北师大版初中数学八年级上册第七章 三角形内角和定理的证明复习、回顾与思考三角形内角和定理的证明 教案

4.在△ABC中, ∠A=40°，∠A=2∠B，则∠C＝_1_2_0_0 5.在△ABC中，已知∠A=80°，能否知∠B，∠C的度数？ 不能
应用新知
例1 如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°， A AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
B
D
C当Leabharlann 达标B组（必做）1.三角形中三角之比为1∶2∶3，则最大角的度数是多少度？
北师大版义务教育教科书八年级数学（上） 7.5 三角形内角和定理
牛顿曾说：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现！
情境导入 三角形家族的官司风波
数
有一天图形王国里有一些三角形在一起聚会，可是他们因为
学
内角和的问题吵了起来。一个钝角三角形说：“我的钝角比你们
国
的角都大，所以我的内角和也最大。”一个锐角三角形说：“我 的个子比你大，我是大三角形，你是小三角形，所以我的内角和 肯定比你大。”一个直角三角形说：“不能只看一个钝角大就说
2.已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A.求∠B的度数？ 3.已知:如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°
点D、E分別在AB和AC上，且DE∥BC.
求证:∠ADE=50°.
C组（选做）
1.已知,如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB
(1)∠A=60°，则∠D =_____ (2)∠D=100°，则∠A=______ (3)你能写出∠A与∠F之间的关系吗？
2 1
B
A
D
4 3
C
总结反思 学 而 不 思 则 罔
回
头 对自己说:你有什么收获
一
看 ，
对老师说:你有什么疑惑
我 想
对同学说:你有什么启发

