柱合并成四棱柱，以及一个三棱柱切割成三个小三棱锥的动态过程，在学生们的惊叹声中，这堂课的主题“割补法”也得到了非常完美、自然地呈现.2 案例反思传统的错题讲解最大特点是以知识本身的正确思维过程为出发点，通过与学生的错误思维过程的对比达到深化知识与方法的目的.它有利于帮助学生建立系统的知识结构和完善的方法体系，有利于培养思维的严密性，进而提高解题的正确率.因此，笔者课前首先想到的讲解方式就是找几个做对的学生介绍方法，再通过题组加以强化训练.细细想来，又觉不妥.如此教学，课堂就会变成少数几个人的课堂，其他人则是被动地接受，是一种“变相的灌输”.同时，这样的教学更会让学生感觉技巧的冰冷，个人的无奈.那么，究竟如何讲解才能让学生在感悟方法的同时，在灵魂上拉近与数学的距离呢？建构主义学习观认为，学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程.而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提.利用学习错误，并及时引发这种“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批评性的再思考，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行再思考，以求得新的深入认识，这既有利于问题解决又培养了学生的反思能力.于是笔者安排了这一节由学生自己来“找茬”，分析错误原因的错题辨析课。

一道2020年全国高考立体几何题的多解及教学反思在2020年的全国高考中，立体几何题一直是考试中的难点之一。

本文将通过对一道立体几何题的多解及教学反思，探讨学生在解题过程中的思维方式和教学中的不足之处。

这道立体几何题如下：在空间直角坐标系中，已知点A（2，1，1）、B（4，2，3）。

设C为曲线x^2+2y^2=4z上的一点，且直线AC与线段BC的夹角为直角。

求曲线C的方程。

这道题要求我们求解曲线C的方程。

通过分析题目中给出的条件，我们可以得到以下解题思路。

解法一：首先，我们需要确定直线AC和线段BC的具体位置。

根据题目条件，直线AC与线段BC的夹角为直角。

因此，直线AC与BC的向量相互垂直。

接下来，我们可以求解直线AC的方程。

设直线AC的方程为l1：x = 2 + m，y = 1 + n，z = 1 + p，其中m、n、p为参数。

将l1代入曲线的方程中，得到：(2 + m)^2 + 2(1 + n)^2 = 4(1 + p)。

化简后得到：4 + 4m + m^2 + 2 + 4n^2 + 4n = 4 + 4p。

化简后得到：m^2 + 2n^2 + 4m + 4n - 4p = 0。

这个方程表示了直线AC和曲线C的交点。

我们需要进一步确定参数m、n和p的取值范围。

由于点C位于曲线上，将C的坐标代入曲线的方程中，得到：x^2 + 2y^2 = 4z，(2 + m)^2 + 2(1 + n)^2 = 4(1 + p)。

化简后得到：m^2 + 4m + 2n^2 + 4n - 4p = 0。

将直线AC的方程和曲线C的方程联立，求解参数m、n和p。

解法二：另一种解题思路是利用点积和向量的知识。

根据题目中给出的条件，直线AC和线段BC垂直。

因此，向量AC和向量BC的点积为0。

设向量AC为a（m，n，p），向量BC为b（4 - 2，2 - 1，3 - 1） = b（2，1，2）。

根据向量的点积性质，我们可以得到方程：m·2 + n·1 + p·2 = 0。

立体几何中的易错点剖析作者：祁居攀来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2015年第12期立体几何是中学数学教学的重点内容之一，也是历届高考命题的热点.求解立体几何问题时，常因概念不清晰，理解不透彻，盲目地套用性质定理等导致错解.一、概念不清导致错解例1 判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）一点和一条直线确定一个平面；（2）经过同一点的两条直线确定一个平面；（3）首尾顺次相接的四条线段在同一平面内.错解：（1）正确.错因：忽视公理2中“不在一条直线上的三点”这个条件.（3）正确.错因：空间四边形的四条边不共面.正解：（1）不正确.如果点在直线上，这时有无数个平面；如果点不在平面上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知有唯一一个平面.（2）正确.经过同一点的两条直线是相交直线，能确定一个平面.（3）不正确.四边形中三点可以确定一个平面，而第四点不一定在此平面内，因此这四条线段不一定在同一平面内.