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第七章三角形

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第 1 页 共 26 页 第七章 三角形 一、 基础知识 （一）与三角形有关的线段 1三角形： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形叫做三角形。 2三角形的边：组成三角形的三条线段是三角形的边。 3三角形的角：在三角形中，相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。 4三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。 5三角形的高、中线、角平分线的定义及性质。 6三角形具有稳定性。 （二）与三角形有关的角 1三角形的内角和等于（180°） 2三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 3三角形的外角和（360°）。 4.直角三角形的两个锐角互余。 （三）多边形及其内角和 1多边形 ：一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的平面图形称为n边形，又叫多边形。 2正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边也向等的多边形叫正多边形。 3多边形的对角线：在多边形中，连接两个不相邻角顶点的线段叫多边形的对角线，每

个多边形有 )3(21nn 条对角线。 4多边形的内角和：n边形的内角和等于（（n-2）•180°） 5四边形内角的特殊性：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。 6多边形的外角和：从多边形每个内角相邻的两个外角中，分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。 任意多边形的外角和等于 （360°）。 （四）三角形的分类 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； 按边分类：不等边三角形、等腰三角形 （包含底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形） （五）镶嵌 1、平面镶嵌：从数学角度看，用不重叠在一起的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面或平面镶嵌。 2、用相同的正多边形镶嵌 （1） 围绕一点镶嵌在一起的n个多边形的内角恰好是一个周角，则这种正多边形可以做平面镶嵌。 （2） 用相同的正多边形镶嵌，只有正三角形、正方形、正六边形可以，其他正多边形都不可以。 3、利用多种正多边形进行镶嵌 用两种不同的正多边形镶嵌： （1）3个正三角形和2个正方形 第 2 页 共 26 页

（2）2个正三角形和2个正六边形 用三种不同的正多边形镶嵌：正三角形、正八边形和正二十四边形就可以进行镶嵌。

（二）经典例题

例1：已知三条线段的比是:①1:3:4;②1:2:3;③1:4:6;④3:3:6;⑤6:6:10;⑥3:4:5.其中可构成三角形的有( )A.1个 B.2个 C.3个 C.4个 [考点透视]本例主要是考查三角形的三边关系：三角形的任意两边和大于第三边，任意两边的差小于第三边 [参考答案]B 例2：如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是( ) A.6[考点透视]本例同样是考查三角形三边的关系，只不过问题是周长的取值范围，这是本题的失分点， [参考答案]D 例3：现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 ( ) A.10cm的木棒 B.20cm的木棒; C.50cm的木棒 D.60cm的木棒 [考点透视]本例考查三角形三边的关系在实际生活中的应用，主要是考查学生的应用意识 [参考答案]B

（三）适时训练 与三角形有关的线段过关训练 1.下图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．

2.下列说法： （1）等边三角形是等腰三角形； （2）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； （3）三角形的两边之差大于第三边； （4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.若三线段a,b，c满足a＞b＞c，若能构成一个三角形，则只需满足条件( ). A.a+b＞c B.b+c＞a C.c+a＞b D.b+c≠a 4.若三角形三边a,b,c满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0.则此三角形为( ). A.不等边三角形 B.一般等腰三角形 C.等边三角形 D.B、C都有可能 5.现有两根木棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架（•不计接头），则在下列四根木棒中应选取（ ） 第 3 页 共 26 页

A．10cm长的木棒 B．40cm长的木棒 C．90cm长的木棒 D．100cm长的木棒 6.下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A．3cm，12cm，8cm B．6cm，8cm，15cm C．2.5cm，3cm，5cm D．6.3cm，6.3cm，12.6cm 7.已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（ ） A．12 B．12或15 C．15 D．15或18 8.三角形两边长为2和9，周长为偶数，则第三边长为( ). A.7 B.8 C.9 D.10 9.等腰三角形的底边长为8 cm，则腰长的范围是( ) A．大于4 cm且小于8 cm B．大于4 cm且小于16 cm C．大于8 cm且小于16 cm D．大于4 cm 10.若三角形三边长是三个连续自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有()个. A．2 B．3 C．4 D．5 11.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是____．•若x是奇数，则x的值是______；这样的三角形有______个；•若x•是偶数，•则x•的值是______；这样的三角形又有________个． 12.△ABC周长27，三边长为三个连续奇数，则最长边长为_______，最短边长为_________.

