第一章 集合与常用逻辑用语
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.1
集合的概念与运算
一、知识导学
1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.
2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称
集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.
4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.
5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记
为 .
6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常 记作U.
7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，
记作AB.
8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并
集，记作AB.
9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.
10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.
11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.
12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.
13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.
二、疑难知识导析
1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别. 2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.
3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.
4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.
集合知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、集合的有关概念
1．集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．
2．集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如,,,,abcacb．
3．集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法．
4．常用数集的表示
R一实数集 Q一有理数集 Z一整数集 N一自然数集*N或N一正整数集 C一复数集
二、集合间的关系
1．元素与集合之间的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作aA)和不属于(记作aA)两种．
空集：不含有任何元素的集合，记作．
2．集合与集合之间的关系
（1）包含关系．
子集：如果对任意aAAB，则集合A是集合B的子集，记为AB或BA，显然AA．规定：A．
（2）相等关系．
对于两个集合A与B，如果AB，同时BA，那么集合A与B相等，记作AB．
（3）真子集关系．
对于两个集合A与B，若AB，且存在bB，但bA，则集合A是集合B的真子集，记作AB或BA．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
三、集合的基本运算
集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11所示．
表11
交集 |ABxxAxB且
并集 |ABxxAxB或
A B A B 补集 IA |IAxxIxA且
1．交集
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB，即|ABxxAxB且．
2．并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，即|ABxxAxB或．
专题1.1 集合的概念及其基本运算
【考纲解读】
内 容 要 求
5年统计
A B C
集合 集合及其表示 √
2017．1
2016．1
2015．1
2014．1
2013·4 子集 √
交集、并集、补集 √
【直击考点】
题组一 常识题
1．【教材改编】设全集U＝{小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则∁U(A∪B)＝________．
【答案】{7，8}
2．【教材改编】 已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，则这样的集合B有________个．
【答案】4
【解析】 因为A∪B⊇B，A＝{a，b}，所以满足条件的B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以集合B有4个．学#
3．【教材改编】 设全集U＝{1，2，3，4，5， 6，7，8，9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁UB)＝{2，4}，则集合B＝________．
【答案】{5，6，7，8，9}
【解析】 由∁U(A∪B)＝{1，3}，得1，3∉B；由A∩(∁UB)＝{2，4}，得2，4∉B，所以B＝{5，6，7，8，9}．
题组二 常错题
4．设集合M＝{(x，y)|y＝x2}，N＝{(x，y)|y＝2x}，则集合M∩N的子集的个数为________．
【答案】8
【解析】 由函数y＝x2与y＝2x的图像可知，两函数的图像在第二象限有1个交点，在第一象限有2个交点(2，4)，(4，16)，故M∩N有3个元素，其子集个数为23＝8.
5．已知集合M＝{x︱x－a＝0}，N＝{x︱ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
【答案】0或1或－1
【解析】 M＝{a}，∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1.
6．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝________． 【答案】－32
1}，
专题1.1集合的概念及其基本运算（讲）
【辭析】由已知得^ = {1,4}.当口 = ＜时.A = [3],则討二〔12*卜・4厂直=0,当也=1时,J = ；L3j ; 则
JU5 = {1.3r4} p = 当a = 4时.^ = {4.3}, = （1,3.4}, -40-8={4}.当疽产1,
戊戸吳。否4时…儿丘二卩”丸好，JO^ =0,综上所述，当a = 3时—儿P = {1S4齐AClB^Qi 当应"时，血JH"4}, /仃丘二{1»当*4时,则加UE二口34、“5={4}f当口工1, 口产3, a 芦4时I dl-再三卜 B =0.
2.【2015高考天津，理1】已知全集U 1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合A 2,3,5,6 ，集合B 1,3,4,6,7
则集合AI ejB （）
(A) 2,5 ( B) 3,6 (C) 2,5,6 ( D) 2,3,5,6,8
【答案】A
【赭斤】^5 = （2,5,8}_所以二冷5},故选九
3. 【云南省玉溪一中 2015届高三上学期第一次月考试卷】设集合
B {(x, y) y 3x}，则A B的子集的个数是( )
A. 4 B . 3 C . 2 D . 1
【答案】A1.【课本典型习题，P12第3题】设集合 A x(x a)(x 3) 0,a R , B x(x 4)(x 1) 0 ,
AUB, AI B.
【答案】当a 3时，AU B 1,3,4 , AI B ;当a 1 时，AU B 1,3,4 ,AI B 1 ;当 a
时，贝U AU B 1,3,4 , AI B 4 ; 当 a 1 , a 3, a 4时， AU B 1,3,4, a , AI B 【课前小测摸底细】
求
4
{(“)話 【解析】篥會話为橢區|兰+匸=1上的昌 集合卫为扌無心煎i' = 丁上的点，由于指纹函数恒过点(Q1)・ 16 -4
