高三一轮复习1.1集合的概念与运算教案(教师版)

§1.1集合的概念与运算【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⊂B(或B⊃A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅⊂B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算4.并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.[难点正本疑点清源]1．正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．3．正确区分∅，{0}，{∅}∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.题型一集合的基本概念例1(1)下列集合中表示同一集合的是(B)A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)} 例如：(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝___2_.思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征． 解析 (1)选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y|x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合． (2)因为{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a≠0，所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性．若集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝ 0或98_.解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.题型二 集合间的基本关系例2已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 思维启迪：若B ⊆A ，则B ＝∅或B≠∅，要分两种情况讨论． 解：①当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m≤2. ②当B≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m≤4.综上，m 的取值范围为m≤4.变式：（1）集合A 与B 中的等号问题，（四种情况：两开两闭，一开一闭） （2）集合A 与B 的关系。

1.1 集合的概念与运算知识梳理一、集合中元素的特性 确定性、互异性、无序性 二、集合的表示方法 列举法、描述法、文氏图法三、元素与集合、集合与集合之间的关系（1）元素与集合：若元素x 是集合A 的元素，则x ∈A,否则x ∉A. （2）集合与集合之间的关系：子集：若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作()A B B A ⊆⊇或真子集：若A B ⊆且A≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B （或B A ）相等：若A B B A ⊆⊆且,则称集合A 与B 相等，记作A=B 四、集合的运算（1）交集：A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }. （2）并集： A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }. （3）补集：U A ={x |x ∈U且x ∉A }.五、.熟记以下重要结论：（1）U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. （2）,AB A A B A B A A B =⇔⊆=⇔⊇（3）德摩根公式：(),()U U U U U U C AB C A C B C A B C A C B ==.（4）容斥原理：()()card AB cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+.（5）集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．课前预演1.已知集合A ={x ∈R |x ＜5－2}，B ={1，2，3，4}，则（R A ）∩B 等于A.{1，2，3，4}B.{2，3，4}C.{3，4}D.{4}2.设集合P ={1，2，3，4，5，6}，Q ={x ∈R |2≤x ≤6}，那么下列结论正确的是 A.P ∩Q =P B.P ∩Q Q C.P ∪Q =QD.P ∩Q P3.设U 是全集，非空集合P 、Q 满足P Q U ，若求含P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集∅，则这个运算表达式可以是_______________.4.已知集合A ＝｛0，1｝，B ＝｛x ｜x ∈A ，x ∈Ｎ*｝，C ＝｛x ｜x ⊆A ｝，则A 、B 、C 之间的关系是___________________.课堂讲练例1 设M 、N 是两个非空集合，定义M 与N 的差集为M －N ={x |x ∈M 且x ∉N }，则M －（M －N ）等于A.NB.M ∩NC.M ∪ND.M『变式训练』１.设全集{}|010,U x x x N *=<<∈，若{}3AB =，{}1,5,7U AC B =，{}9U U C A C B =，则A =，B =．例2 函数f （x ）=⎩⎨⎧∈-∈,,M x xP x x 其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f （P ）={y |y =f （x ），x ∈P }，f （M ）={y |y =f （x ），x ∈M }.给出下列四个判断，其中正确判断有①若P ∩M =∅，则f （P ）∩f （M ）=∅ ②若P ∩M ≠∅，则f （P ）∩f （M ）≠∅ ③若P ∪M =R ，则f （P ）∪f （M ）=R ④若P ∪M ≠R ，则f （P ）∪f （M ）≠RA.1个B.2个C.3个D.4个『变式训练』1．已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则 （ ）()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G =2.设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是A.P QB.Q PC.P =QD.P ∩Q =Q例3 已知A ={x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}，B ={x |x 2＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ={x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝｛x ｜x ＞－2｝，求a 、b 的值. 『变式训练』设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ． 例４.已知集合A ={（x ，y ）|x 2+mx －y +2=0}，B ={（x ，y ）|x －y +1=0，0≤x ≤2}，如果A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围.『变式训练』 记函数f （x ）=132++-x x 的定义域为A ，g （x ）= lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .（1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.误区特别警示设A={x|x 2－8x ＋15=0},B={x|ax －１=0}，若B A,求实数a 组成的集合的子集有多少？错『答案』化简集合A={3，5}，化简集合B={x|x=1a}∵B A,∴1a=3或1a=5,∴a=1135或,∴实数a组成的集合为{11,35},它的子集共有4个。

学习资料第一节集合的概念及其运算授课提示：对应学生用书第1页[基础梳理]1．集合的相关概念(1）集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．（2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈，不属于，记为∉．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4）五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋或N＊Z Q R 2。

集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同A⊆B且B⊆A⇔A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素A B或B A空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B（B≠∅）3.集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示A∪B＝{x｜x∈A或x∈B｝A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x｜x∈U且x∉A}1．集合的运算性质（1)并集的性质:A∪∅＝A；A∪A＝A;A∪B＝B∪A;A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅;A∩A＝A;A∩B＝B∩A;A∩B＝A⇔A⊆B.（3）补集的性质:A∪（∁U A)＝U；A∩(∁U A）＝∅;∁U（∁U A)＝A；∁U（A∩B)＝(∁U A)∪（∁U B)；∁U（A∪B）＝(∁U A）∩(∁U B)．2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．3．两个防范（1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2）在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．[四基自测]1．(基础点：元素与集合的关系)若集合A＝{x∈N|x≤错误!｝，a＝2错误!，则下面结论中正确的是（)A．{a｝⊆A B．a⊆AC．｛a｝∈A D．a∉A答案：D2．(基础点：补集运算）已知集合A＝｛x｜x2－16＜0｝，则∁R A＝（）A．{x|x≥±4} B．{x|－4＜x＜4}C．{x｜－4≤x≤4｝D．{x|x≥4}∪｛x|x≤－4｝答案：D3．(易错点：定义不透)已知集合A＝{0,1,2｝，集合B满足A∪B＝｛0，1，2｝，则集合B 有________个．答案：84．(易错点:交集运算）已知集合M＝｛x∈N|－4<x<2｝,N＝｛x｜x2－x－6<0｝,则M∩N＝________．答案：｛0，1｝授课提示：对应学生用书第2页考点一集合的概念挖掘1求集合元素的个数/ 自主练透[例1］（1）（2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)｜x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元素的个数为()A．9B．8C．5 D．4[解析]将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即（－1，－1），（－1，0）,(－1，1），（0，－1），(0,0)，(0，1),(1，－1)，（1，0)，（1,1）,共有9个．故选A.［答案］ A(2)设集合A＝{1，2，3}，B＝｛4，5｝，M＝{x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4C．5 D．6［解析]a∈{1,2，3},b∈{4,5}，则M＝{5，6,7,8},即M中元素的个数为4，故选B.[答案］ B[破题技法］与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么．（2）看这些元素满足什么限制条件．(3）注意元素的三个特性,特别是互异性．挖掘2利用元素特性求参数/ 互动探究[例2]设集合A＝｛x|(x－a）2〈1｝，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围为________．［解析]由题意得错误!解得错误!结合数轴得1〈a≤2。

第一节集合1．集合的基本概念(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、V enn图法．2．集合间的基本关系(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算续表1．(人教A版教材习题改编)若集合M＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是()A．{a}⊆M B．a⊆MC．{a}∈M D．a∉M『解析』∵M＝{x∈N|x≤10}＝{0，1，2，3}，∴a∉M.『答案』 D2．(2013·慈溪模拟)设集合M＝{x|x＜2 013}，N＝{x|0＜x≤2 013}，则M∪N＝() A．M B．NC．{x|x≤2 013} D．{x|0＜x＜2 012}『解析』M∪N＝{x|x≤2 013}．『答案』 C3．(2012·广东高考)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁U M＝() A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6} D．{2，4，6}『解析』∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，∴∁U M＝{3，5，6}．『答案』 C4．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P『解析』∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，因此∁R P⊆Q.『答案』 C5．若集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∩B≠∅，则实数a的取值范围为() A．{a|a≤1} B．{a|a＜1}C．{a|a≥1} D．{a|a＞1}『解析』∵A∩B≠∅，∴a＜1，故选B.『答案』 B(1)(2013·洛阳模拟)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6(2)(2013·连云港模拟)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m ，－3}，若3∈A ，则m 的值为________．『思路点拨』 (1)先确定a 值，再确定b 值，注意元素的互异性． (2)根据元素与集合的关系知，m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，注意元素的互异性． 『尝试解答』 (1)当a ＝0，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{1，2，6}； 当a ＝2，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{3，4，8}； 当a ＝5，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{6，7，11}．∴当P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}时，P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}． 故集合P ＋Q 有8个元素．(2)∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，解得m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ＝3，不满足集合元素的互异性，当m ＝－32时，A ＝{－3，12，3}满足题意．故m ＝－32. 『答案』 (1)B (2)－32,1．解答本题(1)时，若不按分类讨论计算，易漏掉元素，对于本题(2)易忽视元素的互异性而得到错误答案．2．用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其它的集合．3．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．(1)若定义：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．6(2)已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________． 『解析』 (1)∵A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }， 又A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，∴A *B ＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D. (2)∵A ＝∅，∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实根， 当a ＝0时，x ＝23不合题意，当a ≠0时，Δ＝9－8a ＜0，∴a ＞98.『答案』 (1)D (2)(98，＋∞)(1)已知a ∈R ，b ∈R ，若{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 013＋b 2 013＝________．(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．『思路点拨』 (1)0∈{a ，ba ，1}，则b ＝0，1∈{a 2，a ，0}，则a 2＝1，a ≠1，从而a ，b 可求．(2)A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ，分B ＝∅和B ≠∅两种情况求解． 『尝试解答』 (1)由已知得ba＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.(2)A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}， 又A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 『答案』 (1)－1 (2)(－∞，3』,1．解答本题(2)时应注意两点：一是A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ；二是B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．2．集合A 中元素的个数记为n ，则它的子集的个数为2n ，真子集的个数为2n －1，非空真子集的个数为2n －2.3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、V enn 图化抽象为直观．若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |ax ＋2＝0，a ∈R }，且M ∩N ＝N ，则实数a 的取值集合是________．『解析』 因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M . 又M ＝{－3，2}， 若N ＝∅，则a ＝0.若N ≠∅，则N ＝{－3}或N ＝{2}．所以－3a ＋2＝0或2a ＋2＝0，解得a ＝23或a ＝－1.所以a 的取值集合是{－1，0，23}．『答案』 {－1，0，23}(1)(2012·浙江高考)设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2)∪(3，4)(2)(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．『思路点拨』 (1)先化简集合B ，求出∁R B ，再借助数轴求A ∩∁R B . (2)根据A ∩B 结构特征求解．『尝试解答』 (1)解x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3， ∴B ＝『－1，3』，则∁R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， ∴A ∩(∁R B )＝(3，4)．(2)∵A ＝{x |－5＜x ＜1}，B ＝{x |(x －m )(x －2)＜0}， 且A ∩B ＝{x |－1＜x ＜n }，∴m＝－1，n＝1.『答案』(1)B(2)－11,1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．3．要注意六个关系式A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅、(∁U A)∪B ＝U的等价性．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2，4，5，6，8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝() A．{5，8}B．{7，9}C．{0，1，3} D．{2，4，6}『解析』因为∁U A＝{2，4，6，7，9}，∁U B＝{0，1，3，7，9}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝{7，9}．『答案』 B一种方法正如数轴是研究实数的工具，Venn图是研究集合的工具，借助Venn图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．两个防范1.空集在解题时具有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.(见学生用书第3页)从近两年课标区高考试题看，集合间的关系与集合的运算是高考命题的重点，常与函数、方程、不等式等知识结合命题，而以集合为背景的新定义题，则是高考命题的热点．创新探究之一以集合为背景的新定义题(2012·课标全国卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10『解析』因为A＝{1，2，3，4，5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，即x＞y.当y＝1时，x可取2，3，4，5，共有4个数；当y＝2时，x可取3，4，5，共有3个数；当y＝3时，x可取4，5，共有2个数；当y＝4时，x只能取5，共有1个数；当y＝5时，x不能取任何值．综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为4＋3＋2＋1＝10，即集合B中的元素共有10个，故选D.『答案』 D创新点拨：(1)本题以元素与集合的关系为载体，用附加条件“x∈A，y∈A，x－y∈A”定义以有序实数对(x，y)为元素的集合B，通过对新定义的理解与应用来考查阅读理解能力与知识迁移能力．(2)考查创新意识、化归转化能力，以及分类讨论思想．应对措施：(1)准确理解集合B是解决本题的关键，集合B中的元素是有序实数对(x，y)，并且要求x∈A，y∈A，x－y∈A，所以要判断集合B中元素的个数，需要根据x－y是否是集合A中的元素进行判断．(2)为化复杂为简单，以y取何值为标准分类，分别求值．1．(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4『解析』由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．『答案』 D2．(2012·山东高考)已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(∁U A)∪B为()A．{1，2，4} B．{2，3，4}C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}『解析』∵∁U A＝{0，4}，B＝{2，4}，∴(∁U A)∪B＝{0，2，4}．『答案』 C。