13.a,b,c为△ABC的三边，化简bacacbcba=___________.

14.如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，试说明AC>12（BD+CD）．

15．已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，•若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为多少？

16．已知：P为△ABC内任意一点．求证：PA＋PB＋PC＞21 (AB＋BC＋CA)． 17．（综合题）已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b-2）2+│c-3│=0，且a为方程│x-4│=2的解，求△ABC的周长，判断△ABC的形状．

答 案 1．解：图中共有8个三角形，分别是：△BCA、△BCD、△BCE、△BCO、△BOD、•△COE、△BEA、△CDA． 点拨：数三角形的个数，一定要按一定的次序去数．如按图形的形成过程数，按三角形的大小顺序数等，切忌盲目，造成重复和遗漏． 2．B 点拨：说法（1）、（4）正确，故选B． 3. B 第 4 页 共 26 页

4. C 5．B 6．C 7．C 点拨：由题设知，等腰三角形的三边长可能为3，3，6或6，6，3． 但3+3=6，说明以3，3，6为边长构不成三角形． ∴这个等腰三角形的周长为15，故选C． 8. C 9. D 10.C 11．1cm点拨：∵（4-3）cm∵若x是奇数，则x的值是3cm，5cm； ∴这样的三角形有2个． ∵若x是偶数，则x的值是2cm，4cm，6cm； ∴这样的三角形有3个． 12.11, 7 13. a+b+c 14．解：在△ABD中，AB+AD>BD，因AB=AC，故AC+AC-CD>BD，即2AC>BD+CD．

从而可知AC>12（BD+CD）． 15．解：设第三条边长为c，其余两条边长分别为a和b，且a>b， 则有a+b+c为奇数，a-b=5，所以2b+5+c为奇数， 故c为偶数．又a-b5，c的最小值为6． 16.证明：∴PA＋PB＞AB，PB＋PC＞BC，PC＋PA＞AC， ∴2(PA＋PB＋PC)＞AB＋BC＋CA，

∴PA＋PB＋PC＞21 (AB＋BC＋CA)． 17. 解：∵（b-2）2≥0，│c-3│≥0，且（b-2）2+│c-3│=0， ∴b-2=0，c-3=0． 即b=2，c=3． ∵a为方程│x-4│=2的解， ∴a=2或6． 经检验，当a=6时，不满足三角形三边关系定理，故舍去． ∴a=2，b=2，c=3． ∴△ABC的周长为7，△ABC为等腰三角形．

三角形的高、中线与角平分线过关训练 一、填空题

1．如下图，AD是△ABC的角平分线，则∠_______=∠________=12__________；E在AC上，且AE=CE，则BE是△ABC的_________；CF是△ABC的高，则∠________=∠_________=90°，CF___________AB。 第 5 页 共 26 页

2．如下图，△ABC中，BC边上的高是___________；在△ACD中，DC边上的高是_________，在△EBC中，BC边上的高是_________，以CF为高的三角形是___________。

3．如图10，BD是△ABC的中线，AB=6cm，BC=4cm，则△ABD和△BCD的周长差为____________cm。

4．如图11，已知∠1=12∠BAC，∠2=∠3，则∠BAC的角平分线为_________，∠ABC的角平分线为_____________。

二、选择题 5．下列说法中正确的是 （ ） （1）平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 （2）三角形的中线、高和角平分线都是线段

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数学七年级下册第七章《三角形》教学设计

数学七年级下册第七章《三角形》教学设计

数学七年级下册第七章《三角形》教学设计一. 教材分析《数学七年级下册》第七章“三角形”是学生在学习了平面几何基本概念和直线、圆等基本几何图形的基础上，进一步深入研究三角形的性质和分类。

本章主要包括三角形的概念、三角形的性质、三角形的分类和三角形的判定等内容。

通过本章的学习，使学生了解三角形的有关性质，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在进入七年级下册之前，已经学习了平面几何的基本概念，对直线、圆等基本几何图形有一定的了解。

但部分学生对几何图形的认知仍较模糊，空间想象能力和逻辑思维能力有待提高。

此外，学生在学习过程中可能对一些概念和性质的理解存在困难，需要教师耐心引导和讲解。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的有关概念、性质和分类，能运用所学知识解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：三角形的有关概念、性质和分类。