例2 给出下列几种说法：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；（4）过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确说法的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3错因分析：错解一：认为（1）正确，没有考虑已知点在直线上的情形；错解二：认为（2）正确，没有在空间考虑问题，还是局限于初中平面几何的思维方式；错解三：认为（3）正确，没有正理解线面平行的定义.正解：（1）当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故（1）错；（2）由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故（2）错；（3）过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故（3）错；（4）过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故（4）对.二、定义理解不清导致错解例3 四面体ABCD中如图所示，E，F分别是AB，CD的中点，若BD，AC所成的角为60°，且BD=AC=1，求EF的长度.错解：取AD中点O，连OE，OF，直接由条件得∠EOF=60°得EF=OE=OF=12.错因分析：没有真正理解两异面直线所成角的定义，∠EOF可能是BD，AC所成的角或其补角.在解题过程中，通过直线的平移得到角，只有锐角或直角才是两异面直线所成的角.正解：取AD中点O，连OE，OF，∵OE∥BD，OF∥AC，∴OE与OF所成的锐角或直角，即为BD，AC所成的角，而BD，AC所成的角为60°，所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.当∠EOF=60°时，EF=OE=OF=12.当∠EOF=120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，EF=2EM=2×34=32.三、忽视判定定理中的条件导致错解例4 已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点.求证：平面BDF∥平面B1D1E.错解：错解一：漏掉解题过程中的BF平面B1D1E，D1E平面B1D1E.错解二：漏掉解题过程中的BF∩BD=B.错因分析：缺一不可，应用判定定理时需把条件罗列完全.错解二：忽视了面面平行的判定定理中有五个条件，也是缺一不可，若没有两”相交”直线这个条件，不一定有面面平行，也可能相交.正解：如图，取BB1的中点G，连接EG，GC1，则有EGA1B1，A1B1C1D1，∴EGC1D1，四边形EGC1D1是平行四边形.∴D1EGC1，又∴BGC1F，∴BF∥C1G，∴BF∥D1E，又BF平面B1D1E，D1E平面B1D1E，∴BF∥平B1D1E.又∵BD∥D1B1，同理可得BD∥平面B1D1E，又BF∩BD=B，由平面与平面平行的判定定理得：平面BDF∥平面B1D1E.四、盲目地套用性质定理导致错解例5 如图所示，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平形四边形.错解：平面A1ADD1∥平面B1BCC1，由面面平行的性质定理得D1E∥FB，同理EB∥FD1，所以四边形BED1F是平形四边形.错因分析：主要错误在于没有确定B，E，D1，F四点是否满足面面平行的性质定理的条件，盲目地套用性质定理.正解：如图所示，取D1D的中点G连接EG，GC.∵E是AA1的中点，G是D1D的中点，∴EGAD.由正方体性质知BCAD，∴EGBC，所以四边形EGCB是平形四边形，∴EBGC ①又∵G，F分别是D1D，CC1的中点，∴D1GFC，四边形是D1GCF平形四边形，∴D1FGC ②由①②得EB∥D1F. ③又平面A1ADD1∥平面B1BCC1，平面EBFD1∩平面A1ADD1=ED1，平面EBFD1∩平面B1BCC1=BF，∴ED1∥BF，④由③④得，四边形BED1F是平形四边形.例6 已知：平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，如图所示，求证：PA⊥平面ABC.错解：在平面ABC内任取一点D，过点D在平面ABC内作平面ABC的垂线DG，平面PAC的垂线DF.错因分析：不能说作平面的垂线，在一个平面内作另一个平面的垂线，若两个平面不垂直，则不能作出，若两个平面垂直，只需作交线的垂线即可.正解：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴DF⊥平面PAC，∵PA平面PAC，∴PA⊥DF.同理可证：PA⊥DG，DF∩DG=D，且DF平面ABC，DG平面ABC，∴PA⊥平面ABC.。