5 三角形内角和定理1．三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.变式：∠A＝180°－∠B－∠C.谈重点三角形内角和解读(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余．【例1－1】在一个三角形中，下列说法错误的是()．A．可以有一个锐角和一个钝角B．可以有两个锐角C．可以有一个锐角和一个直角D．可以有两个钝角解析：如果一个三角形中有两个钝角，那么该三角形的内角和将大于180°，故D错误．答案：D点技巧三角形中，角知多少任何三角形中，至少有两个锐角，最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角．【例1－2】已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为()．A．60°B．75°C．90°D．120°解析：已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，5k°，6k°.根据三角形的内角和等于180°，列方程k＋5k＋6k＝180，解得k＝15.所以最大内角为6k°＝90°，应选C.答案：C2．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．(2)三角形外角的特征三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．(3)三角形外角的实质是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.【例2】如图所示，∠1为三角形的外角的是()．解析：由三角形外角的定义知，只有D中的∠1才是三角形的外角，故选D.答案：D点评：判断一个角是否是三角形的外角，关键是看它是否满足三角形外角的特征．3．三角形内角和定理的证法在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题．这些在原来的图形上添加的线叫辅助线．辅助线通常画成虚线．证明三角形内角和定理的基本思路：想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体”，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的．在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：(1)构造平角：利用平行线的性质进行转化(作平行线)，让三个内角组成一个平角．如图①和图②.(2)构造同旁内角：如图③，过C点作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是同旁内角可证．4．三角形内角和定理的运用(1)利用定理求角的度数或证明生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理．三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明．常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系．计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质．(2)利用定理判断三角形的形状根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断．①若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；②若有三个角相等，则可判定为等边三角形；③若有特殊角90°和两个45°，则为等腰直角三角形．若一个三角形根据角来分类，可先求出最大的角．①若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；②若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；③若最大的角为锐角，则三角形是锐角三角形．【例3】如图所示的四边形是平行四边形，如何利用ABCD证明三角形内角和定理？分析：三角形内角和定理的证明思路是利用平行线的性质进行转化，让三个内角组成一个平角，或利用同旁内角互补来得以证明．证明：连接BD.∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，∴AD∥BC(平行四边形的定义)，∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∠1＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∴∠A＋∠1＋∠2＝∠A＋∠2＋∠3＝180°(等量代换)．同理可证∠3＋∠4＋∠C＝180°，即三角形的内角和为180°.点技巧辅助线的作用辅助线起着桥梁的作用，在画辅助线时，注意与原来的线的区别，要画成虚线．【例4－1】若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是()．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：∵三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，∴三个内角分别是180°×29＝40°，180°×39＝60°，180°×49＝80°.∴该三角形是锐角三角形．故选B.答案：B【例4－2】△ABC中，若∠B＝∠A＋∠C，则△ABC是__________三角形．解析：根据三角形的内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，又∠B＝∠A＋∠C，∴2∠B＝180°，即∠B＝90°.因此该三角形是直角三角形．答案：直角【例4－3】如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．分析：由三角形的内角和定理，可求∠BAC＝70°.又AE是∠BAC的平分线，可知∠BAE ＝35°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB＝90°，从而∠BAD＝25°，所以∠DAE＝∠BAE －∠BAD＝10°.解：在△ABC中，∵∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°，AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠CAE＝35°.又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝90°.∵在△ABD中∠BAD＝90°－∠B＝25°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝10°.析规律三角形内角和定理的运用本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质、高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理的运用．5.运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明(1)三角形内角和定理的推论1推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．如图，符号表示：∠ACD＝∠A＋∠B.谈重点三角形的外角①推论是由三角形内角和定理推理得到的，可作为定理使用；②该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系．(2)三角形内角和定理的推论2推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．符号表示：∠ACD＞∠A或∠ACD＞∠B.析规律灵活使用三角形的外角①三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角；②利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上．【例5－1】如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD 等于()．A．100°B．120°C．130°D．150°解析：所求的角恰好是△ABC的外角，根据外角推论1可求得．∵△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝70°＋60°＝130°.故选C.答案：C点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【例5－2】如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为()．A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3解析：由于∠2是△ABF的外角，∠1是△AEF的外角，所以∠2＞∠3，∠1＞∠4；又由于∠4和∠2是对顶角，故∠4＝∠2，所以∠1＞∠2.∠1，∠2，∠3的大小关系为∠1＞∠2＞∠3.故选D.答案：D【例5－3】如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于________．解析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．由外角的性质可得，∠α＝45°－30°＝15°.答案：15°6．三角形内角和定理的实际应用三角形的内角和在生活中的应用非常广泛，如方位角与折叠问题，零件的合格判定等．用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时，要注意几何图形中与问题中的对应条件．析规律灵活运用三角形的内角和①“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少；②在方位角的计算中需要构造三角形，在三角形中计算其度数；③折叠问题中，被折叠部分折叠后的图形与原图形对应角相等，再根据内角和、平角等知识列出方程计算．【例6－1】如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角形木板另外一个角的度数为__________．解析：根据木板的形状，将其“复原”为一个三角形，依据三角形的内角和定理解答．所以∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－100°－40°＝40°.答案：40°【例6－2】如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________.解析：要求∠BDF的度数，可通过△DBF，利用三角形的内角和等于180°来求．由折叠可知△ADE≌△FDE，所以DF＝DA＝DB.所以∠DFB＝∠B＝50°.所以∠BDF＝180°－∠DFB－∠B＝80°.答案：80°7.辅助线与角的转化应用(1)辅助线与角的转化有关三角形角度的计算与比较，常常利用添加不同辅助线的方法，把大角转化为小角，或者把不规则图形转化为规则图形等，从而利用相关性质进行解题．在证明角度不等的问题中，常用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一性质，当角不在同一个三角形中时，可作辅助线使之转化到同一个三角形中再解．析规律辅助线的作法辅助线的添加有很多种方法，基本方法是延长法和连接法．在本节中主要是构造三角形，利用“三角形内角和定理及其推论”解决角的问题．(2)等腰三角形中内、外角的转换对于等腰三角形，当不知道所给的角为顶角还是底角时，要分情况讨论，不能漏解．①当等腰三角形的外角是钝角时，其相邻的内角一定是锐角．该锐角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，要分情况讨论．②当等腰三角形的外角是锐角或直角时，其相邻的内角是钝角或直角，所以该内角一定是等腰三角形的顶角，则这个外角一定是顶角的邻补角．【例7－1】如图1，直线a∥b，则∠ACB＝__________.解析：利用辅助线构造三角形即可．如图2，延长BC与a相交，由a∥b先求出内错角∠1＝∠B＝50°，再根据三角形外角性质即可求出∠ACB＝∠1＋28°＝50°＋28°＝78°.答案：78°【例7－2】等腰三角形的一个外角为110°，则这个等腰三角形的三个内角分别为__________．解析：等腰三角形的一个外角为110°，则相邻的内角为180°－110°＝70°，而70°的内角可能是顶角，也可能是底角，故分两种情况：当底角为70°时，则顶角为180°－70°×2＝40°；当顶角为70°时，则底角为(180°－70°)×12＝55°.答案：70°，70°，40°或者70°，55°，55°点评：先将外角转化为内角，再分情况讨论是解决问题的基本思路．【例7－3】已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝120°，求∠DAC的度数．分析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．解：∵∠BAC＝120°，∴∠2＋∠3＝60°.①∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2.②把②代入①，得3∠2＝60°，∴∠2＝20°.∴∠DAC＝120°－20°＝100°.点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换．。