2.难点：三角形性质的证明和运用，以及对一些特殊三角形的认识。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入三角形的概念，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动探究三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力。

3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论，共同完成探究任务，提高学生的团队合作意识。

4.归纳总结法：在教学过程中，引导学生总结三角形的性质和分类，加深对知识的理解。

六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。

2.教学课件：制作课件，展示三角形的相关图片和动画，辅助教学。

3.练习题：准备一些有关三角形性质和分类的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中常见的三角形图片，如自行车三角架、自行车的三角形车架等，引导学生关注三角形在生活中的应用。

七年级数学(人教版)第七章《三角形》教材

七年级数学(人教版)第七章《三角形》教材

七年级数学（人教版）第七章《三角形》教材分析一、教科书内容和课程学习目标（一）教科书内容：本章首先介绍三角形的有关概念和性质．例如，在了解三角形的高的基础上，了解三角形的中线、角平分线．又如，在知道三角形的三个内角的和等于180°的基础上，了解这个结论成立的道理．通过本章内容的学习，可以丰富和加深学生对三角形的认识．另一方面，这些内容是以后学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）的基础，也是研究其他图形的基础知识．以三角形的有关概念和性质为基础，本章接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式．三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形建立多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来．三角形是最简单的多边形，因而常常将多边形分为若干个三角形，利用三角形的性质研究多边形．多边形的内角和公式就是利用上述方法，由三角形的内角和等于180°得到的．将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排，可以加强它们之间的联系，便于学生学习．镶嵌作为课题学习的内容安排在本章的最后，学习这个内容要用到多边形的内角和公式．通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。

（二）课程学习目标1、了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），知道三角形两边的和大于第三边，会画出任意三角形的高、中线、角平分线，了解三角形的稳定性．2、了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．3、了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式．4、通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．二、课时安排：本章教学时间约需9课时，具体分配如下（仅供参考）：7.1 与三角形有关的线段2课时7.2 与三角形有关的角 2课时7.3 多边形及其内角和 2课时7.4 课题学习镶嵌 1课时数学活动小结2课时三、本章编写特点：（一）与原教材的对比：“三角形”这一章的章节结构是“与三角形有关的线段”“与三角形有关的角”“多边形及其内角和”“课题学习镶嵌”．这与以往的内容安排有所不同．按照以往的教材，受三角形、多边形、圆顺次展开的限制，这些内容分别属于不同年级．而新的结构是一种专题式设计，以内角和为主题，先研究三角形内角和，再顺势推广到多边形内角和，最后将内角和公式应用于镶嵌．三角形的内容与原教科书相比，在内容安排上有较大变化。

考点及题型总结七下第七章(三角形)

考点及题型总结七下第七章(三角形)

人教版初中数学七年级下册考点及题型总结（七）创作者：付红刚创作时间：20XX年5月9日星期四第七章三角形一．知识框架第一节与三角形有关的线段一、知识要点：（一）三角形的概念1、三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边；3、三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；4、三角形的角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

（二）三角形中的主要线段1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

2、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

（三）三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

（四）三角形的分类1、三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形2、三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）3、把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

4、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角（五）三角形的三边关系定理及推论1、三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

2、三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

二、题型分析：题型一：根据三角形三边关系求距离范围例题：如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A、20米B、15米C、10米D、5米解析：因为三角形的三边满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以第三边AB的取值范围是：15－10＜AB＜15+10，即5＜AB＜25.答案：D.题型二：根据三角形三边关系判断线段组合例1：长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是答案：三种； 11、8、6 ；11、8、4； 8、6、4；例2：已知线段a＞b＞c，它能组成三角形需满足的条件是（）A、a=b+c B．a+c＞b C．b+c＜a D．a－b＜c答案：D习题：以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四根木棍中的三根木棍为边，可以构成三角形的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个答案：B题型三：根据三角形三边关系求等腰三角形周长例1：等腰三角形的两边长分别为12和6，则此三角形的周长为（）。