立体几何中的典型错误及错因剖析作者：殷高荣来源：《中学课程辅导·高考版》2017年第12期立体几何重点培养同学们的空间想象能力，高考中重点考查空间点、线、面的位置关系及空间几何体的表面积和体积.但不少同学常因概念不清晰，平行与垂直关系的判定和性质定理理解出现偏差等等导致概念辨析题出现错误，证明题条件不全面导致格式不规范等.故在高三复习中，要在这些易错点上，强化正误辨析意识，加强训练的针对性，提高复习效率.本文意在从剖析立体几何的常见错误出发，给同学们指引方向，养成良好的解题习惯.易错点一：概念不清导致错解例1给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.则以上命题正确的是（填序号）.错解：①②③错因分析：不理解确定一个平面的依据，思考问题时还停留在平面图形中，空间想象能力不够.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因為此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.故④错误.正解：①例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为（填序号）.错解：①②③④错因分析：没有掌握空间几何体中两条直线位置关系的判断方法.其中异面直线的判定可以通过其判定定理，相交直线必须有一个公共点.A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B 中，但C平面AD1C1B，C1AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，BMB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确.正解：③④易错点二：定义理解不清导致错解例3若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是.错解：b与α相交或b∥α错因分析：直线与平面的位置关系的定义理解不清，在判断时最易忽视“线在面内”.直线b 与平面α的位置关系还有bα.所以b与α相交或bα或b∥α都可以.正解：b与α相交或bα或b∥α例4已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题：①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面.其中正确的是（填序号）.错解：③④错因分析：没有真正理解线面平行、线面垂直的定义、判定定理和性质定理.对于①，α，β可能相交，故错误；对于②，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；对于③，若mα，α∩β=n，m∥n，则m∥β，故错误；对于④，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故④正确.正解：④总之，判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理.要善于结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.易错点三：忽视判定定理中的条件导致解题格式不规范例5在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB=BC=12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.（1）求证：AP∥平面BEF；（2）求证：GH∥平面PAD.错解：证明：（1）连接EC，∵AD∥BC，BC=12AD，E为AD的中点，∴BC平行且等于AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，∴AP∥平面BEF.（2）连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.错因分析：在第（1）问解题过程中的漏掉“FO平面BEF，AP平面BEF，”，缺一不可，应用判定定理时需把条件罗列完整.在第（2）问解题过程中直接从两相交直线平行证得两平面平行，跳步严重.正解：证明：（1）连接EC，∵AD∥BC，BC=12AD，E为AD的中点，∴BC平行且等于AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，又FO平面BEF，AP平面BEF，∴AP∥平面BEF.（2）连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，又PD平面PAD，FH平面PAD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又∵AD平面PAD，OH平面PAD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.总之，判断或证明线面平行的常用方法有：①利用反证法（线面平行的定义）；②利用线面平行的判定定理（aα，bα，a∥ba∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，aαa∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，aβ，a∥αa∥β）.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.其中需要特别注意的是：在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.易错点四：空间几何体中一些结论直接应用导致解题不规范例6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E.求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1.错解：（1）连接A1B，则点D为A1B的中点，又知AB1的中点为D，故DE∥A1C1；又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.错因分析：在第（1）问解题过程中直接得到点D为A1B的中点，这是不规范的.要先利用三棱柱的性质证明得到其侧面是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分得到点D 为A1B的中点.解题时可以避开这个易错点.正解：证明：（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.（2）因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1.易错点五：盲目地套用性质定理导致错解例7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点.（1）求证：直线AE⊥直线DA1；（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.错解：在平面ABCD内，过点D在平面ABCD内作平面AEH的垂线DF.错因分析：不能说作平面的垂线，在一个平面内作另一个平面的垂线，若两个平面不垂直，则不能作出，若两个平面垂直，只需作交线的垂线即可.正解：（1）连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1=A，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.（2）所示G点即为A1点，证明如下：由（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连结AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，可证DF⊥平面AHE，∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D=D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.總之，（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥αb⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥βa⊥β）；④面面垂直的性质（α⊥β，α∩β=a，l⊥a，lβl⊥α）.（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.（作者：殷高荣，如皋市教育局教研室）。