1.1 集合的概念与运算『考纲解读』1． 理解集合、子集、并集、补集的概念；2． 了解空集、全集的意义；3． 掌握交集、并集、补集的有关术语和符号；4． 了解区别包含、真包含、不包含、属于、不属于等术语的不同含义。

『重点难点』1． 理解掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合之间的关系；2． 会用韦恩图表示集合与集合的关系；3． 理解}0{、φ和}{φ的区别及0与三者间的关系；符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“⊄⊂,”或“⊆，”或“”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系4． 会用数形结合和分类讨论的思想解决有关集合的问题。

『课前预习』1． 集合中元素的特征： ______， ____ ， ____ 。

2． 常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。

3． 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_ __ ，所有真子集的个数是__ _，所有非空真子集的个数是4． 集合M=8|,,3y y x y Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭的元素个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个5． 用适当符号填空：π Q ；{3.14} Q ；N N *；{|21,}x x k k Z =+∈ {|21,}x x k k Z =-∈； *{|21,}x x k k N =+∈ *{|21,}x x k k N =-∈.6． 设集合M=1{|,}24k x x k Z =+∈，N=1{|,}42k x x k Z =+∈，则 （ ）A ．M=NB ．M NC ．MN D ．M ⋂N=φ 7． 若A ⋂B=B ，，则A B （填,⊆⊇）；若A ⋃B=B ，则A B.『典型例题』例1 设含有三个实数的集合可表示为}{d a d a a 2,,++，也可以表示为}{2,,aqaq a其中q R a 求常数、、,q d ∈例2 已知集合2{|210,,}x ax x a R x R ++=∈∈（1） 若A 中只有一个元素，求a 的值；（2） 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。

第一节 集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合间的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算．知识点一 集合的基本概念1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 2．元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. 3．集合的三种表示方法：列举法、描述法、V enn 图法．易误提醒 在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[自测练习]1．已知a ∈R ，若{－1,0,1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，a 2，0，则a ＝________.解析：1a ≠0，a ≠0，a 2≠－1，只有a 2＝1.当a ＝1时，1a ＝1，不满足互异性，∴a ＝－1.答案：－1知识点二 集合间的基本关系A必记结论若集合A中有n个元素，则其子集个数为2，真子集个数为2－1，非空真子集的个数为2n－2.易误提醒易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．[自测练习]2．已知集合A＝{x|x＝a＋(a2－1)i}(a∈R，i是虚数单位)，若A⊆R，则a＝() A．1 B．－1 C．±1 D．0解析：A⊆R，∴a2－1＝0，a＝±1.答案：C3．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，xy∈A}，则集合B的所有真子集的个数为()A．512 B．256C．255 D．254解析：由题意知当x＝1时，y可取1,2,3,4；当x＝2时，y可取1,2；当x＝3时，y可取1；当x＝4时，y可取1.综上，B中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.答案：C知识点三集合的基本运算及性质易误提醒 运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心． 必记结论 ∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[自测练习]4．(2015·广州一模)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{3,4,5}，N ＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示( )A ．M ∩NB ．(∁U M )∩NC ．M ∩(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )解析：M ∩N ＝{5}，A 错误；∁U M ＝{1,2}，(∁U M )∩N ＝{1,2}，B 正确；∁U N ＝{3,4}，M ∩(∁U N )＝{3,4}，C错误；(∁U M )∩(∁U N )＝∅，D 错误．故选B.答案：B5．(2015·长春二模)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )＝( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1] C ．(－1,0)D ．[0,2]解析：由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x >2}，则∁R Q ＝{x |－1<x ≤2}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}．故选D.答案：D考点一 集合的基本概念|1．已知集合S ＝{x |3x ＋a ＝0}，如果1∈S ，那么a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：∵1∈S ，∴3＋a ＝0，a ＝－3. 答案：A2．设集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A }，则集合B 中的元素个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：∵a ∈A ，b ∈A ，x ＝a ＋b ，∴x ＝2,3,4,5,6,8，∴B 中有6个元素，故选C. 答案：C3．(2015·贵阳期末)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.(用列举法表示)解析：若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，则a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．答案：{a2，a3}判断一个元素是某个集合元素的三种方法：列举法、特征元素法、数形结合法．考点二集合间的基本关系及应用|(1)已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为()A．2B．3C．4 D．5[解析]依题意得，A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.[答案] C(2)已知集合M＝{x|－1<x<2}，N＝{x|x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1][解析]依题意，由M⊆N得a≥2，即所求的实数a的取值范围是[2，＋∞)，选B.[答案] B1．判断两集合的关系常有两种方法(1)化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．(2)用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时的两个关键点(1)将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．(2)合理利用数轴、Venn图帮助分析．1．(2015·辽宁五校联考)设集合P＝{x|x>1}，Q＝{x|x2－x>0}，则下列结论正确的是() A．P⊆Q B．Q⊆PC．P＝Q D．P∪Q＝R解析：由集合Q＝{x|x2－x>0}，知Q＝{x|x<0或x>1}，所以选A.答案：A考点三集合的基本运算|(1)(2015·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝()A．{－1,0}B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}[解析]由于B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.[答案] A(2)(2015·郑州期末)已知函数f(x)＝2－x－1，集合A为函数f(x)的定义域，集合B为函数f(x)的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．[解析]本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示．要使函数f(x)＝2－x－1有意义，则2－x－1≥0，解得x≤0，所以A＝(－∞，0]．又函数f(x)＝2－x－1的值域B＝[0，＋∞)．阴影部分用集合表示为∁A∪B(A∩B)＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．[答案](－∞，0)∪(0，＋∞)集合运算问题的四种常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算．常借助Venn图求解．(2)连续型数集的运算．常借助数轴求解．(3)已知集合的运算结果求集合．借助数轴或Venn图求解．(4)根据集合运算求参数．先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．2．(2015·高考陕西卷)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0,1]B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析：∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0<x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A.答案：A考点四集合的创新问题|设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是()A．7B．10C．25D．52[解析]A∩B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A⊙B＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)}，共有10个元素，故选B.[答案] B解决集合创新问题的三个策略(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．(2)按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．3．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}解析：由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．答案：B1.遗忘空集致误【典例】 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．若(∁R A )∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．[解析] ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12≤x ≤3，∴∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A 即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ； ②当B ≠∅，即a <0时， B ＝{x |－－a <x <－a }， 要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－14.[答案] a ≥－14[易误点评] 由∁R A ∩B ＝B 知B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅，又集合B 中元素属性满足x 2＋a <0，当a ≥0时B ＝∅易忽视导致漏解．[防范措施] (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)已知集合B ，若已知A ⊆B 或A ∩B ＝∅，则考生很容易忽视A ＝∅而造成漏解．在解题过程中应根据集合A 分三种情况进行讨论．[跟踪练习] 已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0,1，－12A 组 考点能力演练1．集合U ＝{0,1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4<0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{0,1,3,4} B ．{1,2,3} C ．{0,4}D ．{0}解析：因为集合B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4<0}＝{2,3}，所以A ∪B ＝{1,2,3}，又全集U ＝{0,1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{0,4}．所以选C.答案：C2．已知集合A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( )A．5 B．6C．7 D．8解析：由题意，得B＝{0,1，2，3，2}，所以A∩B＝{0,1,2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7，故选C.答案：C3．(2015·太原一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)x|－3<x<1，N＝{}x|－1≤x≤1，∴阴影部分表示的集合解析：由题意可知，M＝{}x|－3<x<－1.为M∩(∁U N)＝{}答案：D4．集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞)C．(－∞，2] D．[2，＋∞)解析：由题意，得A＝{x|x<2}．又因为A∩B＝A，所以a≥2，故选D.答案：D5．(2015·山西质检)集合A，B满足A∪B＝{1,2}，则不同的有序集合对(A，B)共有() A．4个B．7个C．8个D．9个解析：由题意可按集合A中的元素个数分类．易知集合{1,2}的子集有4个：∅，{1}，{2}，{1,2}．若A＝∅，则B＝{1,2}；若A＝{1}，则B＝{2}或B＝{1,2}；若A＝{2}，则B ＝{1}或B＝{1,2}；若A＝{1,2}；则B＝∅或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1,2}．综上所述，不同的有序集合对(A，B)共有9个，故选D.答案：D6．(2015·广州模拟)设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝4}，满足C⊆(A∩B)的集合C的个数为________．解析：依题意得，A∩B＝{(8，－10)}，因此满足C⊆(A∩B)的集合C的个数是2.答案：27．设集合S n＝{1,2,3，…，n}，若X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集，则S4的所有奇子集的容量之和为________．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：78．已知集合P ＝{－1，m }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <34，若P ∩Q ≠∅，则整数m ＝________. 解析：由{－1，m }∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <34≠∅，可得－1<m <34，由此可得整数m ＝0. 答案：09．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∴A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3. 因此实数m 的取值范围是{m |m >5或m <－3}．10．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)由(1)知A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}， 当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥3}．B 组 高考题型专练1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B＝()A．[－2，－1]B．[－1,2)C．[－1,1]D．[1,2)解析：由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x<2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.答案：A2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝() A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：由已知得N＝{x|1≤x≤2}，∵M＝{0,1,2}，∴M∩N＝{1,2}，故选D.答案：D3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，当n＝0时，3n＋2＝2，当n＝1时，3n＋2＝5，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝3时，3n＋2＝11，当n＝4时，3n＋2＝14，∵B＝{6,8,10,12,14}，∴A∩B中元素的个数为2，选D.答案：D4．(2015·高考福建卷)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B 等于()A．{－1} B．{1}C．{1，－1} D．∅解析：因为A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.答案：C5．(2015·高考浙江卷)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁R P)∩Q＝() A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]解析：∁R P＝{x|0<x<2}，故(∁R P)∩Q＝{x|1<x<2}．答案：C6．(2015·高考重庆卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A解析：由真子集的概念知B A，故选D.答案：D。