举例：对于证明难点的突破，教师可以引导学生思考：为什么三角形的内角和是180度？通过小组讨论和实验，学生可能会发现，无论三角形的大小和形状如何变化，三个角的和始终是一个固定值，即180度。对于求解不规则三角形的问题，教师可以提供具体图形，指导学生如何通过添加辅助线、分割图形等方法，将不规则三角形转化为规则三角形，进而应用内角和定理求解。
北师大版八年级上册第七章7.5.1三角形内角和定理(教案）
一、教学内容
北师大版八年级上册第七章7.5.1三角形内角和定理。本节课主要内容包括：
1.探索并理解三角形内角和定理，即三角形的三个内角之和为180度；
2.学会运用三角形内角和定理解决相关问题，如求三角形未知角度，证明线段平行等；
3.掌握三角形内角和定理在实际问题中的应用，如测量角度、计算图形面积等；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形内角和定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对三角形内角和定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形内角和定理的基本概念。三角形内角和定理是指三角形的三个内角之和始终等于180度。这一概念在几何学中具有重要作用，可以帮助我们解决许多实际问题。
案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量一个三角形三个角的度数，并验证它们的和是否为180度，从而展示三角形内角和定理在实际中的应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）

北师大版数学八年级上册《三角形内角和定理的证明》说课稿1一. 教材分析北师大版数学八年级上册《三角形内角和定理的证明》这一节，是在学生已经掌握了角的定义，角的计算方法等基础知识之后进行的一节证明课。

本节课的主要内容是引导学生通过观察，推理，证明的过程，理解并掌握三角形内角和定理，即三角形的三个内角之和等于180度。

这个定理是几何学中的一个重要定理，对于学生后续的学习有着重要的指导意义。

二. 学情分析我所面对的学生是八年级的学生，他们已经具备了一定的逻辑思维能力和推理能力，对于角的计算方法也已经有了初步的了解。

但是，他们的证明能力还有待提高，对于如何将实际问题转化为数学问题，如何通过逻辑推理得出结论，还需要我在教学中进行引导和培养。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角形内角和定理的内容，并能够运用定理进行问题的解答。

2.过程与方法目标：学生通过观察，推理，证明的过程，提高自己的逻辑思维能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学的学习兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握三角形内角和定理。

2.教学难点：学生能够通过逻辑推理，证明三角形内角和定理。

五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用引导法，推理法，实践法等教学方法，引导学生通过观察，推理，证明的过程，理解并掌握三角形内角和定理。

同时，我会利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：我会通过一个实际问题，引导学生思考三角形的内角和是多少，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：我会引导学生通过观察，推理，证明的过程，得出三角形内角和定理。

3.课堂讲解：我会对三角形内角和定理进行详细的讲解，让学生充分理解定理的内容。

4.课堂练习：我会设计一些练习题，让学生运用所学的定理进行解答，巩固所学知识。

5.课堂小结：我会对所学内容进行小结，帮助学生巩固记忆。

解：由于∠A＝ 1 ∠B＝ 1 ∠ACB， 故可设∠A＝x，2∠B＝2x3 ，∠ACB＝3x. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴ x＋2x＋3x＝180°，解得 x＝30°. ∴∠A＝30°，∠ACB＝90°. ∵ CD 是△ABC 的高，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°. ∵ CE 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACE＝1 ×90°＝45°. ∴∠DCE＝2∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
三角形 的外角
你能借助平行 线的知识证明
A 相邻的内角 C
D
此结论吗？
验证结论
已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B.
A
E 证明：过 C 作 CE∥AB，
则∠1 = ∠B
2 1
(两直线平行，同位角相等)，
B
C D ∠2 = ∠A
(两直线平行，内错角相等).
∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B.
例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的 3 倍，
∠C 比∠B 大 15°，求∠A，∠B，∠C 的度数. 解：设∠B 为 x°，则∠A 为 3x°，∠C 为 (x + 15)°， 从而有
3x + x + (x + 15)＝180. 解得 x＝33. 所以 3x＝99，x + 15＝48.
灰太狼
●A
由三角形内角和易得∠BCA = 180°－∠A－∠CBA = 70°，
所以∠BCD = 180°－∠BCA = 110°.
思考：像∠BCD 这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
定义
三角形的外角的概念