专题09立体几何易错点一：对斜二测法规则掌握不牢（斜二测求算面积及周长）水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度减为原来的一半.(1)判断平面四边形OABC 的形状并求周长；(2)若该四边形OABC 以OA 为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积变形1．如图，梯形1111D C B A 111111112,2,3A B C D A B C D ==∥变形2．如图所示，正方形O A B C ''''是一个水平放置的平面图形(1)求原图形的面积；(2)将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．OABC 与正方形O A B C ''''的各点分别一对应，如变形3．（1）如图，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；（2）在(1)中若2A C ''＝，//B D y '''轴且1．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，(1)画出它的原图形，(2)若2,A C A B C ''=''' 的面积是32，求原图形中AC 边上的高和原图形的面积.2．画出图中水平放置的四边形ABCD 的直观图A B C D ''''，并求出直观图中三角形B C D ⅱ的面积.3．用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且A DBC ''''∥．(1)求原平面图形ABCD 的面积；(2)将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．4．如图所示，正方形O A B C ''''是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，其中1O A ''=.(1)求原图形的面积；(2)将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形OABC(1)求原平面图形ABCD (2)将原平面图形ABCD 6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示．已知∥B C ''．(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形(2)将原平面图形ABCD 绕BC 7．如图，梯形O A B C ''''是水平放置的四边形3O B B C '=''='．(1)在下面给定的表格中画出四边形9．如图所示，O A B C ''''为四边形(1)画出四边形OABC 的平面图并标出边长，并求平面四边形(2)若该四边形OABC 以OA 10．如图，矩形O A B C ''''是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形1O C ''=.(1)画出平面四边形OABC 的平面图，并计算其面积；(2)若该四边形OABC 以OA 为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积11．在ABC 中，角A B C ，，所对边分别为(1)证明：ABC 为等边三角形；(2)若（1）中的等边ABC 边长为注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤易错点二：空间点、线、面位置关系不清（点、线、面之间的关系）结论：①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线⊄面》②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（⊂）》⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《⎩⎨⎧⊥⊥⊥⊥∥∥面、线、、》易错提醒：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。