2013届高考数学一轮精品教学案1.1 集合及其运算（教师版，新课标人教版）【考纲解读】3.集合的基本运算① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③ 能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.集合的概念与运算是历年来必考内容之一,题型主要以选择填空题为主,单纯的集合问题以解答题的形式出现的机率不大,多数与函数的定义域、值域、不等式的解法相联系，解题时要注意利用韦恩图、数轴、函数图象相结合.另外,集合新定义信息题是近几年命题的热点,注意此种类型.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查集合运算,命题形式会更加灵活、新颖.【要点梳理】【例题精析】考点一集合的概念例1．(2012年高考江西卷)若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为（）A ．5 B.4 C.3 D.2【变式训练】1.(2012年高考新课标全国卷理科1)已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ） ()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【答案】D【解析】5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个.考点二 集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．例2. 若A={2，4, a 3－2a 2－a ＋7},B={1, a ＋1, a 2－2a ＋2,－12(a 2－3a －8), a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B={2，5}，则实数a 的值是________．【名师点睛】本题中涉及到集合B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性,应注意这一点．【变式训练】2.已知集合A={a ,a ＋b, a ＋2b}，B={a ,a c, a c 2}．若A=B ，则c 的值是______．考点三 集合间的关系例3．（2012年高考新课标全国卷文科第1题）已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（ ）（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅【答案】B【解析】集合}21{}02{2<<-=<--=x x x x x A ，又}11{<<-=x x B ，所以B 是A 的真子集，选B.【名师点睛】集合间的关系包括子集、真子集、相等三个方面,是高考的重点问题之一.【变式训练】3.(2012年高考全国卷文科1)已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则（ ）（A ）A B ⊆ （B ）C B ⊆ （C ）D C ⊆ （D ）A D ⊆考点四 集合的基本运算例4．（2012年高考山东卷文理科第2题）已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则B A C U ）（为（ ）(A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}【答案】C【解析】}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U ,选C.【名师点睛】集合的基本运算包括交并补三种运算,高考年年必考,属容易题.【变式训练】4．(2012年高考北京卷文科1)已知集合A={x∈R|3x+2＞0} B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=( )A．（-∞，-1） B．（-1，-23） C．（-23,3） D． (3,+∞)考点五要注意利用数形结合思想解决集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．例5.设全集U={x|0<x<10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩C U B={1，5，7}，C U A∩C U B={9}，则集合A、B是________．【答案】A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}.【解析】由题意,画出图如下:由图可知: A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．【名师点睛】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．【变式训练】5.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．【易错专区】问题：空集例1.已知集合A={x|x 2－3x ＋2=0},B={x|x 2－a x ＋a －1=0}，且A∪B=A，则a 的值为______．【名师点睛】：本题要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．例2. (2012年高考湖北卷文科1)已知集合A={x| 2x -3x +2=0,x ∈R } ， B={x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4【名师点睛】本小题考查集合间的关系,属保分题,集合问题是高考的重点内容之一,年年必考,考查一个小题,仔细审题与熟练基本题型是解决好本类问题的关键.【课时作业】1．(山东省烟台市2012届高三上学期期末文科)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{1,2,4}A =，{4,5}B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}5B ．{}4C ．{}1,2D ．{}3,5【答案】A2. (2012年高考陕西卷文科1)集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则MN =（ ）A (1,2)B [1,2)C (1,2]D [1,2]【答案】C 【解析】{}{}{}1,22,12, C.M x x N x x M N x x =>=-≤≤∴⋂=<≤故选3. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科）已知集合{}13A x x =<<，{}21log 2B x x =<<，则A B 等于（ ）A.{}03x x <<B.{}23x x <<C.{}13x x <<D.{}14x x << 4.(北京市东城区2012年1月高三考试文科）已知集合{}0A x x =≥，{}0,1,2B =，则（ ）（A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）A B B ⋃= （D ）A B ⋂=∅【答案】B【解析】由集合的子集定义，得B A ⊆。

一．课题：集合（1）二．教学目标：1.理解集合的概念和性质．2.了解元素与集合的表示方法．3.熟记有关数集．4.培养学生认识事物的能力三．教学重、难点：集合概念、性质.四．教学过程：（一）复习：回顾初中代数中涉及“集合”提法（二）新课讲解：1.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）.进一步指出：集合中每个对象叫做这个集合的元素.由此上述例中集合的元素是什么？（例（1）的元素为1、3、5、7，例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点，例（3）的元素为满足不等式323x x +>+的实数x ，例（4）的元素为所有直角三角形，例（5）为高一·三班全体男同学.）请同学们另外举出三个例子，并指出其元素.一般用大括号表示集合，则上几例可表示为……由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性.元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉（ ∉ 也可表示为 ）两种.请同学们熟记上述符号及其意义.∈请同学回答：已知a b c m ++=，2{|}A x ax bx c m =++=，判断1与A 的关系. [1A ∈]五．课堂练习：课本P 5，练习1、2补充练习：若23{1,3,1}m m m -∈-+，求m 。

[1m =-或2]m =-六．小结：1.集合的概念2.集合元素的三个特征：其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.3.常见数集的专用符号.七．课后作业：课本P 7，习题1.1 第1题.。

课题 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合教学目标：知识与技能：了解集合的含义，元素与集合的属于关系，理解集合之间的包含与相等关系，理解子集与补集的关系。

过程与方法：会求两个集合的交，并，补集，能使用韦恩图表达集合的关系及运算。

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验集合的具体应用，应用集合解决实际问题的方法。

教学重点：集合的交，并，补关系及运算教学难点：使用韦恩图表达集合的关系及运算教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.集合的含义与表示方法2.集合间的基本关系3.集合的基本运算二、例题讲解例1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2}，则A=B=C.( )(2)含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.( )(3)A ∩B= 的充要条件是A=B= .( )(4)A ∩B=A ⇔A ⊆B.( )(5)A ∪B=A ⇔B ⊆A.( )(6) (A ∪B)=( A)∩( B).( )【解析】(1)错误．集合A 是函数y=x2的定义域，即A=(-∞,+∞)；集合B 是函数y=x2的值域，即B=［0,+∞)；集合C 是满足方程y=x2的实数x,y 的集合，也可以看作是函数y=x2图象上的点组成的集合，因此这三个集合互不相等．(2)正确．空集的子集个数为1个，即 ；含有1个元素的集合{a1}的子集个数为2个，即 ,{a1}；含有2个元素的集合{a1,a2}的子集个数为4个，即 ,{a1},{a2},{a1,a2}……归纳可得含有n 个元素的集合的子集个数为2n 个，故其真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2．(3)错误．A ∩B= 时，只要集合A,B 没有公共元素即可，不一定是A=B= ．(4)正确．当A ⊆B 时，显然A ∩B=A ；当A ∩B=A 时，对任意x ∈A ，得x ∈A ∩B ，得x ∈B ，即x ∈A ⇒x ∈B ，故A ⊆B ．(5)正确．当B ⊆A 时，显然A ∪B=A ； ∅∅当A∪B=A时，对任意x∈B，则x∈A∪B，得x∈A，即x∈B⇒x∈A，即B⊆A．(6)正确．设x∈ (A∪B)，则x (A∪B)，得x A且x B，即x∈ A且x∈ B，即x∈( A)∩( B)，即 (A∪B)⊆( A)∩( B)；反之，当x∈( A)∩( B)时，得x∈ A且x∈ B得x A且x B，得x (A∪B)，得x∈ (A∪B)，即 (A∪B) ( A)∩( B)．根据集合相等的定义得 (A∪B)=( A)∩( B)．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√考向 1 集合的基本概念【典例1】(1)(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,2,3,4,5}, B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y ∈A},则B中所含元素的个数为( )(A)3 (B)6 (C)8 (D)10(2)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}，若1∈A，则实数a构成的集合B的元素个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【思路点拨】(1)集合B中的元素是满足x∈A,y∈A,x-y∈A的有序实数对，根据要求分类列举求解．(2)据1∈A逐个讨论求解a值，根据集合元素的互异性得集合B中元素的个数．【规范解答】(1)选D.方法：x=2时，y=1，x-y=1，此时(x,y)=(2,1)，此时(x,y)有1个；x=3时，y=1,2，此时x-y=2,1，(x,y)有2个；x=4时，y=1,2,3，此时x-y=3,2,1，(x,y)有3个；x=5时，y=1,2,3,4，此时x-y=4,3,2,1，(x,y)有4个．所以集合B中的元素个数为1+2+3+4=10．(2)选B.若a+2=1，则a=-1，代入集合A，得A={1,0,1}，与集合元素的互异性矛盾；若(a+1)2=1，得a=0或-2，代入集合A，得A={2,1,3}或A={0,1,1}，后者与集合元素的互异性矛盾，故a=0符合要求；若a2+3a+3=1，则a=-1或-2，代入集合A，得A={1,0,1}或A={0,1,1}，都与集合元素的互异性相矛盾．综上可知，只有a=0符合要求，故集合B中只有一个元素．【互动探究】在本例(1)的集合B中如果去掉x-y∈A的限制条件，其他条件均不变，则集合B中含有的元素个数是多少？【解析】当x=1时，y=1,2,3,4,5，同理当x=2,3,4,5时，y=1,2,3,4,5，所以集合B中含有5×5=25个元素【变式训练】定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )(A)0 (B)2 (C)3 (D)6【解析】选D.根据指定的法则，集合A*B中的元素是A，B中的元素的乘积，根据集合元素的性质，得A*B={0，2，4}，故集合A*B中所有元素之和为6.考向 2 集合间的基本关系【典例2】(1)(2014·三明模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x ∈R},B={x|0<x<5,x ∈N},则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2)若集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A ∪B=A ∩B,则实数a 的取值集合是 .【思路点拨】(1)求出A,B 中的元素,由A ⊆C ⊆B,知集合C 的个数由B 中有A 中没有的元素个数决定.(2)A ∪B=A ∩B ⇔A=B ，得出关于a,b 的方程组，解出a,b ，再根据集合元素的性质加以检验得出结论．【规范解答】(1)选D.A={x|x2-3x+2=0,x ∈R}={1,2},B={x|0<x<5,x ∈N}={1,2,3,4},由A ⊆C ⊆B,方法一:则C 中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C 的个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个.方法二:则C 可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个(2)方法一：因为A ∪B=A ∩B,所以A=B ，所以{1,b}={a2,ab}， 所以 解得 反代回A,B 集合知，只有 适合，所以 即实数a 的取值集合是{-1}.【变式训练】(1)已知M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}，若M ∩N=N ，则实数a 的值为( )(A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)0或1或-1【解析】选D ．M ∩N=N ⇔N ⊆M ．当a=0时，N= ，符合要求， 当a ≠0时，只要 即a=±1即可． (2)设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy}，若A=B ，则实数对(x,y)的取值集合是_________.【解析】由A=B ，且0∈B ，故集合B 中的元素x2≠0,xy ≠0，故x ≠0,y ≠0，那么只能是集合A 中的x+y=0，此时就是在条件x+y=0下，{x,y}={x2,xy}， 答案：{(1,-1),(-1,1)}考向 3 集合的基本运算【典例3】(1)(2012·福建高考)已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是( )(A)N ⊆M (B)M ∪N=M (C)M ∩N=N (D)M ∩N={2}(2)(2012·辽宁高考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={0,1,3,5,8}，集合B={2,4,5,6,8}，则( A)∩( B)为( )(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【思路点拨】(1)根据集合M ，N 中元素的特点逐一验证.(2)可以根据补集定义求出 A, B ，再根据交集定义得出结论，还可以利用Venn 图解决．【规范解答】(1)选D.显然M ∩N={2}. (2)选B.方法：集合( A)∩( B)= (A ∪B)={7,9}．如图所示：【拓展提升】小结：集合的运算律 221ab,1a b ab b a =⎧⎧=⎨⎨==⎩⎩，或，∅1a a =，(1)交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.(2)结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C).(3)分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).【变式训练】(1)已知集合M={y|y=2x}，集合N={x|y=lg(2x-x2)}，则M∩N=( )(A)(0,2) (B)(2,+∞)（C）［0,+∞］ (D)(-∞,0)∪(2,+∞)【解析】选A. 集合M为函数y=2x的值域，即M=(0,+∞)，集合N是函数y=lg(2x-x2)的定义域，由不等式2x-x2＞0，解得N=(0,2)，所以M∩N=(0,2).三，布置作业思考辨析，考点自测，知能巩固。