感悟新知
知识点 2 三角形的外角
知2－讲
1.三角形的外角 三角形内角的一条边与另一条边的反向延 长线组成的角，称为三角形的外角 . 如图 7-5-3，∠ ACD 是 △ ABC 的∠ ACB 的外角 .
感悟新知
2. 外角的特征 (1)顶点是三角形的顶点； (2)一条边是三角形内角的一边； (3)另一条边是该内角另一边的反向延长线 .
第七章
平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
三角形内角和定理 三角形的外角 三角形内角和定理的推论
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 三角形内角和定理
知1－讲
1.定理： 三角形的内角和等于 180° . 几何语言： 在△ ABC 中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° .
感悟新知
2. 三角形内角和定理的证明思路
知1－讲
思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将
三角形的三个内角转化为一个平角 . 如图 7-5-1 ①② .
感悟新知
知1－讲
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的 三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 . 如图 7-5-2 ① ②.
感悟新知
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣三角形外角的定义识别外角 .
知2－练
解：图中△ CEF 的三边的延长线只有 EF的延长线 FA，
CE 的延长线 EB，延长线 FA与边 FC 构成的角为∠
AFC；延长线 EB 与边EF 构成的角为∠ BEF.
由三角形外角的定义可以判断∠ AFC，∠ BEF
是△ CEF的外角 .

知识点总结三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°推论：直角三角形的两个锐角互余。

注意：三角形的三个角中至少有2个锐角，最多有1个钝角，最多有1个直角。

三角形的外角1、三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上;(2)一条边是三角形的一边;(3)另一条边是三角形某条边的延长线。

2、三角形外角的两个推论：定理1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

定理2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注意：由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论，推论可以当做定理使用。

导学复习提纲学习目标：1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A点任作直线l1，过B点作l1∥l2，过C点作l3∥l1，因为l3∥l1（已作）．所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又l1∥l2（已作），所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∠2+∠3=∠ACB，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．证法4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.（2016春宜兴市校级月考）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD 的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A为（）A．70° B．75° C．80° D．85°【思路点拨】首先根据三角形的内角和定理，求出∠1+∠2=40°，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断出∠3+∠4=30°，再根据BE是∠ABD 的平分线，CF是∠ACD的平分线，判断出∠5+∠6=30°；最后根据三角形的内角和定理，用180°减去∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数，求出∠A 为多少度即可．【答案与解析】解：如图，∵∠BDC=140°，∴∠1+∠2=180°﹣140°=40°，∵∠BGC=110°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°﹣110°=70°，∴∠3+∠4=70°﹣40°=30°，∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠3=∠5，∠4=∠6，又∵∠3+∠4=30°，∴∠5+∠6=30°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（∠1+∠2+∠3+∠4）+（∠5+∠6）=70°+30°=100°∴∠A=180°﹣100°=80°．故选：C．【总结升华】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．总结：本篇文章主要讲解了三角形的内角和，对于初次学习几何三角形的人来说是非常的大的帮助，其次本篇文章的学习也较简单，要点1：主要考察三角形的内角和为180度。

）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍。（ ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.（
）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（
）
）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（
）
2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，
锐角的度数是________．
55°
3．已知：如图，AB∥CD，∠BEF，∠EFD的平分线相交于点
G.求证：EG⊥FG.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°.
∵ EG，FG分别平分∠BEF，∠EFD，
1
1
∴ ∠GEF＝ 2∠BEF，∠EFG＝ 2∠EFD.
1
∴ ∠GEF＋∠EFG＝ 2 (∠BEF＋∠EFD)＝90°.
2.三角形内角和定理的证明思路：
思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将三角形的三
个内角转化为一个平角. 如图1 ①② .
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化
为两平行线间的一组同旁内角. 如图2 ①② .
图1
图2
关系？
∠BCD与∠ACB互补.
B
不相邻的内角
三角形的外角
A
D
C
相邻的内角
问题2： 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角
(∠A、∠B)有什么关系？
∠A+∠B=∠BCD
B
不相邻的内角
三角形的外角
A
D
C
相邻的内角
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.

平行线的证明
5 第1课时 三角形内角和定理的证明
核心·重难探究
知识点 三角形内角和定理的应用 【例1】 如图所示,在△ABC中,∠A=100°,点O是∠ABC,∠ACB角平分线的交 点,求∠BOC的度数.
思路分析 根据三角形内角和等于180°→求∠ABC+∠ACB的度数→根据 BO,CO分别平分∠ABC与∠ACB→求∠OBC+∠OCB的度数→结合三角形内 角和等于180°→求∠BOC的度数.
解 ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-100°=80°. ∵BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的角平分线, ∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12×80°=40°. 在△BOC中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-40°=140°.
【方法归纳】 求三角形内角的度数问题有两类:(1)已知两个角的度数,求三角形第三个 角的度数,可以直接应用三角形内角和等于180°求解.(2)已知三角形内角间 的关系,求各内角的度数,可以根据三角形内角和等于180°通过列方程求解.
【例2】 如图所示,BE,CD相交于点A,∠DEA,∠BCA的平分线相交于点F.则 ∠F与∠B,∠D之间的关系为 ∠F=12(∠B+∠. D)
思路分析 如图所示.
∵∠D+∠1+∠5=180°,∠F+∠3+∠6=180°,且∠5=∠6,∴∠D+∠1=∠F+∠3.① 同理∠B+∠,∠BCA, ∴∠1=∠2,∠3=∠4.①+②,得∠D+∠B=2∠F,∴∠F= (∠B+∠D).

