合{1，2，3}的任意一个子集），这样A1={1，2，3}
时的分拆有23=8种. 所以集合A={1，2，3}的不同分拆的种数是
1+6+12+8=27.
答案 A 探究提高 解此类问题的关键是理解并掌握题目给出 的新定义（或新运算）.思路是找到与此新知识有关 的所学知识,帮助理解.同时,找出新知识与所学相关
③逐类讨论；④归纳结论.
知能迁移2
已知A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},
若BA，求实数a.
A={3，5}，当a=0时， A; B 1 当a≠0时，B= { }. a 要使BA， 则 1 3或 1 5, a a 1 1 1 1 即a 或a .综上 a 0或 或 . 3 5 3 5 解
由（1）、（2）知，a=2.
［12分］
探究提高
在解决两个数集关系问题时,避免出错的
一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解,另
外，在解含有参数的不等式（或方程）时,要对参数 进行讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则， 然后对每一类情况都要给出问题的解答. 分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；
至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包
含A1中的1个或2个元素（如A1={1，2}时，A2={3}或 A2={1，3} 或A2={2，3}或A2={1，2，3}）,这样A1是 两个元素的集合时的分拆有12种；
④A1是三个元素的集合时(只有1种),则A2可能包含 0，1，2或3个元素（即A1={1，2，3}时，A2可以是集
A.1
解析
B.-1
∵a≠0,∴a+b=0
C.2
D.-2
b 1. a b 又{1,a+b,a}= {0, , b}, a ∴b=1,a=-1.∴b-a=2.
题型二
集合与集合的基本关系
【例2】(12分)已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B= 1 {x | x 2}. 2 （1）若AB，求实数a的取值范围； （2）若BA，求实数a的取值范围； （3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能， 试说明理由. 思维启迪 在确定集合A时，需对x的系数a进行讨 论.利用数轴分析，使问题得到解决.
1 4 a 2 a 8 则 , 1 , a 8. 1 2 a 2 a
当a>0时，若AB，如图,
1 1 a 2 a 2 则 , . a 2. a 2 4 2 a 综上知，当A B 时，a<-8或a≥2.
3.解答集合题目,认清集合元素的属性（是点集、数 集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决 条件.
4.韦恩图`示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运 算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点
是实心还是空心.
5.要注意AB、A∩B=A、A∪B=B、
这五个关系式的等价性.
定时检测
一、选择题
1.（2009·海南，宁夏理,1）已知集合A={1,3,5,7, 9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩( NB)等于 （ A）
A.{1,5,7}
C.{1,3,9} 解析
B.{3,5,7}
D.{1,2,3}
∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},
∴ NB={1,2,4,5,7,8,„}. ∴A∩（ NB）={1,5,7}.
知识的不同之处，通过对比加深对新知识的认识.
知能迁移4
对任意两个正整数m、n,定义某种运算
m n, m与n奇偶性相同 , 集合P={（a，b） :mn mn , m与n奇偶性不同 , |a b =8，a ,b∈N*}中元素的个数为 （ C）
A.5
解析 =4+4.
B.7
C.9
［6分］
（2）当a=0时，显然BA；
当a<0时，若BA，如图,
1 4 a 8 a 1 2 则 , 1 . a 0; 2 1 2 a 2 a 当a>0时，若BA，如图, 1 1 a 2 a 2 则 , . 0 a 2. a 2 4 2 a 1 综上知，当BA时， a 2 ［10分］ 2 （3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.
思维启迪 所谓“分拆”不过是并集的另一种说法, 关键是要分类准确.
பைடு நூலகம்
解析
①A1=时，A2={1，2，3}，只有一种分拆；
②A1是单元素集时（有3种可能）,则A2必须至少包含 除该元素之外的两个元素，也可能包含3个元素，有 两类情况(如A1={1}时,A2={2，3}或A2={1，2，3}), 这样A1是单元素集时的分拆有6种； ③A1是两个元素的集合时（有3种可能），则A2必须
取值范围时，要注意等号单独考察.
3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可 借助韦恩图.这是数形结合思想的又一体现.
失误与防范
1.空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论， 防止漏掉. 2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属
关系；二是集合与集合的包含关系.
∴ U(A∪B)={3，5}，共有两个元素. 探究提高 集合的基本运算包括交集、并集和补集. 在解题时要注意运用韦恩图以及补集的思想方法.
知能迁移3
(2009·全国Ⅰ，理1文2)设集合A={4， （ A） D.6个
5，7，9}，B={3,4，7，8，9}，全集U=A∪B,则集
合 U(A∩B)中的元素共有 A.3个 解析 B.4个 C.5个 ∵A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},
∴A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9},
∴ U(A∩B)={3,5,8},
∴ U(A∩B)共有3个元素.