江苏省响水中学高考数学一轮复习 第1课时 集合的概念与运算教学案【教学目标】1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn 图表达集合的关系及运算．【基础训练】1.下列集合中, 表示同一集合的是 .① P={1 , 2} , Q={(1 , 2)} ② P={3 , 2} ,Q={2 , 3}③ P={(x , y)|x+y=1} , N={y|y+x=1} ④ P={(3 , 2)} , Q={(2 , 3)}2.满足集合{1 , 2 , 3}M {1 , 2 , 3 , 4 , 5}的集合M 的个数_____________.3.设集合{}22,A x x x R =-≤∈，2{,12}B yy x x ==--≤≤，则()R C A B 等于 ___________.4.设集合{|||1,}A x x a x R =-<∈,{|15,}B x x x R =<<∈.若A B φ=,则实数a 的取值范围是 .5. 若集合2{(,)|4}A x y y x x ==--，{(,)|(2)}B x y y k x ==-，若集合A B ⋂有两个元素，则实数k 的取值范围是________6.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .【合作探究】1.已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 的所有子集.2.设{}2|40A x x x =+=，{}22|2(1)10B x x a x a =+++-=，（1）若A B B ⋂=，求a 的取值范围；（2）若A B B ⋃=，求a 的取值范围.3.已知集合{}2|20A x x x =+-≤,{}|214B x x =<+≤,{}2|0C x x bx c =++>,如果集合A ，B ，C 满足()A B C ⋃⋂=∅，()A B C R ⋃⋃=，求b ，c.4.已知A={x|x 2－px+p 2－19=0}, B={x|log 2(x 2－5x+8)=1},C={x|2228x x +-=1}, 又∅A ⋂B, A ⋂C=∅, 求p 的值.【能力提升】 1.已知集合A={x|m 2x -2x+3=0，m ∈R}.（Ⅰ）若A 中只有一个元素，求m 的值；（Ⅱ）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围.2.对于复数a b c d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，时，求b c d ++的值. 【课堂检测】1. 已知集合{|026}A x ax =<+≤,{|124}B x x =-≤≤,且A B ⊆，求实数a 的取值范围.2.已知集合{|(2)(31)0}A x x x a =---<，函数22lg (1)a x y x a -=-+的定义域为集合B .⑴若2a =，求集合B ； ⑵若A B =，求实数a 的值. 3.已知集合{}2|320A x x x =-+≤,若R B C A R ⋃=（R 为实数集），{}|013R B C A x x x ⋂=<<<<或2，求集合B4. 已知集合A=6|1,R ,1x x x ⎧⎫≥∈⎨⎬+⎩⎭B={}2|20,x x x m --< （1）当m=3时，求()R A C B ⋂；（2）若A B {}|14x x =-<<，求实数m 的值.。

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第一章1.1 集合的概念与运算考纲要求1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算．知识梳理1．元素与集合(1)集合元素的特性：________、________、________.(2)集合与元素的关系元素与集合之间的关系有__________和__________两种，表示符号分别为__________和__________．2．集合间的基本关系3．集合的基本运算{x|________}{x|________}∁U A＝{x|______}1．设M＝{x|x≤23}，a＝11，则下列关系中正确的是( )．A．a⊆M B．a MC．{a}M D．{a}⊆M2．下列集合中表示同一集合的是( )．A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}， N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}3．若集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∩B≠，则实数a的取值范围为( )．A．a≤1 B．a＜1C．a≥1 D．a＞14．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )．A．2个 B．4个 C．6个 D．8个5．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A＝______.思维拓展1．如何正确区分，{0}，{}?提示：是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{}是含有一个元素的集合．⊆{0}．2．对于集合A，B，若A∩B＝A∪B，则A，B有什么关系？提示：A＝B.假设A≠B，则A∩B A∪B，与A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B.一、集合的概念【例1－1】若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B的元素个数为( )．A．2 B．3 C．4 D．5【例1－2】已知集合A是由方程ax2－3x＋2＝0的所有实根组成的集合，若A是空集，求实数a的取值范围．方法提炼1．研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当3．空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，在不同的题目中它可以表达不同的意思．例1－2中A是空集也就是说“方程ax2－3x＋2＝0无实数根”．这样转化后问题就好解决了．请做[针对训练]1二、集合间的基本关系【例2－1】已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是( )．【例2－2】已知集合A ＝{x |0＜ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤2.若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．方法提炼1．解决有关集合相等的问题，应利用集合相等的定义，首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况等，然后列方程(组)，求解．2．集合A 中元素的个数记为n ，则它的子集的个数为2n ，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.3．通过集合之间的关系，求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的大小来实现，因此确定两个集合内的元素，成为解决该类问题的关键．由于元素的属性中含有参数，所以分类讨论成为必然．分类讨论时要注意不重不漏．请做[针对训练]2三、集合的基本运算【例3－1】图中阴影部分所表示的集合是( )．A ．B ∩[∁U (A ∪C )] B ．(A ∪B )∪(B ∪C ) C ．(A ∪C )∩(∁U B )D ．[∁U (A ∩C )]∪B【例3－2】集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．【例3－3】已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}． (1)若A ⊆B ，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的取值范围．方法提炼1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．2．在解决有关A ∩B ＝，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解，另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．请做[针对训练]3考情分析从近两年高考试题看，该部分内容主要以选择题的形式考查，分值为5分，属低档题；两集合的交、并、补集运算及两集合的包含关系是高考的热点，同时集合常与方程、不等式相结合，考查方程、不等式的解法．试题由考查单一知识点向考查两个知识点发展．预测2013年高考仍将以集合的交、并、补集运算为主要考点，考查学生对基本知识的掌握程度．针对训练1．已知集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B ，且log x y ∈N ＋}，则C 中元素个数是( )．A ．9B ．8C ．3D ．42．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－23．(2012江西南昌调研)设S ＝{x ||x －2|＞3}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}．若S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )．A ．－3＜a ＜－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≤－3或a ≥－1D ．a ＜－3或a ＞－14．(2011安徽高考，理8)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠的集合S 的个数是( )．A ．57B ．56C ．49D ．85．满足{1,3}∪A ＝{1,3,5}的集合A 的个数是__________．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)N N ＋ Z Q R(4)列举法 描述法 Venn 图法 2．A ⊆B B ⊇A A B B A任何一个元素 A ⊆B 且B ⊆A 任何 ⊆A 任何非空集合 B ，且B ≠3．∁U A x ∈A ，或x ∈B x ∈A ，且x ∈B x ∈U ，且x ∉A 基础自测1．D 解析：∵11＜12＝23， ∴{a }⊆M ，故选D.2．B 解析：A 选项中，元素为点，且不是同一点，C ，D 选项中的元素，一个为点，一个为数，都不可能为同一集合，故B 正确．3．B 解析：在数轴上表示出两个集合，可以看到，当a ＜1时，A ∩B ≠.故选B.4．B 解析：由已知得P ＝M ∩N ＝{1,3}，∴P 的子集有22＝4个，选B. 5．{x |0＜x ＜1} 解析：全集U ＝R ， 由补集的定义可知∁U A ＝{x |0＜x ＜1}． 考点探究突破【例1－1】 B 解析：∵2×3＝6,2×4＝8,3×4＝12，∴B 正确．【例1－2】 解：由题意，a ≠0，且方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，即Δ＝9－8a ＜0，∴a ＞98.即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞. 【例2－1】 B 解析：由N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{0，－1}可知N M . 【例2－2】 解：A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①当a ＝0时，则A ＝R ； 若A ⊆B ，此种情况不存在． ②当a ＜0时，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |4a≤x <－1a ； 若A ⊆B ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧4a >－12，－1a ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－8，a ≤－12，∴a ＜－8.③当a ＞0时，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a<x ≤4a .若A ⊆B ，如图所示．则⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≥－12，4a ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ≥2，即a ≥2.综上可知，a 的取值范围是(－∞，－8)∪[2，＋∞)．【例3－1】 A 解析：由图形知，阴影部分在A ∪C 外，在B 内，故选A.【例3－2】 解：由x 2－3x ＋2＝0， 得x ＝1或x ＝2， 故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3，当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件， 综上，a 的值为－1或－3. (2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ＜0，即a ＜－3时，B ＝，满足条件； ②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件；③当Δ＞0，即a ＞－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件， 则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)，1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾；综上，a 的取值范围是(－∞，－3]． 【例3－3】 解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}， ∴A ＝{x |2＜x ＜4}． (1)若A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝，显然不成立； 当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4⇒43≤a ≤2；当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，此时不等式组无解，∴当A ⊆B 时，43≤a ≤2.(2)要满足A ∩B ＝，当a ＝0时，B ＝满足条件； 当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }， a ≥4或3a ≤2.∴0＜a ≤23或a ≥4；当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或3a ≥4.∴a ＜0时成立，综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝.(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＝3.演练巩固提升 针对训练 1．D2．C 解析：∵{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，∴0∈{1，a ＋b ，a }．∴a ＋b ＝0或a ＝0(舍去)．∴ba＝－1，∴a ＝－1，b ＝1.故b －a ＝2.3．A 解析：S ＝{x |x ＞5或x ＜－1}，要使S ∪T ＝R ，就必须⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3＜a ＜－1，故选A.4．B 解析：由A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，又S ⊆A 且S ∩B ≠，∴S 中至少含4,5,6中之一，而1,2,3可含可不含． 当含4,5,6其中之一时种数为24，当含4,5,6其中之二时种数为24， 当含4,5,6其中之三时种数为8， ∴总个数为24＋24＋8＝56，故选B.5．4 解析：集合A 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{5,3,1}共4个．。