北师大版八年级数学上7.5.1三角形内角和定理的证明教学目标教学知识点:三角形内角和定理的证明。

能力训练要求:掌握三角形内角和定理,并初步学会利用辅助线证明,同时培养学生观察、猜想、和论证能力。

情感与价值观要求:通过新颖、有趣的实际问题,来激发学生的求知欲。

学情分析(1)学生已经接触过三角形内角和定理,并且进行了猜想与验证及口头说理过程。

这为证明三角形内角和定理提供了认知基础。

(2)从学生的学习动机与需要上看,他们有探究新事物的欲望和好奇心,这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障。

(3)学生在学习三角形内角和定理的证明过程中,其认知顺序可能是建构型的。

平行线是其原有知识储备的主要图式,他们利用原有图式完全可以同化三角形内角和定理。

重点难点教学重点:三角形内角和定理的证明思路及应用。

教学难点:三角形内角和定理的证明方法。

教学过程教学活动【导入】创设问题情境我们在七年级曾经把一个三角形的三个内角撕下来拼在一起得到一个平角,由此得到三角形的内角和是180°。

教师指出:这只是实验得出的命题,不能当做定理,只有经过严格的几何证明,证明命题的正确性,才能作为几何定理,今后,在几何里,常采用这种方法得到新知识。

那么如何证明此命题是真命题呢?能否用学过的旧知识作平行线,利用平行线的性质来证明呢?(设计说明:从学过的知识引入符合学生的认知规律,且小学已知三角形三个内角和是180°。

)【活动】学生自主探究学生回忆证明一个命题的步骤:①画图②分析命题的题设和结论,写出已知求证,把文字语言转化为几何语言。

③分析、探究证明方法。

(设计说明:有本章前面几节作为基础,学生有能力画图,写已知,求证。

)【导入】创设问题情境教师引导:要证三角形三个内角和是180°,观察图形,三个角间没什么关系,能不能象前面那样,把这三个角拼在一起呢?拼成什么样的角呢?学生思考与180°有关的角后回答,可拼成:①平角,②两平行线间的同旁内角。