题型四
集合中的信息迁移题
【例4】若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1,A2)为
集合A的一种分拆,并规定：当且仅当A1=A2时,(A1, A2）与（A2,A1）为集合A的同一种分拆，则集合A= {1，2，3}的不同分拆种数是 A.27 B.26 C.9 （ D.8 ）
题型三
集合的基本运算
【例3】 已知全集U={1，2，3,4,5},集合A={x|x23x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A},求集合 U(A∪B)中 元素的个数. （1）先求出集合A和集合B中的元素. 思维启迪 （2）利用集合的并集求出A∪B. 解 ∵A={x|x2-3x+2=0}={1，2}， ∴B={x|x=2a，a∈A}={2，4}， ∴A∪B={1，2，4},
D.11
当a,b奇偶性相同时，a b=a+b=1+7=2+6=3+5
当a、b奇偶性不同时，a b=ab=1×8,由于(a,b)有 序，故共有元素4×2+1=9个.
思想方法
感悟提高
方法与技巧
1.集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性
在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号 语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合 理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的
思维启迪 根据集合元素特性，列出关于a的方程 组，求出a并检验.
解析
∵A={0,2,a},B={1,a2},
A∪B={0,1,2,4,16},
a 2 16, ∴ ∴a=4. a 4, 答案 D
探究提高 掌握集合元素的特征是解决本题的关键. 解题中体现了方程的思想和分类讨论的思想.
b 知能迁移1 设a,b∈R，集合{1,a+b,a}= {0, , b}, a 则b-a等于 (C )
5.设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x ≥a}. 若A B，
则a的取值范围是 A.a<1 B.a≤1 ( B ) C.a<2 D.a≤2
解析
由图象得a≤1,故选B.
题型分类
题型一 集合的基本概念
深度剖析
【例1】 (2009·山东,1)集合A={0,2,a},B={1,a2}, 若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为 A.0 B.1 C.2 D.4 （ ）
若A含有n个元素,则A的子集有____个,A的非空子集 2n 有______个,A的非空真子集有________个. 2n-1 2n-2
(2)集合相等 A=B 若AB且BA,则_______. 3.集合的运算及其性质
(1)集合的并、交、补运算
并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}； 交集：A∩B=_______________； {x|x∈A且x∈B}
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.1 函数及其表示
基础知识 自主学习
要点梳理
1.集合与元素
确定性 （1）集合元素的三个特征：_________、________、 互异性 无序性 _________. 不属于 属于 （2）元素与集合的关系是______或________关系， 用符号____或_____表示.
解题示范 解 A中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a=0，则A=R；
4 1 x }; a a ③若a>0,则 A {x | 1 x 4 }. ［2分］ a a (1)当a=0时，若AB，此种情况不存在.
②若a<0，则 A { x |
当a<0时，若AB，如图,
∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，
2.已知三个集合U,A，B及元素间的关系如图所示，
则( UA)∩B等于
（ A）
A.{5，6}
C.{3} 解析 由韦恩图知(
B.{3，5，6}
D.{0，4，5，6，7，8}
UA)∩B={5,6}.
3.（2009·广东理，1）已知全集U=R，
集合M={x|-2≤x-1≤2}和 N={x|x=2k-1,k=1,2,„}的关系的韦恩图如图所示， 则阴影部分所示的集合的元素共有（ B ） A.3个 C.1个 解析 B.2个 D.无穷多个 M={x|-1≤x≤3},M∩N={1,3}，有2个.
2.（2009·福建理，2）已知全集U=R,集合A={x|x22x>0},则 UA等于 （ A）
A.{x|0≤x≤2}
B.{x|0<x<2} C.{x|x<0或x>2} D.{x|x≤0或x≥2} 解析 ∵x2-2x>0,∴x(x-2)>0, ∴x>2或x<0,∴A={x|x>2或x<0},
补集的性质：
.
基础自测
1.（2008·四川理，1）设集合U={1，2，3，4，5}, A={1，2，3}，B={2，3，4},则 A.{2，3} C.{4，5} 解析 ∴A∩B={2，3}. 又U={1，2，3，4，5}， ∴
U(A∩B)={1，4，5}. U(A∩B)等于
（ B）
B.{1，4，5} D.{1，5}
(3)集合的表示法：_______、_______、_______、 列举法 图示法 描述法 _______. 区间法 (4)常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N+）;整 数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以 分为________、_________、______. 有限集 无限集 空集
{x | x U且x A} 补集： UA=_________________.
U为全集， UA表示A相对于全集U的补集.
(2)集合的运算性质
并集的性质:
A∪=A；A∪A=A；A∪B=B∪A； A∪B=ABA. 交集的性质： A∩=；A∩A=A；A∩B=B∩A；A∩B=AAB.
4.(2009·浙江，1)设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1}, 则A∩ UB= A.{x|0≤x<1} C.{x|x<0} B.{x|0<x≤1} D.{x|x>1} （ B）
解析
∵B={x|x>1},
∴ UB={x|x≤1}. 又A={x|x>0}, ∴A∩ UB={x|0<x≤1}.
2.集合间的基本关系
(1)子集、真子集及其性质 对任意的x∈A，都有x∈B，则 A B .（或 B A .
若AB，且在B中至少有一个元素x∈B，但xA，
则_______（或______）.
___A；A___A；A B，B A____C. C