第一章集合与常用逻辑用语高考导航知识网络1.1 集合及其运算典例精析题型一 集合中元素的性质【例1】设集合A ＝{a ＋1，a －3，2a －1，a2＋1}，若－3∈A ，求实数a 的值.【解析】令a ＋1＝－3⇒a ＝－4，检验合格；令a －3＝－3⇒a ＝0，此时a ＋1＝a2＋1，舍去；令2a －1＝－3⇒a ＝－1，检验合格；而a2＋1≠－3；故所求a 的值为－1或－4.【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定－3是集合A 的元素，但A 中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a 的值以后，又需要由元素的互异性检验a 是否符合要求.【变式训练1】若a 、b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝{0，b a，b}，求a 和b 的值. 【解析】由{1，a ＋b ，a}＝{0，b a，b}， 得①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+a b a b b a ,1,0 或②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+1,,0b a a b b a 显然①无解；由②得a ＝－1，b ＝1.题型二 集合的基本运算【例2】已知A ＝{x|x2－8x ＋15＝0}，B ＝{x|ax －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a.【解析】由已知得A ＝{3，5}.当a ＝0时，B ＝∅⊆A ；当a≠0时，B ＝{1a}.要使B ⊆A ，则1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或15. 综上，a ＝0或13或15. 【点拨】对方程ax ＝1，两边除以x 的系数a ，能不能除，导致B 是否为空集，是本题分类讨论的根源.【变式训练2】(2013江西模拟)若集合A ＝{x||x|≤1，x ∈R}，B ＝{y|y ＝x2，x ∈R}，则A∩B 等于( )A.{x|－1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.【解析】选C.A ＝[－1,1]，B ＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].题型三 集合语言的运用【例3】已知集合A ＝[2，log2t]，集合B ＝{x|x2－14x ＋24≤0}，x ，t ∈R ，且A ⊆B.(1)对于区间[a ，b]，定义此区间的“长度”为b －a ，若A 的区间“长度”为3，试求t 的值；(2)某个函数f(x)的值域是B ，且f(x)∈A 的概率不小于0.6，试确定t 的取值范围.【解析】(1)因为A 的区间“长度”为3，所以log2t －2＝3，即log2t ＝5，所以t ＝32.(2)由x2－14x ＋24≤0，得2≤x≤12，所以B ＝[2,12]，所以B 的区间“长度”为10. 设A 的区间“长度”为y ，因为f(x)∈A 的概率不小于0.6，所以y 10≥0.6，所以y≥6，即log2t －2≥6，解得t≥28＝256. 又A ⊆B ，所以log2t≤12，即t≤212＝4 096，所以t 的取值范围为[256,4 096](或[28, 212]).【变式训练3】设全集U 是实数集R ，M ＝{x|x2＞4}，N ＝{x|2x －1≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x ＜2}【解析】选C.化简得M ＝{x ＜－2或x ＞2}，N ＝{x|1＜x≤3}，故图中阴影部分为∁RM∩N＝{x|1＜x≤2}. 总结提高1.元素与集合及集合与集合之间的关系对于符号∈，∉和⊆，⊈的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.2.“数形结合”思想在集合运算中的运用认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想.(1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如A ⊆B ，A∩B＝A ，A ∪B ＝B 等条件中，集合A 可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.。

第1课时 集合的概念与运算1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体环境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．『梳理自测』一、集合与元素1．已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a ＝________，b ＝________．『解析』由已知得ba ＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1.『答案』－1 0◆此题主要考查集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．(2014·潍坊仿真)已知集合M ＝{x |x 2－3≤0}，则下列关系式正确的是( ) A ．0∈M B ．0∉M C ．0⊆M D ．3∈M『解析』选A.M＝{x|x2－3≤0}＝{x|－3≤x≤3}，∴0∈M.◆此题主要考查元素与集合的关系：属于或不属于，用符号表示为∈或∉．3．已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是()A．{4} B．{4，－1}C．{4，5} D．{－1，0}『解析』选B.B＝{0，1，2，3}，阴影为(∁U B)∩A＝{－1，4}．◆此题主要考查集合的表示方法及意义：集合的表示方法主要有列举法，描述法，Venn 图法．4．常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.5．集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．二、集合间的关系(2012·高考湖北卷)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4『解析』选D.A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，故满足C的集合为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．◆此题考查了集合间的基本关系，如下表：三、集合的基本运算已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，U＝R，则A∩B＝________，A∪B＝________，∁U A＝________，∁U(A∩B)＝________．『解析』A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}，A ∪B ＝{x |x ＞－1}，∁U A ＝{x |x ≤1}，∁U (A ∩B )＝{x |x ≤1或x ≥2}． 『答案』{x |1＜x ＜2} {x |x ＞－1} {x |x ≤1} {x |x ≤1或x ≥2}◆此题考查了集合的运算，如下表：『指点迷津』1．一个性质要注意A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性． 2．两种方法Venn 图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．如：全集U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，B ＝{x |x ＜－1}，若A ∩(∁U B )＝∅，则a 的范围为a ＜－2.3．三个防范①认清元素的意义，数集与点集混淆、函数的定义域与值域混淆、图形集与点集混淆等，如{x |y ＝－x 2＋2x －3}与{y |y ＝－x 2＋2x －3}以及{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x －3}分别表示函数y ＝－x 2＋2x －3的定义域、值域以及函数图象上的点集；②注意防范：集合的基本运算中端点值的取舍导致增解或漏解，求解集合的补集时由于错误否定条件导致错解，如已知A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1x ＞0，误把集合A 的补集写为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1x≤0导致漏解； ③空集是任何集合的子集，注意对空集的讨论，防止漏解；注意集合中元素的互异性，防止增解，如关系“B ⊆A ”中，B 可以为∅.考向一 集合的基本概念(1)(2013·高考山东卷)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5 D．9(2)已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，则2 015a的值为________．『审题视点』(1)弄清B的元素是怎么构成的．(2)讨论A中哪个元素可以为1.『典例精讲』(1)①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1；③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0.综上可知，x－y的值可能为－2，－1，0，1，2，共5个，故选C.(2)当a＋2＝1，即a＝－1时，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1与a＋2相同，∴不符合题意．当(a＋1)2＝1，即a＝0或a＝－2时，①a＝0符合要求．②a＝－2时，a2＋3a＋3＝1与(a＋1)2相同，不符合题意．当a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a＝－1.①当a＝－2时，a2＋3a＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意．②当a＝－1时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意．综上所述，a＝0.『答案』(1)C(2)1『类题通法』 1.研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．2.对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．1．(2014·山东高考信息卷)已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是()A ．(－∞，1』B ．『1，＋∞)C ．『0，＋∞)D ．(－∞，1)『解析』选A.因为1∉A ，故当x ＝1时，有x 2－2x ＋a ≤0，即12－2×1＋a ≤0，解得a ≤1.考向二 集合间的基本关系及应用(2014·江西省高三联考)若集合P ＝{x |3＜x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x ＜3a－5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为( )A ．(1，9)B ．『1，9』C ．『6，9)D ．(6，9』『审题视点』 首先分析P 与Q 的关系，构造集合端点符合的不等式． 『典例精讲』 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＜3a －52a ＋1＞33a －5≤22，解得6＜a ≤9，即实数a 的取值范围是(6，9』，选D. 『答案』 D『类题通法』 (1)通过集合之间的关系，求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的大小来实现，因此确定两个集合内的元素，成为解决该类问题的关键．由于元素的属性中含有参数，所以分类讨论成为必然，分类讨论时要注意不重不漏．(2)对于集合的包含关系，B ⊆A 时，别忘记B ＝∅的情况．对于端点的虚实可单独验证．2．(2014·惠州市高三调研)已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1}『解析』选D.由题意知集合B 的元素为1或－1或者B 为空集，故a ＝0或1或－1.故选D.考向三 集合的基本运算(1)(2014·德州二模)已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝1x ＋1，B ＝{x |y ＝log a (x ＋2)}，则集合(∁U A )∩B ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2，－1』C ．(－∞，－2)D ．(－1，＋∞)(2)(2012·高考重庆卷)设平面点集A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪（y －x ）⎝⎛⎭⎫y －1x ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.34πB.35πC.47πD.π2『审题视点』 (1)分别求两个函数的定义域，A 与B ，再求∁U A . (2)A 、B 分别是区域的点集，利用数形结合求面积．『典例精讲』 (1)A ＝{x |x ＋1＞0}＝{x |x ＞－1}，B ＝{x |x ＋2＞0}＝{x |x ＞－2}． ∴∁U A ＝{x |x ≤－1}，(∁U A )∩B ＝{x |－2＜x ≤－1}． (2)借助图形，数形结合求解．由题意知A ∩B 所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y ＝1x 与直线y ＝x 将圆(x －1)2＋(y －1)2＝1分成C ，D ，E ，F 四部分．∵圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与y ＝1x 的图象都关于直线y ＝x 对称，从而S C ＝S F ，S D ＝S E ，而S C ＋S D ＋S E ＋S F ＝π，∴S 阴影＝S C ＋S E ＝π2.『答案』 (1)B (2)D 『类题通法』 集合的运算(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解；当集合是点集时，可利用数形结合求解．3．(1)(2014·“江南十校”高三联考)已知集合A ＝{x |x 2－x ≤0}，函数f (x )＝2－x (x ∈A )的值域为B ，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(1，2』B ．『1，2』C ．『0，1』D ．(1，＋∞)『解析』选A.由题意知，集合A ＝{x |0≤x ≤1}， ∴B ＝{y |1≤y ≤2}，∁R A ＝{x |x ＜0或x ＞1}， ∴(∁R A )∩B ＝(1，2』．(2)(2014·广东西北九校高三联考)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y ＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．『－1，0』B．(－1，0)C．(－∞，－1)∪『0，1) D．(－∞，－1』∪(0，1)『解析』选D.因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2＞0}＝{x|－1＜x＜1}，则Z＝1－x2∈(0，1』，所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1，0』，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1』∪(0，1)，选D.考向四与集合有关的新定义(2013·高考广东卷)设整数n≥4，集合X＝{1，2，3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S『审题视点』明确集合S表示的含义，对S中的各种情况进行组合，综合分析．也可以对x，y，z，w赋值，利用特殊值排除不符合的选项．『典例精讲』方法一：因为(x，y，z)∈S，则x，y，z的大小关系有3种情况，同理，(z，w，x)∈S，则z，w，x的大小关系也有3种情况，如图所示，由图可知，x，y，w，z的大小关系有4种可能，均符合(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.故选B.方法二：(特殊值法)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w ＝1，则(y，z，w)＝(3，4，1)∈S，(x，y，w)＝(2，3，1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S 的说法均错误，可以排除选项A、C、D，故选B.『答案』B『类题通法』解决创新集合新运算问题常分为三步：(1)对新定义进行信息提取，确定化归的方向；(2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；(3)对定义中提出的知识进行转换，有效地输出．其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点．4．(2013·高考福建卷)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①A ＝N ，B ＝N *；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}； ③A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝R.其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 『解析』举例说明有符合条件的函数即可．①取f (x )＝x ＋1，符合题意．②取f (x )＝92x －72，符合题意．③取f (x )＝tan π⎝⎛⎭⎫x －12，符合题意．『答案』①②③集合中元素特征认识不明致误(2012·高考课标全国卷)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10『正解』 ∵B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，A ＝{1，2，3，4，5}，∴x ＝2，y ＝1；x ＝3，y ＝1，2；x ＝4，y ＝1，2，3；x ＝5，y ＝1，2，3，4.∴B ＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，∴B 中所含元素的个数为10.『答案』 D『易错点』 本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B 是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B 中的元素(x ，y )不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B 的元素的性质中的“x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A ”，只关注“x ∈A ，y ∈A ”，而忽视“x －y ∈A ”的限制条件导致错解．『警示』 判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x 、y 、(x ，y )；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x |y ＝f (x )}表示函数y ＝f (x )的定义域，{y |y ＝f (x )}表示函数y ＝f (x )的值域，{(x ，y )|y ＝f (x )}表示函数y ＝f (x )图象上的点．遗忘空集致误若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为________．『正解』 (1)P ＝{－3，2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ； 当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.『答案』 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12『易错点』 在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如S ＝∅时，a ＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－1a可以为－3或2.『警示』 (1)从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅，勿遗忘S ＝∅的情况． (2)对含字母的问题，注意分类讨论．1．(2013·高考全国新课标卷)已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B『解析』选B.先求解集合A ，再进行集合之间的运算． ∵A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}， ∴A ∩B ＝{x |－5<x <0或2<x <5}，A ∪B ＝R. 故选B.2．(2013·高考全国大纲卷)设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6『解析』选B.依据题目条件直接计算．由题意可知，集合M＝{5，6，7，8}，共4个元素．3．(2013·高考陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为() A．『－1，1』B．(－1，1)C．(－∞，－1』∪『1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)『解析』选D.由1－x2≥0，知－1≤x≤1，∴M＝『－1，1』，∴∁R M＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．4．(2013·高考福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件『解析』选A.利用命题的真假判断充要条件．∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．。