7.5.1三角形内角和定理(教案）教学目标知识与技能：掌握“三角形内角和定理”的证明及简单的应用.过程与方法：通过一题多变,建立思考情境,形成独立思考、合作交流的学习模式,培养理性说理能力.情感态度与价值观：培养学生创造性,弘扬个性发展,体验解决问题的成就感,使学生感悟逻辑推理的数学价值.教学重难点【重点】理解三角形内角和定理及其简单的应用.【难点】三角形内角和定理的证明方法.教学准备【教师准备】教学导入图片和例题图片.【学生准备】量角器、三角板等作图工具.教学过程一、导入新课导入一:师:我们知道,三角形内角和等于多少度?生:(齐声)三角形的内角和是180°.师:你们还记得这个结论的探索过程吗?请看试验:将三角形纸片的三个角剪下,随意将它们拼凑在一起.生:由试验可知三角形的内角和正好为一个平角.师:但观察与试验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?这节课我们一起探究一下三角形内角和定理的证明.(教师板书课题)[设计意图]对比过去撕纸等探索过程,体会思维试验和符号化的理性作用.将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难,因此需要一个台阶,使学生逐步过渡到严格的证明.导入二:课件出示《三角形家族的“官司”风波》.故事导入:很久很久以前的一天,数学国际法庭来了三位告状者,它们是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.“它们干什么来了?”“是来打官司的.”这不它们在法庭外刚一见面又争吵起来: 锐角三角形说:“我们锐角三角形的内角和度数最大!”直角三角形说:“不对!是我们直角三角形的内角和最大!”钝角三角形说:“你们别吵了!还是我们钝角三角形的内角和最大!”问题1【课件1】如果你是法庭庭长,你认为该怎样对它们宣判?为什么?问题2【课件2】你们还记得小学是怎样探索三角形内角和的吗?谁能给大家说一说或者展示一下吗?问题3【课件3】小学的证明方法固然好,但是这些方法可靠吗?现在有更加科学严密、更有说服力的证明方法吗?[处理方式]学生观察并读出对话及问题.问题1学生能够顺利解决;问题2学生一次回答出全部答案会有困难,根据学生已有的知识经验,学生间互相补充能够解决,学生边说边在讲台上演示测量法、折拼法、剪拼法(撕拼法).学生回答时语言可能不准确,教师及时引导纠正.教师根据学生回答利用课件展示三种方法.对于问题3,学生通过思考、联想前面所学,应该能够解决.学生只要能够回答出用推理的方法证明三角形内角和即可,不要求作出具体回答.1.测量法.2.折拼法:3.剪拼法(撕拼法):[设计意图]通过学生动手测量、折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验,为下面探究推理证明提供直接经验.导入三:出示下面的投影片工人师傅将凹型零件(图(1))加工成斜面EC与槽底CD成55°角的燕尾槽(图(2))的程序是:将垂直的铣刀倾斜偏转35°角(图(3)),就能得到55°的燕尾槽底角.为什么铣刀偏转35°角就能得到55°的燕尾槽底角呢?[设计意图]通过问题的解答,再现所学知识,为新知识的接纳做心理和知识上的准备,引出新课内容.二、新知构建(1).探索三角形内角和定理[过渡语]我们已经知道三角形内角和等于180°,这个定理是怎样证明的呢?思路一[活动内容1]证明思路的探索分析.(多媒体出示)剪拼法图示(动态):【课件1】如图所示,当∠A移到∠1的位置时,残边CD和边AB 有何位置关系?为什么?问题2【课件2】在剪拼法中,通过移动角拼成了一个平角;如果不实际移动角,那么你还有其他方法可以达到同样的效果吗?[处理方式]教师先出示图,学生读题回答.对于问题1可让学生到黑板前指图回答,注意语言表达及学生指图的准确性,发现不当处,及时强调.问题2可以让学生合作完成.如果有困惑,教师可作引导.利用课件图形,结合问题1引导学生进行逆向思考:“如果先移动角,那么可以得到平行线;反过来,如果我们先画出平行线,会得到什么呢?”此时教师在空白ΔABC上规范作出射线CD,使CD∥AB,学生自然推出∠1=∠A.教师追问:“你还可以得到哪些角相等?说说理由.”学生得出∠2=∠B后,一个平角自然就摆放在学生眼前了,达到了移角的效果.此时教师顺势引出辅助线:为了证明的需要,在原来的图形上添作的线叫做辅助线.(教师板书:辅助线)在平面几何里,辅助线通常画成虚线.[设计意图]利用剪撕纸得来的直接经验和逆向思维的方式,引导学生初步感悟辅助线的来源和作用,提高学生分析问题的能力.[活动内容2]说一说,写一写.【课件1】你能用简洁的语言完整地说一说分析思路吗?问题2【课件2】你能用数学推理的方法证明它吗?问题3【课件3】证明的关键是什么?说说你的想法.[处理方式]问题1小组交流后学生代表发言,展示交流成果.学生发言时,教师注意提示学生文字命题的证明步骤以及数学语言表达的规范性.对于问题2,教师引导学生再次明确辅助线的作法及其相关要求:(1)这里的CD称为辅助线;(2)辅助线通常画成虚线.师生合作,教师规范完成辅助线的添加后,余下的证明过程由一名学生在黑板上独立完成,其余学生在练习本上写出完整的证明过程.教师巡视,帮助、鼓励困难学生解决问题.学生板演完成后师生共同评价,评价时重点强调辅助线的作法及证明过程的规范性.对于问题3,学生回答时,可能语言不准确,教师及时引导,让学生自主感悟体会到证明的关键是添加辅助线,把三角形内角和转化成一个平角.【多媒体展示】已知:如图所示,ΔABC.求证:∠A+∠B+∠ACB=180°.证明:如图所示,延长BC至D,过点C作射线CE∥AB,则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).师:命题“三角形的内角和等于180°”经过了我们严密地推理证明,它是真命题.此时我们可以理直气壮地称之为三角形内角和定理.【课件展示】三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.[设计意图]用平行线的性质定理来推导出三角形内角和定理,让学生再次体会推理证明的严密性和数学的严谨.同时让学生初步理解添加辅助线的原因及添加辅助线的注意事项,培养学生的分析能力和逻辑推理能力.