§集合的概念与运算
【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．
【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⊂B(或B⊃A)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅⊂B(B≠∅)．
(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．
(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
3．集合的运算
4.
并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.
[难点正本疑点清源]
1．正确理解集合的概念
正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．
2．注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A≠∅两种可能的情况． 3． 正确区分∅，{0}，{∅}
∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.
题型一 集合的基本概念
例1 (1)下列集合中表示同一集合的是 ( B ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}
C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}
D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)} 例如：
(2)设a ，b∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
0，b a ，b ，则b －a ＝___2_.
思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征． 解析 (1)选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y|x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合．
(2)因为{1，a ＋b ，a}＝
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
0，b a ，b ，a≠0， 所以a ＋b ＝0，得b
a ＝－1，
所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.
探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性． 若集合A ＝{x|ax 2
－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝ 0或98_.
解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝2
3
符合要求．
当a≠0时，Δ＝(－3)2
－4a×2＝0，∴a＝98.故a ＝0或98.
题型二 集合间的基本关系
例2 已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1思维启迪：若B ⊆A ，则B ＝∅或B≠∅，要分两种情况讨论． 解：①当B ＝∅时，有m ＋1≥2m－1，则m≤2. ②当B≠∅时，若B ⊆A ，如图．
则⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1
，解得2综上，m 的取值范围为m≤4.
变式：（1）集合A 与B 中的等号问题，（四种情况：两开两闭，一开一闭） （2）集合A 与B 的关系。例如：,,A B A B A B ⊂⋂=∅⋂≠∅等
探究提高 (1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．
已知集合A ＝{x|log 2x≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝_4___. 解析 由log 2x≤2，得0即A ＝{x|0由于A ⊆B ，如图所示，则a>4，即c ＝4. 变式：集合A 与B 的关系。 题型三 集合的基本运算
例3 设U ＝R ，集合A ＝{x|x 2
＋3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2
＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A)∩B＝∅，则m 的值是_1或2__．
思维启迪：本题中的集合A ，B 均是一元二次方程的解集，其中集合B 中的一元二次方程含有不确定的参数m ，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁U A)∩B＝∅对集合A ，B 的关系进行转化． 解析 A ＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝∅，得B ⊆A ，
∵方程x 2
＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2
－4m ＝(m －1)2
≥0，∴B≠∅. ∴B＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；
②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立， ∴B≠{－2}；
③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2. 经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴m＝1或2.
探究提高 本题的主要难点有两个：一是集合A ，B 之间关系的确定；二是对集合B 中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn 图进行直观的分析不