1.1集合的概念及运算【考试要求】.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用集合语言描述不同的具体问题；1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；.在具体情境中，了解全集与空集的含义；2.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集，能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算。

【考点提示】.以选择题、填空题的形式考查集合的交集、并集、补集运算；1.以集合为载体，考查函数的定义域、值域、方程、不等式及曲线间的交点问题;.以考查集合含义及运算为主，同时考查集合语言和思想的运用。

【要点梳理】1.集合的含义与表示（1）集合的含义：指定某些对象的全体称为集合,集合的每个对象称为元素;（2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性;（3）元素与集合的关系：属于记为，反4;不属于记为agA;（4）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法;（5）常用数集及其符号表示：自然数集：JV；正整数集：N*或"整数集：Z；有理数集：。

；实数集：区；（6）集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集;.集合的基本关系（1）子集：一般地，对于两个集合A , B,集合A中任何一个元素均为集合「中的元素，那么称集合A是集合B的子集，记作：AqB或（2）相等：如果且那么A = B；（3）真子集：对于两个集合A, B,如果且AwB,那么称集合A是集合B的真子集，记作：A曙8或A；（4）空集：不含任何元素的集合，空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集，可以表示为：0GA或0思3 （B^0）；（5）假设一个集合A中有〃个元素，那么集合A有2：个子集，2"-1个真子集。

2.集合的运算（1）集合的基本运算【基础自测】]假设集合 A = {2£ N IX W 12022 } , 贝 Ij()A. tzeAB. [a}eAC.[a}^AD. a^A答案：D2.(21•全国乙理)集合3 = {5|5 = 2〃 + 1,〃£2}, 2={Z|E=4〃+1/£Z},那么S"=()A. 0B. SC. TD. Z答案：c3.(21•全国甲理)设集合M={x[0<xv4}, N = {x|1wxW5}那么MAN=()A. {x|O<x<l}B. {x|-<x<4}C. {x|4<x<5}D. {x|0<x<5}答案：B4.(21 •全国乙文)全集。

第01课 集合的概念与运算教学过程： 一、基础自测 1．用适当的符号（,,,∈ ∉ = ，）填空①____Q π ②{3.14}____Q ③*____N N ④0____{}N⑤{|31,}____{|32,}x x k k Z x x k k Z =+∈=-∈ 2．若AB B =，则____A B ； 若A B B =，则____A B ；____A B A B3．若集合{(,)|0}M x y x y =-=，22{|0}N x x y =-=，则,M N 的关系是4．已知集合A 满足：{0,1}A ⊆{0,1,2,3,4}，则A = （写出所有可能情况）5．若集合{|M x y =，1{|}N y y x x ==+，则R M C N =6．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7， 8，9｝，全集U=A B ，则集合()u A B ðI 中的元素共有7．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð8．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为二、例题讲解例1．已知集合2{|210,,}A x ax x a R x R =++=∈∈ （1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．例2．已知集合{}222|190,{|560}=-+-==-+=A x x ax a B x x x ,2{|C x x =+280}-=x（1）若B A =，求实数a 值. （2）若,,A B A C =Φ≠Φ求实数a 的值.例3．已知集合2{|20}A x x x =+-≤，{|214}B x x =<+≤，2{|C x x =0}bx c ++>，若(),()A B C A B C R =∅=，求,b c 的值．例4．（选讲）某市数学、物理、化学竞赛时，某班有24名参加数学，28名参加物理，19名参加化学，全参加的有7名，只参加数学、物理两科的5名，只参加物理、化学的3名，只参加数学、化学两科的4名，如果此班级有学生48名，问有几名学生什么竞赛也没有参加？三、课后作业班级 姓名 学号 等第1．设集合1{|,}24k P x x k Z ==+∈，1{|,}42k Q x x k Z ==+∈，则,P Q 的关系为2．已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 个3．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是4．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个5．设全集{}1lg |*<∈=⋃=x N x B A U ， 若{}4,3,2,1,0,12|=+==⋂n n m m B C A U ，则集合B=6．若集合{|2}xM y y -==，{|P y y ==，则MP =7．已知集合{(,)|2}M x y x y =+=，{(,)|4}N x y x y =-=，则MN = 8．若集合2{2,3,42}A a a =++，2{0,7,2,42}B a a a =-+-，且AB ={3,7}，则实数a 的值为 9．满足集合{1,2,3}M{1,2,3,4,5}的集合M 的个数为10．已知集合2{|1,}A x x n n Z ==-∈ ，2*{|2,}B x x m m m N ==-∈ 试判断集合A 、B 的关系1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10.11．已知集合{}y x xy x A -=,,，{}y x B ,,0=，若A=B ，求实数y x ,的值.12．已知集合{}{}121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ，满足A B ⊆，求实数m 的取值范围.13．已是集合A={x|0322=-+x x },B={x|022=++m x x },若,B A ⊆,求实数m 的取值范围.14．（选做）已知集合{|015}A x ax =<+≤，2{|0}21x B x x -=≤+（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若AB B =，求实数a 的取值范围；（3）集合,A B 能否相等，若能求出a 的值；若不能，说明理由．。

集合教学过程要点精讲:1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Aa∈；若b不是集合A的元素，记作Ab∉；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。

2．集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A⊆B（或BA⊂）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A⊆B且B⊇A，则称A等于B，记作A=B；若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；有的学生对整数包括哪些数还不太清楚，后面还要通过具体题目增强认识。

RB )＝( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析：选B 因为∁R B ＝{x |x ＞3，或x ＜－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3＜x ＜4}． 3．(教材习题改编)A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时a 的值是( )A ．2B ．2或3C ．1或3D ．1或2解析：选D 验证a ＝1时B ＝∅满足条件；验证a ＝2时B ＝{1}也满足条件． 4.(2012·盐城模拟)如图，已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A ＝{2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C ＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．解析：阴影部分表示的集合为A ∩C ∩(∁U B )＝{2,8}． 答案：{2,8}5．(教材习题改编)已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________.解析：因为A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意； n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1；n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1；n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}． 答案：{0}1.正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ， y )|y ＝f (x )}三者的不同．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集． 在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集 的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A ≠∅两种可能的 情况．元素与集合一元二次不等式的求解，学生有不少已经遗忘。