思路二[过渡语]根据上面给出的基本事实和三角形内角和定理,你能用自己的语言说一说这一结论的证明思路吗?你能用较为简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.接下来同学们来证明:三角形的内角和等于180°这个真命题.这是一个文字命题,证明时需要先干什么呢?生:需要先画出图形,根据命题的条件和结论,结合图形写出已知、求证.师:对,下面大家来证明,哪位同学上黑板给大家板演呢?生1:已知:如图所示,ΔABC.求证:∠A+∠B+∠ACB=180°.证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB,则∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等),∠ECD=∠B(两直线平行,同位角相等).∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).生2:老师,我的证明过程是这样的:证明:作BC的延长线CD,作∠ECD=∠B,则EC∥AB(同位角相等,两直线平行),∴∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等).∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°),∴∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换).师:同学们写的证明过程都很好,在证明过程中,我们仅仅添画了一条射线CE,使处于原三角形中不同位置的三个角,巧妙地拼“凑”到了一起.为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.我们通过推理的过程,得证了命题:三角形的内角和等于180°是真命题,这时称它为定理,即三角形内角和定理.(2)、想一想,做一做【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?[处理方式]学生先尝试独立完成,教师巡视引导.绝大多数学生会想到图形(1)的方法.对于图形(2),可能只有少数学生想到或者全体学生都想不到.当只有少数学生想到时,教师指名学生说说方法和理由.如果全体学生都想不到,教师可以追问:“我们移动其中一块,能否得到平行线呢?”并引导学生摆出图形(2).结合图形(2),学生会恍然大悟:应该如何添加辅助线,进而解决图形(2)的证明过程.教师巡视时,有意识寻找证明过程正确规范的作业,全班展示、评价.【参考答案】证法1:过点A作DE∥BC.∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).证法2:过点A作AD∥BC.∵AD∥BC,∴∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠DAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).又∵∠DAC=∠1+∠2,∴∠1+∠2+∠C=180°(等量代换),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).[设计意图]通过学生独立运用较简单的方法证明三角形内角和定理,感受体会“辅助线”的作法和作用,提高一题多解的能力,体会思维的多样性和基本的转化思想.(3)、议一议【问题】综上所述,添加辅助线的目的是什么?你是怎样理解辅助线的?[处理方式]教师先快速地展示三种辅助线的添加图形,学生结合图片先在小组内讨论交流,形成小组成果,然后全班交流、随时互评.学生讨论时,教师参与其中,倾听学生的讨论,引导学生从辅助线的作用、作法、要求去交流.学生通过观察图形得出:添加辅助线的目的是构造180°的平角或同旁内角.【课件展示】添加辅助线的目的:三角形内角和平角、同旁内角【教师总结】(1)辅助线通常画成虚线;(2)辅助线要正确、规范地写出作法,并标明字母,便于书写证明过程;(3)辅助线能把题目中可利用的隐藏条件显露出来,化难为易.为便于学生掌握,总结四句话:小小辅助线,作时画虚线,写清其来源,隐藏条件见.[设计意图]添加辅助线是教学中的一个难点,学生通过思考、讨论、交流对辅助线的认识,展示思维过程,然后在老师的引导下达成共识,进一步加深了对辅助线的理解,易于突破教学难点,提高学生解决问题的能力.(4)、探究活动刚才同学们对辅助线掌握得很好.接下来,我将平角或同旁内角的位置移动或者改造一下,使它再有一些难度,看谁还能攻克它?[处理方式]教师先出示图(1),思考:怎样添加辅助线?学生思考讨论,由于图形较直观,学生能够解决辅助线的添加问题;学生完成后教师出示图(2);为便于学生叙述证明过程,教师再出示图(3).学生根据图(3)口述证明过程.学生在口述证明过程时,教师注意数学语言表达的规范性和推理证明的逻辑性.(1)(2)[设计意图]用多种方法证明三角形内角和定理,培养一题多解的能力,同时提高学生添加辅助线的技能、技巧,提高解决问题的能力.(5)、典例解析,应用新知[活动内容1]通过刚才的学习,同学们不仅知道了辅助线,而且利用它用多种方法证明了三角形内角和定理,你们觉得学了这些知识,能解决哪些问题呢?【课件展示】如图所示,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平分线,求∠ADB的度数.[处理方式]学生先结合图形读题,指图说出已知条件和要解决的问题,然后说说分析思路及求解过程,最后学生板演,师生共同评价.如果学生有困难,可以先在小组内讨论交流.在学生板演时,教师巡视指导,帮助、鼓励学困生完成任务.集体评价时,教师强调证明过程的规范性和严谨性.解:在ΔABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).∵∠B=38°,∠C=62°(已知),∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质).