对一立体几何题的错解分析———兼谈中学数学中的距离毛立雨(江苏省六合高级中学　211500) 高中数学一些教学辅导资料中有类似这样一道题:在二面角α-a -β中,若A ∈α且A 到a 的距离是A 到β距离的2倍,求二面角α-a -β的大小?简要解答:过点A 作a 的垂直平面交二面角α-a -β的面可得图1、图2的截面图,由立体几何知识易知,A O 为A 到a 的距离,A H (A H ⊥OB 于H )为A 到β的距离,∠A OB 为二面角α-a -β的平面角.由于A O 与A H 之比为2,于是∠A OB =45°,故所求二面角的大小为45°或135°.该解答是错误的,结果只能有第一种情形,即45°. 图1 图2 图3要搞清解法错误的原因,必须搞清距离的意义.为此,可考虑实际问题:如图3,海岸有一直停靠岸AB ,长1000m ,在停靠岸两端A 、B 处分别测得海面上一只船在北偏西30°、北偏西60°的C 处.若船以100m/min 的速度驶向海岸,问船最少需几分钟可到达靠岸AB (海是风平浪静的)?为解决此问题,应先确定表示点C 到线段AB 的距离,根据人们的生活实践经验,该距离应为线段A C ,而非CH.集合是数学最基本的概念之一,也是重要的思想方法.从集合的观点看,该问题可归结为两个点集(分别由点C 、线段AB 上的点所组成)间的距离.考虑到实际意义,距离应这样界定:设R 是一个非空集合,假如对于R 中任意一对元素x 、y ,都给定一个实数ρ(x ,y )与它们对应,而且适合如下条件:1°ρ(x ,y )≥0,又ρ(x ,y )=0的充要条件是x =y ;2°成立三角不等式:ρ(x ,y )≤ρ(x ,z )+ρ(y ,z )(z ∈R ),那么称ρ(x ,y )是两点x 、y 之间的距离,又称R 按照距离ρ(x ,y )成为度量空间或距离空间,记为(R ,ρ),或者简单的记作R.R 中的元素称为点[1].设x ∈R n (R n 是度量空间),E 是R n 中的非空点集,称d (x ,E )={|x -y |:y ∈E}为点x 到E 的距离.若E 1与E 2是R n 中的非空点集,称d (E 1,E 2)=inf {|x -y |:x ∈E 1,y ∈E 2}为两点集E 1、E 2之间的距离,也可以等价地定义为inf {d (x ,E 2):x ∈E 1}或{d (y ,E 1):y ∈E 2}[2].因此,两点集的距离可这样理解:首先在实际问题中抽象概括出两点间距离;然后将两点集的距离转化为两点的距离,即在两个点集中各任取一点,所有这样两点的距离的最小值(下确界).中学里有这样错误的认识:“距离就是垂直距离(高的大小),中学只谈垂直距离”.中学几何中的高是与垂直有关的.譬如,三角形的高线(简称三角形高)是:从三角形的顶点向它的对边或者对边延长线(所在的直线)引垂线,顶点与垂足之间的线段[3][4].垂直距离在中学数学中没有明确的定义,平时人们所讲的垂直距离是对点到直线、两平行直线、直线与平行平面、两平行平面的距离的抽象概括.这些距离共同点首先表现在,确实反映了在两个点集中点分别各取一点而成的所有线段的最小值;其次表现在表示距离的线段均与垂直有关.有的人只看到高与这里的垂直距离的共性“垂直”,而忽略了距离的“最小值”本质,错误地认为“距离就是垂直距离(高的大小)”.如果这样实例中的船应垂直到达H 而非到达停靠岸AB.这显然与人们的生活经验不符,也与距离的本质意义相违背.造成“距离就是垂直距离(高的大小),在中学只谈垂直距离”的错误认识与有关教材的不妥说法有关.有教材将三角形的高定义为:从三角形一个顶点41数学教学研究 2004年第9期向对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线,简称高[5];将柱(包括台)、锥的高分别定义为:两个底面的距离、顶点到底面的距离[6].这些定义更易造成“距离就是垂直距离(高的大小)”的错误认识.因此梯形的高应定义为:两条底边所在的直线的距离;柱(包括台)、锥的高应分别定义为:两个底所在的平面的距离、顶点到底所在的平面的距离.经调查知,正因为有部分中学数学教师没有理解距离的本质含义,没有弄清距离与垂直距离的区别,经常以“中学不研究”来回避学生所问及的,诸如两相交直线、两相交平面距离是多少的问题.其实,只要将每个问题中的两个图形分别看作一点集,由距离的意义易知它们的距离均为0.顺便指出,此立体几何课本中的二面角的定义知:二面角中的面应该都是半平面,故点A到β的距离中的β自然指的是半平面.据调查,解引例时有不少人自觉或不自觉地将半平面β看成一个平面,于是点A到β的距离也就成了点A到半平面β所在的平面距离了.这样岂不是有偷换概念之嫌疑?此立体几何题本身没有错误,答案只有一个.要想得到引例中的两个答案,可这样修改“在二面角α-a-β中,若A∈α且A到a的距离是A到β所在平面的距离(或A到a的距离是A到β的垂直距离)的2倍,求二面角α-a-β的大小?”参考文献[1]　夏道行.实变函数论与泛函分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,1985.[2]　周民强.实变函数[M].北京:北京大学出版社,1985.[3]　曹才翰.中国中学教学百科全书(数学卷)[M].沈阳:沈阳出版社,1991.[4]　义务教育课程标准研制组,北京师范大学国家基础课程标准实验教材总编委会.义务教育课程标准实验教科书(七年级下册・教师用书)[M].北京:北京师范大学出版社,2001. [5]　人民教育出版社中学数学室.几何(初中・第二册)[M].北京:人民教育出版社,1993. [6]　人民教育出版社中学数学室.数学(全日制普通高级中学教科书,实验修订本,必修第二册,下A)[M].北京:人民教育出版社,2001.新课程单位向量问题探究性教学的实践与思考王　琪(江苏省盐城中学　224001) 新的课程标准十分强调“探究”一词,但以往一些教师在教学中往往忽视“探究”.学生在学习中缺少主动的参与和积极的思考,更缺少依靠自己的实践去积极获得知识的探究过程.学生只能靠一根拐杖指引着,离开了拐杖就会失去方向.学生要的是亲身经历、自己感受、独立探索的过程.因此,教师要积极全面地准备“探究”,在“探究”中培养学生分析问题、探索问题、解决问题的能力.下面以新课程《数学》第一册(下)平面向量中单位向量复习教学为例,谈几点看法.1　设计问题情境,步步设疑,步步探究“平面向量”这一章的概念较多,单位向量是其中一个不起眼的概念,一般教者并不强调探究过程,往往是一带而过.这必然会影响学生对这一基本概念的深刻理解,也就不可能做到灵活运用这一概念去解决问题,在解题时就往往会出现审题困难、“读不懂”题目的状况.如果强调探究过程,那么可以设置这样的问题情景:O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足O P=OA+λ(AB|AB|+ A C|A C|),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△AB C的( ).(A)外心　(B)内心　(C)重心　(D)垂心.这是2003年新课程卷第5题,不少同学对其中条件AB|AB|和A C|A C|.那么这512004年第9期 数学教学研究。