专题01 集合的概念与运算1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系A并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ．补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ．高频考点一 集合的含义例1、(1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝________．(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________．当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，∴a <－98.【答案】 (1)2 (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－98 【感悟提升】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．【变式探究】(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a∈A，b∈B}，则M 中的元素个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6(2)设a ，b∈R，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.【答案】 (1)B (2)2【解析】 (1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a∈A，b∈B，所以当b ＝4时，a ＝1,2,3，此时x ＝5,6,7.当b ＝5时，a ＝1,2,3，此时x ＝6,7,8. 所以根据集合元素的互异性可知，x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．(2)因为{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a≠0，所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 高频考点二 集合间的基本关系例2、(1)已知集合A ＝{x|x2－3x ＋2＝0，x∈R}，B ＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x|x2－2017x ＋2016<0}，B ＝{x|x<a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1)D (2)[2016，＋∞)得a≥2016.【感悟提升】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题． 【变式探究】(1)若集合A ＝{x |x >0}，且B ⊆A ，则集合B 可能是( ) A ．{1，2} B ．{x |x ≤1} C ．{－1，0，1} D ．R(2)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－1或2 D.2或2【解析】(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确．(2)由x＝x2－2，得x＝2，则A＝{2}．因为B＝{1，m}且A⊆B，所以m＝2.【答案】(1)A (2)A高频考点三集合的基本运算例3、(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．2(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( ) A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)【答案】(1)D (2)B【方法规律】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．【举一反三】 (1)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是( ) A．N⊆M B．N∩M＝∅C．M⊆N D．M∩N＝R(2)(2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝( )A．{2，6} B．{3，6}C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}【解析】(1)易知N＝(－2，3)，且M＝{－1，1}，∴M⊆N.(2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，又全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U (A ∪B )＝{2，6}． 【答案】 (1)C (2)A高频考点四 集合的新定义问题 例4、若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x －y∈A，且x≠0时，1x ∈A.则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) (1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若x∈A，y∈A，则x ＋y∈A. A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】 C－y∈A，所以x －(－y)∈A，即x ＋y∈A.【感悟提升】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．【变式探究】 (2015·湖北)已知集合A ＝{(x ，y)|x2＋y2≤1，x ，y∈Z}，B ＝{(x ，y)||x|≤2，|y|≤2，x ，y∈Z}，定义集合＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则中元素的个数为( ) A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】 C【解析】 如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“”，集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合显然是集合{(x ，y)||x|≤3，|y|≤3，x ，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故中元素的个数为45.故选C.1.【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B =（ ） （A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为23{|430}={|13},={|},2A x x x x xB x x =+<<<>-所以33={|13}{|}={|3},22A B x x x x x x <<><<故选D.2.【2016高考新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+ ∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 【答案】D3.【2016年高考四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C 【解析】由题意，{2,1,0,1,2}AZ =--，故其中的元素个数为5，选C.4.【2016高考山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ）（A ）(1,1)-（B ）(0,1)（C ）(1,)-+∞（D ）(0,)+∞【答案】C【解析】}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则AB =∞（-1，+），选C. 5.【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，，【答案】C【解析】集合{|12,}{0,1}B x x x =-<<∈=Z ，而{1,2,3}A =，所以{0,1,2,3}A B =，故选C.6.【2016年高考北京理数】已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}- 【答案】C【解析】由}22|{<<-=x x A ，得}1,0,1{-=B A ，故选C.7.【2016高考浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð（ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】根据补集的运算得．故选B ．8.【2015高考四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（ ）(){|13}A x x -<< (){|11}B x x -<< (){|12}C x x << (){|23}D x x <<【答案】A【解析】{|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<<，选A.9.【2015高考广东，理1】若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =（ ）A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 【答案】A ．10.【2015高考陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A【解析】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1MN =，故选A ．11.【2015高考重庆，理1】已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA 【答案】D【解析】由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D . 12.【2015高考福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i = （是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ． 【答案】C【解析】由已知得{},1,,1A i i =--，故AB ={}1,1-，故选C ．13.【2015高考山东，理1】已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,则A B =（ ）（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4）【答案】C14.【2015高考浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =ð（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2] 【答案】C.【解析】由题意得，)2,0(=P C R ，∴()(1,2)R P Q =ð，故选C.15.【2015高考江苏，1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 16.【2015高考上海，理1】设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =ð ．【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =（2014·北京卷） 已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0，1，2} 【答案】C【解析】∵A ＝{0，2}，∴A ∩B ＝{0，2}∩{0，1，2}＝{0，2}．17.（2014·福建卷） 若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．【答案】6＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.18.（2014·广东卷）已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2，}，则M∪N＝( ) A．{0，1} B．{－1，0，2}C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}【答案】C【解析】本题考查集合的运算．因为M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{－1，0，1，2}．19.（2014·湖北卷）U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A⊆C，B⊆∁U C，故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．故选C.20.（2014·辽宁卷）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( ) A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}【答案】D【解析】由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．21.（2014·全国卷）设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝( ) A．(0，4] B．[0，4)C．[－1，0) D．(－1，0]【答案】B22.（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝( )A．[－2，－1] B．[－1，2)B．[－1，1] D．[1，2)【答案】A【解析】集合A＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A∩B＝[－2，－1]．23.（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( ) A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}【答案】D【解析】集合N＝[1，2]，故M∩N＝{1，2}．24.（2014·山东卷）设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝( ) A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)【答案】C【解析】根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选C.25.（2014·陕西卷）设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( ) A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1] D．(0，1)【答案】B【解析】由M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}＝{x|－1<x<1，x∈R}，得M∩N＝[0，1)．26.（2014·四川卷）已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝( ) A．{－1，0，1，2} B．{－2，－1，0，1}C．{0，1} D．{－1，0}【答案】A【解析】由题意可知，集合A＝{x|－1≤x≤2}，其中的整数有－1，0，1，2，故A∩B＝{－1，0，1，2}，故选A.27.（2014·天津卷）已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q －1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.【解析】(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．＝－1<0，所以s<t.28.（2014·浙江卷）设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( ) A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}【答案】B【解析】∁U A＝{x∈N|2≤x<5}＝{2}，故选B.29.（2014·重庆卷）设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B＝________．【答案】{7，9}【解析】由题知∁U A＝{4，6，7，9，10}，∴(∁U A)∩B＝{7，9}．30.（2013·重庆卷）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝( )A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【答案】D【解析】因为A∪B＝{1，2，3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.31.（2013·北京卷）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{－1，0} C．{0，1} D．{－1，0，1}【答案】B【解析】∵－1∈B，0∈B，，∴A∩B＝{－1，0}，故选B.32.（2013·广东卷）设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N ＝( )A．{0} B．{0，2}C．{－2，0} D．{－2，0，2}【答案】D【解析】∵M＝{－2，0}，N＝{0，2}，∴M∪N＝{－2，0，2}，故选D.33.（2013·湖北卷）已知全集为R，集合A＝，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩(∁RB)＝( )A ．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C ．{x|0≤x<2或x>4}D ．{x|0<x≤2或x≥4} 【答案】C【解析】A ＝{x|x≥0}，B ＝{x|2≤x≤4}，∁RB ＝{x|x<2或x>4}，可得【答案】为C.学 34.（2013·江西卷） 已知集合M ＝{1，2，zi}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i 【答案】C 【解析】zi ＝＝－4i ，故选C.35.．（2013·辽宁卷） 已知集合A ＝{}x|0<log 4x<1，B ＝{}x|x≤2，则A∩B＝( ) A ．(0，1) B ．(0，2] C ．(1，2) D ．(1，2] 【答案】D【解析】∵A＝{x|1<x<4}，B ＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，故选D.36.（2013·全国卷） 设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a∈A，b∈B}，则M 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B37.（2013·山东卷） 已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9 【答案】C【解析】∵x，y∈{}0，1，2，∴x－y 值只可能为－2，－1，0，1，2五种情况，∴集合B 中元素的个数是5.38.（2013·陕西卷） 设全集为R ，函数f(x)＝1－x 2的定义域为M ，则∁RM 为( ) A ．[－1，1] B ．(－1，1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】要使二次根式有意义，则M＝{x︱1－x2≥0}＝[－1，1]，故∁RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．39.（2013·四川卷）设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝( ) A．{－2} B．{2} C．{－2，2} D．【答案】A【解析】由已知，A＝{－2}，B＝{－2，2}，故A∩B＝{－2}．40.（2013·天津卷）已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝( ) A．(－∞，2] B．[1，2]C．[－2，2] D．[－2，1]【答案】D41.（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝( )A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2}C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}【答案】A【解析】集合M＝{x|－1<x<3}，则M∩N＝{0，1，2}．42.（2013·浙江卷）设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝( ) A．(－2，1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)【答案】C【解析】∁RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|(x＋4)(x－1)≤0}＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝(－∞，1]．故选择C.43.（2013·江苏卷）集合{－1，0，1}共有________个子集．【答案】8【解析】集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8.1．下列集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)} 【答案】 B【解析】 选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y|x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 是数集，而集合N 是点集，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合． 2．设集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{x|x ＝a ＋b ，a∈A，b∈A}，则集合B 中的元素个数为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】 C【解析】 ∵a∈A，b∈A，x ＝a ＋b ，∴x＝2,3,4,5,6,8. ∴B 中共有6个元素．3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x∈Z，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】 C4．已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x|(x －1)(x ＋2)＜0}，则A∩B 等于( ) A ．{－1,0} B ．{0,1} C ．{－1,0,1} D ．{0,1,2}【答案】 A【解析】 由A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x|(x －1)(x ＋2)＜0}＝{x|－2＜x ＜1}，得A∩B＝{－1,0}，故选A.5．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B ＝{1,2}，则A∩(∁UB)等于( ) A ．{3} B ．{4} C ．{3,4}D ．∅【答案】 A【解析】∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}，又∁UB＝{3,4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．6．已知全集U＝R，集合A＝{x|lg(x＋1)≤0}，B＝{x|3x≤1}，则∁U(A∩B)等于( ) A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－∞，－1]∪(0，＋∞) D．(－1，＋∞)【答案】 C【解析】lg(x＋1)≤0⇒0<x＋1≤1⇒－1<x≤0,3x≤1⇒x≤0，则A∩B＝(－1,0]，∁U(A∩B)＝(－∞，－1]∪(0，＋∞)．7．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )A．2个B．4个C．6个D．8个【答案】 B8．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为( )A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)【答案】 B【解析】用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B得a≥0.9．已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则( )A．A∩B≠∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解析】由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.【答案】 B10．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1，1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)【解析】 因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1，1]． 【答案】 C11．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．31【解析】 具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.【答案】 B12．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≥0} B．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1} D．{x |0<x <1}【答案】 D13．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则(∁R S )∩T ＝( ) A ．[2，3] B ．(－∞，－2)∪[3，＋∞) C ．(2，3)D ．(0，＋∞)【解析】 易知S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S ＝(2，3)， 因此(∁R S )∩T ＝(2，3)．学 【答案】 C14．集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}【解析】 易知A ＝(－1，2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1，2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}． 【答案】 B15．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |14≤2x ≤16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________．【解析】 由14≤2x≤16，x ∈N ，∴x ＝0，1，2，3，4，即A ＝{0，1，2，3，4}． 又x 2－3x >0，知B ＝{x |x >3或x <0}， ∴A ∩B ＝{4}，即A ∩B 中只有一个元素． 【答案】 116．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝________．【解析】 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.所以m ＋n ＝0. 【答案】 017．集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________．【答案】 [－1，0)18．已知集合A ＝{x |x 2－2 016x －2 017≤0}，B ＝{x |x <m ＋1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．【解析】由x2－2 016x－2 017≤0，得A＝[－1，2 017]，又B＝{x|x<m＋1}，且A⊆B，所以m＋1>2 017，则m>2 016.【答案】(2 016，＋∞)19．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．【解析】∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.【答案】(－∞，1]。