第七章 三角形测试题组

第七章 三角形测试题组

第七章 三角形测试题组姓名___________班级__________学号__________分数___________一、选择题1．（3338）如图AB ∥CD ，︒=∠38A ，︒=∠80C ，则=∠M （ ）A ．︒52；B ．︒42；C ．︒40；D ．︒10；2．（6373）若AD 是△ABC 的角平分线，∠B = 42º，∠C = 78º，则∠BAD 等于（ ）A ．60º；B ．45º；C ．30º；D ．15º；3．（7394）直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ）A ．45°；B ．135°；C ．45°或135°；D ．都不对；4．（9818）如图是跷跷板的示意图，支柱OC 与地面垂直，点O 是横板AB 的中点，AB 可以绕着点O 上下转动，当A 端落地时，∠OAC ＝20°，横板上下可转动的最大角度(即∠A ′OA )是( ) A B A ′B ′O CA ．80°B ．60°C ．40°D ．20°5．（376）以下列长度(cm )的三条小木棒，如果首尾顺次连洁，能钉成三角形的是（ ）A ．10、14、24；B ．12、16、32；C ．16、6、4；D ．8、10、12；6．（475－2006北京）已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（ ）A ．12；B ．12或15；C ．15；D ．15或18；7．（403）在下列长度的四根木棒中，能与4cm 、9cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）A ．4cm ；B ．5cm ；C ．9cm ；D ．13cm ；8．（284）三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ）A ．锐角三角形；B ．钝角三角形；C ．直角三角形；D ．不能确定；9．（389）能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形的（ ）A ．中线；B ．高线；C ．角平分线；D ．过边的中点和高垂直的直线；10．（255）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ）A ．3 , 4 , 2；B ．12 , 5 , 6；C ．1 , 5 , 9；D ．5,2,7；二、填空题11．（9669）如图，△ABC 中，∠ABC =∠C =∠BDC ，点D 在AC 上，且∠A =∠ABD ，则∠A 的度数为________．D BE AMC DB12．（8336）如图∠A ＝75º，∠ABE ＝30º，∠ACD ＝25º，则∠BDC ＝ ，∠BEC ＝ ，∠BFC ＝ ；F E DC B A13．（3252）图中有____________个三角形． FED C BA14．（463－2007广东韶关）按如图规律摆放三角形：则第⑷堆三角形的个数为______；第（n ）堆三角形的个数为______．15．（3330）不等边△ABC 的三边长分别是3、4、x ，周长为偶数，则整数 x ____________．16．（315－2008湖南长沙）如下图已知AD 与BC 相交于点O ，AB ∥CD 如果∠B=60度，∠D =40°，那么∠BOD 为______度． C D BA O17．（215）如图∠A ＝75º，∠ABE ＝30º，∠ACD ＝25º，则∠BDC ＝ ，∠BEC ＝ ，∠BFC ＝ ；F ED C B A18．（312－2008江苏常州）如下图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ,DE ∥BC , ∠ABE =35°，则∠DEB=______ °，∠ADE =______．C D BE19．（281）如图，∠ABD 与∠ACE 是△ABC 的两个外角，若∠A ＝70°，则∠ABD ＋∠ACE ＝_____． AB C D E20．（431－08江苏兴化）如下图，一扇窗户打开后，用窗钩BC 可将其固定，这里所运用的几何原理是______．CB三、证明题21．（418）如图，△ABC 中，AB AC ，∠ABC 的平分线和外角∠ACF 的平分线交于点P ，PD ∥BC ，D 在AB 上，PD 交AC 于E ，求证：DE ＝BD －CE ．A B C D E PF22．（279）如图，E 是△ABC 的边CA 延长线上一点，F 是AB 上一点，D 点在BC 的延长线上，试说明：∠1<∠2．21FED C B A四、解答题23．（462）已知小明有两根木条，长度为2cm 、6cm ；小王有两根木条，长度是4cm 与6cm ；小张有两根木条，长度为3cm 、7cm ，每人各取一根，能组成多少个三角形？24．（5113）如图，在△ABC 中，∠A ＝60º，∠B ＝70º，∠ACB 的平分线交AB 于D ，DE ∥BC 交AC 于E ，求∠BDC 、∠EDC ． ED C BA25．（356）如图，E 是△ABC 中AC 边延长线上一点，∠BCE 的平分线交AB 延长线于点D ，若∠CAB =40°，∠CBD =68°，求∠CDB 的度数．EAB C D26．（238）如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠BAC =50°，AD 平分∠BAC ，D 点在BC 上，求∠1、∠2的度数．。