∵AD平分∠BAC(已知),∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°(角平分线的定义).在ΔADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证),∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性质).[设计意图]学生通过三角形内角和定理的简单应用,及时加深了对所学知识的理解,规范学生的证明过程,培养了学生良好的学习数学的习惯.三、课堂总结四、课堂练习1.三角形三个内角的和等于.答案:180°2.如下图所示的是三角形内角和定理的几种证明方法,可分别记作法,法,法.答案:拼凑作平行线折叠3.如图所示,AD是∠BAC的平分线,若∠ADC=110°,且∠DAC=∠C,求ΔABC的三个内角的度数.解:∵∠ADC=110°,∠DAC=∠C,∴∠C=°°=35°,∴∠BAC=2∠DAC=2∠C=70°,∴∠B=180°-70°-35°=75°.4.在ΔABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5,求∠A,∠B,∠C的度数.解:设∠A,∠B,∠C的度数分别为x,3x,5x,则x+3x+5x=180°,解得x=20°,∴∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.五、板书设计第1课时1.探索三角形内角和定理2.想一想,做一做3.议一议4.探索活动5.典例解析,应用新知六、布置作业(1)、教材作业【必做题】教材随堂练习第2,3题.【选做题】教材习题7.6第5题.(2)、课后作业【基础巩固】1.下列叙述正确的是()A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角C.三角形中至少有两个锐角D.三角形中至少有一个锐角2.若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等边三角形3.如图所示,在ΔABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是ΔABC的角平分线,则∠CAD的度数为()A.40°B.45°C.50°D.55°4.小明在证明“三角形内角和等于180°”时用了如图所示的辅助线,即延长BC到D,延长AC到E,过点C作CF∥AB,你能接着他的辅助线的作法证明出来吗?【能力提升】5.在ΔABC中,∠ABC=∠C,BD⊥AC,∠ABD=30°,则∠C的度数是多少?4.如图所示,在ΔABC中,∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF交于点I,求证∠BIC=90°+∠A.【拓展探究】7.如图所示,已知∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点O,∠A=60°,求∠BOC的度数.【答案与解析】1.C2.C(解析:由3个内角度数比为2∶3∶4,设3个内角度数分别为2x,3x,4x,有2x+3x+4x=180°,解得x=20°,∴3个角分别为40°,60°,80°,故为锐角三角形.)3.A(解析:∵∠B=67°,∠C=33°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°.∵AD是ΔABC的角平分线,∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°.)4.解:∵AB∥CF,∴∠A=∠ACF,∠B=∠FCD.又∵∠ACB=∠DCE,∴∠A+∠B+∠C=∠ACF+∠FCD+∠DCE=180°.5.解:①当ΔABC为锐角三角形时,如图(1)所示,在ΔABD中,∵BD⊥AC(已知),∴∠ADB=90°(垂直的定义).又∵∠ABD=30°(已知),∴∠A=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-30°=60°.又∵∠A+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定理),∴∠ABC+∠C=120°.又∵∠ABC=∠C(已知),∴∠C=60°.②当ΔABC是钝角三角形时,如图(2)所示,在直角三角形ABD中,∵∠ABD=30°(已知),∴∠BAD=60°,∴∠BAC=120°,又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定理),∴∠ABC+∠C=60°.又∵∠ABC=∠C(已知),∴∠C=30°.综上,∠C的度数应为60°或30°.6.解析:欲证∠BIC与∠A之间的关系,发现它们之间的关系不直接,而∠BIC与∠IBC,∠ICB在同一个三角形中,故有∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB),而∠A与∠ABC,∠ACB在同一个三角形中,故有∠A=180°-(∠ABC+∠ACB),又因为BE,CF是角平分线,所以∠IBC与∠ABC有关系:∠IBC=∠ABC,同理,∠ICB=∠ACB.从而可以通过中间量∠ABC,∠ACB或∠IBC,∠ICB,找到∠BIC与∠A之间的关系.证明:∵在ΔABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°(三角形内角和定理),∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A(等式性质).∵BE,CF分别平分∠ABC和∠ACB(已知),∴∠EBC=∠ABC,∠FCB=∠ACB(角平分线的定义).在ΔBIC中,∠BIC+∠EBC+∠FCB=180°(三角形内角和定理),∴∠BIC=180°-(∠EBC+∠FCB)(等式的性质),∴∠BIC=180°-(180°-∠A)=90°+∠A.7.解:在ΔABC中,∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∴∠ABC+∠ACB 的一半等于60°.∴在ΔBOC中,∠BOC=120°.。