§1.1集合的概念与运算课前·考点引导考情分析考点新知了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系. 学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化. 集合含义中掌握集合的三要素.④ 不要求证明集合相等关系和包含关系.回归教材1.已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m ＝________． 『答案』－32『解析』因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3满足题意．所以m ＝－32.2.已知集合{a |0≤a <4，a ∈N }，用列举法可以表示为________． 『答案』{}0，1，2，3『解析』因为a ∈N ，且0≤a <4，由此可知实数a 的取值为0，1，2，3. 3.已知集合A ＝『1，4)，B ＝(－∞，a )，A B ，则a ∈________．『答案』『4，＋∞)『解析』在数轴上画出A 、B 集合，根据图象可知．4.设集合A ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，B ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则A 、B 的关系是________． 『答案』A ＝B『解析』化简得A ＝{x |x ≥1}，B ＝{y |y ≥1}，所以A ＝B . 5.满足条件{1}M{1，2，3}的集合M 的个数是________．『答案』4个『解析』满足条件{1}M{1，2，3}的集合M有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．知识清单1. 集合的含义及其表示(1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．(2) 集合与集合之间的关系①包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．②真包含关系：如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”．③相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，则称这两个集合相等．(3) 含有n个元素的集合的子集共有2n个，真子集共有2n－1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有2n－2个.课中·技巧点拨题型精选题型1正确理解和运用集合概念例1已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1) 若A 是空集，求a 的取值范围；(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来； (3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 解： (1) 若A 是空集，则Δ＝9－8a ＜0，解得a ＞98.(2) 若A 中只有一个元素，则Δ＝9－8a ＝0或a ＝0，解得a ＝98或a ＝0；当a ＝98时这个元素是43；当a ＝0时，这个元素是23. (3) 由(1)(2)知，当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是a ≥98或a ＝0.备选变式（教师专享）已知a ≤1时，集合『a ，2－a 』中有且只有3个整数，则a 的取值范围是________． 『答案』－1<a ≤0『解析』因为a ≤1，所以2－a ≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a ＝0，集合中有0，1，2三个整数，所以a ＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a <4，解得－1<a <0，此时，集合中有0，1，2三个整数，－1<a <0适合题意．综上，a 的取值范围是－1<a ≤0. 变式训练设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则M ________N . 『答案』真包含于 题型2 集合元素的互异性例2 已知a 、b ∈R ，集合A ＝{a ，a ＋b ，1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ，b a ，0，且AB ，B A ，求a －b 的值． 解：∵ AB ，BA ，∴ A ＝B .∵ a ≠0，∴ a ＋b ＝0，即a ＝－b ，∴ ba ＝－1，∴ b ＝1，a ＝－1，∴ a －b ＝－2. 备选变式（教师专享）已知集合A ＝{a ，a ＋b , a ＋2b }，B ＝{a ，ac , ac 2}．若A ＝B ，则c ＝________． 『答案』－12『解析』分两种情况进行讨论．① 若a ＋b ＝ac 且a ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0.当a ＝0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a ≠0.∴ c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1.但c ＝1时，B 中的三元素又相同，此时无解． ② 若a ＋b ＝ac 2且a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0. ∵ a ≠0，∴ 2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0. 又c ≠1，故c ＝－12.变式训练集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，集合B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 013＋b 2 014的值．解：由于a ≠0，由ba ＝0，得b ＝0，则A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}．由A ＝B ，可得a 2＝1.又a 2≠a ，则a ≠1，则a ＝－1. 所以a 2 013＋b 2 014＝－1.题型3 根据集合的含义求参数范围例3 集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1) 若BA ，求实数m 的取值范围；(2) 当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． 解：(1) 当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝满足BA ；当m ＋1≤2m －1即m ≥2时，要使BA 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.综上所述，当m ≤3时有B A .(2) 因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，则 ① 若B ＝，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件；② 若B ≠，则要满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，解得m ＞4.或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，无解． 综上所述，实数m 的取值范围为m ＜2或m ＞4. 备选变式（教师专享）已知集合A ＝{y |y ＝－2x ，x ∈『2，3』}，B ＝{x |x 2＋3x －a 2－3a >0}．若A B ，求实数a的取值范围．解：由题意有A ＝『－8，－4』，B ＝{x |(x －a )(x ＋a ＋3)>0}． ① 当a ＝－32时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x≠－32，所以A B 恒成立；② 当a <－32时，B ＝{x |x <a 或x >－a －3}．因为AB ，所以a >－4或－a －3<－8，解得a >－4或a >5(舍去)，所以－4<a <－32；③ 当a >－32时，B ＝{x |x <－a －3或x >a }．因为A B ，所以－a －3>－4或a <－8(舍去)，解得－32<a <1.综上，当AB 时，实数a 的取值范围是(－4，1)．新题推荐（教师专享）1. 设集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，且满足A 真包含于B ，则实数a 的取值范围是____________． 『答案』(2，＋∞)『解析』利用数轴可得实数a 的取值范围是(2，＋∞)．2. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中元素的个数为________． 『答案』10『解析』B 中所含元素有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)． 3. 若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________． 『答案』3『解析』具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.4. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．『答案』2『解析』由题图示可以看出阴影部分表示集合M 和N 的交集，所以由M ＝{x |－1≤x ≤3}，得M ∩N ＝{1，3}，有2个．5. 设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数为________． 『答案』8『解析』(1) ∵ P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，∴ 当a ＝0时，a ＋b 的值为1，2，6；当a ＝2时，a ＋b 的值为3，4，8；当a ＝5时，a ＋b 的值为6，7，11，∴ P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，∴ P ＋Q 中有8个元素． 6．已知集合A ={x |ax =1}, B ={x |x 2-1=0},若A ⊆B ,则a 的取值构成的集合是_______ 『答案』{-1,0,1}『解析』由题意,得B ={-1,1},因为A ⊆B ,所以当A =∅时,a =0;当A ={-1}时,a =-1;当A ={1}时,a =1. 又A 中至多有一个元素,所以a 的取值构成的集合是{-1,0,1}. 精品题库1. 已知A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，若实数a ∈A ，则a 的取值范围是________． 『答案』『－1，3』『解析』由条件，a 2－2a －3≤0，从而a ∈『－1，3』． 2. 现有含三个元素的集合，既可以表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 013＋b 2 013＝________． 『答案』－1『解析』由已知得ba ＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1. 3. 已知集合A ＝{x |(x －2)『x －(3a ＋1)』＜0}，B ＝20(1)x ax x a ⎧⎫-<⎨⎬-+⎩⎭. (1) 当a ＝2时，求A ∩B ；(2) 求使B 真包含于A 的实数a 的取值范围．解：(1) A ∩B ＝{x |2＜x ＜5}． (2) B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋1}． ①若a ＝13时，A ＝，不存在a 使BA ；②若a ＞13时，2≤a ≤3；③若a ＜13时，－1≤a ≤－12.故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，－12∪『2，3』． 4. 已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}且1∈A ，求实数a 的值． 解：由题意知：a ＋2＝1或(a ＋1)2＝1或a 2＋3a ＋3＝1， ∴ a ＝－1或－2或0，根据元素的互异性排除－1，－2， ∴ a ＝0即为所求． 疑难指导1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ，y )|y ＝f (x )}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．3. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．。

第一节集合1．集合的基本概念(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、V enn图法．2．集合间的基本关系(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算续表1．(人教A版教材习题改编)若集合M＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是()A．{a}⊆M B．a⊆MC．{a}∈M D．a∉M『解析』∵M＝{x∈N|x≤10}＝{0，1，2，3}，∴a∉M.『答案』 D2．(2013·慈溪模拟)设集合M＝{x|x＜2 013}，N＝{x|0＜x≤2 013}，则M∪N＝() A．M B．NC．{x|x≤2 013} D．{x|0＜x＜2 012}『解析』M∪N＝{x|x≤2 013}．『答案』 C3．(2012·广东高考)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁U M＝() A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6} D．{2，4，6}『解析』∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，∴∁U M＝{3，5，6}．『答案』 C4．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P『解析』∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，因此∁R P⊆Q.『答案』 C5．若集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∩B≠∅，则实数a的取值范围为() A．{a|a≤1} B．{a|a＜1}C．{a|a≥1} D．{a|a＞1}『解析』∵A∩B≠∅，∴a＜1，故选B.『答案』 B(1)(2013·洛阳模拟)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6(2)(2013·连云港模拟)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m ，－3}，若3∈A ，则m 的值为________．『思路点拨』 (1)先确定a 值，再确定b 值，注意元素的互异性． (2)根据元素与集合的关系知，m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，注意元素的互异性． 『尝试解答』 (1)当a ＝0，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{1，2，6}； 当a ＝2，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{3，4，8}； 当a ＝5，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{6，7，11}．∴当P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}时，P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}． 故集合P ＋Q 有8个元素．(2)∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，解得m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ＝3，不满足集合元素的互异性，当m ＝－32时，A ＝{－3，12，3}满足题意．故m ＝－32. 『答案』 (1)B (2)－32,1．解答本题(1)时，若不按分类讨论计算，易漏掉元素，对于本题(2)易忽视元素的互异性而得到错误答案．2．用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其它的集合．3．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．(1)若定义：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．6(2)已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________． 『解析』 (1)∵A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }， 又A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，∴A *B ＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D. (2)∵A ＝∅，∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实根， 当a ＝0时，x ＝23不合题意，当a ≠0时，Δ＝9－8a ＜0，∴a ＞98.『答案』 (1)D (2)(98，＋∞)(1)已知a ∈R ，b ∈R ，若{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 013＋b 2 013＝________．(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．『思路点拨』 (1)0∈{a ，ba ，1}，则b ＝0，1∈{a 2，a ，0}，则a 2＝1，a ≠1，从而a ，b 可求．(2)A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ，分B ＝∅和B ≠∅两种情况求解． 『尝试解答』 (1)由已知得ba＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.(2)A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}， 又A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 『答案』 (1)－1 (2)(－∞，3』,1．解答本题(2)时应注意两点：一是A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ；二是B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．2．集合A 中元素的个数记为n ，则它的子集的个数为2n ，真子集的个数为2n －1，非空真子集的个数为2n －2.3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、V enn 图化抽象为直观．若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |ax ＋2＝0，a ∈R }，且M ∩N ＝N ，则实数a 的取值集合是________．『解析』 因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M . 又M ＝{－3，2}， 若N ＝∅，则a ＝0.若N ≠∅，则N ＝{－3}或N ＝{2}．所以－3a ＋2＝0或2a ＋2＝0，解得a ＝23或a ＝－1.所以a 的取值集合是{－1，0，23}．『答案』 {－1，0，23}(1)(2012·浙江高考)设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2)∪(3，4)(2)(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．『思路点拨』 (1)先化简集合B ，求出∁R B ，再借助数轴求A ∩∁R B . (2)根据A ∩B 结构特征求解．『尝试解答』 (1)解x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3， ∴B ＝『－1，3』，则∁R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， ∴A ∩(∁R B )＝(3，4)．(2)∵A ＝{x |－5＜x ＜1}，B ＝{x |(x －m )(x －2)＜0}， 且A ∩B ＝{x |－1＜x ＜n }，∴m＝－1，n＝1.『答案』(1)B(2)－11,1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．3．要注意六个关系式A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅、(∁U A)∪B ＝U的等价性．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2，4，5，6，8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝() A．{5，8}B．{7，9}C．{0，1，3} D．{2，4，6}『解析』因为∁U A＝{2，4，6，7，9}，∁U B＝{0，1，3，7，9}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝{7，9}．『答案』 B一种方法正如数轴是研究实数的工具，Venn图是研究集合的工具，借助Venn图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．两个防范1.空集在解题时具有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.(见学生用书第3页)从近两年课标区高考试题看，集合间的关系与集合的运算是高考命题的重点，常与函数、方程、不等式等知识结合命题，而以集合为背景的新定义题，则是高考命题的热点．创新探究之一以集合为背景的新定义题(2012·课标全国卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10『解析』因为A＝{1，2，3，4，5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，即x＞y.当y＝1时，x可取2，3，4，5，共有4个数；当y＝2时，x可取3，4，5，共有3个数；当y＝3时，x可取4，5，共有2个数；当y＝4时，x只能取5，共有1个数；当y＝5时，x不能取任何值．综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为4＋3＋2＋1＝10，即集合B中的元素共有10个，故选D.『答案』 D创新点拨：(1)本题以元素与集合的关系为载体，用附加条件“x∈A，y∈A，x－y∈A”定义以有序实数对(x，y)为元素的集合B，通过对新定义的理解与应用来考查阅读理解能力与知识迁移能力．(2)考查创新意识、化归转化能力，以及分类讨论思想．应对措施：(1)准确理解集合B是解决本题的关键，集合B中的元素是有序实数对(x，y)，并且要求x∈A，y∈A，x－y∈A，所以要判断集合B中元素的个数，需要根据x－y是否是集合A中的元素进行判断．(2)为化复杂为简单，以y取何值为标准分类，分别求值．1．(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4『解析』由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．『答案』 D2．(2012·山东高考)已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(∁U A)∪B为()A．{1，2，4} B．{2，3，4}C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}『解析』∵∁U A＝{0，4}，B＝{2，4}，∴(∁U A)∪B＝{0，2，4}．『答案』 C。